একটি বৃত্তের স্পর্শক। সম্পূর্ণ পাঠ - জ্ঞান হাইপারমার্কেট। স্পর্শক রেখা একটি স্পর্শক কোণ কি?

1. বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের চেয়ে বেশি।এই ক্ষেত্রে, লাইনের সমস্ত বিন্দু বৃত্তের বাইরে থাকে।


2. বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের চেয়ে কম।এই ক্ষেত্রে, সরলরেখার বৃত্তের ভিতরে বিন্দু রয়েছে এবং যেহেতু সরলরেখাটি উভয় দিকে অসীম, তাই এটি বৃত্তটি 2 বিন্দুতে ছেদ করেছে।


3. বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান।সরলরেখা স্পর্শক।

যে সরলরেখায় একটি বৃত্তের সাথে শুধুমাত্র একটি বিন্দুর মিল রয়েছে তাকে বলা হয় স্পর্শকবৃত্তে

এই ক্ষেত্রে সাধারণ পয়েন্ট বলা হয় যোগাযোগ করার কারণ.

একটি স্পর্শকের অস্তিত্বের সম্ভাবনা, এবং তদ্ব্যতীত, স্পর্শক বিন্দু হিসাবে বৃত্তের যেকোনো বিন্দুর মাধ্যমে আঁকা, নিম্নলিখিত উপপাদ্য দ্বারা প্রমাণিত হয়।

উপপাদ্য। যদি একটি রেখা বৃত্তের উপর থাকা ব্যাসার্ধের শেষ প্রান্তে লম্ব হয়, তাহলে এই রেখাটি একটি স্পর্শক।

ধরা যাক O (ডুমুর) কিছু বৃত্তের কেন্দ্র এবং OA এর ব্যাসার্ধের কিছু। এর শেষ A এর মাধ্যমে আমরা MN ^ OA আঁকি।

এটি প্রমাণ করতে হবে যে লাইন MN স্পর্শক, অর্থাৎ যে এই লাইনে বৃত্তের সাথে শুধুমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু A আছে।

আসুন আমরা বিপরীতটি অনুমান করি: বৃত্তের সাথে MN-এর আরেকটি সাধারণ বিন্দু আছে, উদাহরণস্বরূপ B।

তাহলে সরলরেখা OB হবে একটি ব্যাসার্ধ এবং তাই OA এর সমান।

কিন্তু এটি হতে পারে না, যেহেতু OA যদি লম্ব হয়, তাহলে OB অবশ্যই MN-এর দিকে ঝুঁকতে হবে এবং ঝোঁকটি লম্বের চেয়ে বড়।

কথোপকথন উপপাদ্য। যদি একটি রেখা একটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তাহলে স্পর্শক বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধটি তার সাথে লম্ব।

MN কে বৃত্তের স্পর্শক, A হল স্পর্শক বিন্দু এবং O বৃত্তের কেন্দ্র।

এটা প্রমাণ করতে হবে যে OA^MN।

এর বিপরীত অনুমান করা যাক, i.e. আসুন আমরা ধরে নিই যে O থেকে MN তে নেমে যাওয়া লম্বটি OA হবে না, তবে অন্য কিছু লাইন, উদাহরণস্বরূপ, OB।

BC = AB ধরি এবং OS করি।

তাহলে OA এবং OS ঝুঁকবে, লম্ব OB থেকে সমানভাবে দূরে থাকবে, এবং সেইজন্য OS = OA।

এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে বৃত্তে, আমাদের অনুমানকে বিবেচনায় নিয়ে, MN লাইনের সাথে দুটি সাধারণ বিন্দু থাকবে: A এবং C, অর্থাৎ MN একটি স্পর্শক হবে না, কিন্তু একটি সেক্যান্ট হবে, যা শর্তের বিরোধিতা করে।

পরিণতি। একটি বৃত্তের যে কোনো প্রদত্ত বিন্দুর মাধ্যমে একজন এই বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকতে পারে, এবং শুধুমাত্র একটি, যেহেতু এই বিন্দুর মধ্য দিয়ে একজন লম্ব আঁকতে পারে এবং শুধুমাত্র একটি ব্যাসার্ধে টানা যায়।

উপপাদ্য। একটি জ্যার সমান্তরাল একটি স্পর্শক যোগাযোগের বিন্দুতে জ্যা দ্বারা সংযোজিত চাপকে অর্ধেক ভাগ করে।

সরলরেখা AB (fig.) বিন্দু M-এ বৃত্তটিকে স্পর্শ করুন এবং জ্যা CD-এর সমান্তরাল হতে দিন।

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ÈCM = ÈMD.

স্পর্শক বিন্দুর মধ্য দিয়ে ME ব্যাস আঁকলে, আমরা পাই: EM ^ AB, এবং তাই EM ^ CB।

অতএব CM=MD.

টাস্ক।একটি প্রদত্ত বিন্দুর মাধ্যমে একটি প্রদত্ত বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকুন।

যদি একটি প্রদত্ত বিন্দু একটি বৃত্তের উপর থাকে, তাহলে এর মধ্য দিয়ে একটি ব্যাসার্ধ এবং ব্যাসার্ধের শেষ দিয়ে একটি লম্ব সরলরেখা আঁকুন। এই রেখাটি হবে কাঙ্খিত স্পর্শক।

বৃত্তের বাইরে বিন্দু দেওয়া হলে কেসটি বিবেচনা করা যাক।

বিন্দু A এর মধ্য দিয়ে O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে স্পর্শক আঁকতে হবে (চিত্র)।

এটি করার জন্য, বিন্দু A থেকে, কেন্দ্র হিসাবে, আমরা AO ব্যাসার্ধ সহ একটি চাপ বর্ণনা করি এবং O বিন্দু থেকে কেন্দ্র হিসাবে, আমরা প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসের সমান একটি কম্পাস খোলার সাহায্যে এই চাপটিকে B এবং C বিন্দুতে ছেদ করি। .

তারপরে জ্যাগুলি OB এবং OS আঁকার পরে, আমরা বিন্দু A কে D এবং E বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করি, যেখানে এই জ্যাগুলি প্রদত্ত বৃত্তের সাথে ছেদ করে।

AD এবং AE রেখাগুলি O বৃত্তের স্পর্শক।

প্রকৃতপক্ষে, নির্মাণ থেকে এটি স্পষ্ট যে পাইপ AOB এবং AOC হল সমদ্বিবাহু (AO = AB = AC) যার ভিত্তি OB এবং OS বৃত্ত O এর ব্যাসের সমান।

যেহেতু OD এবং OE হল ব্যাসার্ধ, তাহলে D হল OB-এর মাঝখানে, এবং E হল OS-এর মাঝামাঝি, যার মানে হল AD এবং AE হল সমদ্বিবাহু পাইপের ঘাঁটির দিকে টানা মধ্যমা, এবং তাই এই ঘাঁটির উপর লম্ব। যদি DA এবং EA রেখাগুলি রেডিআই OD এবং OE এর সাথে লম্ব হয় তবে তারা স্পর্শক।

