كم عدد المجموعات هي 2 من أصل 10. التوافقيات: القواعد والصيغ الأساسية. التباديل ونظرية الاحتمالات

جميع العناصر N، ولم يتكرر أي منها، فهذه مشكلة تتعلق بعدد التباديل. يمكن العثور على الحل بسيطا. يمكن أن يكون المركز الأول على التوالي أيًا من العناصر N، وبالتالي، هناك خيارات N. في المركز الثاني - أي شيء باستثناء ما تم استخدامه بالفعل في المركز الأول. لذلك، لكل خيار من خيارات N الموجودة بالفعل، هناك (N - 1) خيارات المركز الثاني، ويصبح العدد الإجمالي للمجموعات N*(N - 1).
ويمكن تكرار الشيء نفسه بالنسبة للعناصر المتبقية من السلسلة. بالنسبة للمكان الأخير، لم يتبق سوى خيار واحد - العنصر الأخير المتبقي. بالنسبة للخيار قبل الأخير، هناك خياران، وهكذا.
ولذلك، بالنسبة لسلسلة من العناصر غير المتكررة N، فإن التباديل المحتملة تكون مساوية لمنتج جميع الأعداد الصحيحة من 1 إلى N. ويسمى هذا المنتج مضروب N ويرمز له بـ N! (اقرأ "في المضمار").

في الحالة السابقة، تطابق عدد العناصر الممكنة وعدد الأماكن في الصف، وكان عددها يساوي N. لكن الموقف ممكن عندما يكون عدد الأماكن في الصف أقل من عدد العناصر المحتملة. بمعنى آخر أن عدد العناصر في العينة يساوي عدد معين M، وM< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
أولاً، قد ترغب في حساب العدد الإجمالي للطرق الممكنة التي يمكن من خلالها ترتيب عناصر M من N على التوالي، وتسمى هذه الطرق بالترتيبات.
ثانيا قد يهتم الباحث بعدد الطرق التي يمكن بها اختيار عناصر M من N. في هذه الحالة لم يعد ترتيب العناصر مهما، بل يجب أن يختلف أي خيارين عن بعضهما البعض بعنصر واحد على الأقل . تسمى هذه الأساليب مجموعات.

للعثور على عدد مواضع العناصر M من N، يمكنك اللجوء إلى نفس طريقة التفكير كما في حالة التباديل. من الممكن أن يكون هناك عناصر N في المقام الأول، وN - 1 في المركز الثاني، وهكذا. لكن بالنسبة للمركز الأخير فإن عدد الخيارات الممكنة لا يساوي واحدا، بل (ن - م + 1)، حيث أنه عند اكتمال التنسيب سيظل هناك (ن - م) عناصر غير مستخدمة.
وبالتالي فإن عدد مواضع عناصر M من N يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة من (N - M + 1) إلى N، أو ما هو نفسه، حاصل القسمة N!/(N - M)!.

من الواضح أن عدد مجموعات عناصر M من N سيكون أقل من عدد المواضع. لكل مجموعة ممكنة هناك M! المواضع الممكنة حسب ترتيب عناصر هذه المجموعة. ولذلك، للعثور على هذه الكمية، تحتاج إلى قسمة عدد مواضع العناصر M من N على N!. بمعنى آخر، عدد مجموعات عناصر M من N يساوي N!/(M!*(N - M)!).

التوافقيات

التوافقيات هي فرع من فروع الرياضيات يدرس مشاكل اختيار وترتيب العناصر من مجموعة أساسية معينة وفقًا لقواعد معينة. تُستخدم صيغ ومبادئ التوافقيات في نظرية الاحتمالات لحساب احتمالية الأحداث العشوائية، وبالتالي الحصول على قوانين توزيع المتغيرات العشوائية. وهذا بدوره يسمح لنا بدراسة أنماط الظواهر العشوائية الجماعية، وهو أمر مهم للغاية للفهم الصحيح للأنماط الإحصائية التي تظهر في الطبيعة والتكنولوجيا.

