بناء خماسي منتظم. رسم تقنى _ رسم عن طريق الكمبيوتر. بناء المضلعات المنتظمة مخطط البنتاغون المنتظم

هذا الشكل عبارة عن مضلع به أقل عدد من الزوايا التي لا يمكن استخدامها في تجانب منطقة ما. فقط خماسي الأضلاع له نفس عدد الأقطار مثل جوانبه. باستخدام الصيغ لمضلع منتظم عشوائي ، يمكنك تحديد جميع المعلمات الضرورية التي يمتلكها البنتاغون. على سبيل المثال ، قم بتسجيله في دائرة بنصف قطر معين ، أو قم ببنائه على أساس جانب جانبي معين.

كيفية رسم شعاع بشكل صحيح وما هي أدوات الرسم التي ستحتاجها؟ خذ قطعة من الورق وحدد نقطة في أي مكان. ثم اربط مسطرة وارسم خطًا من النقطة المشار إليها إلى اللانهاية. لرسم خط مستقيم ، اضغط على مفتاح "Shift" وارسم خطًا بالطول المطلوب. بعد الرسم مباشرة ، سيتم فتح علامة التبويب "تنسيق". قم بإلغاء تحديد السطر وستلاحظ ظهور نقطة في بداية السطر. لإنشاء نقش ، انقر فوق الزر "رسم نقش" وإنشاء حقل حيث سيتم وضع النقش.

الطريقة الأولى لبناء البنتاغون تعتبر أكثر "كلاسيكية". سيكون الشكل الناتج خماسيًا منتظمًا. الدوديكاجون ليس استثناءً ، لذا فإن بنائه سيكون مستحيلاً بدون استخدام البوصلة. يتم تقليل مهمة بناء خماسي منتظم إلى مهمة تقسيم الدائرة إلى خمسة أجزاء متساوية. يمكنك رسم نجمة خماسية باستخدام أبسط الأدوات.

لقد ناضلت لفترة طويلة في محاولة لتحقيق ذلك وإيجاد النسب والتبعيات بشكل مستقل ، لكنني لم أنجح. اتضح أن هناك العديد من الخيارات المختلفة لبناء خماسي منتظم ، تم تطويره بواسطة علماء رياضيات مشهورين. النقطة المثيرة للاهتمام هي أنه من الناحية الحسابية لا يمكن حل هذه المشكلة إلا بشكل دقيق تقريبًا ، حيث يجب استخدام الأرقام غير المنطقية. لكن يمكن حلها هندسيًا.

تقسيم الدوائر. نقاط تقاطع هذه الخطوط مع الدائرة هي رؤوس المربع. في دائرة نصف قطرها R (الخطوة 1) ارسم قطرًا رأسيًا. عند نقطة الاقتران N لخط ودائرة ، يكون الخط مماسًا للدائرة.

الاستلام بشريط من الورق

يمكن إنشاء مسدس منتظم باستخدام مربع T ومربع 30 × 60 درجة. يمكن إنشاء رؤوس مثل هذا المثلث باستخدام بوصلة ومربع بزوايا 30 و 60 درجة ، أو بوصلة واحدة فقط. لبناء الضلع 2-3 ، اضبط المربع T على الموضع الموضح بالخطوط المتقطعة ، وارسم خطًا مستقيمًا عبر النقطة 2 ، والتي ستحدد الرأس الثالث للمثلث. نضع علامة على النقطة 1 على الدائرة ونأخذها كأحد رؤوس البنتاغون. نقوم بتوصيل الرؤوس الموجودة في سلسلة مع بعضها البعض. يمكن بناء سباعي الأضلاع عن طريق سحب الأشعة من القطب F ومن خلال التقسيمات الفردية للقطر العمودي.

وعلى الطرف الآخر من الخيط ، يتم تثبيت قلم الرصاص واهتمامه. إذا كنت تعرف كيفية رسم نجمة ، ولكنك لا تعرف كيفية رسم خماسي ، ارسم نجمة بقلم رصاص ، ثم قم بتوصيل الأطراف المجاورة للنجم معًا ، ثم امسح النجم نفسه. ثم ضع ورقة (من الأفضل تثبيتها على الطاولة بأربعة أزرار أو إبر). ثبتي هذه الشرائط الخمسة بقطعة من الورق بها دبابيس أو إبر حتى تظل ثابتة. ثم ضع دائرة حول البنتاغون الناتج وقم بإزالة هذه الخطوط من الورقة.

على سبيل المثال ، نحتاج إلى رسم نجمة خماسية (نجمة خماسية) للحصول على صورة عن الماضي السوفيتي أو عن حاضر الصين. صحيح ، لهذا تحتاج إلى أن تكون قادرًا على إنشاء رسم لنجم في المنظور. وبالمثل ، ستتمكن من رسم شكل بقلم رصاص على الورق. كيف ترسم نجمة بشكل صحيح ، بحيث تبدو جميلة وجميلة ، لن تجيب على الفور.

من المركز ، اخفض شعاعين على الدائرة بحيث تكون الزاوية بينهما 72 درجة (منقلة). يتم تقسيم الدائرة إلى خمسة أجزاء باستخدام بوصلة عادية أو منقلة. نظرًا لأن البنتاغون العادي هو أحد الأشكال التي تحتوي على نسب القسم الذهبي ، فقد اهتم الرسامون وعلماء الرياضيات منذ فترة طويلة ببنائه. تم تحديد مبادئ البناء هذه باستخدام البوصلة والموازنة في العناصر الإقليدية.

