একটি নিয়মিত পেন্টাগন নির্মাণ। প্রযুক্তিগত অঙ্কন. নিয়মিত বহুভুজ নির্মাণ নিয়মিত পঞ্চভুজ প্রকল্প

এই চিত্রটি একটি বহুভুজ যার ন্যূনতম সংখ্যক কোণ রয়েছে যা একটি এলাকা টাইল করতে ব্যবহার করা যাবে না। শুধুমাত্র একটি পেন্টাগনের বাহুগুলির সমান সংখ্যক কর্ণ রয়েছে। একটি নির্বিচারে নিয়মিত বহুভুজের জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করে, আপনি পেন্টাগনের সমস্ত প্রয়োজনীয় পরামিতি নির্ধারণ করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, এটিকে একটি প্রদত্ত ব্যাসার্ধের সাথে একটি বৃত্তে লিখুন বা একটি প্রদত্ত পার্শ্বীয় দিকের ভিত্তিতে এটি তৈরি করুন।

কিভাবে একটি মরীচি সঠিকভাবে আঁকা এবং আপনি কি অঙ্কন সরবরাহ প্রয়োজন হবে? কাগজের টুকরো নিন এবং যে কোনও জায়গায় একটি বিন্দু চিহ্নিত করুন। তারপর একটি শাসক সংযুক্ত করুন এবং নির্দেশিত বিন্দু থেকে অসীম পর্যন্ত একটি রেখা আঁকুন। একটি সরল রেখা আঁকতে, "Shift" কী টিপুন এবং পছন্দসই দৈর্ঘ্যের একটি রেখা আঁকুন। অঙ্কন করার সাথে সাথে, "ফরম্যাট" ট্যাবটি খুলবে। লাইনটি অনির্বাচন করুন এবং আপনি দেখতে পাবেন যে লাইনের শুরুতে একটি বিন্দু উপস্থিত হয়েছে। একটি শিলালিপি তৈরি করতে, "একটি শিলালিপি আঁকুন" বোতামটি ক্লিক করুন এবং একটি ক্ষেত্র তৈরি করুন যেখানে শিলালিপিটি অবস্থিত হবে৷

পেন্টাগন নির্মাণের প্রথম উপায়টিকে আরও "শাস্ত্রীয়" হিসাবে বিবেচনা করা হয়। ফলস্বরূপ চিত্রটি একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ হবে। ডোডেকাগন ব্যতিক্রম নয়, তাই কম্পাস ব্যবহার ছাড়া এর নির্মাণ অসম্ভব হবে। একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ নির্মাণের কাজটি একটি বৃত্তকে পাঁচটি সমান অংশে বিভক্ত করার কাজে হ্রাস করা হয়। আপনি সহজ টুল ব্যবহার করে একটি পেন্টাগ্রাম আঁকতে পারেন।

আমি এটি অর্জন করার জন্য এবং স্বাধীনভাবে অনুপাত এবং নির্ভরতা খুঁজে বের করার চেষ্টা করার জন্য দীর্ঘ সময়ের জন্য সংগ্রাম করেছি, কিন্তু আমি সফল হইনি। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে বিখ্যাত গণিতবিদদের দ্বারা তৈরি একটি নিয়মিত পেন্টাগন নির্মাণের জন্য বিভিন্ন বিকল্প রয়েছে। মজার বিষয় হল যে গাণিতিকভাবে এই সমস্যাটি প্রায় ঠিকভাবে সমাধান করা যেতে পারে, যেহেতু অমূলদ সংখ্যা ব্যবহার করতে হবে। তবে এটি জ্যামিতিকভাবে সমাধান করা যেতে পারে।

বৃত্তের বিভাজন। বৃত্তের সাথে এই রেখাগুলির ছেদ বিন্দুগুলি হল বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু। R ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে (ধাপ 1) একটি উল্লম্ব ব্যাস আঁকুন। একটি রেখা এবং একটি বৃত্তের সংযোগ বিন্দু N এ, রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক।

কাগজ একটি ফালা সঙ্গে গ্রহণ

একটি টি-বর্গ এবং একটি 30X60° বর্গ ব্যবহার করে একটি নিয়মিত ষড়ভুজ তৈরি করা যেতে পারে। এই জাতীয় ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি একটি কম্পাস এবং 30 এবং 60 ° কোণ সহ একটি বর্গক্ষেত্র বা শুধুমাত্র একটি কম্পাস ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে। পার্শ্ব 2-3 তৈরি করতে, ড্যাশ করা রেখাগুলি দ্বারা দেখানো অবস্থানে টি-বর্গক্ষেত্র সেট করুন এবং বিন্দু 2 এর মাধ্যমে একটি সরল রেখা আঁকুন, যা ত্রিভুজের তৃতীয় শীর্ষবিন্দুকে সংজ্ঞায়িত করবে। আমরা বৃত্তে পয়েন্ট 1 চিহ্নিত করি এবং এটিকে পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির একটি হিসাবে গ্রহণ করি। আমরা একে অপরের সাথে সিরিজে পাওয়া শীর্ষবিন্দু সংযুক্ত করি। হেপ্টাগনটি F মেরু থেকে রশ্মি টেনে এবং উল্লম্ব ব্যাসের বিজোড় বিভাজনের মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে।

এবং থ্রেডের অন্য প্রান্তে, পেন্সিল সেট এবং আবেশ করা হয়। আপনি যদি একটি তারা আঁকতে জানেন তবে কীভাবে একটি পঞ্চভুজ আঁকতে হয় তা জানেন না, একটি পেন্সিল দিয়ে একটি তারকা আঁকুন, তারপর তারাটির সংলগ্ন প্রান্তগুলিকে একত্রে সংযুক্ত করুন এবং তারপরে তারকাটিকে মুছে ফেলুন। তারপরে কাগজের একটি শীট রাখুন (চারটি বোতাম বা সূঁচ দিয়ে টেবিলে এটি ঠিক করা ভাল)। এই 5টি স্ট্রিপকে পিন বা সূঁচ দিয়ে কাগজের টুকরোতে পিন করুন যাতে তারা গতিহীন থাকে। তারপর ফলাফল পেন্টাগন বৃত্ত এবং শীট থেকে এই রেখাচিত্রমালা সরান।

উদাহরণস্বরূপ, সোভিয়েত অতীত বা চীনের বর্তমান সম্পর্কে একটি ছবির জন্য আমাদের একটি পাঁচ-পয়েন্টেড তারকা (পেন্টাগ্রাম) আঁকতে হবে। সত্য, এর জন্য আপনাকে দৃষ্টিকোণে একটি তারার একটি অঙ্কন তৈরি করতে সক্ষম হতে হবে। একইভাবে, আপনি কাগজে একটি পেন্সিল দিয়ে একটি চিত্র আঁকতে সক্ষম হবেন। কীভাবে একটি তারাকে সঠিকভাবে আঁকবেন, যাতে এটি সমান এবং সুন্দর দেখায়, আপনি এখনই উত্তর দেবেন না।

কেন্দ্র থেকে, বৃত্তের দিকে 2টি রশ্মি কমিয়ে দিন যাতে তাদের মধ্যে কোণটি 72 ডিগ্রি (প্রোটেক্টর) হয়। একটি বৃত্তের পাঁচটি অংশে বিভাজন একটি সাধারণ কম্পাস বা প্রটেক্টর ব্যবহার করে করা হয়। যেহেতু একটি নিয়মিত পেন্টাগন এমন একটি পরিসংখ্যান যা সোনালী বিভাগের অনুপাত ধারণ করে, চিত্রশিল্পী এবং গণিতবিদরা দীর্ঘদিন ধরে এর নির্মাণে আগ্রহী ছিলেন। কম্পাস এবং স্ট্রেইটেজ ব্যবহার করে নির্মাণের এই নীতিগুলি ইউক্লিডীয় উপাদানগুলিতে সেট করা হয়েছিল।

