Bir daireye teğet. Dersleri tamamlayın - Bilgi Hipermarketi. Teğet çizgi Teğet açı nedir

Bir daireye göre düz bir çizgi aşağıdaki üç konumda olabilir:

Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçaptan büyüktür. Bu durumda doğrunun tüm noktaları çemberin dışındadır.

Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçaptan küçüktür. Bu durumda doğrunun dairenin içinde kalan noktaları vardır ve doğru her iki yönde de sonsuz olduğundan daire ile 2 noktada kesişir.

Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçapa eşittir. Düz çizgi teğettir.

Çemberle tek ortak noktası olan doğruya denir teğetçembere.

Bu durumda ortak nokta denir bağlantı noktası.

Bir teğetin var olması ve ayrıca dairenin herhangi bir noktasından bir teğet noktası olarak çizilmesi olasılığı aşağıdaki teoremle kanıtlanmıştır.

Teorem. Bir çizgi, dairenin üzerinde bulunan ucunda yarıçapa dik ise, o zaman bu çizgi bir teğettir.

O (şekil) bir dairenin merkezi ve OA da yarıçapının bir kısmı olsun. A ucu boyunca MN ^ OA çiziyoruz.

MN çizgisinin teğet olduğunu kanıtlamak gerekir, yani. bu doğrunun çemberle tek bir ortak noktası A vardır.

Bunun tersini varsayalım: MN'nin çemberle başka bir ortak noktası olsun, örneğin B.

O zaman düz çizgi OB bir yarıçap olacaktır ve dolayısıyla OA'ya eşit olacaktır.

Ancak bu olamaz, çünkü eğer OA dik ise, o zaman OB'nin MN'ye eğimli olması gerekir ve eğimli olan dikeyden daha büyüktür.

Converse teoremi. Bir doğru bir daireye teğet ise, o zaman teğet noktasına çizilen yarıçap ona dik olacaktır.

MN çembere teğet, A teğet noktası ve O çemberin merkezi olsun.

OA^MN'nin kanıtlanması gerekmektedir.

Tam tersini varsayalım, yani. O'dan MN'ye bırakılan dikmenin OA değil başka bir doğru, örneğin OB olacağını varsayalım.

BC = AB'yi alalım ve OS'yi gerçekleştirelim.

Bu durumda OA ve OS, dik OB'den eşit uzaklıkta olacak şekilde eğimli olacaktır ve dolayısıyla OS = OA olacaktır.

Bundan, varsayımımızı dikkate alarak dairenin MN çizgisiyle iki ortak noktaya sahip olacağı sonucu çıkar: A ve C, yani. MN teğet değil, koşulla çelişen bir sekant olacaktır.

Sonuçlar. Bir daire üzerindeki herhangi bir noktadan bu daireye bir teğet çizilebilir, hem de yalnızca bir tane, çünkü bu noktadan, içine çizilen yarıçapa dik ve yalnızca bir tane çizilebilir.

Teorem. Bir kirişe paralel bir teğet, kirişin uzandığı yayı temas noktasında ikiye böler.

AB düz çizgisinin (şekil) M noktasındaki daireye değmesine ve CD akoruna paralel olmasına izin verin.

ÈCM = ÈMD olduğunu kanıtlamamız gerekiyor.

ME çapını teğet noktasından çizerek şunu elde ederiz: EM ^ AB ve dolayısıyla EM ^ CB.

Bu nedenle CM=MD.

Görev. Belirli bir noktadan belirli bir daireye bir teğet çizin.

Belirli bir nokta bir daire üzerindeyse, içinden bir yarıçap ve yarıçapın ucundan geçen dik bir düz çizgi çizin. Bu çizgi istenilen teğet olacaktır.

Noktanın çemberin dışında verildiği durumu ele alalım.

O merkezli bir çembere A noktasından geçen bir teğet çizmemiz gereksin (Şekil).

Bunu yapmak için, merkez olarak A noktasından AO yarıçaplı bir yay tanımlıyoruz ve merkez olarak O noktasından bu yayı verilen dairenin çapına eşit bir pusula açıklığı ile B ve C noktalarında kesiyoruz. .

Daha sonra OB ve OS akorlarını çizdikten sonra A noktasını, bu akorların verilen daireyle kesiştiği D ve E noktalarına bağlarız.

AD ve AE doğruları O çemberine teğettir.

Aslında, yapıdan AOB ve AOC borularının ikizkenar olduğu (AO = AB = AC) ve OB ve OS tabanlarının O dairesinin çapına eşit olduğu açıktır.

OD ve OE yarıçap olduğundan, D OB'nin ortasıdır ve E, OS'nin ortasıdır; bu, AD ve AE'nin ikizkenar boruların tabanlarına çizilen medyanlar olduğu ve dolayısıyla bu tabanlara dik olduğu anlamına gelir. DA ve EA çizgileri OD ve OE yarıçaplarına dikse teğettirler.

Sonuçlar. Bir noktadan bir daireye çizilen iki teğet eşittir ve bu noktayı merkeze bağlayan düz çizgi ile eşit açılar oluşturur.

Yani AD=AE ve ÐOAD = ÐOAE (Şekil), çünkü ortak hipotenüs AO'ya ve eşit bacaklara sahip OD ve OE (yarıçap olarak) olan dikdörtgen tr-ki AOD ve AOE eşittir.

