দ্বিঘাত সমীকরণ. সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ। অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সংজ্ঞা এবং উদাহরণ মূলের পরিপ্রেক্ষিতে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ প্রকাশ করে

আধুনিক সমাজে, বর্গাকার পরিবর্তনশীল সমীকরণে কাজ করার ক্ষমতা কার্যকলাপের অনেক ক্ষেত্রে কার্যকর হতে পারে এবং বৈজ্ঞানিক ও প্রযুক্তিগত উন্নয়নে অনুশীলনে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। সমুদ্র এবং নদী জাহাজ, বিমান এবং ক্ষেপণাস্ত্রের নকশা দ্বারা এটি প্রমাণিত হতে পারে। এই জাতীয় গণনার সাহায্যে, মহাকাশ বস্তু সহ বিভিন্ন দেহের গতিবিধি নির্ধারণ করা হয়। দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সহ উদাহরণগুলি শুধুমাত্র অর্থনৈতিক পূর্বাভাস, ভবনের নকশা এবং নির্মাণে নয়, সবচেয়ে সাধারণ দৈনন্দিন পরিস্থিতিতেও ব্যবহৃত হয়। ক্যাম্পিং ট্রিপে, স্পোর্টস ইভেন্টে, কেনাকাটা করার সময় দোকানে এবং অন্যান্য খুব সাধারণ পরিস্থিতিতে তাদের প্রয়োজন হতে পারে।

আসুন কম্পোনেন্ট ফ্যাক্টর মধ্যে অভিব্যক্তি বিরতি

একটি সমীকরণের ডিগ্রী প্রদত্ত এক্সপ্রেশনে থাকা ভেরিয়েবলের ডিগ্রির সর্বোচ্চ মান দ্বারা নির্ধারিত হয়। যদি এটি 2 এর সমান হয়, তাহলে এই ধরনের সমীকরণকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।

যদি আমরা সূত্রের ভাষায় কথা বলি, তবে এই অভিব্যক্তিগুলি, সেগুলি যেভাবেই দেখা যাক না কেন, সর্বদা ফর্মে আনা যেতে পারে যখন অভিব্যক্তির বাম দিকে তিনটি পদ থাকে। তাদের মধ্যে: ax 2 (অর্থাৎ, একটি পরিবর্তনশীল তার সহগ সহ বর্গক্ষেত্র), bx (একটি অজানা যার সহগ সহ একটি বর্গক্ষেত্র ছাড়াই) এবং c (মুক্ত উপাদান, অর্থাৎ একটি সাধারণ সংখ্যা)। এই সবগুলি ডানদিকে 0 এর সমান। যে ক্ষেত্রে এই ধরনের বহুপদীর একটি উপাদান পদ নেই, ax 2 ব্যতীত, এটিকে একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয়। এই ধরনের সমস্যার সমাধান সহ উদাহরণ, যেখানে ভেরিয়েবলের মান খুঁজে পাওয়া কঠিন নয়, প্রথমে বিবেচনা করা উচিত।

যদি এক্সপ্রেশনটি দেখে মনে হয় যে এক্সপ্রেশনের ডানদিকে দুটি পদ আছে, আরও সঠিকভাবে ax 2 এবং bx, তাহলে ভেরিয়েবলটিকে বন্ধনী করে x খুঁজে পাওয়া সবচেয়ে সহজ। এখন আমাদের সমীকরণটি এরকম দেখাবে: x(ax+b)। আরও, এটা স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে হয় x=0, অথবা সমস্যাটি নিম্নোক্ত অভিব্যক্তি থেকে একটি পরিবর্তনশীল খুঁজতে কমানো হয়েছে: ax+b=0। এটি গুণনের একটি বৈশিষ্ট্য দ্বারা নির্ধারিত হয়। নিয়মটি বলে যে দুটি কারণের গুণফল 0 হয় শুধুমাত্র যদি তাদের একটি শূন্য হয়।

উদাহরণ

x=0 বা 8x - 3 = 0

ফলস্বরূপ, আমরা সমীকরণের দুটি মূল পাই: 0 এবং 0.375।

এই ধরণের সমীকরণগুলি মাধ্যাকর্ষণ ক্রিয়াকলাপের অধীনে দেহগুলির গতিবিধি বর্ণনা করতে পারে, যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সরতে শুরু করে, যা উত্স হিসাবে নেওয়া হয়েছিল। এখানে গাণিতিক স্বরলিপি নিম্নলিখিত ফর্ম নেয়: y = v 0 t + gt 2 /2। প্রয়োজনীয় মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, ডান দিকটিকে 0 এর সাথে সমান করে এবং সম্ভাব্য অজানাগুলি খুঁজে বের করার মাধ্যমে, আপনি শরীরের বৃদ্ধির মুহুর্ত থেকে এটি পড়ে যাওয়ার মুহুর্ত পর্যন্ত অতিবাহিত সময় এবং সেই সাথে অন্যান্য অনেক পরিমাণও খুঁজে পেতে পারেন। তবে আমরা এই বিষয়ে পরে কথা বলব।

একটি অভিব্যক্তি ফ্যাক্টরিং

উপরে বর্ণিত নিয়মটি আরও জটিল ক্ষেত্রে এই সমস্যাগুলি সমাধান করা সম্ভব করে তোলে। এই ধরণের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সহ উদাহরণগুলি বিবেচনা করুন।

X2 - 33x + 200 = 0

এই বর্গাকার ত্রিনামিক সম্পূর্ণ। প্রথমত, আমরা অভিব্যক্তিকে রূপান্তরিত করি এবং এটিকে ফ্যাক্টরে পরিণত করি। তাদের মধ্যে দুটি আছে: (x-8) এবং (x-25) = 0। ফলস্বরূপ, আমাদের দুটি মূল আছে 8 এবং 25।

9 গ্রেডে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সহ উদাহরণগুলি এই পদ্ধতিটিকে শুধুমাত্র দ্বিতীয় নয়, এমনকি তৃতীয় এবং চতুর্থ ক্রমগুলির অভিব্যক্তিতে একটি পরিবর্তনশীল খুঁজে পেতে দেয়।

উদাহরণস্বরূপ: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0। যখন একটি চলক দিয়ে ডান দিকটিকে গুণনীয়কগুলিতে নির্ণয় করা হয়, তখন তাদের তিনটি থাকে, অর্থাৎ (x + 1), (x-3) এবং (x + 3)।

ফলস্বরূপ, এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে এই সমীকরণটির তিনটি মূল রয়েছে: -3; -এক; 3.