পরিণতি। একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে আঁকা দুটি স্পর্শক সমান এবং এই বিন্দুটিকে কেন্দ্রের সাথে সংযুক্ত সরলরেখার সাথে সমান কোণ গঠন করে।

সুতরাং AD=AE এবং ÐOAD = ÐOAE (চিত্র), কারণ আয়তক্ষেত্রাকার tr-ki AOD এবং AOE, একটি সাধারণ কর্ণ AO এবং সমান পা OD এবং OE (ব্যাসার্ধ হিসাবে), সমান।

উল্লেখ্য যে এখানে "ট্যানজেন্ট" শব্দের অর্থ একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে যোগাযোগের বিন্দু পর্যন্ত প্রকৃত "স্পর্শক অংশ"।

টাস্ক।প্রদত্ত সরলরেখা AB (চিত্র) এর সমান্তরাল একটি প্রদত্ত বৃত্তে একটি স্পর্শক আঁকুন।

আমরা একটি লম্ব OS কে কেন্দ্র O থেকে AB-তে নামিয়ে দেই এবং D বিন্দুর মধ্য দিয়ে, যেখানে এই লম্ব বৃত্তটিকে ছেদ করে, EF আঁকুন || এবি

আমরা যে স্পর্শক খুঁজছি সেটি হবে EF।

প্রকৃতপক্ষে, যেহেতু OS ^ AB এবং EF || AB, তারপর EF ^ OD, এবং বৃত্তের উপর শুয়ে থাকা ব্যাসার্ধের প্রান্তে লম্ব রেখাটি একটি স্পর্শক।

টাস্ক। O এবং O 1 (চিত্র) দুটি বৃত্তে একটি সাধারণ স্পর্শক আঁকুন।

বিশ্লেষণ. ধরা যাক যে সমস্যাটি সমাধান হয়ে গেছে।

ধরা যাক AB সাধারণ স্পর্শক, A এবং B স্পর্শকের বিন্দু।

স্পষ্টতই, যদি আমরা এই বিন্দুগুলির একটি খুঁজে পাই, উদাহরণস্বরূপ, A, তাহলে আমরা সহজেই অন্যটি খুঁজে পেতে পারি।

আসুন আমরা রেডিআই OA এবং O 1 B আঁকি। এই ব্যাসার্ধগুলি, সাধারণ স্পর্শকের লম্ব হওয়ায় একে অপরের সমান্তরাল।

অতএব, যদি O 1 থেকে আমরা O 1 C আঁকি || BA, তাহলে পাইপলাইন OCO 1 শীর্ষবিন্দু C এ আয়তক্ষেত্রাকার হবে।

ফলস্বরূপ, যদি আমরা O থেকে একটি বৃত্তকে ব্যাসার্ধ OS সহ কেন্দ্র হিসাবে বর্ণনা করি, তবে এটি C বিন্দুতে সরলরেখা O 1 C স্পর্শ করবে।

এই অক্জিলিয়ারী বৃত্তের ব্যাসার্ধ পরিচিত: এটি OA – CA = OA - O 1 B এর সমান, i.e. এটি এই বৃত্তের ব্যাসার্ধের পার্থক্যের সমান।

নির্মাণ.কেন্দ্র O থেকে আমরা এই ব্যাসার্ধের পার্থক্যের সমান ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্ত বর্ণনা করি।

O 1 থেকে আমরা এই বৃত্তে একটি স্পর্শক O 1 C আঁকি (আগের সমস্যায় নির্দেশিত পদ্ধতিতে)।

স্পর্শক বিন্দু C এর মাধ্যমে আমরা ব্যাসার্ধ OS আঁকি এবং A বিন্দুতে প্রদত্ত বৃত্তের সাথে মিলিত না হওয়া পর্যন্ত এটি চালিয়ে যাই। অবশেষে, A থেকে আমরা CO 1 এর সমান্তরাল AB আঁকি।

ঠিক একইভাবে আমরা আরেকটি সাধারণ স্পর্শক A 1 B 1 (চিত্র) তৈরি করতে পারি। সরাসরি লাইন AB এবং A 1 B 1 বলা হয় বহিরাগতসাধারণ স্পর্শক।

আপনি আরো দুই খরচ করতে পারেন অভ্যন্তরীণস্পর্শক নিম্নরূপ:

বিশ্লেষণ।ধরা যাক যে সমস্যাটি সমাধান হয়েছে (চিত্র)। AB কে কাঙ্ক্ষিত স্পর্শক হতে দিন।

আসুন আমরা ব্যাসার্ধ OA এবং O 1 B-কে স্পর্শক বিন্দু A এবং B-তে আঁকি। যেহেতু এই ব্যাসার্ধ দুটিই সাধারণ স্পর্শকের লম্ব, তাই তারা একে অপরের সমান্তরাল।

অতএব, যদি O 1 থেকে আমরা O 1 C আঁকি || BA এবং C বিন্দুতে OA চালিয়ে যান, তাহলে OS হবে O 1 C-তে লম্ব।

ফলস্বরূপ, কেন্দ্র হিসাবে O বিন্দু থেকে ব্যাসার্ধ OS দ্বারা বর্ণিত বৃত্তটি C বিন্দুতে সরলরেখা O 1 C স্পর্শ করবে।

এই অক্জিলিয়ারী বৃত্তের ব্যাসার্ধ পরিচিত: এটি OA+AC = OA+O 1 B এর সমান, অর্থাৎ এটি প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।

নির্মাণ.কেন্দ্র হিসাবে O থেকে, আমরা এই ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্ত বর্ণনা করি।

O 1 থেকে আমরা এই বৃত্তে একটি স্পর্শক O 1 C আঁকি।

আমরা যোগাযোগের বিন্দু সিকে O এর সাথে সংযুক্ত করি।

অবশেষে, বিন্দু A এর মাধ্যমে, যেটিতে OS প্রদত্ত বৃত্তটিকে ছেদ করে, আমরা AB = O 1 C আঁকি।

একইভাবে আমরা আরেকটি অভ্যন্তরীণ স্পর্শক A 1 B 1 তৈরি করতে পারি।

স্পর্শকের সাধারণ সংজ্ঞা

একটি স্পর্শক AT এবং কিছু সেকেন্ট AM বিন্দু A এর মাধ্যমে একটি কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে আঁকা যাক (চিত্র)।

আসুন এই সেকেন্টটি বিন্দু A এর চারপাশে ঘোরান যাতে অন্য ছেদ বিন্দু Bটি A এর কাছাকাছি চলে যায়।

তারপর লম্ব OD, কেন্দ্র থেকে সেকেন্ট পর্যন্ত নামানো, ব্যাসার্ধ OA এর কাছে আরও বেশি করে, এবং কোণ AOD যেকোন ছোট কোণের চেয়ে কম হতে পারে।

সেক্যান্ট এবং স্পর্শক দ্বারা গঠিত কোণ MAT কোণ AOD এর সমান (তাদের বাহুর লম্বতার কারণে)।

