كيفية حل عدم المساواة مع متغيرين. ملخص الدرس "حل أنظمة المتباينات بمتغيرين." مع متغيرين

موضوع: المعادلات والمتباينات. أنظمة المعادلات والمتباينات

درس:المعادلات والمتباينات ذات متغيرين

دعونا نفكر بشكل عام في معادلة ومتباينة ذات متغيرين.

معادلة ذات متغيرين؛

عدم المساواة مع متغيرين، علامة عدم المساواة يمكن أن تكون أي شيء؛

هنا x وy متغيران، p هو تعبير يعتمد عليهما

يُطلق على زوج من الأرقام () اسم الحل الجزئي لمثل هذه المعادلة أو عدم المساواة إذا حصلنا على المعادلة أو عدم المساواة الصحيحة على التوالي عند استبدال هذا الزوج في التعبير.

وتتمثل المهمة في العثور على مجموعة جميع الحلول أو تصويرها على المستوى. يمكنك إعادة صياغة هذه المهمة - العثور على موضع النقاط (GLP)، وإنشاء رسم بياني لمعادلة أو متباينة.

مثال 1 - حل المعادلة والمتباينة:

بمعنى آخر، تتضمن المهمة العثور على توقيت جرينتش.

دعونا نفكر في حل المعادلة. في هذه الحالة، يمكن أن تكون قيمة المتغير x أي، لذلك لدينا:

من الواضح أن حل المعادلة هو مجموعة النقاط التي تشكل خطًا مستقيمًا

أرز. 1. مثال الرسم البياني للمعادلة 1

حلول معادلة معينة هي، على وجه الخصوص، النقاط (-1؛ 0)، (0؛ 1)، (x 0، x 0 +1)

حل المتباينة المعطاة هو نصف المستوى الموجود فوق الخط، بما في ذلك الخط نفسه (انظر الشكل 1). في الواقع، إذا أخذنا أي نقطة × 0 على الخط، فلدينا المساواة. إذا أخذنا نقطة في نصف المستوى فوق الخط، فلدينا . إذا أخذنا نقطة في نصف المستوى تحت الخط، فإنها لن تحقق متباينتنا: .

الآن فكر في مشكلة الدائرة والدائرة.

مثال 2 - حل المعادلة والمتباينة:

نحن نعلم أن المعادلة المعطاة هي معادلة دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها 1.

أرز. 2. الرسم التوضيحي على سبيل المثال 2

عند نقطة عشوائية x 0، للمعادلة حلان: (x 0; y 0) و (x 0; -y 0).

الحل لمتباينة معينة هو مجموعة من النقاط الموجودة داخل الدائرة، دون مراعاة الدائرة نفسها (انظر الشكل 2).

لنفكر في معادلة تحتوي على وحدات.

مثال 3 - حل المعادلة:

في هذه الحالة، سيكون من الممكن توسيع الوحدات، لكننا سننظر في تفاصيل المعادلة. من السهل أن نرى أن الرسم البياني لهذه المعادلة متماثل حول كلا المحورين. ثم إذا كانت النقطة (x 0 ; y 0) حلاً، فإن النقطة (x 0 ; -y 0) هي أيضًا حل، النقطتان (-x 0 ; y 0) و (-x 0 ; -y 0) ) هي أيضا حل .

وبالتالي يكفي إيجاد حل يكون فيه كلا المتغيرين غير سالبين ويأخذان تماثلا حول المحاور:

أرز. 3. الرسم التوضيحي على سبيل المثال 3

إذن، كما نرى، حل المعادلة هو مربع.

دعونا نلقي نظرة على ما يسمى بطريقة المنطقة باستخدام مثال محدد.

مثال 4 - تصوير مجموعة حلول المتراجحة:

وفقًا لطريقة المجالات، أولًا نفكر في الدالة الموجودة على الجانب الأيسر إذا كان هناك صفر على اليمين. هذه دالة لمتغيرين:

وكما هو الحال مع طريقة الفترات، نبتعد مؤقتًا عن المتباينة وندرس خصائص وخصائص الدالة المركبة.

ODZ: هذا يعني أن المحور x قد تم ثقبه.

نشير الآن إلى أن الدالة تساوي صفرًا، عندما يكون بسط الكسر يساوي صفرًا، لدينا:

نحن نبني رسما بيانيا للوظيفة.