বর্গমূল বের করা হচ্ছে

একটি অসম্পূর্ণ দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণের আরেকটি কেস হল অক্ষরের ভাষায় এমনভাবে লেখা একটি অভিব্যক্তি যাতে ডান দিকের অংশটি ax 2 এবং c থেকে তৈরি করা হয়। এখানে, চলকের মান পেতে, মুক্ত শব্দটি ডানদিকে স্থানান্তরিত হয় এবং এর পরে, সমতার উভয় দিক থেকে বর্গমূল বের করা হয়। এটি লক্ষ করা উচিত যে এই ক্ষেত্রে সাধারণত সমীকরণের দুটি মূল থাকে। একমাত্র ব্যতিক্রম হল সমতা যেখানে c শব্দটি একেবারেই ধারণ করে না, যেখানে ভেরিয়েবলটি শূন্যের সমান, সেইসাথে যখন ডান দিকটি নেতিবাচক হতে দেখা যায় তখন অভিব্যক্তির ভিন্নতা। পরবর্তী ক্ষেত্রে, কোনও সমাধান নেই, যেহেতু উপরের ক্রিয়াগুলি শিকড় দিয়ে করা যায় না। এই ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করা উচিত।

এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের মূল হবে সংখ্যা -4 এবং 4।

জমির ক্ষেত্রফলের হিসাব

এই ধরণের গণনার প্রয়োজনীয়তা প্রাচীনকালে উপস্থিত হয়েছিল, কারণ সেই দূরবর্তী সময়ে গণিতের বিকাশ মূলত সর্বাধিক নির্ভুলতার সাথে ভূমি প্লটের ক্ষেত্র এবং পরিধি নির্ধারণের প্রয়োজনীয়তার কারণে হয়েছিল।

আমাদের এই ধরণের সমস্যার ভিত্তিতে সংকলিত দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সহ উদাহরণগুলিও বিবেচনা করা উচিত।

সুতরাং, ধরা যাক একটি আয়তক্ষেত্রাকার জমি রয়েছে, যার দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 16 মিটার বেশি। আপনার সাইটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং পরিধি খুঁজে পাওয়া উচিত, যদি এটি জানা যায় যে এর ক্ষেত্রফল হল 612 মি 2।

ব্যবসায় নেমে প্রথমে আমরা প্রয়োজনীয় সমীকরণ তৈরি করব। বিভাগটির প্রস্থকে x হিসাবে চিহ্নিত করা যাক, তাহলে এর দৈর্ঘ্য হবে (x + 16)। এটি যা লেখা হয়েছে তা থেকে অনুসরণ করে যে ক্ষেত্রফল x (x + 16) অভিব্যক্তি দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা আমাদের সমস্যার অবস্থা অনুসারে 612। এর মানে হল x (x + 16) \u003d 612।

সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান, এবং এই অভিব্যক্তিটি ঠিক যে, একইভাবে করা যায় না। কেন? যদিও এর বাম দিকে এখনও দুটি ফ্যাক্টর রয়েছে, তাদের গুণফল মোটেও 0 এর সমান নয়, তাই এখানে অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়েছে।

বৈষম্যমূলক

প্রথমত, আমরা প্রয়োজনীয় রূপান্তরগুলি করব, তারপরে এই অভিব্যক্তিটির চেহারাটি এইরকম দেখাবে: x 2 + 16x - 612 = 0। এর মানে হল যে আমরা পূর্বে নির্দিষ্ট করা স্ট্যান্ডার্ডের সাথে সম্পর্কিত ফর্মটিতে একটি অভিব্যক্তি পেয়েছি, যেখানে a=1, b=16, c= -612।

এটি বৈষম্যকারীর মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের একটি উদাহরণ হতে পারে। এখানে প্রয়োজনীয় গণনা স্কিম অনুযায়ী করা হয়: D = b 2 - 4ac। এই অক্জিলিয়ারী মানটি শুধুমাত্র দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণে পছন্দসই মানগুলি খুঁজে পাওয়া সম্ভব করে না, এটি সম্ভাব্য বিকল্পগুলির সংখ্যা নির্ধারণ করে। D>0 ক্ষেত্রে, তাদের মধ্যে দুটি আছে; D=0 এর জন্য একটি রুট আছে। ক্ষেত্রে ডি<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

শিকড় এবং তাদের সূত্র সম্পর্কে

আমাদের ক্ষেত্রে, বৈষম্যকারী হল: 256 - 4(-612) = 2704। এটি নির্দেশ করে যে আমাদের সমস্যার একটি উত্তর আছে। আপনি যদি জানেন যে, দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান অবশ্যই নিচের সূত্রটি ব্যবহার করে চালিয়ে যেতে হবে। এটি আপনাকে শিকড় গণনা করতে দেয়।

এর মানে হল যে উপস্থাপিত ক্ষেত্রে: x 1 =18, x 2 =-34। এই দ্বিধায় দ্বিতীয় বিকল্পটি সমাধান হতে পারে না, কারণ জমির প্লটের আকার নেতিবাচক মানগুলিতে পরিমাপ করা যায় না, যার মানে হল x (অর্থাৎ, প্লটের প্রস্থ) 18 মিটার। এখান থেকে আমরা দৈর্ঘ্য গণনা করি: 18+16=34, এবং পরিধি 2(34+18) = 104 (m 2)।

উদাহরণ এবং কাজ

আমরা দ্বিঘাত সমীকরণের অধ্যয়ন চালিয়ে যাচ্ছি। উদাহরণ এবং তাদের বেশ কয়েকটির একটি বিশদ সমাধান নীচে দেওয়া হবে।

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

আসুন সবকিছুকে সমতার বাম দিকে স্থানান্তর করি, একটি রূপান্তর করি, অর্থাৎ, আমরা সমীকরণের ফর্মটি পাই, যাকে সাধারণত স্ট্যান্ডার্ড এক বলা হয় এবং এটিকে শূন্যে সমান করি।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

অনুরূপগুলি যোগ করার পরে, আমরা বৈষম্যকারী নির্ধারণ করি: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. সুতরাং আমাদের সমীকরণের দুটি মূল থাকবে। আমরা তাদের উপরোক্ত সূত্র অনুসারে গণনা করি, যার অর্থ তাদের মধ্যে প্রথমটি 4/3 এবং দ্বিতীয়টি 1 এর সমান হবে।

2) এখন আমরা একটি ভিন্ন ধরনের ধাঁধা প্রকাশ করব।

আসুন জেনে নেওয়া যাক এখানে x 2 - 4x + 5 = 1 আদৌ আছে কিনা? একটি বিস্তৃত উত্তর পাওয়ার জন্য, আমরা বহুপদটিকে সংশ্লিষ্ট পরিচিত ফর্মে নিয়ে আসি এবং বৈষম্যকারী গণনা করি। এই উদাহরণে, দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করার প্রয়োজন নেই, কারণ সমস্যার সারমর্ম এটির মধ্যে নেই। এই ক্ষেত্রে, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, যার মানে সত্যিই কোন শিকড় নেই।

ভিয়েতার উপপাদ্য

উপরের সূত্র এবং বৈষম্যের মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করা সুবিধাজনক, যখন পরবর্তীটির মান থেকে বর্গমূল বের করা হয়। কিন্তু এটা সবসময় ঘটে না। যাইহোক, এই ক্ষেত্রে ভেরিয়েবলের মান পেতে অনেক উপায় আছে। উদাহরণ: ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা। এটি এমন একজন ব্যক্তির নামে নামকরণ করা হয়েছে যিনি 16 শতকের ফ্রান্সে বসবাস করতেন এবং তার গাণিতিক প্রতিভা এবং আদালতে সংযোগের জন্য একটি উজ্জ্বল কর্মজীবন ছিল। প্রবন্ধে তার প্রতিকৃতি দেখা যাবে।

বিখ্যাত ফরাসী যে প্যাটার্নটি লক্ষ্য করেছিলেন তা নিম্নরূপ ছিল। তিনি প্রমাণ করেছেন যে সমীকরণের মূলের যোগফল -p=b/a এর সমান, এবং তাদের গুণফল q=c/a এর সাথে মিলে যায়।

এখন আসুন নির্দিষ্ট কাজগুলি দেখুন।

3x2 + 21x - 54 = 0

সরলতার জন্য, আসুন অভিব্যক্তিটি রূপান্তর করি:

x 2 + 7x - 18 = 0

ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে, এটি আমাদের নিম্নলিখিত দেবে: মূলের যোগফল -7, এবং তাদের গুণফল -18। এখান থেকে আমরা পাই যে সমীকরণের মূল হল সংখ্যা -9 এবং 2। একটি চেক করার পরে, আমরা নিশ্চিত করব যে ভেরিয়েবলের এই মানগুলি সত্যিই অভিব্যক্তিতে ফিট করে।

একটি প্যারাবোলার গ্রাফ এবং সমীকরণ

একটি দ্বিঘাত ফাংশন এবং দ্বিঘাত সমীকরণের ধারণাগুলি ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। এর উদাহরণ আগেই দেওয়া হয়েছে। এখন একটু বিস্তারিতভাবে কিছু গাণিতিক ধাঁধা দেখি। বর্ণিত ধরনের যে কোনো সমীকরণ দৃশ্যত উপস্থাপন করা যেতে পারে. এই ধরনের নির্ভরতা, একটি গ্রাফ আকারে আঁকা, একটি প্যারাবোলা বলা হয়। এর বিভিন্ন প্রকার নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

যে কোনো প্যারাবোলার একটি শীর্ষবিন্দু থাকে, অর্থাৎ একটি বিন্দু যেখান থেকে এর শাখা বের হয়। যদি a>0, তারা অসীম পর্যন্ত উচ্চে যায়, এবং যখন a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ফাংশনের ভিজ্যুয়াল উপস্থাপনা দ্বিঘাত সমীকরণ সহ যেকোনো সমীকরণ সমাধান করতে সাহায্য করে। এই পদ্ধতিকে গ্রাফিক বলা হয়। এবং x ভেরিয়েবলের মান হল বিন্দুতে অ্যাবসিসা স্থানাঙ্ক যেখানে গ্রাফ লাইনটি 0x এর সাথে ছেদ করে। শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি কেবলমাত্র x 0 = -b / 2a দেওয়া সূত্র দ্বারা পাওয়া যেতে পারে। এবং, ফলের মানটিকে ফাংশনের মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে, আপনি y 0 খুঁজে পেতে পারেন, অর্থাৎ, y-অক্ষের অন্তর্গত প্যারাবোলা শীর্ষবিন্দুর দ্বিতীয় স্থানাঙ্ক।

অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে প্যারাবোলার শাখাগুলির ছেদ

দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সহ প্রচুর উদাহরণ রয়েছে, তবে সাধারণ নিদর্শনও রয়েছে। আসুন তাদের বিবেচনা করা যাক। এটা স্পষ্ট যে a>0 এর জন্য 0x অক্ষের সাথে গ্রাফটির ছেদ শুধুমাত্র তখনই সম্ভব যদি y 0 নেতিবাচক মান নেয়। এবং একটি জন্য<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. অন্যথায় ডি<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

একটি প্যারাবোলার গ্রাফ থেকে, আপনি শিকড় নির্ধারণ করতে পারেন। বিপরীত সত্য. অর্থাৎ, যদি দ্বিঘাত ফাংশনের চাক্ষুষ উপস্থাপনা পাওয়া সহজ না হয়, তাহলে আপনি রাশিটির ডান দিকটি 0 এর সাথে সমান করতে পারেন এবং ফলাফলের সমীকরণটি সমাধান করতে পারেন। এবং 0x অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুগুলি জেনে, এটি প্লট করা সহজ।

ইতিহাস থেকে

একটি বর্গীয় পরিবর্তনশীল সমীকরণের সাহায্যে, পুরানো দিনে, শুধুমাত্র গাণিতিক গণনাই করা হয়নি এবং জ্যামিতিক আকারের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করা হয়েছিল। প্রাচীনদের পদার্থবিদ্যা এবং জ্যোতির্বিদ্যার ক্ষেত্রে বিশাল আবিষ্কারের পাশাপাশি জ্যোতিষশাস্ত্রীয় পূর্বাভাস তৈরির জন্য এই ধরনের গণনার প্রয়োজন ছিল।

আধুনিক বিজ্ঞানীরা যেমন পরামর্শ দেন, ব্যাবিলনের বাসিন্দারা দ্বিঘাত সমীকরণের প্রথম সমাধান করেছিলেন। এটি আমাদের যুগের আবির্ভাবের চার শতাব্দী আগে ঘটেছিল। অবশ্যই, তাদের গণনাগুলি বর্তমানে গৃহীত হওয়া থেকে মৌলিকভাবে আলাদা ছিল এবং অনেক বেশি আদিম হয়ে উঠেছে। উদাহরণস্বরূপ, মেসোপটেমিয়ার গণিতবিদদের ঋণাত্মক সংখ্যার অস্তিত্ব সম্পর্কে কোনো ধারণা ছিল না। আমাদের সময়ের যেকোনো ছাত্রের কাছে পরিচিতদের অন্যান্য সূক্ষ্মতার সাথেও তারা অপরিচিত ছিল।