قواعد الجمع والضرب في التوافقيات

حكم المجموع. إذا كان الإجراءان A وB متنافيين، ويمكن تنفيذ الإجراء A بطرق m، وB بطرق n، فيمكن تنفيذ أحد هذه الإجراءات (إما A أو B) بطرق n + m.

مثال 1.

هناك 16 فتى و 10 فتيات في الفصل. بكم طريقة يمكنك تعيين ضابط مناوب واحد؟

حل

يمكن تكليف صبي أو فتاة بالواجب، أي. يمكن أن يكون الضابط المناوب أيًا من الأولاد الستة عشر أو أي من الفتيات العشر.

وباستخدام قاعدة المجموع، نجد أنه يمكن تعيين ضابط مناوب واحد بـ 16+10=26 طريقة.

سيادة المنتج. يجب أن تكون هناك إجراءات k مطلوب تنفيذها بشكل تسلسلي. إذا كان من الممكن تنفيذ الإجراء الأول بطرق n 1، والإجراء الثاني بطرق n 2، والثالث بطرق n 3، وهكذا حتى الإجراء k الذي يمكن تنفيذه بطرق n k، فيمكن تنفيذ جميع إجراءات k معًا :

طرق.

مثال 2.

هناك 16 فتى و 10 فتيات في الفصل. بكم طريقة يمكن تعيين ضابطين مناوبين؟

حل

يمكن تعيين صبي أو فتاة كأول شخص في الخدمة. لأن هناك 16 فتى و10 فتيات في الفصل، ثم يمكنك تعيين أول شخص في الخدمة بـ 16+10=26 طريقة.

بعد أن قمنا باختيار الضابط المناوب الأول، يمكننا اختيار الضابط الثاني من بين الـ 25 شخصًا المتبقين، أي. 25 طريقة.

وفقا لنظرية الضرب، يمكن اختيار اثنين من الحاضرين بـ 26*25=650 طريقة.

مجموعات دون تكرار. مجموعات مع التكرار

المشكلة الكلاسيكية في التوافقيات هي مشكلة عدد المجموعات دون التكرار، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم عدد طرق يستطيع يختار م من ن عناصر مختلفة?

مثال 3.

يجب عليك اختيار 4 من أصل 10 كتب مختلفة متاحة كهدية. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟

حل

علينا أن نختار 4 كتب من أصل 10، ولا يهم ترتيب الاختيار. وبالتالي، تحتاج إلى العثور على عدد مجموعات من 10 عناصر من 4:

.

خذ بعين الاعتبار مشكلة عدد المجموعات مع التكرار: هناك كائنات متطابقة من كل نوع n من الأنواع المختلفة؛ كم عدد طرق يستطيع يختار م (من هؤلاء (ن * ص) العناصر؟

.

مثال 4.

يبيع متجر المعجنات 4 أنواع من الكعك: نابليون، وإكلاير، وكعك الغريبة، والمعجنات المنتفخة. بكم طريقة يمكنك شراء 7 كعكات؟

حل

لأن من بين 7 كعكات قد يكون هناك كعكات من نفس النوع، ثم يتم تحديد عدد الطرق التي يمكن من خلالها شراء 7 كعكات من خلال عدد المجموعات مع التكرارات من 7 إلى 4.

.

مواضع دون تكرار. المواضع مع التكرار

إحدى المشاكل الكلاسيكية في التوافقيات هي مشكلة عدد المواضع دون تكرار، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم عدد طرق يستطيع يختار و بريد بواسطة م مختلف أماكن م من ن مختلفة أغراض؟

مثال 5.

تحتوي بعض الصحف على 12 صفحة. ومن الضروري وضع أربع صور فوتوغرافية على صفحات هذه الصحيفة. بكم طريقة يمكن القيام بذلك إذا لم تحتوي أي صفحة من الجريدة على أكثر من صورة واحدة؟

حل.

في هذه المهمة، لا نكتفي باختيار الصور الفوتوغرافية، بل نضعها على صفحات معينة من الصحيفة، ويجب ألا تحتوي كل صفحة من الصحيفة على أكثر من صورة واحدة. وبذلك تنحصر المشكلة في المشكلة الكلاسيكية المتمثلة في تحديد عدد المواضع دون تكرار 12 عنصرًا من 4 عناصر:

وبالتالي، يمكن ترتيب 4 صور في 12 صفحة بـ 11880 طريقة.

من المشاكل الكلاسيكية أيضًا في التوافقيات هي مشكلة عدد المواضع مع التكرار، والتي يمكن التعبير عن محتواها من خلال السؤال: كم عدد طرق يستطيع أنتبجيش و بريد بواسطة م مختلف أماكن م من ن العناصر,معمستعد أيّ هنالك نفس الشيء؟

مثال 6.

لا يزال لدى الصبي طوابع تحمل الأرقام 1 و3 و7 من مجموعة الألعاب اللوحية الخاصة به، وقرر استخدام هذه الطوابع لوضع أرقام مكونة من خمسة أرقام على جميع الكتب لإنشاء كتالوج. كم عدد الأعداد المختلفة المكونة من خمسة أرقام التي يمكن للصبي تكوينها؟

التباديل دون تكرار. التباديل مع التكرار

إحدى المشاكل الكلاسيكية في التوافقيات هي مشكلة عدد التباديل دون تكرار، والتي يمكن التعبير عن محتواها بالسؤال: كم عدد طرق يستطيع بريد ن متنوع أغراض على ن مختلفة أماكن؟

مثال 7.

كم عدد "الكلمات" المكونة من أربعة أحرف يمكنك تكوينها من حروف كلمة "زواج"؟

حل

عموم السكان هم الحروف الأربعة لكلمة "زواج" (ب، ع، أ، ك). يتم تحديد عدد "الكلمات" من خلال التباديل بين هذه الأحرف الأربعة، أي.

في حالة وجود عناصر متطابقة بين العناصر n المحددة (الاختيار مع الإرجاع)، يمكن التعبير عن مشكلة عدد التباديل مع التكرار بالسؤال: بكم طريقة يمكن إعادة ترتيب n كائنات موجودة في n أماكن مختلفة إذا كان من بين n كائنات k أنواع مختلفة (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

مثال 8.

كم عدد مجموعات الحروف المختلفة التي يمكن صنعها من حروف كلمة "ميسيسيبي"؟

حل

هناك حرف واحد "m"، و4 أحرف "i"، و3 أحرف "c" وحرف واحد "p"، ليصبح المجموع 9 أحرف. وبالتالي فإن عدد التباديل مع التكرار يساوي

ملخص الخلفية لقسم "التوافقيات"

أصدقاء! نظرًا لأن لدي هذا الدفتر الميت بالفعل، سأستخدمه لأطرح عليك مشكلة كان ثلاثة فيزيائيين واثنان من الاقتصاديين، أحدهما من كلية الفنون التطبيقية والآخر من العلوم الإنسانية، يعانون من حلها بالأمس. لقد كسرنا دماغنا بالكامل ونحصل باستمرار على نتائج مختلفة. ربما يوجد بينكم مبرمجون وعباقرة في الرياضيات، بالإضافة إلى أن المشكلة بشكل عام هي مشكلة مدرسية وسهلة للغاية، ببساطة لا يمكننا استخلاص الصيغة. لأننا تخلينا عن دراسة العلوم الدقيقة وبدلاً من ذلك، لسبب ما، نؤلف الكتب ونرسم الصور. آسف.

لذلك، الخلفية.

لقد حصلت على بطاقة مصرفية جديدة، وكالعادة، خمنت بشكل هزلي رمز PIN الخاص بها. ولكن ليس على التوالي. أعني، لنفترض أن رمز PIN كان 8794، وقلت 9748. وهذا يعني أنني منتصر خمنت كل الأرقام، والتي كانت موجودة في هذا العدد المكون من أربعة أرقام. نعم، وليس الرقم نفسه، لكن فقط مكوناتهكنت أتساءل. لكن الارقام كلها صحيحة! ملاحظة - لقد تصرفت بشكل عشوائي، أي أنني لم أضطر إلى ترتيب الأرقام المعروفة بالفعل بالترتيب الصحيح، لقد تصرفت ببساطة بالروح: يوجد هنا أربعة أرقام غير معروفة بالنسبة لي، وأعتقد أنه قد يكون من بينها 9 و 7 و 4 و 8، وترتيبها ليس مهما.سألنا أنفسنا على الفور، كم عدد الخيارات المتاحة لي؟(ربما لفهم كم هو رائع أنني أخذته وخمنته للتو). بمعنى، كم عدد المجموعات المكونة من أربعة أرقام كان علي الاختيار من بينها؟ ومن ثم، بطبيعة الحال، انفتحت أبواب الجحيم. كانت رؤوسنا تنفجر طوال المساء، وانتهى بنا الأمر جميعًا بإجابات مختلفة تمامًا! حتى أنني بدأت في كتابة كل هذه المجموعات في دفتر على التوالي مع زيادة عددها، ولكن عند الأربعمائة أدركت أن هناك أكثر من أربعمائة (على أي حال، دحض هذا إجابة الفيزيائي ثراش، الذي أكد لي أن هناك كانت أربعمائة مجموعة، ولكن لا يزال هذا ليس واضحا تماما) - واستسلم.

في الحقيقة، جوهر السؤال.ما هو احتمال تخمين (بأي ترتيب) أربعة أرقام موجودة في عدد مكون من أربعة أرقام؟

أو لا، دعونا نعيد صياغتها (أنا إنساني، سامحني، على الرغم من أنني كنت أعاني دائمًا من ضعف كبير في الرياضيات) لجعلها أكثر وضوحًا ودقة. كم عدد غير مكررمجموعات الأرقام الموجودة في سلسلة الأرقام الترتيبية من 0 إلى 9999؟ ( من فضلك لا تخلط بين هذا وبين السؤال "كم عدد المجموعات غير مكررأعداد"!!! قد تتكرر الأرقام! أعني أن 2233 و3322 هما في هذه الحالة نفس المجموعة!!).

أو حتى أكثر تحديدا. أحتاج إلى تخمين رقم واحد من أصل عشرة أربع مرات. ولكن ليس على التوالي.

حسنا، أو أي شيء آخر. بشكل عام، أحتاج إلى معرفة عدد الخيارات المتاحة لي للمجموعة الرقمية التي يتكون منها رمز PIN للبطاقة. مساعدة، أهل الخير! فقط من فضلك، عند المساعدة، لا تبدأ فورًا في الكتابة بأن هناك 9999 خيارًا لهذه الخيارات(بالأمس هذا ما خطر على بال الجميع في البداية)، لأن هذا هراء - ففي النهاية، من المنظور الذي يقلقنا، فإن الرقم 1234، والرقم 3421، والرقم 4312، وهكذا نفس الشيء! حسنًا، نعم، يمكن تكرار الأرقام، لأن هناك رمز PIN 1111 أو، على سبيل المثال، 0007. يمكنك تخيل رقم سيارة بدلاً من رمز PIN. لنفترض، ما هو احتمال تخمين جميع الأرقام المكونة من رقم واحد التي يتكون منها رقم السيارة؟ أو، لإزالة نظرية الاحتمال تمامًا، من كم عدد مجموعات الأرقام التي كان عليّ أن أختار واحدة منها؟

يرجى دعم إجاباتك ومنطقك ببعض الصيغ الدقيقة، لأننا بالأمس كنا على وشك أن نصاب بالجنون. شكرا جزيلا لكم مقدما!

ملاحظة. لقد اقترح أحد الأشخاص الأذكياء، وهو مبرمج وفنان ومخترع، الحل الصحيح للمشكلة بشكل صحيح للغاية، ومنحني عدة دقائق من المزاج الرائع: " حل المشكلة هو هذا: إنها تعاني من الوسواس القهري، والعلاج هو: الزواج وتل الطماطم. لو كنت مكانها، لكنت مهتمًا أكثر ليس بالسؤال "ما هو الاحتمال"، ولكن بالسؤال "لماذا أهتم بكل هذه الأرقام"؟على العموم ليس هناك ما أضيفه :)

تم تصميم الآلة الحاسبة أدناه لإنشاء جميع مجموعات العناصر n by m.
يمكن حساب عدد هذه المجموعات باستخدام الآلة الحاسبة Elements of Combinatorics. التباديل، المواضع، التركيبات.

وصف خوارزمية التوليد تحت الآلة الحاسبة.

خوارزمية

يتم إنشاء المجموعات بترتيب معجمي. تعمل الخوارزمية مع المؤشرات الترتيبية لعناصر المجموعة.
دعونا نلقي نظرة على الخوارزمية باستخدام مثال.
لتبسيط العرض، فكر في مجموعة من خمسة عناصر، تبدأ مؤشراتها بالرقم 1، وهي 1 2 3 4 5.
مطلوب إنشاء جميع مجموعات الحجم m = 3.
تتم تهيئة المجموعة الأولى من الحجم المحدد m أولاً - المؤشرات بترتيب تصاعدي
1 2 3
بعد ذلك، يتم التحقق من العنصر الأخير، أي i = 3. إذا كانت قيمته أقل من n - m + i، فسيتم زيادته بمقدار 1.
1 2 4
يتم التحقق من العنصر الأخير مرة أخرى، ويتم زيادته مرة أخرى.
1 2 5
الآن أصبحت قيمة العنصر تساوي الحد الأقصى الممكن: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5، تم تحديد العنصر السابق بـ i = 2.
وإذا كانت قيمته أقل من n - m + i، فإنه يزاد بمقدار 1، ولجميع العناصر التي تليها تكون القيمة مساوية لقيمة العنصر السابق زائد 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
بعد ذلك نتحقق مرة أخرى من i = 3.
1 3 5
ثم تحقق من i = 2.
1 4 5
ثم يأتي دور i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
وعلاوة على ذلك،
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - التركيبة الأخيرة حيث أن جميع عناصرها تساوي n - m + i.

على الرغم من الدور الهام الذي تلعبه رموز PIN في البنية التحتية في العالم، لم يكن هناك بحث أكاديمي حول كيفية اختيار الأشخاص لرموز PIN فعليًا.

قام الباحثون في جامعة كامبريدج، سورين بريبوش وروس أندرسون، بتصحيح الوضع من خلال نشر أول تحليل كمي في العالم لصعوبة تخمين رقم التعريف الشخصي للبنك المكون من 4 أرقام.

باستخدام البيانات المتعلقة بتسريب كلمات المرور من مصادر غير مصرفية والاستطلاعات عبر الإنترنت، وجد العلماء أن المستخدمين يأخذون اختيار رموز PIN على محمل الجد أكثر بكثير من اختيار كلمات المرور لمواقع الويب: تحتوي معظم الرموز على مجموعة عشوائية تقريبًا من الأرقام. ومع ذلك، من بين البيانات الأولية هناك أيضا مجموعات بسيطة وأعياد الميلاد - أي، مع بعض الحظ، يمكن للمهاجم ببساطة تخمين الكود العزيز.

وكانت نقطة البداية للدراسة عبارة عن مجموعة من تسلسلات كلمات المرور المكونة من 4 أرقام من قاعدة بيانات RockYou (1.7 مليون)، وقاعدة بيانات مكونة من 200 ألف رمز PIN من برنامج قفل شاشة iPhone (تم توفير قاعدة البيانات من قبل مطور التطبيق Daniel Amitay) . في الرسوم البيانية المبنية على هذه البيانات، تظهر أنماط مثيرة للاهتمام - تواريخ، سنوات، أرقام متكررة، وحتى رموز PIN التي تنتهي بالرقم 69. وبناء على هذه الملاحظات، قام العلماء ببناء نموذج انحدار خطي يقدر مدى شعبية كل رمز PIN اعتمادًا على 25 عاملاً. ، مثل ما إذا كان الرمز عبارة عن تاريخ DDMM، وما إذا كان تسلسلًا تصاعديًا، وما إلى ذلك. 79% و93% من رموز PIN في كل مجموعة تستوفي هذه الشروط العامة.

لذلك، يختار المستخدمون الرموز المكونة من 4 أرقام بناءً على عدد قليل من العوامل البسيطة. إذا تم اختيار رموز PIN الخاصة بالبنك بهذه الطريقة، فيمكن تخمين 8-9% منها في ثلاث محاولات فقط! لكن، بالطبع، الناس أكثر اهتمامًا برموز البنوك. وفي غياب أي مجموعة كبيرة من البيانات المصرفية الحقيقية، قام الباحثون باستطلاع آراء أكثر من 1300 شخص لتقييم مدى اختلاف رموز PIN الحقيقية عن تلك التي تم دراستها بالفعل. وبالنظر إلى تفاصيل الدراسة، لم يتم سؤال المشاركين عن الرموز نفسها، ولكن فقط عن مدى امتثالها لأي من العوامل المذكورة أعلاه (زيادة، تنسيق DDMM، وما إلى ذلك).

اتضح أن الأشخاص يختارون بالفعل رموز PIN المصرفية الخاصة بهم بعناية أكبر. يستخدم حوالي ربع المشاركين رقم تعريف شخصي عشوائيًا يصدره البنك. يختار أكثر من الثلث رقم التعريف الشخصي (PIN) الخاص بهم باستخدام رقم هاتف قديم، أو رقم هوية الطالب، أو مجموعة أخرى من الأرقام التي تظهر بشكل عشوائي. ووفقاً للنتائج، فإن 64% من حاملي البطاقات يستخدمون رقم تعريف شخصي عشوائياً زائفاً، وهو أعلى بكثير من 23% إلى 27% في التجارب السابقة مع الرموز غير المصرفية. ويستخدم 5% آخرون النمط الرقمي (على سبيل المثال 4545)، ويفضل 9% نمط لوحة المفاتيح (على سبيل المثال 2684). بشكل عام، المهاجم الذي لديه ست محاولات (ثلاث باستخدام ماكينة الصراف الآلي وثلاثة باستخدام محطة دفع) لديه فرصة أقل من 2% لتخمين رمز PIN الخاص ببطاقة شخص آخر.

100 رمز PIN الأكثر شيوعًا

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

ملاحظة.من الناحية العملية، بالطبع، من الأسهل بكثير على المهاجم التجسس على رمز PIN الخاص بك بدلاً من تخمينه. ولكن يمكنك أيضًا حماية نفسك من اختلاس النظر، حتى في المواقف التي تبدو ميؤوس منها:

التوافقيات هي فرع من فروع الرياضيات يدرس الأسئلة المتعلقة بعدد المجموعات المختلفة، التي تخضع لشروط معينة، والتي يمكن صنعها من كائنات معينة. تعتبر أساسيات التوافقيات مهمة جدًا لتقدير احتمالات الأحداث العشوائية، وذلك لأن إنها هي التي تسمح لنا بحساب العدد الأساسي الممكن من الخيارات المختلفة لتطوير الأحداث.

الصيغة الأساسية للتوافقيات

يجب أن تكون هناك مجموعات k من العناصر، وتتكون المجموعة i من عناصر n i. دعونا نختار عنصرا واحدا من كل مجموعة. ثم يتم تحديد العدد الإجمالي N من الطرق التي يمكن من خلالها اتخاذ مثل هذا الاختيار من خلال العلاقة N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

مثال 1.دعونا نشرح هذه القاعدة بمثال بسيط. يجب أن تكون هناك مجموعتان من العناصر، وتتكون المجموعة الأولى من عناصر ن 1، والثانية - من عناصر ن 2. ما عدد أزواج العناصر المختلفة التي يمكن تكوينها من هاتين المجموعتين، بحيث يحتوي الزوج على عنصر واحد من كل مجموعة؟ لنفترض أننا أخذنا العنصر الأول من المجموعة الأولى، ودون تغييره، مررنا بجميع الأزواج الممكنة، وقمنا بتغيير العناصر من المجموعة الثانية فقط. يمكن أن يكون هناك n 2 من هذه الأزواج لهذا العنصر. ثم نأخذ العنصر الثاني من المجموعة الأولى ونقوم أيضًا بعمل جميع الأزواج الممكنة له. سيكون هناك أيضًا n 2 من هذه الأزواج. نظرًا لوجود عناصر n 1 فقط في المجموعة الأولى، فإن إجمالي الخيارات الممكنة سيكون n 1 *n 2 .

مثال 2.كم عدد زوجي مكون من ثلاثة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، إذا كان من الممكن تكرار الأرقام؟
حل: n 1 = 6 (لأنه يمكنك أخذ أي رقم من 1، 2، 3، 4، 5، 6 كرقم أول)، n 2 = 7 (لأنه يمكنك أخذ أي رقم من 0 كرقم ثاني، 1، 2) ، 3، 4، 5، 6)، n 3 = 4 (نظرًا لأن أي رقم من 0، 2، 4، 6 يمكن اعتباره الرقم الثالث).
لذا، N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

في الحالة التي تتكون فيها جميع المجموعات من نفس العدد من العناصر، أي. n 1 =n 2 =...n k =n يمكننا أن نفترض أن كل تحديد يتم من نفس المجموعة، ويتم إرجاع العنصر بعد التحديد إلى المجموعة. ثم عدد جميع طرق الاختيار هو n k . تسمى طريقة الاختيار هذه في التوافقيات عينات مع العودة.

مثال 3.ما عدد الأعداد المكونة من أربعة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 1، 5، 6، 7، 8؟
حل.لكل رقم من عدد مكون من أربعة أرقام هناك خمسة احتمالات، مما يعني N=5*5*5*5=5 4 =625.

النظر في مجموعة تتكون من عناصر n. في التوافقيات تسمى هذه المجموعة عامه السكان.

عدد مواضع العناصر n بواسطة m

التعريف 1.السكن من نالعناصر بواسطة مفي التوافقيات أي مجموعة مرتبةمن معناصر مختلفة مختارة من السكان في نعناصر.

مثال 4.الترتيبات المختلفة للعناصر الثلاثة (1، 2، 3) في اثنين ستكون المجموعات (1، 2)، (2، 1)، (1، 3)، (3، 1)، (2، 3)، (3) ، 2). قد تختلف المواضع عن بعضها البعض سواء في العناصر أو في ترتيبها.

يتم الإشارة إلى عدد المواضع في التوافقيات بواسطة A n m ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

تعليق: n!=1*2*3*...*n (اقرأ: “en Factorial”)، بالإضافة إلى ذلك، من المفترض أن 0!=1.

مثال 5. ما عدد الأعداد المكونة من رقمين والتي يكون فيها رقم العشرات ورقم الآحاد مختلفين وفرديين؟
حل:لأن إذا كان هناك خمسة أرقام فردية، وهي 1، 3، 5، 7، 9، فإن هذه المهمة تتلخص في اختيار ووضع اثنين من الأرقام الخمسة المختلفة في موضعين مختلفين، أي. الأرقام المشار إليها ستكون:

التعريف 2. الجمعمن نالعناصر بواسطة مفي التوافقيات أي مجموعة غير مرتبةمن معناصر مختلفة مختارة من السكان في نعناصر.

مثال 6. للمجموعة (1، 2، 3)، المجموعات هي (1، 2)، (1، 3)، (2، 3).

عدد مجموعات n من العناصر، m لكل منها

يُشار إلى عدد المجموعات بـ C n m ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

مثال 7.بكم طريقة يمكن للقارئ أن يختار كتابين من أصل ستة كتب متاحة؟

حل:عدد الأساليب يساوي عدد مجموعات ستة كتب من كتابين، أي. يساوي:

التباديل من العناصر n

التعريف 3. التقليبمن نتسمى العناصر أي مجموعة مرتبةهذه العناصر.

المثال 7أ.جميع التباديل الممكنة لمجموعة مكونة من ثلاثة عناصر (1، 2، 3) هي: (1، 2، 3)، (1، 3، 2)، (2، 3، 1)، (2، 1، 3) ، (3، 2، 1)، (3، 1، 2).

يتم الإشارة إلى عدد التباديل المختلفة للعناصر n بواسطة P n ويتم حسابه بواسطة الصيغة P n =n!.

مثال 8.بكم طريقة يمكن ترتيب سبعة كتب لمؤلفين مختلفين في صف واحد على الرف؟

حل:تتعلق هذه المشكلة بعدد التباديل لسبعة كتب مختلفة. هناك P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 طريقة لترتيب الكتب .

مناقشة.نرى أنه يمكن حساب عدد التوليفات الممكنة وفقًا لقواعد مختلفة (التباديل، التوليفات، المواضع) وستكون النتيجة مختلفة، لأن مبدأ الحساب والصيغ نفسها مختلفة. وبالنظر بعناية إلى التعريفات، ستلاحظ أن النتيجة تعتمد على عدة عوامل في وقت واحد.

أولاً، من خلال عدد العناصر التي يمكننا دمج مجموعاتها (ما هو حجم مجموع العناصر).

ثانيا، تعتمد النتيجة على حجم مجموعات العناصر التي نحتاجها.

وأخيرًا، من المهم معرفة ما إذا كان ترتيب العناصر في المجموعة مهمًا بالنسبة لنا. دعونا نشرح العامل الأخير باستخدام المثال التالي.

مثال 9.هناك 20 شخصًا حاضرين في اجتماع أولياء الأمور. ما عدد الخيارات المختلفة المتاحة لتكوين اللجنة الأم إذا كان يجب أن تضم 5 أشخاص؟
حل:في هذا المثال، لا يهمنا ترتيب الأسماء في قائمة اللجنة. إذا تبين نتيجة لذلك أن نفس الأشخاص هم جزء منها، فهذا يعني بالنسبة لنا أن هذا هو نفس الخيار. لذلك، يمكننا استخدام الصيغة لحساب الرقم مجموعاتمن 20 عنصرا 5 لكل منهما.

ستكون الأمور مختلفة إذا كان كل عضو في اللجنة مسؤولاً في البداية عن مجال عمل معين. ومن ثم، وبنفس تكوين القائمة في اللجنة، فمن المحتمل أن يكون هناك 5 أعضاء فيها! خيارات التباديلهذا يهم. يتم تحديد عدد الخيارات المختلفة (سواء في التكوين أو في مجال المسؤولية) في هذه الحالة من خلال العدد المواضعمن 20 عنصرا 5 لكل منهما.

مهام الاختبار الذاتي
1. كم عدد الأعداد الزوجية المكونة من ثلاثة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، إذا كان من الممكن تكرار الأرقام؟
لأن الرقم الزوجي في المركز الثالث يمكن أن يكون 0، 2، 4، 6، أي. أربعة أرقام. يمكن أن يكون المركز الثاني أيًا من الأرقام السبعة. يمكن أن يكون المركز الأول أيًا من الأرقام السبعة باستثناء الصفر، أي. 6 احتمالات. النتيجة =4*7*6=168.
2. كم عدد الأعداد المكونة من خمسة أرقام والتي تُقرأ بنفس الطريقة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار؟
يمكن أن يكون المركز الأول أي رقم باستثناء 0، أي. 9 احتمالات. أي رقم يمكن أن يكون في المركز الثاني، أي. 10 احتمالات. يمكن أن يكون المركز الثالث أيضًا أي رقم من، أي. 10 احتمالات. الرقمان الرابع والخامس محددان مسبقًا، ويتزامنان مع الرقمين الأول والثاني، وبالتالي فإن عدد هذه الأرقام هو 9*10*10=900.
3. هناك عشر مواد في الفصل وخمسة دروس في اليوم. بكم طريقة يمكنك إنشاء جدول ليوم واحد؟

4. بكم طريقة يمكن اختيار 4 مندوبين لحضور مؤتمر إذا كان هناك 20 شخصًا في المجموعة؟

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. بكم طريقة يمكن وضع ثمانية أحرف مختلفة في ثمانية أظرف مختلفة، إذا تم وضع حرف واحد فقط في كل ظرف؟
يمكنك وضع حرف واحد من الحروف الثمانية في الظرف الأول، وواحد من الأحرف السبعة المتبقية في الثاني، وواحد من الستة في الثالث، وما إلى ذلك. ن = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. يجب أن تتكون اللجنة المكونة من اثنين من علماء الرياضيات وستة اقتصاديين من ثلاثة علماء رياضيات وعشرة اقتصاديين. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