كيفية إجراء مسح - نمط لمخروط أو مخروط مقطوع بحجم معين. حساب الاجتياح البسيط. حجم المخروط ، حسابه حجم شارب المخروط

من بين الأجسام الهندسية المتنوعة ، يعتبر المخروط من أكثرها إثارة للاهتمام. يتم تشكيله عن طريق تدوير مثلث قائم الزاوية حول إحدى ساقيه.

كيفية العثور على حجم المخروط - المفاهيم الأساسية

قبل أن تبدأ في حساب حجم المخروط ، يجب أن تتعرف على المفاهيم الأساسية.

• مخروط دائري - قاعدة هذا المخروط عبارة عن دائرة. إذا كانت القاعدة عبارة عن قطع ناقص أو قطع مكافئ أو قطع زائد ، فإن الأشكال تسمى مخاريط بيضاوية أو قطع مكافئ أو قطعي. تجدر الإشارة إلى أن النوعين الأخيرين من المخاريط لهما حجم لانهائي.
• المخروط المقطوع هو جزء من مخروط يقع بين القاعدة والمستوى الموازي لهذه القاعدة ، ويقع بين القمة والقاعدة.
• الارتفاع - جزء عمودي على القاعدة ، يتم تحريره من الأعلى.
• المصفوفة التكوينية للمخروط هي قطعة تربط حدود القاعدة والجزء العلوي.

حجم المخروط

لحساب حجم المخروط ، تُستخدم الصيغة V = 1/3 * S * H ​​، حيث S هي مساحة القاعدة ، H هي الارتفاع. بما أن قاعدة المخروط عبارة عن دائرة ، فيمكن إيجاد مساحتها بواسطة الصيغة S = nR ^ 2 ، حيث n = 3.14 ، R هي نصف قطر الدائرة.

هناك موقف تكون فيه بعض المعلمات غير معروفة: الارتفاع أو نصف القطر أو الشبكة العامة. في هذه الحالة ، يجدر اللجوء إلى نظرية فيثاغورس. القسم المحوري للمخروط هو مثلث متساوي الساقين ، يتكون من مثلثين قائم الزاوية ، حيث l هو الوتر ، و H و R هما الأرجل. ثم l = (H ^ 2 + R ^ 2) ^ 1/2.

حجم المخروط المقطوع

المخروط المقطوع هو مخروط ذو قمة مقطوعة.

للعثور على حجم مثل هذا المخروط ، تحتاج إلى الصيغة:

V = 1/3 * n * H * (r ^ 2 + rR + R ^ 2) ،

حيث n = 3.14 ، r نصف قطر دائرة القسم ، R هو نصف قطر القاعدة الكبيرة ، H هو الارتفاع.

سيكون القسم المحوري للمخروط المقطوع عبارة عن شبه منحرف متساوي الساقين. لذلك ، إذا كان من الضروري إيجاد طول المصفوفة المولدة لمخروط أو نصف قطر إحدى الدوائر ، فإن الأمر يستحق استخدام الصيغ لإيجاد جوانب وقواعد شبه منحرف.

أوجد حجم مخروط إذا كان ارتفاعه 8 سم ونصف قطر قاعدته 3 سم.

معطى: H = 8 سم ، R = 3 سم.

أولاً ، أوجد مساحة القاعدة بتطبيق الصيغة S = nR ^ 2.

S = 3.14 * 3 ^ 2 = 28.26 سم ^ 2

الآن ، باستخدام الصيغة V = 1/3 * S * H ​​، نجد حجم المخروط.

V = 1/3 * 28.26 * 8 = 75.36 سم ^ 3

تم العثور على الأشكال المخروطية الشكل في كل مكان: مخاريط وقوف السيارات ، وأبراج البناء ، وظل المصباح. لذلك ، فإن معرفة كيفية العثور على حجم المخروط يمكن أن يكون مفيدًا في بعض الأحيان في الحياة المهنية واليومية.

بدلاً من كلمة "نمط" ، يتم استخدام "مسح" في بعض الأحيان ، ولكن هذا المصطلح غامض: على سبيل المثال ، مخرطة الثقوب هي أداة لزيادة قطر الثقب ، وفي التكنولوجيا الإلكترونية هناك مفهوم لمخرطة الثقوب. لذلك ، على الرغم من أنني مجبر على استخدام الكلمات "cone sweep" حتى تتمكن محركات البحث من العثور على هذه المقالة باستخدامها ، إلا أنني سأستخدم كلمة "pattern".

بناء نموذج للمخروط هو أمر بسيط. دعونا ننظر في حالتين: مخروط كامل والآخر مبتور. على الصورة (اضغط للتكبير)يتم عرض اسكتشات لهذه المخاريط وأنماطها. (ألاحظ على الفور أننا سنتحدث فقط عن الأقماع المستقيمة ذات القاعدة المستديرة. سننظر في المخاريط ذات القاعدة البيضاوية والأقماع المائلة في المقالات التالية).

1. تفتق كامل

التعيينات:

يتم حساب معلمات النمط بواسطة الصيغ:
;
;
أين .

2. مخروط مقطوع

التعيينات:

صيغ لحساب معلمات النمط:
;
;
;
أين .
لاحظ أن هذه الصيغ مناسبة أيضًا للمخروط الكامل إذا استبدلناها.

في بعض الأحيان ، عند بناء مخروط ، تكون قيمة الزاوية عند رأسه (أو عند الرأس التخيلي ، إذا تم قطع المخروط) أساسية. أبسط مثال هو عندما تحتاج إلى مخروط ليناسب بشكل مريح آخر. دعنا نشير إلى هذه الزاوية بحرف (انظر الصورة).
في هذه الحالة ، يمكننا استخدامه بدلاً من إحدى قيم الإدخال الثلاثة: ، أو. لماذا "معا حول"، ليس مع بعض ه"؟ لأن ثلاث معامِلات كافية لبناء مخروط ، وقيمة الرابع تُحسب من خلال قيم الثلاثة الأخرى. لماذا بالضبط ثلاثة ، وليس اثنين أو أربعة ، هو سؤال خارج نطاق هذه المقالة. يخبرني صوت غامض أن هذا مرتبط بطريقة ما بالأبعاد الثلاثية للكائن "المخروطي". (قارن مع المعلمتين الأوليين لكائن قطعة الدائرة ثنائية الأبعاد ، والتي حسبناها جميع المعلمات الأخرى في المقالة.)

فيما يلي الصيغ التي يتم من خلالها تحديد المعلمة الرابعة للمخروط عند إعطاء ثلاثة.

4. طرق بناء النمط

• احسب القيم الموجودة على الآلة الحاسبة وقم ببناء نقش على الورق (أو على المعدن مباشرة) باستخدام بوصلة ومسطرة ومنقلة.
• أدخل الصيغ وبيانات المصدر في جدول بيانات (على سبيل المثال ، Microsoft Excel). يتم استخدام النتيجة التي تم الحصول عليها لإنشاء نمط باستخدام محرر رسومات (على سبيل المثال ، CorelDRAW).
• استخدم البرنامج الخاص بي ، والذي سيرسم على الشاشة ويطبع نموذجًا لمخروط مع المعلمات المحددة. يمكن حفظ هذا النمط كملف متجه واستيراده إلى CorelDRAW.

5. ليست قواعد موازية

بقدر ما يتعلق الأمر بالأقماع المقطوعة ، لا يزال برنامج Cones يبني أنماطًا للأقماع التي لها قواعد متوازية فقط.
بالنسبة لأولئك الذين يبحثون عن طريقة لإنشاء نمط مخروطي مبتور بقواعد غير متوازية ، فإليك رابط قدمه أحد زوار الموقع:
مخروط مقطوع بقواعد غير متوازية.

تطور سطح المخروط هو شكل مسطح يتم الحصول عليه من خلال الجمع بين السطح الجانبي وقاعدة المخروط مع مستوى معين.

خيارات بناء الاجتياح:

تطوير مخروط دائري قائم

تطور السطح الجانبي لمخروط دائري قائم هو قطاع دائري ، نصف قطره يساوي طول الشبكة العامة للسطح المخروطي l ، ويتم تحديد الزاوية المركزية φ بالصيغة φ = 360 * R / ل ، حيث R هو نصف قطر محيط قاعدة المخروط.

في عدد من مشاكل الهندسة الوصفية ، يكون الحل المفضل هو تقريب (استبدال) مخروط بهرم منقوش فيه وإنشاء مسح تقريبي ، يكون من المناسب رسم خطوط ملقاة على سطح مخروطي.

خوارزمية البناء

1. نقوم بتسجيل هرم متعدد الأضلاع في السطح المخروطي. كلما زادت الوجوه الجانبية للهرم المنقوش ، زادت دقة التطابق بين المسح الفعلي والمسح التقريبي.
2. نقوم ببناء تطوير للسطح الجانبي للهرم باستخدام طريقة المثلث. ترتبط النقاط التي تنتمي إلى قاعدة المخروط من خلال منحنى سلس.

مثال

في الشكل أدناه ، هرم سداسي منتظم SABCDEF منقوش في مخروط دائري قائم ، ويتكون التطور التقريبي لسطحه الجانبي من ستة مثلثات متساوية الساقين - وجوه الهرم.

اعتبر مثلث S 0 A 0 B 0. أطوال جانبيها S 0 A 0 و S 0 B 0 مساوية للمركب العام l للسطح المخروطي. القيمة A 0 B 0 تقابل الطول A'B '. لبناء مثلث S 0 A 0 B 0 في مكان تعسفي للرسم ، نضع جانباً المقطع S 0 A 0 = l ، وبعد ذلك نرسم دوائر بنصف قطر S 0 B 0 = l و A 0 B 0 = A'B 'من النقطتين S 0 و A 0 على التوالي. نقوم بتوصيل نقطة تقاطع الدوائر B 0 بالنقطتين A 0 و S 0.

تم بناء الوجوه S 0 B 0 C 0، S 0 C 0 D 0، S 0 D 0 E 0، S 0 E 0 F 0، S 0 F 0 A 0 لهرم SABCDEF بشكل مشابه للمثلث S 0 A 0 ب 0.

النقاط A و B و C و D و E و F ، الواقعة عند قاعدة المخروط ، متصلة بمنحنى سلس - قوس من دائرة نصف قطرها يساوي l.

تطوير المخروط المائل

ضع في اعتبارك إجراء مسح السطح الجانبي لمخروط مائل بطريقة التقريب.

الخوارزمية

1. نكتب الشكل السداسي 123456 في دائرة قاعدة المخروط. اربط النقاط 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 برأس المخروط S. الهرم S123456 المبني بهذه الطريقة هو ، بدرجة معينة من التقريب ، بديل للسطح المخروطي ويستخدم على هذا النحو في الإنشاءات الأخرى.
2. نحدد القيم الطبيعية لحواف الهرم باستخدام طريقة الدوران حول خط الإسقاط: في المثال ، يتم استخدام المحور i ، وهو عمودي على مستوى الإسقاط الأفقي ويمر عبر الرأس S.
   لذلك ، نتيجة دوران الحافة S5 ، يتخذ إسقاطها الأفقي الجديد S'5 '1 موضعًا يكون فيه موازٍ للمستوى الأمامي π 2. وفقًا لذلك ، S "5 '' 1 هي القيمة الطبيعية لـ S5.
3. نقوم ببناء تطوير للسطح الجانبي للهرم S123456 ، ويتكون من ستة مثلثات: 0 1 0. يتم إنشاء كل مثلث من ثلاث جهات. على سبيل المثال ، △ S 0 1 0 6 0 لها طول S 0 1 0 = S "1 '0 ، S 0 6 0 = S" 6' '1 ، 1 0 6 0 = 1'6'.

تعتمد درجة تطابق المسح التقريبي مع المسح الفعلي على عدد وجوه الهرم المنقوش. يتم اختيار عدد الوجوه بناءً على سهولة قراءة الرسم ومتطلبات دقته ووجود النقاط المميزة والخطوط التي يجب نقلها إلى المسح.

نقل خط من سطح مخروط إلى تطوير

يتشكل الخط n الموجود على سطح المخروط نتيجة تقاطعه مع مستوى معين (الشكل أدناه). ضع في اعتبارك الخوارزمية الخاصة بتكوين السطر n في عملية المسح.

الخوارزمية

1. أوجد إسقاط النقاط A و B و C ، حيث يتقاطع الخط n مع حواف الهرم المدرج في المخروط S123456.
2. نحدد الحجم الفعلي للقطاعات SA و SB و SC بالتناوب حول خط الإسقاط. في هذا المثال ، SA = S''A '' ، SB = S''B '' 1 ، SC = S''C '' 1.
3. نجد موضع النقاط A 0 ، B 0 ، C 0 على الحواف المقابلة للهرم ، ونضع جانباً المقاطع S 0 A 0 = S''A '' ، S 0 B 0 = S''B '' 1 ، S 0 C 0 = S `` C '' 1.
4. نقوم بتوصيل النقاط A 0 ، B 0 ، C 0 بخط ناعم.

تطوير المخروط المقطوع

تعتمد طريقة إنشاء مسح للمخروط المستدير الأيمن ، الموصوف أدناه ، على مبدأ التشابه.

في الهندسة ، المخروط المقطوع هو جسم يتكون من دوران شبه منحرف مستطيل حول هذا الجانب منه ، وهو عمودي على القاعدة. كيف يحسبون حجم المخروط المقطوعيعلم الجميع من خلال دورة الهندسة المدرسية ، وفي الممارسة العملية ، غالبًا ما يتم استخدام هذه المعرفة من قبل مصممي الآلات والآليات المختلفة ، ومطوري بعض السلع الاستهلاكية ، وكذلك المهندسين المعماريين.

حساب حجم المخروط المقطوع

صيغة حساب حجم المخروط المقطوع

يتم حساب حجم المخروط المقطوع بالصيغة:

ح- ارتفاع المخروط

ص- نصف قطر القاعدة العلوية

ص- نصف قطر القاعدة السفلية

الخامس- حجم المخروط المقطوع

π - 3,14

مع هذه الهيئات الهندسية مثل مخاريط مقطوعةفي الحياة اليومية ، يصادف الجميع كثيرًا ، إن لم يكن باستمرار. يحتوي شكلها على مجموعة متنوعة من الحاويات المستخدمة على نطاق واسع في الحياة اليومية: دلاء ، وأكواب ، وبعض الأكواب. وغني عن القول أن المصممين الذين طوروها لابد وأنهم استخدموا صيغة تحسب حجم المخروط المقطوع، لأن هذه القيمة مهمة جدًا في هذه الحالة ، لأنها تحدد خاصية مهمة مثل سعة المنتج.

الهياكل الهندسية ، وهي مخاريط مقطوعةيمكن رؤيتها في كثير من الأحيان في المؤسسات الصناعية الكبيرة ، وكذلك في محطات الطاقة الحرارية والنووية. هذا هو الشكل الذي تمتلكه أبراج التبريد - أجهزة مصممة لتبريد كميات كبيرة من الماء عن طريق إجبار تدفق عكسي للهواء الجوي. في أغلب الأحيان ، يتم استخدام هذه التصميمات في الحالات التي تتطلب تقليل درجة حرارة كمية كبيرة من السائل بشكل كبير في وقت قصير. مطوري هذه الهياكل يجب أن يحددوا حجم المخروط المقطوعصيغة الحساب بسيطة للغاية ومعروفة لجميع أولئك الذين درسوا جيدًا في المدرسة الثانوية.

غالبًا ما توجد التفاصيل التي لها هذا الشكل الهندسي في تصميم الأجهزة التقنية المختلفة. على سبيل المثال ، غالبًا ما يتم تنفيذ التروس المستخدمة في الأنظمة التي تتطلب تغيير اتجاه ناقل الحركة الحركي باستخدام التروس المخروطية. تعتبر هذه الأجزاء جزءًا لا يتجزأ من مجموعة متنوعة من علب التروس ، بالإضافة إلى علب التروس الأوتوماتيكية واليدوية المستخدمة في السيارات الحديثة.

يحتوي شكل المخروط المقطوع على بعض أدوات القطع المستخدمة على نطاق واسع في الإنتاج ، على سبيل المثال ، قواطع الطحن. بمساعدتهم ، يمكنك معالجة الأسطح المائلة بزاوية معينة. لشحذ قواطع الأشغال المعدنية ومعدات النجارة ، غالبًا ما تستخدم العجلات الكاشطة ، والتي تكون أيضًا مخاريط مقطوعة. بجانب، حجم المخروط المقطوعمطلوب تحديد مصممي آلات الخراطة والطحن ، والتي تتضمن تثبيت أداة القطع المجهزة بسيقان مستدقة (مثاقب ، موسعات ثقوب ، إلخ).