Burada "teğet" kelimesinin belirli bir noktadan temas noktasına kadar olan gerçek "teğet parçası" anlamına geldiğine dikkat edin.

Görev. Belirli bir AB düz çizgisine paralel olan belirli bir O çemberine bir teğet çizin (Şekil).

O merkezinden AB'ye dik bir OS indiriyoruz ve bu dikmenin daireyle kesiştiği D noktası boyunca EF || çiziyoruz. AB.

Aradığımız tanjant EF olacaktır.

Gerçekten de OS ^ AB ve EF || AB, sonra EF ^ OD ve dairenin üzerinde uzanan ucunda yarıçapa dik olan çizgi bir teğettir.

Görev.İki daire O ve O 1'e ortak bir teğet çizin (Şek.).

Analiz. Sorunun çözüldüğünü varsayalım.

AB ortak teğet, A ve B teğet noktaları olsun.

Açıkçası bu noktalardan birini, örneğin A'yı bulursak, diğerini de rahatlıkla bulabiliriz.

OA ve O 1 B yarıçaplarını çizelim. Ortak teğete dik olan bu yarıçaplar birbirine paraleldir.

Bu nedenle, eğer O 1'den O 1 C || çizersek BA, o zaman OCO 1 boru hattı C köşesinde dikdörtgen olacaktır.

Sonuç olarak, eğer O'dan başlayarak OS yarıçaplı merkez olarak bir daire tanımlarsak, o zaman bu daire C noktasında O 1 C düz çizgisine değecektir.

Bu yardımcı dairenin yarıçapı bilinmektedir: OA – CA = OA – O 1 B'ye eşittir, yani. bu dairelerin yarıçapları arasındaki farka eşittir.

Yapı. O merkezinden, yarıçapı bu yarıçapların farkına eşit olan bir daire tanımlıyoruz.

O 1'den bu daireye bir O 1 C teğeti çiziyoruz (önceki problemde belirtildiği gibi).

C teğet noktası boyunca OS yarıçapını çiziyoruz ve A noktasında verilen daireyle buluşana kadar buna devam ediyoruz. Son olarak A'dan AB'yi CO 1'e paralel çiziyoruz.

Tam olarak aynı şekilde başka bir ortak teğet A 1 B 1'i oluşturabiliriz (Şekil). AB ve A 1 B 1 direkt hatlarına denir harici ortak teğetler.

İki tane daha harcayabilirsin dahili teğetler aşağıdaki gibidir:

Analiz. Sorunun çözüldüğünü varsayalım (Şekil). AB istenilen teğet olsun.

A ve B teğet noktalarına OA ve O 1 B yarıçaplarını çizelim. Bu yarıçapların her ikisi de ortak teğete dik olduğundan birbirlerine paraleldirler.

Bu nedenle, eğer O 1'den O 1 C || çizersek BA ve OA'ya C noktasına kadar devam edin, ardından OS O 1 C'ye dik olacaktır.

Sonuç olarak, O noktasından itibaren OS yarıçapı tarafından tanımlanan daire, C noktasındaki O 1 C düz çizgisine değecektir.

Bu yardımcı dairenin yarıçapı bilinmektedir: OA+AC = OA+O 1 B'ye eşittir, yani. verilen dairelerin yarıçaplarının toplamına eşittir.

Yapı. Merkez olarak O'dan başlayarak, yarıçapı bu yarıçapların toplamına eşit olan bir daire tanımlıyoruz.

O 1'den bu daireye bir O 1 C teğeti çiziyoruz.

C temas noktasını O'ya bağlarız.

Son olarak, OS'nin verilen daireyle kesiştiği A noktası üzerinden AB = O 1 C çizeriz.

Benzer şekilde başka bir A 1 B 1 iç teğetini oluşturabiliriz.

Teğetin genel tanımı

A noktasından geçen, merkezi bir daireye bir AT teğeti ve bir AM keseni çizilsin (Şekil).

Bu keseni A noktası etrafında döndürelim ki, diğer kesişim noktası B, A'ya gittikçe yaklaşsın.

Daha sonra merkezden kesene doğru indirilen dikey OD, OA yarıçapına giderek daha fazla yaklaşacak ve AOD açısı herhangi bir küçük açıdan daha küçük hale gelebilir.

Sekant ve teğet tarafından oluşturulan MAT açısı AOD açısına eşittir (kenarlarının dikliği nedeniyle).

Bu nedenle, B noktası A'ya süresiz olarak yaklaştıkça, MAT açısı da keyfi olarak küçük olabilir.

Bu, şu şekilde başka kelimelerle ifade edilir:

teğet, ikinci kesişme noktası teğet noktasına süresiz olarak yaklaştığında, bir teğet noktasından geçen bir kesenin yöneldiği sınırlayıcı konumdur.

Bu özellik herhangi bir eğriden bahsederken teğetin tanımı olarak alınır.

Böylece, AB eğrisine teğet (Şekil), P kesişme noktası M'ye sınırsız olarak yaklaştığında MN sekantının yöneldiği MT sınırlama konumudur.

Bu şekilde tanımlanan tanjantın eğri ile birden fazla ortak noktası olabileceğine dikkat edin (Şekil 1'de görüldüğü gibi).

Doğrudan ( MN), çemberle tek bir ortak noktası olan ( A), isminde teğet çembere.

Bu durumda ortak nokta denir bağlantı noktası.