الخماسي المنتظم هو شكل هندسي يتكون من تقاطع خمسة خطوط مستقيمة تشكل خمس زوايا متطابقة. هذا الرقم يسمى البنتاغون. يرتبط عمل الفنانين ارتباطًا وثيقًا بالبنتاغون - تستند رسوماتهم إلى أشكال هندسية منتظمة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة كيفية بناء البنتاغون بسرعة.

لماذا هذا الرقم مثير للاهتمام؟ المبنى على شكل خماسي وزارة الدفاع بالولايات المتحدة الأمريكية. يمكن ملاحظة ذلك في الصور الملتقطة من ارتفاع الرحلة. في الطبيعة ، لا توجد بلورات وأحجار ، يمكن لشكلها أن يشبه البنتاغون. فقط في هذا الشكل يتطابق عدد الوجوه مع عدد الأقطار.

معلمات البنتاغون المنتظم

البنتاغون المستطيل ، مثل كل شكل في الهندسة ، له معلماته الخاصة. من خلال معرفة الصيغ الضرورية ، يمكنك حساب هذه المعلمات ، والتي ستسهل عملية بناء البنتاغون. طرق الحساب والصيغ:

• مجموع كل الزوايا في المضلعات 360 درجة. في البنتاغون العادي ، جميع الزوايا متساوية ، على التوالي ، توجد الزاوية المركزية بهذه الطريقة: 360/5 \ u003d 72 درجة ؛
• تم العثور على الزاوية الداخلية بهذه الطريقة: 180 * (ن -2) / ن = 180 * (5−2) / 5 = 108 درجات. مجموع الزوايا الداخلية: 108 * 5 = 540 درجة.

تم العثور على جانب البنتاغون باستخدام المعلمات المعطاة بالفعل في بيان المشكلة:

• إذا تم تحديد دائرة حول البنتاغون وكان نصف قطرها معروفًا ، فسيتم العثور على الجانب وفقًا للصيغة التالية: a \ u003d 2 * R * sin (α / 2) \ u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1.1756 * R.
• إذا كان نصف قطر الدائرة المدرجة في البنتاغون معروفًا ، فإن صيغة حساب جانب المضلع هي: 2 * r * tg (α / 2) = 2 * r * tg (α / 2) = 1.453 * r .
• مع وجود قطري معروف للبنتاغون ، يتم حساب جانبه على النحو التالي: أ \ u003d د / 1.618.

مساحة البنتاغون، مثل جانبه ، يعتمد على المعلمات الموجودة بالفعل:

• باستخدام نصف القطر المعروف للدائرة المنقوشة ، تم العثور على المنطقة على النحو التالي: S \ u003d (n * a * r) / 2 \ u003d 2.5 * a * r.
• تسمح لك الدائرة المقيدة حول البنتاغون بإيجاد المنطقة باستخدام الصيغة التالية: S \ u003d (n * R2 * sin α) / 2 \ u003d 2.3776 * R2.
• اعتمادًا على جانب البنتاغون: S = (5 * a2 * tg 54 °) / 4 = 1.7205 * a2.

بناء البنتاغون

يمكنك بناء خماسي منتظم باستخدام المسطرة والبوصلة ، بناءً على دائرة منقوشة فيه أو أحد الجوانب.

كيفية رسم خماسي على أساس دائرة منقوشة؟ للقيام بذلك ، قم بتخزين بوصلة ومسطرة واتبع الخطوات التالية:

1. تحتاج أولاً إلى رسم دائرة بمركز O ، ثم تحديد نقطة عليها ، A - أعلى البنتاغون. يتم رسم خط من المركز إلى الأعلى.
2. ثم يتم إنشاء مقطع عمودي على الخط المستقيم OA ، والذي يمر أيضًا عبر O - مركز الدائرة. يُشار إلى تقاطعها مع الدائرة بالنقطة B. الجزء O.V. مقسم بواسطة النقطة C.
3. ستصبح النقطة C مركز دائرة جديدة تمر عبر A. النقطة D هي تقاطعها مع الخط المستقيم OB داخل حدود الشكل الأول.
4. بعد ذلك ، يتم رسم دائرة ثالثة عبر D ، مركزها النقطة A. وتتقاطع مع الشكل الأول عند نقطتين ، ويجب الإشارة إليهما بالحرفين E و F.
5. الدائرة التالية مركزها عند النقطة E وتمر عبر A ، وتقاطعها مع الدائرة الأصلية عند النقطة الجديدة G.
6. يتم رسم الدائرة الأخيرة في هذا الشكل من خلال نقطة ، A مع مركز F. يتم وضع النقطة H عند تقاطعها مع النقطة الأولى.
7. في الدائرة الأولى ، بعد كل الخطوات التي تم اتخاذها ، ظهرت خمس نقاط ، والتي يجب أن تكون متصلة ببعضها البعض. وهكذا ، تم الحصول على خماسي منتظم AE GHF.

كيف نبني البنتاغون العادي بطريقة مختلفة؟ بمساعدة المسطرة والبوصلة ، يمكن بناء البنتاغون بشكل أسرع قليلاً. لهذا تحتاج:

1. تحتاج أولاً إلى استخدام بوصلة لرسم دائرة ، مركزها النقطة O.
2. يتم رسم نصف القطر OA - مقطع مرسوم على دائرة. يتم تقسيمها بالنقطة ب.
3. يتم رسم نظام تشغيل المقطع بشكل عمودي على نصف قطر OA ، وترتبط النقطتان B و C بخط مستقيم.
4. الخطوة التالية هي رسم طول القطعة قبل الميلاد ببوصلة على خط القطر. تظهر النقطة D بشكل عمودي على المقطع OA ، والنقطتان B و D متصلتان لتشكلان مقطعًا جديدًا.
5. من أجل الحصول على حجم جانب البنتاغون ، تحتاج إلى ربط النقطتين C و D.
6. يتم نقل D بمساعدة البوصلة إلى دائرة ويشار إليها بالنقطة E. من خلال توصيل E و C ، يمكنك الحصول على الجانب الأول من البنتاغون العادي. باتباع هذه التعليمات ، يمكنك تعلم كيفية بناء البنتاغون بسرعة بجوانب متساوية ، والاستمرار في بناء جوانبه الأخرى مثل الجانب الأول.