অতএব, বিন্দু B অনির্দিষ্টকালের জন্য A এর কাছে গেলে, কোণ MATও ইচ্ছাকৃতভাবে ছোট হয়ে যেতে পারে।

এটি এই মত অন্যান্য শব্দে প্রকাশ করা হয়:

একটি স্পর্শক হল সীমিত অবস্থান যেখানে স্পর্শকতার একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে আঁকা একটি সেকেন্ট প্রবণতা রাখে যখন ছেদটির দ্বিতীয় বিন্দুটি স্পর্শকতার বিন্দুতে অনির্দিষ্টকালের জন্য আসে।

যেকোনো বক্ররেখা সম্পর্কে কথা বলার সময় এই বৈশিষ্ট্যটিকে স্পর্শকের সংজ্ঞা হিসাবে নেওয়া হয়।

এইভাবে, বক্ররেখা AB (চিত্র) এর স্পর্শক হল সীমিত অবস্থান MT যেখানে সেকেন্ট MN প্রবণ হয় যখন ছেদ বিন্দু P সীমা ছাড়াই M এর কাছে আসে।

লক্ষ্য করুন যে এইভাবে সংজ্ঞায়িত স্পর্শকটি বক্ররেখার সাথে একাধিক সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে (যেমন চিত্রে দেখা যায়)।

সরাসরি ( এমএন), বৃত্তের সাথে শুধুমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু আছে ( ক), বলা হয় স্পর্শক বৃত্তে.

এই ক্ষেত্রে সাধারণ পয়েন্ট বলা হয় যোগাযোগ করার কারণ.

অস্তিত্বের সম্ভাবনা স্পর্শক, এবং, তদ্ব্যতীত, যেকোনো বিন্দুর মাধ্যমে আঁকা বৃত্ত, স্পর্শকতার একটি বিন্দু হিসাবে, নিম্নরূপ প্রমাণিত হয় উপপাদ্য.

এটা চালাতে প্রয়োজন হতে দিন বৃত্তকেন্দ্রের সাথে ও স্পর্শকবিন্দু মাধ্যমে ক. বিন্দু থেকে এটি করতে ক,কেন্দ্র থেকে আমরা বর্ণনা করি চাপব্যাসার্ধ A.O., এবং বিন্দু থেকে ওকেন্দ্র হিসাবে, আমরা এই চাপটিকে বিন্দুতে ছেদ করি খএবং সঙ্গেপ্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসের সমান একটি কম্পাস দ্রবণ।

তারপর খরচ করার পর chords ও.বি.এবং ওএস, বিন্দু সংযোগ করুন কবিন্দু সহ ডিএবং ই, যেখানে এই কর্ডগুলি একটি প্রদত্ত বৃত্তের সাথে ছেদ করে। সরাসরি বিজ্ঞাপনএবং এ.ই. - একটি বৃত্তের স্পর্শক ও. প্রকৃতপক্ষে, নির্মাণ থেকে এটা স্পষ্ট যে ত্রিভুজ AOBএবং এওসি সমদ্বিবাহু(AO = AB = AC) ঘাঁটি সহ ও.বি.এবং ওএস, বৃত্তের ব্যাসের সমান ও.

কারণ ও.ডি.এবং ও.ই.- radii, তারপর ডি - মধ্যম ও.বি., ক ই- মাঝখানে ওএস, মানে বিজ্ঞাপনএবং এ.ই. - মধ্যকার, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ঘাঁটির দিকে টানা, এবং তাই এই ঘাঁটির সাথে লম্ব। সোজা হলে ডি.এ.এবং ই.এ.ব্যাসার্ধের লম্ব ও.ডি.এবং ও.ই., তারপর তারা - স্পর্শক.

পরিণতি।

একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে আঁকা দুটি স্পর্শক সমান এবং এই বিন্দুটিকে কেন্দ্রের সাথে সংযুক্ত করে সরলরেখার সাথে সমান কোণ তৈরি করে.

তাই AD=AEএবং ∠ OAD = ∠OAEকারণ সমকোণী ত্রিভুজ AODএবং AOE, একটি সাধারণ থাকার কর্ণ A.O.এবং সমান পাগুলো ও.ডি.এবং ও.ই.(radii হিসাবে), সমান। উল্লেখ্য যে এখানে "স্পর্শক" শব্দের প্রকৃত অর্থ হল " স্পর্শক অংশ"প্রদত্ত বিন্দু থেকে যোগাযোগের বিন্দুতে।

একটি সরলরেখা যার একটি বৃত্তের সাথে শুধুমাত্র একটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে তাকে বৃত্তের স্পর্শক বলা হয় এবং তাদের সাধারণ বিন্দুকে রেখা এবং বৃত্তের স্পর্শক বিন্দু বলা হয়।

উপপাদ্য (বৃত্তের স্পর্শকের বৈশিষ্ট্য)

একটি বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শক বিন্দুতে টানা ব্যাসার্ধের লম্ব।

দেওয়া

A - যোগাযোগের বিন্দু

প্রমাণ করুন:p OA

প্রমাণ।

দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণ করা যাক.

আমরা ধরে নিই যে p হল OA, তাহলে OA সরলরেখা p এর দিকে ঝুঁকে আছে।

যদি O বিন্দু থেকে আমরা সরলরেখা p-এ একটি লম্ব OH আঁকি, তাহলে এর দৈর্ঘ্য ব্যাসার্ধের চেয়ে কম হবে: OH< ОА=r

আমরা দেখতে পাই যে বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরল রেখা p (OH) এর দূরত্ব ব্যাসার্ধ (r) এর চেয়ে কম, যার অর্থ সরল রেখা p সেকেন্ট (অর্থাৎ, বৃত্তের সাথে এটির দুটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে), যা উপপাদ্যের শর্তের সাথে বিরোধিতা করে (p হল স্পর্শক)।

এর মানে হল যে অনুমানটি ভুল, তাই সরল রেখা p OA-তে লম্ব।

উপপাদ্য (একটি বিন্দু থেকে আঁকা স্পর্শক অংশের বৈশিষ্ট্য)

একটি বিন্দু থেকে আঁকা একটি বৃত্তের স্পর্শকগুলির অংশগুলি সমান এবং এই বিন্দু এবং বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা সহ সমান কোণ তৈরি করে।

দেওয়া: প্রায়. (ও; আর)

AB এবং AC চারপাশের স্পর্শক। (ও; আর)

প্রমাণ করুন: AB=AC

প্রমাণ

1) OB AB, OS AC, স্পর্শক বিন্দুতে আঁকা রেডিআই হিসাবে (স্পর্শক বৈশিষ্ট্য)

2) tr বিবেচনা করুন। AOB, ইত্যাদি AOS - p/u

জেএসসি - সাধারণ

OB=OS (রেডিআই হিসাবে)

এর মানে ABO = AOC (কর্ণ এবং পা দ্বারা)। তাই,

AB = AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

উপপাদ্য (স্পর্শী পরীক্ষা)

যদি একটি রেখা একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি ব্যাসার্ধের শেষের মধ্য দিয়ে যায় এবং এই ব্যাসার্ধের লম্ব হয়, তবে এটি একটি স্পর্শক।

দেওয়া: OA – বৃত্তের ব্যাসার্ধ

প্রমাণ করুন: p- বৃত্তের স্পর্শক

প্রমাণ

OA - বৃত্তের ব্যাসার্ধ (শর্ত অনুযায়ী) (OA=r)

OA - O থেকে সরলরেখা p পর্যন্ত লম্ব (OA = d)

এর মানে হল r=OA=d, যার মানে সরলরেখা p এবং বৃত্তের একটি সাধারণ বিন্দু আছে।

অতএব, লাইন p বৃত্তের স্পর্শক। ইত্যাদি

3. chords এবং secants বৈশিষ্ট্য.