أرز. 4. رسم بياني للدالة، مع مراعاة ODZ

الآن فكر في المناطق ذات الإشارة الثابتة للدالة؛ فهي مكونة من خط مستقيم وخط متقطع. داخل الخط المتقطع توجد منطقة D 1. بين جزء من خط متقطع وخط مستقيم - المنطقة د 2، أسفل الخط - المنطقة د 3، بين جزء من خط متقطع وخط مستقيم - المنطقة د 4

في كل منطقة من المناطق المحددة، تحتفظ الوظيفة بعلامتها، مما يعني أنه يكفي التحقق من نقطة اختبار عشوائية في كل منطقة.

في المنطقة نأخذ النقطة (0؛1). لدينا:

وفي المنطقة نأخذ النقطة (10؛1). لدينا:

وبالتالي، فإن المنطقة بأكملها سلبية ولا ترضي عدم المساواة المعطاة.

في المنطقة، خذ النقطة (0؛-5). لدينا:

وبالتالي، فإن المنطقة بأكملها إيجابية وترضي عدم المساواة المعطى.

1. المتباينات ذات متغيرين. طرق حل نظام من متباينتين بمتغيرين: الطريقة التحليلية والطريقة الرسومية.

2. أنظمة المتباينتين بمتغيرين: تسجيل نتيجة الحل.

3. مجموعات من المتباينات ذات متغيرين.

عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة مع متغيرين. المسند من النموذج f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - تسمى التعبيرات ذات المتغيرين x وy المحددين في المجموعة XxY عدم المساواة مع متغيرين (مع مجهولين)س و ص.ومن الواضح أن أي متباينة في النموذج بمتغيرين يمكن كتابتها في النموذج و(س، ذ) > 0, ههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههه أنت أنت حل عدم المساواةبمتغيرين هو زوج من القيم المتغيرة التي تحول المتباينة إلى متباينة عددية حقيقية.ومن المعروف أن زوجا من الأعداد الحقيقية (س، ص)يحدد بشكل فريد نقطة في المستوى الإحداثي. وهذا يجعل من الممكن تصوير حلول عدم المساواة أو أنظمة عدم المساواة ذات متغيرين هندسيًا، في شكل مجموعة معينة من النقاط على المستوى الإحداثي. إذا مكافئ.

و (س، ص)= 0 يحدد خطًا معينًا على المستوى الإحداثي، فإن مجموعة نقاط المستوى التي لا تقع على هذا الخط تتكون من عدد محدود من المناطق C₁، ج 2،..., س ص(الشكل 17.8). في كل مجال من المجالات C، الوظيفة و (س، ص)يختلف عن الصفر، لأن النقاط التي و (س، ص)= 0 تنتمي إلى حدود هذه المناطق.

حل.دعونا نحول عدم المساواة إلى النموذج س > ص 2 + 2ص - 3. لنقم ببناء قطع مكافئ على المستوى الإحداثي X= ص 2 + 2ص - 3. سوف يقسم المستوى إلى منطقتين G₁ وG 2 (الشكل 17.9). منذ الإحداثيات الإحداثية لأي نقطة تقع على يمين القطع المكافئ X= ص 2 + 2 ذ- 3، أكبر من الإحداثي المحوري لنقطة لها نفس الإحداثي، ولكنها تقع على القطع المكافئ، وما إلى ذلك. عدم المساواة س>ص ز + 2ص -3ليست صارمة، فإن التمثيل الهندسي لحلول هذه المتباينة سيكون مجموعة نقاط المستوى الواقع على القطع المكافئ X= في 2+ 2 يو - 3 وعلى يمينه (الشكل 17.9).

أرز. 17.10

مثال 17.15. ارسم على المستوى الإحداثي مجموعة الحلول لنظام المتباينات

ص > 0،

ص > 5،

س + ص<6.

حل.تمثيل هندسي لحل نظام المتباينات x > 0، ذ> 0 هي مجموعة نقاط زاوية الإحداثيات الأولى. التمثيل الهندسي لحلول عدم المساواة س + ص< 6 أو في< 6 - Xهي مجموعة النقاط الواقعة أسفل الخط وعلى الخط نفسه، وتعمل بمثابة رسم بياني للدالة ص = 6 - X.التمثيل الهندسي لحلول عدم المساواة ص > 5أو بسبب X> 0 عدم المساواة ص > 5/سهي مجموعة النقاط الواقعة فوق فرع القطع الزائد الذي يعمل بمثابة رسم بياني للدالة ص = 5/س.ونتيجة لذلك، نحصل على مجموعة من نقاط المستوى الإحداثي الواقعة في زاوية الإحداثيات الأولى أسفل الخط المستقيم، والتي تعمل بمثابة رسم بياني للدالة y = 6 - x، وفوق فرع القطع الزائد، الذي يعمل بمثابة الرسم البياني للوظيفة ص = 5س(الشكل 17.10).