একটি নিয়মিত পেন্টাগন হল একটি জ্যামিতিক চিত্র যা পাঁচটি সরল রেখার ছেদ দ্বারা গঠিত হয় যা পাঁচটি অভিন্ন কোণ তৈরি করে। এই চিত্রটিকে পেন্টাগন বলা হয়। শিল্পীদের কাজ পেন্টাগনের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত - তাদের আঁকাগুলি নিয়মিত জ্যামিতিক আকারের উপর ভিত্তি করে। এটি করার জন্য, আপনাকে কীভাবে দ্রুত পেন্টাগন তৈরি করতে হবে তা জানতে হবে।

কেন এই চিত্র আকর্ষণীয়? ভবনটি পেন্টাগনের মতো আকৃতির মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের প্রতিরক্ষা বিভাগ. এটি ফ্লাইটের উচ্চতা থেকে তোলা ফটোতে দেখা যায়। প্রকৃতিতে, কোন স্ফটিক এবং পাথর নেই, যার আকৃতি একটি পেন্টাগনের মতো হবে। শুধুমাত্র এই চিত্রে মুখের সংখ্যা কর্ণের সংখ্যার সাথে মিলে যায়।

একটি নিয়মিত পেন্টাগনের পরামিতি

একটি আয়তক্ষেত্রাকার পঞ্চভুজ, জ্যামিতির প্রতিটি চিত্রের মতো, এর নিজস্ব প্যারামিটার রয়েছে। প্রয়োজনীয় সূত্রগুলি জেনে, আপনি এই পরামিতিগুলি গণনা করতে পারেন, যা একটি পেন্টাগন নির্মাণের প্রক্রিয়াটিকে সহজতর করবে। গণনার পদ্ধতি এবং সূত্র:

• বহুভুজের সমস্ত কোণের সমষ্টি হল 360 ডিগ্রি। একটি নিয়মিত পঞ্চভুজে, সমস্ত কোণ সমান, যথাক্রমে, কেন্দ্রীয় কোণটি এইভাবে পাওয়া যায়: 360/5 \u003d 72 ডিগ্রি;
• ভিতরের কোণটি এইভাবে পাওয়া যায়: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 ডিগ্রি। সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি: 108*5 = 540 ডিগ্রি।

সমস্যা বিবৃতিতে ইতিমধ্যে দেওয়া প্যারামিটারগুলি ব্যবহার করে পেন্টাগনের দিকটি পাওয়া যায়:

• যদি পেন্টাগনের চারপাশে একটি বৃত্তকে পরিক্রমা করা হয় এবং এর ব্যাসার্ধটি জানা যায়, তাহলে নিম্নোক্ত সূত্র অনুসারে পার্শ্বটি পাওয়া যায়: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1.1756 * আর.
• যদি পঞ্চভুজে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানা থাকে, তাহলে বহুভুজের পাশের গণনার সূত্রটি হল: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1.453*r .
• পেন্টাগনের একটি পরিচিত তির্যক সহ, এর দিকটি নিম্নরূপ গণনা করা হয়: a \u003d D / 1.618।

পেন্টাগনের এলাকা, এর পাশের মত, ইতিমধ্যে পাওয়া পরামিতিগুলির উপর নির্ভর করে:

• খোদাই করা বৃত্তের পরিচিত ব্যাসার্ধ ব্যবহার করে, এলাকাটি নিম্নরূপ পাওয়া যায়: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2.5 * a * r।
• পেন্টাগনের চারপাশে ঘেরা বৃত্ত আপনাকে নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে এলাকা খুঁজে পেতে দেয়: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2.3776 * R2।
• পেন্টাগনের পাশের উপর নির্ভর করে: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1.7205*a2।

পেন্টাগন নির্মাণ

আপনি একটি শাসক এবং একটি কম্পাস ব্যবহার করে একটি নিয়মিত পেন্টাগন তৈরি করতে পারেন, এটিতে খোদাই করা একটি বৃত্ত বা পাশের একটির উপর ভিত্তি করে।

কিভাবে একটি খোদাই করা বৃত্তের উপর ভিত্তি করে একটি পঞ্চভুজ আঁকতে হয়? এটি করার জন্য, একটি কম্পাস এবং একটি শাসক স্টক আপ করুন এবং নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি নিন:

1. প্রথমে আপনাকে কেন্দ্র O সহ একটি বৃত্ত আঁকতে হবে, তারপরে এটিতে একটি বিন্দু নির্বাচন করুন, A - পেন্টাগনের শীর্ষে। কেন্দ্র থেকে উপরের দিকে একটি রেখা টানা হয়।
2. তারপরে সরলরেখা OA-তে লম্ব একটি রেখাংশ তৈরি করা হয়, যা O - বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়েও যায়। বৃত্তের সাথে এর ছেদ বিন্দু B দ্বারা নির্দেশিত হয়। O.V. রেখাংশটি C বিন্দু দ্বারা দ্বিখন্ডিত।
3. বিন্দু C A এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি নতুন বৃত্তের কেন্দ্রে পরিণত হবে। বিন্দু D হল প্রথম চিত্রের সীমানার মধ্যে সরলরেখা OB এর সাথে এর ছেদ।
4. এর পরে, D এর মধ্য দিয়ে একটি তৃতীয় বৃত্ত আঁকা হয়, যার কেন্দ্র বিন্দু A। এটি প্রথম চিত্রটিকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করে, তাদের অবশ্যই E এবং F অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা উচিত।
5. পরবর্তী বৃত্তটির কেন্দ্র E বিন্দুতে রয়েছে এবং A এর মধ্য দিয়ে যায় এবং মূলটির সাথে এর ছেদ নতুন বিন্দুতে রয়েছে।
6. এই চিত্রের শেষ বৃত্তটি একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে আঁকা হয়েছে, একটি কেন্দ্রবিশিষ্ট A। বিন্দু H প্রারম্ভিকটির সাথে এর সংযোগস্থলে স্থাপন করা হয়েছে।
7. প্রথম বৃত্তে, সমস্ত পদক্ষেপ নেওয়ার পরে, পাঁচটি পয়েন্ট উপস্থিত হয়েছে, যা অবশ্যই বিভাগ দ্বারা সংযুক্ত থাকতে হবে। এইভাবে, একটি নিয়মিত পেন্টাগন AE GH F প্রাপ্ত হয়েছিল।

কিভাবে একটি ভিন্ন উপায়ে একটি নিয়মিত পেন্টাগন নির্মাণ? একটি শাসক এবং একটি কম্পাসের সাহায্যে, পেন্টাগনটি একটু দ্রুত তৈরি করা যেতে পারে। এর জন্য আপনার প্রয়োজন:

1. প্রথমে আপনাকে একটি বৃত্ত আঁকতে একটি কম্পাস ব্যবহার করতে হবে, যার কেন্দ্রটি O বিন্দু।
2. ব্যাসার্ধ OA টানা হয় - একটি সেগমেন্ট যা একটি বৃত্তের উপর প্লট করা হয়। এটি বি বিন্দু দ্বারা দ্বিখণ্ডিত।
3. একটি সেগমেন্ট OS ব্যাসার্ধ OA-তে লম্বভাবে আঁকা হয়, বি এবং C বিন্দু একটি সরল রেখা দ্বারা সংযুক্ত।
4. পরবর্তী ধাপে ব্যাসমেট্রাল রেখায় একটি কম্পাস দিয়ে BC সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য প্লট করা। বিন্দু D OA সেগমেন্টের সাথে লম্বভাবে দেখা যায়। বিন্দু B এবং D সংযুক্ত থাকে, একটি নতুন সেগমেন্ট তৈরি করে।
5. পেন্টাগনের পাশের আকার পেতে, আপনাকে বিন্দু C এবং D সংযোগ করতে হবে।
6. কম্পাসের সাহায্যে D একটি বৃত্তে স্থানান্তরিত হয় এবং E বিন্দু দ্বারা নির্দেশিত হয়। E এবং C সংযোগ করে, আপনি একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের প্রথম দিক পেতে পারেন। এই নির্দেশ অনুসরণ করে, আপনি শিখতে পারেন কিভাবে দ্রুত সমান দিক দিয়ে একটি পেন্টাগন তৈরি করতে হয়, প্রথমটির মতো এর অন্যান্য দিকগুলি তৈরি করা চালিয়ে যান।