স্পর্শক এবং সেক্যান্টের বৈশিষ্ট্য

সংজ্ঞা

পরিধিএকটি বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুগুলির অবস্থান, যাকে বৃত্তের কেন্দ্র বলে।

একটি বৃত্তের দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী রেখাখণ্ডকে বলা হয় জ্যা(চিত্রে এটি একটি সেগমেন্ট)। বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া জ্যাকে বলা হয় ব্যাসচেনাশোনা

1. স্পর্শকটি যোগাযোগের বিন্দুতে টানা ব্যাসার্ধের লম্ব।

2. একটি বিন্দু থেকে আঁকা স্পর্শক অংশগুলি সমান।

3. যদি একটি স্পর্শক এবং একটি সেকেন্ট বৃত্তের বাইরে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে আঁকা হয়, তাহলে স্পর্শকটির দৈর্ঘ্যের বর্গটি সেকেন্ট এবং এর বাইরের অংশের গুণফলের সমান।

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এটি জ্যামিতিক সমস্যা যা আবেদনকারীদের, স্নাতক এবং গাণিতিক অলিম্পিয়াডে অংশগ্রহণকারীদের জন্য অসুবিধা সৃষ্টি করে। আপনি যদি 2010 ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার পরিসংখ্যান দেখেন, আপনি দেখতে পাবেন যে প্রায় 12% অংশগ্রহণকারী জ্যামিতিক সমস্যা C4 শুরু করেছিলেন, এবং শুধুমাত্র 0.2% অংশগ্রহণকারীদের একটি পূর্ণ স্কোর পেয়েছিল এবং সাধারণভাবে সমস্যাটি পরিণত হয়েছিল প্রস্তাবিত সকলের মধ্যে সবচেয়ে কঠিন।

স্পষ্টতই, যত তাড়াতাড়ি আমরা স্কুলছাত্রীদের সমস্যা সমাধানের সুন্দর বা অপ্রত্যাশিত উপায়গুলি অফার করি, তাদের আগ্রহী এবং গভীরভাবে এবং দীর্ঘ সময়ের জন্য মুগ্ধ হওয়ার সম্ভাবনা তত বেশি। কিন্তু 7 তম গ্রেড স্তরে আকর্ষণীয় এবং জটিল সমস্যাগুলি খুঁজে পাওয়া কতটা কঠিন, যখন জ্যামিতির পদ্ধতিগত অধ্যয়ন সবে শুরু হচ্ছে। গণিতে আগ্রহী একজন শিক্ষার্থীকে কী দেওয়া যেতে পারে যিনি কেবল ত্রিভুজের সমতার লক্ষণ এবং সন্নিহিত এবং উল্লম্ব কোণের বৈশিষ্ট্যগুলি জানেন? যাইহোক, কেউ একটি বৃত্তের সাথে একটি স্পর্শক ধারণাটি প্রবর্তন করতে পারে, একটি সরল রেখা হিসাবে যার বৃত্তের সাথে একটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে; অনুমান করুন যে যোগাযোগের বিন্দুতে টানা ব্যাসার্ধটি স্পর্শকের সাথে লম্ব। অবশ্যই, দুটি বৃত্ত এবং তাদের সাথে সাধারণ স্পর্শকগুলির বিন্যাসের সমস্ত সম্ভাব্য ক্ষেত্রে বিবেচনা করা উচিত, যা শূন্য থেকে চার পর্যন্ত আঁকা যেতে পারে। নীচে প্রস্তাবিত উপপাদ্যগুলি প্রমাণ করে, আপনি সপ্তম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের জন্য সমস্যাগুলির সেট উল্লেখযোগ্যভাবে প্রসারিত করতে পারেন। একই সময়ে, গুরুত্বপূর্ণ বা সহজভাবে আকর্ষণীয় এবং বিনোদনমূলক তথ্য প্রমাণ করুন। অধিকন্তু, যেহেতু অনেক বিবৃতি স্কুলের পাঠ্যপুস্তকে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি, সেগুলি বৃত্তের ক্লাসে এবং প্ল্যানিমেট্রি পুনরাবৃত্তি করার সময় স্নাতকদের সাথে আলোচনা করা যেতে পারে। এই তথ্য গত শিক্ষাবর্ষের প্রাসঙ্গিক হতে পরিণত. যেহেতু অনেকগুলি ডায়গনিস্টিক কাজ এবং ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার কাজ নিজেই একটি সমস্যা রয়েছে যার সমাধানের জন্য নীচে প্রমাণিত স্পর্শক বিভাগের সম্পত্তি ব্যবহার করা প্রয়োজন।

টি 1 থেকে আঁকা একটি বৃত্তের স্পর্শকের সেগমেন্ট
এক বিন্দুর সমান (চিত্র 1)

এটি হল সেই উপপাদ্য যা আপনি প্রথমে সপ্তম শ্রেণির শিক্ষার্থীদের সাথে পরিচয় করিয়ে দিতে পারেন।
প্রমাণের প্রক্রিয়ায়, আমরা সমকোণী ত্রিভুজের সমতার চিহ্ন ব্যবহার করেছি এবং উপসংহারে পৌঁছেছি যে বৃত্তের কেন্দ্রটি কোণের দ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত। বিএসএ.
পথে, আমরা মনে রেখেছিলাম যে একটি কোণের দ্বিখণ্ডক হল কোণের অভ্যন্তরীণ অঞ্চলের বিন্দুগুলির অবস্থান, এটির দিক থেকে সমান দূরত্বে। তুচ্ছ সমস্যা থেকে অনেক দূরে সমাধান এই তথ্যগুলির উপর ভিত্তি করে, এমনকি যারা জ্যামিতি অধ্যয়ন শুরু করেছে তাদের কাছেও অ্যাক্সেসযোগ্য।

1. কোণ দ্বিখণ্ডক ক, ভিতরেএবং সঙ্গেউত্তল চতুর্ভুজ এ বি সি ডিএক বিন্দুতে ছেদ করুন। রশ্মি এবিএবং ডিসিএকটি বিন্দুতে ছেদ করুন ই, এবং রশ্মি
সূর্যএবং বিজ্ঞাপনবিন্দুতে চ. প্রমাণ করুন যে একটি অ-উত্তল চতুর্ভুজ AECFবিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্যের যোগফল সমান।

সমাধান (চিত্র 2)।দিন সম্পর্কিত– এই দ্বিখন্ডের ছেদ বিন্দু। তারপর সম্পর্কিতচতুর্ভুজের সব দিক থেকে সমান দূরত্ব এ বি সি ডি, এটাই
একটি চতুর্ভুজে খোদাই করা একটি বৃত্তের কেন্দ্র। উপপাদ্য দ্বারা 1 নিম্নলিখিত সমতা সত্য: এআর = এ.কে., ইআর = ই.পি., F.T. = FK. চলুন বাম এবং ডান পাশের পদটি পদ দ্বারা যোগ করি এবং সঠিক সমতা পাই:

(এআর + ইআর) + F.T. = (এ.কে. +FK) + ই.পি.; এ.ই. + (F.C. + সি.টি.) = এ.এফ. + (ই ইউ + পিসি) কারণ ST = আরএস, যে এ.ই + F.C. = এ.এফ. + ই ইউ, যা প্রমাণ করা প্রয়োজন ছিল.