الفصل الثالث. الأعداد الطبيعية والصفر

، بل وأكثر من ذلك أنظمة عدم المساواة مع متغيرين، يبدومهمة صعبة للغاية. ومع ذلك، هناك خوارزمية بسيطة تساعد في حل المشكلات التي تبدو معقدة للغاية من هذا النوع بسهولة ودون بذل الكثير من الجهد. دعونا نحاول معرفة ذلك.

دعونا نحصل على متباينة ذات متغيرين لأحد الأنواع التالية:

ص > و(س); ص ≥ و(س); ذ< f(x); y ≤ f(x).

لتصوير مجموعة الحلول لمثل هذه المتباينة على المستوى الإحداثي، اتبع ما يلي:

1. نقوم ببناء رسم بياني للدالة y = f(x)، الذي يقسم المستوى إلى منطقتين.
2. نختار أيًا من المناطق الناتجة ونفكر في نقطة تعسفية فيها. نتحقق من جدوى المتباينة الأصلية لهذه النقطة. إذا نتج عن الاختبار متباينة عددية صحيحة، فإننا نستنتج أن المتباينة الأصلية محققة في كامل المنطقة التي تنتمي إليها النقطة المختارة. وبالتالي، فإن مجموعة حلول المتراجحة هي المنطقة التي تنتمي إليها النقطة المختارة. إذا أدى الفحص إلى عدم مساواة عددية غير صحيحة، فإن مجموعة الحلول للمتباينة ستكون المنطقة الثانية التي لا تنتمي إليها النقطة المحددة.
3. إذا كانت عدم المساواة صارمة، فإن حدود المنطقة، أي نقاط الرسم البياني للدالة y = f(x)، لا يتم تضمينها في مجموعة الحلول ويتم تصوير الحدود بخط منقط. إذا لم تكن المتباينة صارمة، فسيتم تضمين حدود المنطقة، أي نقاط الرسم البياني للدالة y = f(x)، في مجموعة الحلول لهذه المتباينة ويتم تصوير الحدود في هذه الحالة كخط متين. الآن دعونا نلقي نظرة على العديد من المشاكل حول هذا الموضوع.

مهمة 1.

ما هي مجموعة النقاط التي تعطى من عدم المساواة x · y ≥ 4؟

حل.

1) نقوم ببناء رسم بياني للمعادلة x · y = 4. للقيام بذلك، نقوم أولاً بتحويلها. من الواضح أن x في هذه الحالة لا تتحول إلى 0، وإلا لكان لدينا 0 · y = 4، وهو غير صحيح. هذا يعني أنه يمكننا قسمة المعادلة على x. نحصل على: ص = 4/س. الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع الزائد. فهو يقسم المستوى بأكمله إلى منطقتين: المنطقة الواقعة بين فرعي القطع الزائد والأخرى خارجهما.

2) لنختار نقطة عشوائية من المنطقة الأولى، ولتكن النقطة (4؛ 2). دعونا نتحقق من المتراجحة: 4 · 2 ≥ 4 – خطأ.

وهذا يعني أن نقاط هذه المنطقة لا تحقق المتباينة الأصلية. ومن ثم يمكننا أن نستنتج أن مجموعة حلول المتباينة ستكون المنطقة الثانية التي لا تنتمي إليها النقطة المختارة.

3) بما أن المتراجحة ليست صارمة، فإننا نرسم النقاط الحدودية، أي نقاط الرسم البياني للدالة y=4/x، بخط متصل.

دعونا نرسم مجموعة النقاط التي تحدد المتباينة الأصلية باللون الأصفر (الشكل 1).

المهمة 2.

ارسم المنطقة المحددة على المستوى الإحداثي بواسطة النظام

حل.

في البداية، قمنا ببناء الرسوم البيانية للوظائف التالية (الشكل 2):

ص = س 2 + 2 – القطع المكافئ،

ص + س = 1 – خط مستقيم

س 2 + ص 2 = 9 – دائرة.

الآن دعونا ننظر إلى كل متباينة على حدة.

1) ص > س 2 + 2.

نحن نأخذ النقطة (0؛ 5)، التي تقع فوق الرسم البياني للدالة. دعونا نتحقق من المتراجحة: 5 > 0 2 + 2 – صحيح.

وبالتالي، فإن جميع النقاط الواقعة فوق القطع المكافئ y = x 2 + 2 تحقق المتباينة الأولى للنظام. دعونا نرسمهم باللون الأصفر.

2) ص + س > 1.

نأخذ النقطة (0؛ 3) التي تقع أعلى الرسم البياني للدالة. دعونا نتحقق من المتراجحة: 3 + 0 > 1 – صحيح.

