অনলাইনে জ্যামিতিক অগ্রগতি অসীমভাবে কমছে। GP এর প্রথম n সদস্যদের যোগফলের সূত্র। চক্রবৃদ্ধি সুদ গণনা করার জন্য সমস্যা

সংখ্যাগত ক্রম VI

§ l48. একটি অসীমভাবে হ্রাস করা জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল৷

এখন পর্যন্ত, যোগফলের কথা বলতে গিয়ে, আমরা সর্বদা ধরে নিয়েছি যে এই রাশিগুলিতে পদের সংখ্যা সসীম (উদাহরণস্বরূপ, 2, 15, 1000, ইত্যাদি)। কিন্তু কিছু সমস্যা (বিশেষ করে উচ্চতর গণিত) সমাধান করার সময়, একজনকে অসীম সংখ্যক পদের যোগফলের সাথে মোকাবিলা করতে হবে

S= ক 1 + ক 2 + ... + ক n + ... . (1)

এই পরিমাণ কি? সংজ্ঞানুসারে অসীম সংখ্যক পদের যোগফল ক 1 , ক 2 , ..., ক n , ...কে S যোগফলের সীমা বলা হয় n প্রথম পৃ সংখ্যা যখন পৃ -> ∞ :

S=S n = (ক 1 + ক 2 + ... + ক n ). (2)

সীমা (2), অবশ্যই, থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে। তদনুসারে, যোগফল (1) বিদ্যমান বা বিদ্যমান নেই বলা হয়।

প্রতিটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে যোগফল (1) বিদ্যমান কিনা তা কীভাবে খুঁজে বের করবেন? এই প্রশ্নের একটি সাধারণ সমাধান আমাদের প্রোগ্রামের সুযোগের বাইরে চলে যায়। যাইহোক, একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে আমাদের এখন বিবেচনা করতে হবে। আমরা সীমাহীনভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত জ্যামিতিক অগ্রগতির পদগুলির সমষ্টি সম্পর্কে কথা বলব।

দিন ক 1 , ক 1 q , ক 1 q 2, ... একটি অসীম হ্রাস জ্যামিতিক অগ্রগতি. এর মানে হল যে | q |< 1. Сумма первых পৃ এই অগ্রগতির সদস্যদের সমান

ভেরিয়েবলের সীমার মৌলিক উপপাদ্য থেকে (§ 136 দেখুন) আমরা পাই:

কিন্তু 1 = 1, ক q n = 0. অতএব

সুতরাং, অসীমভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল এই অগ্রগতির প্রথম পদের সমান এই অগ্রগতির হরকে এক বিয়োগ দ্বারা ভাগ করা হয়।

1) জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... হল

এবং একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল হল 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... সমান

2) একটি সাধারণ পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ 0.454545... একটি সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত হয়।

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য, আমরা এই ভগ্নাংশটিকে একটি অসীম যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করি:

এই সমতার ডান দিকটি হল অসীমভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত জ্যামিতিক অগ্রগতির সমষ্টি, যার প্রথম পদটি হল 45/100, এবং হর হল 1/100৷ এই জন্য

বর্ণিত পদ্ধতিতে, সাধারণ পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করার সাধারণ নিয়মও পাওয়া যেতে পারে (অধ্যায় II, § 38 দেখুন):

একটি সাধারণ পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে, আপনাকে নিম্নলিখিতভাবে এগিয়ে যেতে হবে: দশমিক ভগ্নাংশের পর্যায়টি লবটিতে এবং হর-এ রাখুন - একটি সংখ্যা যার মধ্যে নয়টি সংখ্যা যতবার আছে ততবার নেওয়া হয়েছে দশমিক ভগ্নাংশের।

3) মিশ্র পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশ 0.58333.... একটি সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত হয়।

আসুন এই ভগ্নাংশটিকে একটি অসীম যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করি:

এই সমতার ডানদিকে, 3/1000 থেকে শুরু হওয়া সমস্ত পদগুলি একটি অসীম হ্রাসকারী জ্যামিতিক অগ্রগতি গঠন করে, যার প্রথম পদটি হল 3/1000, এবং হর হল 1/10৷ এই জন্য

বর্ণিত পদ্ধতিতে, মিশ্র পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরের জন্য সাধারণ নিয়মও পাওয়া যেতে পারে (অধ্যায় II, § 38 দেখুন)। আমরা ইচ্ছাকৃতভাবে এটি এখানে অন্তর্ভুক্ত করি না। এই কষ্টকর নিয়ম মুখস্ত করার প্রয়োজন নেই। এটা জানা অনেক বেশি উপযোগী যে কোনো মিশ্র পর্যায়ক্রমিক ভগ্নাংশকে অসীমভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল এবং কিছু সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এবং সূত্র

একটি অসীম হ্রাস জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফলের জন্য, অবশ্যই, একজনকে অবশ্যই মনে রাখতে হবে।

একটি অনুশীলন হিসাবে, আমরা আপনাকে নীচের নং 995-1000 সমস্যাগুলি ছাড়াও, আবারও সমস্যা নং 301 § 38-এ ফিরে যাওয়ার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি।

অনুশীলন

995. অসীমভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত জ্যামিতিক অগ্রগতির সমষ্টিকে কী বলা হয়?

996. অসীমভাবে কমে যাওয়া জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল খুঁজুন:

997. কি মান জন্য এক্স অগ্রগতি

অসীমভাবে কমছে? এই ধরনের একটি অগ্রগতির যোগফল খুঁজুন.

998. একটি বাহু সহ একটি সমবাহু ত্রিভুজে ক একটি নতুন ত্রিভুজ তার বাহুর মধ্যবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে খোদাই করা হয়; এই ত্রিভুজটিতে একইভাবে একটি নতুন ত্রিভুজ খোদাই করা হয়েছে এবং একইভাবে বিজ্ঞাপন অসীম।

ক) এই সমস্ত ত্রিভুজের পরিধির সমষ্টি;

খ) তাদের এলাকার সমষ্টি।

999. একটি পাশ সহ একটি বর্গক্ষেত্রে ক একটি নতুন বর্গক্ষেত্র তার বাহুর মধ্যবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে খোদাই করা হয়; একটি বর্গক্ষেত্র এই বর্গক্ষেত্রে একইভাবে খোদাই করা হয়েছে, এবং তাই বিজ্ঞাপন অসীম। এই সমস্ত বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এবং তাদের ক্ষেত্রফলের যোগফল নির্ণয় কর।

1000. একটি অসীম হ্রাসকারী জ্যামিতিক অগ্রগতি তৈরি করুন, যেমন এর যোগফল 25/4 এর সমান এবং এর পদগুলির বর্গগুলির যোগফল 625/24 এর সমান।

একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি হল একটি সংখ্যাসূচক ক্রম, যার প্রথম পদটি অ-শূন্য, এবং প্রতিটি পরবর্তী পদ একই অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণিত পূর্ববর্তী পদের সমান।

জ্যামিতিক অগ্রগতির ধারণা

জ্যামিতিক অগ্রগতি b1,b2,b3, …, bn, … দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