আসুন আমরা একটি অস্বাভাবিক সূত্রের সাথে একটি সমস্যা বিবেচনা করি, যার সমাধানের জন্য উপপাদ্যটি জানা যথেষ্ট 1 .

2. আছে n-একটি ত্রিভুজ যার বাহুগুলি ক্রমানুসারে 1, 2, 3, ..., n, কোন বৃত্তে খোদাই করা যায়?

সমাধান। এই কথা বলা যাক n- gon বিদ্যমান। ক 1 ক 2 =1, …, ক n-1 ক n= n– 1,ক n ক 1 = n. খ 1 , …, খ n - যোগাযোগের সংশ্লিষ্ট পয়েন্ট। তারপর উপপাদ্য 1 দ্বারা ক 1 খ 1 = ক 1 খ n< 1, n – 1 < ক n খ n< nস্পর্শক অংশগুলির বৈশিষ্ট্য দ্বারা ক n খ n= ক n খ n-1। কিন্তু, ক n খ n-1< ক n-1 ক n= n - 1. দ্বন্দ্ব। অতএব না n- সমস্যার শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে।

টি 2একটি চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুর সমষ্টি সম্পর্কে বর্ণিত
বৃত্তগুলি সমান (চিত্র 3)

স্কুলছাত্ররা, একটি নিয়ম হিসাবে, বর্ণিত চতুর্ভুজের এই সম্পত্তিটি সহজেই প্রমাণ করে। উপপাদ্য প্রমাণ করার পর 1 , এটা একটি প্রশিক্ষণ ব্যায়াম. আমরা এই সত্যটিকে সাধারণীকরণ করতে পারি - একটি সীমাবদ্ধ জোড় ত্রিভুজের বাহুর সমষ্টি, এক বাহু দিয়ে নেওয়া, সমান। উদাহরণস্বরূপ, একটি ষড়ভুজের জন্য ABCDEFডান AB + CD + EF = BC + DE + FA।

সমাধান (চিত্র 1). যেহেতু চতুর্ভুজ ABEF এবং ECDF চক্রাকারে, তাহলে উপপাদ্য 2 P ABEF = 2(AB + EF) এবং P ECDF = 2(CD + EF), শর্ত অনুসারে

P ABEF – P ECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2p। AB – CD = p. AB = a + p.

সমাধান (চিত্র 5)।উপপাদ্য 1 দ্বারা MV = MX এবং RS = RH.অতএব, ত্রিভুজের পরিধি এএমআরসেগমেন্টের যোগফলের সমান এবিএবং এসি।বা একটি ত্রিভুজের জন্য বৃত্তে টানা দ্বিগুণ স্পর্শক এএমআর . MOP কোণের মান অর্ধেক কোণ দ্বারা পরিমাপ করা হয় ভিওএস, যা বিন্দুর পছন্দের উপর নির্ভর করে না এক্স.

সমাধান (চিত্র 6)। পদ্ধতি এক (বীজগণিত)। দিন AK = AN = x,তারপর BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x। AC = AN + NC,তারপর আমরা এর জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করতে পারি x: b = x + (a – c + x)।কোথায় .

পদ্ধতি দুই (জ্যামিতিক)। আসুন চিত্রটি দেখি। সমান স্পর্শকগুলির অংশগুলি, একবারে একটি নেওয়া, অর্ধ-ঘের পর্যন্ত যোগ করুন
ত্রিভুজ লাল এবং সবুজ একটি দিক তৈরি করে ক.তারপর সেগমেন্ট আমরা আগ্রহী x = p – a.অবশ্যই, প্রাপ্ত ফলাফল কাকতালীয়.

. জেড

4. পা সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজে খোদিত একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ খুঁজুন ক, খএবং কর্ণ সঙ্গে. সমাধান (চিত্র 8)। টিঠিক আছে কিভাবে OMCN -বর্গক্ষেত্র, তাহলে খোদাই করা বৃত্তের ব্যাসার্ধ স্পর্শক রেখাংশ CN এর সমান। .

5. প্রমাণ করুন যে ত্রিভুজের বাহুর সাথে উৎকীর্ণ এবং বৃত্তের স্পর্শক বিন্দুগুলি এই বাহুর মাঝখানে প্রতিসম।

সমাধান (চিত্র 9)।মনে রাখবেন AK হল একটি ত্রিভুজের জন্য বৃত্তের একটি স্পর্শক অংশ এবিসিসূত্র অনুযায়ী (2) . ভিএম- লাইনের অংশ একটি ত্রিভুজের জন্য বৃত্তের স্পর্শক এবিসিসূত্র অনুযায়ী (1) . AK = VM,এবং এই পয়েন্ট মানে কে এবং এমপাশের মাঝখানে থেকে সমান দূরত্ব এবি, Q.E.D.

6. দুটি সাধারণ বাহ্যিক স্পর্শক এবং একটি অভ্যন্তরীণ স্পর্শক দুটি বৃত্তে টানা হয়। অভ্যন্তরীণ স্পর্শক বিন্দুতে বহিরাগত স্পর্শকগুলিকে ছেদ করে ক, বিএবং বিন্দুতে বৃত্ত স্পর্শ করে ক ঘএবং 1 তে।প্রমাণ কর যে AA 1 = BB 1।

সমাধান (চিত্র 10)। থামো... সিদ্ধান্ত নেওয়ার কি আছে? এটি আগের সমস্যার একটি ভিন্ন সূত্র মাত্র। স্পষ্টতই, একটি বৃত্ত খোদাই করা এবং অন্যটি একটি নির্দিষ্ট ত্রিভুজের জন্য বৃত্তাকার এবিসিএবং সেগমেন্ট এএ 1 এবং বিবি 1সেগমেন্টের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ এ.কেএবং ভিএমকাজ 5। এটি লক্ষণীয় যে স্কুলছাত্রদের জন্য অল-রাশিয়ান গণিত অলিম্পিয়াডে প্রস্তাবিত সমস্যাটি এমন একটি সুস্পষ্ট উপায়ে সমাধান করা হয়েছে।

7. ট্রাভার্সালের ক্রম অনুসারে পঞ্চভুজের বাহুগুলি হল 5, 6, 10, 7, 8। প্রমাণ করুন যে এই পঞ্চভুজে একটি বৃত্ত খোদাই করা যাবে না।

সমাধান (চিত্র 11). ধরুন একটি পেন্টাগনে ABCDEআপনি একটি বৃত্ত লিখতে পারেন। তাছাড়া দলগুলো এবি, B.C., সিডি, ডি.ইএবং ই.এযথাক্রমে 5, 6, 10, 7 এবং 8 এর সমান। আসুন ক্রমানুসারে স্পর্শক বিন্দু চিহ্নিত করি- চ, জি, এইচ, এমএবং এন. সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য যাক এ.এফ.সমান এক্স.