وبالتالي، فإن جميع النقاط الواقعة فوق الخط المستقيم y + x = 1 تحقق المتباينة الثانية للنظام. دعونا نرسمها بالتظليل الأخضر.

3) × 2 + ص 2 ≥ 9.

نأخذ النقطة (0; -4) التي تقع خارج الدائرة x 2 + y 2 = 9. نتحقق من المتراجحة: 0 2 + (-4) 2 ≥ 9 – غير صحيحة.

وبالتالي، فإن جميع النقاط الواقعة خارج الدائرة x 2 + y 2 = 9 لا تحقق المتباينة الثالثة للنظام. ومن ثم يمكننا أن نستنتج أن جميع النقاط الواقعة داخل الدائرة x 2 + y 2 = 9 تحقق المتباينة الثالثة للنظام. دعونا نرسمها بالتظليل الأرجواني.

لا تنس أنه إذا كانت عدم المساواة صارمة، فيجب رسم خط الحدود المقابل بخط منقط. نحصل على الصورة التالية (الشكل 3).

المنطقة المرغوبة هي المنطقة التي تتقاطع فيها المناطق الملونة الثلاثة مع بعضها البعض (الشكل 4).

أسئلة للملاحظات

اكتب متباينة حلها دائرة ونقاط داخل الدائرة:

أوجد النقاط التي تحل المتراجحة:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

يترك و (س، ص)و ز (س، ص)- تعبيران مع المتغيرات Xو فيوالنطاق X. ثم عدم المساواة في النموذج و (س، ص) > ز (س، ص)أو و (س، ص) < ز (س، ص)مُسَمًّى عدم المساواة مع متغيرين .

معنى المتغيرات س، صمن العديد X، والتي تتحول فيها المتباينة إلى متباينة عددية حقيقية، وتسمى قرار ويتم تعيينه (س، ص). حل عدم المساواة - وهذا يعني العثور على العديد من هذه الأزواج.

إذا كان كل زوج من الأرقام (س، ص)من مجموعة حلول المتراجحة، قم بمطابقة النقطة م (س، ص)، نحصل على مجموعة النقاط على المستوى المحدد بهذه المتباينة. يسمى الرسم البياني لهذا عدم المساواة . الرسم البياني للمتباينة عادة ما يكون مساحة على المستوى.

لتوضيح مجموعة الحلول للمتباينة و (س، ص) > ز (س، ص)، استكمل كما يلي. أولًا، استبدل علامة المتباينة بإشارة يساوي، ثم ابحث عن الخط الذي يحتوي على المعادلة و (س، ص) = ز (س، ص). هذا الخط يقسم الطائرة إلى عدة أجزاء. بعد ذلك، يكفي أن نأخذ نقطة واحدة في كل جزء ونتحقق مما إذا كانت المتراجحة قد تحققت عند هذه النقطة و (س، ص) > ز (س، ص). فإذا تم تنفيذها عند هذه النقطة، فسيتم تنفيذها في الجزء بأكمله الذي تقع فيه هذه النقطة. من خلال الجمع بين هذه الأجزاء، نحصل على العديد من الحلول.

مهمة. ذ > س.

حل.أولًا، نستبدل علامة المتباينة بعلامة يساوي وننشئ خطًا في نظام إحداثي مستطيل يحتوي على المعادلة ذ = س.

هذا الخط يقسم الطائرة إلى قسمين. بعد ذلك، خذ نقطة واحدة في كل جزء وتحقق مما إذا كانت المتراجحة قد تحققت عند هذه النقطة ذ > س.

مهمة.حل المتباينة بيانيا
X 2 + في 2 جنيه استرليني 25.

دعونا نعطي متباينتين F 1(س، ص) > ز 1(س، ص)و F 2(س، ص) > ز 2(س، ص).

أنظمة مجموعات من المتباينات ذات متغيرين

نظام عدم المساواة يكون نفسك الجمع بين هذه التفاوتات. حل النظام هو كل معنى (س، ص)، والذي يحول كل من المتباينات إلى متباينة عددية حقيقية. العديد من الحلول أنظمة عدم المساواة هي تقاطع مجموعات من الحلول لعدم المساواة التي تشكل نظامًا معينًا.

مجموعة من عدم المساواة يكون نفسك انفصال هؤلاء عدم المساواة تعيين الحل هو كل معنى (س، ص)، والذي يحول واحدة على الأقل من مجموعة المتباينات إلى متباينة عددية حقيقية. العديد من الحلول مجمل هو اتحاد مجموعات من الحلول للمتباينات التي تشكل مجموعة.

مهمة.حل نظام عدم المساواة بيانيا

حل. ص = سو X 2 + في 2 = 25. نحل كل متباينة في النظام.

سيكون الرسم البياني للنظام عبارة عن مجموعة النقاط على المستوى التي تمثل تقاطع (تظليل مزدوج) لمجموعات حلول المتباينتين الأولى والثانية.

مهمة.حل بيانيا مجموعة من المتباينات

تمارين للعمل المستقل

1. حل المتباينات بيانياً: أ) في> 2س; ب) في< 2س + 3;

الخامس) س 2+ ص 2 > 9؛ ز) س 2+ ص 2 جنيه استرليني 4.

2. حل أنظمة المتباينات بيانياً:

أ) ب)

يحتوي درس الفيديو "أنظمة عدم المساواة بمتغيرين" على مادة تعليمية مرئية حول هذا الموضوع. يتضمن الدرس النظر في مفهوم حل نظام من المتباينات بمتغيرين، وأمثلة على حل هذه الأنظمة بيانيا. الغرض من هذا الدرس المرئي هو تطوير قدرة الطلاب على حل أنظمة المتباينات ذات المتغيرين بيانياً، لتسهيل فهم عملية إيجاد الحلول لهذه الأنظمة وحفظ طريقة الحل.

يكون كل وصف للحل مصحوبًا برسومات تعرض حل المشكلة على المستوى الإحداثي. توضح هذه الأشكال بوضوح ميزات إنشاء الرسوم البيانية وموقع النقاط المقابلة للحل. يتم تمييز جميع التفاصيل والمفاهيم المهمة باستخدام اللون. وبالتالي، يعد درس الفيديو أداة ملائمة لحل مهام المعلم في الفصل الدراسي ويحرر المعلم من تقديم كتلة قياسية من المواد للعمل الفردي مع الطلاب.

يبدأ درس الفيديو بتقديم الموضوع والنظر في مثال لإيجاد حلول لنظام يتكون من المتباينات x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

يتم تعزيز فهم الاستنتاجات المستخلصة حول حل نظام عدم المساواة من خلال النظر في الأمثلة. يعتبر حل نظام المتباينات x 2 + y 2 أولاً<=9 и x+y>=2. من الواضح أن حلول المتباينة الأولى على المستوى الإحداثي تشمل الدائرة x 2 + y 2 = 9 والمنطقة التي بداخلها. تمتلئ هذه المنطقة في الشكل بالتظليل الأفقي. مجموعة الحلول للمتباينة x+y>=2 تتضمن السطر x+y=2 ونصف المستوى الموجود أعلاه. تتم الإشارة إلى هذه المنطقة أيضًا على المستوى بضربات في اتجاه مختلف. يمكننا الآن تحديد تقاطع مجموعتي الحلول في الشكل. وهي موجودة في قطعة دائرة x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

بعد ذلك، نقوم بتحليل حل نظام المتباينات الخطية y>=x-3 وy>=-2x+4. في الشكل، بجوار شرط المهمة، يتم إنشاء مستوى إحداثي. يتم إنشاء خط مستقيم عليه، يتوافق مع حلول المعادلة y=x-3. مساحة الحل للمتباينة y>=x-3 ستكون المنطقة الواقعة فوق هذا الخط. إنها مظللة. تقع مجموعة حلول المتباينة الثانية أعلى الخط y=-2x+4. تم إنشاء هذا الخط المستقيم أيضًا على نفس المستوى الإحداثي ويتم تظليل منطقة الحل. تقاطع مجموعتين هو الزاوية التي يشكلها خطان مستقيمان مع منطقتها الداخلية. تمتلئ منطقة حل نظام المتباينات بتظليل مزدوج.

عند النظر في المثال الثالث، يتم وصف الحالة عندما تكون الرسوم البيانية للمعادلات المقابلة لمتباينات النظام عبارة عن خطوط متوازية. من الضروري حل نظام عدم المساواة ذ<=3x+1 и y>=3س-2. يتم إنشاء خط مستقيم على المستوى الإحداثي الموافق للمعادلة y=3x+1. مجموعة من القيم المقابلة لحلول عدم المساواة y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

يمكن استخدام درس الفيديو "أنظمة عدم المساواة بمتغيرين" كمساعدة بصرية في درس في المدرسة أو استبدال شرح المعلم عند دراسة المادة بنفسك. يمكن أن يساعد شرح مفصل ومفهوم لحل أنظمة عدم المساواة على المستوى الإحداثي في ​​تقديم المواد أثناء التعلم عن بعد.