Что проекция импульса. Импульс тела: определение и свойства. Связь импульса силы и изменения величины p¯

Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.

Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.

Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела.

Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара - 30 м/с. Сила, с которой нога действовала на мяч - 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.

Изменение импульса тела

Пример. Оценить среднюю силу со стороны пола, действующую на мяч во время удара.

1) Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции опоры , сила тяжести .

Сила реакции изменяется в течение времени удара, поэтому возможно найти среднюю силу реакции пола.

Пуля 22-го калибра имеет массу всего 2 г. Если кому-нибудь бросить такую пулю, то он легко сможет поймать ее даже без перчаток. Если же попытаться поймать такую пулю, вылетевшую из дула со скоростью 300 м/с, то даже перчатки тут не помогут.

Если на тебя катится игрушечная тележка, ты сможешь остановить ее носком ноги. Если на тебя катится грузовик, следует уносить ноги с его пути.

Рассмотрим задачу, которая демонстрирует связь импульса силы и изменения импульса тела.

Пример. Масса мяча равна 400 г, скорость, которую приобрел мяч после удара - 30 м/с. Сила, с которой нога действовала на мяч - 1500 Н, а время удара 8 мс. Найти импульс силы и изменение импульса тела для мяча.

Изменение импульса тела

Пример. Оценить среднюю силу со стороны пола, действующую на мяч во время удара.

1) Во время удара на мяч действуют две силы: сила реакции опоры , сила тяжести .

Сила реакции изменяется в течение времени удара, поэтому возможно найти среднюю силу реакции пола.

2) Изменение импульса тела изображено на рисунке

3) Из второго закона Ньютона

Главное запомнить

1) Формулы импульса тела, импульса силы;
2) Направление вектора импульса;
3) Находить изменение импульса тела

Вывод второго закона Ньютона в общем виде

График F(t). Переменная сила

Импульс силы численно равен площади фигуры под графиком F(t).

Если же сила непостоянная во времени, например линейно увеличивается F=kt , то импульс этой силы равен площади треугольника. Можно заменить эту силу такой постоянной силой, которая изменит импульс тела на ту же величину за тот же промежуток времени

Средняя равнодействующая сила

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Тестирование онлайн

Замкнутая система тел

Это система тел, которые взаимодействуют только друг с другом. Нет внешних сил взаимодействия.

В реальном мире такой системы не может быть, нет возможности убрать всякое внешнее взаимодействие. Замкнутая система тел - это физическая модель, как и материальная точка является моделью. Это модель системы тел, которые якобы взаимодействуют только друг с другом, внешние силы не берутся во внимание, ими пренебрегают.

Закон сохранения импульса

В замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел не изменяется при взаимодействии тел. Если импульс одного тела увеличился, то это означает, что у какого-то другого тела (или нескольких тел) в этот момент импульс уменьшился ровно на такую же величину.

Рассмотрим такой пример. Девочка и мальчик катаются на коньках. Замкнутая система тел - девочка и мальчик (трением и другими внешними силами пренебрегаем). Девочка стоит на месте, ее импульс равен нулю, так как скорость нулевая (см. формулу импульса тела). После того как мальчик, движущийся с некоторой скоростью, столкнется с девочкой, она тоже начнет двигаться. Теперь ее тело обладает импульсом. Численное значение импульса девочки ровно такое же, на сколько уменьшился после столкновения импульс мальчика.

Одно тело массой 20кг движется со скоростью , второе тело массой 4кг движется в том же направлении со скоростью . Чему равны импульсы каждого тела. Чему равен импульс системы?

Импульс системы тел - это векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему. В нашем примере, это сумма двух векторов (так как рассматриваются два тела), которые направлены в одну сторону, поэтому

Сейчас вычислим импульс системы тел из предыдущего примера, если второе тело двигается в обратном направлении.

Так как тела двигаются в противоположных направлениях, получаем векторную сумму импульсов разнонаправленных. Подробнее о сумме векторов .

Главное запомнить

1) Что такое замкнутая система тел;
2) Закон сохранения импульса и его применение

Импульс в физике

В переводе с латинского «импульс» означает «толчок». Эту физическую величину называют также «количеством движения». Она была введена в науку примерно в то же время, когда были открыты законы Ньютона (в конце XVII века).

Разделом физики, изучающим движение и взаимодействие материальных тел, является механика. Импульс в механике – это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p=mv. Направления векторов импульса и скорости всегда совпадают.

В системе СИ за единицу импульса принимают импульс тела массой 1 кг, которое движется со скоростью 1 м/с. Поэтому единица импульса в СИ – это 1 кг∙м/с.

В расчетных задачах рассматривают проекции векторов скорости и импульса на какую-либо ось и используют уравнения для этих проекций: к примеру, если выбрана ось x, тогда рассматривают проекции v(x) и p(x). По определению импульса, эти величины связаны соотношением: p(x)=mv(x).

В зависимости от того, какая выбрана ось и куда она направлена, проекция вектора импульса на нее может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

Закон сохранения импульса

Импульсы материальных тел при их физическом взаимодействии могут меняться. Например, при столкновении двух шариков, подвешенных на нитях, их импульсы взаимно изменяются: один шарик может прийти в движение из неподвижного состояния или увеличить свою скорость, а другой, наоборот, уменьшить скорость или остановиться. Однако в замкнутой системе, т.е. когда тела взаимодействуют только между собой и не подвергаются воздействию внешних сил, векторная сумма импульсов этих тел остается постоянной при любых их взаимодействиях и движениях. В этом заключается закон сохранения импульса. Математически его можно вывести из законов Ньютона.

Закон сохранения импульса применим также к таким системам, где какие-то внешние силы действуют на тела, но их векторная сумма равна нулю (например, сила тяжести уравновешивается силой упругости поверхности). Условно такую систему тоже можно считать замкнутой.

В математической форме закон сохранения импульса записывается так: p1+p2+…+p(n)=p1’+p2’+…+p(n)’ (импульсы p – векторы). Для системы из двух тел это уравнение выглядит как p1+p2=p1’+p2’, или m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’. К примеру, в рассмотренном случае с шариками суммарный импульс обоих шаров до взаимодействия будет равен суммарному импульсу после взаимодействия.

1. Как вам известно, результат действия силы зависит от ее модуля, точки приложения и направления. Действительно, чем больше сила, действующая на тело, тем большее ускорение оно приобретает. От направления силы зависит и направление ускорения. Так, приложив небольшую силу к ручке, мы легко открываем дверь, если ту же силу приложить около петель, на которых висит дверь, то ее можно и не открыть.

Опыты и наблюдения свидетельствуют о том, что результат действия силы (взаимодействия) зависит не только от модуля силы, но и от времени ее действия. Проделаем опыт. К штативу на нити подвесим груз, к которому снизу привязана еще одна нить (рис. 59). Если за нижнюю нить резко дернуть, то она оборвется, а груз останется висеть на верхней нити. Если же теперь медленно потянуть за нижнюю нить, то оборвется верхняя нить.

Импульсом силы называют векторную физическую величину, равную произведению силы на время ее действия Ft .

Единица импульса силы в СИ - ньютон‑секунда (1 Н с ): [Ft ] = 1 Н с.

Вектор импульса силы совпадает по направлению с вектором силы.

2. Вы также знаете, что результат действия силы зависит от массы тела, на которое эта сила действует. Так, чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает при действии одной и той же силы.

Рассмотрим пример. Представим себе, что на рельсах стоит груженая платформа. С ней сталкивается движущийся с некоторой скоростью вагон. В результате столкновения платформа приобретет ускорение и переместится на некоторое расстояние. Если же движущийся с той же скоростью вагон столкнется с легкой вагонеткой, то она в результате взаимодействия переместится на существенно большее расстояние, чем груженая платформа.

Другой пример. Предположим, что к мишени подлетает пуля со скоростью 2 м/ с. Пуля, вероятнее всего, отскочит от мишени, оставив на ней лишь небольшую вмятину. Если же пуля будет лететь со скоростью 100 м/с, то она пробьет мишень.

Таким образом, результат взаимодействия тел зависит от их массы и скорости движения.

Импульсом тела называют векторную физическую величину, равную произведению массы тела и его скорости.

Единица импульса тела в СИ - килограмм-метр в секунду (1 кг м/с): [p ] = [m ][v ] = 1 кг 1м/ с = 1 кг м/с.

Направление импульса тела совпадает с направлением его скорости.

Импульс - величина относительная, его значение зависит от выбора системы отсчета. Это и понятно, поскольку относительной величиной является скорость.

3. Выясним, как связаны импульс силы и импульс тела.

По второму закону Ньютона:

F = ma .

Подставив в эту формулу выражение для ускорения a = , получим:

F = , или
Ft = mv – mv 0 .

В левой части равенства стоит импульс силы; в правой части равенства - разность конечного и начального импульсов тела,т. е. изменение импульса тела.

Таким образом,

импульс силы равен изменению импульса тела.

Это иная формулировка второго закона Ньютона. Именно так сформулировал его Ньютон.

4. Предположим, что сталкиваются два шарика движущиеся по столу. Любые взаимодействующие тела, в данном случае шарики, образуют систему . Между телами системы действуют силы: сила действия F 1 и сила противодействия F 2 . При этом сила действия F 1 по третьему закону Ньютона равна силе противодействия F 2 и направлена противоположно ей: F 1 = –F 2 .

Силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называют внутренними силами.

Помимо внутренних сил, на тела системы действуют внешние силы. Так, взаимодействующие шарики притягиваются к Земле, на них действует сила реакции опоры. Эти силы являются в данном случае внешними силами. Во время движения на шарики действуют сила сопротивления воздуха и сила трения. Они тоже являются внешними силами по отношению к системе, которая в данном случае состоит из двух шариков.

Внешними силами называют силы, которые действуют на тела системы со стороны других тел.

Будем рассматривать такую систему тел, на которую не действуют внешние силы.

Замкнутой системой называют систему тел, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с другими телами.

В замкнутой системе действуют только внутренние силы.

5. Рассмотрим взаимодействие двух тел, составляющих замкнутую систему. Масса первого тела m 1 , его скорость до взаимодействия v 01 , после взаимодействия v 1 . Масса второго тела m 2 , его скорость до взаимодействия v 02 , после взаимодействия v 2 .

Силы, с которыми взаимодействуют тела, по третьему закону:F 1 = –F 2 . Время действия сил одно и то же, поэтому

F 1 t = –F 2 t .

Для каждого тела запишем второй закон Ньютона:

F 1 t = m 1 v 1 – m 1 v 01 , F 2 t = m 2 v 2 – m 2 v 02 .

Поскольку левые части равенств равны, то равны и их правые части, т. е.

m 1 v 1 – m 1 v 01 = –(m 2 v 2 – m 2 v 02).

Преобразовав это равенство, получим:

В левой части равенства стоит сумма импульсов тел до взаимодействия, в правой - сумма импульсов тел после взаимодействия. Как видно из этого равенства, импульс каждого тела при взаимодействии изменился, а сумма импульсов осталась неизменной.

Геометрическая сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы.

В этом состоит закон сохранения импульса .

6. Замкнутая система тел - это модель реальной системы. В природе нет таких систем, на которые не действовали бы внешние силы. Однако в ряде случаев системы взаимодействующих тел можно рассматривать как замкнутые. Это возможно в следующих случаях: внутренние силы много больше внешних сил, время взаимодействия мало, внешние силы компенсируют друг друга. Кроме того, может быть равна нулю проекция внешних сил на какое‑либо направление и тогда закон сохранения импульса выполняется для проекций импульсов взаимодействующих тел на это направление.

7. Пример решения задачи

Две железнодорожные платформы движутся навстречу друг другу со скоростями 0,3 и 0,2 м/с. Массы платформ соответственно равны 16 и 48 т. С какой скоростью и в каком направлении будут двигаться платформы после автосцепки?

и применить к ней закон сохранения импульса.

m 1 v 01 + m 2 v 02 = (m 1 + m 2)v .

В проекциях на ось X можно записать:

m 1 v 01x + m 2 v 02x = (m 1 + m 2)v x .

Так как v 01x = v 01 ; v 02x = –v 02 ; v x = –v , то m 1 v 01 – m 2 v 02 = –(m 1 + m 2)v.

Откуда v = – .

v = – = 0,75 м/с.

После сцепки платформы будут двигаться в ту сторону, в которую до взаимодействия двигалась платформа с большей массой.

Ответ: v = 0,75 м/с; направлена в сторону движения тележки с большей массой.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют импульсом тела?

2. Что называют импульсом силы?

3. Как связаны импульс силы и изменение импульса тела?

4. Какую систему тел называют замкнутой?

5. Сформулируйте закон сохранения импульса.

6. Каковы границы применимости закона сохранения импульса?

Задание 17

1. Чему равен импульс тела массой 5 кг, движущегося со скоростью 20 м/с?

2. Определите изменение импульса тела массой 3 кг за 5 с под действием силы 20 Н.

3. Определите импульс автомобиля массой 1,5 т, движущегося со скоростью 20 м/с в системе отсчета, связанной: а) с неподвижным относительно Земли автомобилем; б) с автомобилем, движущимся в ту же сторону с такой же скоростью; в) с автомобилем, движущимся с такой же скоростью, но в противоположную сторону.

4. Мальчик массой 50 кг спрыгнул с неподвижной лодки массой 100 кг, расположенной в воде около берега. С какой скоростью отъехала лодка от берега, если скорость мальчика направлена горизонтально и равна 1 м/с?

5. Снаряд массой 5 кг, летевший горизонтально, разрывался на два осколка. Какова скорость снаряда, если осколок массой 2 кг при разрыве приобрел скорость 50 м/с, а второй массой 3 кг - 40 м/с? Скорости осколков направлены горизонтально.

Любые задачи на движущиеся тела в классической механике требуют знания концепции импульса. В данной статье рассматривается эта концепция, дается ответ на вопрос, куда направлен вектор импульса тела, а также приводится пример решения задачи.

Количество движения

Чтобы выяснить, куда направлен вектор импульса тела, следует, в первую очередь, понять его физический смысл. Впервые термин был объяснен Исааком Ньютоном, однако важно отметить, что итальянский ученый Галилео Галилей в своих работах уже использовал похожее понятие. Для характеристики движущегося объекта он ввел величину, которая называлась стремление, натиск или собственно импульс (impeto на итальянском). Заслуга же Исаака Ньютона заключается в том, что он смог связать эту характеристику с действующими на тело силами.

Итак, изначально и более правильно то, что большинство понимают под импульсом тела, называть количеством движения. Действительно, математическая формула для рассматриваемой величины пишется в виде:

Здесь m - масса тела, v¯ - его скорость. Как видно из формулы, ни о каком импульсе речь не идет, имеется лишь скорость тела и его масса, то есть количество движения.

Важно отметить, что эта формула не следует из математических доказательств или выражений. Ее возникновение в физике имеет исключительно интуитивный, бытовой характер. Так, любой человек хорошо представляет, что если муха и грузовик будут двигаться с одинаковой скоростью, то грузовик остановить гораздо тяжелее, поскольку он обладает намного большим количеством движения, чем насекомое.

Откуда возникло понятие вектор импульса тела, рассмотрено далее.

Импульс силы - причина изменения количества движения

Интуитивно введенную характеристику Ньютон смог связать со вторым законом, носящим его фамилию.

Импульс силы - это известная физическая величина, которая равна произведению приложенной внешней силы к некоторому телу на время ее действия. Воспользовавшись известным законом Ньютона и полагая, что сила от времени не зависит, можно прийти к выражению:

F¯ * Δt = m * a¯ * Δt.

Здесь Δt - время действия силы F, a - это линейное ускорение, сообщаемое силой F телу массой m. Как известно, умножение ускорения тела на промежуток времени, который оно действует, дает приращение скорости. Этот факт позволяет переписать формулу выше в несколько ином виде:

F¯ * Δt = m * Δv¯, где Δv¯= a¯ * Δt.

Правая часть равенства представляет собой изменение количества движения (см. выражение в предыдущем пункте). Тогда получится:

F¯ * Δt = Δp¯, где Δp¯ = m * Δv¯.

Таким образом, пользуясь законом Ньютона и понятием об импульсе силы, можно прийти к важному выводу: воздействие внешней силы на объект в течение некоторого времени приводит к изменению его количества движения.

Теперь становится понятным, почему количество движения принято называть импульсом, ведь его изменение совпадает с импульсом силы (слово "сила", как правило, опускают).

Векторная величина p¯

Над некоторыми величинами (F¯, v¯, a¯, p¯) стоит черта. Это означает, что речь идет о векторной характеристике. То есть количество движения так же, как и скорость, сила и ускорение, помимо абсолютной величины (модуля), описывается еще направлением.

Так как каждый вектор можно разложить на отдельные компоненты, то, пользуясь декартовой прямоугольной системой координат, можно записать следующие равенства:

1) p¯ = m * v¯;

2) p x = m * v x ; p y = m * v y ; p z = m * v z ;

3) |p¯| = √(p x 2 + p y 2 + p z 2).

Здесь 1-е выражение - это векторная форма представления количества движения, 2-й набор формул позволяет рассчитать каждую из компонентов импульса p¯, зная соответствующие компоненты скорости (индексы x, y, z говорят о проекции вектора на соответствующую ось координат). Наконец, 3-я формула позволяет вычислить длину вектора импульса (абсолютное значение величины) через его компоненты.

Куда направлен вектор импульса тела?

Рассмотрев понятие количества движения p¯ и его основные свойства, можно легко ответить на поставленный вопрос. Вектор импульса тела направлен так же, как и вектор линейной скорости. Действительно, из математики известно, что умножение вектора a¯ на число k приводит к образованию нового вектора b¯, обладающего следующими свойствами:

• его длина равна произведению числа на модуль исходного вектора, то есть |b¯| = k * |a¯|;
• он направлен так же, как исходный вектор, если k > 0, в противном случае он будет направлен противоположно a¯.

В данном случае роль вектора a¯ играет скорость v¯, импульс p¯ - это новый вектор b¯, а число k - это масса тела m. Поскольку последняя всегда является положительной (m>0), то, отвечая на вопрос: чему сонаправлен вектор импульса тела p¯, следует сказать, что он сонаправлен скорости v¯.

Вектор изменения количества движения

Интересно рассмотреть еще один похожий вопрос: куда направлен вектор изменения импульса тела, то есть Δp¯. Для ответа на него стоит использовать полученную выше формулу:

F¯ * Δt = m * Δv¯ = Δp¯.

Исходя из рассуждений в предыдущем пункте, можно сказать, что направление изменения количества движения Δp¯ совпадает с направлением вектора силы F¯ (Δt > 0) или с направлением вектора изменения скорости Δv¯ (m > 0).

Здесь важно не путать, что речь идет именно об изменении величин. В общем случае векторы p¯ и Δp¯ не совпадают, поскольку они никак не связаны друг с другом. Например, если сила F¯ будет действовать против скорости v¯ перемещения объекта, тогда p¯ и Δp¯ будут направлены в противоположные стороны.

Где важно учитывать векторный характер количества движения?

Рассмотренные выше вопросы: куда направлен вектор импульса тела и вектор его изменения, обусловлены не простым любопытством. Дело в том, что закон сохранения импульса p¯ выполняется для каждой его компоненты. То есть в наиболее полной форме он записывается так:

p x = m * v x ; p y = m * v y ; p z = m * v z .

Каждая компонента вектора p¯ сохраняет свое значение в системе взаимодействующих объектов, на которые не действуют внешние силы (Δp¯ = 0).

Как пользоваться этим законом и векторными представлениями величины p¯, чтобы решать задачи на взаимодействие (соударение) тел?

Задача с двумя шарами

На рисунке ниже изображены два шара разной массы, которые летят под разными углами к горизонтальной линии. Пусть массы шаров равны m 1 = 1 кг, m 2 = 0,5 кг, их скорости v 1 = 2 м/с, v 2 = 3 м/с. Необходимо определить направление импульса после удара шаров, полагая последний абсолютно неупругим.

Начиная решать задачу, следует записать закон неизменности количества движения в векторной форме, то есть:

p 1 ¯ + p 2 ¯ = const.

Поскольку каждая компонента импульса должна сохраняться, то нужно переписать это выражение, учитывая также, что после столкновения два шара начнут двигаться, как единый объект (абсолютно неупругий удар):

m 1 * v 1x + m 2 * v 2x = (m 1 + m 2) * u x ;

M 1 * v 1y + m 2 * v 2y = (m 1 + m 2) * u y .

Знак минус для проекции импульса первого тела на ось y появился вследствие ее направленности против выбранного вектора оси ординат (см. рис.).

Теперь нужно выразить неизвестные компоненты скорости u, а затем подставить известные значения в выражения (соответствующие проекции скоростей определяются умножением модулей векторов v 1 ¯ и v 2 ¯ на тригонометрические функции):

u x = (m 1 * v 1x + m 2 * v 2x) / (m 1 + m 2), v 1x = v 1 * cos(45 o); v 2x = v 2 * cos(30 o);

u x = (1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,866) / (1 + 0,5) = 1,8088 м/с;

u y = (-m 1 * v 1y + m 2 * v 2y) / (m 1 + m 2), v 1y = v 1 * sin(45 o); v 2y = v 2 * sin(30 o);

u y = (-1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,5) / (1 + 0,5) = -0,4428 м/с.

Это две компоненты скорости тела после удара и "слипания" шаров. Поскольку направление скорости совпадает с вектором импульса p¯, то ответить на вопрос задачи можно, если определить u¯. Угол его относительно горизонтальной оси будет равен арктангенсу отношения компонент u y и u x:

α = arctg(-0,4428 / 1,8088) = -13,756 o .

Знак минус указывает, что импульс (скорость) после удара будет направлен вниз от оси x.