Як вирішувати нерівності двома змінними. Конспект уроку "вирішення систем нерівностей із двома змінними". з двома змінними

Тема: Рівняння та нерівності. Системи рівнянь та нерівностей

Урок:Рівняння та нерівності з двома змінними

Розглянемо у загальному вигляді рівняння та нерівність із двома змінними.

Рівняння із двома змінними;

Нерівність із двома змінними, знак нерівності може бути будь-яким;

Тут х і у - змінні, р - вираз, від них залежить

Пара чисел () називається приватним розв'язанням такого рівняння або нерівності, якщо при підстановці цієї пари вираз отримуємо правильне рівняння або нерівність відповідно.

Завдання полягає в тому, щоб знайти або зобразити на площині багато рішень. Можна перефразувати це завдання - знайти геометричне місце точок (ГМТ), побудувати графік рівняння чи нерівності.

Приклад 1 - розв'язати рівняння та нерівність:

Інакше висловлюючись, завдання передбачає знайти ГМТ.

Розглянемо рішення рівняння. В даному випадку значення змінної х може бути будь-яким, у зв'язку з цим маємо:

Очевидно, що рішенням рівняння є безліч точок, що утворюють пряму

Мал. 1. Графік рівняння, приклад 1

Рішеннями заданого рівняння є, зокрема, точки (-1; 0), (0; 1), (х 0, х 0 +1)

Рішенням заданої нерівності є напівплощина, розташована над прямою, включаючи саму пряму (див. рисунок 1). Справді, якщо взяти будь-яку точку х 0 на прямій, маємо рівність . Якщо взяти крапку в напівплощині над прямою, маємо . Якщо ми візьмемо крапку в напівплощині під прямою, вона не задовольнить нашому нерівності: .

Тепер розглянемо завдання з колом та колом.

Приклад 2 - розв'язати рівняння та нерівність:

Ми знаємо, що задане рівняння – це рівняння кола з центром на початку координат та радіусом 1.

Мал. 2. Ілюстрація з прикладу 2

У довільній точці х 0 рівняння має два рішення: (х 0; у 0) і (х 0; -у 0).

Рішенням заданої нерівності є безліч точок, розташованих усередині кола, не враховуючи саме коло (див. рисунок 2).

Розглянемо рівняння із модулями.

Приклад 3 - розв'язати рівняння:

У разі можна було б розкривати модулі, але ми розглянемо специфіку рівняння. Неважко помітити, що графік цього рівняння симетричний щодо обох осей. Тоді, якщо точка (х 0 ; у 0) є рішенням, то і точка (х 0 ; -у 0) - також рішення, точки (-х 0 ; у 0) і (-х 0 ; -у 0) також є рішенням .

Таким чином, достатньо знайти рішення там, де обидві змінні невід'ємні, і взяти симетрію щодо осей:

Мал. 3. Ілюстрація з прикладу 3

Отже, як бачимо, рішенням рівняння є квадрат.

Розглянемо так званий метод областей на конкретному прикладі.

Приклад 4 - зобразити безліч розв'язків нерівності:

Згідно з методом областей, насамперед розглядаємо функцію, що стоїть у лівій частині, якщо справа нуль. Це функція від двох змінних:

Аналогічно методу інтервалів, тимчасово відходимо від нерівності та вивчаємо особливості та властивості складеної функції.

ОДЗ: , отже, вісь х виколюється.

Тепер вкажемо, що функція дорівнює нулю, коли чисельник дробу дорівнює нулю, маємо:

Будуємо графік функції.

Мал. 4. Графік функції , враховуючи ОДЗ

Тепер розглянемо області знакості функції, вони утворені прямою і ламаною. всередині ламаної знаходиться область D1. Між відрізком ламаної і прямої - область D 2 , нижче прямої - область D 3 , між відрізком ламаної і прямої - область D 4

У кожній із вибраних областей функція зберігає знак, отже, достатньо в кожній області перевірити довільну пробну точку.

В області візьмемо крапку (0; 1). Маємо:

В області візьмемо крапку (10; 1). Маємо:

Так, вся область негативна і не задовольняє задану нерівність.

В області візьмемо точку (0; -5). Маємо:

Так, вся область позитивна і задовольняє задану нерівність.

1. Нерівності із двома змінними. Способи розв'язання системи двох нерівностей із двома змінними: аналітичний спосіб та графічний спосіб.

2. Системи двох нерівностей із двома змінними: запис результату рішення.

3. Сукупності нерівностей із двома змінними.

НЕРАВЕНСТВА ТА СИСТЕМИ НЕРАВЕНСТВ З ДВОМА ЗМІННИМИ. Предикат виду f₁(х, у)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - вирази зі змінними х і у, визначені на множині ХхУ називається нерівністю з двома змінними (з двома невідомими)х та у.Зрозуміло, що будь-яку нерівність виду із двома змінними можна записати у вигляді f(х, у) > 0, ХХХ, УВ У. Розв'язанням нерівностіз двома змінними називається пара значень змінних, що обертає нерівність у правильну числову нерівність.Відомо, що пара дійсних чисел (х, у)однозначно визначає точку координатної площини. Це дає можливість зобразити розв'язання нерівності або системи нерівностей із двома змінними геометрично, у вигляді деякої множини точок координатної площини. Якщо рівняння.

f(х, у)= 0 визначає деяку лінію на координатній площині, то безліч точок площини, що не лежать на цій лінії, складається з кінцевого числа областей С₁, З 2 ,..., З п(Рис. 17.8). У кожній із областей С, функція f(х, у)відмінна від нуля, т.к. точки, в яких f(х, у)= 0 належать межам цих областей.

Рішення.Перетворимо нерівність до виду х > у 2 + 2у - 3. Побудуємо на координатній площині параболу х= у 2 + 2у - 3. Вона розіб'є площину на дві області G₁ та G 2 (Рис. 17.9). Так як абсцис будь-якої точки, що лежить правіше параболи х= у 2 + 2у- 3, більше, ніж абсцис точки, що має ту ж ординату, але лежить на параболі, і т.к. нерівність х>у г + 2у -3Нестрого, то геометричним зображенням рішень даної нерівності буде безліч точок площини, що лежать на параболі х= у 2+ 2у - 3 і правіше за неї (рис. 17.9).

Мал. 17.10

Приклад 17.15. Зобразіть на координатній площині безліч розв'язків системи нерівностей

у > 0,

ху > 5,

х + у<6.

Рішення.Геометричним зображенням розв'язання системи нерівностей х > 0, у > 0 є множина точок першого координатного кута. Геометричним зображенням розв'язків нерівності х + у< 6 або у< 6 - хє безліч точок, що лежать нижче прямої і на прямій, що служить графіком функції у = 6 - х.Геометричним зображенням розв'язків нерівності ху > 5або, оскільки х> 0 нерівності у > 5/хє безліч точок, що лежать вище гілки гіперболи, що є графіком функції у = 5/х.У результаті отримуємо безліч точок координатної площини, що лежать у першому координатному кутку нижче прямої, що служить графіком функції у = 6 - х, і вище гілки гіперболи, що служить графіком функції у = 5х(Рис. 17.10).

Розділ III. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І НОЛЬ

, а тим більше системи нерівностей із двома змінними, представляєтьсядосить складним завданням. Однак є простий алгоритм, який допомагає легко і без особливих зусиль вирішувати, на перший погляд, дуже складні завдання такого роду. Спробуємо розібратися в ньому.

Нехай ми маємо нерівність із двома змінними одного з наступних видів:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Для зображення множини рішень такої нерівності на координатній площині надходять таким чином:

1. Будуємо графік функції y = f(x), який розбиває площину дві області.
2. Вибираємо будь-яку з отриманих областей та розглядаємо в ній довільну точку. Перевіряємо здійсненність вихідної нерівності для цієї точки. Якщо в результаті перевірки виходить правильна числова нерівність, то укладаємо, що вихідна нерівність виконується у всій області, якій належить обрана точка. Отже, безліччю розв'язків нерівності – область, якій належить обрана точка. Якщо в результаті перевірки виходить неправильна числова нерівність, то безліч рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.
3. Якщо нерівність суворе, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), не включають безліч рішень і кордон зображують пунктиром. Якщо нерівність несувора, то межі області, тобто точки графіка функції y = f(x), включають безліч рішень даної нерівності і кордон в такому випадку зображують суцільною лінією. А тепер розглянемо кілька завдань на цю тему.

Завдання 1.

Яка множина точок задається нерівністю x · y ≤ 4?

Рішення.

1) Будуємо графік рівняння x · y = 4. Для цього спочатку перетворимо його. Очевидно, що x у даному випадку не звертається до 0, тому що інакше ми б мали 0 · y = 4, що неправильно. Отже, можемо поділити наше рівняння на x. Отримаємо: y = 4/x. Графіком цієї функції є гіпербола. Вона розбиває всю площину на дві області: ту, що між двома гілками гіперболи та ту, що зовні їх.

2) Виберемо з першої області довільну точку, хай це буде точка (4; 2). Перевіряємо нерівність: 4 · 2 ≤ 4 – неправильно.

Отже, точки даної області не задовольняють вихідну нерівність. Тоді можемо дійти невтішного висновку у тому, що безліччю рішень нерівності буде друга область, якій обрана точка не належить.

3) Так як нерівність несувора, то граничні точки, тобто точки графіка функції y = 4/x, малюємо суцільною лінією.

Зафарбуємо безліч точок, що задає вихідну нерівність жовтим кольором (рис. 1).

Завдання 2.

Зобразити область, задану на координатній площині системою

Рішення.

Будуємо для початку графіки наступних функцій (рис. 2):

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – пряма

x 2 + y 2 = 9 – коло.

Тепер розбираємося з кожною нерівністю окремо.

1) y> x 2 + 2.

Беремо точку (0; 5), яка лежить вище за графік функції. Перевіряємо нерівність: 5 > 0 2 + 2 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать вище даної параболи y = x 2 + 2, задовольняють першу нерівність системи. Зафарбувати їх жовтим кольором.

2) y + x > 1.

Беремо точку (0; 3), яка лежить вище за графік функції. Перевіряємо нерівність: 3 + 0 > 1 – правильно.

Отже, всі точки, що лежать вище за пряму y + x = 1, задовольняють другу нерівність системи. Зафарбуємо їх зеленою штрихуванням.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Беремо точку (0; -4), яка лежить поза колом x 2 + y 2 = 9. Перевіряємо нерівність: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неправильно.

Отже, всі точки, що лежать поза колом x 2 + y 2 = 9, не задовольняють третю нерівність системи. Тоді можемо зробити висновок про те, що всі точки, що лежать усередині кола x 2 + y 2 = 9, задовольняють третій нерівності системи. Зафарбуємо їх фіолетовим штрихуванням.

Не забуваємо у тому, що й нерівність суворе, то відповідну граничну лінію слід малювати пунктиром. Отримуємо наступну картинку (рис. 3).

Шукана область - це область, де всі три розфарбовані області перетинаються один з одним (рис. 4).

Запитання до конспектів

Напишіть нерівність, розв'язком якої є коло та точки всередині кола:

Знайдіть точки, які є розв'язком нерівності:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

Нехай f(x, y)і g(x, y)- два вирази зі змінними хі ута областю визначення Х. Тоді нерівності виду f(x, y) > g(x, y)або f(x, y) < g(x, y)називається нерівністю з двома змінними .

Значення змінних х, уз множини Х, при яких нерівність перетворюється на справжню числову нерівність, називається її рішенням і позначається (x, y). Розв'язати нерівність - Це означає знайти безліч таких пар.

Якщо кожній парі чисел (x, y)з безлічі рішень нерівності поставити у відповідність точку М(x, y), Отримаємо безліч точок на площині, що задається цією нерівністю. Його називають графіком даної нерівності . p align="justify"> Графік нерівності зазвичай є областю на площині.

Щоб зобразити безліч розв'язків нерівності f(x, y) > g(x, y), надходять у такий спосіб. Спочатку замінюють знак нерівності знаком рівності та знаходять лінію, що має рівняння f(x, y) = g(x, y). Ця лінія ділить площину кілька частин. Після цього достатньо взяти в кожній частині по одній точці та перевірити, чи виконується в цій точці нерівність f(x, y) > g(x, y). Якщо воно виконується в цій точці, воно буде виконуватися і в усій частині, де лежить ця точка. Поєднуючи такі частини, отримуємо безліч рішень.

Завдання. y > x.

Рішення.Спочатку замінимо знак нерівності знаком рівності та побудуємо у прямокутній системі координат лінію, що має рівняння y = x.

Ця лінія ділить площину дві частини. Після цього візьмемо в кожній частині по одній точці та перевіримо, чи виконується в цій точці нерівність y > x.

Завдання.Вирішити графічно нерівність
х 2 + у 2 £ 25.

Нехай дані дві нерівності f 1(x, y) > g 1(x, y)і f 2(x, y) > g 2(x, y).

Системи сукупностей нерівностей із двома змінними

Система нерівностей представляє собою кон'юнкцію цих нерівностей. Рішенням системи є всяке значення (x, y), яке звертає кожну з нерівностей у справжню числову нерівність. Безліч рішень системи нерівностей є перетин множини рішень нерівностей, що утворюють цю систему.

Сукупність нерівностей представляє собою диз'юнкцію цих нерівностей. Рішенням сукупності є всяке значення (x, y), Яке звертає в справжню числову нерівність хоча б одне з нерівностей сукупності. Безліч рішень сукупності є об'єднання множини рішень нерівностей, що утворюють сукупність.

Завдання.Вирішити графічно систему нерівностей

Рішення. у = хі х 2 + у 2 = 25. Вирішуємо кожну нерівність системи.

Графіком системи буде безліч точок площини, що є перетином (подвійне штрихування) множин рішень першої та другої нерівностей.

Завдання.Вирішити графічно сукупність нерівностей

Вправи для самостійної роботи

1. Розв'яжіть графічно нерівності: а) у> 2x; б) у< 2x + 3;

в) x 2+ y 2> 9; г) x 2+ y 2 £ 4.

2. Розв'яжіть графічно системи нерівностей:

а) в)

Відеоурок «Системи нерівностей із двома змінними» містить наочний навчальний матеріал з цієї теми. До уроку включено розгляд поняття про розв'язання системи нерівностей із двома змінними, прикладів розв'язання подібних систем графічним способом. Завдання даного відеоуроку - формувати вміння учнів вирішувати системи нерівностей із двома змінними графічним способом, полегшити розуміння процесу пошуку рішень таких систем та запам'ятовування методу розв'язання.

Кожен опис рішення супроводжується малюнками, що відображають розв'язання задачі на координатній площині. На таких малюнках наочно показано особливості побудови графіків та розташування точок, що відповідають рішенню. Усі важливі деталі та поняття виділені за допомогою кольору. Таким чином, відеоурок є зручним інструментом для вирішення завдань вчителя на уроці, що звільняє вчителя від подання стандартного блоку матеріалу для проведення індивідуальної роботи з учнями.

Відеоурок починається з подання теми та розгляду прикладу пошуку рішень системи, що складається з нерівностей x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Розуміння зроблених висновків рішення системи нерівностей закріплюється розглядом прикладів. Першим розглядається розв'язання системи нерівностей х 2 +у 2<=9 и x+y>=2. Очевидно, що розв'язання першої нерівності на координатній площині включають коло х 2 +у 2 =9 і область усередині неї. Ця область на малюнку заповнюється горизонтальним штрихуванням. Безліч розв'язків нерівності x+y>=2 включає пряму x+y=2 і напівплощину, розташовану вище. Ця область також позначається на площині штрихами іншого напрямку. Тепер можна визначити перетин двох множин рішень на малюнку. Воно укладено в сегменті кола х 2 + у 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Далі розбирається розв'язання системи лінійних нерівностей y>=x-3 та y>=-2x+4. На малюнку поруч із умовою завдання будується координатна площина. На ній будується пряма, що відповідає рішенням рівняння y = x-3. Областю розв'язання нерівності y>=x-3 буде область, розташована над даною прямою. Вона заштриховується. Безліч рішень другої нерівності розташовується над прямою y=-2x+4. Ця пряма також будується на тій самій координатній площині і область рішень штрихується. Перетином двох множин є кут, побудований двома прямими, разом із його внутрішньою областю. Область розв'язків системи нерівностей заповнена подвійним штрихуванням.

При розгляді третього прикладу описано випадок, коли графіками рівнянь, що відповідають нерівності системи, є паралельні прямі. Вирішити необхідно систему нерівностей y<=3x+1 и y>=3x-2. На координатній площині будується пряма, що відповідає рівнянню y=3x+1. Область значень, що відповідають рішенням нерівності y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

Відеоурок «Системи нерівностей із двома змінними» може застосовуватися як наочний посібник на уроці в школі або замінити пояснення вчителя при самостійному вивченні матеріалу. Детальне зрозуміле пояснення розв'язання систем нерівностей на координатній площині допоможе подати матеріал при дистанційному навчанні.