জ্যামিতিক ত্রুটির যেকোনো পদের সাথে এর আগের পদের অনুপাত একই সংখ্যার সমান, অর্থাৎ, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. এটি একটি গাণিতিক অগ্রগতির সংজ্ঞা থেকে সরাসরি অনুসরণ করে। এই সংখ্যাটিকে জ্যামিতিক অগ্রগতির হর বলা হয়। সাধারণত জ্যামিতিক অগ্রগতির হরকে q অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

|q| এর জন্য একটি অসীম জ্যামিতিক অগ্রগতির সমষ্টি৷<1

একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি সেট করার একটি উপায় হল এর প্রথম পদ b1 এবং জ্যামিতিক ত্রুটি q এর হর সেট করা। উদাহরণস্বরূপ, b1=4, q=-2। এই দুটি শর্ত 4, -8, 16, -32, … এর জ্যামিতিক অগ্রগতি দেয়।

যদি q>0 (q 1 এর সমান না হয়), তাহলে অগ্রগতি একটি একঘেয়ে ক্রম। উদাহরণস্বরূপ, ক্রম, 2, 4,8,16,32, ... একটি একঘেয়ে ক্রমবর্ধমান ক্রম (b1=2, q=2)।

জ্যামিতিক ত্রুটিতে হর q=1 হলে, জ্যামিতিক অগ্রগতির সমস্ত সদস্য একে অপরের সমান হবে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, অগ্রগতি একটি ধ্রুবক ক্রম বলা হয়।

সংখ্যাসূচক ক্রম (bn) একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি হওয়ার জন্য, এটির প্রতিটি সদস্য, দ্বিতীয় থেকে শুরু করে, প্রতিবেশী সদস্যদের জ্যামিতিক গড় হওয়া আবশ্যক। অর্থাৎ, নিম্নলিখিত সমীকরণটি পূরণ করা প্রয়োজন
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), যেকোনো n>0 এর জন্য, যেখানে n প্রাকৃতিক সংখ্যা N এর সেটের অন্তর্গত।

এখন (Xn) রাখি - একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি। জ্যামিতিক অগ্রগতির হর q, |q|∞ সহ)।
এখন যদি আমরা S দ্বারা একটি অসীম জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল বোঝাই, তাহলে নিম্নলিখিত সূত্রটি ধরে থাকবে:
S=x1/(1-q)।

একটি সহজ উদাহরণ বিবেচনা করুন:

একটি অসীম জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... খুঁজুন।

S খুঁজে বের করতে, আমরা একটি অসীম গাণিতিক অগ্রগতির যোগফলের সূত্র ব্যবহার করি। |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

জ্যামিতিক অগ্রগতি নির্দেশিত হয় b1,b2,b3, …, bn, ….

একঘেয়ে এবং ধ্রুবক ক্রম

যদি q>0 (q 1 এর সমান না হয়), তাহলে অগ্রগতি হয় একঘেয়ে ক্রম।উদাহরণস্বরূপ, ক্রম, 2, 4,8,16,32, ... একটি একঘেয়ে ক্রমবর্ধমান ক্রম (b1=2, q=2)।

জ্যামিতিক ত্রুটিতে হর q=1 হলে, জ্যামিতিক অগ্রগতির সমস্ত সদস্য একে অপরের সমান হবে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, অগ্রগতি বলা হয় ধ্রুবক ক্রম।

জ্যামিতিক অগ্রগতির nম সদস্যের সূত্র

জ্যামিতিক অগ্রগতির নবম সদস্যের সূত্র হল:

bn=b1*q^(n-1),

যেখানে n প্রাকৃতিক সংখ্যা N এর সেটের অন্তর্গত।

জ্যামিতিক অগ্রগতির প্রথম n পদের যোগফলের সূত্র

জ্যামিতিক অগ্রগতির প্রথম n পদের যোগফলের সূত্র হল:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) যেখানে q 1 এর সমান নয়।

একটি সহজ উদাহরণ বিবেচনা করুন:

জ্যামিতিক অগ্রগতিতে b1=6, q=3, n=8 Sn খুঁজুন।

S8 খুঁজে বের করার জন্য, আমরা জ্যামিতিক অগ্রগতির প্রথম n পদের যোগফলের সূত্রটি ব্যবহার করি।

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680।

জ্যামিতিক অগ্রগতির নবম সদস্যের সূত্র একটি খুব সাধারণ জিনিস। অর্থ এবং সাধারণ উভয় ক্ষেত্রেই। কিন্তু নবম সদস্যের সূত্রের জন্য সব ধরণের সমস্যা রয়েছে - খুব আদিম থেকে বেশ গুরুতর। এবং আমাদের পরিচিতির প্রক্রিয়ায়, আমরা অবশ্যই তাদের উভয়কেই বিবেচনা করব। আচ্ছা, দেখা করা যাক?)

সুতরাং, শুরুর জন্য, আসলে সূত্রn

সেখানে তিনি আছেন:

খ n = খ 1 · q n -1

সূত্র হিসাবে সূত্র, অতিপ্রাকৃত কিছুই নয়। এটি অনুরূপ সূত্রের চেয়ে আরও সহজ এবং আরও কমপ্যাক্ট দেখায়। সূত্রের অর্থও সহজ, অনুভূত বুটের মতো।

এই সূত্রটি আপনাকে তার নম্বর দ্বারা জ্যামিতিক অগ্রগতির যে কোনও সদস্য খুঁজে পেতে অনুমতি দেয় " n".

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, অর্থটি একটি গাণিতিক অগ্রগতির সাথে একটি সম্পূর্ণ সাদৃশ্য। আমরা n সংখ্যাটি জানি - আমরা এই সংখ্যার অধীনে শব্দটিও গণনা করতে পারি। আমরা কি চাই. ক্রমানুসারে "q" দ্বারা বহু, বহুবার গুণ করা না। এই হল ব্যপার.)

আমি বুঝতে পারি যে অগ্রগতির সাথে কাজের এই স্তরে, সূত্রে অন্তর্ভুক্ত সমস্ত পরিমাণ ইতিমধ্যেই আপনার কাছে পরিষ্কার হওয়া উচিত, তবে আমি প্রতিটির পাঠোদ্ধার করা আমার কর্তব্য বলে মনে করি। শুধু ক্ষেত্রে.

তাহলে এবার চল:

খ 1 – প্রথমজ্যামিতিক অগ্রগতির সদস্য;

q – ;

n- সদস্য সংখ্যা;

খ n – nম (nম)জ্যামিতিক অগ্রগতির সদস্য।

এই সূত্রটি যেকোন জ্যামিতিক অগ্রগতির চারটি প্রধান প্যারামিটারকে সংযুক্ত করে - খn, খ 1 , qএবং n. এবং এই চারটি মূল পরিসংখ্যানকে ঘিরে, অগ্রগতিতে সমস্ত-সমস্ত কাজগুলি আবর্তিত হয়।

"এবং কিভাবে এটি প্রদর্শিত হয়?"- আমি একটি অদ্ভুত প্রশ্ন শুনতে ... প্রাথমিক! দেখো!

কিসের সমান দ্বিতীয়অগ্রগতি সদস্য? সমস্যা নেই! আমরা সরাসরি লিখি:

b 2 = b 1 q

আর তৃতীয় সদস্য? সমস্যাও না! আমরা দ্বিতীয় মেয়াদকে গুণ করি আবার চালুq.

