المعادلات التربيعية. معادلة تربيعية كاملة وغير كاملة. تعريف وأمثلة للمعادلات التربيعية غير المكتملة عبر عن معادلة تربيعية من حيث الجذور

في المجتمع الحديث ، يمكن أن تكون القدرة على العمل على معادلات تحتوي على متغير مربع مفيدة في العديد من مجالات النشاط وتستخدم على نطاق واسع في الممارسة العملية في التطورات العلمية والتقنية. يمكن إثبات ذلك من خلال تصميم السفن البحرية والنهرية والطائرات والصواريخ. بمساعدة هذه الحسابات ، يتم تحديد مسارات حركة الأجسام المختلفة ، بما في ذلك الأجسام الفضائية. تستخدم أمثلة حل المعادلات التربيعية ليس فقط في التنبؤ الاقتصادي ، في تصميم المباني وتشييدها ، ولكن أيضًا في أكثر الظروف اليومية العادية. قد تكون هناك حاجة إليها في رحلات التخييم ، في الأحداث الرياضية ، في المتاجر عند التسوق وفي المواقف الأخرى الشائعة جدًا.

دعنا نقسم التعبير إلى عوامل مكونة

يتم تحديد درجة المعادلة من خلال القيمة القصوى لدرجة المتغير التي يحتوي عليها التعبير المحدد. إذا كانت تساوي 2 ، فإن هذه المعادلة تسمى المعادلة التربيعية.

إذا تحدثنا بلغة الصيغ ، فإن هذه التعبيرات ، بغض النظر عن شكلها ، يمكن دائمًا إحضارها إلى النموذج عندما يتكون الجانب الأيسر من التعبير من ثلاثة مصطلحات. من بينها: ax 2 (أي متغير تربيع مع معامله) ، bx (مجهول بدون مربع بمعامله) و c (مكون مجاني ، أي رقم عادي). كل هذا يساوي صفرًا على الجانب الأيمن ، في حالة عدم احتواء كثير الحدود على أحد المصطلحات المكونة له ، باستثناء المحور 2 ، يطلق عليه معادلة تربيعية غير مكتملة. ينبغي النظر أولاً في الأمثلة المتعلقة بحل مثل هذه المشكلات ، والتي لا يصعب العثور فيها على قيمة المتغيرات.

إذا بدا أن التعبير يحتوي على حدين في الجانب الأيمن من التعبير ، وبشكل أكثر دقة ax 2 و bx ، فمن الأسهل إيجاد x عن طريق وضع المتغير بين أقواس. ستبدو معادلتنا الآن كما يلي: x (ax + b). علاوة على ذلك ، يصبح من الواضح أن إما x = 0 ، أو يتم تقليل المشكلة لإيجاد متغير من التعبير التالي: ax + b = 0. هذا ما تمليه إحدى خصائص الضرب. تنص القاعدة على أن حاصل ضرب عاملين ينتج 0 فقط إذا كان أحدهما صفرًا.

مثال

س = 0 أو 8 س - 3 = 0

نتيجة لذلك ، حصلنا على جذرين للمعادلة: 0 و 0.375.

يمكن أن تصف المعادلات من هذا النوع حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية ، والتي بدأت تتحرك من نقطة معينة ، باعتبارها الأصل. هنا يأخذ الرمز الرياضي الشكل التالي: y = v 0 t + gt 2/2. من خلال استبدال القيم الضرورية ، معادلة الجانب الأيمن بالصفر وإيجاد المجهول المحتمل ، يمكنك معرفة الوقت المنقضي من لحظة صعود الجسم إلى لحظة سقوطه ، بالإضافة إلى العديد من الكميات الأخرى. لكن سنتحدث عن هذا لاحقًا.

تحليل التعبير

القاعدة الموصوفة أعلاه تجعل من الممكن حل هذه المشاكل في حالات أكثر تعقيدًا. ضع في اعتبارك أمثلة لحل المعادلات التربيعية من هذا النوع.

X2 - 33x + 200 = 0

اكتمل هذا المربع ثلاثي الحدود. أولاً ، نقوم بتحويل التعبير وتفكيكه إلى عوامل. يوجد اثنان منهم: (x-8) و (x-25) = 0. ونتيجة لذلك ، لدينا جذرين 8 و 25.

تسمح أمثلة حل المعادلات التربيعية في الصف 9 لهذه الطريقة بإيجاد متغير في التعبيرات ليس فقط من الرتب الثانية ، بل حتى في الرتبتين الثالثة والرابعة.

على سبيل المثال: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. عند تحليل الجانب الأيمن إلى عوامل ذات متغير ، هناك ثلاثة منهم ، وهي (x + 1) و (x-3) و (x + 3).

نتيجة لذلك ، يتضح أن هذه المعادلة لها ثلاثة جذور: -3؛ -واحد؛ 3.

استخراج الجذر التربيعي

حالة أخرى من معادلة الدرجة الثانية غير المكتملة هي تعبير مكتوب بلغة الحروف بطريقة يتم فيها بناء الجانب الأيمن من المكونين ax 2 و c. هنا للحصول على قيمة المتغير يتم نقل المصطلح الحر إلى الجانب الأيمن ، وبعد ذلك يتم استخراج الجذر التربيعي من طرفي المساواة. وتجدر الإشارة إلى أنه في هذه الحالة عادة ما يكون هناك جذران للمعادلة. الاستثناءات الوحيدة هي المساواة التي لا تحتوي على المصطلح c على الإطلاق ، حيث المتغير يساوي صفرًا ، وكذلك متغيرات التعبيرات عندما يكون الجانب الأيمن سالبًا. في الحالة الأخيرة ، لا توجد حلول على الإطلاق ، حيث لا يمكن تنفيذ الإجراءات المذكورة أعلاه بالجذور. ينبغي النظر في أمثلة على حلول المعادلات التربيعية من هذا النوع.