Var olma olasılığı teğet ve ayrıca herhangi bir noktadan çizilen daire teğetlik noktası olarak aşağıdaki şekilde kanıtlanmıştır teorem.

Yürütülmesi gerekli olsun daire merkezi ile Ö teğet nokta boyunca A. Bunu şu noktadan yapmak için A, merkezden itibaren tarif ediyoruz yay yarıçap A.O. ve noktadan itibaren Ö merkez olarak bu yayı noktalarda kesiyoruz B Ve İLE verilen dairenin çapına eşit bir pusula çözümü.

Harcadıktan sonra akorlar O.B. Ve işletim sistemi, noktayı birleştir A noktalı D Ve e, bu akorların belirli bir daire ile kesiştiği yer. Doğrudan reklam Ve A.E. - bir daireye teğet Ö. Aslında inşaattan da anlaşılıyor ki üçgenler AOB Ve AOC ikizkenar(AO = AB = AC) bazlarla O.B. Ve işletim sistemi, dairenin çapına eşit Ö.

Çünkü Aşırı doz Ve O.E.- yarıçaplar, o zaman D - orta O.B., A e- orta işletim sistemi, Araç reklam Ve A.E. - medyanlar ikizkenar üçgenlerin tabanlarına çizilir ve dolayısıyla bu tabanlara diktir. Düz ise D.A. Ve E.A. yarıçaplara dik Aşırı doz Ve O.E., sonra onlar - teğetler.

Sonuçlar.

Bir noktadan bir daireye çizilen iki teğet eşittir ve bu noktayı merkeze bağlayan düz çizgi ile eşit açılar oluşturur.

Bu yüzden AD=AE ve ∠ OAD = ∠OAEÇünkü dik üçgenler AOD Ve etki alanı ortak bir noktaya sahip olmak hipotenüs A.O. ve eşit bacaklar Aşırı doz Ve O.E.(yarıçap olarak) eşittir. Burada "teğet" kelimesinin aslında "" anlamına geldiğini unutmayın. teğet segment”Belirli bir noktadan temas noktasına kadar.

Bir çemberle tek ortak noktası olan doğruya çembere teğet, ortak noktalarına da doğrunun ve çemberin teğet noktası denir.

Teorem (bir daireye teğetin özelliği)

Bir daireye teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.

Verilen

A – temas noktası

Kanıtlamak:p OA

Kanıt.

Bunu çelişkiyle kanıtlayalım.

p'nin OA olduğunu varsayalım, o zaman OA p düz çizgisine eğimlidir.

O noktasından p düz çizgisine dik bir OH çizersek, uzunluğu yarıçaptan az olacaktır: OH< ОА=r

Çemberin merkezinden düz çizgi p'ye (OH) olan mesafenin yarıçaptan (r) daha az olduğunu buluyoruz, bu da p düz çizgisinin sekant olduğu anlamına geliyor (yani daire ile iki ortak noktaya sahip), bu teoremin koşullarıyla çelişir (p teğettir).

Bu, varsayımın yanlış olduğu anlamına gelir; dolayısıyla p düz çizgisi OA'ya diktir.

Teorem (Bir noktadan çizilen teğet doğru parçalarının özelliği)

Bir noktadan çizilen bir daireye teğet olan parçalar eşittir ve bu noktadan ve dairenin merkezinden geçen bir doğru ile eşit açılar yapar.

Verilen: yaklaşık. (Veya)

AB ve AC çevreye teğettir. (Veya)

Kanıtlamak: AB=AC

Kanıt

1) OB AB, OS AC, teğet noktasına çizilen yarıçaplar olarak (teğet özelliği)

2) tr'yi düşünün. AOB vb. AOS – p/u

JSC – genel

OB=OS (yarıçap olarak)

Bu, ABO = AOC (hipotenüs ve kenara göre) anlamına gelir. Buradan,

AB = AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Teorem (Teğetsel test)

Bir çizgi, bir daire üzerinde bulunan bir yarıçapın ucundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dik ise, o zaman teğettir.

Verilen: OA – dairenin yarıçapı

Kanıtlamak: p- çembere teğet

Kanıt

OA – dairenin yarıçapı (duruma göre) (OA=r)

OA – O'dan p düz çizgisine dik (OA =d)

Bu, r=OA=d anlamına gelir; bu, p düz çizgisi ile dairenin bir ortak noktası olduğu anlamına gelir.

Bu nedenle p doğrusu çembere teğettir. vesaire.

3.Akor ve sekantların özellikleri.

Teğet ve sekantın özellikleri

TANIM

Çevreçemberin merkezi olarak adlandırılan bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir.

Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçasına ne denir akor(Şekilde bu bir segmenttir). Çemberin merkezinden geçen kirişe denir çap daireler.

1. Teğet, temas noktasına çizilen yarıçapa diktir.

2. Bir noktadan çizilen teğet doğru parçaları eşittir.

3. Çemberin dışında bulunan bir noktadan bir teğet ve bir kesen çizilirse, teğetin uzunluğunun karesi kesen ile dış kısmının çarpımına eşittir.

Çoğu zaman, başvuru sahipleri, mezunlar ve matematik olimpiyatlarına katılanlar için zorluklara neden olan geometrik problemlerdir. 2010 Birleşik Devlet Sınavı istatistiklerine bakarsanız, katılımcıların yaklaşık %12'sinin C4 geometrik problemine başladığını ve katılımcıların yalnızca %0,2'sinin tam puan aldığını ve genel olarak sorunun şu şekilde ortaya çıktığını görebilirsiniz: önerilenlerin en zoru.