এটার মত:

B 3 \u003d b 2 q

এখন মনে করুন যে দ্বিতীয় পদটি, ঘুরে, b 1 q এর সমান এবং এই অভিব্যক্তিটিকে আমাদের সমতায় প্রতিস্থাপন করুন:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

আমরা পেতে:

খ 3 = b 1 q 2

এখন রুশ ভাষায় আমাদের এন্ট্রি পড়ুন: তৃতীয়পদটি q in দ্বারা গুণিত প্রথম পদের সমান দ্বিতীয়ডিগ্রী তুমি কি এটা বুঝতে পেরেছ? এখনো না? ঠিক আছে, আরও এক ধাপ।

চতুর্থ পদ কি? একই! গুন করুন আগে(অর্থাৎ তৃতীয় মেয়াদ) q এর উপর:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

মোট:

খ 4 = b 1 q 3

এবং আবার আমরা রাশিয়ান ভাষায় অনুবাদ করি: চতুর্থপদটি q in দ্বারা গুণিত প্রথম পদের সমান তৃতীয়ডিগ্রী

ইত্যাদি। তাহলে এটা কেমন? আপনি প্যাটার্ন ধরা? হ্যাঁ! যেকোনো সংখ্যা সহ যেকোনো পদের জন্য, সমান গুণনীয়কের সংখ্যা q (অর্থাৎ হর এর শক্তি) সর্বদা হবে কাঙ্ক্ষিত সদস্য সংখ্যার চেয়ে এক কমn.

অতএব, আমাদের সূত্র হবে, বিকল্প ছাড়া:

b n =খ 1 · q n -1

এখানেই শেষ.)

আচ্ছা, আসুন সমস্যার সমাধান করি, আমরা কি করব?)

একটি সূত্রে সমস্যার সমাধানnজ্যামিতিক অগ্রগতির তম শব্দ।

চলুন শুরু করা যাক, যথারীতি, সূত্রের সরাসরি প্রয়োগের মাধ্যমে। এখানে একটি সাধারণ সমস্যা:

এটা দ্রুত জানা যায় যে খ 1 = 512 এবং q = -1/2। অগ্রগতির দশম পদ খুঁজুন।

অবশ্যই, এই সমস্যাটি কোনও সূত্র ছাড়াই সমাধান করা যেতে পারে। ঠিক যেন একটা জ্যামিতিক অগ্রগতি। কিন্তু আমরা nম পদের সূত্র দিয়ে গরম করতে হবে, তাই না? এখানে আমরা ব্রেক আপ করছি।

সূত্র প্রয়োগ করার জন্য আমাদের ডেটা নিম্নরূপ।

প্রথম পদটি পরিচিত। এটি 512।

খ 1 = 512.

অগ্রগতির সূচকটিও পরিচিত: q = -1/2.

এটি শুধুমাত্র n শব্দের সংখ্যার সমান তা খুঁজে বের করার জন্য অবশেষ। সমস্যা নেই! আমরা কি দশম মেয়াদে আগ্রহী? সুতরাং আমরা সাধারণ সূত্রে n এর পরিবর্তে দশটি প্রতিস্থাপন করি।

এবং সাবধানে পাটিগণিত গণনা করুন:

উত্তর 1

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, অগ্রগতির দশম মেয়াদটি একটি বিয়োগের সাথে পরিণত হয়েছিল। আশ্চর্যের কিছু নেই: অগ্রগতির হর হল -1/2, অর্থাৎ নেতিবাচকসংখ্যা এবং এটি আমাদের বলে যে আমাদের অগ্রগতির লক্ষণগুলি বিকল্প, হ্যাঁ।)

এখানে সবকিছু সহজ. এবং এখানে একটি অনুরূপ সমস্যা, কিন্তু গণনার পরিপ্রেক্ষিতে একটু বেশি জটিল।

জ্যামিতিক অগ্রগতিতে, আমরা জানি যে:

খ 1 = 3

অগ্রগতির ত্রয়োদশ পদ খুঁজুন।

সবকিছু একই, শুধুমাত্র এই সময় অগ্রগতির ধারক - অযৌক্তিক. দুটির মূল। ভাল, কোন বড় ব্যাপার. সূত্রটি একটি সার্বজনীন জিনিস, এটি যেকোনো সংখ্যার সাথে মানিয়ে নেয়।

আমরা সরাসরি সূত্র অনুযায়ী কাজ করি:

সূত্র, অবশ্যই, এটি করা উচিত হিসাবে কাজ করেছে, কিন্তু ... এখানে কিছু স্তব্ধ হবে. রুট দিয়ে পরবর্তী কি করবেন? কিভাবে দ্বাদশ শক্তি একটি রুট বাড়াতে?

কিভাবে-কিভাবে... আপনাকে বুঝতে হবে যে কোনো সূত্র, অবশ্যই, একটি ভাল জিনিস, তবে আগের সমস্ত গণিতের জ্ঞান বাতিল হয় না! কিভাবে বাড়াবেন? হ্যাঁ, ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য মনে রাখবেন! এর রুট পরিবর্তন করা যাক ভগ্নাংশ ডিগ্রীএবং - একটি শক্তিকে শক্তিতে উত্থাপনের সূত্র দ্বারা।

এটার মত:

উত্তর: 192টি

এবং সমস্ত জিনিস।)

নম পদের সূত্রের সরাসরি প্রয়োগে প্রধান অসুবিধা কী? হ্যাঁ! প্রধান অসুবিধা হল ডিগ্রি নিয়ে কাজ!যথা, ঋণাত্মক সংখ্যা, ভগ্নাংশ, মূল এবং অনুরূপ নির্মাণের সূচক। তাই যাদের এ নিয়ে সমস্যা আছে তাদের ডিগ্রী ও তাদের সম্পত্তির পুনরাবৃত্তি করার জরুরী অনুরোধ! অন্যথায়, আপনি এই বিষয়ে ধীর হয়ে যাবেন, হ্যাঁ ...)

এখন সাধারণ অনুসন্ধান সমস্যা সমাধান করা যাক সূত্রের একটি উপাদানযদি অন্য সব দেওয়া হয়। এই জাতীয় সমস্যার সফল সমাধানের জন্য, রেসিপিটি একক এবং ভয়ঙ্কর থেকে সহজ - সূত্র লিখুনnসাধারণভাবে তম সদস্য!নোটবুকে ঠিক পাশের শর্ত। এবং তারপরে, শর্ত থেকে, আমরা খুঁজে বের করি আমাদের কী দেওয়া হয়েছে এবং কী যথেষ্ট নয়। এবং আমরা সূত্র থেকে কাঙ্ক্ষিত মান প্রকাশ করি। সবকিছু!

যেমন একটি নিরীহ সমস্যা।

3 এর হর সহ একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির পঞ্চম পদটি হল 567। এই অগ্রগতির প্রথম পদটি খুঁজুন।

জটিল কিছু না। আমরা সরাসরি বানান অনুযায়ী কাজ করি।

আমরা নম পদের সূত্র লিখি!

খ n = খ 1 · q n -1

আমাদের কি দেওয়া হয়? প্রথমত, অগ্রগতির হর দেওয়া হল: q = 3.

উপরন্তু, আমাদের দেওয়া হয় পঞ্চম সদস্য: খ 5 = 567 .