তারপর বি ফল. = FD – এ.এফ. = 5 – এক্স = বি.জি.. জি.সি. = B.C. – বি.জি. = = 6 – (5 – এক্স) = 1 + এক্স = সিএইচ. এবং তাই: এইচডি HD = ডিএম = 9 – এক্স; আমাকে. = EN = এক্স – 2, একটি = 10 – এক্স.

কিন্তু, এ.এফ. = একটি. অর্থাৎ 10টি - এক্স = এক্স; এক্স= 5. তবে, স্পর্শক অংশ এ.এফ.পাশ সমান করতে পারে না এবি. ফলস্বরূপ দ্বন্দ্ব প্রমাণ করে যে একটি প্রদত্ত পঞ্চভুজে একটি বৃত্ত খোদাই করা যায় না।

8. একটি বৃত্ত একটি ষড়ভুজে খোদাই করা আছে; প্রদক্ষিণের ক্রম অনুসারে এর বাহুগুলি হল 1, 2, 3, 4, 5। ষষ্ঠ বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজুন।

সমাধান। অবশ্যই, আমরা একটি স্পর্শক সেগমেন্ট হিসাবে মনোনীত করতে পারি এক্স, আগের সমস্যার মতো, একটি সমীকরণ তৈরি করুন এবং উত্তর পান। কিন্তু, উপপাদ্যের জন্য একটি নোট ব্যবহার করা অনেক বেশি দক্ষ এবং কার্যকর 2 : একটি পরিধিকৃত ষড়ভুজের বাহুর সমষ্টি, একে অপরের মধ্য দিয়ে নেওয়া, সমান।

তারপর 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + এক্স, কোথায় এক্স- অজানা ষষ্ঠ দিক, এক্স = 3.

সমাধান (চিত্র 12). যেহেতু সমস্ত বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা, তাই সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের ভগ্নাংশ সমান বিটি, বি.পি., ডিএম, ডিএন, এ.কে.এবং AT. আমাদের আছে AT + টেলিভিশন= 1, এবং সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের ভগ্নাংশ ATএবং টিবিসমান. এটা তখনই সম্ভব যখন AT + টেলিভিশন= 0.5। উপপাদ্য দ্বারা 1 ভিটি + ভিআর.
মানে, ভিআর= 0.5। উল্লেখ্য যে শর্ত সিডি= 3টি দাবিহীন বলে প্রমাণিত হয়েছে। স্পষ্টতই, সমস্যার লেখকরা অন্য কিছু সমাধান ধরে নিয়েছিলেন। উত্তর: 0.5।

10. একটি চতুর্ভুজ মধ্যে ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5।ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্ত এবিডিএবং সিবিডিএকটি অংশ স্পর্শ করুন বিডিপয়েন্ট এ এমএবং এনযথাক্রমে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এমএন

সমাধান (চিত্র 13)। MN = DN – DM।ত্রিভুজের জন্য সূত্র (1) অনুযায়ী ডিবিএএবং ডিবিসিসেই অনুযায়ী, আমাদের আছে:

11. একটি চতুর্ভুজ মধ্যে এ বি সি ডিআপনি একটি বৃত্ত লিখতে পারেন। ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্ত এবিডিএবং সিবিডি radii আছে আরএবং rযথাক্রমে এই বৃত্তের কেন্দ্রগুলির মধ্যে দূরত্ব খুঁজুন।

সমাধান (চিত্র 13)। যেহেতু শর্ত দ্বারা চতুর্ভুজ এ বি সি ডিউৎকীর্ণ, উপপাদ্য দ্বারা 2 আমাদের আছে: AB + DC = AD + BC.আগের সমস্যা সমাধানের ধারণাটি ব্যবহার করা যাক। . এর মানে হল যে সেগমেন্টের সাথে বৃত্তের যোগাযোগের বিন্দু ডিএমমেলে বৃত্তের কেন্দ্রগুলির মধ্যে দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান। উত্তর: R+r.

প্রকৃতপক্ষে, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে শর্তটি একটি চতুর্ভুজ এ বি সি ডিআপনি একটি বৃত্ত লিখতে পারেন, শর্তের সমতুল্য - একটি উত্তল চতুর্ভুজে এ বি সি ডিত্রিভুজ খোদাই করা বৃত্ত এবিসিএবং এডিসিএকে অপরকে স্পর্শ করুন। বিপরীত সত্য।

নিম্নলিখিত সমস্যাটিতে এই দুটি পারস্পরিক বিপরীত বিবৃতি প্রমাণ করার প্রস্তাব করা হয়েছে, যা এটির একটি সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে।

12. একটি উত্তল চতুর্ভুজে এ বি সি ডি (চাল 14) ত্রিভুজে খোদিত বৃত্ত এবিসিএবং এডিসিএকে অপরকে স্পর্শ করুন। প্রমাণ করুন যে বৃত্তগুলি ত্রিভুজে উৎকীর্ণ এবিডিএবং বিডিসিএছাড়াও একে অপরকে স্পর্শ করুন।

13. একটি ত্রিভুজে এবিসিদলগুলোর সাথে ক, খএবং গপাশে সূর্যবিন্দু চিহ্নিত ডিযাতে বৃত্ত ত্রিভুজ মধ্যে খোদাই করা হয় এবিডিএবং এসিডিএকটি অংশ স্পর্শ করুন বিজ্ঞাপনএক পর্যায়ে. সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর বিডি.