في البنتاغون مع نفس الجوانب ، تكون الأقطار متساوية وتشكل نجمة خماسية ، تسمى الخماسي. النسبة الذهبية هي نسبة حجم القطر إلى جانب البنتاغون.

البنتاغون غير مناسب لملء الطائرة بالكامل. استخدام أي مادة في هذا النموذج يترك فجوات أو أشكال متداخلة. على الرغم من عدم وجود بلورات طبيعية من هذا الشكل في الطبيعة ، عندما يتشكل الجليد على سطح المنتجات النحاسية الناعمة ، تظهر جزيئات على شكل خماسي ، متصلة في سلاسل.

أسهل طريقة للحصول على خماسي منتظم من شريط من الورق هي ربطه في عقدة والضغط قليلاً لأسفل. هذه الطريقة مفيدة لأولياء أمور الأطفال في سن ما قبل المدرسة الذين يرغبون في تعليم أطفالهم الصغار التعرف على الأشكال الهندسية.

فيديو

انظر كيف يمكنك رسم خماسي بسرعة.

بناء مسدس منتظم منقوش في دائرة.

يعتمد تكوين الشكل السداسي على حقيقة أن جانبه يساوي نصف قطر الدائرة المحددة. لذلك ، للبناء ، يكفي تقسيم الدائرة إلى ستة أجزاء متساوية وربط النقاط الموجودة ببعضها البعض.

يمكن إنشاء مسدس منتظم باستخدام مربع T ومربع 30 × 60 درجة. لتنفيذ هذا البناء ، نأخذ القطر الأفقي للدائرة كمنصف للزوايا 1 و 4 ، ونبني الجوانب 1-6 ، 4-3 ، 4-5 و7-2 ، وبعد ذلك نرسم الجوانب 5-6 و 3 - 2.

يمكن إنشاء رؤوس مثل هذا المثلث باستخدام بوصلة ومربع بزوايا 30 و 60 درجة ، أو بوصلة واحدة فقط. فكر في طريقتين لبناء مثلث متساوي الأضلاع محاط بدائرة.

اول طريق(الشكل 61 ، أ) يستند إلى حقيقة أن جميع الزوايا الثلاث للمثلث 7 ، 2 ، 3 تحتوي على 60 درجة ، والخط العمودي المرسوم من خلال النقطة 7 هو ارتفاع ومنصف الزاوية 1. منذ الزاوية 0 - 1 - 2 تساوي 30 درجة ، ثم لإيجاد الضلع 1-2 ، يكفي بناء زاوية 30 درجة من النقطة 1 والضلع 0-1. للقيام بذلك ، قم بتعيين مربع T ومربع كما هو موضح في الشكل ، ارسم خطًا من 1 إلى 2 ، والذي سيكون أحد جوانب المثلث المطلوب. لبناء الجانب 2 - 3 ، اضبط المربع T على الموضع الموضح بالخطوط المتقطعة ، وارسم خطًا مستقيمًا يمر بالنقطة 2 ، والتي ستحدد الرأس الثالث للمثلث.

الطريقة الثانيةيعتمد على حقيقة أنه إذا قمت ببناء مسدس منتظم محفور في دائرة ، ثم قمت بتوصيل رؤوسه من خلال واحد ، فستحصل على مثلث متساوي الأضلاع.

لبناء مثلث ، نحدد نقطة الرأس 1 على القطر ونرسم خطًا قطريًا 1-4. علاوة على ذلك ، من النقطة 4 بنصف قطر يساوي D / 2 ، نصف القوس حتى يتقاطع مع الدائرة عند النقاط 3 2. ستكون النقاط الناتجة رأسين آخرين للمثلث المطلوب.

يمكن القيام بهذا البناء باستخدام مربع وبوصلة.

اول طريقيعتمد على حقيقة أن أقطار المربع تتقاطع في مركز الدائرة المحددة وتميل إلى محاورها بزاوية 45 درجة. بناءً على ذلك ، نقوم بتثبيت مربع T ومربع بزوايا 45 درجة كما هو موضح في الشكل. 62 ، أ ، وحدد النقطتين 1 و 3. علاوة على ذلك ، من خلال هذه النقاط ، نرسم الجوانب الأفقية للمربع 4-1 و3-2 بمساعدة مربع T. بعد ذلك ، باستخدام مربع T على طول ساق المربع ، نرسم الجوانب الرأسية للمربع 1-2 و4-3.

الطريقة الثانيةيعتمد على حقيقة أن رؤوس المربع تشطر أقواس الدائرة المحاطة بين نهايات القطر. نضع علامة على النقاط A و B و C في نهايات قطرين متعامدين بشكل متبادل ، ومن بينها نصف القطر y نصف الأقواس حتى تتقاطع.

علاوة على ذلك ، من خلال نقاط تقاطع الأقواس ، نرسم خطوطًا مساعدة ، مميزة على الشكل بخطوط صلبة. ستحدد نقاط تقاطعهم مع الدائرة الرؤوس 1 و 3 ؛ 4 و 2. رؤوس المربع المطلوب التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة متصلة في سلسلة مع بعضها البعض.

بناء خماسي منتظم منقوش في دائرة.