সম্ভবত ব্যাবিলনের বিজ্ঞানীদের চেয়েও আগে, ভারতের ঋষি, বৌধায়ামা, দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান নিয়েছিলেন। এটি খ্রিস্টের যুগের আবির্ভাবের প্রায় আট শতাব্দী আগে ঘটেছিল। সত্য, দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ, সমাধানের পদ্ধতি যা তিনি দিয়েছেন, সবচেয়ে সহজ ছিল। তিনি ছাড়াও, চীনা গণিতবিদরাও পুরানো দিনে অনুরূপ প্রশ্নে আগ্রহী ছিলেন। ইউরোপে, চতুর্মাত্রিক সমীকরণগুলি কেবল 13 শতকের শুরুতে সমাধান করা শুরু হয়েছিল, কিন্তু পরবর্তীতে নিউটন, ডেসকার্টস এবং আরও অনেকের মতো মহান বিজ্ঞানীরা তাদের কাজে ব্যবহার করেছিলেন।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সূত্র। বাস্তব, একাধিক এবং জটিল মূলের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়। একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশন। জ্যামিতিক ব্যাখ্যা। শিকড় এবং ফ্যাক্টরাইজেশন নির্ধারণের উদাহরণ।

আরো দেখুন: অনলাইনে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

মৌলিক সূত্র

দ্বিঘাত সমীকরণ বিবেচনা করুন:
(1) .
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়(1) সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
; .
এই সূত্রগুলি এইভাবে একত্রিত করা যেতে পারে:
.
যখন দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়গুলি জানা যায়, তখন দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদকে গুণনীয়ক (গুণিত) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
.

আরও, আমরা অনুমান করি যে এটি বাস্তব সংখ্যা।
বিবেচনা একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্যকারী:
.
যদি বৈষম্যকারী ইতিবাচক হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি ভিন্ন বাস্তব মূল রয়েছে:
; .
তারপর বর্গাকার ত্রিনামিকের ফ্যাক্টরাইজেশনের ফর্ম রয়েছে:
.
যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি একাধিক (সমান) বাস্তব মূল রয়েছে:
.
ফ্যাক্টরাইজেশন:
.
যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণ (1) এর দুটি জটিল সংযোজক মূল রয়েছে:
;
.
এখানে কাল্পনিক একক, ;
এবং মূলের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ:
; .
তারপর

.

গ্রাফিক ব্যাখ্যা

যদি আমরা ফাংশনটি গ্রাফ করি
,
যা একটি প্যারাবোলা, তাহলে অক্ষের সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দুগুলি হবে সমীকরণের মূল
.
যখন , গ্রাফটি দুটি বিন্দুতে অ্যাবসিসা অক্ষ (অক্ষ) অতিক্রম করে ()।
যখন , গ্রাফটি x-অক্ষকে এক বিন্দুতে স্পর্শ করে ()।
যখন , গ্রাফটি x-অক্ষ () অতিক্রম করে না।

দ্বিঘাত সমীকরণ সম্পর্কিত দরকারী সূত্র

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সূত্রের প্রাপ্তি

আমরা রূপান্তর করি এবং সূত্র প্রয়োগ করি (f.1) এবং (f.3):




,
কোথায়
; .

সুতরাং, আমরা ফর্মে দ্বিতীয় ডিগ্রির বহুপদীর সূত্র পেয়েছি:
.
এ থেকে দেখা যায় সমীকরণ

এ সঞ্চালিত
এবং .
যে, এবং দ্বিঘাত সমীকরণের মূল
.

দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের উদাহরণ

উদাহরণ 1

(1.1) .

.
আমাদের সমীকরণ (1.1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:
.
যেহেতু বৈষম্যকারী ইতিবাচক, সমীকরণটির দুটি আসল মূল রয়েছে:
;
;
.

এখান থেকে আমরা স্কোয়ার ট্রিনোমিয়ালের পচনকে ফ্যাক্টরগুলিতে পাই:

.

ফাংশনের গ্রাফ y = 2 x 2 + 7 x + 3দুটি বিন্দুতে x-অক্ষ অতিক্রম করে।

এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি দুটি বিন্দুতে x-অক্ষ (অক্ষ) অতিক্রম করে:
এবং .
এই পয়েন্টগুলি মূল সমীকরণের মূল (1.1)।

;
;
.

উদাহরণ 2

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন:
(2.1) .

আমরা সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণ লিখি:
.
মূল সমীকরণ (2.1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:
.
যেহেতু বৈষম্যকারী শূন্য, সমীকরণটির দুটি একাধিক (সমান) মূল রয়েছে:
;
.

তারপর ত্রিনয়কের ফ্যাক্টরাইজেশন ফর্ম আছে:
.

y = x ফাংশনের গ্রাফ 2 - 4 x + 4এক বিন্দুতে x-অক্ষ স্পর্শ করে।

এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি এক বিন্দুতে এক্স-অক্ষ (অক্ষ) স্পর্শ করে:
.
এই বিন্দুটি মূল সমীকরণের মূল (2.1)। যেহেতু এই মূলটি দুইবার ফ্যাক্টর করা হয়েছে:
,
তাহলে এই ধরনের মূলকে একাধিক বলা হয়। অর্থাৎ, তারা বিবেচনা করে যে দুটি সমান শিকড় রয়েছে:
.

;
.

উদাহরণ 3

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজুন:
(3.1) .

আমরা সাধারণ আকারে দ্বিঘাত সমীকরণ লিখি:
(1) .
আসুন মূল সমীকরণটি পুনরায় লিখি (3.1):
.
(1) এর সাথে তুলনা করে, আমরা সহগগুলির মান খুঁজে পাই:
.
বৈষম্যকারীর সন্ধান করা:
.
বৈষম্যকারী নেতিবাচক, . অতএব, কোন বাস্তব শিকড় আছে.

আপনি জটিল শিকড় খুঁজে পেতে পারেন:
;
;
.

তারপর


.

ফাংশনের গ্রাফটি x-অক্ষ অতিক্রম করে না। কোন প্রকৃত শিকড় আছে.