সবকিছু? না! আমাদেরও n নম্বর দেওয়া হয়! এটি একটি পাঁচ: n = 5।

আমি আশা করি আপনি ইতিমধ্যে রেকর্ডে কি আছে বুঝতে পেরেছেন খ 5 = 567 দুটি পরামিতি একবারে লুকানো আছে - এটি পঞ্চম সদস্য নিজেই (567) এবং এর সংখ্যা (5)। অনুরূপ পাঠে আমি ইতিমধ্যে এই সম্পর্কে কথা বলেছি, তবে আমি মনে করি এখানে মনে করিয়ে দেওয়া অতিরিক্ত নয়।)

এখন আমরা সূত্রে আমাদের ডেটা প্রতিস্থাপন করি:

567 = খ 1 3 5-1

আমরা পাটিগণিত বিবেচনা করি, সরলীকরণ করি এবং একটি সরল রৈখিক সমীকরণ পাই:

81 খ 1 = 567

আমরা সমাধান করি এবং পাই:

খ 1 = 7

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, প্রথম সদস্য খুঁজে পেতে কোন সমস্যা নেই। কিন্তু যখন হর খুঁজছেন qএবং সংখ্যা nচমক হতে পারে। এবং আপনাকে তাদের জন্য প্রস্তুত থাকতে হবে (আশ্চর্য), হ্যাঁ।)

উদাহরণস্বরূপ, যেমন একটি সমস্যা:

একটি ধনাত্মক হর সহ একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির পঞ্চম পদ হল 162, এবং এই অগ্রগতির প্রথম পদটি হল 2। অগ্রগতির হর খুঁজুন।

এবার আমাদের প্রথম এবং পঞ্চম সদস্য দেওয়া হয়েছে, এবং অগ্রগতির হর খুঁজে বের করতে বলা হয়েছে। এখানে আমরা শুরু.

আমরা সূত্র লিখিnতম সদস্য!

খ n = খ 1 · q n -1

আমাদের প্রাথমিক তথ্য নিম্নরূপ হবে:

খ 5 = 162

খ 1 = 2

n = 5

যথেষ্ট মান নেই q. সমস্যা নেই! এখন এটি খুঁজে বের করা যাক।) আমরা সূত্রে আমরা যা জানি তা প্রতিস্থাপন করি।

আমরা পেতে:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

চতুর্থ ডিগ্রির একটি সহজ সমীকরণ। কিন্তু এখন - সাবধানে!সমাধানের এই পর্যায়ে, অনেক শিক্ষার্থী অবিলম্বে আনন্দের সাথে মূল (চতুর্থ ডিগ্রির) বের করে এবং উত্তর পায়। q=3 .

এটার মত:

q4 = 81

q = 3

কিন্তু সাধারণভাবে, এটি একটি অসমাপ্ত উত্তর। বা বরং, অসম্পূর্ণ. কেন? মোদ্দা কথা হল উত্তর q = -3 এছাড়াও ফিট: (-3) 4 এছাড়াও 81 হবে!

এর কারণ ক্ষমতার সমীকরণ x n = কসবসময় আছে দুটি বিপরীত শিকড়এ এমন কিn . প্লাস এবং বিয়োগ:

দুটোই মানানসই।

উদাহরণস্বরূপ, সমাধান করা (যেমন দ্বিতীয়ডিগ্রী)

x2 = 9

কিছু কারণে আপনি চেহারা দ্বারা বিস্মিত না দুইশিকড় x=±3? এখানেও তাই। এবং অন্য কোন সঙ্গে এমন কিডিগ্রি (চতুর্থ, ষষ্ঠ, দশম, ইত্যাদি) একই হবে। বিস্তারিত - বিষয় সম্পর্কে

তাই সঠিক সমাধান হবে:

q 4 = 81

q= ±3

ঠিক আছে, আমরা লক্ষণগুলি খুঁজে পেয়েছি। কোনটি সঠিক - প্লাস বা বিয়োগ? ঠিক আছে, আমরা আবার অনুসন্ধানে সমস্যার অবস্থা পড়ি অতিরিক্ত তথ্য.এটা, অবশ্যই, বিদ্যমান নাও হতে পারে, কিন্তু এই সমস্যা যেমন তথ্য উপলব্ধআমাদের অবস্থা, এটা সরাসরি বলা হয় যে একটি অগ্রগতি সঙ্গে দেওয়া হয় ইতিবাচক হর

সুতরাং উত্তর সুস্পষ্ট:

q = 3

এখানে সবকিছু সহজ. আপনি কি মনে করেন যদি সমস্যা বিবৃতি এই মত হয়:

জ্যামিতিক অগ্রগতির পঞ্চম পদটি হল 162, এবং এই অগ্রগতির প্রথম পদটি হল 2। অগ্রগতির হর খুঁজুন।

পার্থক্য কি? হ্যাঁ! অবস্থায় কিছুই নাহর এর কোন উল্লেখ নেই। প্রত্যক্ষ বা পরোক্ষভাবেও নয়। এবং এখানে সমস্যা ইতিমধ্যে থাকবে দুটি সমাধান!

q = 3 এবং q = -3

হ্যা হ্যা! এবং প্লাস এবং বিয়োগ সহ।) গাণিতিকভাবে, এই সত্যটির অর্থ হবে যে সেখানে আছে দুটি অগ্রগতিযে কাজ মাপসই. এবং প্রত্যেকের জন্য - তার নিজস্ব হর। মজা করার জন্য, অনুশীলন করুন এবং প্রতিটির প্রথম পাঁচটি পদ লিখুন।)

এখন সদস্য সংখ্যা খোঁজার অনুশীলন করা যাক। এটি সবচেয়ে কঠিন, হ্যাঁ। তবে আরও সৃজনশীল।

একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি দেওয়া হয়েছে:

3; 6; 12; 24; …

এই অগ্রগতিতে 768 সংখ্যাটি কী?

প্রথম ধাপ একই: সূত্র লিখুনnতম সদস্য!

খ n = খ 1 · q n -1

এবং এখন, যথারীতি, আমরা এটিতে আমাদের পরিচিত ডেটা প্রতিস্থাপন করি। হুম... এটা মানায় না! প্রথম সদস্য কোথায়, হর কোথায়, বাকি সব কোথায়?!

কোথায়, কোথায়... কেন আমাদের চোখ দরকার? চোখের দোররা ফ্ল্যাপিং? এবার প্রগতি আমাদের সরাসরি ফর্মে দেওয়া হয়েছে ক্রমআমরা প্রথম মেয়াদ দেখতে পারি? আমরা দেখি! এটি একটি ট্রিপল (b 1 = 3)। হর সম্পর্কে কি? আমরা এখনও এটি দেখতে পাচ্ছি না, তবে এটি গণনা করা খুব সহজ। যদি, অবশ্যই, আপনি বুঝতে পারেন.