لإدراج خماسي منتظم في دائرة ، نقوم بعمل الإنشاءات التالية. نضع علامة على النقطة 1 على الدائرة ونأخذها كأحد رؤوس البنتاغون. قسّم قطعة AO إلى نصفين. للقيام بذلك ، مع نصف قطر AO من النقطة A ، نصف القوس إلى التقاطع مع الدائرة عند النقطتين M و B. وربط هذه النقاط بخط مستقيم ، نحصل على النقطة K ، التي نربطها بعد ذلك بالنقطة 1. مع نصف قطر يساوي المقطع A7 ، نصف القوس من النقطة K إلى التقاطع مع خط القطر AO عند النقطة H. وربط النقطة 1 بالنقطة H ، نحصل على جانب البنتاغون. بعد ذلك ، مع فتحة بوصلة مساوية للجزء 1H ، الذي يصف القوس من الرأس 1 إلى التقاطع مع الدائرة ، نجد الرؤوس 2 و 5. بعد أن صنعت الشقوق من الرؤوس 2 و 5 بنفس فتحة البوصلة ، نحصل على الباقي الرؤوس 3 و 4. نقوم بتوصيل النقاط الموجودة بالتتابع مع بعضها البعض.

بناء خماسي منتظم على جانبه.

لبناء خماسي منتظم على طول جانبه المعطى (الشكل 64) ، نقسم المقطع AB إلى ستة أجزاء متساوية. من النقطتين A و B مع نصف القطر AB ، نصف الأقواس ، التي تقاطعها ستعطي النقطة K. من خلال هذه النقطة والقسمة 3 على الخط AB ، نرسم خطًا رأسيًا. بعيدًا عن النقطة K على هذا الخط المستقيم ، نضع جانبًا قطعة تساوي 4/6 AB. نحصل على النقطة 1 - رأس البنتاغون. بعد ذلك ، مع نصف قطر يساوي AB ، من النقطة 1 نصف القوس إلى التقاطع مع الأقواس المرسومة مسبقًا من النقطتين A و B. تحدد نقاط التقاطع للأقواس رؤوس البنتاغون 2 و 5. نقوم بتوصيل الموجود القمم في سلسلة مع بعضها البعض.

بناء سباعي منتظم منقوش في دائرة.

دع دائرة قطرها D تُعطى ؛ تحتاج إلى إدخال سباعي منتظم فيه (الشكل 65). قسّم القطر الرأسي للدائرة إلى سبعة أجزاء متساوية. من النقطة 7 مع نصف قطر يساوي قطر الدائرة D ، نصف القوس حتى يتقاطع مع استمرار القطر الأفقي عند النقطة F. تسمى النقطة F بقطب المضلع. بأخذ النقطة السابعة كأحد رؤوس سباعي الأضلاع ، نرسم أشعة من القطب F من خلال تقسيمات متساوية للقطر العمودي ، والتي سيحدد تقاطعها مع الدائرة الرؤوس السادس والخامس والرابع للسباعي. للحصول على الرؤوس / - // - /// من النقاط IV و V و VI ، نرسم خطوطًا أفقية حتى تتقاطع مع الدائرة. نقوم بتوصيل الرؤوس الموجودة في سلسلة مع بعضها البعض. يمكن بناء سباعي الأضلاع عن طريق سحب الأشعة من القطب F ومن خلال التقسيمات الفردية للقطر العمودي.

الطريقة المذكورة أعلاه مناسبة لإنشاء مضلعات منتظمة بأي عدد من الجوانب.

يمكن أيضًا تقسيم الدائرة إلى أي عدد من الأجزاء المتساوية باستخدام البيانات الموجودة في الجدول. 2 ، الذي يوضح المعاملات التي تجعل من الممكن تحديد أبعاد جوانب المضلعات المنقوشة المنتظمة.

أطوال أضلاع المضلعات المنتظمة المنقوشة.

يُظهر العمود الأول من هذا الجدول عدد أضلاع المضلع المنتظم المنقوش ، بينما يُظهر العمود الثاني المعاملات. يتم الحصول على طول أحد أضلاع مضلع معين بضرب نصف قطر دائرة معينة في عامل يقابل عدد أضلاع هذا المضلع.

يقول القاموس التوضيحي لأوزيغوف أن البنتاغون يحده خمسة خطوط مستقيمة متقاطعة تشكل خمس زوايا داخلية ، بالإضافة إلى أي كائن من نفس الشكل. إذا كان لمضلع معين نفس الجوانب والزوايا ، فإنه يسمى منتظم (خماسي).

ما المثير للاهتمام في البنتاغون العادي؟

كان هذا هو الشكل الذي تم فيه بناء المبنى المعروف لوزارة دفاع الولايات المتحدة. من بين الأشكال المتعددة السطوح المنتظمة الضخمة ، يكون للثني عشر الوجوه فقط وجوه خماسية الشكل. وفي الطبيعة ، البلورات غائبة تمامًا ، والتي قد تشبه وجوهها شكل خماسي منتظم. بالإضافة إلى ذلك ، هذا الشكل عبارة عن مضلع به حد أدنى لعدد الزوايا التي لا يمكن استخدامها في تجانب منطقة ما. فقط خماسي الأضلاع له نفس عدد الأقطار مثل جوانبه. موافق ، إنه ممتع!

الخصائص الأساسية والصيغ

باستخدام الصيغ لمضلع منتظم عشوائي ، يمكنك تحديد جميع المعلمات الضرورية التي يمتلكها البنتاغون.

