Що проекція імпульсу. Імпульс тіла: визначення та властивості. Зв'язок імпульсу сили та зміни величини p¯

Куля 22 калібру має масу всього 2 г. Якщо комусь кинути таку кулю, то він легко зможе зловити її навіть без рукавичок. Якщо спробувати зловити таку кулю, що вилетіла з дула зі швидкістю 300 м/с, то навіть рукавички тут не допоможуть.

Якщо на тебе котиться іграшковий візок, ти зможеш зупинити його носком ноги. Якщо на тебе котиться вантажівка, слід забирати ноги з її шляху.

Розглянемо завдання, яке демонструє зв'язок імпульсу сили та зміни імпульсу тіла.

приклад.Маса м'яча дорівнює 400 г, швидкість, яку придбав м'яч після удару – 30 м/с. Сила, з якою нога діяла на м'яч – 1500 Н, а час удару 8 мс. Знайти імпульс сили та зміна імпульсу тіла для м'яча.

Зміна імпульсу тіла

приклад.Оцінити середню силу з боку статі, що діє на м'яч під час удару.

1) Під час удару на м'яч діють дві сили: сила реакції опори, сила тяжкості.

Сила реакції змінюється протягом часу удару, тому можна визначити середню силу реакції статі.

Куля 22 калібру має масу всього 2 г. Якщо комусь кинути таку кулю, то він легко зможе зловити її навіть без рукавичок. Якщо спробувати зловити таку кулю, що вилетіла з дула зі швидкістю 300 м/с, то навіть рукавички тут не допоможуть.

Якщо на тебе котиться іграшковий візок, ти зможеш зупинити його носком ноги. Якщо на тебе котиться вантажівка, слід забирати ноги з її шляху.

Розглянемо завдання, яке демонструє зв'язок імпульсу сили та зміни імпульсу тіла.

приклад.Маса м'яча дорівнює 400 г, швидкість, яку придбав м'яч після удару – 30 м/с. Сила, з якою нога діяла на м'яч – 1500 Н, а час удару 8 мс. Знайти імпульс сили та зміна імпульсу тіла для м'яча.

Зміна імпульсу тіла

приклад.Оцінити середню силу з боку статі, що діє на м'яч під час удару.

1) Під час удару на м'яч діють дві сили: сила реакції опори, сила тяжкості.

Сила реакції змінюється протягом часу удару, тому можна визначити середню силу реакції статі.

2) Зміна імпульсу тіла зображено на малюнку

3) З другого закону Ньютона

Головне запам'ятати

1) Формули імпульсу тіла, імпульсу сили;
2) Напрям вектора імпульсу;
3) Знаходити зміну імпульсу тіла

Висновок другого закону Ньютона у загальному вигляді

Графік F(t). Змінна сила

Імпульс сили чисельно дорівнює площі фігури під графіком F(t).

Якщо ж сила непостійна у часі, наприклад, лінійно збільшується F=ktто імпульс цієї сили дорівнює площі трикутника. Можна замінити цю силу такою постійною силою, яка змінить імпульс тіла на ту саму величину за той самий проміжок часу

Середня рівнодіюча сила

ЗАКОН ЗБЕРІГАННЯ Імпульсу

Тестування онлайн

Замкнена система тіл

Це система тіл, які взаємодіють лише одне з одним. Нема зовнішніх сил взаємодії.

У реальному світі такої системи не може бути, немає можливості прибрати будь-яку зовнішню взаємодію. Замкнена система тіл – це фізична модель, як і матеріальна точка є моделлю. Це модель системи тіл, які нібито взаємодіють лише один з одним, зовнішні сили не беруться до уваги, нехтують ними.

Закон збереження імпульсу

У замкнутій системі тіл векторнасума імпульсів тіл не змінюється під час взаємодії тіл. Якщо імпульс одного тіла збільшився, це означає, що з якогось іншого тіла (чи кількох тіл) у цей момент імпульс зменшився рівно таку ж величину.

Розглянемо такий приклад. Дівчина і хлопчик катаються на ковзанах. Замкнута система тіл - дівчинка та хлопчик (тертям та іншими зовнішніми силами нехтуємо). Дівчинка стоїть на місці, її імпульс дорівнює нулю, тому що швидкість нульова (див. формулу імпульсу тіла). Після того, як хлопчик, який рухається з деякою швидкістю, зіткнеться з дівчинкою, вона теж почне рухатися. Тепер її тіло має імпульс. Чисельне значення імпульсу дівчинки таке саме, наскільки зменшився після зіткнення імпульс хлопчика.

Одне тіло масою 20кг рухається зі швидкістю, друге тіло масою 4кг рухається у тому напрямі зі швидкістю. Чому рівні імпульси кожного тіла? Чому дорівнює імпульс системи?

Імпульс системи тіл- Це векторна сума імпульсів всіх тіл, що входять до системи. У нашому прикладі, це сума двох векторів (оскільки розглядаються два тіла), які спрямовані в один бік, тому

Зараз обчислимо імпульс системи тіл із попереднього прикладу, якщо друге тіло рухається у зворотному напрямку.

Так як тіла рухаються в протилежних напрямках, отримуємо векторну суму різноспрямованих імпульсів. Докладніше про суму векторів.

Головне запам'ятати

1) Що таке замкнута система тіл;
2) Закон збереження імпульсу та його застосування

Імпульс у фізиці

У перекладі з латинського «імпульс» означає «поштовх». Цю фізичну величину називають також «кількістю руху». Вона була введена в науку приблизно в той же час, коли відкрили закони Ньютона (наприкінці XVII століття).

Розділом фізики, що вивчає рух та взаємодію матеріальних тіл, є механіка. Імпульс у механіці – це векторна величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість: p=mv. Напрями векторів імпульсу та швидкості завжди збігаються.

У системі СІ за одиницю імпульсу приймають імпульс тіла масою 1 кг, що рухається зі швидкістю 1 м/с. Тому одиниця імпульсу СІ – це 1 кг∙м/с.

У розрахункових задачах розглядають проекції векторів швидкості та імпульсу на якусь вісь і використовують рівняння для цих проекцій: наприклад, якщо вибрано вісь x, тоді розглядають проекції v(x) та p(x). За визначенням імпульсу, ці величини пов'язані співвідношенням: p(x)=mv(x).

Залежно від того, яка обрана вісь і куди вона спрямована, проекція вектора імпульсу на неї може бути як позитивною, і негативною величиною.

Закон збереження імпульсу

Імпульси матеріальних тіл за її фізичному взаємодії можуть змінюватися. Наприклад, при зіткненні двох кульок, підвішених на нитках, їх імпульси взаємно змінюються: одна кулька може почати рух з нерухомого стану або збільшити свою швидкість, а інший, навпаки, зменшити швидкість або зупинитися. Однак у замкнутої системи, тобто. коли тіла взаємодіють лише між собою і не піддаються впливу зовнішніх сил, векторна сума імпульсів цих тіл залишається постійною за будь-яких їх взаємодій і рухів. У цьому полягає закон збереження імпульсу. Математично його можна вивести із законів Ньютона.

Закон збереження імпульсу застосовний також до таких систем, де якісь зовнішні сили діють на тіла, але їхня векторна сума дорівнює нулю (наприклад, сила тяжіння врівноважується силою пружності поверхні). Умовно таку систему теж вважатимуться замкненою.

У математичній формі закон збереження імпульсу записується так: p1+p2+…+p(n)=p1'+p2'+…+p(n)' (імпульси p – вектори). Для системи двох тіл це рівняння виглядає як p1+p2=p1'+p2', або m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'. Наприклад, у розглянутому випадку з кульками сумарний імпульс обох куль до взаємодії дорівнюватиме сумарному імпульсу після взаємодії.

1. Як вам відомо, результат дії сили залежить від її модуля, точки застосування та напряму. Справді, що більше сила, що діє тіло, то більше прискорення воно набуває. Від напрямку сили залежить напрям прискорення. Так, приклавши невелику силу до ручки, ми легко відкриваємо двері, якщо ту саму силу прикласти біля петель, на яких висять двері, то їх можна і не відчинити.

Досліди та спостереження свідчать про те, що результат дії сили (взаємодії) залежить не тільки від модуля сили, а й від часу її дії. Зробимо досвід. До штатива на нитці підвісимо вантаж, до якого знизу прив'язана ще одна нитка (рис. 59). Якщо за нижню нитку різко смикнути, то вона обірветься, а вантаж залишиться висіти на верхній нитці. Якщо тепер повільно потягнути за нижню нитку, то обірветься верхня нитка.

Імпульсом сили називають векторну фізичну величину, рівну добутку сили на час її дії F t .

Одиниця імпульсу сили в СІ - ньютон-секунда (1 Н з): [Ft] = 1 Н с.

Вектор імпульсу сили збігається з вектором сили.

2. Ви також знаєте, що результат дії сили залежить від маси тіла, на яку ця сила діє. Так, чим більша маса тіла, тим менше прискорення воно набуває при дії однієї й тієї ж сили.

Розглянемо приклад. Уявімо, що на рейках стоїть навантажена платформа. З нею стикається вагон, що рухається з деякою швидкістю. В результаті зіткнення платформа набуде прискорення і переміститься на деяку відстань. Якщо ж вагон, що рухається з тією ж швидкістю, зіткнеться з легкою вагонеткою, то вона в результаті взаємодії переміститься на істотно більшу відстань, ніж завантажена платформа.

Інший приклад. Припустимо, що до мішені підлітає куля зі швидкістю 2 м/с. Куля, найімовірніше, відскочить від мішені, залишивши на ній лише невелику вм'ятину. Якщо ж куля летітиме зі швидкістю 100 м/с, вона проб'є мета.

Таким чином, результат взаємодії тіл залежить від їхньої маси та швидкості руху.

Імпульсом тіла називають векторну фізичну величину, рівну добутку маси тіла та його швидкості.

Одиниця імпульсу тіла у СІ - кілограм-метр за секунду(1 кг м/с): [ p] = [m][v] = 1 кг 1м/с = 1 кг м/с.

Напрямок імпульсу тіла збігається із напрямом його швидкості.

Імпульс - відносна величина, його значення залежить від вибору системи відліку. Це і зрозуміло, оскільки відносною величиною є швидкість.

3. З'ясуємо, як пов'язані імпульс сили та імпульс тіла.

За другим законом Ньютона:

F = ma.

Підставивши у цю формулу вираз для прискорення a= , Отримаємо:

F= , або
Ft = mv – mv 0 .

У лівій частині рівності стоїть імпульс сили; у правій частині рівності - різниця кінцевого та початкового імпульсів тіла,т. е. зміна імпульсу тіла.

Таким чином,

імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла.

Це інше формулювання другого закону Ньютона. Саме так сформулював його Ньютон.

4. Припустимо, що стикаються дві кульки, що рухаються по столу. Будь-які взаємодіючі тіла, у разі кульки, утворюють систему. Між тілами системи діють сили: сила дії F 1 та сила протидії F 2 . При цьому сила дії F 1 за третім законом Ньютона дорівнює силі протидії F 2 і спрямована протилежно їй: F 1 = –F 2 .

Сили, із якими тіла системи взаємодіють між собою, називають внутрішніми силами.

Крім внутрішніх сил, тіла системи діють зовнішні сили. Так, кульки, що взаємодіють, притягуються до Землі, на них діє сила реакції опори. Ці сили є у разі зовнішніми силами. Під час руху на кульки діють сила опору повітря та сила тертя. Вони також є зовнішніми силами по відношенню до системи, яка в даному випадку складається з двох кульок.

Зовнішніми силами називають сили, що діють на тіла системи з боку інших тіл.

Розглянемо таку систему тіл, на яку не діють зовнішні сили.

Замкнутою системою називають систему тіл, що взаємодіють між собою та не взаємодіють з іншими тілами.

У замкненій системі діють лише внутрішні сили.

5. Розглянемо взаємодію двох тіл, що становлять замкнуту систему. Маса першого тіла m 1 , його швидкість до взаємодії v 01 після взаємодії v 1 . Маса другого тіла m 2 , його швидкість до взаємодії v 02 після взаємодії v 2 .

Сили, з якими взаємодіють тіла, за третім законом: F 1 = –F 2 . Час дії сил один і той же, тому

F 1 t = –F 2 t.

Для кожного тіла запишемо другий закон Ньютона:

F 1 t = m 1 v 1 – m 1 v 01 , F 2 t = m 2 v 2 – m 2 v 02 .

Оскільки ліві частини рівностей рівні, то рівні та його праві частини, тобто.

m 1 v 1 – m 1 v 01 = –(m 2 v 2 – m 2 v 02).

Перетворивши цю рівність, отримаємо:

У лівій частині рівності стоїть сума імпульсів тіл до взаємодії, у правій - сума імпульсів тіл після взаємодії. Як очевидно з цієї рівності, імпульс кожного тіла при взаємодії змінився, а сума імпульсів залишилася незмінною.

Геометрична сума імпульсів тіл, що становлять замкнуту систему, залишається постійною за будь-яких взаємодій тіл цієї системи.

У цьому полягає закон збереження імпульсу.

6. Замкнена система тіл – це модель реальної системи. У природі немає таких систем, на які б не діяли зовнішні сили. Однак у ряді випадків системи тіл, що взаємодіють, можна розглядати як замкнуті. Це можливо в таких випадках: внутрішні сили набагато більші від зовнішніх сил, час взаємодії мало, зовнішні сили компенсують одна одну. Крім того, може дорівнювати нулю проекція зовнішніх сил на який-небудь напрям і тоді закон збереження імпульсу виконується для проекцій імпульсів тіл, що взаємодіють на цей напрям.

7. Приклад розв'язання задачі

Дві залізничні платформи рухаються назустріч одна одній зі швидкостями 0,3 та 0,2 м/с. Маси платформ відповідно дорівнюють 16 і 48 т. З якою швидкістю і в якому напрямку рухатимуться платформи після автозчеплення?

та застосувати до неї закон збереження імпульсу.

m 1 v 01 + m 2 v 02 = (m 1 + m 2)v.

У проекціях на вісь Xможна записати:

m 1 v 01x + m 2 v 02x = (m 1 + m 2)v x.

Так як v 01x = v 01 ; v 02x = –v 02 ; v x = - v, то m 1 v 01 – m 2 v 02 = –(m 1 + m 2)v.

Звідки v = – .

v= - = 0,75 м / с.

Після зчеплення платформи рухатимуться у той бік, у якому до взаємодії рухалася платформа з більшою масою.

Відповідь: v= 0,75 м/с; направлена ​​у бік руху візка з більшою масою.

Запитання для самоперевірки

1. Що називають імпульсом тіла?

2. Що називають імпульсом сили?

3. Як пов'язані імпульс сили та зміна імпульсу тіла?

4. Яку систему тіл називають замкнутою?

5. Сформулюйте закон збереження імпульсу.

6. Які межі застосування закону збереження імпульсу?

Завдання 17

1. Чому дорівнює імпульс тіла масою 5 кг, що рухається зі швидкістю 20 м/с?

2. Визначте зміну імпульсу тіла масою 3 кг за 5 з під дією сили 20 Н.

3. Визначте імпульс автомобіля масою 1,5 т, що рухається зі швидкістю 20 м/с у системі відліку, пов'язаної: а) з нерухомим щодо Землі автомобілем; б) з автомобілем, що рухається в той же бік з такою самою швидкістю; в) з автомобілем, що рухається з такою самою швидкістю, але в протилежний бік.

4. Хлопчик масою 50 кг зістрибнув із нерухомого човна масою 100 кг, розташованого у воді біля берега. З якою швидкістю від'їхав човен від берега, якщо швидкість хлопчика спрямована горизонтально і дорівнює 1 м/с?

5. Снаряд масою 5 кг, що летів горизонтально, розривався на два уламки. Яка швидкість снаряда, якщо уламок масою 2 кг при розриві набув швидкості 50 м/с, а другою масою 3 кг - 40 м/с? Швидкості уламків спрямовані горизонтально.

Будь-які завдання на рухомі тіла в класичній механіці вимагають знання концепції імпульсу. У статті розглядається ця концепція, дається у відповідь питання, куди направлений вектор імпульсу тіла, і навіть наводиться приклад розв'язання завдання.

Кількість руху

Щоб з'ясувати, куди направлений вектор імпульсу тіла, слід насамперед зрозуміти його фізичний зміст. Вперше термін був пояснений Ісааком Ньютоном, проте важливо відзначити, що італійський вчений Галілео Галілей у своїх роботах вже використав схоже поняття. Для характеристики об'єкта, що рухається, він ввів величину, яка називалася прагнення, натиск або власне імпульс (impeto італійською). Заслуга ж Ісаака Ньютона полягає в тому, що він зміг пов'язати цю характеристику з силами, що діють на тіло.

Отже, спочатку і правильніше те, що більшість розуміють під імпульсом тіла, називати кількістю руху. Справді, математична формула для аналізованої величини пишеться як:

Тут m - маса тіла, v - його швидкість. Як видно з формули, ні про який імпульс не йдеться, є лише швидкість тіла та його маса, тобто кількість руху.

Важливо, що ця формула не випливає з математичних доказів чи виразів. Її виникнення у фізиці має винятково інтуїтивний, побутовий характер. Так, будь-яка людина добре уявляє, що якщо муха і вантажівка будуть рухатися з однаковою швидкістю, то вантажівка зупинити набагато важче, оскільки вона має набагато більшу кількість руху, ніж комаха.

Звідки виникло поняття вектора імпульсу тіла, розглянуто далі.

Імпульс сили – причина зміни кількості руху

Інтуїтивно введену характеристику Ньютон зміг пов'язати з другим законом, який має прізвище.

Імпульс сили - це відома фізична величина, яка дорівнює добутку доданої зовнішньої сили до деякого тіла на час її дії. Скориставшись відомим законом Ньютона і вважаючи, що сила від часу не залежить, можна дійти виразу:

F? * Δt = m * a? * Δt.

Тут Δt – час дії сили F, a – це лінійне прискорення, що повідомляється силою F тілу масою m. Як відомо, множення прискорення тіла на проміжок часу, що воно діє, дає збільшення швидкості. Цей факт дозволяє переписати формулу вище в дещо іншому вигляді:

F? * Δt = m * Δv?, де Δv? = a? * Δt.

Права частина рівності є зміною кількості руху (див. вираз у попередньому пункті). Тоді вийде:

F? * Δt = Δp¯, де Δp = m * Δv?.

Таким чином, користуючись законом Ньютона та поняттям про імпульс сили, можна дійти важливого висновку: вплив зовнішньої сили на об'єкт протягом деякого часу призводить до зміни його кількості руху.

Тепер стає зрозумілим, чому кількість руху прийнято називати імпульсом, адже його зміна збігається з імпульсом сили (слово "сила" зазвичай опускають).

Векторна величина p¯

Над деякими величинами (F, v, a, p) стоїть риса. Це означає, що йдеться про векторну характеристику. Тобто кількість руху так само, як і швидкість, сила та прискорення, крім абсолютної величини (модуля), описується ще напрямком.

Так як кожен вектор можна розкласти на окремі компоненти, то, користуючись прямокутною декартовою системою координат, можна записати наступні рівності:

1) p = m * v;

2) p x = m * v x; p y = m * v y; p z = m * v z;

3) |p¯| = √(p x 2 + p y 2 + p z 2).

Тут 1-е вираз - це векторна форма представлення кількості руху, 2-й набір формул дозволяє розрахувати кожну з компонентів імпульсу p, знаючи відповідні компоненти швидкості (індекси x, y, z говорять про проекцію вектора на відповідну вісь координат). Нарешті, 3 формула дозволяє обчислити довжину вектора імпульсу (абсолютне значення величини) через його компоненти.

Куди направлено вектор імпульсу тіла?

Розглянувши поняття кількості руху і його основні властивості, можна легко відповісти на поставлене питання. Вектор імпульсу тіла спрямований як і вектор лінійної швидкості. Справді, з математики відомо, що множення вектора на число k призводить до утворення нового вектора b, що володіє наступними властивостями:

• його довжина дорівнює добутку числа модуль вихідного вектора, тобто |b¯| = k * | a | |;
• він спрямований так само, як вихідний вектор, якщо k > 0, інакше він буде спрямований протилежно a.

В даному випадку роль вектора a грає швидкість v, імпульс p - це новий вектор b, а число k - це маса тіла m. Оскільки остання завжди є позитивною (m>0), то, відповідаючи на запитання: чому направлений вектор імпульсу тіла, слід сказати, що він направлений швидкості v.

Вектор зміни кількості руху

Цікаво розглянути ще одне схоже питання: куди направлений вектор зміни імпульсу тіла, тобто Δp?. Для відповіді на нього варто використовувати отриману формулу:

F? * Δt = m * Δv = Δp?.

Виходячи з міркувань у попередньому пункті, можна сказати, що напрям зміни кількості руху Δp збігається з напрямом вектора сили F (Δt > 0) або з напрямом вектора зміни швидкості Δv (m > 0).

Тут важливо не плутати, що йдеться саме про зміну величин. У загальному випадку вектори p і Δp не збігаються, оскільки вони ніяк не пов'язані один з одним. Наприклад, якщо сила F буде діяти проти швидкості переміщення об'єкта, тоді p і Δp будуть направлені в протилежні сторони.

Де важливо враховувати векторний характер кількості руху?

Розглянуті вище питання: куди направлений вектор імпульсу тіла та вектор його зміни, зумовлені не простою цікавістю. Справа в тому, що закон збереження імпульсу виконується для кожної його компоненти. Тобто у найбільш повній формі він записується так:

p x = m * v x; p y = m * v y; p z = m * v z.

Кожна компонента вектора p зберігає своє значення в системі взаємодіючих об'єктів, на які не діють зовнішні сили (Δp = 0).

Як користуватися цим законом та векторними уявленнями величини p?, щоб вирішувати задачі на взаємодію (співдарення) тіл?

Завдання з двома кулями

На малюнку нижче зображено дві кулі різної маси, які летять під різними кутами до горизонтальної лінії. Нехай маси куль дорівнюють m 1 = 1 кг, m 2 = 0,5 кг, їх швидкості v 1 = 2 м/с, v 2 = 3 м/с. Необхідно визначити напрямок імпульсу після удару куль, вважаючи останній абсолютно непружним.

Починаючи вирішувати завдання, слід записати закон незмінності кількості руху у векторній формі, тобто:

p 1 + p 2 = const.

Оскільки кожна компонента імпульсу повинна зберігатися, потрібно переписати цей вислів, враховуючи також, що після зіткнення дві кулі почнуть рухатися, як єдиний об'єкт (абсолютно непружний удар):

m 1 * v 1x + m 2 * v 2x = (m 1 + m 2) * u x;

M 1 * v 1y + m 2 * v 2y = (m 1 + m 2) * u y .

Знак мінус для проекції імпульсу першого тіла на вісь y з'явився внаслідок її спрямованості проти вибраного вектора ординат осі (див. рис.).

Тепер потрібно виразити невідомі компоненти швидкості u, а потім підставити відомі значення у виразі (відповідні проекції швидкостей визначаються множенням модулів векторів v 1 і v 2 на тригонометричні функції):

u x = (m 1 * v 1x + m 2 * v 2x) / (m 1 + m 2), v 1x = v 1 * cos (45 o); v 2x = v 2 * cos (30 o);

u x = (1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,866) / (1 + 0,5) = 1,8088 м / с;

u y = (-m 1 * v 1y + m 2 * v 2y) / (m 1 + m 2), v 1y = v 1 * sin (45 o); v 2y = v 2 * sin (30 o);

u y = (-1 * 2 * 0,7071 + 0,5 * 3 * 0,5) / (1 + 0,5) = -0,4428 м / с.

Це дві компоненти швидкості тіла після удару та "злипання" куль. Оскільки напрямок швидкості збігається з вектором імпульсу p, то відповісти на питання задачі можна, якщо визначити u. Кут його щодо горизонтальної осі дорівнюватиме арктангенсу відношення компонент u y і u x:

α = arctg(-0,4428 / 1,8088) = -13,756 o.

Знак мінус вказує на те, що імпульс (швидкість) після удару буде спрямований вниз від осі x.