এখানে আমরা বিবেচনা করি। সরাসরি একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির অর্থ অনুসারে: আমরা এর যে কোনও সদস্য গ্রহণ করি (প্রথমটি বাদে) এবং পূর্ববর্তীটি দ্বারা ভাগ করি।

অন্তত এই মত:

q = 24/12 = 2

আমরা আর কি জানি? আমরা এই অগ্রগতির কিছু সদস্যকেও জানি, 768 এর সমান। কিছু সংখ্যা n এর অধীনে:

খ n = 768

আমরা তার সংখ্যা জানি না, কিন্তু আমাদের কাজ হল তাকে খুঁজে বের করা।) তাই আমরা খুঁজছি। আমরা ইতিমধ্যে সূত্রে প্রতিস্থাপনের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত ডেটা ডাউনলোড করেছি। অদৃশ্যভাবে।)

এখানে আমরা প্রতিস্থাপন করি:

768 = 3 2n -1

আমরা প্রাথমিকগুলি তৈরি করি - আমরা উভয় অংশকে তিন দ্বারা ভাগ করি এবং সমীকরণটিকে স্বাভাবিক আকারে পুনরায় লিখি: বাম দিকে অজানা, ডানদিকে পরিচিত।

আমরা পেতে:

2 n -1 = 256

এখানে একটি আকর্ষণীয় সমীকরণ আছে. আমাদের "n" খুঁজে বের করতে হবে। অস্বাভাবিক কি? হ্যাঁ, আমি তর্ক করি না। আসলে, এটি সবচেয়ে সহজ। এটিকে বলা হয় কারণ অজানা (এই ক্ষেত্রে, এটি সংখ্যা n) দাঁড়িয়ে আছে সূচকডিগ্রী

জ্যামিতিক অগ্রগতির সাথে পরিচিত হওয়ার পর্যায়ে (এটি নবম শ্রেণী), সূচকীয় সমীকরণগুলি সমাধান করতে শেখানো হয় না, হ্যাঁ ... এটি উচ্চ বিদ্যালয়ের জন্য একটি বিষয়। তবে ভয়ানক কিছু নেই। এমনকি যদি আপনি জানেন না কিভাবে এই ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়, আসুন আমাদের খুঁজে বের করার চেষ্টা করি nসহজ যুক্তি এবং সাধারণ জ্ঞান দ্বারা পরিচালিত।

আমরা আলোচনা শুরু করি। বাম দিকে আমাদের একটি ডিউস আছে কিছু পরিমাণে. আমরা এখনও জানি না এই ডিগ্রিটি ঠিক কী, তবে এটি ভীতিজনক নয়। কিন্তু অন্যদিকে, আমরা দৃঢ়ভাবে জানি যে এই ডিগ্রি 256 এর সমান! তাই আমরা মনে রাখতে পারি যে ডিউস আমাদের 256 কতটা দেয়। মনে আছে? হ্যাঁ! AT অষ্টমডিগ্রী!

256 = 2 8

যদি আপনি মনে না রাখেন বা সমস্যার মাত্রার স্বীকৃতি দিয়ে থাকেন, তাহলে এটাও ঠিক আছে: আমরা শুধু পর্যায়ক্রমে দুটিকে বর্গাকারে, ঘনক্ষেত্রে, চতুর্থ শক্তিতে, পঞ্চম, ইত্যাদিতে বাড়াই। নির্বাচন, আসলে, কিন্তু এই স্তরে, বেশ একটি যাত্রায়.

এক বা অন্য উপায়, আমরা পাব:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

তাই 768 হয় নবমআমাদের অগ্রগতির সদস্য। এটাই, সমস্যা সমাধান।)

উত্তর: 9

কি? বিরক্তিকর? প্রাথমিক ক্লান্ত? আমি রাজী. এবং আমিও. আসুন পরবর্তী স্তরে যাই।)

আরও জটিল কাজ।

এবং এখন আমরা আরও আকস্মিকভাবে ধাঁধাগুলি সমাধান করি। ঠিক সুপার-কুল নয়, কিন্তু যার উপর আপনাকে উত্তর পেতে একটু কাজ করতে হবে।

উদাহরণস্বরূপ, এই মত.

জ্যামিতিক অগ্রগতির দ্বিতীয় পদটি সন্ধান করুন যদি এর চতুর্থ পদটি হয় -24 এবং সপ্তম পদটি 192 হয়।

এটি রীতির একটি ক্লাসিক। অগ্রগতির কিছু দুটি ভিন্ন সদস্য পরিচিত, তবে আরও একজন সদস্য অবশ্যই খুঁজে পাওয়া যাবে। অধিকন্তু, সমস্ত সদস্য প্রতিবেশী নয়। প্রথমে কী বিভ্রান্ত হয়, হ্যাঁ...

যেমন, আমরা এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য দুটি পদ্ধতি বিবেচনা করি। প্রথম উপায় সর্বজনীন। বীজগণিত। যেকোন সোর্স ডেটার সাথে নির্দোষভাবে কাজ করে। তাই আমরা যেখানে শুরু করব।)

আমরা সূত্র অনুযায়ী প্রতিটি শব্দ আঁকা nতম সদস্য!

সবকিছু ঠিক পাটিগণিতের অগ্রগতির মতোই। শুধু এই সময় আমরা সঙ্গে কাজ করছি অন্যসাধারণ সূত্র। এটাই সব।) কিন্তু সারমর্ম একই: আমরা গ্রহণ করি এবং পালাক্রমেআমরা আমাদের প্রাথমিক তথ্যকে nম পদের সূত্রে প্রতিস্থাপন করি। প্রতিটি সদস্যের জন্য - তাদের নিজস্ব।

চতুর্থ মেয়াদের জন্য আমরা লিখি:

খ 4 = খ 1 · q 3

-24 = খ 1 · q 3

এখানে. একটি সমীকরণ সম্পূর্ণ।

সপ্তম মেয়াদের জন্য আমরা লিখি:

খ 7 = খ 1 · q 6

192 = খ 1 · q 6

মোট, দুটি সমীকরণ প্রাপ্ত হয়েছিল একই অগ্রগতি .

আমরা তাদের থেকে একটি সিস্টেম একত্রিত করি:

এর শক্তিশালী চেহারা সত্ত্বেও, সিস্টেমটি বেশ সহজ। সমাধানের সবচেয়ে সুস্পষ্ট উপায় হল স্বাভাবিক প্রতিস্থাপন। আমরা প্রকাশ করি খ 1 উপরের সমীকরণ থেকে এবং নীচের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:

নিম্ন সমীকরণের সাথে সামান্য ফিডলিং (সূচকগুলি হ্রাস করা এবং -24 দ্বারা ভাগ করা) ফলন:

q 3 = -8

যাইহোক, একই সমীকরণটি আরও সহজ উপায়ে আসা যেতে পারে! কি? এখন আমি আপনাকে আরেকটি গোপন, কিন্তু খুব সুন্দর, শক্তিশালী এবং এই ধরনের সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য দরকারী উপায় দেখাব। এই ধরনের সিস্টেম, যে সমীকরণে তারা বসে শুধুমাত্র কাজ করে।অন্তত একটিতে। ডাকা শব্দ বিভাজন পদ্ধতিএকটি সমীকরণ আরেকটি সমীকরণ.

তাই আমাদের একটি সিস্টেম আছে:

বাম দিকে উভয় সমীকরণে - কাজ, এবং ডানদিকে শুধু একটি সংখ্যা। এটি একটি খুব ভাল চিহ্ন।) আসুন নিন এবং ... ভাগ করুন, বলুন, উপরেরটি দ্বারা নিম্ন সমীকরণ! মানে কি, একটি সমীকরণ অন্য দ্বারা ভাগ?খুব সহজ. আমরা নেবো বাম পাশেএকটি সমীকরণ (নিম্ন) এবং আমরা ভাগ করিতার উপর বাম পাশেআরেকটি সমীকরণ (উপরের)। ডান দিক অনুরূপ: ডান পাশএকটি সমীকরণ আমরা ভাগ করিউপরে ডান পাশঅন্য

পুরো বিভাগ প্রক্রিয়াটি এইরকম দেখায়:

এখন, যা হ্রাস করা হয়েছে তা হ্রাস করে, আমরা পাই:

q 3 = -8

এই পদ্ধতি সম্পর্কে ভাল কি? হ্যাঁ, কারণ এই ধরনের বিভাজনের প্রক্রিয়ায়, খারাপ এবং অসুবিধাজনক সবকিছু নিরাপদে হ্রাস করা যেতে পারে এবং একটি সম্পূর্ণ নিরীহ সমীকরণ থেকে যায়! সেজন্য এটি থাকা এত গুরুত্বপূর্ণ শুধুমাত্র গুণনসিস্টেমের অন্তত একটি সমীকরণে। কোন গুণ নেই - কমানোর কিছু নেই, হ্যাঁ ...