• الزاوية المركزية α = 360 / n = 360/5 = 72 درجة.
• الزاوية الداخلية β = 180 درجة * (ن -2) / ن = 180 درجة * 3/5 = 108 درجة. وفقًا لذلك ، يكون مجموع الزوايا الداخلية 540 درجة.
• نسبة القطر إلى الجانب هي (1 + √5) / 2 ، أي (تقريبًا 1.618).
• يمكن حساب طول الضلع الذي يحتوي عليه البنتاغون العادي باستخدام إحدى الصيغ الثلاث ، اعتمادًا على المعلمة المعروفة بالفعل:

• إذا تم تحديد دائرة حولها وكان نصف قطرها R معروفًا ، فإن a = 2 * R * sin (α / 2) = 2 * R * sin (72 ° / 2) ≈1.1756 * R ؛
• في الحالة التي يتم فيها تسجيل دائرة نصف قطرها r في خماسي منتظم ، a = 2 * r * tg (α / 2) = 2 * r * tg (α / 2) ≈ 1.453 * r ؛
• يحدث أنه بدلاً من نصف القطر تُعرف قيمة القطر D ، ثم يتم تحديد الجانب على النحو التالي: a D / 1.618.

• يتم تحديد مساحة البنتاغون المنتظم ، مرة أخرى ، اعتمادًا على المعلمة التي نعرفها:
• إذا كانت هناك دائرة منقوشة أو مقيدة ، فسيتم استخدام إحدى الصيغتين:

S \ u003d (n * a * r) / 2 \ u003d 2.5 * a * r أو S \ u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2.3776 * R 2 ؛

• يمكن أيضًا تحديد المنطقة ، مع معرفة طول الجانب أ فقط:

S \ u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 1.7205 * a 2.

البنتاغون العادي: البناء

يمكن بناء هذا الشكل الهندسي بطرق مختلفة. على سبيل المثال ، قم بتسجيله في دائرة بنصف قطر معين ، أو قم ببنائه على أساس جانب جانبي معين. تم وصف تسلسل الإجراءات في عناصر إقليدس حوالي 300 قبل الميلاد. على أي حال ، نحتاج إلى بوصلة ومسطرة. ضع في اعتبارك طريقة البناء باستخدام دائرة معينة.

1. حدد نصف قطر عشوائي وارسم دائرة ، مع تحديد مركزها بالنقطة O.

2. على خط الدائرة ، حدد نقطة تكون بمثابة أحد رؤوس البنتاغون. اجعل هذه النقطة أ. قم بتوصيل النقطتين O و A بخط مستقيم.

3. ارسم خطًا عبر النقطة O عموديًا على الخط OA. حدد النقطة التي يتقاطع فيها هذا الخط مع خط الدائرة كنقطة B.

4. في منتصف المسافة بين النقطتين O و B ، قم ببناء النقطة C.

5. الآن ارسم دائرة يكون مركزها عند النقطة C والتي ستمر بالنقطة A. مكان تقاطعها مع الخط OB (سيكون داخل الدائرة الأولى) سيكون النقطة D.

6. قم ببناء دائرة تمر عبر D ، سيكون مركزها عند A. يجب وضع علامة على أماكن تقاطعها مع الدائرة الأصلية بالنقطتين E و F.

7. الآن قم ببناء دائرة ، سيكون مركزها في E. عليك القيام بذلك حتى تمر عبر A. يجب الإشارة إلى تقاطعها الآخر مع الدائرة الأصلية

8. أخيرًا ، ارسم دائرة عبر A متمركزة عند النقطة F. ضع علامة على تقاطع آخر للدائرة الأصلية مع النقطة H.

9. الآن يبقى فقط توصيل القمم A ، E ، G ، H ، F. سيكون البنتاغون المنتظم جاهزًا!

5.3 البنتاغون الذهبي بناء اقليدس.

مثال رائع على "القسم الذهبي" هو البنتاغون المنتظم - محدب وشكل نجمة (الشكل 5).

لبناء نجمة خماسية ، تحتاج إلى بناء خماسي منتظم.

لنفترض أن O هو مركز الدائرة ، ونقطة على الدائرة ، و E نقطة منتصف الجزء OA. يتقاطع العمود العمودي على نصف القطر OA ، المستعاد عند النقطة O ، مع الدائرة عند النقطة D. باستخدام البوصلة ، حدد المقطع CE = ED على القطر. طول ضلع من أضلاع خماسي منتظم مرسوم في دائرة هو DC. نضع جانباً المقاطع DC على الدائرة ونحصل على خمس نقاط لرسم خماسي منتظم. نقوم بتوصيل زوايا البنتاغون بقطر واحد ونحصل على شكل خماسي. جميع أقطار البنتاغون تقسم بعضها البعض إلى أجزاء متصلة بواسطة النسبة الذهبية.

كل طرف من نهايات النجم الخماسي هو مثلث ذهبي. تشكل جوانبها زاوية 36 درجة في الأعلى ، والقاعدة الموضوعة على الجانب تقسمها بما يتناسب مع القسم الذهبي.

يوجد أيضًا مكعب ذهبي - وهو متوازي مستطيل ذو حواف أطوالها 1.618 و 1 و 0.618.

تأمل الآن الدليل الذي قدمه إقليدس في العناصر.

من مركز الدائرة المحددة. دعنا نبدء ب

الجزء ABE ، مقسمًا في المنتصف و

لذا دع AC = AE. يُرمز إليها بزوايا متساوية EBC و CEB. بما أن AC = AE ، فإن الزاوية ACE تساوي أيضًا a. تسمح لك النظرية القائلة بأن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة بإيجاد الزاوية ALL: فهي 180-2a ، والزاوية EAC هي 3a - 180. لكن الزاوية ABC تساوي 180-a. بتلخيص زوايا المثلث ABC ، ​​نحصل على

180 = (3 أ -180) + (3 أ -180) + (180 - أ)

من أين 5 أ = 360 ، إذن أ = 72.

إذن ، كل زاوية في قاعدة المثلث BEC تساوي ضعف الزاوية في الأعلى ، وتساوي 36 درجة. لذلك ، من أجل بناء خماسي منتظم ، من الضروري فقط رسم أي دائرة متمركزة عند النقطة E ، متقاطعة EC عند النقطة X والجانب EB عند النقطة Y: المقطع XY هو أحد جوانب البنتاغون المنتظم المدرج في دائرة؛ بالتجول في الدائرة بأكملها ، يمكنك العثور على جميع الجوانب الأخرى.

نثبت الآن أن AC = AE. افترض أن الرأس C متصل بقطعة خط مستقيم بنقطة المنتصف N للمقطع BE. لاحظ أنه بما أن CB = CE ، فإن الزاوية CNE هي الزاوية القائمة. وفقًا لنظرية فيثاغورس:

CN 2 \ u003d a 2 - (a / 2j) 2 \ u003d a 2 (1-4j 2)

ومن ثم لدينا (AC / a) 2 = (1 + 1 / 2j) 2 + (1-1 / 4j 2) = 2 + 1 / j = 1 + j = j 2

لذلك ، AC = ja = jAB = AE ، والذي كان يجب إثباته

5.4. حلزونية أرخميدس.

قطع المربعات بالتتابع من المستطيلات الذهبية إلى اللانهاية ، وفي كل مرة نربط النقاط المعاكسة بربع دائرة ، نحصل على منحنى أنيق إلى حد ما. أول ما لفت انتباهها العالم اليوناني القديم أرخميدس ، الذي تحمل اسمه. درسها واستنتج معادلة هذه اللولب.

حاليًا ، يستخدم حلزون أرخميدس على نطاق واسع في التكنولوجيا.

6. أرقام فيبوناتشي.

يرتبط اسم عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو من بيزا ، والذي اشتهر باسمه المستعار فيبوناتشي (فيبوناتشي هو اختصار لكلمة فيليوس بوناتشي ، أي ابن بوناتشي) ، بشكل غير مباشر مع النسبة الذهبية.

في عام 1202 كتب كتاب "Liber abacci" أي "كتاب العداد". "Liber abacci" هو عمل ضخم يحتوي تقريبًا على جميع المعارف الحسابية والجبرية في ذلك الوقت ولعب دورًا مهمًا في تطوير الرياضيات في أوروبا الغربية على مدى القرون القليلة التالية. على وجه الخصوص ، من هذا الكتاب تعرف الأوروبيون على الأرقام الهندوسية ("العربية").

تم شرح المادة الواردة في الكتاب حول عدد كبير من المشكلات التي تشكل جزءًا مهمًا من هذه الأطروحة.

ضع في اعتبارك مشكلة واحدة من هذا القبيل:

كم زوجًا من الأرانب يولدون من زوج واحد في عام واحد؟

وضع شخص ما زوجًا من الأرانب في مكان معين ، محاطًا من جميع الجوانب بجدار ، من أجل معرفة عدد أزواج الأرانب التي ستولد خلال هذا العام ، إذا كانت طبيعة الأرانب هكذا في شهر واحد. ستتكاثر الأرانب بآخر ، وتلد الأرانب من الشهر الثاني بعد ولادتها ".

الآن دعنا ننتقل من الأرانب إلى الأرقام وننظر في التسلسل الرقمي التالي:

u 1، u 2… u n

حيث يكون كل مصطلح مساويًا لمجموع السابقتين ، أي لأي ن> 2

u n \ u003d u n -1 + u n -2.

هذا التسلسل مقارب (الاقتراب أكثر فأكثر ببطء) يميل إلى بعض العلاقة الثابتة. ومع ذلك ، فإن هذه النسبة غير منطقية ، أي أنها رقم به تسلسل لا نهائي وغير متوقع من الأرقام العشرية في الجزء الكسري. لا يمكن التعبير عنها بالضبط.

إذا تم تقسيم أي عنصر من عناصر متتالية فيبوناتشي على العنصر الذي يسبقه (على سبيل المثال ، 13: 8) ، فستكون النتيجة قيمة تتقلب حول القيمة غير المنطقية 1.61803398875 ... وأحيانًا تتجاوزها ، وأحيانًا لا تصل إليها.

يمكن أن يصبح السلوك المقارب للتسلسل ، والتقلبات المخففة لنسبته حول رقم غير منطقي أكثر قابلية للفهم إذا أظهرنا نسب عدة مصطلحات أولى من التسلسل. يوضح هذا المثال علاقة المصطلح الثاني بالأول ، والثالث بالثاني ، والرابع بالثالث ، وهكذا:

1: 1 = 1.0000 ، وهو أقل من phi بمقدار 0.6180

2: 1 = 2.0000 ، وهو ما يعادل 0.3820 phi أكثر

3: 2 = 1.5000 ، وهو أقل من phi بمقدار 0.1180

5: 3 = 1.6667 ، وهو 0.0486 أكثر فاي

8: 5 = 1.6000 ، وهو أقل من phi بمقدار 0.0180

بينما تتحرك على طول تسلسل جمع فيبوناتشي ، فإن كل مصطلح جديد سيقسم المصطلح التالي بمزيد والمزيد من التقريب إلى F.

يسعى الإنسان دون وعي إلى النسبة الإلهية: فهي ضرورية لتلبية حاجته إلى الراحة.

عند قسمة أي عضو في متتالية فيبوناتشي على التسلسل التالي ، نحصل على مقلوب 1.618 (1: 1.618 = 0.618). لكن هذه أيضًا ظاهرة غير عادية للغاية ، بل وظاهرة ملحوظة. نظرًا لأن النسبة الأصلية جزء لا نهائي ، يجب ألا يكون لهذه النسبة نهاية.