এর ফাংশন প্লট করা যাক
.
এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি প্যারাবোলা। এটি আবসিসা (অক্ষ) অতিক্রম করে না। অতএব, কোন বাস্তব শিকড় আছে.

কোন প্রকৃত শিকড় আছে. জটিল শিকড়:
;
;
.

অনেক অ-সাধারণ সূত্রের কারণে এই বিষয়টি প্রথমে জটিল মনে হতে পারে। শুধু দ্বিঘাত সমীকরণেই দীর্ঘ এন্ট্রি থাকে না, বৈষম্যের মাধ্যমে শিকড়ও পাওয়া যায়। মোট তিনটি নতুন সূত্র আছে। মনে রাখা খুব সহজ নয়। এই ধরনের সমীকরণের ঘন ঘন সমাধানের পরেই এটি সম্ভব। তাহলে সব সূত্র নিজেরাই মনে থাকবে।

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ দৃশ্য

এখানে তাদের সুস্পষ্ট স্বরলিপি প্রস্তাবিত হয়, যখন বৃহত্তম ডিগ্রীটি প্রথমে লেখা হয়, এবং তারপরে - অবরোহী ক্রমে। প্রায়শই এমন পরিস্থিতি থাকে যখন শর্তগুলি আলাদা হয়ে যায়। তাহলে ভেরিয়েবলের ডিগ্রীর অবরোহ ক্রমে সমীকরণটি পুনরায় লিখলে ভালো হয়।

আসুন স্বরলিপি প্রবর্তন করি। তারা নীচের টেবিলে উপস্থাপন করা হয়.

যদি আমরা এই স্বরলিপিগুলি গ্রহণ করি, তাহলে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণ নিম্নলিখিত স্বরলিপিতে হ্রাস পাবে।

তাছাড়া, সহগ a ≠ 0. এই সূত্রটিকে এক নম্বর দ্বারা চিহ্নিত করা যাক।

সমীকরণটি দেওয়া হলে উত্তরে কয়টি শিকড় থাকবে তা স্পষ্ট নয়। কারণ তিনটি বিকল্পের একটি সর্বদা সম্ভব:

• সমাধান দুটি শিকড় থাকবে;
• উত্তর হবে এক নম্বর;
• সমীকরণের কোনো শিকড় নেই।

এবং যখন সিদ্ধান্তটি শেষ পর্যন্ত আনা হয় না, তবে একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি পড়ে যাবে তা বোঝা কঠিন।

দ্বিঘাত সমীকরণের রেকর্ডের প্রকার

টাস্কে বিভিন্ন এন্ট্রি থাকতে পারে। এগুলি সর্বদা একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সূত্রের মতো দেখাবে না। কখনও কখনও এটি কিছু পদের অভাব হবে. উপরে যা লেখা হয়েছে তা সম্পূর্ণ সমীকরণ। আপনি যদি এটিতে দ্বিতীয় বা তৃতীয় পদটি সরিয়ে দেন তবে আপনি আলাদা কিছু পাবেন। এই রেকর্ডগুলিকে দ্বিঘাত সমীকরণও বলা হয়, শুধুমাত্র অসম্পূর্ণ।

তদুপরি, শুধুমাত্র সেই পদগুলি যার জন্য সহগ "b" এবং "c" অদৃশ্য হতে পারে। সংখ্যা "a" কোনো অবস্থাতেই শূন্যের সমান হতে পারে না। কারণ এই ক্ষেত্রে সূত্রটি একটি রৈখিক সমীকরণে পরিণত হয়। সমীকরণগুলির অসম্পূর্ণ ফর্মের সূত্রগুলি নিম্নরূপ হবে:

সুতরাং, কেবল দুটি প্রকার রয়েছে, সম্পূর্ণগুলি ছাড়াও, অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণও রয়েছে। প্রথম সূত্রটি দুই নম্বর এবং দ্বিতীয় নম্বর তিন হতে দিন।

বৈষম্যকারী এবং তার মান উপর শিকড় সংখ্যা নির্ভরতা

সমীকরণের মূল গণনা করার জন্য এই সংখ্যাটি অবশ্যই জানা থাকতে হবে। এটি সর্বদা গণনা করা যেতে পারে, দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র যাই হোক না কেন। বৈষম্যকারী গণনা করার জন্য, আপনাকে নীচে লেখা সমতা ব্যবহার করতে হবে, যার চার নম্বর থাকবে।

এই সূত্রে সহগগুলির মানগুলি প্রতিস্থাপন করার পরে, আপনি বিভিন্ন চিহ্ন সহ সংখ্যা পেতে পারেন। যদি উত্তর হ্যাঁ হয়, তাহলে সমীকরণের উত্তর হবে দুটি ভিন্ন মূল। একটি ঋণাত্মক সংখ্যা সহ, দ্বিঘাত সমীকরণের মূল অনুপস্থিত থাকবে। শূন্যের সমান হলে উত্তর হবে এক।

কিভাবে একটি সম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা হয়?

প্রকৃতপক্ষে, ইতিমধ্যে এই বিষয়টি বিবেচনা শুরু হয়েছে। কারণ প্রথমে আপনাকে বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করতে হবে। দ্বিঘাত সমীকরণের মূল রয়েছে এবং তাদের সংখ্যা জানা আছে তা স্পষ্ট করার পরে, আপনাকে ভেরিয়েবলগুলির জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে। যদি দুটি শিকড় থাকে তবে আপনাকে এমন একটি সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।

যেহেতু এটিতে "±" চিহ্ন রয়েছে, তাই দুটি মান থাকবে। বর্গমূল চিহ্নের অধীন অভিব্যক্তিটি বৈষম্যকারী। অতএব, সূত্রটি একটি ভিন্ন উপায়ে পুনর্লিখন করা যেতে পারে।

ফর্মুলা ফাইভ। একই রেকর্ড থেকে দেখা যায় যে যদি বৈষম্যকারী শূন্য হয়, তবে উভয় মূল একই মান গ্রহণ করবে।

যদি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান এখনও করা না হয়ে থাকে, তবে বৈষম্যমূলক এবং পরিবর্তনশীল সূত্র প্রয়োগ করার আগে সমস্ত সহগগুলির মানগুলি লিখে রাখা ভাল। পরে এই মুহূর্ত অসুবিধা সৃষ্টি করবে না। তবে শুরুতেই বিভ্রান্তি রয়েছে।

একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ কিভাবে সমাধান করা হয়?