সাধারণভাবে, এই পদ্ধতি (সমাধানের অন্যান্য অ-তুচ্ছ উপায়ের মতো) এমনকি একটি পৃথক পাঠের যোগ্য। আমি অবশ্যই এটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখব। কোনো একদিন…

যাইহোক, আপনি কীভাবে সিস্টেমটি সমাধান করেন না কেন, যে কোনও ক্ষেত্রে, এখন আমাদের ফলাফল সমীকরণটি সমাধান করতে হবে:

q 3 = -8

কোন সমস্যা নেই: আমরা মূল (ঘন) নিষ্কাশন এবং - সম্পন্ন!

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে এক্সট্র্যাক্ট করার সময় এখানে প্লাস/মাইনাস দেওয়ার প্রয়োজন নেই। আমাদের একটি বিজোড় (তৃতীয়) ডিগ্রী রুট আছে। এবং উত্তর একই, হ্যাঁ.

সুতরাং, অগ্রগতির হর পাওয়া যায়। মাইনাস দুই। চমৎকার! প্রক্রিয়া চলছে।)

প্রথম মেয়াদের জন্য (উপরের সমীকরণ থেকে বলুন) আমরা পাই:

চমৎকার! আমরা প্রথম পদ জানি, আমরা হর জানি। এবং এখন আমরা অগ্রগতির কোনো সদস্য খুঁজে বের করার সুযোগ আছে. দ্বিতীয়টি সহ।)

দ্বিতীয় সদস্যের জন্য, সবকিছু বেশ সহজ:

খ 2 = খ 1 · q= 3 (-2) = -6

উত্তর:-6

সুতরাং, আমরা সমস্যাটি সমাধানের বীজগণিত পদ্ধতিটি সাজিয়েছি। কঠিন? বেশি কিছু না, আমি একমত। দীর্ঘ এবং বিরক্তিকর? হ্যাঁ, অবশ্যই। কিন্তু কখনও কখনও আপনি উল্লেখযোগ্যভাবে কাজের পরিমাণ কমাতে পারেন। এই জন্য আছে গ্রাফিক উপায়।ভালো পুরানো এবং আমাদের কাছে পরিচিত।)

এর সমস্যা আঁকা যাক!

হ্যাঁ! হুবহু। আবার আমরা সংখ্যা অক্ষে আমাদের অগ্রগতি চিত্রিত করি। অগত্যা একজন শাসকের দ্বারা, সদস্যদের মধ্যে সমান ব্যবধান বজায় রাখা আবশ্যক নয় (যা, যাইহোক, একই হবে না, কারণ অগ্রগতি জ্যামিতিক!), তবে সহজভাবে পরিকল্পিতভাবেআমাদের ক্রম আঁকা।

আমি এটি এই মত পেয়েছি:

এখন ছবিটি দেখুন এবং চিন্তা করুন। কয়টি সমান গুণনীয়ক "q" ভাগ করে চতুর্থএবং সপ্তমসদস্য? এটা ঠিক, তিন!

অতএব, আমাদের লেখার অধিকার রয়েছে:

-24q 3 = 192

এখান থেকে এখন q খুঁজে পাওয়া সহজ:

q 3 = -8

q = -2

এটি দুর্দান্ত, হরটি ইতিমধ্যেই আমাদের পকেটে রয়েছে। এবং এখন আমরা আবার ছবিটির দিকে তাকাই: এই জাতীয় কতগুলি হর এর মধ্যে বসে দ্বিতীয়এবং চতুর্থসদস্য? দুই! অতএব, এই সদস্যদের মধ্যে সম্পর্ক রেকর্ড করার জন্য, আমরা হর উত্থাপন করব বর্গক্ষেত্র.

এখানে আমরা লিখি:

খ 2 · q 2 = -24 , কোথায় খ 2 = -24/ q 2

আমরা b 2 এর অভিব্যক্তিতে আমাদের পাওয়া হর প্রতিস্থাপন করি, গণনা করি এবং পাই:

উত্তর:-6

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সিস্টেমের তুলনায় সবকিছু অনেক সহজ এবং দ্রুত। তদুপরি, এখানে আমাদের প্রথম পদটি মোটেও গণনা করার দরকার নেই! মোটেও।)

এখানে যেমন একটি সহজ এবং চাক্ষুষ উপায়-আলো. কিন্তু এর একটি গুরুতর অপূর্ণতাও রয়েছে। অনুমান করেছেন? হ্যাঁ! এটি শুধুমাত্র অগ্রগতির খুব ছোট টুকরা জন্য ভাল. যেখানে আমাদের স্বার্থের সদস্যদের মধ্যে দূরত্ব খুব বেশি নয়। কিন্তু অন্য সব ক্ষেত্রে ছবি আঁকা ইতিমধ্যেই কঠিন, হ্যাঁ... তারপরে আমরা একটি সিস্টেমের মাধ্যমে বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমস্যার সমাধান করি।) এবং সিস্টেমগুলি একটি সর্বজনীন জিনিস। যেকোনো সংখ্যার সাথে ডিল করুন।

আরেকটি মহাকাব্য:

জ্যামিতিক অগ্রগতির দ্বিতীয় পদটি প্রথমটির চেয়ে 10 বেশি এবং তৃতীয় পদটি দ্বিতীয়টির চেয়ে 30 বেশি। অগ্রগতির হর খুঁজুন।

কি শান্ত? একেবারেই না! একই. আমরা আবার সমস্যার শর্তটিকে বিশুদ্ধ বীজগণিতে অনুবাদ করি।

1) আমরা সূত্র অনুযায়ী প্রতিটি শব্দ আঁকা nতম সদস্য!

দ্বিতীয় পদ: b 2 = b 1 q

তৃতীয় পদ: b 3 \u003d b 1 q 2

2) আমরা সমস্যার অবস্থা থেকে সদস্যদের মধ্যে সম্পর্ক লিখি।

শর্ত পড়া: "একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির দ্বিতীয় মেয়াদটি প্রথমটির চেয়ে 10 বেশি।"থামুন, এই মূল্যবান!

তাই আমরা লিখি:

খ 2 = খ 1 +10

এবং আমরা এই বাক্যাংশটিকে বিশুদ্ধ গণিতে অনুবাদ করি:

খ 3 = খ 2 +30

আমরা দুটি সমীকরণ পেয়েছি। আমরা তাদের একটি সিস্টেমে একত্রিত করি:

সিস্টেম সহজ দেখায়. কিন্তু অক্ষরের জন্য বিভিন্ন সূচক অনেক আছে. প্রথম সদস্য এবং হর এর মাধ্যমে তাদের অভিব্যক্তির দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সদস্যের পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করা যাক! বৃথাই বা কি, আমরা তাদের এঁকেছি?