عند قسمة كل رقم على الرقم التالي بعده ، نحصل على الرقم 0.382

باختيار النسب بهذه الطريقة نحصل على المجموعة الرئيسية من معاملات فيبوناتشي: 4.235 ، 2.618 ، 1.618 ، 0.618 ، 0.382 ، 0.236 ونذكر أيضًا 0.5 ، وكلها تلعب دورًا خاصًا في الطبيعة وعلى وجه الخصوص في التحليل الفني.

وتجدر الإشارة هنا إلى أن فيبوناتشي ذكّر البشرية فقط بتسلسله ، لأنه كان معروفًا في العصور القديمة تحت اسم القسم الذهبي.

النسبة الذهبية ، كما رأينا ، تنشأ فيما يتعلق بالبنتاغون العادي ، لذلك تلعب أرقام فيبوناتشي دورًا في كل ما يتعلق بالخماسيات المنتظمة - المحدبة والشكل النجمية.

كان من الممكن أن تظل سلسلة فيبوناتشي مجرد حادثة رياضية لولا حقيقة أن جميع الباحثين في التقسيم الذهبي في عالم النبات والحيوان ، ناهيك عن الفن ، جاءوا دائمًا إلى هذه السلسلة كتعبير حسابي لقانون التقسيم الذهبي . واصل العلماء تطوير نظرية أرقام فيبوناتشي والنسبة الذهبية بنشاط. يو ماتياسيفيتش باستخدام أرقام فيبوناتشي يحل مشكلة هيلبرت العاشرة (حول حل معادلات ديوفانتين). هناك طرق أنيقة لحل عدد من المشاكل السيبرانية (نظرية البحث ، الألعاب ، البرمجة) باستخدام أرقام فيبوناتشي والقسم الذهبي. في الولايات المتحدة ، يتم إنشاء حتى جمعية فيبوناتشي الرياضية ، والتي تنشر مجلة خاصة منذ عام 1963.

أحد الإنجازات في هذا المجال هو اكتشاف أرقام فيبوناتشي المعممة والنسب الذهبية المعممة. سلسلة فيبوناتشي (1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8) وسلسلة الأرقام "الثنائية" التي اكتشفها 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ... (أي سلسلة من الأرقام تصل إلى n ، حيث يمكن تمثيل أي عدد طبيعي أقل من n كمجموع لبعض أرقام هذه السلسلة) للوهلة الأولى ، فإنهما مختلفان تمامًا. لكن الخوارزميات الخاصة ببنائها متشابهة جدًا مع بعضها البعض: في الحالة الأولى ، كل رقم هو مجموع الرقم السابق مع نفسه 2 = 1 + 1 ؛ 4 \ u003d 2 + 2 ... ، في الثانية - هذا هو مجموع الرقمين السابقين 2 \ u003d 1 + 1 ، 3 \ u003d 2 + 1 ، 5 \ u003d 3 + 2 .... هل هذا ممكن لإيجاد صيغة رياضية عامة من و "المتسلسلة الثنائية ، وسلسلة فيبوناتشي؟

في الواقع ، دعنا نضع معلمة رقمية S ، والتي يمكن أن تأخذ أي قيم: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ... مفصولة عن السابقة بخطوات S. إذا أشرنا إلى العضو التاسع من هذه السلسلة بواسطة S (n) ، فإننا نحصل على الصيغة العامة S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

من الواضح ، مع S = 0 ، من هذه الصيغة سوف نحصل على سلسلة "ثنائية" ، مع S = 1 - سلسلة فيبوناتشي ، مع S = 2 ، 3 ، 4. سلسلة جديدة من الأرقام ، والتي تسمى أرقام S-Fibonacci.

بشكل عام ، النسبة الذهبية S هي الجذر الموجب لمعادلة القسم S الذهبية x S + 1 - x S - 1 = 0.

من السهل إظهار أنه عند S = 0 ، يتم الحصول على تقسيم المقطع إلى النصف ، وعند S = 1 ، يتم الحصول على النسبة الذهبية الكلاسيكية المألوفة.

تتطابق نسب أرقام فيبوناتشي المجاورة مع دقة رياضية مطلقة في الحد مع نسب S الذهبية! أي أن المقاطع الذهبية هي ثوابت رقمية لأرقام فيبوناتشي S.

7. القسم الذهبي في الفن.

7.1 القسم الذهبي في الرسم.

بالانتقال إلى أمثلة على "القسم الذهبي" في الرسم ، لا يسع المرء إلا أن يوقف اهتمامه بأعمال ليوناردو دافنشي. هويته هي واحدة من ألغاز التاريخ. قال ليوناردو دافنشي نفسه: "لا يجرؤ أي شخص ليس عالم رياضيات على قراءة أعمالي".

ليس هناك شك في أن ليوناردو دافنشي كان فنانًا عظيمًا ، وقد أدرك معاصروه هذا بالفعل ، لكن شخصيته وأنشطته ستظل يكتنفها الغموض ، لأنه لم يترك للأجيال القادمة عرضًا متماسكًا لأفكاره ، ولكن فقط العديد من الرسومات المكتوبة بخط اليد والملاحظات التي تقول "كل شخص في العالم".

جذبت صورة الموناليزا (Gioconda) انتباه الباحثين لسنوات عديدة ، الذين وجدوا أن تكوين الرسم يعتمد على مثلثات ذهبية هي أجزاء من البنتاغون النجمي المنتظم.

كما تظهر نسبة المقطع الذهبي في لوحة شيشكين. في هذه اللوحة الشهيرة التي رسمها إ. آي. شيشكين ، تظهر بوضوح زخارف القسم الذهبي. تقسم شجرة الصنوبر المضيئة (التي تقف في المقدمة) طول الصورة وفقًا للنسبة الذهبية. على يمين شجرة الصنوبر يوجد تل تضيئه الشمس. يقسم الجانب الأيمن من الصورة أفقيًا وفقًا للنسبة الذهبية.

تُظهر لوحة رافائيل "مذبحة الأبرياء" عنصرًا آخر من النسبة الذهبية - اللولب الذهبي. في الرسم التخطيطي التحضيري لرافائيل ، تم رسم خطوط حمراء تمتد من المركز الدلالي للتكوين - النقطة التي أغلقت فيها أصابع المحارب حول كاحل الطفل - على طول أشكال الطفل ، والمرأة التي تمسكه بنفسها ، والمحارب مع رفع السيف ثم على طول شخصيات نفس المجموعة على الجانب الأيمن من الرسم. من غير المعروف ما إذا كان رافائيل قد بنى اللولب الذهبي أو شعر به.

استخدم ت. كوك القسم الذهبي عند تحليل لوحة ساندرو بوتيتشيلي "ولادة فينوس".

7.2 أهرامات القسم الذهبي.

الخصائص الطبية للأهرامات ، وخاصة القسم الذهبي ، معروفة على نطاق واسع. وفقًا لبعض الآراء الأكثر شيوعًا ، تبدو الغرفة التي يوجد بها هذا الهرم أكبر ، والهواء أكثر شفافية. تبدأ الأحلام في التذكر بشكل أفضل. ومن المعروف أيضًا أن النسبة الذهبية كانت تستخدم على نطاق واسع في العمارة والنحت. ومن الأمثلة على ذلك: البانثيون والبارثينون في اليونان ، ومباني المهندسين المعماريين بازينوف وماليفيتش.

8. الخلاصة.

يجب القول أن النسبة الذهبية لها تطبيق رائع في حياتنا.

لقد ثبت أن جسم الإنسان مقسم بالنسبة للنسبة الذهبية بخط الحزام.

إن قشرة نوتيلوس ملتوية مثل دوامة ذهبية.

بفضل النسبة الذهبية ، تم اكتشاف حزام الكويكبات بين المريخ والمشتري - وبالتناسب يجب أن يكون هناك كوكب آخر هناك.

إن إثارة الخيط عند النقطة التي تقسمه فيما يتعلق بالقسمة الذهبية لن يتسبب في اهتزاز الوتر ، أي أن هذه هي نقطة التعويض.

على متن الطائرات ذات مصادر الطاقة الكهرومغناطيسية ، يتم إنشاء خلايا مستطيلة مع نسبة المقطع الذهبي.

تم بناء Gioconda على مثلثات ذهبية ، واللولب الذهبي موجود في لوحة رافائيل "مذبحة الأبرياء".

النسبة الموجودة في لوحة ساندرو بوتيتشيلي "ولادة فينوس"

هناك العديد من المعالم المعمارية التي تم بناؤها باستخدام النسبة الذهبية ، بما في ذلك البانثيون والبارثينون في أثينا ، ومباني المهندسين المعماريين بازينوف وماليفيتش.

يمتلك جون كيبلر ، الذي عاش قبل خمسة قرون ، العبارة التالية: "الهندسة لها كنزان عظيمان. الأول هو نظرية فيثاغورس ، والثاني هو تقسيم جزء في النسبة القصوى والمتوسط"

فهرس

1. د. بيدو. الهندسة والفن. - م: مير ، 1979.

2. مجلة "Science and Technology"

3. مجلة "كوانتوم" 1973 العدد 8.

4. مجلة الرياضيات في المدرسة 1994 العدد 2. رقم 3.

5. كوفاليف ف. القسم الذهبي في الرسم. ك .: مدرسة فيشا ، 1989.

6. ستاخوف أ. رموز النسبة الذهبية.

7. فوروبيوف ن. "أرقام فيبوناتشي" - M: Nauka 1964

8. "الرياضيات - موسوعة للأطفال" م: أفانتا + ، 1998

9. معلومات من الإنترنت.

مصفوفات فيبوناتشي وما يسمى بالمصفوفات "الذهبية" وحسابات الكمبيوتر الجديدة ونظرية ترميز جديدة ونظرية جديدة للتشفير. جوهر العلم الجديد هو مراجعة جميع الرياضيات من وجهة نظر القسم الذهبي ، بدءًا من فيثاغورس ، والتي ، بالطبع ، سوف تستلزم نتائج رياضية جديدة ومثيرة للاهتمام بالتأكيد في النظرية. من الناحية العملية - الحوسبة "الذهبية". ولأن ...

هذه النتيجة لن تتأثر. أساس النسبة الذهبية هو ثابت من النسب العودية 4 و 6. وهذا يدل على "استقرار" القسم الذهبي ، أحد مبادئ تنظيم المادة الحية. أيضًا ، أساس النسبة الذهبية هو حل متتابعين عوديين غريبين (الشكل 4). 4 متواليات فيبوناتشي العودية إذن ...

الأذن هي j5 والمسافة من الأذن إلى التاج هي j6. وهكذا ، نرى في هذا التمثال تقدمًا هندسيًا بالمقام j: 1، j، j2، j3، j4، j5، j6. (الشكل 9). وبالتالي ، فإن النسبة الذهبية هي أحد المبادئ الأساسية في فن اليونان القديمة. إيقاعات القلب والدماغ. ينبض قلب الإنسان بالتساوي - حوالي 60 نبضة في الدقيقة أثناء الراحة. يضغط القلب مثل المكبس ...