Квадратні рівняння. Повне та неповне квадратне рівняння. Визначення та приклади неповних квадратних рівнянь Виразити квадратне рівняння через коріння

У суспільстві вміння робити дії з рівняннями, що містять змінну, зведену в квадрат, може стати у нагоді у багатьох галузях діяльності і широко застосовується практично у наукових і технічних розробках. Свідченням цього може бути конструювання морських і річкових суден, літаків і ракет. За допомогою подібних розрахунків визначають траєкторії переміщення різних тіл, у тому числі і космічних об'єктів. Приклади з розв'язанням квадратних рівнянь знаходять застосування не тільки в економічному прогнозуванні, при проектуванні та будівництві будівель, а й у звичайних життєвих обставинах. Вони можуть знадобитися в туристичних походах, на спортивних змаганнях, в магазинах при здійсненні покупок та інших досить поширених ситуаціях.

Розіб'ємо вираз на складові множники

Ступінь рівняння визначається максимальним значенням ступеня у змінної, яку містить цей вираз. Якщо вона дорівнює 2, то подібне рівняння якраз і називається квадратним.

Якщо говорити мовою формул, то зазначені вирази, хоч би як вони виглядали, завжди можна привести до вигляду, коли ліва частина виразу складається з трьох доданків. Серед них: ax 2 (тобто змінна, зведена квадрат зі своїм коефіцієнтом), bx (невідоме без квадрата зі своїм коефіцієнтом) і c (вільна складова, тобто звичайне число). Все це в правій частині дорівнює 0. У випадку, коли у такого багаточлена відсутня одна з його складових доданків, за винятком ax 2 воно називається неповним квадратним рівнянням. Приклади з вирішенням таких завдань, значення змінних у яких знайти нескладно, слід розглянути насамперед.

Якщо вираз на вигляд виглядає таким чином, що доданків у виразу в правій частині два, точніше ax 2 і bx, найлегше відшукати їх винесенням змінної за дужки. Тепер наше рівняння виглядатиме так: x(ax+b). Далі стає очевидним, що або х=0, або завдання зводиться до знаходження змінної з наступного виразу: ax+b=0. Зазначене продиктовано однією з властивостей множення. Правило говорить, що добуток двох множників дає в результаті 0 тільки якщо один з них дорівнює нулю.

приклад

x = 0 або 8х - 3 = 0

В результаті одержуємо два корені рівняння: 0 та 0,375.

Рівняння такого роду можуть описувати переміщення тіл під дією сили тяжкості, які почали рух з певної точки, прийнятої початку координат. Тут математичний запис набуває такої форми: y = v 0 t + gt 2 /2. Підставивши необхідні значення, прирівнявши праву частину 0 і знайшовши можливі невідомі, можна дізнатися про час, що проходить з моменту підйому тіла до моменту його падіння, а також багато інших величин. Але про це ми поговоримо пізніше.

Розкладання виразу на множники

Описане вище правило дає можливість вирішувати зазначені завдання й у складніших випадках. Розглянемо приклади із розв'язанням квадратних рівнянь такого типу.

X 2 - 33x + 200 = 0

Цей квадратний тричлен є повним. Спочатку перетворимо вираз і розкладемо його на множники. Їх виходить два: (x-8) і (x-25) = 0. У результаті маємо два корені 8 та 25.

Приклади з розв'язанням квадратних рівнянь у 9 класі дозволяють цим методом знаходити змінну у виразах не тільки другого, а й третього та четвертого порядків.

Наприклад: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. При розкладанні правої частини на множники зі змінною їх виходить три, тобто (x+1),(x-3) і (x+3).

В результаті стає очевидним, що дане рівняння має три корені: -3; -1; 3.

Вилучення квадратного кореня

Іншим випадком неповного рівняння другого порядку є вираз, мовою букв представлене таким чином, що права частина будується зі складових ax 2 і c. Тут для отримання значення змінної вільний член переноситься у праву сторону, а потім з обох частин рівності витягується квадратний корінь. Слід звернути увагу, що й у разі коренів рівняння зазвичай буває два. Винятком можуть бути лише рівності, взагалі які містять доданок з, де змінна дорівнює нулю, і навіть варіанти висловів, коли права частина виявляється негативною. У разі рішень взагалі немає, оскільки зазначені вище дії неможливо проводити з корінням. Приклади розв'язків квадратних рівнянь такого типу слід розглянути.

У разі корінням рівняння виявляться числа -4 і 4.

Обчислення пощади земельної ділянки

Потреба в подібних обчисленнях з'явилася в давнину, адже розвиток математики багато в чому в ті далекі часи було обумовлено необхідністю визначати з найбільшою точністю площі і периметри земельних ділянок.

Приклади з розв'язанням квадратних рівнянь, складених на основі таких завдань, слід розглянути і нам.

Отже, допустимо є прямокутна ділянка землі, довжина якої на 16 метрів більша, ніж ширина. Слід знайти довжину, ширину та периметр ділянки, якщо відомо, що його площа дорівнює 612 м 2 .

Приступаючи до справи, спершу складемо необхідне рівняння. Позначимо за x ширину ділянки, тоді його довжина виявиться (х +16). З написаного випливає, що площа визначається виразом х(х+16), що згідно з умовою нашого завдання становить 612. Це означає, що х(х+16) = 612.

Вирішення повних квадратних рівнянь, а даний вираз є саме таким, не може виконуватися колишнім способом. Чому? Хоча ліва частина його, як і раніше, містить два множники, добуток їх зовсім не дорівнює 0, тому тут застосовуються інші методи.

Дискримінант

Насамперед зробимо необхідні перетворення, тоді зовнішній вигляд даного виразу виглядатиме таким чином: x 2 + 16x - 612 = 0. Це означає, що ми отримали вираз у формі, що відповідає зазначеному раніше стандарту, де a=1, b=16, c= -612.

Це може стати прикладом розв'язання квадратних рівнянь через дискримінант. Тут необхідні розрахунки виконуються за схемою: D = b 2 - 4ac. Ця допоміжна величина непросто дає можливість знайти шукані величини рівнянні другого порядку, вона визначає кількість можливих варіантів. Якщо D>0, їх два; при D = 0 існує один корінь. У випадку, якщо D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Про коріння та його формулу

У разі дискримінант дорівнює: 256 - 4(-612) = 2704. Це свідчить, що у нашого завдання існує. Якщо знати, до , Розв'язання квадратних рівнянь потрібно продовжувати із застосуванням нижче наведеної формули. Вона дозволяє обчислити коріння.

Це означає, що у цьому випадку: x 1 =18, x 2 =-34. Другий варіант у цій дилемі не може бути рішенням, тому що розміри земельної ділянки не можуть вимірюватися в негативних величинах, отже х (тобто ширина ділянки) дорівнює 18 м. Звідси обчислюємо довжину: 18+16=34 і периметр 2(34+ 18) = 104 (м 2).

Приклади та завдання

Продовжуємо вивчення квадратних рівнянь. Приклади та детальне рішення кількох з них будуть наведені далі.

1) 15x2+20x+5=12x2+27x+1

Перенесемо все в ліву частину рівності, зробимо перетворення, тобто отримаємо вид рівняння, який прийнято називати стандартним, і прирівняємо його нулю.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Склавши подібні, визначимо дискримінант: D = 49 - 48 = 1. Значить у нашого рівняння буде два корені. Обчислимо їх згідно з наведеною вище формулою, а це означає, що перший з них дорівнюватиме 4/3, а другий 1.

2) Тепер розкриємо загадки іншого.

З'ясуємо, чи взагалі є тут коріння x 2 - 4x + 5 = 1? Для отримання вичерпної відповіді наведемо багаточлен до відповідного звичного вигляду та обчислимо дискримінант. У вказаному прикладі рішення квадратного рівняння виконувати не обов'язково, адже суть завдання полягає зовсім не в цьому. У разі D = 16 - 20 = -4, отже, коріння дійсно немає.

Теорема Вієта

Квадратні рівняння зручно вирішувати через зазначені вище формули і дискримінант, коли значення останнього витягується квадратний корінь. Але це не завжди. Проте способів отримання значень змінних у разі існує безліч. Приклад: розв'язання квадратних рівнянь з теореми Вієта. Вона названа на честь який жив у XVI столітті у Франції та зробив блискучу кар'єру завдяки своєму математичному таланту та зв'язкам при дворі. Портрет його можна побачити у статті.

Закономірність, яку помітив уславлений француз, полягала в наступному. Він довів, що коріння рівняння у сумі чисельно дорівнює -p=b/a, які твір відповідає q=c/a.

Тепер розглянемо конкретні завдання.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Для простоти перетворюємо вираз:

x 2 + 7x - 18 = 0

Скористаємося теоремою Вієта, це дасть нам таке: сума коренів дорівнює -7, а їх твір -18. Звідси отримаємо, що корінням рівняння є числа -9 і 2. Зробивши перевірку, переконаємося, що ці значення змінних справді підходять у вираз.

Графік та рівняння параболи

Поняття квадратичні функції і квадратні рівняння тісно пов'язані. Приклади подібного вже наведено раніше. Тепер розглянемо деякі математичні загадки трохи докладніше. Будь-яке рівняння описуваного типу можна наочно. Така залежність, намальована як графіка, називається параболою. Різні її види представлені малюнку нижче.

Будь-яка парабола має вершину, тобто точку, з якої виходять її гілки. Якщо a>0, вони йдуть високо в нескінченність, а коли a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Наочні зображення функцій допомагають вирішувати будь-які рівняння, зокрема квадратні. Цей метод називається графічним. А значенням змінної х є координата абсцис у точках, де відбувається перетин лінії графіка з 0x. Координати вершини можна дізнатися за щойно наведеною формулою x 0 = -b/2a. І, підставивши отримане значення початкове рівняння функції, можна дізнатися y 0 , тобто другу координату вершини параболи, що належить осі ординат.

Перетин гілок параболи з віссю абсцис

Прикладів із розв'язанням квадратних рівнянь дуже багато, але існують і загальні закономірності. Розглянемо їх. Зрозуміло, що перетин графіка з віссю 0x при a>0 можливе тільки якщо у 0 приймає негативні значення. А для a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Інакше D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

За графіком параболи можна визначити коріння. Правильне також протилежне. Тобто, якщо отримати наочне зображення квадратичної функції нелегко, можна прирівняти праву частину виразу до 0 і вирішити отримане рівняння. А знаючи точки перетину із віссю 0x, легше побудувати графік.

З історії

За допомогою рівнянь, що містять змінну, зведену в квадрат, за старих часів не тільки робили математичні розрахунки і визначали площі геометричних фігур. Подібні обчислення давнім були необхідні для грандіозних відкриттів у галузі фізики та астрономії, а також для складання астрологічних прогнозів.

Як припускають сучасні діячі науки, одними з перших розв'язання квадратних рівнянь зайнялися жителі Вавилону. Сталося це за чотири сторіччя до настання нашої ери. Зрозуміло, їх обчислення докорінно відрізнялися від нині прийнятих і виявлялися набагато примітивнішими. Наприклад, месопотамские математики гадки не мали про існування негативних чисел. Незнайомі їм були інші тонкощі з тих, які знає будь-який школяр сучасності.

Можливо, ще раніше вчених Вавилона розв'язанням квадратних рівнянь зайнявся мудрець із Індії Баудхаяма. Сталося це приблизно за вісім століть до настання ери Христа. Щоправда, рівняння другого порядку, способи вирішення яких він навів, були найпростішими. Крім нього, подібними питаннями цікавилися за старих часів і китайські математики. У Європі квадратні рівняння почали вирішувати лише на початку XIII століття, проте пізніше їх використовували у своїх роботах такі великі вчені, як Ньютон, Декарт і багато інших.

Формули коріння квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних та комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коренів та розкладання на множники.

Див. також: Розв'язання квадратних рівнянь онлайн

Основні формули

Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння(1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна поєднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відоме, то багаточлен другого ступеня можна подати у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що дійсні числа.
Розглянемо дискримінант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю, то квадратне рівняння (1) має два кратні (рівні) дійсні корені:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант негативний, то квадратне рівняння (1) має два комплексно пов'язані корені:
;
.
Тут - уявна одиниця, ;
і - дійсна та уявна частини коренів:
; .
Тоді

.

Графічна інтерпретація

Якщо побудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При , графік перетинає вісь абсцис (вісь) у двох точках ().
При , графік стосується осі абсцис в одній точці ().
При , графік не перетинає вісь абсцис ().

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Висновок формули для коріння квадратного рівняння

Виконуємо перетворення та застосовуємо формули (f.1) та (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для багаточлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
та .
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

Приклад 1

(1.1) .

.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний, то рівняння має два дійсні корені:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y = 2 x 2 + 7 x + 3перетинає вісь абсцис у двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) у двох точках:
та .
Ці точки є корінням вихідного рівняння (1.1).

;
;
.

Приклад 2

Знайти коріння квадратного рівняння:
(2.1) .

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два кратні (рівні) корені:
;
.

Тоді розкладання тричлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y = x 2 - 4 x + 4стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь ) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить у розкладання на множники двічі:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівні корені:
.

;
.

Приклад 3

Знайти коріння квадратного рівняння:
(3.1) .

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний, . Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексне коріння:
;
;
.

Тоді


.

Графік функції не перетинає вісь абсцис. Справжнього коріння немає.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

Справжнього коріння немає. Коріння комплексне:
;
;
.

Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того, що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й коріння знаходиться через дискримінант. Усього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається лише після частого розв'язання таких рівнянь. Тоді всі формули будуть згадуватися самі собою.

Загальний вигляд квадратного рівняння

Тут запропоновано їх явний запис, коли найбільша ступінь записана першою, і далі - за спаданням. Часто бувають ситуації, коли доданки стоять врозріз. Тоді краще переписати рівняння в порядку зменшення ступеня у змінної.

Введемо позначення. Вони представлені у таблиці нижче.

Якщо прийняти ці позначення, то всі квадратні рівняння зводяться до наступного запису.

Причому коефіцієнт а ≠ 0. Нехай цю формулу буде позначено номером один.

Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:

• у рішенні буде два корені;
• відповіддю буде одне число;
• коріння рівняння не буде зовсім.

І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який варіант випаде в конкретному випадку.

Види записів квадратних рівнянь

У завданнях можуть зустрічатися різні записи. Не завжди вони виглядатимуть як загальна формула квадратного рівняння. Іноді в ній не вистачатиме деяких доданків. Те, що було записано вище, — це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати другий або третій доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, лише неповними.

Причому зникнути можуть тільки доданки, у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може бути рівним нулю ні за яких умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється на лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:

Отже, видів лише два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула матиме номер два, а друга – три.

Дискримінант та залежність кількості коренів від його значення

Це число потрібно знати у тому, щоб обчислити коріння рівняння. Воно може бути пораховано завжди, якою б не була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаною нижче, яка матиме номер чотири.

Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповіддю рівняння будуть два різні корені. При негативному числі коріння квадратного рівняння не буде. У разі рівності нулю відповідь буде одна.

Як розв'язується квадратне рівняння повного вигляду?

По суті, розгляд цього питання вже розпочався. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того, як з'ясовано, що є коріння квадратного рівняння, і відомо їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коріння два, потрібно застосувати таку формулу.

Оскільки в ній стоїть знак "±", то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня – це дискримінант. Тому формулу можна переписати інакше.

Формула номер п'ять. З цього ж запису видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва корені набудуть однакових значень.

Якщо розв'язання квадратних рівнянь ще не відпрацьовано, то краще до того, як застосовувати формули дискримінанта та змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на початку буває плутанина.

Як розв'язується квадратне рівняння неповного вигляду?

Тут все набагато простіше. Навіть немає потреби у додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанта та невідомої.

Спершу розглянемо неповне рівняння під номером два. У цій рівності слід винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два корені. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається із самої змінної. Другий вийде під час вирішення лінійного рівняння.

Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності до правої. Потім треба розділити на коефіцієнт, що стоїть перед невідомою. Залишиться лише витягти квадратний корінь і не забути записати його двічі з протилежними знаками.

Далі записані деякі дії, які допомагають навчитися вирішувати всілякі види рівностей, які перетворюються на квадратні рівняння. Вони сприятимуть тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок щодо великої тематики «Квадратні рівняння (8 клас)». Згодом ці дії не потрібно постійно виконувати. Тому що з'явиться стійка навичка.

• Спочатку потрібно записати рівняння у стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок із найбільшим ступенем змінним, а потім - без ступеня і останнім - просто число.

• Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Його краще позбутися. Для цього всі рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак протилежний.

• Так само рекомендується позбавлятися дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.

Приклади

Потрібно вирішити такі квадратні рівняння:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Перше рівняння: х 2 − 7х = 0. Воно неповне, тому вирішується так, як описано для формули під номером два.

Після винесення за дужки виходить: х (х – 7) = 0.

Перший корінь набуває значення: х 1 = 0. Другий буде знайдено з лінійного рівняння: х - 7 = 0. Легко помітити, що х 2 = 7.

Друге рівняння: 5х2 + 30 = 0. Знову неповне. Тільки вирішується так, як описано для третьої формули.

Після перенесення 30 у праву частину рівності: 5х 2 = 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х 2 = 6. Відповідями будуть числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.

Третє рівняння: 15 − 2х − х 2 = 0. Тут і далі розв'язання квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування у стандартний вигляд: − х 2 − 2х + 15 = 0. Тепер настав час скористатися другою корисною порадою та помножити все на мінус одиницю . Виходить х 2 + 2х - 15 = 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Він є позитивним числом. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два корені. Їх треба вирахувати за п'ятою формулою. По ній виходить, що х = (-2±64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тоді х 1 = 3, х 2 = - 5.

Четверте рівняння х 2 + 8 + 3х = 0 перетворюється на таке: х 2 + 3х + 8 = 0. Його дискримінант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю до цього завдання буде наступний запис: «Корнів немає».

П'яте рівняння 12х + х 2 + 36 = 0 слід переписати так: х 2 + 12х + 36 = 0. Після застосування формули для дискримінанта виходить число нуль. Це означає, що він матиме один корінь, саме: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шосте рівняння (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) вимагає провести перетворення, які полягають у тому, що потрібно навести подібні доданки, до того розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вираз: х 2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х 2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння набуде вигляду: х 2 - х = 0. Воно перетворилося на неповне . Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Корінням цього будуть числа 0 та 1.

», тобто рівняння першого ступеня. У цьому уроці ми розберемо, що називають квадратним рівняннямта як його вирішувати.

Що називають квадратним рівнянням

Важливо!

Ступінь рівняння визначають найбільшою мірою, в якій стоїть невідоме.

Якщо максимальний ступінь, у якому стоїть невідоме — «2», то перед вами квадратне рівняння.

Приклади квадратних рівнянь

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Важливо! Загальний вигляд квадратного рівняння виглядає так:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - перший або старший коефіцієнт;
• "b" - другий коефіцієнт;
• "c" - вільний член.

Щоб знайти «a», «b» та «c» потрібно порівняти своє рівняння із загальним виглядом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c = 0».

Давайте потренуємося визначати коефіцієнти «a», «b» та «c» у квадратних рівняннях.

• a = −1
• b = 1
• з =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• з = 0

• a = 1
• b = 0
• з = −8

Як вирішувати квадратні рівняння

На відміну від лінійних рівнянь для розв'язання квадратних рівнянь використовується спеціальна формула для знаходження коріння.

Запам'ятайте!

Щоб розв'язати квадратне рівняння потрібно:

• привести квадратне рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0". Тобто у правій частині має залишитися лише «0»;
• використовувати формулу для коріння:

Давайте на прикладі розберемо, як застосовувати формулу для знаходження коріння квадратного рівняння. Вирішимо квадратне рівняння.

X 2 − 3x − 4 = 0

Рівняння x 2 − 3x − 4 = 0 вже приведено до загального вигляду ax 2 + bx + c = 0 і не вимагає додаткових спрощень. Для його вирішення нам достатньо застосувати формулу знаходження коріння квадратного рівняння.

Визначимо коефіцієнти «a», «b» та «c» для цього рівняння.

З її допомогою вирішується будь-яке квадратне рівняння.

У формулі «x 1;2 = » часто замінюють підкорене вираз
"b 2 - 4ac" на букву "D" і називають дискримінантом. Докладніше поняття дискримінанта у в уроці «Що таке дискримінант ».

Розглянемо інший приклад квадратного рівняння.

x 2 + 9 + x = 7x

У цьому вигляді визначити коефіцієнти «a», «b» і «c» досить складно. Давайте спочатку наведемо рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Тепер можна використати формулу для коріння.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

Трапляються випадки, коли в квадратних рівняннях немає коріння. Така ситуація виникає, як у формулі під коренем виявляється негативне число.

Квадратні рівняння вивчають у 8 класі, тож нічого складного тут немає. Вміння вирішувати їх необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш ніж вивчати конкретні методи розв'язання, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно поділити на три класи:

1. Не мають коріння;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різні корені.

У цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ. дискримінант.

Дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискримінант це просто число D = b 2 − 4ac .

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз не має значення. Важливо інше: за знаком дискримінанта можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. Якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, є рівно один корінь;
3. Якщо D > 0, коріння буде два.

Зверніть увагу: дискримінант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їхні знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2+3x+7=0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння та знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Отже, дискримінант позитивний, тому рівняння має два різні корені. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискримінант негативний, коріння немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю – корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння було виписано коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно — зате ви не переплутаєте коефіцієнти і не припуститеся дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість чи якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви виконуватимете в голові. Більшість людей починають робити десь після 50-70 вирішених рівнянь — загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо власне до рішення. Якщо дискримінант D > 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул — вийде те саме число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2+12x+36=0.

Перше рівняння:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ рівняння має два корені. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ рівняння знову має два корені. Знайдемо їх

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як бачимо з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули та вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок — і дуже скоро позбавтеся помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. Наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Неважко помітити, що у цих рівняннях відсутнє одне із доданків. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: у них навіть не потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 чи c = 0, тобто. коефіцієнт при змінній x чи вільний елемент дорівнює нулю.

Вочевидь, можливий дуже важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. І тут рівняння набуває вигляду ax 2 = 0. Вочевидь, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо решту випадків. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Дещо перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно за (−c /a ) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо у неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (−c /a ) ≥ 0, коріння буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (−c /a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискримінант не був потрібний — у неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (−c /a ) ≥ 0. Достатньо виразити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку знаку рівності. Якщо там позитивне число — коріння буде два. Якщо негативне — коріння взагалі не буде.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, у яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут усе просто: коріння завжди буде два. Достатньо розкласти багаточлен на множники:

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси є коріння. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Розв'язати квадратні рівняння:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Коріння немає, т.к. квадрат не може дорівнювати негативному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.