এখানে সবকিছু অনেক সহজ। এমনকি অতিরিক্ত সূত্রের প্রয়োজন নেই। এবং আপনার সেগুলির প্রয়োজন হবে না যা ইতিমধ্যে বৈষম্যকারী এবং অজানাদের জন্য লেখা হয়েছে।

প্রথমে, দুই নম্বর অসম্পূর্ণ সমীকরণটি বিবেচনা করুন। এই সমতায়, বন্ধনী থেকে অজানা মান বের করে রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করার কথা, যা বন্ধনীতে থাকবে। উত্তরের দুটি মূল থাকবে। প্রথমটি অগত্যা শূন্যের সমান, কারণ ভেরিয়েবলেরই একটি ফ্যাক্টর রয়েছে। দ্বিতীয়টি একটি রৈখিক সমীকরণ সমাধান করে প্রাপ্ত হয়।

তিন নম্বরে থাকা অসম্পূর্ণ সমীকরণটি সমীকরণের বাম দিক থেকে ডানে স্থানান্তরিত করে সমাধান করা হয়। তারপর আপনাকে অজানার সামনে সহগ দিয়ে ভাগ করতে হবে। এটি শুধুমাত্র বর্গমূল বের করার জন্যই রয়ে গেছে এবং বিপরীত চিহ্ন দিয়ে এটি দুবার লিখতে ভুলবেন না।

নিম্নলিখিত কিছু ক্রিয়া রয়েছে যা আপনাকে শিখতে সাহায্য করে যে সমস্ত ধরণের সমতাগুলি কীভাবে সমাধান করতে হয় যা দ্বিঘাত সমীকরণে পরিণত হয়। তারা শিক্ষার্থীকে অসাবধানতার কারণে ভুল এড়াতে সাহায্য করবে। "কোয়াড্রিক ইকুয়েশন (গ্রেড 8)" বিস্তৃত বিষয় অধ্যয়ন করার সময় এই ত্রুটিগুলি দুর্বল গ্রেডের কারণ। পরবর্তীকালে, এই ক্রিয়াগুলি ক্রমাগত সম্পাদন করার প্রয়োজন হবে না। কারণ একটি স্থিতিশীল অভ্যাস থাকবে।

• প্রথমে আপনাকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে সমীকরণটি লিখতে হবে। অর্থাৎ, প্রথমে ভেরিয়েবলের বৃহত্তম ডিগ্রী সহ টার্ম, এবং তারপর - ডিগ্রী ছাড়া এবং শেষ - শুধুমাত্র একটি সংখ্যা।

• যদি একটি বিয়োগ সহগ "a" এর আগে উপস্থিত হয়, তাহলে এটি দ্বিঘাত সমীকরণ অধ্যয়ন করার জন্য একজন শিক্ষানবিশের জন্য কাজকে জটিল করে তুলতে পারে। এটা থেকে পরিত্রাণ পেতে ভাল. এই উদ্দেশ্যে, সমস্ত সমতাকে "-1" দ্বারা গুণ করতে হবে। এর মানে হল যে সমস্ত পদ বিপরীত চিহ্নে পরিবর্তন করবে।

• একই ভাবে, ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে সুপারিশ করা হয়। সহজভাবে সমীকরণটিকে উপযুক্ত গুণক দ্বারা গুণ করুন যাতে হরগুলি বাতিল হয়ে যায়।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)।

প্রথম সমীকরণ: x 2 - 7x \u003d 0। এটি অসম্পূর্ণ, তাই সূত্র নম্বর দুই-এর জন্য বর্ণিত হিসাবে এটি সমাধান করা হয়েছে।

বন্ধনী করার পরে, এটি দেখা যাচ্ছে: x (x - 7) \u003d 0।

প্রথম রুটটি মানটি নেয়: x 1 \u003d 0। দ্বিতীয়টি রৈখিক সমীকরণ থেকে পাওয়া যাবে: x - 7 \u003d 0। এটা দেখা সহজ যে x 2 \u003d 7।

দ্বিতীয় সমীকরণ: 5x2 + 30 = 0. আবার অসম্পূর্ণ। তৃতীয় সূত্রের জন্য বর্ণিত হিসাবে শুধুমাত্র এটি সমাধান করা হয়।

সমীকরণের ডানদিকে 30 স্থানান্তর করার পরে: 5x 2 = 30। এখন আপনাকে 5 দ্বারা ভাগ করতে হবে। এতে দেখা যাচ্ছে: x 2 = 6। উত্তরগুলি হবে সংখ্যা: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

তৃতীয় সমীকরণ: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. এখানে এবং নীচে, দ্বিঘাত সমীকরণগুলির সমাধান একটি আদর্শ আকারে পুনরায় লেখার মাধ্যমে শুরু হবে: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0। এখন দ্বিতীয়টি ব্যবহার করার পালা দরকারী টিপ এবং সবকিছুকে বিয়োগ এক দ্বারা গুণ করুন। এটি দেখা যাচ্ছে x 2 + 2x - 15 \u003d 0। চতুর্থ সূত্র অনুসারে, আপনাকে বৈষম্যকারী গণনা করতে হবে: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64। এটি একটি সঠিক নাম্বার. উপরে যা বলা হয়েছে তা থেকে দেখা যাচ্ছে যে সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। তাদের পঞ্চম সূত্র অনুযায়ী গণনা করা প্রয়োজন। এটি অনুসারে, দেখা যাচ্ছে যে x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2। তারপর x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5।

চতুর্থ সমীকরণ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 এতে রূপান্তরিত হয়: x 2 + 3x + 8 \u003d 0। এর বৈষম্য এই মানের সমান: -23। যেহেতু এই সংখ্যাটি নেতিবাচক, এই কাজের উত্তর হবে নিম্নলিখিত এন্ট্রি: "কোনও শিকড় নেই।"

পঞ্চম সমীকরণ 12x + x 2 + 36 = 0 নিম্নরূপ পুনরায় লিখতে হবে: x 2 + 12x + 36 = 0। বৈষম্যকারীর জন্য সূত্র প্রয়োগ করার পরে, শূন্য সংখ্যাটি পাওয়া যায়। এর মানে হল এর একটি রুট থাকবে, যথা: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6।

ষষ্ঠ সমীকরণ (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) এর জন্য রূপান্তর প্রয়োজন, যা বন্ধনী খোলার আগে আপনাকে অনুরূপ পদ আনতে হবে। প্রথমটির জায়গায় এমন একটি অভিব্যক্তি থাকবে: x 2 + 2x + 1। সমতার পরে, এই এন্ট্রিটি উপস্থিত হবে: x 2 + 3x + 2। অনুরূপ পদ গণনা করার পরে, সমীকরণটি ফর্মটি গ্রহণ করবে: x 2 - x \u003d 0. এটি অসম্পূর্ণ হয়ে গেছে। অনুরূপ ইতিমধ্যে একটু উচ্চ বিবেচনা করা হয়েছে. এর মূল হবে 0 এবং 1 সংখ্যা।

”, অর্থাৎ প্রথম ডিগ্রির সমীকরণ। এই পাঠে, আমরা অন্বেষণ করব একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কিএবং কিভাবে সমাধান করা যায়।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ কি

গুরুত্বপূর্ণ !