Açıkçası, okul çocuklarına sorunları çözmenin güzel veya beklenmedik yollarını ne kadar erken sunarsak, onların ilgisini çekme ve onları ciddi şekilde ve uzun süre etkileme olasılığı da o kadar artar. Ancak sistematik geometri çalışmalarının henüz yeni başladığı 7. sınıf düzeyinde ilginç ve karmaşık problemler bulmak ne kadar zordur. Sadece üçgenlerin eşitlik işaretlerini, komşu ve dik açıların özelliklerini bilen, matematiğe ilgi duyan bir öğrenciye neler sunulabilir? Bununla birlikte, bir daireye teğet kavramı, daire ile ortak bir noktası olan düz bir çizgi olarak tanıtılabilir; temas noktasına çizilen yarıçapın teğete dik olduğunu varsayalım. Tabii ki, sıfırdan dörde çizilebilecek iki dairenin ve bunlara ortak teğetlerin olası tüm düzenleme durumlarını dikkate almaya değer. Aşağıda önerilen teoremleri kanıtlayarak yedinci sınıf öğrencileri için problem setini önemli ölçüde genişletebilirsiniz. Aynı zamanda yol boyunca önemli veya basitçe ilginç ve eğlenceli gerçekleri kanıtlayın. Üstelik pek çok ifade okul ders kitabında yer almadığı için planimetri tekrarı sırasında grup sınıflarında ve mezunlarla tartışılabilir. Bu gerçeklerin geçen akademik yılla ilgili olduğu ortaya çıktı. Birçok teşhis çalışması ve Birleşik Devlet Sınavı'nın çalışması, çözümü için aşağıda kanıtlanmış teğet segmentinin özelliğini kullanmanın gerekli olduğu bir sorun içerdiğinden.

T1 Çizilen bir daireye teğet parçaları
bir noktaya eşittir (Şekil 1)

Bu, yedinci sınıf öğrencilerine ilk olarak tanıtabileceğiniz teoremdir.
İspat sürecinde dik üçgenlerin eşitlik işaretini kullandık ve dairenin merkezinin açınınortayında olduğu sonucuna vardık. BSA.
Yol boyunca, bir açının açıortayının, açının iç bölgesindeki, kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri olduğunu hatırladık. Önemsiz olmaktan çok uzak bir problemin çözümü, geometri çalışmaya yeni başlayanların bile erişebileceği bu gerçeklere dayanmaktadır.

1. Açıortaylar A, İÇİNDE Ve İLE dışbükey dörtgen ABCD bir noktada kesişir. Işınlar AB Ve DC bir noktada kesişmek e ve ışınlar
Güneş Ve reklam noktada F. Dışbükey olmayan bir dörtgen olduğunu kanıtlayın AECF Karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamı eşittir.

Çözüm (Şekil 2).İzin vermek HAKKINDA– bu açıortayların kesişme noktası. Daha sonra HAKKINDA dörtgenin her tarafına eşit uzaklıkta ABCD, yani
dörtgen içine yazılmış bir dairenin merkezidir. Teoreme göre 1 aşağıdaki eşitlikler doğrudur: AR = AK, Acil servis = E.P., F.T. = FK. Sol ve sağ tarafları terim terim toplayalım ve doğru eşitliği elde edelim:

(AR + Acil servis) + F.T. = (AK +FK) + E.P.; A.E. + (F.C. + CT) = A.F. + (AB + bilgisayar). Çünkü ST = RS, O AE + F.C. = A.F. + AB Kanıtlanması gereken şey buydu.

Alışılmadık bir formülasyona sahip, çözümü için teoremi bilmenin yeterli olduğu bir problemi ele alalım. 1 .

2. Var mı N-kenarları sırasıyla 1, 2, 3, ..., olan bir üçgen N, içine bir daire yazılabilir mi?

Çözüm. şunu söyleyelim N-gon var. A 1 A 2 =1, …, A n-1 A n= N– 1,A N A 1 = N. B 1 , …, B n – karşılık gelen temas noktaları. Daha sonra Teorem 1'e göre A 1 B 1 = A 1 B N< 1, N – 1 < A N B N< N. Teğet bölümlerin özelliğine göre A N B n= A N B n-1. Ancak, A N B n-1< A n-1 A n= N - 1. Çelişki. Bu nedenle hayır N-Problemin şartlarını yerine getireceğiz.

T2 Tanımlanan bir dörtgenin karşıt kenarlarının toplamları
daireler eşittir (Şekil 3)

Okul çocukları, kural olarak, açıklanan dörtgenin bu özelliğini kolayca kanıtlayabilirler. Teoremi kanıtladıktan sonra 1 , bu bir eğitim tatbikatıdır. Bu gerçeği genelleştirebiliriz - çevreli bir çift üçgenin bir kenardan alınan kenarlarının toplamları eşittir. Örneğin altıgen için ABCDEF Sağ: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

3. Moskova Devlet Üniversitesi. Bir dörtgen içinde ABCD iki daire var: ilk daire kenarlara dokunuyor AB, BC Ve reklam ve ikinci taraflar BC, CD Ve reklam. Yanlarda M.Ö. Ve reklam alınan puanlar e Ve F buna göre segment E.F. her iki daireye ve bir dörtgenin çevresine dokunuyor ABEF Açık 2p dörtgenin çevresinden daha büyük ECDF. Bulmak AB, Eğer CD = bir.