আমরা পেতে:

কিন্তু এই ধরনের একটি সিস্টেম আর একটি উপহার, হ্যাঁ ... কিভাবে এটি সমাধান? দুর্ভাগ্যবশত, সার্বজনীন গোপন বানান জটিল সমাধান অরৈখিকগণিতে কোন সিস্টেম নেই এবং হতে পারে না। এটা অপূর্ব! কিন্তু এই ধরনের শক্ত বাদাম ফাটানোর চেষ্টা করার সময় আপনার মনে প্রথম যে জিনিসটি আসা উচিত তা হল বের করা কিন্তু সিস্টেমের একটি সমীকরণ কি সুন্দর আকারে কমে যায় না, যা সহজ করে তোলে, উদাহরণস্বরূপ, একটি ভেরিয়েবলকে অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা?

আসুন অনুমান করি। সিস্টেমের প্রথম সমীকরণটি দ্বিতীয়টির তুলনায় স্পষ্টতই সহজ। আমরা তাকে নির্যাতন করব।) কেন প্রথম সমীকরণ থেকে চেষ্টা করবেন না কিছুমাধ্যমে প্রকাশ করা কিছু?যেহেতু আমরা হর খুঁজে পেতে চাই q, তাহলে প্রকাশ করা আমাদের পক্ষে সবচেয়ে সুবিধাজনক হবে খ 1 মাধ্যম q.

সুতরাং আসুন ভাল পুরানোগুলি ব্যবহার করে প্রথম সমীকরণের সাথে এই পদ্ধতিটি করার চেষ্টা করি:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

সবকিছু! এখানে আমরা প্রকাশ করেছি অপ্রয়োজনীয় us the variable (b 1) through প্রয়োজনীয়(q)। হ্যাঁ, সবচেয়ে সহজ অভিব্যক্তি গৃহীত নয়। কিছু ধরণের ভগ্নাংশ... তবে আমাদের সিস্টেমটি একটি শালীন স্তরের, হ্যাঁ।)

সাধারণ। কি করতে হবে - আমরা জানি।

আমরা ODZ লিখি (অগত্যা!) :

q ≠ 1

আমরা সবকিছুকে হর (q-1) দ্বারা গুণ করি এবং সমস্ত ভগ্নাংশ কমিয়ে দিই:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

আমরা সবকিছুকে দশ দ্বারা ভাগ করি, বন্ধনী খুলি, বাম দিকে সবকিছু সংগ্রহ করি:

q 2 – 4 q + 3 = 0

আমরা ফলাফলটি সমাধান করি এবং দুটি শিকড় পাই:

q 1 = 1

q 2 = 3

শুধুমাত্র একটি চূড়ান্ত উত্তর আছে: q = 3 .

উত্তরঃ 3

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, জ্যামিতিক অগ্রগতির 9ম সদস্যের সূত্রের জন্য বেশিরভাগ সমস্যা সমাধানের উপায় সর্বদা একই: আমরা পড়ি সাবধানেসমস্যার অবস্থা এবং, nম পদের সূত্র ব্যবহার করে, আমরা সমস্ত দরকারী তথ্যকে বিশুদ্ধ বীজগণিতে অনুবাদ করি।

যথা:

1) আমরা সূত্র অনুসারে সমস্যায় দেওয়া প্রতিটি সদস্যকে আলাদাভাবে লিখিnম সদস্য।

2) সমস্যার অবস্থা থেকে, আমরা সদস্যদের মধ্যে সংযোগটিকে একটি গাণিতিক আকারে অনুবাদ করি। আমরা একটি সমীকরণ বা সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করি।

3) আমরা ফলাফলের সমীকরণ বা সমীকরণের সিস্টেম সমাধান করি, অগ্রগতির অজানা পরামিতিগুলি খুঁজে পাই।

4) একটি অস্পষ্ট উত্তরের ক্ষেত্রে, আমরা অতিরিক্ত তথ্যের (যদি থাকে) অনুসন্ধানে সমস্যার অবস্থা সাবধানে পড়ি। আমরা ODZ এর শর্তাবলী (যদি থাকে) সহ প্রাপ্ত উত্তর পরীক্ষা করি।

এবং এখন আমরা প্রধান সমস্যাগুলির তালিকা করি যা প্রায়শই জ্যামিতিক অগ্রগতি সমস্যাগুলি সমাধান করার প্রক্রিয়াতে ত্রুটির দিকে পরিচালিত করে।

1. প্রাথমিক পাটিগণিত। ভগ্নাংশ এবং ঋণাত্মক সংখ্যা সহ ক্রিয়াকলাপ।

2. যদি এই তিনটি পয়েন্টের মধ্যে অন্তত একটি সমস্যা হয়, তবে আপনি অনিবার্যভাবে এই বিষয়ে ভুল করবেন। দুর্ভাগ্যবশত... তাই অলস হবেন না এবং উপরে যা বলা হয়েছে তা পুনরাবৃত্তি করবেন না। এবং লিঙ্কগুলি অনুসরণ করুন - যান। কখনও কখনও এটি সাহায্য করে।)

পরিবর্তিত এবং পুনরাবৃত্ত সূত্র.

এবং এখন অবস্থার একটি কম পরিচিত উপস্থাপনা সঙ্গে সাধারণ পরীক্ষার সমস্যা একটি দম্পতি তাকান. হ্যাঁ, হ্যাঁ, আপনি এটি অনুমান করেছেন! এটা পরিবর্তিতএবং পুনরাবৃত্ত nম সদস্যের সূত্র। আমরা ইতিমধ্যে এই ধরনের সূত্রের সম্মুখীন হয়েছি এবং পাটিগণিতের অগ্রগতিতে কাজ করেছি। এখানে সবকিছু একই রকম। সারমর্ম একই।

উদাহরণস্বরূপ, OGE থেকে যেমন একটি সমস্যা:

জ্যামিতিক অগ্রগতি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় খ n = 3 2 n . প্রথম এবং চতুর্থ পদের যোগফল নির্ণয় কর।

এবারের অগ্রগতি আমাদের দেওয়া হয়েছে যথারীতি পুরোপুরি নয়। কোনো ধরনের সূত্র। তাতে কি? এই সূত্র হল এছাড়াও একটি সূত্রnতম সদস্য!আমরা সকলেই জানি যে nম পদের সূত্রটি সাধারণ আকারে, অক্ষরের মাধ্যমে এবং জন্য উভয়ই লেখা যেতে পারে নির্দিষ্ট অগ্রগতি. থেকে নির্দিষ্টপ্রথম পদ এবং হর।

আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা আসলে, নিম্নলিখিত পরামিতিগুলির সাথে একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির জন্য একটি সাধারণ শব্দ সূত্র দিয়েছি:

খ 1 = 6

q = 2

আসুন পরীক্ষা করা যাক?) আসুন nম পদের সূত্রটিকে সাধারণ আকারে লিখি এবং এটিতে প্রতিস্থাপন করি খ 1 এবং q. আমরা পেতে:

খ n = খ 1 · q n -1

খ n= 6 2n -1

আমরা ফ্যাক্টরাইজেশন এবং পাওয়ার বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সরলীকরণ করি এবং পাই:

খ n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

আপনি দেখতে পারেন, সবকিছু ন্যায্য. কিন্তু আপনার সাথে আমাদের লক্ষ্য একটি নির্দিষ্ট সূত্রের উদ্ভব প্রদর্শন করা নয়। এটি তাই, একটি গীতিকবিতা. সম্পূর্ণরূপে বোঝার জন্য।) আমাদের লক্ষ্য শর্তে আমাদের দেওয়া সূত্র অনুযায়ী সমস্যা সমাধান করা। আপনি কি এটা ধরতে পেরেছেন?) তাই আমরা সরাসরি পরিবর্তিত সূত্র নিয়ে কাজ করছি।

আমরা প্রথম মেয়াদ গণনা. বিকল্প n=1 সাধারণ সূত্রে:

খ 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

এটার মত. যাইহোক, আমি খুব অলস নই এবং আবারও আমি প্রথম মেয়াদের গণনার সাথে একটি সাধারণ ভুলের দিকে আপনার দৃষ্টি আকর্ষণ করব। সূত্র তাকান না খ n= 3 2n, তৎক্ষণাৎ ছুটে যান যে প্রথম সদস্য একজন ত্রয়িকা! এটা একটা বড় ভুল, হ্যাঁ...)