একটি সমীকরণের ডিগ্রী অজানাটি সর্বোচ্চ ডিগ্রী দ্বারা নির্ধারিত হয়।

অজানা দাঁড়ানো সর্বোচ্চ ডিগ্রী যদি "2" হয়, তাহলে আপনার একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আছে।

দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

গুরুত্বপূর্ণ ! দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপটি এইরকম দেখায়:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - প্রথম বা সিনিয়র সহগ;
• "বি" - দ্বিতীয় সহগ;
• "c" একটি বিনামূল্যের সদস্য।

"a", "b" এবং "c" খুঁজে পেতে আপনাকে দ্বিঘাত সমীকরণ "ax 2 + bx + c \u003d 0" এর সাধারণ ফর্মের সাথে আপনার সমীকরণ তুলনা করতে হবে।

চলুন দ্বিঘাত সমীকরণে "a", "b" এবং "c" সহগ নির্ণয়ের অনুশীলন করি।

• a = −1
• b = 1
• গ =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

দ্বিঘাত সমীকরণ কিভাবে সমাধান করা যায়

রৈখিক সমীকরণের বিপরীতে, দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে একটি বিশেষ সমীকরণ ব্যবহার করা হয়। শিকড় খোঁজার সূত্র.

মনে রাখবেন!

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে আপনার প্রয়োজন:

• দ্বিঘাত সমীকরণটিকে সাধারণ ফর্মে আনুন "ax 2 + bx + c \u003d 0"। যে, শুধুমাত্র "0" ডান দিকে থাকা উচিত;
• শিকড় জন্য সূত্র ব্যবহার করুন:

চতুর্মুখী সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার জন্য সূত্রটি কীভাবে প্রয়োগ করা যায় তা বোঝার জন্য একটি উদাহরণ ব্যবহার করা যাক। চলুন দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি।

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" সমীকরণটি ইতিমধ্যেই সাধারণ ফর্ম "ax 2 + bx + c = 0" এ হ্রাস করা হয়েছে এবং অতিরিক্ত সরলীকরণের প্রয়োজন নেই। এটি সমাধান করার জন্য, আমাদের শুধুমাত্র আবেদন করতে হবে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার সূত্র.

এই সমীকরণের জন্য সহগ "a", "b" এবং "c" সংজ্ঞায়িত করা যাক।

এর সাহায্যে যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা হয়।

সূত্রে "x 1; 2 \u003d" মূল অভিব্যক্তি প্রায়ই প্রতিস্থাপিত হয়
"b 2 − 4ac" অক্ষরটিকে "D" এবং বলা হয় বৈষম্যমূলক। বৈষম্যকারীর ধারণাটি "বৈষম্যকারী কী" পাঠে আরও বিশদে আলোচনা করা হয়েছে।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের আরেকটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

x 2 + 9 + x = 7x

এই ফর্মে, "a", "b", এবং "c" সহগ নির্ধারণ করা বরং কঠিন। প্রথমে সমীকরণটিকে সাধারণ ফর্মে নিয়ে আসি "ax 2 + bx + c \u003d 0"।

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

এখন আপনি শিকড় জন্য সূত্র ব্যবহার করতে পারেন.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

এমন কিছু সময় আছে যখন দ্বিঘাত সমীকরণে কোনো শিকড় থাকে না। এই পরিস্থিতিটি ঘটে যখন মূলের নীচে সূত্রে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা উপস্থিত হয়।

দ্বিঘাত সমীকরণ 8 গ্রেডে অধ্যয়ন করা হয়, তাই এখানে জটিল কিছু নেই। তাদের সমাধান করার ক্ষমতা অপরিহার্য।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হল ax 2 + bx + c = 0 ফর্মের একটি সমীকরণ, যেখানে a , b এবং c সহগ হল নির্বিচারে সংখ্যা এবং a ≠ 0।

নির্দিষ্ট সমাধান পদ্ধতি অধ্যয়ন করার আগে, আমরা লক্ষ্য করি যে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণ তিনটি শ্রেণীতে বিভক্ত করা যেতে পারে:

1. কোন শিকড় নেই;
2. তাদের ঠিক একটি মূল আছে;
3. তাদের দুটি ভিন্ন শিকড় আছে।

এটি দ্বিঘাত এবং রৈখিক সমীকরণের মধ্যে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য, যেখানে মূলটি সর্বদা বিদ্যমান এবং অনন্য। একটি সমীকরণের কতগুলি শিকড় রয়েছে তা কীভাবে নির্ধারণ করবেন? এর জন্য একটি দুর্দান্ত জিনিস রয়েছে - বৈষম্যমূলক.

বৈষম্যমূলক

দ্বিঘাত সমীকরণ ax 2 + bx + c = 0 দেওয়া যাক তাহলে বিভেদকারীটি হল সংখ্যাটি D = b 2 − 4ac।

এই সূত্র হৃদয় দিয়ে জানতে হবে. কোথা থেকে এসেছে সেটা এখন গুরুত্বপূর্ণ নয়। আরেকটি বিষয় গুরুত্বপূর্ণ: বৈষম্যকারীর চিহ্ন দ্বারা, আপনি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের কতগুলি শিকড় রয়েছে তা নির্ধারণ করতে পারেন। যথা:

1. যদি ডি< 0, корней нет;
2. D = 0 হলে, ঠিক একটি মূল আছে;
3. D > 0 হলে, দুটি মূল থাকবে।

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: বৈষম্যকারীটি শিকড়ের সংখ্যা নির্দেশ করে, এবং তাদের লক্ষণগুলি মোটেই নয়, কারণ কিছু কারণে অনেকে মনে করেন। উদাহরণগুলি একবার দেখুন এবং আপনি নিজেই সবকিছু বুঝতে পারবেন:

একটি কাজ. দ্বিঘাত সমীকরণের কয়টি মূল আছে:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0।

আমরা প্রথম সমীকরণের জন্য সহগ লিখি এবং বৈষম্যকারী খুঁজে পাই:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

সুতরাং, বৈষম্যকারী ইতিবাচক, তাই সমীকরণের দুটি ভিন্ন মূল রয়েছে। আমরা একই ভাবে দ্বিতীয় সমীকরণ বিশ্লেষণ করি:
a = 5; b = 3; c = 7;
ডি \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131।

বৈষম্যকারী নেতিবাচক, কোন শিকড় নেই। শেষ সমীকরণটি অবশিষ্ট রয়েছে:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0।

বৈষম্য শূন্যের সমান-মূল হবে এক।

মনে রাখবেন যে প্রতিটি সমীকরণের জন্য সহগগুলি লেখা হয়েছে। হ্যাঁ, এটি দীর্ঘ, হ্যাঁ, এটি ক্লান্তিকর - তবে আপনি প্রতিকূলতা মিশ্রিত করবেন না এবং বোকা ভুল করবেন না। নিজের জন্য চয়ন করুন: গতি বা গুণমান।

যাইহোক, আপনি যদি "আপনার হাতটি পূরণ করেন", কিছুক্ষণ পরে আপনাকে আর সমস্ত সহগ লিখতে হবে না। আপনি আপনার মাথায় এই ধরনের অপারেশন করবেন। বেশিরভাগ লোকেরা 50-70 মীমাংসিত সমীকরণের পরে কোথাও এটি করা শুরু করে - সাধারণভাবে, এত বেশি নয়।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়

এখন সমাধানের দিকে যাওয়া যাক। বৈষম্যকারী D > 0 হলে, সূত্র ব্যবহার করে শিকড় পাওয়া যাবে:

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের মূল সূত্র

যখন D = 0, আপনি এই সূত্রগুলির যেকোনো একটি ব্যবহার করতে পারেন - আপনি একই নম্বর পাবেন, যা উত্তর হবে। অবশেষে, যদি ডি< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0।

প্রথম সমীকরণ:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16।

D > 0 ⇒ সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। আসুন তাদের খুঁজে বের করা যাক:

দ্বিতীয় সমীকরণ:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64।

D > 0 ⇒ সমীকরণটির আবার দুটি মূল রয়েছে। আসুন তাদের খুঁজে বের করা যাক

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \শেষ(সারিবদ্ধ)\]

অবশেষে, তৃতীয় সমীকরণ:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0।

D = 0 ⇒ সমীকরণটির একটি মূল আছে। যে কোন সূত্র ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটি:

আপনি উদাহরণ থেকে দেখতে পারেন, সবকিছু খুব সহজ. আপনি যদি সূত্রগুলি জানেন এবং গণনা করতে সক্ষম হন তবে কোনও সমস্যা হবে না। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, ত্রুটিগুলি ঘটে যখন নেতিবাচক সহগগুলি সূত্রে প্রতিস্থাপিত হয়। এখানে, আবার, উপরে বর্ণিত কৌশলটি সাহায্য করবে: আক্ষরিকভাবে সূত্রটি দেখুন, প্রতিটি ধাপে আঁকুন - এবং খুব শীঘ্রই ভুলগুলি থেকে মুক্তি পান।

অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ

এটি ঘটে যে দ্বিঘাত সমীকরণটি সংজ্ঞায় যা দেওয়া হয়েছে তার থেকে কিছুটা আলাদা। উদাহরণ স্বরূপ:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0।

এই সমীকরণে একটি পদ অনুপস্থিত দেখতে সহজ। এই ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণগুলি মানকগুলির তুলনায় সমাধান করা আরও সহজ: তাদের এমনকি বৈষম্যকারী গণনা করার দরকার নেই। তাহলে আসুন একটি নতুন ধারণা চালু করি:

ax 2 + bx + c = 0 সমীকরণটিকে একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ বলা হয় যদি b = 0 বা c = 0 হয়, অর্থাৎ চলক x বা মুক্ত উপাদানের সহগ শূন্যের সমান।

অবশ্যই, একটি খুব কঠিন ক্ষেত্রে সম্ভব যখন এই উভয় সহগ শূন্যের সমান হয়: b \u003d c \u003d 0। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণটি ax 2 \u003d 0 রূপ নেয়। স্পষ্টতই, এই জাতীয় সমীকরণের একটি একক আছে রুট: x \u003d 0।

আসুন অন্যান্য ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক। ধরুন b \u003d 0, তাহলে আমরা ax 2 + c \u003d 0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ পাব। এর সামান্য রূপান্তর করা যাক:

যেহেতু গাণিতিক বর্গমূল শুধুমাত্র একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে বিদ্যমান, শেষ সমতা তখনই বোঝা যায় যখন (−c/a ) ≥ 0। উপসংহার:

1. যদি ax 2 + c = 0 ফর্মের একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ অসমতা (−c / a ) ≥ 0 সন্তুষ্ট করে, তাহলে দুটি মূল থাকবে। সূত্র উপরে দেওয়া হয়েছে;
2. যদি (−c/a)< 0, корней нет.

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, বৈষম্যকারীর প্রয়োজন ছিল না - অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণে কোনও জটিল গণনা নেই। প্রকৃতপক্ষে, অসমতা (−c/a ) ≥ 0 মনে রাখারও প্রয়োজন নেই। x 2-এর মান প্রকাশ করা এবং সমান চিহ্নের অপর পাশে কী আছে তা দেখার জন্য এটি যথেষ্ট। ধনাত্মক সংখ্যা হলে দুটি মূল থাকবে। নেতিবাচক হলে, কোন শিকড় থাকবে না।

এখন ax 2 + bx = 0 ফর্মের সমীকরণ নিয়ে কাজ করা যাক, যেখানে মুক্ত উপাদানটি শূন্যের সমান। এখানে সবকিছু সহজ: সবসময় দুটি শিকড় থাকবে। এটি বহুপদকে ফ্যাক্টরাইজ করার জন্য যথেষ্ট:

গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তত একটি শূন্যের সমান হলে গুণফল শূন্যের সমান। এখান থেকেই শিকড় আসে। উপসংহারে, আমরা এই সমীকরণগুলির কয়েকটি বিশ্লেষণ করব:

একটি কাজ. দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করুন:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0।

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7।

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6। কোন শিকড় আছে, কারণ বর্গ একটি ঋণাত্মক সংখ্যার সমান হতে পারে না।

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5।