সমাধান (চিত্র 15)। ত্রিভুজের জন্য সূত্র (1) প্রয়োগ করা যাক এডিসিএবং A.D.B., গণনা করা ডিএমদুই

প্রস্থান, ডি- পাশের সাথে যোগাযোগের বিন্দু সূর্যএকটি ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্ত এবিসি. বিপরীতটি সত্য: যদি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু বিপরীত দিকের একটি খোদাই করা বৃত্তের স্পর্শক বিন্দুর সাথে সংযুক্ত থাকে, তবে ফলস্বরূপ ত্রিভুজগুলিতে খোদাই করা বৃত্তগুলি একে অপরকে স্পর্শ করে।

14. কেন্দ্র সম্পর্কিত 1 , সম্পর্কিত 2 এবং সম্পর্কিত 3 একই ব্যাসার্ধের তিনটি ছেদবিহীন বৃত্ত একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত। পয়েন্ট থেকে সম্পর্কিত 1 , সম্পর্কিত 2 , সম্পর্কিত 3, এই বৃত্তের স্পর্শকগুলি চিত্রে দেখানো হিসাবে আঁকা হয়েছে।

এটি জানা যায় যে এই স্পর্শকগুলি, ছেদ করে, একটি উত্তল ষড়ভুজ তৈরি করে, যার পার্শ্বগুলি লাল এবং নীল রঙে আঁকা হয়। প্রমাণ কর যে লাল অংশের দৈর্ঘ্যের যোগফল নীল অংশের দৈর্ঘ্যের সমষ্টির সমান।

সমাধান (চিত্র 16)। প্রদত্ত চেনাশোনাগুলির সমান ব্যাসার্ধ রয়েছে তা কীভাবে ব্যবহার করবেন তা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ। উল্লেখ্য যে সেগমেন্ট বি.আরএবং ডিএমসমান, যা সমকোণী ত্রিভুজের সমতা থেকে অনুসরণ করে সম্পর্কিত 1 বি.আরএবং ও 2 বি.এম.. একইভাবে ডি.এল. = ডি.পি., এফএন = FK. আমরা পদ অনুসারে সমতা পদ যোগ করি, তারপর শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকগুলির অভিন্ন অংশগুলির ফলে যোগফল থেকে বিয়োগ করি ক, সঙ্গে, এবং ইষড়ভুজ ABCDEF: এআরএবং এ.কে., সি.এল.এবং সেমি., ENএবং ই.পি.. আমরা যা প্রয়োজন তা পাই।

উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য XII আন্তর্জাতিক গাণিতিক টুর্নামেন্ট "A. N. Kolmogorov এর মেমরিতে কাপ"-এ প্রস্তাবিত স্টেরিওমেট্রিতে একটি সমস্যার উদাহরণ এখানে দেওয়া হল।

16. একটি পঞ্চভুজ পিরামিড দেওয়া হয়েছে SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .একটি গোলক আছে w,যা পিরামিডের সমস্ত প্রান্ত এবং অন্য একটি গোলককে স্পর্শ করে w 1,যা বেসের সব দিক স্পর্শ করে A 1 A 2 A 3 A 4 A 5এবং পার্শ্বীয় পাঁজরের ধারাবাহিকতা SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5বেস শীর্ষ ছাড়িয়ে. প্রমাণ করুন যে পিরামিডের শীর্ষটি ভিত্তির শীর্ষবিন্দু থেকে সমান দূরত্বে অবস্থিত। (বেরলভ এস.এল., কার্পভ ডি.ভি.)

17. ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা। ডায়াগনস্টিক কাজ 12/8/2009, P–4।একটি trapezoid দেওয়া এ বি সি ডি, যার ভিত্তি BC = 44,বিজ্ঞাপন = 100, AB = CD= 35. রেখার স্পর্শক বৃত্ত বিজ্ঞাপনএবং A.C., পাশ স্পর্শ করে সিডিবিন্দুতে কে. সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর সি.কে.বিডিসি এবং বিডিএ, পার্শ্ব স্পর্শ ভিডিপয়েন্ট এ ইএবং চ. সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর ই.এফ..

সমাধান। দুটি ক্ষেত্রে সম্ভব (চিত্র 20 এবং চিত্র 21)। সূত্র (1) ব্যবহার করে আমরা অংশগুলির দৈর্ঘ্য খুঁজে পাই ডি.ইএবং ডিএফ.

প্রথম ক্ষেত্রে বিজ্ঞাপন = 0,1এসি, সিডি = 0,9A.C.. দ্বিতীয়টিতে - বিজ্ঞাপন = 0,125এসি, সিডি = 1,125A.C.. আমরা ডেটা প্রতিস্থাপন করি এবং উত্তর পাই: 4.6 বা 5.5।

স্বাধীন সমাধানের জন্য সমস্যা/

1. একটি বৃত্তের চারপাশে ঘেরা একটি সমদ্বিবাহু ট্র্যাপিজয়েডের পরিধি সমান 2 ঘষা।বৃহত্তর ভিত্তির উপর ট্র্যাপিজয়েডের তির্যকটির অভিক্ষেপ খুঁজুন। (1/2r)

2. ওপেন ব্যাঙ্ক অফ ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার গণিতের সমস্যা। AT 4। একটি ত্রিভুজে খোদাই করা একটি বৃত্তে ABC (চিত্র 22),তিনটি স্পর্শক আঁকা হয়। কাটা ত্রিভুজের পরিসীমা হল 6, 8, 10। এই ত্রিভুজের পরিধি নির্ণয় করুন। (24)

3. একটি ত্রিভুজ মধ্যে এবিসিবৃত্ত খোদাই করা হয়। MN -বৃত্তের স্পর্শক, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15।ত্রিভুজের পরিধি নির্ণয় কর MNC. (12)

4. একটি বর্গক্ষেত্রে খোদিত একটি বৃত্তে a পাশে, একটি স্পর্শক আঁকা হয় যা এর দুটি বাহুকে ছেদ করে। কাটা ত্রিভুজের পরিধি খুঁজুন। (ক)

5. একটি বৃত্ত একটি পেন্টাগনের মধ্যে খোদাই করা আছে যার পাশে রয়েছে ক, d, গ, dএবং e. যে সকল অংশে স্পর্শক বিন্দু সমান বাহুকে ভাগ করে সেগুলি খুঁজুন ক.

6. একটি বৃত্ত 6, 10 এবং 12 বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজে খোদাই করা আছে। একটি স্পর্শক বৃত্তে টানা হয় যাতে এটি দুটি দীর্ঘ বাহুকে ছেদ করে। কাটা ত্রিভুজের পরিধি খুঁজুন। (16)

7. সিডি- ত্রিভুজের মধ্যমা এবিসি. ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্ত এসিডিএবং বিসিডি, সেগমেন্ট স্পর্শ করুন সিডিপয়েন্ট এ এমএবং এন. অনুসন্ধান এমএন, যদি এসি – সূর্য = 2. (1)

8. একটি ত্রিভুজে এবিসিদলগুলোর সাথে ক, খএবং গপাশে সূর্যবিন্দু চিহ্নিত ডি. ত্রিভুজে খোদাই করা বৃত্তগুলিতে৷ এবিডিএবং এসিডি, একটি সাধারণ স্পর্শক ছেদ করে আঁকা হয় বিজ্ঞাপনবিন্দুতে এম. সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর এএম. (দৈর্ঘ্য এএমবিন্দুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে না ডিএবং
সমান ½ ( c + b – a))

9. ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজে খোদাই করা আছে ক. বৃত্ত স্পর্শকের ব্যাসার্ধের কর্ণ এবং পায়ের সম্প্রসারণ সমান আর.কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ( R-a)

10. একটি ত্রিভুজে এবিসিপক্ষের দৈর্ঘ্য জানা যায়: এবি = সঙ্গে, এসি = খ, সূর্য = ক. একটি ত্রিভুজে খোদাই করা একটি বৃত্ত একটি পাশে স্পর্শ করে এবিবিন্দুতে গ ঘ. বৃত্তটি পাশের সম্প্রসারণকে স্পর্শ করে এবিপ্রতি পয়েন্ট কবিন্দুতে গ 2. সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর গ 1 গ 2. (খ)

11. ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য খুঁজুন 3 সেমি ব্যাসার্ধের খোদাই করা বৃত্তের স্পর্শক বিন্দু দ্বারা বিভক্ত 4 সেমি এবং 3 সেমি (একটি সমকোণী ত্রিভুজে 7, 24 এবং 25 সেমি) অংশে

12. সোরোস অলিম্পিয়াড 1996, 2য় রাউন্ড, 11 তম গ্রেড. একটি ত্রিভুজ দেওয়া হয়েছে এবিসি, যার পাশে বিন্দু চিহ্নিত করা হয়েছে A 1, B 1, C 1. ত্রিভুজে উৎকীর্ণ বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1সমান r. একটি ত্রিভুজে খোদিত একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ A 1 B 1 C 1সমান আর. একটি ত্রিভুজে খোদিত একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ খুঁজুন এবিসি. (আর +r).

সমস্যা 4-8 গর্ডিন আরকে-এর "জ্যামিতি" বই থেকে নেওয়া হয়েছে। প্ল্যানমিট্রি।" মস্কো। পাবলিশিং হাউস MCNMO। 2004।

একটি বৃত্তের স্পর্শক ধারণা

একটি সরলরেখার সাপেক্ষে একটি বৃত্তের তিনটি সম্ভাব্য আপেক্ষিক অবস্থান রয়েছে:

যদি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের চেয়ে কম হয়, তাহলে সরলরেখাটির বৃত্তের সাথে ছেদ করার দুটি বিন্দু রয়েছে।

যদি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হয়, তাহলে সরলরেখাটির বৃত্তের সাথে ছেদ করার দুটি বিন্দু রয়েছে।

যদি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের চেয়ে বেশি হয়, তাহলে সরলরেখাটির বৃত্তের সাথে ছেদ করার দুটি বিন্দু রয়েছে।

আসুন এখন একটি বৃত্তের স্পর্শক রেখার ধারণাটি চালু করি।

সংজ্ঞা 1

একটি বৃত্তের স্পর্শক হল একটি রেখা যার সাথে একটি ছেদ বিন্দু রয়েছে।

বৃত্ত এবং স্পর্শকের সাধারণ বিন্দুকে স্পর্শক বিন্দু বলা হয় (চিত্র 1)।

চিত্র 1. একটি বৃত্তের স্পর্শক

একটি বৃত্তের স্পর্শক ধারণার সাথে সম্পর্কিত উপপাদ্য

উপপাদ্য ঘ

স্পর্শক সম্পত্তি উপপাদ্য: একটি বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শক বিন্দুতে টানা ব্যাসার্ধের লম্ব।

প্রমাণ।

কেন্দ্র $O$ সহ একটি বৃত্ত বিবেচনা করুন। আসুন $A$ বিন্দুতে স্পর্শক $a$ আঁকি। $OA=r$ (চিত্র 2)।

আসুন প্রমাণ করি যে $a\bot r$

আমরা দ্বন্দ্ব দ্বারা উপপাদ্য প্রমাণ করব। ধরুন যে স্পর্শক $a$ বৃত্তের ব্যাসার্ধে লম্ব নয়।

চিত্র 2. উপপাদ্য 1 এর চিত্র

অর্থাৎ, $OA$ স্পর্শকের দিকে ঝুঁকে আছে। যেহেতু সরলরেখার লম্ব $a$ সবসময় একই সরলরেখার দিকে ঝুঁকে থাকা এক থেকে কম, তাই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের চেয়ে কম। আমরা জানি, এই ক্ষেত্রে সরলরেখার বৃত্তের সাথে ছেদ করার দুটি বিন্দু রয়েছে। যা স্পর্শকের সংজ্ঞার সাথে সাংঘর্ষিক।

অতএব, স্পর্শকটি বৃত্তের ব্যাসার্ধে লম্ব।

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

উপপাদ্য 2

স্পর্শক সম্পত্তি উপপাদ্যের কনভার্স: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের শেষের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখা ব্যাসার্ধের লম্ব হয়, তাহলে এই রেখাটি এই বৃত্তের স্পর্শক।

প্রমাণ।

সমস্যার শর্ত অনুসারে, আমাদের আছে যে ব্যাসার্ধ হল একটি লম্ব যা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে একটি প্রদত্ত সরলরেখায় আঁকা। অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সরলরেখার দূরত্ব ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। আমরা জানি, এই ক্ষেত্রে বৃত্তের এই রেখার সাথে ছেদ করার একটি মাত্র বিন্দু আছে। সংজ্ঞা 1 দ্বারা আমরা দেখতে পাই যে এই রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক।

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

উপপাদ্য 3

একটি বিন্দু থেকে আঁকা একটি বৃত্তের স্পর্শকগুলির অংশগুলি সমান এবং এই বিন্দু এবং বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখা সহ সমান কোণ তৈরি করে।

প্রমাণ।

$O$ বিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত দেওয়া যাক। বিন্দু $A$ (যা পুরো বৃত্তের উপর অবস্থিত) থেকে দুটি ভিন্ন স্পর্শক আঁকা হয়। যোগাযোগের বিন্দু থেকে যথাক্রমে $B$ এবং $C$ (চিত্র 3)।

আসুন প্রমাণ করি যে $\angle BAO=\angle CAO$ এবং $AB=AC$।

চিত্র 3. উপপাদ্য 3 এর চিত্র

উপপাদ্য 1 দ্বারা, আমাদের আছে:

অতএব, $ABO$ এবং $ACO$ ত্রিভুজ সমকোণী ত্রিভুজ। যেহেতু $OB=OC=r$, এবং কর্ণ $OA$ সাধারণ, তাই এই ত্রিভুজগুলি কর্ণ এবং পায়ে সমান।

তাই আমরা $\কোণ BAO=\angle CAO$ এবং $AB=AC$ পাই।

উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

একটি বৃত্তের স্পর্শক ধারণার একটি সমস্যার উদাহরণ

উদাহরণ 1

$O$ এবং ব্যাসার্ধ $r=3\ cm$ বিন্দুতে কেন্দ্র সহ একটি বৃত্ত দেওয়া হয়েছে। স্পর্শক $AC$ এর স্পর্শক বিন্দু $C$ আছে। $AO=4\ cm$। $AC$ খুঁজুন।

সমাধান।

আসুন প্রথমে চিত্রে সবকিছু চিত্রিত করা যাক (চিত্র 4)।

চিত্র 4।

যেহেতু $AC$ একটি স্পর্শক এবং $OC$ একটি ব্যাসার্ধ, তাহলে উপপাদ্য 1 দ্বারা, আমরা $\কোণ ACO=(90)^(()^\circ )$ পাই। আমরা দেখেছি যে $ACO$ ত্রিভুজটি আয়তক্ষেত্রাকার, যার অর্থ, পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, আমাদের আছে:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \