Ряди із комплексними членами. Ряди в комплексній області Числові ряди з комплексними числами

463. Який геометричний зміст нерівностей: 1) Re z > 0; 2) Im z< 0 ?

2. Ряди з комплексними членами. Розглянемо послідовність комплексних чисел z 1 , z 2 , z 3 , ..., де z п = x п + iу п (п = 1, 2, 3, ...).Постійне число з = а + biназивається межеюпослідовності z 1 , z 2 , z 3 , ..., якщо для будь-якого скільки завгодно малого числа δ>0 знайдеться такий номер N,що ріє значення z пз номерами п > Nзадовольняють нерівності \z п-с\< δ . У цьому випадку пишуть .

Необхідна та достатня умова існування межі послідовності комплексних чисел полягає в наступному: число з = а + biє межею послідовності комплексних чисел х 1 +iу 1, х 2 +iу 2, х 3 +iу 3, …і тоді, коли , .

(1)

членами якого є комплексні числа, називається схожим,якщо n-ячасткова сума ряду S n при п → ∞прагне певної кінцевої межі. В іншому випадку ряд (1) називається розбіжним.

Ряд (1) сходиться тоді і лише тоді, коли сходяться ряди із дійсними членами

(2) Дослідити збіжність рядуЦей ряд, члени якого утворюють нескінченно спадаючу геометричну прогресію, сходиться; отже, заданий ряд із комплексними членами сходиться абсолютно. ^

474. Знайти область збіжності ряду

Транскрипт

1 Федеральне агентство з освіти Томський державний архітектурно-будівельний університет РЯДИ З КОМПЛЕКСНИМИ ЧЛЕНАМИ Методичні вказівки для самостійної роботи УЧАСНИКИ Лесняк, ВА Старенченко Томськ

2 Ряди з комплексними членами: методичні вказівки / Сост Лісняк, ВА Старенченко - Томськ: Изд-во Том держ архіт-будує ун-ту, з Рецензент професор ПН Бєлов Редактор ЕЮ Глотова Методичні вказівки призначені для самостійного вивчення студентами-го курсу всіх спеціальностей теми «Ряди з комплексними членами» дисципліни ЄНФ «Математика» Друкуються за рішенням методичного семінару кафедри вищої математики, протокол 4 від березня р. Затверджено та введено в дію проректором з навчальної роботи ВВ Дзюбо з 5 до 55 6 84/6 Папір офсет Гарнітура Таймс Уч-изд л,6 Тираж 4 Замовлення Вид-во ТГАСУ, 64, м Томськ, пл Соляна, Надруковано з оригінал-макета в ООП ТГАСУ 64, м Томськ, вул Партизанська, 5

3 РЯДИ З КОМПЛЕКСНИМИ ЧЛЕНАМИ ТЕМА Числові ряди з комплексними членами Нагадаємо, що комплексними числами називають числа виду z = x y, де х і у дійсні числа, а уявна одиниця, яка визначається рівністю = - Числа х і у називають відповідно до дійсної та уявної частин числа z і позначають х = Rez, y = Imz Очевидно, між точками М(х, у) площини ХОУ з декартовою ортогональною системою координат та комплексними числами виду z = x y існує взаємно однозначна відповідність Площина ХОУ називають комплексною площиною, а z називають точкою цієї площини Дійсним числам відповідає вісь абсцис, яка називається дійсною віссю, а числам виду z = y відповідає вісь ординат, яка називається уявною віссю Якщо полярні координати точки М(х,у) позначити через r і j, тоді х = r cosj, y = r s j і число z запишеться у вигляді: z = r (cosj sj), де r = x y Така форма запису комплексного числа називається тригонометричною, запис z у вигляді z = x y називають формою алгебри записи Число r називається модулем числа z, число j аргументом (на точку z = поняття аргументу не поширюється) Модуль числа z однозначно визначається формулою z = x y Аргумент j однозначно визначається лише за додаткової умови - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 числа z (рис) Значення цьому слід пам'ятати, що y arq z - π виражається через< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >, y; x у arg z = -arctg, якщо х>, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = - якщо х =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π; z = = (рис) М y r = j = p x Рис У тригонометричній формі число z = - запишеться у вигляді: - = сos π s π è Операції над комплексними числами рекомендується повторити самостійно Нагадаємо лише формулу зведення числа z у ступінь: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Ключові питання теорії Короткі відповіді Визначення ряду з комплексними членами Поняття збіжності ряду Необхідна умова збіжності Визначення Нехай задана послідовність z ) = ( x y ) = z, z, z, комплексних чисел Символ виду ( å = z називається поруч, z загальний член ряду Поняття часткових сум S ряду, його збіжності та розбіжності повністю відповідають аналогічним поняттям для рядів з дійсними членами Послідовність часткових сум ряду має вигляд: S = z , S = z z ; Нагадаємо, що визначення межі послідовності комплексних чисел, яким ми скористалися, формально нічим не відрізняється від визначення межі послідовності дійсних чисел: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 нулю загального члена z ряду при Це означає, що якщо ця умова порушена, тобто якщо lm z ¹, ряд розходиться, якщо ж lm z =, питання про збіжність ряду залишається відкритим Чи можна дослідити ряд å (х = на збіжність шляхом дослідження х і ? у, при цьому якщо ? х = S = де ? S = (х y) = ? його суму 7

8 Рішення Ряд å сходиться, т к ~ = () () при Сума S цього ряду дорівнює (Гл, тема, п) Ряд å сходиться як нескінченно спадна геометрична = прогресія, при цьому å = () è S b = - q = сходиться, і його сума Таким чином, ряд S = Приклад Ряд å розходиться, т к розходиться = è! гармонійний ряд å У цьому випадку досліджувати на сходи- = мість ряд å =! не має сенсу Приклад Ряд ?

9 Якими властивостями мають ряди, що сходяться, з комплексними членами? Властивості ті ж, що й у рядків, що сходяться з дійсними членами Властивості рекомендується повторити 4 Чи є для ряду з комплексними членами поняття його абсолютної збіжності? Теорема (достатня умова збіжності ряду) Якщо ряд å = z сходиться, тоді буде сходитися і ряд å = z Поняття абсолютної збіжності ряду å = z формально виглядає так само, як для рядів з дійсними членами. якщо сходиться ряд å = z Приклад Довести абсолютну збіжність ряду () () () 4 8 Рішення Скористаємося тригонометричною формою запису числа: 9

10 ? = = Це нескінченно спадна геометрична прогресія зі знаменником; така прогресія сходиться, і, отже, ряд сходиться абсолютно При доказі абсолютної збіжності часто використовується теорема Теорема Щоб ряд ? ! х і å = y сходиться - сходиться абсолютно, т к сходиться абсолютно å (-), а абсолютна збіжність = ряду å cosπ легко доводиться: =!

11 cosπ, а ряд å!! =! сходиться за ознакою Даламбера За ознакою порівняння ряд ? cosπ сходиться ? ряд ? =! сходиться абсолютно cosπ =! Розв'язання задач Дослідити на збіжність ряди 4: å; å(-) = è l l = è! l å = π - cos èè α tg π ; 4 å = è è;! Рішення ? l сходиться å(-) = è! l

12 Ряд сходиться, т к е =! сходиться на підставі граничної ознаки Даламбера, а ряд ? (-) сходиться за теоремою = l Лейбниця ? ? α π π s tg = èè При α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = Ряд ? α

13 Таким чином, вихідний ряд буде сходитися при і розходитися при α 4 å = è è! α > Ряд å досліджуємо на збіжність за допомогою = è граничної ознаки Коші: lm = lm = > Þ è ряд розходиться ? 6 å (8) (-)! =! å = Рішення 5 å = π cos ()! å = - π cos сходиться абсолютно, т до (-)! сходиться за ознакою порівняння: π cos, причому ряд å (-)! (-)! = (-)! сходиться за ознакою Даламбера

14 4 6 å =!) 8 (До ряду!) 8 (å = застосуємо ознаку Даламбера:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Ряди 7 дослідити на абсолютну збіжність 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; , 9 розходиться, сходиться не абсолютно

16 ТЕМА Ступінні ряди з комплексними членами При вивченні розділу «Функціональні ряди» були детально розглянуті ряди, доданками яких були члени деякої послідовності функцій дійсного змінного. Було доведено (теорема Абеля), що кожен статечний ряд має інтервал збіжності (х - R, x R), всередині якого сума S (x) ряду безперервна і що статечний ряд усередині інтервалу збіжності можна почленно диференціювати і почленно інтегрувати ці чудові властивості статечних рядів відкрили широкі можливості для їх численних додатків У цій темі будуть розглянуті статечні ряди не з дійсними, а з комплексними членами 6 Ключові питання теорії і z задані комплексні числа, а z комплексне змінне У окремому випадку, коли z =, статечний ряд має вигляд å = a z ()

17 Очевидно, ряд () зводиться до ряду () введенням нової змінної W = z - z, тому ми, в основному, будемо мати справу з рядами виду () Теорема Абеля Якщо статечний ряд () сходиться при z = z ¹, то він сходиться і до того ж абсолютно за будь-якого z, для якого z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Теорема Абеля має слідство, яке стверджує, що якщо ряд å = a z розходиться при * z = z, то він буде розходитися і при кожному z, для якого * z > z Чи є для статечних рядів () і () поняття радіуса збіжності? Так, є Радіус збіжності R число, яке має ту властивість, що при всіх z, для яких z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, ряд () розходиться 4 Що є областю збіжності ряду ()? Якщо R радіус збіжності ряду (), то безліч точок z для яких z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Чи можна знаходити радіус збіжності a за формулами R = lm і R = lm, a a які мали місце для статечних рядів із дійсними членами? Можна, якщо ці межі існують Якщо виявиться, що R =, це означатиме, що ряд () сходиться тільки в точці z = або z = z для ряду () При R = ряд буде сходитися на всій комплексній площині Приклад Знайти радіус збіжності ряду å z = a Рішення R = lm = lm = a Таким чином, ряд сходиться всередині кола радіусу Приклад цікавий тим, що на межі кола x y< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Нагадаємо, що статечні ряди å = a х всередині свого інтервалу збіжності сходяться не тільки абсолютно, але й рівномірно. колі z r за умови, що r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 у колі радіуса R > збіжності ряду, то цим рядом є ряд Тейлора функції f (z), е f () f () f å = () (z) = f () z z = z! Коефіцієнти ряду å = () f (z) a =! f () a (z - z) обчислюються за формулою Нагадаємо, що визначення похідної f (z) формально дається так само, як і для функції f (x) дійсного змінного, тобто f (z) = lm def f (z Dz) - f(z) Dz Dz Правила диференціювання функції f(z) ті самі, що й правила диференціювання функції дійсного змінного 7 У якому разі функція f(z) називається аналітичною в точці z? Поняття аналітичної у точці z функції дається за аналогією з поняттям дійсної аналітичної у точці х функції f(х) Визначення Функція f(z) називається аналітичною у точці z, якщо існує R > таке, що у колі z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Ще раз підкреслимо, що подання аналітичної в точці z функції f (z) у вигляді статечного ряду єдино, і цим рядом є її ряд Тейлора, тобто коефіцієнти ряду обчислюються за формулою () f (z) a =! 8 Основні елементарні функції комплексного змінного Теоретично статечних рядів функцій дійсного змінного було отримано розкладання до ряду функцій е х: = å х х е, xî(-,) =! При рішенні прикладу пункту 5 ми переконалися, що ряд å z сходиться на всій комплексній площині. У окремому випадку при z = x його сума дорівнює ех. дуючої ідеї: при комплексних значеннях z функцію е z за визначенням вважати сумою ряду å z Таким чином, =! z е () def å z = =! Визначення функцій ch z і sh z x - x Оскільки ch = = å k e e х x, х Î (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = x k = k х, (k)! х Î (-,),

23 а функція е z визначена тепер для всіх комплексних z, то природно на всій комплексній площині прийняти ch z =, def z - z e def z - z e - e sh z = Таким чином: z -z k e - e z sh z = = гіперболічний синус ; (k)! k = z - z k e e z ch z = = гіперболічний косинус; k = (k)! shz th z = гіперболічний тангенс; chz chz cth z = гіперболічний котангенс shz Визначення функцій s z та cos z Скористаємося отриманими раніше розкладаннями: k k (-) s x x = k = (k)!, k k (-) x cos x =, k = (k)! ряди сходяться на всій числовій осі При заміні в цих рядах х на z ми отримаємо статечні ряди з комплексними членами, які, як легко показати, сходяться на всій комплексній площині. ) s z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Зв'язок між показовою функцією та тригонометричними функціями у комплексній площині Замінюючи в ряді å z z е = =! z на z, а потім на z, отримаємо: = z е, å -z (-) z е = =! =! Так як e()) e k k = (-, будемо мати: z -z = å k = k (-) z (k)! Таким чином: z -z z -z e e e - e с os z = ; що ці формули справедливі і для дійсних z У окремому випадку при z = j, де j дійсне число, формула (7) набуде вигляду: j сos j sj = e (8) Тоді комплексне число z = r (cos j s j) запишеться у вигляді : j z = re (9) Формулу (9) називають показовою формою запису комплексного числа z 4

25 Формули, що пов'язують тригонометричні та гіперболічні функції Легко доводяться такі формули: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, ch z = cos z Доведемо першу та четверту формули (другу та третю рекомендується довести самостійно) Скористаємося формулами ( 6) Ейлера: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z; z -z e e ch z = = cos z За допомогою формул sh z = s z та ch z = cos z легко доводиться, на перший погляд, дивовижна властивість функцій s z та cos z На відміну від функцій у = s х та у = сos х, функції s z та cos z не обмежені за абсолютною величиною Справді, якщо у зазначених формулах, зокрема, z = y, тоді s y = sh y, cos y = ch y Це означає, що на уявній осі s z та cos z не обмежені по абсолютній величині Цікаво, що для s z і cos z мають місце всі формули, аналогічні формулам для тригонометричних функцій s х і cos х Наведені формули досить часто використовуються при дослідженні рядів на збіжність Приклад Довести абсолютну збіжність ряду ? s = Як було помічено, функція s z обмеженою на уявній осі не яв- 5

26, тому ознакою порівняння користуватися не можна Скористаємося формулою s = sh Тоді å = å s sh = = Ряд å sh = досліджуємо за ознакою Даламбера: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () тому що lm =, з модулів сходиться за умови 8 - = 8 = Таким чином, ряд z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >точках кола z = -, буде сходитися, а поза цим кругом, т е, ряд розходиться : å 8 - = å = = що даний ряд у замкнутому колі Отриманий ряд сходиться, це означає, z сходиться абсолютно Довести, що функція å z z е = періодична з періодом π (ця властивість функції е z її суттєво відрізняє =! від функції е х) Доказ Скористаємося визначенням періодичної функції та формулою (6) Потрібно переконатися, що z z е π = e, де z = x y Покажемо, що це так: z π x y π x (y π) x (y е = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Отже, е z періодична функція!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Отримати формулу, яка пов'язує числа е, і π Рішення Скористаємося показовою формою запису j комплексного числа: z = re Для z = - матимемо r =, j = π і, таким чином, π e = - () Дивовижна формула і це при тому, що поява в математиці кожного з чисел π, е і не має нічого спільного з появою двох інших! Формула () цікава ще й тим, що, виявляється, показова функція е z, на відміну від функції ех, може набувати негативних значень e x 5 Знайти суму ряду å сos x =! Рішення Перетворимо ряд x x сos x s x e (e) å = å = å!! x(e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos (s x) s (s x)) = = cosx =! cos = e x cos(s x) При рішенні двічі скористалися формулою = cos x s x і розкладанням у ряд функції (e x) e 6 Розкласти в статечний ряд функцію f(x) = e x cos x, використовуючи розкладання у ряд функції x() x x x x е = e e = e cos x e s x Рішення x() x () x е = å = å!! = = π cos s è 4 π = 4 8

29 = x π π () cos s =! è 4 4 Т до x x () x x π e cos x = Rеe Þ e cos x = () cos =! 4 Отриманий ряд сходиться по всій числовій осі, т до x π (x) () cos, а ряд å (x)! 4! =! x< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Знайти радіус R і коло збіжності рядів 4 Дослідити поведінку ряду в граничних точках кола збіжності (у точках, що лежать на колі) å!(z -) ; å (z); = = å () z = (); 4 å z = 9 Відповіді:) R =, ряд сходиться в точці z = - ;) R =, ряд сходиться абсолютно в замкнутому колі z з центром у точці z = - або за умови x (y) ;) R =, ряд сходить абсолютно в замкнутому колі z або за умови x y ; 4) R =, ряд сходиться абсолютно в замкнутому колі z або за умови x y 9 7 Розкласти в статечний ряд функцію f(x) = e x s x, () x використовуючи розкладання в ряд функції e 8 Переконатися, що за будь-якого комплексного z матимуть місце формули: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (скористайтеся формулами Ейлера)

31 СПИСОК РЕКОМЕНДУЄМОЇ ЛІТЕРАТУРИ Основна література Піскунов, НР Диференційне та інтегральне обчислення для втузів / НР Піскунов Т М: Наука, 8 С 86 9 Фіхтенгольц, Г М Основи математичного аналізу / ГМ Фіхтенгольц рядів / ПН Воробйов - СПб: Лань, 8 48 з 4 Письмовий, ДП Конспект лекцій з вищої математики Ч/ДП Письмовий М: Айріс-прес, 8 5 Вища математика у вправах та завданнях Ч/ПЕ Данко, АГ Попов, ТЯ Кожевнікова [ та ін] М: ОНІКС, 8 С Додаткова література Кудрявцев, ЛД Курс математичного аналізу / ЛД Кудрявцев Т М: Вища школа, 98 С Хабібуллін, МВ Комплексні числа: методичні вказівки / МВ Хабібуллін Томськ, ТГАСУ, 9 6 з Молдованова, ЄА Ряди та комплексний аналіз: навчальний посібник / ЄА Молдованова, АН Харламова, ВА Кілін Томськ: ТПУ, 9

Федеральне агентство з освіти Томський державний архітектурно-будівельний університет РЯДИ ФУР'Є ІНТЕГРАЛ ФУР'Є ЯК МЕЖНИЙ ВИПАД РЯДУ ФУР'Є Методичні вказівки для самостійної роботи

РЯДИ Хабаровськ 4 4 ЧИСЛОВІ РЯДИ Числовим рядом називається вираз, де числа, які утворюють нескінченну числову послідовність, загальний член ряду, де N (N безліч натуральних чисел) Приклад

Федеральне агентство з освіти Архангельський державний технічний університет будівельний факультет РЯДИ Методичні вказівки до виконання завдання для самостійної роботи Архангельськ

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЦИВІЛЬНОЇ АВІАЦІЇ В.М. Любимов, Є.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шурінов М А Т Е М А Т І К А Р А Д И ПОСІБНИК з вивчення дисципліни та контрольні завдання

5 Ступінні ряди 5 Ступінні ряди: визначення, область збіжності Функціональний ряд виду (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) де, a, a, K, a,k деякі числа, називають статечним рядом Числа

Федеральне агентство з освіти МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗІЇ І КАРТОГРАФІЇ (МІІГАїК О. В. Ісакова Л. А. Сайкова М.Д. Улимжиєв НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК ДЛЯ СТУДЕНТІВ ПО САМОСТІ

Тема Комплексні числові ряди Розглянемо числовий ряд k ak з комплексними числами виду Ряд називається схожим, якщо сходиться послідовність його часткових сум S ak k k. При цьому межа S послідовності

МІНІСТЕРСТВО УТВОРЕННЯ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Методичний посібник Упорядники: МДУлимжієв ЛІІНХЄЄВА ІБЮМІВ СЖЮМОВА Рецензія На методичний посібник з теорії функцій

8 Комплексні числові ряди Розглянемо числовий ряд із комплексними числами виду k a, (46) де (a k) - задана числова послідовність з комплексними членами k Ряд (46) називається схожим, якщо

Лекції підготовлені доц Мусіної МВ Визначення Вираз виду Числові та функціональні ряди Числові ряди: основні поняття (), де називається числовим рядом (або просто поруч) Числа, члени ряду

Металургійний факультет Кафедра вищої математики РЯДИ Методичні вказівки Новокузнецьк 5 Федеральна агенція з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральний державний бюджетний навчальний заклад вищої професійної освіти Новгородський державний університет імені

Федеральна агенція з освіти Федеральна державна освітня установа вищої професійної освіти ПІВДЕННИЙ ФЕДЕРАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецька Методичні

Числові ряди Числова послідовність Опр Числовою послідовністю називають числову ф-цію, визначену на множині натуральних чисел х - загальний член послідовності х =, х =, х =, х =,

Федеральне агентство з освіти Московський Державний університет геодезії та картографії (МІІГАіК) МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ за курсом

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗРАХУНКОВИХ ЗАВДАНЬ ПО КУРСУ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ «ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ РЯДИ Подвійні ІНТЕГРАЛИ» ЧАСТИНА Ш ТЕМА РЯДИ

Федеральне агентство з освіти Державний навчальний заклад вищої професійної освіти Новгородський державний університет імені Ярослава Мудрого Інститут електронних

Міністерство освіти Республіки Білорусь УО «Вітебський державний технологічний університет» Тема. «Ряди» Кафедра теоретичної та прикладної математики. розроблено доц. Є.Б. Дуніною. Основні

МІНІСТЕРСТВО ТРАНСПОРТУ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ УЛЬЯНІВСЬКА ВИЩИНА І ІНСТИТУТ

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Томський державний архітектурно-будівельний

Сгупс кафедра вищої математики Методичні вказівки до виконання типового розрахунку «Ряди» Новосибірськ 006 Деякі теоретичні відомості Числові ряди Нехай u; u; u; ; u; є нескінченна числова

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ КАЗАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АРХІТЕКТУРНО- БУДІВЕЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЧАСЛОВІ ТА ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

ЛЕКЦІЯ N 7. Ступінні ряди і ряди Тейлора..Степінні ряди..... Ряд Тейлора.... 4.Розкладання деяких елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена.... .Ступіньні

Модуль Тема Функціональні послідовності та ряди Властивості рівномірної збіжності послідовностей та рядів Ступінні ряди Лекція Визначення функціональних послідовностей та рядів Рівномірно

БІЛОРУСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЕКОНОМІЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТ Т КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ ІНФОРМАТИКИ ТА МАТЕМАТИЧНОЇ ЕКОНОМІКИ Ряди Конспект лекцій та практикум для студентів економічних

Міністерство освіти Російської Федерації Ульяновський державний технічний університет ЧИСЛОВІ І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ РЯДИ ФУР'Є Ульяновськ УДК 57(76) ББК 9 я 7 Ч-67 Рецензент кандфіз-матнаук

3724 РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ 1 РОБОЧА ПРОГРАМА РОЗДІЛІВ «РЯДИ КРАТНІ І КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ» 11 Числові ряди Поняття числового ряду Властивості числових

Розділ Ряди Формальний запис суми членів деякої числової послідовності Числові ряди називається числовим рядом Суми S, називаються частковими сумами ряду Якщо існує межа lim S, S то ряд

лекція. Функціональні лави. Визначення функціонального ряду Ряд, членами якого є функції від x, називається функціональним: u = u (x) + u + K+ u + K = Надаючи x певне значення x, ми

В.В. Жук, А.М. Камачкін 1 Ступінні ряди. Радіус збіжності та інтервал збіжності. Характер збіжності. Інтегрування та диференціювання. 1.1 Радіус збіжності та інтервал збіжності. Функціональний ряд

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Сибірський державний індустріальний університет»

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Сибірський державний індустріальний університет»

Математичний аналіз Розділ: Числові та функціональні ряди Тема: Ступінні ряди. Розкладання функції у статечний ряд Лектор Рожкова С.В. 3 р. 34. Ступінні ряди Ступіньним рядом поруч за ступенями називається

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ ЄРСИТЕТ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ Національний дослідний Нижегородський державний університет ім НІ Лобачевського НП Семерікова АА Дубков АА Харчева

«Ряди» Тести для самоперевірки Необхідна ознака збіжності ряду Теорема необхідна ознака збіжності Якщо ряд сходиться то lim + Наслідок достатня умова розбіжності ряду Якщо lim то ряд розходиться

Міністерство освіти і науки РФ Ачинська філія федеральної державної автономної освітньої установи вищої професійної освіти «Сибірський федеральний університет» МАТЕМАТИКА

(функціональні ряди степенні ряди область збіжності порядок знаходження інтервалу збіжності - приклад радіус інтервалу збіжності приклади ) Нехай задана нескінченна послідовність функцій, Функціональні

Ряди Числові ряди Загальні поняття Опр Якщо кожному натуральному числу ставиться у відповідність за певним законом деяке число, то безліч занумерованих чисел, називається числовою послідовністю,

Міністерство освіти Російської Федерації МАТИ - РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ім.

Лекція 3 Ряди Тейлора і Маклорена Застосування статечних рядів Розкладання функцій у статечні ряди Ряди Тейлора і Маклорена Для додатків важливо вміти цю функцію розкладати в статечний ряд, ті функцію

ДЕРЖАВНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «БІЛОРУСЬКО-РОСІЙСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ» Кафедра «Вища математика» ВИЩА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИКА

Числові та статечні ряди Заняття. Числові ряди. Сума низки. Ознаки збіжності. Обчислити суму ряду. 6 Рішення. Сума членів нескінченної геометричної прогресії q дорівнює, де q – знаменник прогресії.

Міністерство освіти республіки Білорусь Установа освіти «Могилівський державний університет продовольства» Кафедра вищої математики ВИЩА МАТЕМАТИКА Методичні вказівки для практично

Лекція 6 Розкладання функції в статечний ряд Єдиність розкладання Ряди Тейлора і Маклорена Розкладання в степеневий ряд деяких елементарних функцій Застосування статечних рядів У попередніх лекціях

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Томський державний архітектурно-будівельний

4 Функціональні ряди 4 Основні визначення Нехай задана нескінченна послідовність функцій із загальною областю визначення X u), u (), K, u (), K (ВИЗНАЧЕННЯ Вираз u) + u () + K + u () +

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ В результаті вивчення даної теми студент повинен навчитися: знаходити тригонометричну та показову форми комплексного числа

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти "Уральський державний педагогічний університет" Математичний факультет Кафедра

КАЗАНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Кафедра математичної статистики ЧИСЛОВІ РЯДИ Навчально-методичний посібник КАЗАНЬ 008 Друкується за рішенням секції Науково-методичної ради Казанського університету

Функціональні ряди Функціональний ряд сума і область функціонального ряду Нехай в ділянці Δ речових або комплексних чисел дана послідовність функцій k (k 1 Функціональним рядом називається

Федеральне агентство з освіти МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗІЇ І КАРТОГРАФІЇ (МІІГАїК) О. В. Ісакова Л. А. Сайкова НАВЧАЛЬНИЙ ПОСІБНИК ДЛЯ СТУДЕНТІВ ЗА САМОСТІЙНОМУ РОЗВИТКУ

Степенні ряди a a a Ряд виду a a a a () називається статечним, де, a, постійні, звані коефіцієнтами ряду Іноді розглядають статечний ряд більш загального виду: a(a) a(a) a(a) (), де

лекція N34. Числові лави з комплексними членами. Ступінні ряди в комплексній галузі. Аналітичні функції. Зворотні функції..числові ряди з комплексними членами.....ступеневі ряди в комплексній області....

Варіант Завдання Обчислити значення функції відповідь дати в формі алгебри: а sh ; б l Рішення а Скористаємося формулою зв'язку між тригонометричним синусом та гіперболічним синусом: ; sh -s Отримаємо

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти Ухтинський державний технічний університет КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА Методичні вказівки

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «САМАРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

Функціональні ряди Лекції 7-8 1 Область збіжності 1 Ряд виду u() u() u() u(), 1 2 u() де функції визначені на деякому проміжку, називається функціональним рядом. Безліч всіх точок,

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти Ухтинський державний технічний університет (УДТУ) МЕЖ ФУНКЦІЇ Методичні

ЛЕКЦІЯ Еквівалентні нескінченно малі Перший і другий чудові межі Порівняння нескінченно великих і нескінченно малих функцій Функція f () називається нескінченно малою в точці a (при a), якщо (

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Томський державний архітектурно-будівельний

Лекція Числові ряди Ознаки збіжності Числові ряди Ознаки збіжності Нескінченний вираз числової послідовності + + + +, складений з членів нескінченної, називається числовим рядом Числа,

ЄВ Небогіна, ОС Афанасьєва РЯДИ ПРАКТИКУМ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Самара 9 ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ ДЕРЖАВНА ОСВІТА ВІД ВИЩОЇ ПРОГРАМИ

Глава III ІНТЕГРАЛЬНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЇ КІЛЬКАХ ЗМІННИХ, ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО, РЯДИ Подвійні інтеграли ЛІТЕРАТУРА: , гл; , глii; , гл XII, 6 Для вирішення завдань на цю тему необхідно,