আমরা শুরু করি. বিকল্প n=4 এবং চতুর্থ মেয়াদ বিবেচনা করুন:

খ 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

এবং অবশেষে, আমরা প্রয়োজনীয় পরিমাণ গণনা করি:

খ 1 + খ 4 = 6+48 = 54

উত্তর: 54

অন্য সমস্যা.

জ্যামিতিক অগ্রগতি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয়:

খ 1 = -7;

খ n +1 = 3 খ n

অগ্রগতির চতুর্থ মেয়াদ খুঁজুন।

এখানে পুনরাবৃত্ত সূত্র দ্বারা অগ্রগতি দেওয়া হয়। আচ্ছা ঠিক আছে.) কিভাবে এই ফর্মুলা দিয়ে কাজ করবেন - আমরাও জানি।

এখানে আমরা অভিনয় করছি। ধাপে ধাপে.

1) দুটি গণনা ক্রমাগতঅগ্রগতির সদস্য।

প্রথম মেয়াদ ইতিমধ্যে আমাদের দেওয়া হয়েছে. মাইনাস সাত। কিন্তু পরবর্তী, দ্বিতীয় মেয়াদ, পুনরাবৃত্ত সূত্র ব্যবহার করে সহজেই গণনা করা যেতে পারে। যদি আপনি বুঝতে পারেন এটি কিভাবে কাজ করে, অবশ্যই।)

এখানে আমরা দ্বিতীয় মেয়াদ বিবেচনা করি বিখ্যাত প্রথম অনুসারে:

খ 2 = 3 খ 1 = 3 (-7) = -21

2) আমরা অগ্রগতির হর বিবেচনা করি

এছাড়াও কোন সমস্যা নেই। সোজা, শেয়ার করুন দ্বিতীয়ডিক অন প্রথম.

আমরা পেতে:

q = -21/(-7) = 3

3) সূত্রটি লিখnতম সদস্য সাধারণ আকারে এবং পছন্দসই সদস্য বিবেচনা করুন.

সুতরাং, আমরা প্রথম পদ, হরকেও জানি। এখানে আমরা লিখি:

খ n= -7 3n -1

খ 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

উত্তর:-189

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, জ্যামিতিক অগ্রগতির জন্য এই জাতীয় সূত্রগুলির সাথে কাজ করা মূলত একটি গাণিতিক অগ্রগতির থেকে আলাদা নয়। এই সূত্রগুলির সাধারণ সারমর্ম এবং অর্থ বোঝা শুধুমাত্র গুরুত্বপূর্ণ। ঠিক আছে, জ্যামিতিক অগ্রগতির অর্থও বোঝা দরকার, হ্যাঁ।) এবং তারপরে কোনও বোকা ভুল হবে না।

আচ্ছা, আসুন আমরা নিজেরাই সিদ্ধান্ত নিই?)

বেশ প্রাথমিক কাজ, ওয়ার্ম আপের জন্য:

1. একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি দেওয়া হয়েছে যা খ 1 = 243, এবং q = -2/3। অগ্রগতির ষষ্ঠ মেয়াদ খুঁজুন।

2. জ্যামিতিক অগ্রগতির সাধারণ শব্দ সূত্র দ্বারা দেওয়া হয় খ n = 5∙2 n +1 . এই অগ্রগতির শেষ তিন-সংখ্যার সদস্যের সংখ্যা খুঁজুন।

3. জ্যামিতিক অগ্রগতি শর্ত দ্বারা দেওয়া হয়:

খ 1 = -3;

খ n +1 = 6 খ n

অগ্রগতির পঞ্চম মেয়াদ খুঁজুন।

একটু বেশি জটিল:

4. একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি দেওয়া হয়েছে:

খ 1 =2048; q =-0,5

এর ষষ্ঠ ঋণাত্মক পদ কোনটি?

কি সুপার কঠিন মনে হচ্ছে? একেবারেই না. জ্যামিতিক অগ্রগতির অর্থ যুক্তি এবং বোঝার সংরক্ষণ করবে। ওয়েল, nম পদের সূত্র, অবশ্যই.

5. জ্যামিতিক অগ্রগতির তৃতীয় পদটি হল -14 এবং অষ্টম পদটি হল 112। অগ্রগতির হর খুঁজুন।

6. একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির প্রথম এবং দ্বিতীয় পদের যোগফল 75, এবং দ্বিতীয় এবং তৃতীয় পদের যোগফল 150। অগ্রগতির ষষ্ঠ পদটি খুঁজুন।

উত্তর (বিশৃঙ্খলায়): 6; -3888; -এক; 800; -32; 448।

যে প্রায় সব. এটা শুধুমাত্র কিভাবে গণনা শিখতে অবশেষ জ্যামিতিক অগ্রগতির প্রথম n পদের যোগফলহ্যাঁ আবিষ্কার অসীমভাবে জ্যামিতিক অগ্রগতি হ্রাসএবং এর পরিমাণ। একটি খুব আকর্ষণীয় এবং অস্বাভাবিক জিনিস, উপায় দ্বারা! পরবর্তী পাঠে এটি সম্পর্কে আরও।)

একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি হল একটি সংখ্যাসূচক ক্রম, যার প্রথম পদটি অ-শূন্য, এবং প্রতিটি পরবর্তী পদ একই অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণিত পূর্ববর্তী পদের সমান। জ্যামিতিক অগ্রগতি b1,b2,b3, …, bn, … দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

জ্যামিতিক অগ্রগতির বৈশিষ্ট্য

প্রগতির নম সদস্যের সূত্র

সংখ্যাসূচক ক্রম (bn) একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি হওয়ার জন্য, এটির প্রতিটি সদস্য, দ্বিতীয় থেকে শুরু করে, প্রতিবেশী সদস্যদের জ্যামিতিক গড় হওয়া আবশ্যক। অর্থাৎ, নিম্নলিখিত সমীকরণটি পূরণ করা প্রয়োজন - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), যেকোনো n>0-এর জন্য, যেখানে n প্রাকৃতিক সংখ্যা N-এর সেটের অন্তর্গত।

জ্যামিতিক অগ্রগতির নবম সদস্যের সূত্র হল:

bn=b1*q^(n-1), যেখানে n প্রাকৃতিক সংখ্যা N এর সেটের অন্তর্গত।

একটি সহজ উদাহরণ বিবেচনা করুন:

জ্যামিতিক অগ্রগতিতে b1=6, q=3, n=8 bn খুঁজুন।

জ্যামিতিক অগ্রগতির n-তম সদস্যের সূত্রটি ব্যবহার করা যাক।