একই বাহু বিশিষ্ট পেন্টাগনে, কর্ণগুলি সমান এবং একটি পাঁচ-বিন্দু বিশিষ্ট তারকা তৈরি করে, যাকে পেন্টাগ্রাম বলা হয়। সোনালী অনুপাত হল পঞ্চভুজের পাশের কর্ণের আকারের অনুপাত।

পেন্টাগন বিমানটি সম্পূর্ণভাবে ভরাট করার জন্য উপযুক্ত নয়। এই ফর্মের যেকোনো উপাদানের ব্যবহার ফাঁক বা ফর্ম ওভারল্যাপ ছেড়ে দেয়। যদিও এই ফর্মের প্রাকৃতিক স্ফটিকগুলি প্রকৃতিতে বিদ্যমান নেই, যখন মসৃণ তামা পণ্যগুলির পৃষ্ঠে বরফ তৈরি হয়, তখন পেন্টাগনের আকারে অণুগুলি উপস্থিত হয়, যা শৃঙ্খলে সংযুক্ত থাকে।

কাগজের একটি স্ট্রিপ থেকে একটি নিয়মিত পেন্টাগন পাওয়ার সবচেয়ে সহজ উপায় হল এটি একটি গিঁটে বেঁধে এবং কিছুটা নিচে চাপা। এই পদ্ধতিটি প্রি-স্কুলারদের পিতামাতার জন্য দরকারী যারা তাদের ছোট বাচ্চাদের জ্যামিতিক আকার চিনতে শেখাতে চান।

ভিডিও

দেখুন কিভাবে আপনি দ্রুত পেন্টাগন আঁকতে পারেন।

একটি বৃত্তে খোদিত একটি নিয়মিত ষড়ভুজ নির্মাণ।

একটি ষড়ভুজ নির্মাণ এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে এর পার্শ্বটি পরিধিকৃত বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান। অতএব, নির্মাণের জন্য, বৃত্তটিকে ছয়টি সমান অংশে ভাগ করা এবং পাওয়া পয়েন্টগুলি একে অপরের সাথে সংযুক্ত করা যথেষ্ট।

একটি টি-বর্গ এবং একটি 30X60° বর্গ ব্যবহার করে একটি নিয়মিত ষড়ভুজ তৈরি করা যেতে পারে। এই নির্মাণটি সম্পাদন করার জন্য, আমরা বৃত্তের অনুভূমিক ব্যাসটিকে 1 এবং 4 কোণের দ্বিখণ্ডক হিসাবে গ্রহণ করি, 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 এবং 7 - 2 দিকগুলি তৈরি করি, তারপরে আমরা 5 - 6 এবং 3 দিকগুলি আঁকি - 2।

এই জাতীয় ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি একটি কম্পাস এবং 30 এবং 60 ° কোণ সহ একটি বর্গক্ষেত্র বা শুধুমাত্র একটি কম্পাস ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে। একটি বৃত্তে খোদিত একটি সমবাহু ত্রিভুজ নির্মাণের দুটি উপায় বিবেচনা করুন।

প্রথম উপায়(চিত্র 61, ক) এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে ত্রিভুজ 7, 2, 3 এর তিনটি কোণ প্রতিটিতে 60 ° থাকে এবং 7 বিন্দু দিয়ে আঁকা উল্লম্ব রেখাটি 1 কোণের উচ্চতা এবং দ্বিখণ্ডক উভয়ই। 0 - 1 - 2 কোণটি 30° এর সমান, তারপর 1 - 2 দিকটি খুঁজে পেতে বিন্দু 1 এবং 0 - 1 দিক থেকে 30° কোণ তৈরি করা যথেষ্ট। এটি করার জন্য, চিত্রে দেখানো হিসাবে টি-বর্গ এবং বর্গক্ষেত্র সেট করুন, একটি লাইন 1 - 2 আঁকুন, যা পছন্দসই ত্রিভুজের একটি বাহু হবে। পার্শ্ব 2 - 3 তৈরি করতে, ড্যাশ করা রেখাগুলি দ্বারা দেখানো অবস্থানে টি-বর্গক্ষেত্র সেট করুন এবং বিন্দু 2 এর মাধ্যমে একটি সরল রেখা আঁকুন, যা ত্রিভুজের তৃতীয় শীর্ষবিন্দুকে সংজ্ঞায়িত করবে।

দ্বিতীয় উপায়এই সত্যটির উপর ভিত্তি করে যে আপনি যদি একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি নিয়মিত ষড়ভুজ তৈরি করেন এবং তারপর তার শীর্ষগুলিকে একটি দিয়ে সংযুক্ত করেন তবে আপনি একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাবেন।

একটি ত্রিভুজ তৈরি করতে, আমরা ব্যাসের উপর শীর্ষবিন্দু 1 চিহ্নিত করি এবং একটি ব্যাসযুক্ত রেখা 1 - 4 আঁকি। আরও, বিন্দু 4 থেকে D / 2 এর সমান ব্যাসার্ধের সাথে, আমরা চাপটি বর্ণনা করি যতক্ষণ না এটি বৃত্তের সাথে 3 বিন্দুতে ছেদ করে। এবং 2. ফলস্বরূপ বিন্দুগুলি কাঙ্ক্ষিত ত্রিভুজের আরও দুটি শীর্ষবিন্দু হবে।

এই নির্মাণ একটি বর্গক্ষেত্র এবং একটি কম্পাস ব্যবহার করে করা যেতে পারে।

প্রথম উপায়এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলি পরিধিকৃত বৃত্তের কেন্দ্রে ছেদ করে এবং 45° কোণে এর অক্ষের সাথে ঝুঁকে থাকে। এর উপর ভিত্তি করে, চিত্রে দেখানো হিসাবে আমরা 45 ° কোণ সহ একটি টি-বর্গ এবং একটি বর্গক্ষেত্র ইনস্টল করি। 62, a, এবং বিন্দু 1 এবং 3 চিহ্নিত করুন। আরও, এই বিন্দুগুলির মাধ্যমে, আমরা একটি T-বর্গক্ষেত্রের সাহায্যে 4 - 1 এবং 3 -2 বর্গক্ষেত্রের অনুভূমিক বাহুগুলি আঁকি। তারপর, বর্গক্ষেত্রের পা বরাবর একটি টি-বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করে, আমরা 1 - 2 এবং 4 - 3 বর্গক্ষেত্রের উল্লম্ব দিকগুলি আঁকি।

দ্বিতীয় উপায়এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি ব্যাসের প্রান্তগুলির মধ্যে আবদ্ধ বৃত্তের চাপগুলিকে দ্বিখণ্ডিত করে৷ আমরা দুটি পারস্পরিক লম্ব ব্যাসের শেষে A, B এবং C বিন্দুগুলি চিহ্নিত করি এবং তাদের থেকে y ব্যাসার্ধ দিয়ে আমরা চাপগুলিকে বর্ণনা করি যতক্ষণ না তারা ছেদ করে।

আরও, আর্কসের ছেদ বিন্দুগুলির মাধ্যমে, আমরা অক্জিলিয়ারী লাইন আঁকি, কঠিন রেখা দিয়ে চিত্রটিতে চিহ্নিত। বৃত্তের সাথে তাদের ছেদ বিন্দু 1 এবং 3 শীর্ষবিন্দুকে সংজ্ঞায়িত করবে; 4 এবং 2. এইভাবে প্রাপ্ত পছন্দসই বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি একে অপরের সাথে সিরিজে সংযুক্ত থাকে।

একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি নিয়মিত পেন্টাগনের নির্মাণ।

একটি বৃত্তে একটি নিয়মিত পেন্টাগন লিখতে, আমরা নিম্নলিখিত নির্মাণগুলি তৈরি করি। আমরা বৃত্তে পয়েন্ট 1 চিহ্নিত করি এবং এটিকে পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির একটি হিসাবে গ্রহণ করি। সেগমেন্ট AO কে অর্ধেক ভাগ করুন। এটি করার জন্য, বিন্দু A থেকে AO ব্যাসার্ধের সাথে, আমরা বিন্দু M এবং B এ বৃত্তের সাথে ছেদ করার জন্য চাপ বর্ণনা করি। এই বিন্দুগুলিকে একটি সরল রেখা দিয়ে সংযুক্ত করলে, আমরা K বিন্দু পাই, যা আমরা বিন্দু 1 এর সাথে সংযুক্ত করি। সেগমেন্ট A7 এর সমান ব্যাসার্ধের সাথে, আমরা বিন্দুতে K বিন্দু থেকে ছেদ পর্যন্ত বৃত্ত বর্ণনা করি H বিন্দুতে। বিন্দু 1 কে H বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করলে, আমরা পঞ্চভুজের দিকটি পাই। তারপর, 1H সেগমেন্টের সমান একটি কম্পাস খোলার সাহায্যে, শীর্ষবিন্দু 1 থেকে বৃত্তের সাথে ছেদ পর্যন্ত চাপের বর্ণনা দিয়ে, আমরা 2 এবং 5 শীর্ষবিন্দুগুলি খুঁজে পাই। একই কম্পাস খোলার সাথে শীর্ষবিন্দু 2 এবং 5 থেকে খাঁজ তৈরি করার পরে, আমরা অবশিষ্টগুলি পাই। শীর্ষবিন্দু 3 এবং 4। আমরা পাওয়া বিন্দুগুলিকে পরস্পরের সাথে ক্রমানুসারে সংযুক্ত করি।

একটি নিয়মিত পেন্টাগন নির্মাণ তার পাশে দেওয়া.

এর প্রদত্ত পার্শ্ব বরাবর একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ তৈরি করতে (চিত্র 64), আমরা সেগমেন্ট AB কে ছয়টি সমান অংশে ভাগ করি। AB ব্যাসার্ধ সহ বিন্দু A এবং B থেকে আমরা আর্কস বর্ণনা করি, যার ছেদটি K বিন্দু দেবে। এই বিন্দু এবং AB রেখায় 3 ভাগের মাধ্যমে আমরা একটি উল্লম্ব রেখা আঁকি। এই সরলরেখার K বিন্দু থেকে আরও, আমরা 4/6 AB এর সমান একটি অংশকে আলাদা করে রাখি। আমরা পয়েন্ট 1 পাই - পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু। তারপর, AB এর সমান ব্যাসার্ধের সাথে, বিন্দু 1 থেকে আমরা পূর্বে A এবং B বিন্দু থেকে আঁকা চাপের সাথে ছেদকে ছেদকে বর্ণনা করি। আর্কের ছেদ বিন্দুগুলি পঞ্চভুজ 2 এবং 5 এর শীর্ষবিন্দু নির্ধারণ করে। আমরা পাওয়াকে সংযুক্ত করি। একে অপরের সাথে সিরিজে শীর্ষবিন্দু।

একটি বৃত্তে খোদাই করা একটি নিয়মিত হেপ্টাগনের নির্মাণ।

D ব্যাসের একটি বৃত্ত দেওয়া যাক; আপনাকে এটিতে একটি নিয়মিত হেপ্টাগন লিখতে হবে (চিত্র 65)। বৃত্তের উল্লম্ব ব্যাসকে সাতটি সমান ভাগে ভাগ করুন। বৃত্ত D এর ব্যাসের সমান ব্যাসার্ধের বিন্দু 7 থেকে, আমরা বৃত্তটিকে বর্ণনা করি যতক্ষণ না এটি F বিন্দুতে অনুভূমিক ব্যাসের ধারাবাহিকতার সাথে ছেদ করে। বিন্দু F কে বহুভুজের মেরু বলা হয়। হেপ্টাগনের শীর্ষবিন্দুগুলির মধ্যে একটি হিসাবে বিন্দু VII গ্রহণ করে, আমরা উল্লম্ব ব্যাসের সমান বিভাজনের মাধ্যমে মেরু F থেকে রশ্মি আঁকি, যার ছেদ বৃত্তের সাথে হেপ্টাগনের শীর্ষবিন্দু VI, V এবং IV নির্ধারণ করবে। IV, V এবং VI বিন্দু থেকে শীর্ষবিন্দুগুলি পেতে /- // - ///, আমরা অনুভূমিক রেখাগুলি আঁকি যতক্ষণ না তারা বৃত্তের সাথে ছেদ করে। আমরা একে অপরের সাথে সিরিজে পাওয়া শীর্ষবিন্দু সংযুক্ত করি। হেপ্টাগনটি F মেরু থেকে রশ্মি টেনে এবং উল্লম্ব ব্যাসের বিজোড় বিভাজনের মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে।

উপরের পদ্ধতিটি যেকোন সংখ্যক বাহুর সাথে নিয়মিত বহুভুজ নির্মাণের জন্য উপযুক্ত।

একটি বৃত্তের যেকোন সংখ্যক সমান অংশে বিভাজনও টেবিলের ডেটা ব্যবহার করে করা যেতে পারে। 2, যা সহগগুলি দেখায় যা নিয়মিত খোদাই করা বহুভুজগুলির বাহুর মাত্রা নির্ধারণ করা সম্ভব করে।

নিয়মিত খোদাই করা বহুভুজের পার্শ্ব দৈর্ঘ্য।

এই টেবিলের প্রথম কলামটি একটি নিয়মিত খোদাই করা বহুভুজের বাহুর সংখ্যা দেখায় এবং দ্বিতীয় কলামটি সহগ দেখায়। প্রদত্ত বহুভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য একটি প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধকে এই বহুভুজের বাহুর সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত একটি গুণক দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায়।

ওজেগোভের ব্যাখ্যামূলক অভিধান বলছে যে পঞ্চভুজ হল পাঁচটি ছেদকারী সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ যা পাঁচটি অভ্যন্তরীণ কোণ গঠন করে, সেইসাথে একই আকৃতির যেকোনো বস্তু। যদি একটি প্রদত্ত বহুভুজের সবগুলি একই বাহু এবং কোণ থাকে, তবে তাকে নিয়মিত (পেন্টাগন) বলা হয়।

একটি নিয়মিত পেন্টাগন সম্পর্কে আকর্ষণীয় কি?

এই ফর্মটিতেই মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের প্রতিরক্ষা বিভাগের সুপরিচিত ভবনটি নির্মিত হয়েছিল। ঘন ঘন নিয়মিত পলিহেড্রনের মধ্যে, শুধুমাত্র ডোডেকাহেড্রনের পেন্টাগন আকৃতির মুখ রয়েছে। এবং প্রকৃতিতে, স্ফটিকগুলি সম্পূর্ণ অনুপস্থিত, যার মুখগুলি একটি নিয়মিত পেন্টাগনের অনুরূপ হবে। উপরন্তু, এই চিত্রটি একটি বহুভুজ যার ন্যূনতম সংখ্যক কোণ রয়েছে যা একটি এলাকা টাইল করতে ব্যবহার করা যাবে না। শুধুমাত্র একটি পেন্টাগনের বাহুগুলির সমান সংখ্যক কর্ণ রয়েছে। একমত, এটা আকর্ষণীয়!

মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং সূত্র

একটি নির্বিচারে নিয়মিত বহুভুজের জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করে, আপনি পেন্টাগনের সমস্ত প্রয়োজনীয় পরামিতি নির্ধারণ করতে পারেন।

• কেন্দ্রীয় কোণ α = 360 / n = 360/5 = 72°।
• অভ্যন্তরীণ কোণ β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°। তদনুসারে, অভ্যন্তরীণ কোণের যোগফল 540°।
• পাশের কর্ণের অনুপাত হল (1+√5)/2, অর্থাৎ (প্রায় 1.618)।
• একটি নিয়মিত পেন্টাগনের পাশের দৈর্ঘ্য তিনটি সূত্রের একটি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, কোন প্যারামিটারটি ইতিমধ্যে পরিচিত তার উপর নির্ভর করে:

• যদি একটি বৃত্ত তার চারপাশে পরিধিকৃত হয় এবং এর ব্যাসার্ধ R জানা যায়, তাহলে a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1.1756*R;
• যে ক্ষেত্রে r ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত একটি নিয়মিত পঞ্চভুজে খোদাই করা হয়, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1.453*r;
• এটি ঘটে যে ব্যাসার্ধের পরিবর্তে তির্যক D-এর মান জানা যায়, তারপর পার্শ্বটি নিম্নরূপ নির্ধারণ করা হয়: a ≈ D / 1.618।

• একটি নিয়মিত পেন্টাগনের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করা হয়, আবার, আমরা কোন প্যারামিটার জানি তার উপর নির্ভর করে:
• যদি একটি খোদাই করা বা সীমাবদ্ধ বৃত্ত থাকে, তবে দুটি সূত্রের মধ্যে একটি ব্যবহার করা হয়:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2.5 * a * r বা S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2.3776 * R 2;

• ক্ষেত্রফলটিও নির্ধারণ করা যেতে পারে, শুধুমাত্র পাশের দৈর্ঘ্য a:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1.7205 * a 2।

নিয়মিত পেন্টাগন: নির্মাণ

এই জ্যামিতিক চিত্রটি বিভিন্ন উপায়ে তৈরি করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এটিকে একটি প্রদত্ত ব্যাসার্ধের সাথে একটি বৃত্তে লিখুন বা একটি প্রদত্ত পার্শ্বীয় দিকের ভিত্তিতে এটি তৈরি করুন। 300 খ্রিস্টপূর্বাব্দের দিকে ইউক্লিডের উপাদানগুলিতে কর্মের ক্রম বর্ণনা করা হয়েছিল। যাই হোক না কেন, আমাদের একটি কম্পাস এবং একটি শাসক প্রয়োজন। একটি প্রদত্ত বৃত্ত ব্যবহার করে নির্মাণের পদ্ধতি বিবেচনা করুন।

1. একটি নির্বিচারে ব্যাসার্ধ নির্বাচন করুন এবং একটি বৃত্ত আঁকুন, এর কেন্দ্রকে O বিন্দু দিয়ে চিহ্নিত করুন।

2. বৃত্ত রেখায়, একটি বিন্দু নির্বাচন করুন যা আমাদের পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দুগুলির একটি হিসাবে কাজ করবে। এটিকে বিন্দু A হতে দিন। O এবং A বিন্দুকে সরলরেখা দিয়ে সংযুক্ত করুন।

3. OA রেখার লম্ব O বিন্দু দিয়ে একটি রেখা আঁকুন। এই রেখাটি বৃত্ত রেখার সাথে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকে B বিন্দু হিসেবে চিহ্নিত করুন।

4. O এবং B বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের মাঝখানে, বিন্দু C তৈরি করুন।

5. এখন একটি বৃত্ত আঁকুন, যার কেন্দ্র হবে C বিন্দুতে এবং যেটি A বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাবে। OB রেখার সাথে এর ছেদটির স্থানটি হবে (এটি প্রথম বৃত্তের ভিতরে থাকবে) বিন্দু D হবে।

6. D এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্ত তৈরি করুন, যার কেন্দ্র হবে A-তে। মূল বৃত্তের সাথে এর সংযোগস্থলের স্থানগুলিকে E এবং F বিন্দু দিয়ে চিহ্নিত করতে হবে।

7. এখন একটি বৃত্ত তৈরি করুন, যার কেন্দ্র হবে E-তে। আপনাকে এটি করতে হবে যাতে এটি A এর মধ্য দিয়ে যায়। মূল বৃত্তের অন্য ছেদকে অবশ্যই নির্দেশ করতে হবে

8. অবশেষে, F বিন্দুকে কেন্দ্র করে A এর মাধ্যমে একটি বৃত্ত আঁকুন। H বিন্দু দিয়ে মূল বৃত্তের আরেকটি ছেদ চিহ্নিত করুন।

9. এখন এটি কেবলমাত্র A, E, G, H, F শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করতে রয়ে গেছে। আমাদের নিয়মিত পঞ্চভুজ প্রস্তুত হবে!

5.3। সোনার পেন্টাগন; ইউক্লিড নির্মাণ।

"সোনালী বিভাগ" এর একটি চমৎকার উদাহরণ হল একটি নিয়মিত পঞ্চভুজ - উত্তল এবং তারকা আকৃতির (চিত্র 5)।

একটি পেন্টাগ্রাম তৈরি করতে, আপনাকে একটি নিয়মিত পেন্টাগন তৈরি করতে হবে।

O কে বৃত্তের কেন্দ্র, A কে বৃত্তের একটি বিন্দু এবং E কে OA সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু হতে দিন। OA ব্যাসার্ধের লম্ব, O বিন্দুতে পুনরুদ্ধার করা হয়েছে, D বিন্দুতে বৃত্তের সাথে ছেদ করে। একটি কম্পাস ব্যবহার করে, ব্যাসের উপর CE = ED অংশটিকে চিহ্নিত করুন। একটি বৃত্তে খোদিত একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য হল DC। আমরা বৃত্তের উপর DC অংশগুলি আলাদা করে রাখি এবং একটি নিয়মিত পেন্টাগন আঁকার জন্য পাঁচটি পয়েন্ট পাই। আমরা পেন্টাগনের কোণগুলিকে একটি তির্যকের মাধ্যমে সংযুক্ত করি এবং একটি পেন্টাগ্রাম পাই। পঞ্চভুজের সমস্ত কর্ণ পরস্পরকে সোনালী অনুপাত দ্বারা সংযুক্ত অংশে বিভক্ত করে।

পঞ্চভুজ নক্ষত্রের প্রতিটি প্রান্ত একটি সোনালী ত্রিভুজ। এর দিকগুলি শীর্ষে 36° কোণ তৈরি করে এবং পাশের ভিত্তিটি সোনালী অংশের অনুপাতে এটিকে বিভক্ত করে।

এছাড়াও একটি সোনালী কিউবয়েড রয়েছে - এটি একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপযুক্ত প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্য 1.618, 1 এবং 0.618।

এখন এলিমেন্টে ইউক্লিডের দেওয়া প্রমাণ বিবেচনা করুন।

পরিধিকৃত বৃত্তের কেন্দ্র থেকে। চলো আমরা শুরু করি

সেগমেন্ট ABE, মাঝখানে বিভক্ত এবং

তাই AC = AE যাক। EBC এবং CEB সমান কোণ দ্বারা চিহ্নিত করুন। যেহেতু AC=AE, কোণ ACEও a এর সমান। উপপাদ্য যে একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180 ডিগ্রী আপনাকে কোণ ALL খুঁজে বের করতে দেয়: এটি 180-2a, এবং কোণ EAC হল 3a - 180। কিন্তু তারপর কোণ ABC হল 180-a। ত্রিভুজ ABC এর কোণগুলিকে সংক্ষিপ্ত করে আমরা পাই