Çözüm (Şekil 1). ABEF ve ECDF dörtgenleri döngüsel olduğundan, Teorem 2'ye göre P ABEF = 2(AB + EF) ve P ECDF = 2(CD + EF), koşula göre

P ABEF – P ECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2p. AB – CD = s. AB = a + p.

Temel görev 1. Doğrudan AB Ve AC– noktalardaki teğetler İÇİNDE Ve İLE merkezi O noktasında olan bir daireye. Rastgele bir noktadan geçerek X yaylar Güneş
parçaları kesişen daireye bir teğet çizilir AB Ve AC noktalarda M Ve R sırasıyla. Bir üçgenin çevresinin olduğunu kanıtlayın AMR ve açının büyüklüğü MPA X noktasının seçimine bağlı değildir.

Çözüm (Şekil 5). Teorem 1'e göre MV = MX ve RS = RH. Bu nedenle üçgenin çevresi AMR bölümlerin toplamına eşit AB Ve AC. Veya bir üçgenin dış çemberine çizilen çift teğet AMR . MOP açısının değeri açının yarısı kadar ölçülür VOS nokta seçimine bağlı değildir X.

Destek görevi 2a. Kenarları olan bir üçgende a, b Ve C kenara teğet yazılı daire AB ve nokta İLE. Segmentin uzunluğunu bulun AK.

Çözüm (Şekil 6). Birinci yöntem (cebirsel). İzin vermek AK = AN = x, Daha sonra BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. AC = AN + NC, o zaman bunun için bir denklem oluşturabiliriz x: b = x + (a – c + x). Nerede .

İkinci yöntem (geometrik). Diyagrama bakalım. Eşit teğetlerin birer birer parçalarının toplamı yarı çevreyi verir
üçgen. Kırmızı ve yeşil bir tarafı oluşturur A. Daha sonra ilgilendiğimiz segment x = p – a. Elbette elde edilen sonuçlar örtüşüyor.

Görev 2b'yi destekleyin. Bir teğet parçanın uzunluğunu bulun AK, Eğer İLE– dış çemberin kenarla teğet olduğu nokta AB.Çözüm (Şekil 7). AK = AM = x, bu durumda BK = BN = c – x, CM = CN. Denklemimiz var b + x = a + (c – x). Nerede . Z Referans probleminden şunu unutmayın 1 bunu takip ediyor CM = p Δ ABC. b + x = p; x = p – b. Ortaya çıkan formüller aşağıdaki problemlerde uygulanabilir.

4. Bacakları olan bir dik üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapını bulun a, b ve hipotenüs İle. Çözüm (Şekil 8). T tamam nasıl OMCN- kare ise yazılı dairenin yarıçapı CN teğet parçasına eşittir. .

5. Yazılı ve dış çemberin üçgenin kenarına teğet noktalarının bu kenarın ortasına göre simetrik olduğunu kanıtlayın.

Çözüm (Şekil 9). AK'nin bir üçgen için dış çemberin teğet bir parçası olduğuna dikkat edin ABC. Formül (2)'ye göre . VM- çizgi segmenti bir üçgenin iç çemberine teğet ABC. Formül (1)'e göre . AK = VM, ve bu şu anlama geliyor: K ve M kenarın ortasından eşit uzaklıkta AB, Q.E.D.

6. İki çembere iki ortak dış teğet ve bir iç teğet çiziliyor. İç teğet dış teğetleri belirli noktalarda keser A, B ve dairelere noktalarda dokunuyor 1 Ve 1'DE. Kanıtla AA 1 = BB 1.

Çözüm (Şekil 10). Dur... Karar verilecek ne var? Bu sadece önceki problemin farklı bir formülasyonudur. Açıkçası, belirli bir üçgen için dairelerden biri yazılı, diğeri ise dış çemberdir ABC. Ve bölümler AA1 ve BB1 segmentlere karşılık gelir AK Ve VM görevler 5. Tüm Rusya Okul Çocukları Matematik Olimpiyatı'nda önerilen problemin bu kadar açık bir şekilde çözülmesi dikkat çekicidir.

7. Beşgenin kenarları çapraz sırasına göre 5, 6, 10, 7, 8'dir. Bu beşgenin içine daire yazılamadığını kanıtlayın.

Çözüm (Şekil 11). Diyelim ki bir beşgende ABCDE bir daire yazabilirsiniz. Üstelik taraflar AB, M.Ö., CD, Almanya Ve EA sırasıyla 5, 6, 10, 7 ve 8'e eşittir.Teğet noktalarını sırayla işaretleyelim - F, G, H, M Ve N. Segmentin uzunluğuna izin verin A.F. eşittir X.

Daha sonra B.F. = FD – A.F. = 5 – X = B.G.. G.C. = M.Ö. – B.G. = = 6 – (5 – X) = 1 + X = CH. Ve benzeri: HD = DM = 9 – X; BEN. = TR = X – 2, BİR = 10 – X.

Ancak, A.F. = BİR. yani 10 - X = X; X= 5. Ancak teğet doğru parçası A.F. tarafa eşit olamaz AB. Ortaya çıkan çelişki, belirli bir beşgene bir dairenin yazılamayacağını kanıtlıyor.

8. Altıgen içine bir daire yazılmıştır, kenarları tavaf sırasına göre 1, 2, 3, 4, 5'tir. Altıncı kenarın uzunluğunu bulun.

Çözüm. Elbette teğet bir parçayı şu şekilde tanımlayabiliriz: XÖnceki problemde olduğu gibi bir denklem oluşturun ve cevabı bulun. Ancak teoreme ilişkin bir not kullanmak çok daha verimli ve etkilidir. 2 : Çevresi çizilmiş bir altıgenin birbirinden alınan kenarlarının toplamları eşittir.

O halde 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, Nerede X– bilinmeyen altıncı taraf, X = 3.

9.Moskova Devlet Üniversitesi, 2003. Kimya Fakültesi, Sayı: 6(6). bir beşgene ABCDE bir daire yazılmıştır, R– bu dairenin kenar ile teğet olduğu nokta Güneş. Segmentin uzunluğunu bulun Sanal Gerçeklik Beşgenin tüm kenar uzunluklarının tam sayı olduğu biliniyorsa, AB = 1, CD = 3.

Çözüm (Şekil 12). Tüm kenarların uzunlukları tam sayı olduğundan doğru parçalarının uzunluklarının kesirli kısımları eşittir BT, B.P., DM, DN, AK Ve AT. Sahibiz AT + televizyon= 1 ve segment uzunluklarının kesirli kısımları AT Ve verem eşittir. Bu ancak şu durumlarda mümkündür: AT + televizyon= 0,5. Teoreme göre 1 VT + Sanal Gerçeklik.
Araç, Sanal Gerçeklik= 0,5. koşulu unutmayın CD= 3'ün talep edilmediği ortaya çıktı. Açıkçası, sorunun yazarları başka bir çözüm varsaydılar. Cevap: 0,5.

10. Dörtgen içinde ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5.Üçgenlerin içine yazılan daireler ABD Ve MİA bir bölüme dokunun BD noktalarda M Ve N sırasıyla. Segmentin uzunluğunu bulun MN.

Çözüm (Şekil 13). MN = DN – DM.Üçgenler için formül (1)'e göre Veritabanı Yöneticisi Ve DBC buna göre elimizde:

11. Bir dörtgen içine ABCD bir daire yazabilirsiniz. Üçgenlerin içine yazılan daireler ABD Ve MİA yarıçapları var R Ve R sırasıyla. Bu dairelerin merkezleri arasındaki mesafeyi bulun.

Çözüm (Şekil 13). Koşul gereği dörtgen ABCD teorem tarafından yazılmıştır 2 sahibiz: AB + DC = AD + BC.Önceki problemi çözme fikrini kullanalım. . Bu, dairelerin segmentle temas noktalarının olduğu anlamına gelir DM eşleştir. Dairelerin merkezleri arasındaki mesafe yarıçapların toplamına eşittir. Cevap: R+r.

Aslında durumun dörtgen şeklinde olduğu kanıtlandı ABCD koşuluna eşdeğer bir daireyi dışbükey bir dörtgende yazabilirsiniz ABCDüçgen içine yazılmış daireler ABC Ve ADC birbirinize dokunun. Tersi doğrudur.

Birbiriyle ters olan bu iki ifadenin, bunun genellemesi sayılabilecek aşağıdaki problemde kanıtlanması önerilmiştir.

12. Dışbükey bir dörtgende ABCD (pirinç. 14) üçgen içine yazılmış daireler ABC Ve ADC birbirinize dokunun. Üçgen içine yazılmış dairelerin olduğunu kanıtlayın ABD Ve BDC ayrıca birbirinize dokunun.

13. Bir üçgende ABC taraflarla a, b Ve C yanda Güneş işaretlenmiş nokta D böylece üçgenler içine yazılmış daireler ABD Ve AKD bir bölüme dokunun reklam bir noktada. Segmentin uzunluğunu bulun BD.

Çözüm (Şekil 15). Formül (1)'i üçgenlere uygulayalım ADC Ve A.D.B., Hesaplanıyor DM iki

Görünüşe göre, D– yan tarafla temas noktası Güneşüçgen içine yazılan daire ABC. Bunun tersi doğrudur: Bir üçgenin tepe noktası, karşı taraftaki yazılı dairenin teğet noktasına bağlıysa, o zaman ortaya çıkan üçgenlerin içine yazılan daireler birbirine temas eder.

14. Merkezler HAKKINDA 1 , HAKKINDA 2 ve HAKKINDA 3. Aynı yarıçapa sahip, kesişmeyen üç daire bir üçgenin köşelerine yerleştirilmiştir. Noktalardan HAKKINDA 1 , HAKKINDA 2 , HAKKINDAŞekil 3'te bu çemberlere teğetler şekilde görüldüğü gibi çizilmektedir.

Kesişen bu teğetlerin, kenarları kırmızı ve maviye boyanmış dışbükey bir altıgen oluşturduğu bilinmektedir. Kırmızı parçaların uzunluklarının toplamının mavi parçaların uzunluklarının toplamına eşit olduğunu kanıtlayın.

Çözüm (Şekil 16). Verilen dairelerin yarıçaplarının eşit olduğu gerçeğinin nasıl kullanılacağını anlamak önemlidir. Segmentlere dikkat edin BR Ve DM eşittir, bu da dik üçgenlerin eşitliğinden kaynaklanır HAKKINDA 1 BR Ve Ö 2 B.M.. Aynı şekilde D.L. = D.P., FN = FK. Eşitlikleri terim terim topluyoruz, sonra elde edilen toplamlardan köşelerden çizilen özdeş teğet parçalarını çıkarıyoruz A, İLE, Ve e altıgen ABCDEF: AR Ve AK, C.L. Ve SANTİMETRE., TR Ve E.P.. İhtiyacımız olanı alıyoruz.

İşte XII Uluslararası Lise Öğrencileri Matematik Turnuvası "A. N. Kolmogorov Anısına Kupa" da önerilen stereometri probleminin bir örneği.

16. Beşgen bir piramit verildiğinde SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Bir küre var w, piramidin tüm kenarlarına ve başka bir küreye dokunan w 1, tabanın her tarafına dokunan bir 1 bir 2 bir 3 bir 4 bir 5 ve yan kaburgaların devamı SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5 tabanın üst kısımlarının ötesinde. Piramidin tepesinin tabanın köşelerine eşit uzaklıkta olduğunu kanıtlayın. (Berlov S.L., Karpov D.V.)

Çözüm. Kürenin w kürenin herhangi bir yüzünün düzlemiyle kesişimi, yüzün yazılı dairesidir. w 1 küresinin her bir yüzle kesişimi SA i A ben+1 – kenara teğet dış çember A ben A ben+1 üçgen SA i A ben+1 ve diğer iki tarafın devamı. w 1 teğet noktasını kenarın devamı ile gösterelim SA ben başından sonuna kadar B ben. Referans problem 1'e göre elimizde şu var SB ben = SB ben +1 = p SAiAi+1, dolayısıyla piramidin tüm yan yüzlerinin çevreleri eşittir. w'nin kenarla temas noktasını gösterelim SA ben başından sonuna kadar C ben. Daha sonra S.C. 1 = S.C. 2 = S.C. 3 = S.C. 4 = S.C. 5 = S,
Teğet doğru parçaları eşit olduğundan. İzin vermek C i A ben = a ben. Daha sonra p SAiAi +1 = s+a ben +a ben+1 ve çevrelerin eşitliğinden şu sonuç çıkıyor: A 1 = A 3 = A 5 = A 2 = A 4, nereden S.A. 1 = S.A. 2 = S.A. 3 = S.A. 4 = S.A. 5 .

17. Birleşik Devlet Sınavı. Teşhis çalışması 12/8/2009, P–4. Bir yamuk verildiğinde ABCD, temelleri olan MÖ = 44,reklam = 100, AB = CD= 35. Doğrulara teğet olan daire reklam Ve AC., yan tarafa dokunuyor CD noktada k. Segmentin uzunluğunu bulun CK.BDC ve BDA, yanlara dokunun VA noktalarda e Ve F. Segmentin uzunluğunu bulun E.F..

Çözüm. İki durum mümkündür (Şekil 20 ve Şekil 21). Formül (1)'i kullanarak segmentlerin uzunluklarını buluyoruz Almanya Ve DF.

İlk durumda reklam = 0,1AC, CD = 0,9AC.. Saniyede - reklam = 0,125AC, CD = 1,125AC.. Verileri değiştiriyoruz ve cevabı alıyoruz: 4.6 veya 5.5.

Bağımsız çözüm için problemler/

1. Bir daire etrafında çevrelenen ikizkenar yamuğun çevresi eşittir 2 ovmak. Yamuğun köşegeninin daha büyük tabana izdüşümünü bulun. (1/2r)

2. Matematikte Birleşik Devlet Sınavı problemlerinin açık bankası. 4'te. Bir üçgenin içine yazılmış bir daireye ABC (Şek. 22),üç teğet çizilir. Kesilen üçgenlerin çevreleri 6, 8, 10'dur. Bu üçgenin çevresini bulun. (24)

3. Bir üçgene ABC daire yazılmıştır. MN –çembere teğet, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15.Üçgenin çevresini bulun MNC. (12)

4. Kenarı a olan bir karenin içine yazılmış bir daireye, iki kenarını kesen bir teğet çizilir. Kesilen üçgenin çevresini bulun. (A)

5. Kenarları olan bir beşgenin içine bir daire yazılmıştır A, D, C, D Ve e. Teğet noktasının eşit kenarı böldüğü parçaları bulun A.

6. Kenarları 6, 10 ve 12 olan bir üçgenin içine bir daire yazılmıştır. Çembere iki uzun kenarı kesecek şekilde bir teğet çizilir. Kesilen üçgenin çevresini bulun. (16)

7. CD– üçgenin medyanı ABC. Üçgenlerin içine yazılan daireler AKD Ve BCD, segmente dokunun CD noktalarda M Ve N. Bulmak MN, Eğer AC – Güneş = 2. (1)

8. Bir üçgende ABC taraflarla a, b Ve C yanda Güneş işaretlenmiş nokta D. Üçgenlerle yazılmış dairelere ABD Ve AKD kesişen ortak bir teğet çizilir reklam noktada M. Segmentin uzunluğunu bulun AM. (Uzunluk AM noktanın konumuna bağlı değildir D Ve
½'ye eşit ( c + b – bir))

9. Bir dik üçgenin içine yarıçaplı bir daire yazılmıştır. A. Hipotenüse ve bacakların uzantılarına teğet olan dairenin yarıçapı eşittir R. Hipotenüsün uzunluğunu bulun. ( R-a)

10. Bir üçgende ABC kenarların uzunlukları bilinmektedir: AB = İle, AC = B, Güneş = A. Bir üçgenin içine yazılan bir daire bir kenara dokunuyor AB noktada C1. Dış daire yan tarafın uzantısına dokunuyor AB puan başına A noktada C2. Segmentin uzunluğunu belirleyin C 1 C 2. (B)

11. Üçgenin kenar uzunluklarını, yarıçapı 3 cm olan yazılı dairenin teğet noktasına 4 cm ve 3 cm'lik parçalara (dik üçgende 7, 24 ve 25 cm) bölünerek bulun.

12. Soros Olimpiyatı 1996, 2. tur, 11. sınıf. Verilen bir üçgen ABC, yanlarında noktalar işaretlenmiştir A 1, B 1, C 1. Üçgenlerin içine yazılan dairelerin yarıçapları AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1 eşit R. Bir üçgenin içine yazılmış bir dairenin yarıçapı bir 1 B 1 C 1 eşittir R. Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapını bulun ABC. (R +R).

4-8 arasındaki problemler R.K. Gordin'in "Geometri" problem kitabından alınmıştır. Planimetri." Moskova. Yayınevi MCNMO. 2004.

Bir daireye teğet kavramı

Bir dairenin düz bir çizgiye göre üç olası göreceli konumu vardır:

Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçaptan küçükse, o zaman düz çizginin çemberle iki kesişme noktası vardır.

Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçapa eşitse, o zaman düz çizginin çemberle iki kesişme noktası vardır.

Çemberin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçaptan büyükse, o zaman düz çizginin çemberle iki kesişme noktası vardır.

Şimdi çembere teğet çizgi kavramını tanıtalım.

Tanım 1

Bir daireye teğet, kendisiyle bir kesişme noktası olan bir çizgidir.

Çember ile teğetin ortak noktasına teğet noktası denir (Şekil 1).

Şekil 1. Bir daireye teğet

Bir daireye teğet kavramıyla ilgili teoremler

Teorem 1

Teğet özellik teoremi: Bir daireye teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.

Kanıt.

Merkezi $O$ olan bir daire düşünün. $A$ noktasında $a$ teğetini çizelim. $OA=r$ (Şekil 2).

$a\bot r$ olduğunu kanıtlayalım

Teoremi çelişkiyle kanıtlayacağız. $a$ teğetinin dairenin yarıçapına dik olmadığını varsayalım.

Şekil 2. Teorem 1'in Gösterimi

Yani $OA$ teğete eğimlidir. $a$ düz çizgisine dik olan, aynı düz çizgiye olan eğimli olandan her zaman daha küçük olduğundan, dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçaptan daha azdır. Bildiğimiz gibi bu durumda düz çizginin daireyle iki kesişme noktası vardır. Bu da teğetin tanımıyla çelişiyor.

Bu nedenle teğet çemberin yarıçapına diktir.

Teorem kanıtlandı.

Teorem 2

Teğet özellik teoreminin tersi: Bir çemberin yarıçapının ucundan geçen bir doğru yarıçapa dik ise bu doğru bu çembere teğettir.

Kanıt.

Sorunun koşullarına göre, yarıçapın, dairenin merkezinden belirli bir düz çizgiye çizilen dik bir çizgi olduğunu biliyoruz. Bu nedenle dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçapın uzunluğuna eşittir. Bildiğimiz gibi bu durumda çemberin bu doğruyla yalnızca bir kesişme noktası vardır. Tanım 1'e göre bu doğrunun çembere teğet olduğunu buluyoruz.

Teorem kanıtlandı.

Teorem 3

Bir noktadan çizilen bir daireye teğet olan parçalar eşittir ve bu noktadan ve dairenin merkezinden geçen bir doğru ile eşit açılar yapar.

Kanıt.

$O$ noktasında merkezi olan bir daire verilsin. $A$ noktasından (çemberin tamamı üzerinde yer alan) iki farklı teğet çizilir. Temas noktasından sırasıyla $B$ ve $C$ (Şekil 3).

$\angle BAO=\angle CAO$ ve $AB=AC$ olduğunu kanıtlayalım.

Şekil 3. Teorem 3'ün Gösterimi

Teorem 1'e göre:

Bu nedenle $ABO$ ve $ACO$ üçgenleri dik üçgenlerdir. $OB=OC=r$ ve hipotenüs $OA$ ortak olduğundan, bu üçgenlerin hipotenüs ve kenar uzunlukları eşittir.

Dolayısıyla $\angle BAO=\angle CAO$ ve $AB=AC$ elde ederiz.

Teorem kanıtlandı.

Bir daireye teğet kavramına ilişkin bir problem örneği

örnek 1

Merkezi $O$ noktasında ve yarıçapı $r=3\ cm$ olan bir daire veriliyor. $AC$ teğetinin bir $C$ teğet noktası vardır. $AO=4\ cm$. $AC$'ı bulun.

Çözüm.

Öncelikle şekildeki her şeyi tasvir edelim (Şekil 4).

Şekil 4.

$AC$ bir teğet ve $OC$ bir yarıçap olduğundan, Teorem 1'e göre $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$ sonucunu elde ederiz. $ACO$ üçgeninin dikdörtgen olduğunu bulduk, bunun anlamı Pisagor teoremine göre:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \