Karmaşık terimleri olan seriler. Karmaşık alandaki seriler Karmaşık sayıları içeren sayı serileri

463. Eşitsizliklerin geometrik anlamı nedir: 1) Re z > 0; 2) ben z< 0 ?

2. Karmaşık terimler içeren seriler. Karmaşık sayılar dizisini düşünün z 1 , z 2 , z 3 , ..., nerede z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Sabit sayı c = a + bi isminde sınır diziler z 1 , z 2 , z 3 , ..., keyfi olarak küçük bir sayı için ise δ>0 böyle bir sayı var N, anlamı nedir zp sayılarla n > N eşitsizliği gidermek \zp-İle\< δ . Bu durumda yazıyorlar .

Karmaşık sayılar dizisinin bir limitinin varlığı için gerekli ve yeterli koşul aşağıdaki gibidir: sayı c=a+bi karmaşık sayılar dizisinin limitidir x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … ancak ve ancak , .

(1)

Üyeleri karmaşık sayılar olanlara denir yakınsak, Eğer n'inci S n serisinin kısmi toplamı p → ∞ belirli bir nihai sınıra doğru yönelir. Aksi takdirde seri (1) çağrılır farklı.

Seri (1) ancak ve ancak gerçek terimli serilerin yakınsaması durumunda yakınsar

(2) Serilerin yakınsaklığını inceleyiniz: Terimleri sonsuz azalan geometrik ilerleme oluşturan bu seri yakınsaktır; bu nedenle, karmaşık terimlere sahip belirli bir seri mutlak olarak yakınsar. ^

474. Serinin yakınsaklık alanını bulun

Deşifre metni

1 Federal Eğitim Ajansı Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi KARMAŞIK ÜYELERLE SIRASLAR Bağımsız çalışma yönergeleri Derleyen: LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

Karmaşık öğelerden oluşan 2 satır: metodolojik talimatlar / Derleyen: LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomsk: Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat Üniversitesi Yayınevi, Hakem Profesör NN Belov Editör EY Glotova ile birlikte Metodik talimatlar, tüm 1. sınıf öğrencilerinin kendi kendine çalışmaları için tasarlanmıştır. uzmanlık konuları JNF disiplini “Matematik”in “Karmaşık üyeli seriler” Yüksek matematik bölümünün metodolojik seminerinin kararına göre yayınlandı, 4 Mart protokolü Akademik işlerden sorumlu rektör yardımcısı VV Dzyubo tarafından onaylandı ve yürürlüğe girdi 5'ten 55'e kadar Orijinal düzen yazar tarafından hazırlanmıştır Basım için imzalanmıştır Format 6 84/6 Ofset kağıt Yazı Tipi Times Eğitim yayını l, 6 Tiraj 4 Sipariş Yayınevi TGASU, 64, Tomsk, Solyanaya meydanı, Orijinal düzenden basılmıştır. OOP TGASU 64, Tomsk, Partizanskaya st., 5

3 KARMAŞIK TERİMLİ SERİLER KONU Karmaşık terimli sayı serileri Karmaşık sayıların z = x y formundaki sayılar olduğunu hatırlayın; burada x ve y gerçel sayılardır ve sanal birim = - x ve y sayılarına denklem denir z sayısının gerçel ve sanal kısımları sırasıyla x = Rez, y = Imz'yi belirtir. Açıkçası, Kartezyen ortogonal koordinat sistemine sahip XOU düzleminin M(x, y) noktaları ve z = x y formundaki karmaşık sayılar arasında, bire bir yazışma vardır XOU düzlemine karmaşık düzlem denir ve z'ye bu düzlemin bir noktası denir Gerçek sayılar, gerçek eksen adı verilen apsis eksenine karşılık gelir ve z = y formundaki sayılar karşılık gelir sanal eksen adı verilen ordinat eksenine M(x,y) noktasının kutupsal koordinatları r ve j ile gösterilirse x = r cosj, y = r s j ve z sayısı yazılacaktır. form: z = r (cosj sj), burada r = x y Karmaşık bir sayının bu şekilde yazılmasına trigonometrik denir, z'nin z = x y biçiminde yazılmasına cebirsel bir yazma biçimi denir r sayısına sayının modülü denir z, j sayısı argümandır (z noktasında = argüman kavramı genişletilmez) z sayısının modülü z = x y formülüyle benzersiz bir şekilde belirlenir j argümanı yalnızca ek koşul altında benzersiz bir şekilde belirlenir - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 sayı z (şekil) Bunun anlamı unutulmamalıdır ki y arq z - π ile ifade edilir.< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, eğer x >, y ise< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, eğer x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (fig) М y r = j = p x Fig Trigonometrik formda z = - sayısı şu şekilde yazılacaktır: - = сos π s π и Karmaşık sayılar üzerindeki işlemleri kendiniz tekrarlamanız tavsiye edilir. z sayısını bir kuvvete yükseltme formülünü hatırlayın: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Teorinin anahtar soruları Kısa cevaplar Karmaşık terimli bir serinin tanımı Bir serinin yakınsaklığı kavramı Yakınsaklık için gerekli koşul Tanım Karmaşık sayılara ait z ) = ( x y ) = z, z, z dizisi verilsin A formun sembolü ( å = z bir seri olarak adlandırılır, z serinin genel bir terimidir. S serisinin kısmi toplamları, yakınsaklığı ve ıraksaması kavramları, gerçek terimlerle seriler için benzer kavramlara tam olarak karşılık gelir. Kısmi dizi Bir serinin toplamları şu şekildedir: S = z; S = z z; S = z z z; Eğer $lm S ve bu limit sonluysa ve S sayısına eşitse, seriye yakınsak, S sayısına da toplam denir. serinin aksi takdirde seriye ıraksak denir.Kullandığımız karmaşık sayılar dizisinin limitinin tanımının, biçimsel olarak bir gerçek sayılar dizisinin limitinin tanımından farklı olmadığını hatırlayın: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 genel terimi z at serisinde Bu, eğer bu koşul ihlal edilirse, yani lm z ¹ ise seri ıraksar, ancak lm z = ise serinin yakınsaklığı sorusu açık kalır anlamına gelir. å (x = yakınsaklık için x ve å = serisinin yakınsaklığı için å = gerçek terimlerle? y'yi araştırarak å (x = yakınsaklık için) serisini incelemek mümkündür? y ve eğer å x = S = burada å S = (x y) = å = x u , ve y = S, sonra S = S S, yakınsar - Örnek å = è () xia serisinin olduğundan emin olun ve toplamının 7 olduğunu bulun.

8 Çözüm å serisi yakınsar, t k ~ = () () olduğunda Bu serinin S toplamı (Bölüm, konu, n)'ye eşit olduğunda å serisi sonsuz azalan geometrik = ilerleme olarak yakınsar, å = () и S ile b = - q = yakınsar ve toplamı Böylece, S = Örnek Seri å ıraksar, t k ıraksar = è! harmonik seriler å Bu durumda, yakınsaklık için å = serisini inceleyin! mantıklı değil Örnek å π tg serisi ıraksaktır, çünkü = è için å π tg serisi yakınsaklık için gerekli koşul ihlal edilmiştir = π lm tg = p ¹ и 8

9 Karmaşık terimli yakınsak seriler hangi özelliklere sahiptir? Özellikleri gerçel terimli yakınsak serilerle aynıdır.Özelliklerin tekrarlanması önerilir.4 Karmaşık terimli bir seri için mutlak yakınsaklık kavramı var mıdır? Teorem (bir serinin yakınsaklığı için yeterli koşul) Eğer å = z serisi yakınsarsa, o zaman å = z serisi de yakınsar. å = z serisinin mutlak yakınsaklığı kavramı biçimsel olarak gerçek serilerle tamamen aynı görünür. Tanım å = z serisine mutlak yakınsak denir, eğer seri å = z'ye yakınsaksa Örnek Serinin mutlak yakınsaklığını kanıtlayın () () () 4 8 Çözüm Sayıyı yazmanın trigonometrik formunu kullanalım: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 Sonra π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и Geriye å serisini incelemek kalıyor yakınsama için z = = Bu, paydası olan, sonsuz derecede azalan bir geometrik ilerlemedir; böyle bir ilerleme yakınsar ve dolayısıyla seri mutlak yakınsar.Mutlak yakınsaklığı kanıtlarken sıklıkla teorem kullanılır Teorem å = y (x) serisinin mutlak yakınsaması için, her iki å serisinin de = olması gerekli ve yeterlidir. kesinlikle Örnek Seriler å = (-) è cosπ ! x ve å = y mutlak yakınsaktır, t k mutlak olarak å (-) yakınsaktır ve å cosπ serisinin mutlak yakınsaklığı = kolayca kanıtlanır: =!

11 çünküπ ve satır å!! =! d'Alembert kriterine göre yakınsar Karşılaştırma kriterine göre seri å cosπ yakınsar Þ serisi å =! mutlak olarak yakınsar çünkü cosπ =! Sorunları çözme Seri 4'ü yakınsaklık açısından inceleyin: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - çünkü и α tan π ; 4 å = и и ;! Çözüm å = è l l Seri ıraksar, çünkü å serisi ıraksar, ki bu karşılaştırma testiyle kolayca belirlenir: > ve harmonik = l l serisi å, bilindiği gibi ıraksar.Bu durumda = ile å serisinin olduğuna dikkat edin. integral Cauchy testine dayalı olarak = l yakınsar å (-) = è! ben

12 Seri yakınsar, yani å =! d'Alembert limit testi temelinde yakınsar ve å (-) serisi şu teoreme göre yakınsar: = l Leibniz å α π - π cos tg = и и Açıkçası, serinin davranışı α üssüne bağlı olacaktır. seriyi β - cosβ = s formülünü kullanarak yazıyoruz: å α π π s tg = и At α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = α å и и 4 = Serisi α > koşuluyla yakınsar, yani α > için ıraksar ve α için veya for için yakınsar, çünkü π π tg ~ α Serisi å = α α π tg α

13 Böylece orijinal seri α 4 å = и и'de yakınsak ve ıraksayacaktır. α > å serisi, = è Cauchy limit testi kullanılarak yakınsaklık açısından incelenir: lm = lm = > Þ è seri ıraksar Þ e è Þ ıraksar ve orijinal seri 5 serisi Seri 5 6 mutlak yakınsaklık açısından incelenir π cos ; 6 ve (8) (-)! =! å = Çözüm 5 å = π cos()! å = - π cos mutlak olarak yakınsar, yani (-)! karşılaştırma kriterine göre yakınsar: π cos ve å (-)! serisi (-)! = (-)! d'Alembert testine göre yakınsar

14 4 6 å =!) 8 (Satıra!) 8 (å = d'Alembert'in işaretini uygulayın:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 7. seriyi mutlak yakınsaklık açısından inceleyin 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Cevaplar: 7, 8 kesinlikle yakınsar , 9 ıraksar, kesinlikle yakınsamaz

16 KONU Karmaşık terimli kuvvet serileri “Fonksiyonel seriler” bölümünü incelerken, terimleri gerçek bir değişkenin belirli bir fonksiyon dizisinin üyeleri olan seriler ayrıntılı olarak ele alındı.En ilgi çekici olanlar (özellikle uygulamalar açısından) serilerdi. güç serileri, yani å = a (x-x) formundaki seriler Her güç serisinin bir yakınsama aralığına (x - R, x R) sahip olduğu kanıtlandı (Abel teoremi), bu aralıkta serinin toplamı S (x) sürekli olması ve yakınsama aralığındaki kuvvet serilerinin terim terim farklılaştırılabilmesi ve terim terim entegre edilebilmesi kuvvet serilerinin dikkat çekici özellikleri, onların sayısız uygulamaları için en geniş olanakları açmıştır. Bu başlıkta kuvvet serilerini ele alacağız. gerçekle değil, karmaşık terimlerle 6 Teorinin anahtar soruları Kısa cevaplar Kuvvet serisinin tanımı Bir kuvvet serisi, a = a (z - z), () biçiminde fonksiyonel bir seridir; burada a ve z'ye karmaşık sayılar verilir, ve z karmaşık bir değişkendir.z = olduğu özel durumda, güç serisi å = a z () biçimindedir.

17 Açıkçası, () serisi, yeni bir W = z - z değişkeni getirilerek () serisine indirgenir, bu nedenle esas olarak () formundaki serilerle ilgileneceğiz. Abel Teoremi Eğer kuvvet serisi () z = z'de yakınsarsa ¹, o zaman yakınsar ve dahası, z'nin olduğu herhangi bir z için kesinlikle< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Abel teoreminin bir sonucu vardır; bu, eğer å = a z dizisi * z = z için ıraksarsa, bu durumda * z > z olan herhangi bir z için de ıraksayacaktır. () ve ( kuvvet serileri için bir yarıçap kavramı var mıdır? ) yakınsama? Evet, bir R Yakınsama Yarıçapı vardır; bu sayı tüm z'ler için şu özelliğe sahiptir: z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, seri () ıraksaktır 4 () serisinin yakınsaklık bölgesi nedir? R, () serisinin yakınsama yarıçapı ise, o zaman z'nin olduğu z noktaları kümesi< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Reel terimli kuvvet serileri için yer alan R = lm ve R = lm a a formüllerini kullanarak a yakınsaklık yarıçapını bulmak mümkün müdür? Bu sınırlar mevcutsa mümkündür. R = olduğu ortaya çıkarsa, bu () serisinin yalnızca z = veya () serisi için z = z noktasında yakınsadığı anlamına gelecektir. R = olduğunda seri tümünde yakınsar karmaşık düzlem Örnek å z = a serisinin yakınsaklık yarıçapını bulun Çözüm R = lm = lm = a Böylece, seri yarıçaplı bir daire içinde yakınsar Örnek ilginç çünkü x y dairesinin sınırında< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 å = a x kuvvet serisinin yakınsaklık aralığı içerisinde sadece mutlak olarak değil aynı zamanda düzgün yakınsak olduğunu hatırlayın Benzer bir ifade å = a z serisi için de geçerlidir: eğer bir kuvvet serisi yakınsaksa ve yakınsaklık yarıçapı R'ye eşitse, o zaman bu seri herhangi bir kapalı çemberde z r şu şartla ki r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 yarıçaplı bir çemberde R > serinin yakınsaklığı varsa, bu seri f (z) fonksiyonunun Taylor serisidir, yani f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Serinin katsayıları å = () f (z) a =! f () a (z - z) formülle hesaplanır f (z) türevinin tanımının, gerçek bir değişkenin f (x) fonksiyonuyla tamamen aynı şekilde resmi olarak verildiğini hatırlayın, yani. f (z) ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz F (z) fonksiyonunun türevini alma kuralları, gerçek bir değişkenin fonksiyonunun türevini alma kurallarıyla aynıdır 7 Hangi durumda f fonksiyonu (z) z noktasında analitik mi denir? z noktasında analitik olan bir fonksiyon kavramı, x noktasında gerçek analitik olan f(x) fonksiyonu kavramıyla analoji yapılarak verilmektedir. Tanım Bir f(z) fonksiyonuna, eğer varsa, z noktasında analitik denir. R > öyle ki z z çemberinde< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Bir f(z) fonksiyonunun analitik olarak z noktasında kuvvet serisi şeklinde temsilinin benzersiz olduğunu ve bu serinin onun Taylor serisi olduğunu, yani serinin katsayılarının şu şekilde hesaplandığını bir kez daha vurguluyoruz: formül () f (z) a =! 8 Karmaşık değişkenin temel temel fonksiyonları Gerçel değişkenli fonksiyonların kuvvet serisi teorisinde, e x fonksiyonunun seri açılımı elde edildi: = å x x e, xî(-,) =! 5. nokta örneğini çözerken, å z serisinin tüm karmaşık düzlemde yakınsak olduğuna ikna olduk z = x için özel durumda, toplamı e x'e eşittir Bu gerçek şu gerçeğin temelini oluşturur - =! şu fikir: z'nin karmaşık değerleri için, е z fonksiyonu tanım gereği å z serisinin toplamı olarak kabul edilir. Böylece, =! z e () def å z = =! ch z ve sh z x - x fonksiyonlarının tanımı ch = = = å k e e x x olduğundan, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 ve e z fonksiyonu artık tüm z karmaşıkları için tanımlandığında, tüm karmaşık düzlemde ch z = almak doğaldır, def z - ze e def z - z e - e sh z = Böylece: z -z k e - e z sh z = = hiperbolik sinüs; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hiperbolik kosinüs; k = (k)! shz th z = hiperbolik tanjant; chz chz cth z = hiperbolik kotanjant shz s z ve cos z fonksiyonlarının tanımı Daha önce elde edilen açılımları kullanalım: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! seriler tüm sayı doğrusu üzerinde yakınsar Bu serilerdeki x'i z ile değiştirirken, karmaşık terimlere sahip kuvvet serileri elde ederiz ve bu seriler, gösterilmesi kolay olduğu gibi, tüm karmaşık düzlemde yakınsar.Bu, herhangi bir karmaşık z için fonksiyonları belirlememizi sağlar. s z ve cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z çünkü z = (5) k = (k)!

24 9 Karmaşık düzlemde üstel fonksiyon ve trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişki å z z e = =! z'ye z ve sonra z'ye göre şunu elde ederiz: =å z z e, å -z (-) ze = =! =! e ()) e k k = (-) olduğundan, şunu elde ederiz: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) Böylece: z -z z -z e e e - e сos z = ; s z = (6) Elde edilen formüllerden dikkat çekici başka bir formül gelir: z сos z s z = e (7) Formüllere (6) ve (7) Euler formülleri denir. Not: bu formüller gerçel z için de geçerlidir.j'nin bir gerçel sayı olduğu z = j özel durumunda, formül (7) şu şekli alacaktır: j çünkü j sj = e (8) O halde karmaşık sayı z = r (cos j s j) şu şekilde yazılacaktır: j z = re (9) Formül (9)'a z 4 karmaşık sayısının üstel yazılması denir.

25 Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonları bağlayan formüller Aşağıdaki formüller kolaylıkla kanıtlanabilir: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z Birinci ve dördüncü formülleri kanıtlayalım (ikincisini kanıtlamanız önerilir) ve üçüncüsü kendiniz) ( 6) Euler formüllerini kullanalım: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z sh z = s z ve ch z = cos z formüllerini kullanarak, s z ve cos z fonksiyonlarının şaşırtıcı bir özelliğini ilk bakışta kanıtlamak kolaydır. ve y = cos x, s z ve cos z fonksiyonları mutlak değerle sınırlı değildir.Aslında, belirtilen formüllerde özellikle z = y ise, o zaman s y = sh y, cos y = ch y Bu, şu anlama gelir: hayali eksen s z ve cos z mutlak değerle sınırlı değildir. İlginçtir ki s z ve cos z için tüm formüller, trigonometrik fonksiyonlar s x ve cos x formüllerine benzer şekilde geçerlidir. Verilen formüller çalışırken oldukça sık kullanılır. Yakınsaklık için seriler Örnek å serisinin mutlak yakınsaklığını kanıtlayın s = Çözüm Yakınsaklık için å serisini inceliyoruz s = Belirtildiği gibi sanal eksende sınırlanan s z fonksiyonu 5 değildir

26 ise karşılaştırma kriterini kullanamayız. s = sh formülünü kullanacağız. O halde å = å s sh = = D'Alembert kriterini kullanarak å sh = serisini inceliyoruz: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () lm = olduğundan, modüllerden 8 - = 8 = koşulu altında yakınsar. Böylece z serisi< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >z = - dairesinin noktaları birleşecek ve bu dairenin dışında, yani seri uzaklaşacak.Kartezyen koordinat sisteminde denklemi x (y) şeklinde olan z = serinin davranışını inceliyoruz. = z = 9'da, mutlak değer serisi şu şekilde olacaktır: å 8 - = å = = bu seri kapalı bir daire içindedir Ortaya çıkan seri yakınsar, bu z'nin mutlak yakınsak olduğu anlamına gelir å z z e fonksiyonunun ispatı = π periyoduyla periyodiktir (e z fonksiyonunun bu özelliği onu =!'yi e x fonksiyonundan önemli ölçüde ayırır) Kanıt Periyodik fonksiyonun tanımını ve formül (6)'yı kullanıyoruz. z z e π = e olduğundan emin olmamız gerekiyor, burada z = x y Bunun böyle olduğunu gösterelim: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Yani, e z a'dır periyodik fonksiyon!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 e ve π sayılarını birbirine bağlayan bir formül bulun Çözüm j karmaşık sayısını üstel yazma biçimini kullanalım: z = re z = - için r =, j = π ve dolayısıyla π e = - () Şaşırtıcı formül ve bu, π, e sayılarının her birinin matematikteki görünümünün diğer ikisinin görünümüyle hiçbir ilgisi olmamasına rağmen! Formül () de ilginçtir çünkü e z üstel fonksiyonunun, e x fonksiyonundan farklı olarak e x 5 negatif değerler alabileceği ortaya çıkmıştır. å cos x = serisinin toplamını bulun! Çözüm x x сos x s x e (e) å = å = å!! serisini dönüştürelim. x (e) çünkü x = = s x e e = = =! çünkü x s x çünkü x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Çözerken = cos x s x formülünü iki kez kullandık ve (e x) fonksiyonunun seri açılımını kullandık 6 Seri açılımını kullanarak f (x) = e x cos x fonksiyonunu bir kuvvet serisine genişletin x() x x x x e = e e = e çünkü x e s x Çözüm x() x() x e = å = å!! = = π çünkü s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () çünkü s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e çünkü x = Ree Þ e çünkü x = () çünkü =! 4 Ortaya çıkan seri tüm sayı ekseninde x π (x) () cos ve å (x)! serisine yakınsar. 4! =! X< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Serinin R yarıçapını ve yakınsaklık çemberini bulun. 4 Yakınsaklık çemberinin sınır noktalarında (çember üzerinde yer alan noktalarda) serinin davranışını inceleyin å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Cevaplar:) R =, seri z noktasında yakınsar = - ;) R =, seri, merkezi z = - noktasında olan kapalı bir z çemberinde mutlak olarak yakınsar veya x (y) ;) R ='ye tabidir, seri z kapalı çemberinde mutlak olarak yakınsar veya x y'ye tabidir; 4) R =, seri z kapalı çemberinde veya x y 9 koşulu altında mutlak yakınsaktır 7 e fonksiyonunun seri açılımını kullanarak f (x) = e x s x, () x fonksiyonunu bir kuvvet serisine genişletin 8 Şundan emin olun: herhangi bir karmaşık z için şu formüller yer alacaktır: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (Euler formüllerini kullanın)

31 ÖNERİLEN KİTAPLAR LİSTESİ Temel literatür Piskunov, NS Üniversiteler için diferansiyel ve integral hesabı / NS Piskunov TM: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Matematiksel analizin temelleri / GM Fichtengolts T - St. Petersburg: Lan, 9 48 s Vorobyov, NN Teorisi satırları / NN Vorobyov - St. Petersburg: Lan, 8 48 s 4 Yazılı, DT Yüksek matematik üzerine ders notları Ch / DT Yazılı M: Iris-press, 8 5 Alıştırmalarda ve problemlerde yüksek matematik Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ vb.] M: ONICS, 8 C Ek literatür Kudryavtsev, LD Matematiksel analiz kursu / LD Kudryavtsev TM: Yüksek okul, 98 C Khabibullin, MV Karmaşık sayılar: yönergeler / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6 s Moldovanova , EA Satırları ve karmaşık analiz: ders kitabı / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Federal Eğitim Ajansı Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi FOURIER SERİSİ FOURIER SERİSİNİN SINIRLI BİR DURUMU OLARAK FOURIER INTEGRAL Bağımsız çalışma için kılavuzlar

SIRALAR Khabarovsk 4 4 SAYI SERİLERİ Sayı serisi, sonsuz bir sayı dizisi oluşturan sayıların, N (N, doğal sayılar kümesidir) olduğu serinin genel terimi olan bir ifadedir. Örnek

Federal Eğitim Ajansı Arkhangelsk Devlet Teknik Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Fakültesi RANKS Bağımsız çalışmaya yönelik ödevleri tamamlama yönergeleri Arkhangelsk

MOSKOVA DEVLET SİVİL HAVACILIK TEKNİK ÜNİVERSİTESİ V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Disiplin ve test ödevlerini incelemek için Shurinov MATEMATİK KILAVUZU

5 Kuvvet serileri 5 Kuvvet serileri: tanım, yakınsaklık bölgesi (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) formunda fonksiyonel seriler burada, a, a, K, a ,k bazı sayılara kuvvet serisi sayıları denir

Federal Eğitim Ajansı MOSKOVA DEVLET JEODEZİ VE HARİTACILIK ÜNİVERSİTESİ (MIIGAiK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev ÖĞRENCİLER İÇİN BAĞIMSIZ ÇALIŞMA EĞİTİMİ)

Konu Karmaşık sayı serileri Karmaşık sayılar biçimindeki bir k ak sayı serisini düşünün. Kısmi toplamlarının S dizisi S a k k yakınsaksa, bu seriye yakınsak denir. Ayrıca dizinin limiti S

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM BAKANLIĞI KARMAŞIK BİR DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI TEORİSİ Metodolojik el kitabı Derleyen: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Fonksiyonlar teorisine ilişkin metodolojik el kitabının gözden geçirilmesi

8 Karmaşık sayı serileri Ka, (46) formundaki karmaşık sayıları içeren bir sayı serisini düşünün; burada (a k), karmaşık terimleri olan belirli bir sayı dizisidir k Serisi (46)'ya yakınsak denir, eğer

Doçent Musina MV tarafından hazırlanan dersler Tanım Formun ifadesi Sayısal ve fonksiyonel seriler Sayı serileri: temel kavramlar (), burada sayı serisi (veya sadece bir seri) olarak adlandırılır. Sayılar, serinin üyeleri (bağlı)

Metalurji Fakültesi Yüksek Matematik Bölümü Rütbeler Metodolojik talimatlar Novokuznetsk 5 Federal Eğitim Ajansı Yüksek mesleki eğitim devlet eğitim kurumu

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu Novgorod Devlet Üniversitesi adını aldı

Federal Eğitim Ajansı Federal Devlet Yüksek Mesleki Eğitim Eğitim Kurumu GÜNEY FEDERAL ÜNİVERSİTESİ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodolojik

Sayı serisi Sayı dizisi Def Bir sayı dizisi, x doğal sayıları kümesinde tanımlanan sayısal bir fonksiyondur - x =, x =, x =, x = dizisinin genel bir üyesi

Federal Eğitim Ajansı Moskova Devlet Jeodezi ve Haritacılık Üniversitesi (MIIGAiK) YÜKSEK MATEMATİK Sayısal dersinde BAĞIMSIZ ÇALIŞMA İÇİN YÖNTEMSEL TALİMATLAR VE GÖREVLER

YÜKSEK MATEMATİK DERSLERİNDE HESAPLAMA GÖREVLERİ İÇİN METODOLOJİK TALİMATLAR “SIRA DİFERANSİYEL DENKLEMLER SERİLERİ ÇİFT İNTEGRALLER” BÖLÜM KONU DİZİ İçindekiler Seri Sayı serileri Yakınsaklık ve Iraksaklık

Federal Eğitim Ajansı Devlet yüksek mesleki eğitim kurumu Novgorod Devlet Üniversitesi Yaroslav'ın adını taşıyan Bilge Elektronik Enstitüsü

Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı Vitebsk Devlet Teknoloji Üniversitesi Konusu. Teorik ve Uygulamalı Matematik "Satırlar" Bölümü. Doç. E.B. Dunina. Temel

RUSYA FEDERASYONU ULAŞTIRMA BAKANLIĞI FEDERAL DEVLET EĞİTİM YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU ULYANOVSK YÜKSEK HAVACILIK OKULU SİVİL HAVACILIK ENSTİTÜSÜ

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat

Sgups Yüksek Matematik Bölümü Standart hesaplamaları gerçekleştirmek için metodolojik talimatlar “Seri” Novosibirsk 006 Bazı teorik bilgiler Sayı serileri Let u ; sen; sen; ; sen; sonsuz sayıda var

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI KAZAN DEVLET MİMARLIK VE İNŞAAT ÜNİVERSİTESİ Yüksek Matematik Bölümü SAYISAL VE FONKSİYONEL SERİLER Kılavuzları

DERS N 7. Kuvvet serileri ve Taylor serileri.. Kuvvet serileri..... Taylor serileri.... 4. Bazı temel fonksiyonların Taylor ve Maclaurin serilerine genişletilmesi.... 5 4. Kuvvet serilerinin uygulanması... 7.Güç

Modül Konusu Fonksiyonel diziler ve seriler Dizilerin ve serilerin düzgün yakınsaklığının özellikleri Kuvvet serileri Ders Fonksiyonel diziler ve serilerin tanımları Düzgün

BELARUS DEVLET İKTİSAT ÜNİVERSİTESİ FAKÜLTESİ İKTİSADİ BİLGİ VE MATEMATİK İKTİSAT BÖLÜMÜ Satırlar İktisat öğrencileri için ders notları ve atölye çalışması

Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı Ulyanovsk Devlet Teknik Üniversitesi SAYISAL VE FONKSİYONEL SERİLER FOURIER SERİSİ Ulyanovsk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Fizik ve Matematik Hakem Adayı

3724 ÇOKLU SERİLER VE EĞRİSEL İNTEGRALLER 1 “ÇOKLU SERİLER VE EĞRİSEL İNTEGRALLER” BÖLÜMLERİNİN ÇALIŞMA PROGRAMI 11 Sayı serileri Sayı serisi kavramı Sayı serilerinin özellikleri Yakınsaklığın gerekli işareti

Bölüm Serileri Bazı sayı dizilerinin terim toplamının biçimsel gösterimi Sayı serilerine sayı serisi denir Toplamlar S, serinin kısmi toplamları olarak adlandırılır Eğer bir S, S limiti varsa o zaman seri

Ders. Fonksiyonel seri. Fonksiyonel serinin tanımı Üyeleri x'in fonksiyonları olan bir seriye fonksiyonel seri denir: u = u (x) + u + K+ u + K = x'e belirli bir x değeri vererek,

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin 1 Kuvvet serisi. Yakınsama yarıçapı ve yakınsama aralığı. Yakınsamanın doğası. Entegrasyon ve farklılaşma. 1.1 Yakınsama yarıçapı ve yakınsama aralığı. Fonksiyonel aralık

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Sibirya Devlet Endüstri Üniversitesi"

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Sibirya Devlet Endüstri Üniversitesi"

Matematiksel analiz Bölüm: Sayısal ve fonksiyonel seriler Konu: Kuvvet serileri. Bir fonksiyonun kuvvet serisine genişletilmesi Öğretim Görevlisi Rozhkova S.V. 3 34. Kuvvet serileri Kuvvet serisi bir kuvvetler dizisidir

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU “SAMARA DEVLET HAVACILIK UZAY ÜNİVERSİTESİ”

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI Ulusal Araştırma Nizhny Novgorod Devlet Üniversitesi NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva ANALİTİK FONKSİYONLARIN RÜTESİ

Kendi kendine test için “Seri” testleri Bir serinin yakınsamasının gerekli bir işareti Teorem bir yakınsaklığın gerekli bir işareti Eğer seri yakınsaksa lim + Sonuç serinin ıraksaması için yeterli bir koşuldur Eğer lim ise seri ıraksar

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Özerk Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu Achinsk şubesi "Sibirya Federal Üniversitesi" MATEMATİK

(fonksiyonel seriler kuvvet serisi yakınsaklık alanı, yakınsaklık aralığını bulma sırası - yakınsaklık aralığının örnek yarıçapı örnekleri) Sonsuz bir fonksiyon dizisi verilsin, Fonksiyonel

Seri Sayı serisi Genel kavramlar Tanım Her doğal sayı, belirli bir yasaya göre belirli bir sayıyla ilişkilendiriliyorsa, numaralı sayılar kümesine sayı dizisi denir.

Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı MATI - RUSYA DEVLET TEKNOLOJİK ÜNİVERSİTESİ adını K E TSIOLKOVSKY Yüksek Matematik Bölümü Rütbeler Ders çalışması yönergeleri Derleyen:

Ders 3 Taylor ve Maclaurin serileri Kuvvet serilerinin uygulanması Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi Taylor ve Maclaurin serileri Uygulamalar için, belirli bir fonksiyonu bir kuvvet serisine genişletebilmek önemlidir; bu fonksiyonlar

DEVLET YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU "BELARUS-RUS ÜNİVERSİTESİ" "Yüksek Matematik" Bölümü YÜKSEK MATEMATİK MATEMATİK MATEMATİK ANALİZ SIRALAMALARI Metodolojik öneriler

Sayısal ve kuvvet serileri dersi. Sayı serisi. Serinin toplamı. Yakınsaklık işaretleri. Serinin toplamını hesaplayın. 6 Çözüm. Sonsuz bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı q eşittir; burada q, ilerlemenin paydasıdır.

Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı Eğitim Kurumu "Mogilev Devlet Gıda Üniversitesi" Yüksek Matematik Bölümü YÜKSEK MATEMATİK Uygulamaya Yönelik Kılavuzlar

Ders 6 Bir fonksiyonun kuvvet serisine genişletilmesi Taylor ve Maclaurin serisinin açılımının benzersizliği Bazı temel fonksiyonların kuvvet serisine genişletilmesi Kuvvet serilerinin uygulanması Önceki derslerde

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat

4 Fonksiyon serisi 4 Temel tanımlar Ortak tanım tanım kümesine sahip sonsuz bir fonksiyon dizisi olsun: X u), u (), K, u (),K (TANIM İfade u) + u () + K + u () +

KARMAŞIK BİR DEĞİŞKEN İŞLEMSEL HESAP FONKSİYONLARI TEORİSİNİN ELEMANLARI Bu konuyu incelemenin bir sonucu olarak, öğrenci şunları öğrenmelidir: karmaşık bir sayının trigonometrik ve üstel formlarını aşağıdaki formüle göre bulma:

Federal Eğitim Ajansı Yüksek mesleki eğitim devlet eğitim kurumu "Ural Devlet Pedagoji Üniversitesi" Matematik Bölümü Fakültesi

KAZAN DEVLET ÜNİVERSİTESİ Matematik İstatistik Bölümü SAYISAL SERİ Eğitim ve metodolojik el kitabı KAZAN 008 Kazan Üniversitesi Bilimsel ve Metodoloji Konseyi bölümünün kararı ile yayımlandı

Fonksiyonel seriler Fonksiyonel seriler, toplamı ve fonksiyonelin tanım kümesi o Reel veya karmaşık sayıların Δ bölgesinde bir k fonksiyon dizisi verilsin (k 1 Bir fonksiyonel seriye denir

Federal Eğitim Ajansı MOSKOVA DEVLET JEODESİ VE HARİTACILIK ÜNİVERSİTESİ (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova BÖLÜMÜN BAĞIMSIZ ÇALIŞMASI İÇİN ÖĞRENCİLER İÇİN EĞİTİM

Bölüm Kuvvet serisi a a a a a a a a () formundaki A serisine kuvvet serisi denir, burada, a, serinin katsayıları olarak adlandırılan sabitlerdir. Bazen daha genel bir formun kuvvet serisi dikkate alınır: a a(a) a(a) a(a) (), burada

DERS N34. Karmaşık terimler içeren sayı serileri. Karmaşık alanda kuvvet serileri. Analitik fonksiyonlar. Ters fonksiyonlar..karmaşık terimli sayısal seriler.....karmaşık tanım kümesinde kuvvet serileri....

Seçenek Görev Fonksiyonun değerini hesaplayın, cevabı cebirsel biçimde verin: a sh ; b l Çözüm a Trigonometrik sinüs ile hiperbolik sinüs arasındaki bağlantı için formülü kullanalım: ; sh -s Al

Federal Eğitim Ajansı Yüksek mesleki eğitime yönelik devlet eğitim kurumu Ukhta Devlet Teknik Üniversitesi KARMAŞIK NUMARALAR Yönergeleri

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı FEDERAL DEVLET BÜTÇE EĞİTİM KURUMU YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU “SAMARA DEVLET TEKNİK ÜNİVERSİTESİ” Uygulamalı Matematik Bölümü

Fonksiyonel seriler Dersler 7-8 1 Yakınsaklık alanı 1 Fonksiyonların belirli bir aralıkta tanımlandığı u () u () u () u (), 1 2 u () formundaki bir seriye fonksiyonel seri denir. . Tüm noktaların kümesi

Federal Eğitim Ajansı Yüksek mesleki eğitime yönelik devlet eğitim kurumu Ukhta Devlet Teknik Üniversitesi (USTU) SINIR FONKSİYONLARI Metodolojik

DERS Eşdeğer sonsuz küçükler Birinci ve ikinci dikkate değer limitler Sonsuz büyük ve sonsuz küçük fonksiyonların karşılaştırılması f () fonksiyonuna a (a) noktasında sonsuz küçük denir eğer (

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Tomsk Devlet Mimarlık ve İnşaat

Ders Sayı serisi Yakınsaklığın işaretleri Sayı serisi Yakınsaklığın işaretleri + + + + sayı dizisinin sonsuz bir terimden oluşan sonsuz ifadesine sayı serisi denir Sayılar,

EV Nebogina, OS Afanasyeva SERİSİ YÜKSEK MATEMATİK UYGULAMALARI Samara 9 FEDERAL EĞİTİM AJANSI DEVLET YÜKSEK MESLEKİ EĞİTİM KURUMU “SAMARSKY”

Bölüm III ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARIN İNTEGRAL HESABI, KARMAŞIK BİR DEĞİŞKENİN FONKSİYONLARI, SERİLER Çift katlı integraller LİTERATÜR: , ch. glii; , Bölüm XII, 6 Bu konudaki problemleri çözmek için gereklidir,