في هذه الحالة ، ستكون جذور المعادلة هي العددين -4 و 4.

حساب مساحة الارض

ظهرت الحاجة إلى هذا النوع من الحسابات في العصور القديمة ، لأن تطور الرياضيات في تلك الأوقات البعيدة كان يرجع إلى حد كبير إلى الحاجة إلى تحديد مناطق ومحيط قطع الأراضي بأكبر قدر من الدقة.

يجب أن ننظر أيضًا في أمثلة لحل المعادلات التربيعية التي تم تجميعها على أساس مشاكل من هذا النوع.

لنفترض أن هناك قطعة أرض مستطيلة يزيد طولها عن العرض بمقدار 16 مترًا. يجب أن تجد طول وعرض ومحيط الموقع إذا علم أن مساحته 612 م 2.

لنبدأ العمل ، في البداية سنقوم بعمل المعادلة اللازمة. دعنا نشير إلى عرض القسم على أنه x ، فسيكون طوله (x + 16). يستنتج مما كتب أن المساحة تحدد بالتعبير x (x + 16) ، والذي ، وفقًا لحالة مشكلتنا ، هو 612. وهذا يعني أن x (x + 16) \ u003d 612.

لا يمكن حل المعادلات التربيعية الكاملة ، وهذا التعبير فقط ، بالطريقة نفسها. لماذا ا؟ على الرغم من أن الجانب الأيسر منه لا يزال يحتوي على عاملين ، إلا أن ناتجهما لا يساوي 0 على الإطلاق ، لذلك يتم استخدام طرق أخرى هنا.

مميز

بادئ ذي بدء ، سنجري التحولات اللازمة ، ثم سيبدو ظهور هذا التعبير على النحو التالي: x 2 + 16x - 612 = 0. هذا يعني أننا تلقينا تعبيرًا في النموذج المقابل للمعيار المحدد مسبقًا ، حيث أ = 1 ، ب = 16 ، ج = -612.

يمكن أن يكون هذا مثالًا على حل المعادلات التربيعية من خلال المميز. هنا يتم إجراء الحسابات اللازمة وفقًا للمخطط: D = b 2 - 4ac. لا تتيح هذه القيمة المساعدة العثور على القيم المرغوبة في معادلة الدرجة الثانية فحسب ، بل إنها تحدد عدد الخيارات الممكنة. في حالة D> 0 ، يوجد اثنان منهم ؛ ل D = 0 هناك جذر واحد. في حالة د<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

حول الجذور وصيغتها

في حالتنا ، المميز هو: 256 - 4 (-612) = 2704. يشير هذا إلى أن مشكلتنا لها إجابة. إذا كنت تعلم ، يجب أن يستمر حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة أدناه. يسمح لك بحساب الجذور.

هذا يعني أنه في الحالة المعروضة: x 1 = 18 ، x 2 = -34. الخيار الثاني في هذه المعضلة لا يمكن أن يكون حلاً ، لأن حجم قطعة الأرض لا يمكن قياسه بقيم سالبة ، مما يعني أن x (أي عرض قطعة الأرض) هو 18 مترًا. ومن هنا نحسب الطول: 18 + 16 = 34 ، والمحيط 2 (34+ 18) = 104 (م 2).

أمثلة ومهام

نواصل دراسة المعادلات التربيعية. سيتم إعطاء أمثلة وحل مفصل للعديد منها أدناه.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

دعنا ننقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المساواة ، ونجري تحويلًا ، أي نحصل على شكل المعادلة ، والذي يُطلق عليه عادةً المعادلة القياسية ، ونساويها بالصفر.

15x 2 + 20x + 5-12x 2-27x - 1 = 0

بعد إضافة متشابهة ، نحدد المميز: D \ u003d 49-48 \ u003d 1. إذن سيكون لمعادلتنا جذرين. نحسبها وفقًا للصيغة أعلاه ، مما يعني أن أولهما سيساوي 4/3 ، والثاني 1.

2) الآن سوف نكشف عن ألغاز من نوع مختلف.

لنكتشف ما إذا كانت هناك جذور x 2 - 4x + 5 = 1 هنا على الإطلاق؟ للحصول على إجابة شاملة ، نأخذ كثير الحدود إلى الشكل المألوف المقابل ونحسب المميز. في هذا المثال ، ليس من الضروري حل المعادلة التربيعية ، لأن جوهر المشكلة ليس في هذا على الإطلاق. في هذه الحالة ، D \ u003d 16-20 \ u003d -4 ، مما يعني أنه لا توجد جذور بالفعل.

نظرية فييتا

من الملائم حل المعادلات التربيعية من خلال الصيغ أعلاه والمميز ، عندما يتم استخراج الجذر التربيعي من قيمة الأخير. لكن هذا لا يحدث دائما. ومع ذلك ، هناك العديد من الطرق للحصول على قيم المتغيرات في هذه الحالة. مثال: حل المعادلات التربيعية باستخدام نظرية فييتا. تم تسميته على اسم رجل عاش في فرنسا في القرن السادس عشر وكان له مسيرة مهنية رائعة بفضل موهبته الرياضية وعلاقاته في المحكمة. يمكن رؤية صورته في المقال.

النمط الذي لاحظه الفرنسي الشهير كان على النحو التالي. لقد أثبت أن مجموع جذور المعادلة يساوي -p = b / a ، وحاصل ضربهم يتوافق مع q = c / a.

الآن دعونا نلقي نظرة على مهام محددة.

3 س 2 + 21 س - 54 = 0

للتبسيط ، دعنا نحول التعبير:

س 2 + 7 س - 18 = 0

باستخدام نظرية Vieta ، سوف يعطينا هذا ما يلي: مجموع الجذور هو -7 ، وحاصل ضربها -18. من هنا نحصل على أن جذور المعادلة هي العددين -9 و 2. بعد إجراء فحص ، سوف نتأكد من أن قيم المتغيرات هذه تتلاءم حقًا مع التعبير.

رسم بياني ومعادلة القطع المكافئ

ترتبط مفاهيم الدالة التربيعية ارتباطًا وثيقًا بالمعادلات التربيعية. تم بالفعل تقديم أمثلة على ذلك مسبقًا. الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الألغاز الرياضية بمزيد من التفصيل. يمكن تمثيل أي معادلة من النوع الموصوف بصريًا. مثل هذا الاعتماد ، المرسوم في شكل رسم بياني ، يسمى القطع المكافئ. أنواعه المختلفة موضحة في الشكل أدناه.

أي قطع مكافئ له رأس ، أي نقطة تخرج منها فروعها. إذا كانت القيمة> 0 ، فإنها ترتفع إلى ما لا نهاية ، وعندما يكون<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

تساعد التمثيلات المرئية للوظائف في حل أي معادلات ، بما في ذلك المعادلات التربيعية. هذه الطريقة تسمى الرسم. وقيمة المتغير x هي إحداثيات الإحداثي عند النقاط التي يتقاطع فيها خط الرسم البياني مع 0x. يمكن إيجاد إحداثيات الرأس بالصيغة المعطاة فقط x 0 = -b / 2a. وباستبدال القيمة الناتجة في المعادلة الأصلية للدالة ، يمكنك معرفة y 0 ، أي الإحداثي الثاني لرأس القطع المكافئ الذي ينتمي إلى المحور y.

تقاطع فروع القطع المكافئ مع محور الإحداثية

هناك الكثير من الأمثلة لحل المعادلات التربيعية ، ولكن هناك أيضًا أنماط عامة. دعونا نفكر فيها. من الواضح أن تقاطع الرسم البياني مع المحور 0x لـ a> 0 ممكن فقط إذا كانت y 0 تأخذ قيمًا سالبة. وللحصول على<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. خلاف ذلك د<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

من الرسم البياني للقطع المكافئ ، يمكنك أيضًا تحديد الجذور. والعكس صحيح أيضا. بمعنى ، إذا لم يكن من السهل الحصول على تمثيل مرئي لوظيفة تربيعية ، فيمكنك مساواة الجانب الأيمن من التعبير بالرقم 0 وحل المعادلة الناتجة. ومعرفة نقاط التقاطع مع المحور 0x ، يسهل رسمها.

من التاريخ

بمساعدة المعادلات التي تحتوي على متغير مربع ، في الأيام الخوالي ، لم يتم إجراء الحسابات الرياضية فقط وتحديد مساحة الأشكال الهندسية. احتاج القدماء إلى مثل هذه الحسابات من أجل الاكتشافات العظيمة في مجال الفيزياء وعلم الفلك ، وكذلك لعمل تنبؤات فلكية.

كما يقترح العلماء المعاصرون ، كان سكان بابل من بين أول من حل المعادلات التربيعية. حدث ذلك قبل أربعة قرون من ظهور عصرنا. بالطبع ، كانت حساباتهم مختلفة اختلافًا جوهريًا عن تلك المقبولة حاليًا واتضح أنها أكثر بدائية. على سبيل المثال ، لم يكن لدى علماء الرياضيات في بلاد ما بين النهرين أي فكرة عن وجود الأرقام السالبة. كما أنهم لم يكونوا على دراية بأدق التفاصيل التي يعرفها أي طالب في عصرنا.

ربما حتى قبل علماء بابل ، توصل الحكيم من الهند ، Baudhayama ، إلى حل المعادلات التربيعية. حدث هذا قبل ثمانية قرون من ظهور عصر المسيح. صحيح أن معادلات الدرجة الثانية ، طرق الحل التي قدمها ، كانت أبسط. بالإضافة إليه ، كان علماء الرياضيات الصينيون مهتمين أيضًا بأسئلة مماثلة في الأيام الخوالي. في أوروبا ، بدأ حل المعادلات التربيعية فقط في بداية القرن الثالث عشر ، ولكن لاحقًا تم استخدامها في عملهم من قبل علماء عظماء مثل نيوتن وديكارت والعديد من الآخرين.

صيغ لجذور المعادلة التربيعية. يتم النظر في حالات الجذور الحقيقية والمتعددة والمعقدة. تحليل مربع ثلاثي الحدود إلى عوامل. تفسير هندسي. أمثلة على تحديد الجذور والعوامل.

أنظر أيضا: حل المعادلات التربيعية عبر الإنترنت

الصيغ الأساسية

ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية:
(1) .
جذور المعادلة التربيعية(1) تحددها الصيغ:
; .
يمكن دمج هذه الصيغ على النحو التالي:
.
عندما تُعرف جذور المعادلة التربيعية ، يمكن تمثيل كثير الحدود من الدرجة الثانية كمنتج من العوامل (محسوبة إلى عوامل):
.

علاوة على ذلك ، نفترض أن هذه أرقام حقيقية.
انصح مميز لمعادلة تربيعية:
.
إذا كان المميز موجبًا ، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين حقيقيين مختلفين:
; .
ثم يكون لتحليل ثلاثي الحدود المربع الشكل:
.
إذا كان المميز صفرًا ، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذور حقيقية متعددة (متساوية):
.
التخصيم:
.
إذا كان المميز سالبًا ، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذران مترافقان مركبان:
;
.
ها هي الوحدة التخيلية ؛
وهي الأجزاء الحقيقية والخيالية للجذور:
; .
ثم

.

تفسير الجرافيك

إذا قمنا بالرسم البياني للدالة
,
وهو قطع مكافئ ، فإن نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ستكون جذور المعادلة
.
عندما يعبر الرسم البياني محور الإحداثيات (المحور) عند نقطتين ().
عندما يلمس الرسم البياني المحور x عند نقطة واحدة ().
عندما لا يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني ().

الصيغ المفيدة المتعلقة بالمعادلة التربيعية

(و 1) ;
(و 2) ;
(و 3) .

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

نقوم بإجراء تحويلات ونطبق الصيغتين (f.1) و (f.3):




,
أين
; .

لذلك ، حصلنا على صيغة كثير الحدود من الدرجة الثانية في الصورة:
.
من هذا يتبين أن المعادلة

أجرى في
و .
وهذا هو ، وجذور المعادلة التربيعية
.

أمثلة على تحديد جذور المعادلة التربيعية

مثال 1

(1.1) .

.
بالمقارنة مع معادلتنا (1.1) ، نجد قيم المعاملات:
.
البحث عن المميز:
.
نظرًا لأن المميز موجب ، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين:
;
;
.

من هنا نحصل على تحلل المربع ثلاثي الحدود إلى عوامل:

.

رسم بياني للدالة y = 2 × 2 + 7 × + 3يقطع المحور السيني عند نقطتين.

دعنا نرسم الدالة
.
الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ. يعبر المحور السيني (المحور) عند نقطتين:
و .
هذه النقاط هي جذور المعادلة الأصلية (1.1).

;
;
.

مثال 2

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(2.1) .

نكتب المعادلة التربيعية بشكل عام:
.
بالمقارنة مع المعادلة الأصلية (2.1) ، نجد قيم المعاملات:
.
البحث عن المميز:
.
نظرًا لأن المميز هو صفر ، فإن المعادلة لها جذران متعددان (متساويان):
;
.

ثم يكون لعامل ثلاثي الحدود الشكل:
.

رسم بياني للدالة y = x 2 - 4 × + 4يلامس المحور السيني عند نقطة واحدة.

دعنا نرسم الدالة
.
الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ. تلامس المحور السيني (المحور) عند نقطة واحدة:
.
هذه النقطة هي جذر المعادلة الأصلية (2.1). بما أن هذا الجذر تم تحليله مرتين:
,
ثم يسمى هذا الجذر مضاعف. أي أنهم يعتبرون أن هناك جذران متساويان:
.

;
.

مثال 3

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(3.1) .

نكتب المعادلة التربيعية بشكل عام:
(1) .
دعونا نعيد كتابة المعادلة الأصلية (3.1):
.
بالمقارنة مع (1) نجد قيم المعاملات:
.
البحث عن المميز:
.
المميز سلبي. لذلك ، لا توجد جذور حقيقية.

يمكنك إيجاد جذور معقدة:
;
;
.

ثم


.

لا يتقاطع الرسم البياني للدالة مع المحور x. لا توجد جذور حقيقية.

دعنا نرسم الدالة
.
الرسم البياني لهذه الدالة هو القطع المكافئ. لا تعبر الإحداثية (المحور). لذلك ، لا توجد جذور حقيقية.

لا توجد جذور حقيقية. الجذور المعقدة:
;
;
.

قد يبدو هذا الموضوع معقدًا في البداية بسبب العديد من الصيغ غير البسيطة. لا يقتصر الأمر على أن المعادلات التربيعية نفسها لها مداخل طويلة ، ولكن الجذور توجد أيضًا من خلال المميز. هناك ثلاث صيغ جديدة في المجموع. ليس من السهل تذكرها. هذا ممكن فقط بعد الحل المتكرر لهذه المعادلات. ثم سيتم تذكر جميع الصيغ من قبل أنفسهم.

منظر عام للمعادلة التربيعية

هنا يتم اقتراح تدوينهم الصريح ، عندما تكتب الدرجة الأكبر أولاً ، ثم - بترتيب تنازلي. غالبًا ما تكون هناك مواقف عندما تكون الشروط منفصلة. ثم من الأفضل إعادة كتابة المعادلة بترتيب تنازلي لدرجة المتغير.

دعونا نقدم التدوين. يتم تقديمها في الجدول أدناه.

إذا قبلنا هذه الرموز ، فسيتم تقليل جميع المعادلات التربيعية إلى الترميز التالي.

علاوة على ذلك ، المعامل a ≠ 0. دع هذه الصيغة يُشار إليها بالرقم الأول.

عند تقديم المعادلة ، ليس من الواضح عدد الجذور في الإجابة. لأن أحد الخيارات الثلاثة ممكن دائمًا:

• الحل سيكون له جذور.
• ستكون الإجابة رقمًا واحدًا ؛
• المعادلة ليس لها جذور على الإطلاق.

وبينما لم يتم إنهاء القرار ، من الصعب فهم أي من الخيارات سينتهي في حالة معينة.

أنواع تسجيلات المعادلات التربيعية

قد يكون للمهام إدخالات مختلفة. لن تبدو دائمًا مثل الصيغة العامة للمعادلة التربيعية. في بعض الأحيان سوف تفتقر إلى بعض المصطلحات. ما كتب أعلاه هو المعادلة الكاملة. إذا أزلت الحد الثاني أو الثالث فيه ، فستحصل على شيء آخر. تسمى هذه السجلات أيضًا المعادلات التربيعية ، وهي غير مكتملة فقط.

علاوة على ذلك ، يمكن فقط اختفاء المعاملين "ب" و "ج". لا يمكن أن يكون الرقم "أ" مساويًا للصفر تحت أي ظرف من الظروف. لأنه في هذه الحالة تتحول الصيغة إلى معادلة خطية. ستكون الصيغ الخاصة بالشكل غير المكتمل للمعادلات كما يلي:

لذلك ، هناك نوعان فقط ، بالإضافة إلى الأنواع الكاملة ، هناك أيضًا معادلات تربيعية غير مكتملة. دع الصيغة الأولى هي رقم اثنين والثانية ثلاثة.

المميّز واعتماد عدد الجذور على قيمته

يجب معرفة هذا الرقم لحساب جذور المعادلة. يمكن دائمًا حسابها ، بغض النظر عن صيغة المعادلة التربيعية. من أجل حساب المميز ، تحتاج إلى استخدام المساواة المكتوبة أدناه ، والتي سيكون لها الرقم أربعة.

بعد استبدال قيم المعاملات في هذه الصيغة ، يمكنك الحصول على أرقام بعلامات مختلفة. إذا كانت الإجابة بنعم ، فإن إجابة المعادلة ستكون جذرين مختلفين. مع وجود رقم سالب ، فإن جذور المعادلة التربيعية ستكون غائبة. إذا كانت تساوي صفرًا ، فستكون الإجابة واحدة.

كيف يتم حل المعادلة التربيعية الكاملة؟

في الواقع ، بدأ بالفعل النظر في هذه المسألة. لأنك تحتاج أولاً إلى إيجاد المميز. بعد توضيح وجود جذور للمعادلة التربيعية وعددها معروف ، تحتاج إلى استخدام الصيغ الخاصة بالمتغيرات. إذا كان هناك جذران ، فأنت بحاجة إلى تطبيق هذه الصيغة.

نظرًا لأنه يحتوي على علامة "±" ، فستكون هناك قيمتان. التعبير الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي هو المميز. لذلك ، يمكن إعادة كتابة الصيغة بطريقة مختلفة.

الفورمولا خمسة. من نفس السجل ، يمكن ملاحظة أنه إذا كان المميز صفرًا ، فسيأخذ كلا الجذور نفس القيم.

إذا لم يتم حل المعادلات التربيعية بعد ، فمن الأفضل تدوين قيم جميع المعاملات قبل تطبيق الصيغ المميزة والمتغيرة. في وقت لاحق هذه اللحظة لن تسبب صعوبات. لكن في البداية كان هناك ارتباك.

كيف يتم حل المعادلة التربيعية غير المكتملة؟

كل شيء هنا أبسط من ذلك بكثير. حتى ليست هناك حاجة لصيغ إضافية. ولن تحتاج إلى تلك التي تمت كتابتها بالفعل للمميز والمجهول.

أولاً ، ضع في اعتبارك المعادلة غير المكتملة رقم اثنين. في هذه المساواة ، من المفترض أن تأخذ القيمة المجهولة من القوس وتحل المعادلة الخطية التي ستبقى بين قوسين. سيكون للإجابة جذرين. الأول يساوي صفرًا بالضرورة ، لأن هناك عاملًا يتكون من المتغير نفسه. يتم الحصول على الثاني عن طريق حل معادلة خطية.

يتم حل المعادلة غير المكتملة في الرقم ثلاثة عن طريق نقل الرقم من الجانب الأيسر للمعادلة إلى اليمين. ثم تحتاج إلى القسمة على المعامل أمام المجهول. يبقى فقط استخراج الجذر التربيعي ولا تنس كتابته مرتين بإشارات معاكسة.

فيما يلي بعض الإجراءات التي تساعدك على تعلم كيفية حل جميع أنواع المساواة التي تتحول إلى معادلات من الدرجة الثانية. سوف يساعدون الطالب على تجنب الأخطاء بسبب عدم الانتباه. هذه النواقص هي سبب ضعف الدرجات عند دراسة الموضوع الشامل "المعادلات الرباعية (الصف 8)". بعد ذلك ، لن تكون هناك حاجة إلى تنفيذ هذه الإجراءات باستمرار. لأنه ستكون هناك عادة ثابتة.

• تحتاج أولاً إلى كتابة المعادلة بالصيغة القياسية. هذا هو ، أولاً الحد الذي يحتوي على أكبر درجة من المتغير ، ثم - بدون الدرجة والأخيرة - مجرد رقم.

• إذا ظهر علامة ناقص قبل المعامل "a" ، فقد يؤدي ذلك إلى تعقيد العمل بالنسبة للمبتدئين في دراسة المعادلات التربيعية. من الأفضل التخلص منه. لهذا الغرض ، يجب ضرب كل مساواة بـ "-1". هذا يعني أن كل الحدود ستتغير إشارة إلى العكس.

• بنفس الطريقة يوصى بالتخلص من الكسور. ببساطة اضرب المعادلة في العامل المناسب بحيث تلغي المقامات.

أمثلة

مطلوب لحل المعادلات التربيعية التالية:

× 2-7 س \ u003d 0 ؛

15-2x - x 2 \ u003d 0 ؛

س 2 + 8 + 3 س = 0 ؛

12 س + س 2 + 36 = 0 ؛

(س + 1) 2 + س + 1 = (س + 1) (س + 2).

المعادلة الأولى: x 2 - 7x \ u003d 0. إنها غير مكتملة ، لذلك يتم حلها كما هو موضح للصيغة رقم 2.

بعد التصحيح ، اتضح: x (x - 7) \ u003d 0.

يأخذ الجذر الأول القيمة: x 1 \ u003d 0. سيتم العثور على الثاني من المعادلة الخطية: x - 7 \ u003d 0. من السهل رؤية ذلك x 2 \ u003d 7.

المعادلة الثانية: 5x2 + 30 = 0. مرة أخرى غير مكتملة. يتم حلها فقط كما هو موصوف في الصيغة الثالثة.

بعد نقل 30 إلى الجانب الأيمن من المعادلة: 5x 2 = 30. الآن أنت بحاجة للقسمة على 5. اتضح أن: x 2 = 6. ستكون الإجابات أرقامًا: x 1 = √6، x 2 = - 6.

المعادلة الثالثة: 15 - 2x - x 2 \ u003d 0. هنا وأدناه ، سيبدأ حل المعادلات التربيعية بإعادة كتابتها في شكل قياسي: - x 2 - 2x + 15 \ u003d 0. الآن حان الوقت لاستخدام الثانية نصيحة مفيدة واضرب كل شيء في ناقص واحد. اتضح × 2 + 2x - 15 \ u003d 0. وفقًا للصيغة الرابعة ، تحتاج إلى حساب المميز: D \ u003d 2 2-4 * (- 15) \ u003d 4 + 60 \ u003d 64. إنه أ رقم موجب، عدد إيجابي. مما قيل أعلاه ، يتضح أن للمعادلة جذرين. يجب حسابها وفقًا للصيغة الخامسة. وفقًا لذلك ، اتضح أن x \ u003d (-2 ± √64) / 2 \ u003d (-2 ± 8) / 2. ثم x 1 \ u003d 3 ، x 2 \ u003d - 5.

يتم تحويل المعادلة الرابعة x 2 + 8 + 3x \ u003d 0 إلى هذا: x 2 + 3x + 8 \ u003d 0. مميزها يساوي هذه القيمة: -23. نظرًا لأن هذا الرقم سلبي ، فستكون الإجابة على هذه المهمة هي الإدخال التالي: "لا توجد جذور".

يجب إعادة كتابة المعادلة الخامسة 12x + x 2 + 36 = 0 على النحو التالي: x 2 + 12x + 36 = 0. بعد تطبيق الصيغة للمميز ، يتم الحصول على الرقم صفر. هذا يعني أنه سيكون له جذر واحد ، وهو: x \ u003d -12 / (2 * 1) \ u003d -6.

تتطلب المعادلة السادسة (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) تحويلات ، والتي تتمثل في حقيقة أنك بحاجة إلى إحضار شروط متشابهة ، قبل فتح القوسين. بدلاً من التعبير الأول ، سيكون هناك مثل هذا التعبير: x 2 + 2x + 1. بعد المساواة ، سيظهر هذا الإدخال: x 2 + 3x + 2. بعد حساب المصطلحات المماثلة ، ستأخذ المعادلة الشكل: x 2 - س \ u003d 0. لقد أصبح غير مكتمل. على غرار ذلك ، تم اعتباره بالفعل أعلى قليلاً. ستكون جذور هذا الرقمين 0 و 1.

"، أي معادلات من الدرجة الأولى. في هذا الدرس سوف نستكشف ما هي المعادلة التربيعيةوكيفية حلها.

ما هي المعادلة التربيعية

مهم!

يتم تحديد درجة المعادلة بأعلى درجة يقف عليها المجهول.

إذا كانت الدرجة القصوى التي يقف عندها المجهول هي "2" ، فلديك معادلة من الدرجة الثانية.

أمثلة على المعادلات التربيعية

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• س 2 + 0.25 س = 0
• × 2-8 = 0

مهم! يبدو الشكل العام للمعادلة التربيعية كما يلي:

أ س 2 + ب س + ج = 0

• "أ" - المعامل الأول أو الأعلى ؛
• "ب" - المعامل الثاني ؛
• "c" عضو مجاني.

للعثور على "أ" و "ب" و "ج" تحتاج إلى مقارنة معادلتك بالصيغة العامة للمعادلة التربيعية "ax 2 + bx + c \ u003d 0".

لنتدرب على تحديد المعاملات "أ" و "ب" و "ج" في المعادلات التربيعية.

• أ = -1
• ب = 1
• ج =

  1

  3

• أ = 1
• ب = 0.25
• ج = 0

• أ = 1
• ب = 0
• ج = -8

كيفية حل المعادلات التربيعية

على عكس المعادلات الخطية ، يتم استخدام معادلة خاصة لحل المعادلات التربيعية. صيغة إيجاد الجذور.

تذكر!

لحل معادلة من الدرجة الثانية تحتاج إلى:

• أحضر المعادلة التربيعية إلى الشكل العام "ax 2 + bx + c \ u003d 0". وهذا يعني أن "0" فقط يجب أن تبقى على الجانب الأيمن ؛
• استخدم صيغة الجذور:

دعنا نستخدم مثالاً لمعرفة كيفية تطبيق الصيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية. لنحل المعادلة التربيعية.

س 2 - 3 س - 4 = 0

تم بالفعل اختزال المعادلة "x 2 - 3x - 4 = 0" إلى الشكل العام "ax 2 + bx + c = 0" ولا تتطلب تبسيطات إضافية. لحلها ، نحتاج فقط إلى التقديم صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

دعنا نحدد المعاملات "أ" و "ب" و "ج" لهذه المعادلة.

بمساعدتها ، يتم حل أي معادلة من الدرجة الثانية.

في الصيغة "× 1 ؛ 2 \ u003d" غالبًا ما يتم استبدال التعبير الجذر
"b 2 - 4ac" لحرف "D" وتسمى مميز. تتم مناقشة مفهوم التمييز بمزيد من التفصيل في الدرس "ما هو المميز".

فكر في مثال آخر لمعادلة تربيعية.

س 2 + 9 + س = 7 س

في هذا الشكل ، من الصعب تحديد المعاملات "أ" و "ب" و "ج". لنجلب المعادلة إلى الشكل العام "ax 2 + bx + c \ u003d 0".

س 2 + 9 + س = 7 س
س 2 + 9 + س - 7 س = 0
x2 + 9-6x = 0
س 2-6 س + 9 = 0

الآن يمكنك استخدام صيغة الجذور.

× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
× 1 ؛ 2 =
س =

هناك أوقات لا توجد فيها جذور في المعادلات التربيعية. يحدث هذا الموقف عندما يظهر رقم سالب في الصيغة تحت الجذر.

تتم دراسة المعادلات التربيعية في الصف الثامن ، لذلك لا يوجد شيء معقد هنا. القدرة على حلها أمر ضروري.

المعادلة التربيعية هي معادلة على شكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث تكون المعاملات a و b و c أرقامًا عشوائية ، و a 0.

قبل دراسة طرق معينة للحل ، نلاحظ أنه يمكن تقسيم جميع المعادلات التربيعية إلى ثلاث فئات:

1. ليس لها جذور
2. لديهم جذر واحد بالضبط.
3. لديهم جذرين مختلفين.

هذا فرق مهم بين المعادلات التربيعية والخطية ، حيث يوجد الجذر دائمًا ويكون فريدًا. كيف تحدد عدد الجذور التي تمتلكها المعادلة؟ هناك شيء رائع لهذا - مميز.

مميز

لنفترض أن المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0 ثم المميز هو ببساطة الرقم D = b 2 - 4ac.

يجب أن تعرف هذه الصيغة عن ظهر قلب. من أين يأتي ليس مهمًا الآن. شيء آخر مهم: بعلامة المميز ، يمكنك تحديد عدد جذور المعادلة التربيعية. يسمى:

1. إذا كان د< 0, корней нет;
2. إذا كانت D = 0 ، فهناك جذر واحد بالضبط ؛
3. إذا كانت D> 0 ، فسيكون هناك جذران.

يرجى ملاحظة: المميز يشير إلى عدد الجذور ، وليس على الإطلاق علاماتها ، كما يعتقد كثير من الناس لسبب ما. ألقِ نظرة على الأمثلة وستفهم كل شيء بنفسك:

مهمة. كم عدد جذور المعادلات التربيعية:

1. × 2-8 س + 12 = 0 ؛
2. 5x2 + 3x + 7 = 0 ؛
3. س 2-6 س + 9 = 0.

نكتب معاملات المعادلة الأولى ونجد المميز:
أ = 1 ، ب = 8 ، ج = 12 ؛
د = (8) 2-4 1 12 = 64-48 = 16

إذن ، المميز موجب ، ومن ثم فإن للمعادلة جذرين مختلفين. نقوم بتحليل المعادلة الثانية بنفس الطريقة:
أ = 5 ؛ ب = 3 ؛ ج = 7 ؛
د \ u003d 3 2-4 5 7 \ u003d 9-140 \ u003d -131.

المميز سالب ، لا توجد جذور. تبقى المعادلة الأخيرة:
أ = 1 ؛ ب = -6 ؛ ج = 9 ؛
د = (6) 2-4 1 9 = 36-36 = 0.

المميز يساوي صفرًا - الجذر سيكون واحدًا.

لاحظ أنه تم كتابة المعاملات لكل معادلة. نعم ، إنها طويلة ، نعم ، إنها مملة - لكنك لن تخلط بين الاحتمالات ولا ترتكب أخطاء غبية. اختر لنفسك: السرعة أو الجودة.

بالمناسبة ، إذا "تملأ يدك" ، فلن تحتاج بعد فترة إلى كتابة جميع المعاملات. ستقوم بمثل هذه العمليات في رأسك. يبدأ معظم الناس في القيام بذلك في مكان ما بعد حل 50-70 معادلة - بشكل عام ، ليس كثيرًا.

جذور المعادلة التربيعية

الآن دعنا ننتقل إلى الحل. إذا كان المميز D> 0 ، فيمكن إيجاد الجذور باستخدام الصيغ:

الصيغة الأساسية لجذور المعادلة التربيعية

عندما تكون D = 0 ، يمكنك استخدام أي من هذه الصيغ - تحصل على نفس الرقم ، والذي سيكون الإجابة. أخيرًا ، إذا كان د< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. × 2 - 2 س - 3 = 0 ؛
2. 15 - 2x - x2 = 0 ؛
3. س 2 + 12 س + 36 = 0.

المعادلة الأولى:
س 2 - 2 س - 3 = 0 ⇒ أ = 1 ؛ ب = −2 ؛ ج = -3 ؛
د = (2) 2-4 1 (3) = 16.

D> 0 ⇒ للمعادلة جذرين. لنجدهم:

المعادلة الثانية:
15-2 س - س 2 = 0 ⇒ أ = -1 ؛ ب = −2 ؛ ج = 15 ؛
د = (2) 2-4 (1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ للمعادلة مرة أخرى جذرين. دعنا نجدهم

\ [\ start (محاذاة) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5 ؛ \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (محاذاة) \]

أخيرًا المعادلة الثالثة:
س 2 + 12 س + 36 = 0 أ = 1 ؛ ب = 12 ؛ ج = 36 ؛
د = 12 2-4 1 36 = 0.

د = 0 ⇒ للمعادلة جذر واحد. يمكن استخدام أي صيغة. على سبيل المثال ، الأول:

كما ترون من الأمثلة ، كل شيء بسيط للغاية. إذا كنت تعرف الصيغ وكنت قادرًا على العد ، فلن تكون هناك مشاكل. في أغلب الأحيان ، تحدث الأخطاء عند استبدال المعامِلات السالبة في الصيغة. هنا ، مرة أخرى ، ستساعد التقنية الموضحة أعلاه: انظر إلى الصيغة حرفيًا ، ورسم كل خطوة - وتخلص من الأخطاء قريبًا جدًا.

معادلات تربيعية غير مكتملة

يحدث أن تختلف المعادلة التربيعية إلى حد ما عما ورد في التعريف. فمثلا:

1. x2 + 9x = 0 ؛
2. x2 - 16 = 0.

من السهل ملاحظة أن أحد المصطلحات مفقود في هذه المعادلات. مثل هذه المعادلات التربيعية أسهل في الحل من المعادلات القياسية: فهي لا تحتاج حتى لحساب المميز. لذلك دعونا نقدم مفهومًا جديدًا:

تسمى المعادلة ax 2 + bx + c = 0 بمعادلة تربيعية غير كاملة إذا كانت b = 0 أو c = 0 ، أي معامل المتغير x أو العنصر الحر يساوي صفرًا.

بالطبع ، من الممكن حدوث حالة صعبة للغاية عندما يكون كلا المعاملين مساويين للصفر: ب \ u003d ج ​​\ u003d 0. في هذه الحالة ، تأخذ المعادلة شكل ax 2 \ u003d 0. من الواضح أن هذه المعادلة لها قيمة واحدة الجذر: x \ u003d 0.

لننظر في حالات أخرى. دعنا ب \ u003d 0 ، ثم نحصل على معادلة تربيعية غير مكتملة للنموذج ax 2 + c \ u003d 0. دعنا نحولها قليلاً:

نظرًا لأن الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط من رقم غير سالب ، فإن المساواة الأخيرة تكون منطقية فقط عندما (−c / a) ≥ 0. الخلاصة:

1. إذا كانت المعادلة التربيعية غير المكتملة من الشكل ax 2 + c = 0 تحقق عدم المساواة (−c / a) ≥ 0 ، فسيكون هناك جذران. الصيغة المذكورة أعلاه ؛
2. إذا (−c / a)< 0, корней нет.

كما ترى ، لم يكن المميز مطلوبًا - لا توجد حسابات معقدة على الإطلاق في معادلات تربيعية غير مكتملة. في الواقع ، ليس من الضروري حتى تذكر المتباينة (−c / a) ≥ 0. يكفي التعبير عن قيمة x 2 ومعرفة ما يوجد على الجانب الآخر من علامة التساوي. إذا كان هناك عدد موجب ، فسيكون هناك جذران. إذا كانت سلبية ، فلن تكون هناك جذور على الإطلاق.

الآن دعونا نتعامل مع المعادلات على شكل ax 2 + bx = 0 ، حيث يكون العنصر الحر مساويًا للصفر. كل شيء بسيط هنا: سيكون هناك دائمًا جذرين. يكفي تحليل كثير الحدود إلى عوامل:

حاصل الضرب يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. هذا هو المكان الذي تأتي منه الجذور. في الختام ، سنقوم بتحليل العديد من هذه المعادلات:

مهمة. حل المعادلات التربيعية:

1. x2 - 7x = 0 ؛
2. 5 × 2 + 30 = 0 ؛
3. 4 × 2 - 9 = 0.

س 2 - 7 س = 0 س (س - 7) = 0 ⇒ × 1 = 0 ؛ x2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 x2 = -6. لا توجد جذور لأن لا يمكن أن يكون المربع مساويًا لرقم سالب.

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5 ؛ × 2 \ u003d -1.5.