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

যেখান থেকে 5a=360, তাই a=72।

সুতরাং, BEC ত্রিভুজের গোড়ার প্রতিটি কোণ উপরের কোণের দ্বিগুণ, 36 ডিগ্রির সমান। তাই, একটি নিয়মিত পেন্টাগন তৈরি করার জন্য, শুধুমাত্র E বিন্দুতে কেন্দ্র করে যেকোন বৃত্ত আঁকতে হবে, X বিন্দুতে EC এবং পাশে EB বিন্দু Y-তে ছেদ করে: রেখাংশ XY হল নিয়মিত পেন্টাগনের একটি বাহু যা বৃত্ত পুরো বৃত্তের চারপাশে যাওয়া, আপনি অন্য সব দিক খুঁজে পেতে পারেন।

আমরা এখন প্রমাণ করি যে AC=AE। ধরুন যে শীর্ষবিন্দু C একটি সরলরেখা রেখাংশ দ্বারা BE রেখাংশের মধ্যবিন্দু N এর সাথে সংযুক্ত। উল্লেখ্য যে যেহেতু CB = CE, তাহলে কোণ CNE একটি সমকোণ। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

তাই আমাদের আছে (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

সুতরাং, AC = ja = jAB = AE, যা প্রমাণ করতে হবে

5.4 আর্কিমিডিসের সর্পিল।

পর্যায়ক্রমে সোনালী আয়তক্ষেত্র থেকে অসীম পর্যন্ত বর্গক্ষেত্রগুলি কেটে, প্রতিবার একটি বৃত্তের এক চতুর্থাংশের সাথে বিপরীত বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করলে, আমরা একটি বরং মার্জিত বক্ররেখা পাই। প্রাচীন গ্রীক বিজ্ঞানী আর্কিমিডিস তার প্রতি প্রথম দৃষ্টি আকর্ষণ করেছিলেন, যার নাম তিনি বহন করেন। তিনি এটি অধ্যয়ন করেছিলেন এবং এই সর্পিল সমীকরণটি বের করেছিলেন।

বর্তমানে, আর্কিমিডিস সর্পিল প্রযুক্তিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

6. ফিবোনাচি সংখ্যা।

পিসা থেকে ইতালীয় গণিতবিদ লিওনার্দোর নাম, যিনি তার ডাকনাম ফিবোনাচ্চি (ফিবোনাচ্চি ফিলিয়াস বোনাচ্চির একটি সংক্ষিপ্ত রূপ, অর্থাৎ বোনাচ্চির পুত্র) দ্বারা বেশি পরিচিত, পরোক্ষভাবে সোনালি অনুপাতের সাথে যুক্ত।

1202 সালে তিনি "লিবার অ্যাবাকি" বইটি লিখেছেন, অর্থাৎ "অ্যাবাকাসের বই"। "Liber abacci" সেই সময়ের প্রায় সমস্ত পাটিগণিত এবং বীজগণিত জ্ঞান সম্বলিত একটি বিশাল কাজ এবং পরবর্তী কয়েক শতাব্দীতে পশ্চিম ইউরোপে গণিতের বিকাশে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছে। বিশেষ করে, এই বই থেকেই ইউরোপীয়রা হিন্দু ("আরবি") সংখ্যার সাথে পরিচিত হয়েছিল।

বইটিতে রিপোর্ট করা বিষয়বস্তু এই গ্রন্থের একটি উল্লেখযোগ্য অংশ তৈরি করে এমন অনেক সমস্যার উপর ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

এই ধরনের একটি সমস্যা বিবেচনা করুন:

এক জোড়া থেকে এক বছরে কত জোড়া খরগোশের জন্ম হয়?

কেউ এক জোড়া খরগোশকে একটি নির্দিষ্ট জায়গায়, চারদিকে দেয়াল দিয়ে ঘেরা, এই বছর কত জোড়া খরগোশের জন্ম হবে তা খুঁজে বের করার জন্য, যদি খরগোশের প্রকৃতি এমন হয় যে এক মাসে এক জোড়া খরগোশ। খরগোশ আরেকটি প্রজনন করবে, এবং খরগোশ তাদের জন্মের পর দ্বিতীয় মাস থেকে জন্ম দেয় "

এখন খরগোশ থেকে সংখ্যায় যাওয়া যাক এবং নিম্নলিখিত সংখ্যাগত ক্রম বিবেচনা করা যাক:

u 1, u 2 … u n

যেখানে প্রতিটি পদ আগের দুটির যোগফলের সমান, অর্থাৎ যেকোনো n>2 এর জন্য

u n \u003d u n -1 + u n -2।

এই ক্রমটি লক্ষণীয়ভাবে (আরো এবং আরও ধীরে ধীরে) কিছু ধ্রুবক সম্পর্কের দিকে ঝোঁক। যাইহোক, এই অনুপাতটি অযৌক্তিক, অর্থাৎ এটি ভগ্নাংশে দশমিক সংখ্যার অসীম, অপ্রত্যাশিত ক্রম সহ একটি সংখ্যা। এটা ঠিক প্রকাশ করা যায় না।

যদি ফিবোনাচি সিকোয়েন্সের যেকোন সদস্যকে তার পূর্ববর্তী একটি দ্বারা ভাগ করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, 13:8), ফলাফল হবে একটি মান যা অযৌক্তিক মান 1.61803398875 এর চারপাশে ওঠানামা করে... এবং কখনও কখনও এটি অতিক্রম করে, কখনও কখনও এটিতে পৌঁছায় না।

অনুক্রমের অ্যাসিম্পোটিক আচরণ, একটি অযৌক্তিক সংখ্যা Φ এর চারপাশে এর অনুপাতের স্যাঁতসেঁতে ওঠানামা আরও বোধগম্য হতে পারে যদি আমরা ক্রমটির প্রথম কয়েকটি পদের অনুপাত দেখাই। এই উদাহরণটি প্রথমটির সাথে দ্বিতীয় পদের সম্পর্ক দেখায়, তৃতীয়টির সাথে দ্বিতীয়টি, চতুর্থটির সাথে তৃতীয়টির এবং আরও অনেক কিছু:

1:1 = 1.0000, যা phi থেকে 0.6180 কম

2:1 = 2.0000, যা 0.3820 বেশি phi

3:2 = 1.5000, যা phi থেকে 0.1180 কম

5:3 = 1.6667, যা 0.0486 বেশি phi

8:5 = 1.6000, যা phi থেকে 0.0180 কম

আপনি যখন ফিবোনাচি সমষ্টি ক্রম বরাবর এগিয়ে যাবেন, প্রতিটি নতুন শব্দ পরবর্তী শব্দটিকে অপ্রাপ্য F-এর সাথে আরও বেশি করে আনুমানিকভাবে ভাগ করবে।

একজন ব্যক্তি অবচেতনভাবে ঐশ্বরিক অনুপাত খোঁজেন: এটি তার আরামের প্রয়োজন মেটাতে প্রয়োজন।

ফিবোনাচি সিকোয়েন্সের যেকোনো সদস্যকে পরেরটি দিয়ে ভাগ করার সময়, আমরা 1.618 (1: 1.618=0.618) এর পারস্পরিক সম্পর্ক পাই। কিন্তু এটি একটি খুব অস্বাভাবিক, এমনকি অসাধারণ ঘটনা। যেহেতু মূল অনুপাতটি একটি অসীম ভগ্নাংশ, তাই এই অনুপাতেরও কোন শেষ থাকা উচিত নয়।

প্রতিটি সংখ্যাকে তার পরের একটি দ্বারা ভাগ করলে, আমরা 0.382 সংখ্যাটি পাই

এইভাবে অনুপাত নির্বাচন করে, আমরা ফিবোনাচি সহগগুলির মূল সেটটি পাই: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236। আমরা 0.5 এর কথাও উল্লেখ করি। এগুলি সমস্ত প্রকৃতিতে এবং বিশেষ করে প্রযুক্তিগত বিশ্লেষণে একটি বিশেষ ভূমিকা পালন করে।

এখানে উল্লেখ্য যে, ফিবোনাচি শুধুমাত্র মানবজাতিকে তার অনুক্রমের কথা মনে করিয়ে দিয়েছিলেন, যেহেতু প্রাচীনকালে এটি গোল্ডেন সেকশন নামে পরিচিত ছিল।

সোনালি অনুপাত, যেমনটি আমরা দেখেছি, নিয়মিত পঞ্চভুজের সাথে সংযোগে উদ্ভূত হয়, তাই ফিবোনাচি সংখ্যাগুলি নিয়মিত পঞ্চভুজের সাথে সম্পর্কিত সমস্ত কিছুতে ভূমিকা পালন করে - উত্তল এবং তারকা আকৃতির।

ফিবোনাচি সিরিজটি শুধুমাত্র একটি গাণিতিক ঘটনা হিসেবেই থেকে যেতে পারত যদি এটা না হতো যে উদ্ভিদ ও প্রাণীজগতের সোনালী বিভাগের সকল গবেষক, শিল্পের উল্লেখ না করার জন্য, সর্বদাই এই সিরিজে সোনালী বিভাজন আইনের একটি গাণিতিক অভিব্যক্তি হিসেবে এসেছেন। . বিজ্ঞানীরা সক্রিয়ভাবে ফিবোনাচি সংখ্যার তত্ত্ব এবং সোনালী অনুপাতের বিকাশ অব্যাহত রেখেছিলেন। Yu. Matiyasevich ফিবোনাচি সংখ্যা ব্যবহার করে হিলবার্টের 10 তম সমস্যার সমাধান করেন (ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের সমাধানে)। ফিবোনাচি সংখ্যা এবং গোল্ডেন সেকশন ব্যবহার করে বেশ কয়েকটি সাইবারনেটিক সমস্যা (অনুসন্ধান তত্ত্ব, গেমস, প্রোগ্রামিং) সমাধানের জন্য মার্জিত পদ্ধতি রয়েছে। মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে, এমনকি গাণিতিক ফিবোনাচি অ্যাসোসিয়েশন তৈরি করা হচ্ছে, যা 1963 সাল থেকে একটি বিশেষ জার্নাল প্রকাশ করছে।

এই ক্ষেত্রের একটি অর্জন হল সাধারণ ফিবোনাচি সংখ্যা এবং সাধারণীকৃত সোনালী অনুপাতের আবিষ্কার। ফিবোনাচি সিরিজ (1, 1, 2, 3, 5, 8) এবং তার দ্বারা আবিষ্কৃত সংখ্যার "বাইনারী" সিরিজ 1, 2, 4, 8, 16 ... (অর্থাৎ, n পর্যন্ত সংখ্যার একটি সিরিজ , যেখানে n-এর চেয়ে কম যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যাকে এই সিরিজের কিছু সংখ্যার যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে) প্রথম নজরে, তারা সম্পূর্ণ আলাদা। কিন্তু তাদের নির্মাণের জন্য অ্যালগরিদমগুলি একে অপরের সাথে খুব মিল: প্রথম ক্ষেত্রে, প্রতিটি সংখ্যা হল আগের সংখ্যার যোগফল 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., দ্বিতীয়টিতে - এটি আগের দুটি সংখ্যার যোগফল 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... এটা কি সম্ভব? একটি সাধারণ গাণিতিক সূত্র খুঁজে বের করতে যা থেকে এবং " বাইনারি সিরিজ এবং ফিবোনাচি সিরিজ?

প্রকৃতপক্ষে, আসুন একটি সাংখ্যিক প্যারামিটার S সেট করি, যা যেকোনো মান নিতে পারে: 0, 1, 2, 3, 4, 5... পূর্বের থেকে S ধাপে আলাদা করা হয়েছে। যদি আমরা এই সিরিজের nম সদস্যটিকে S (n) দ্বারা চিহ্নিত করি, তাহলে আমরা সাধারণ সূত্র S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1) পাই।

স্পষ্টতই, S = 0 এর সাথে, এই সূত্র থেকে আমরা একটি "বাইনারী" সিরিজ পাব, S = 1 সহ - একটি ফিবোনাচি সিরিজ, S = 2, 3, 4 সহ সংখ্যার নতুন সিরিজ, যাকে S-Fibonacci সংখ্যা বলা হয়।

সাধারণ ভাষায়, সোনালী S-অনুপাত হল সোনালী S-বিভাগ সমীকরণ x S+1 – x S – 1 = 0 এর ধনাত্মক মূল।

এটা দেখানো সহজ যে S = 0 এ, সেগমেন্টের অর্ধেক ভাগ পাওয়া যায়, এবং S = 1-এ, পরিচিত শাস্ত্রীয় সোনালী অনুপাত পাওয়া যায়।

নিখুঁত গাণিতিক নির্ভুলতার সাথে প্রতিবেশী ফিবোনাচি এস-সংখ্যাগুলির অনুপাতগুলি সোনালী এস-অনুপাতের সীমার সাথে মিলে যায়! অর্থাৎ, গোল্ডেন এস-সেকশনগুলো হল ফিবোনাচি এস-সংখ্যার সংখ্যাগত পরিবর্তন।

7. শিল্পে গোল্ডেন বিভাগ।

7.1। পেইন্টিং মধ্যে গোল্ডেন অধ্যায়.

পেইন্টিংয়ের "সোনালী বিভাগ" এর উদাহরণগুলির দিকে ফিরে, কেউ লিওনার্দো দা ভিঞ্চির কাজের প্রতি মনোযোগ আটকাতে পারে না। তার পরিচয় ইতিহাসের অন্যতম রহস্য। লিওনার্দো দ্য ভিঞ্চি নিজেই বলেছিলেন: "যে গণিতবিদ নন এমন কেউ আমার রচনাগুলি পড়ার সাহস করবেন না।"

এতে কোন সন্দেহ নেই যে লিওনার্দো দা ভিঞ্চি একজন মহান শিল্পী ছিলেন, তার সমসাময়িকরা ইতিমধ্যেই এটিকে স্বীকৃতি দিয়েছে, কিন্তু তার ব্যক্তিত্ব এবং ক্রিয়াকলাপগুলি রহস্যে আবৃত থাকবে, যেহেতু তিনি তার ধারণাগুলির একটি সুসংগত উপস্থাপনা নয়, কেবলমাত্র অসংখ্য হাতে লেখা স্কেচ, নোট। যেটা বলে "দুই পৃথিবীর সবাই।"

মোনা লিসা (জিওকোন্ডা) এর প্রতিকৃতিটি বহু বছর ধরে গবেষকদের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছে, যারা দেখেছেন যে অঙ্কনের রচনাটি সোনালী ত্রিভুজগুলির উপর ভিত্তি করে যা একটি নিয়মিত তারকা পেন্টাগনের অংশ।

এছাড়াও, শিশকিনের পেইন্টিংয়ে সোনার অংশের অনুপাত দেখা যায়। I. I. Shishkin-এর এই বিখ্যাত পেইন্টিংটিতে, সোনালী অংশের মোটিফগুলি স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান। উজ্জ্বলভাবে আলোকিত পাইন গাছটি (পুরোভূমিতে দাঁড়িয়ে) ছবির দৈর্ঘ্যকে সোনালি অনুপাত অনুসারে ভাগ করে। পাইন গাছের ডানদিকে সূর্যের আলোয় আলোকিত একটি টিলা। এটি গোল্ডেন রেশিও অনুযায়ী ছবির ডান দিককে অনুভূমিকভাবে ভাগ করে।

রাফেলের পেইন্টিং "দ্য ম্যাসাকার অফ দ্য ইনোসেন্টস" সোনালী অনুপাতের আরেকটি উপাদান দেখায় - সোনার সর্পিল। রাফেলের প্রস্তুতিমূলক স্কেচে, রচনাটির শব্দার্থিক কেন্দ্র থেকে লাল রেখা আঁকা হয়েছে - যে বিন্দুতে যোদ্ধার আঙ্গুলগুলি শিশুর গোড়ালির চারপাশে বন্ধ ছিল - শিশুটির চিত্রের সাথে, মহিলাটি তাকে নিজের সাথে আঁকড়ে ধরে আছে, যোদ্ধা উত্থাপিত তলোয়ার এবং তারপর স্কেচ ডান দিকে একই দলের পরিসংখ্যান বরাবর. রাফায়েল সোনার সর্পিল তৈরি করেছিলেন নাকি অনুভব করেছিলেন তা জানা যায়নি।

টি. কুক স্যান্ড্রো বোটিসেলি "দ্য বার্থ অফ ভেনাস" এর চিত্রকর্ম বিশ্লেষণ করার সময় সোনালি অংশ ব্যবহার করেছিলেন।

7.2। সোনালী অংশের পিরামিড।

পিরামিডের চিকিৎসা বৈশিষ্ট্য, বিশেষ করে সোনালী অংশ, ব্যাপকভাবে পরিচিত। কিছু সাধারণ মতামত অনুসারে, যে ঘরে এই জাতীয় পিরামিড অবস্থিত তা আরও বড় বলে মনে হয় এবং বাতাসটি আরও স্বচ্ছ। স্বপ্নগুলি আরও ভালভাবে মনে রাখা শুরু করে। এটাও জানা যায় যে সোনালী অনুপাত স্থাপত্য ও ভাস্কর্যে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হত। এর একটি উদাহরণ ছিল: গ্রীসের প্যানথিয়ন এবং পার্থেনন, স্থপতি বাজেনভ এবং মালেভিচের ভবন

8. উপসংহার।

এটা অবশ্যই বলা উচিত যে সোনালী অনুপাতের আমাদের জীবনে একটি দুর্দান্ত প্রয়োগ রয়েছে।

এটি প্রমাণিত হয়েছে যে বেল্ট লাইন দ্বারা মানবদেহ সুবর্ণ অনুপাতের অনুপাতে বিভক্ত।

নটিলাসের খোল সোনালি সর্পিল মত পেঁচানো হয়।

সুবর্ণ অনুপাতের জন্য ধন্যবাদ, মঙ্গল এবং বৃহস্পতির মধ্যে গ্রহাণু বেল্ট আবিষ্কৃত হয়েছিল - অনুপাতে সেখানে অন্য গ্রহ থাকা উচিত।

সোনালী বিভাজনের সাথে বিভক্ত করার বিন্দুতে স্ট্রিংটির উত্তেজনা স্ট্রিংটিকে কম্পন করবে না, অর্থাৎ, এটি ক্ষতিপূরণের বিন্দু।

ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক শক্তির উত্স সহ বিমানে, সোনালী অংশের অনুপাত সহ আয়তক্ষেত্রাকার কোষগুলি তৈরি করা হয়।

জিওকোন্ডা সোনার ত্রিভুজগুলির উপর নির্মিত, সোনার সর্পিল রাফেলের চিত্রকর্ম "নিরপরাধের গণহত্যা" এ উপস্থিত রয়েছে।

স্যান্ড্রো বোটিসেলি "দ্য বার্থ অফ ভেনাস" এর চিত্রকর্মে অনুপাত পাওয়া গেছে

এথেন্সের প্যানথিয়ন এবং পার্থেনন, স্থপতি বাজেনভ এবং মালেভিচের ভবন সহ সোনালি অনুপাত ব্যবহার করে নির্মিত অনেক স্থাপত্য স্মৃতিস্তম্ভ রয়েছে।

জন কেপলার, যিনি পাঁচ শতাব্দী আগে বেঁচে ছিলেন, এই বিবৃতির মালিক: "জ্যামিতির দুটি মহান ধন আছে। প্রথমটি হল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য, দ্বিতীয়টি হল চরম এবং গড় অনুপাতে একটি অংশের বিভাজন"

গ্রন্থপঞ্জি

1. ডি. পিডো। জ্যামিতি এবং শিল্প। - এম.: মীর, 1979।

2. জার্নাল "বিজ্ঞান ও প্রযুক্তি"

3. ম্যাগাজিন "কোয়ান্টাম", 1973, নং 8।

4. জার্নাল "স্কুলে গণিত", 1994, নং 2; 3 নং.

5. কোভালেভ এফ.ভি. পেইন্টিং মধ্যে গোল্ডেন অধ্যায়. কে।: ভিছা স্কুল, 1989।

6. Stakhov A. সোনালী অনুপাতের কোড।

7. ভোরোবিভ এন.এন. "ফিবোনাচি সংখ্যা" - এম.: নাউকা 1964

8. "গণিত - শিশুদের জন্য এনসাইক্লোপিডিয়া" এম.: অবন্ত +, 1998

9. ইন্টারনেট থেকে তথ্য।

ফিবোনাচি ম্যাট্রিক্স এবং তথাকথিত "গোল্ডেন" ম্যাট্রিক্স, নতুন কম্পিউটার পাটিগণিত, একটি নতুন কোডিং তত্ত্ব এবং ক্রিপ্টোগ্রাফির একটি নতুন তত্ত্ব। নতুন বিজ্ঞানের সারমর্ম হল গোল্ডেন বিভাগের দৃষ্টিকোণ থেকে সমস্ত গণিতের সংশোধন, পিথাগোরাস থেকে শুরু করে, যা অবশ্যই তত্ত্বে নতুন এবং অবশ্যই খুব আকর্ষণীয় গাণিতিক ফলাফল অন্তর্ভুক্ত করবে। ব্যবহারিক পরিভাষায় - "সোনালি" কম্পিউটারাইজেশন। এবং কারণ...

এই ফলাফল প্রভাবিত হবে না. সোনালী অনুপাতের ভিত্তি হল পুনরাবৃত্ত অনুপাত 4 এবং 6 এর একটি অপরিবর্তনীয়। এটি সোনালী বিভাগের "স্থায়িত্ব" দেখায়, জীবন্ত বস্তুর সংগঠনের অন্যতম নীতি। এছাড়াও, সোনালী অনুপাতের ভিত্তি হল দুটি বহিরাগত পুনরাবৃত্তিমূলক ক্রমগুলির সমাধান (চিত্র 4.) চিত্র। 4 পুনরাবৃত্ত ফিবোনাচি সিকোয়েন্স তাই...

কান হল j5 এবং কান থেকে মুকুটের দূরত্ব হল j6। সুতরাং, এই মূর্তিটিতে আমরা j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6 হর সহ একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি দেখতে পাচ্ছি। (চিত্র 9)। সুতরাং, সোনালী অনুপাত প্রাচীন গ্রীসের শিল্পের মৌলিক নীতিগুলির মধ্যে একটি। হৃদয় এবং মস্তিষ্কের ছন্দ। মানুষের হৃদয় সমানভাবে স্পন্দিত হয় - বিশ্রামে প্রতি মিনিটে প্রায় 60 বীট। হৃৎপিণ্ড পিস্টনের মতো সংকুচিত হয়...