2 değişkenli eşitsizlikler nasıl çözülür? Ders özeti "İki değişkenli eşitsizlik sistemlerinin çözümü." iki değişkenli

Ders: Denklemler ve eşitsizlikler. Denklem ve eşitsizlik sistemleri

Ders:İki Değişkenli Denklemler ve Eşitsizlikler

Genel anlamda iki değişkenli bir denklem ve eşitsizliği ele alalım.

İki Değişkenli Denklem;

İki değişkenli eşitsizlikte eşitsizliğin işareti herhangi bir şey olabilir;

Burada x ve y değişkenlerdir, p bunlara bağlı bir ifadedir

Bir çift sayıya (), bu çifti ifadeye yerleştirirken sırasıyla doğru denklemi veya eşitsizliği elde edersek, böyle bir denklemin veya eşitsizliğin kısmi çözümü denir.

Görev, tüm çözümlerin kümesini bir düzlemde bulmak veya tasvir etmektir. Bu görevi başka kelimelerle ifade edebilirsiniz - noktaların yerini (GLP) bulun, bir denklem veya eşitsizliğin grafiğini oluşturun.

Örnek 1 - Denklem ve eşitsizliği çözün:

Başka bir deyişle görev GMT'yi bulmayı içeriyor.

Denklemin çözümünü düşünelim. Bu durumda, x değişkeninin değeri herhangi bir olabilir, dolayısıyla elimizde:

Açıkçası, denklemin çözümü düz bir çizgi oluşturan noktalar kümesidir

Pirinç. 1. Denklem Grafiği Örneği 1

Belirli bir denklemin çözümleri özellikle (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1) noktalarıdır.

Verilen eşitsizliğin çözümü, çizginin kendisi de dahil olmak üzere, çizginin üzerinde yer alan bir yarım düzlemdir (bkz. Şekil 1). Aslında doğru üzerinde herhangi bir x 0 noktası alırsak eşitliği elde ederiz. Bir doğrunun üzerindeki yarım düzlemde bir nokta alırsak, elimizde . Yarı düzlemde çizginin altındaki bir noktayı alırsak bu eşitsizliğimizi sağlamaz: .

Şimdi bir daire ve bir daire ile ilgili problemi düşünün.

Örnek 2 - Denklem ve eşitsizliği çözün:

Verilen denklemin, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 olan bir çemberin denklemi olduğunu biliyoruz.

Pirinç. 2. Örnek 2'deki çizim

Rastgele bir x 0 noktasında denklemin iki çözümü vardır: (x 0; y 0) ve (x 0; -y 0).

Belirli bir eşitsizliğin çözümü, çemberin kendisi dikkate alınmadan, çemberin içinde yer alan bir dizi noktadır (bkz. Şekil 2).

Modüllerle bir denklem düşünelim.

Örnek 3 - denklemi çözün:

Bu durumda modülleri genişletmek mümkün olacaktır ancak denklemin özelliklerini dikkate alacağız. Bu denklemin grafiğinin her iki eksene göre simetrik olduğunu görmek kolaydır. O halde, eğer (x 0 ; y 0) noktası bir çözüm ise, o zaman (x 0 ; -y 0) noktası da bir çözümdür, (-x 0 ; y 0) ve (-x 0 ; -y 0) noktaları ) aynı zamanda bir çözümdür.

Böylece her iki değişkenin de negatif olmadığı ve eksenlere göre simetri aldığı bir çözüm bulmak yeterlidir:

Pirinç. 3. Örnek 3 örneği

Gördüğümüz gibi denklemin çözümü karedir.

Belirli bir örnek kullanarak sözde alan yöntemine bakalım.

Örnek 4 - eşitsizliğin çözüm kümesini tasvir edin:

Alanlar yöntemine göre öncelikle sağda sıfır varsa sol taraftaki fonksiyonu ele alıyoruz. Bu iki değişkenin bir fonksiyonudur:

Aralık yöntemine benzer şekilde, geçici olarak eşitsizlikten uzaklaşıp bileşik fonksiyonun özelliklerini ve özelliklerini inceliyoruz.

ODZ: bu, x ekseninin delindiği anlamına gelir.

Şimdi kesrin payı sıfıra eşit olduğunda fonksiyonun sıfıra eşit olduğunu belirtiyoruz:

Fonksiyonun bir grafiğini oluşturuyoruz.

Pirinç. 4. ODZ dikkate alınarak fonksiyonun grafiği

Şimdi fonksiyonun sabit işaretli alanlarını düşünün; bunlar bir düz çizgi ve bir kesikli çizgiden oluşur. kesikli çizginin içinde D 1 alanı vardır. Kırık bir çizgi parçası ile düz bir çizgi arasında - alan D 2, çizginin altında - alan D 3, kesikli bir çizgi parçası ile düz bir çizgi arasında - alan D 4

Seçilen alanların her birinde fonksiyon işaretini korur; bu, her alanda rastgele bir test noktasının kontrol edilmesinin yeterli olduğu anlamına gelir.

Bölgede (0;1) noktasını alıyoruz. Sahibiz:

Bölgede (10;1) noktasını alıyoruz. Sahibiz:

Dolayısıyla bölgenin tamamı negatiftir ve verilen eşitsizliği karşılamamaktadır.

Bölgede (0;-5) noktasını alın. Sahibiz:

Dolayısıyla bölgenin tamamı pozitiftir ve verilen eşitsizliği karşılar.

1. İki değişkenli eşitsizlikler. İki değişkenli iki eşitsizlik sistemini çözme yöntemleri: analitik yöntem ve grafiksel yöntem.

2. İki değişkenli iki eşitsizlik sistemleri: çözümün sonucunun kaydedilmesi.

3. İki değişkenli eşitsizlik kümeleri.

EŞİTSİZLİKLER VE İKİ DEĞİŞKENLİ EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ. f₁(x, y)> formunun yüklemi< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - XxY kümesinde tanımlanan x ve y değişkenlerine sahip ifadelere denir iki değişkenli eşitsizlik (iki bilinmeyenli) x ve y.İki değişkenli formun herhangi bir eşitsizliğinin formda yazılabileceği açıktır. f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. Eşitsizliği çözmek iki değişkenli bir eşitsizliği gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüren bir çift değişken değerdir. Bir çift reel sayının olduğu bilinmektedir. (x, y) Koordinat düzlemindeki bir noktayı benzersiz şekilde belirler. Bu, eşitsizliklere veya iki değişkenli eşitsizlik sistemlerine yönelik çözümlerin koordinat düzleminde belirli bir nokta kümesi şeklinde geometrik olarak tasvir edilmesini mümkün kılar. Eğer Denk.

f(x, y)= 0 koordinat düzleminde belirli bir doğruyu tanımlarsa, bu durumda düzlemin bu doğru üzerinde yer almayan noktaları kümesi sonlu sayıda C₁ bölgesinden oluşur, C2,..., Sp(Şekil 17.8). C alanlarının her birinde, fonksiyon f(x, y) sıfırdan farklıdır çünkü hangi noktalarda f(x, y)= 0 bu alanların sınırlarına aittir.

Çözüm. Eşitsizliği forma dönüştürelim x > y 2 + 2y - 3. Koordinat düzleminde bir parabol oluşturalım X= y 2 + 2y - 3. Düzlemi G₁ ve G olmak üzere iki bölgeye ayıracaktır. 2 (Şekil 17.9). Parabolün sağındaki herhangi bir noktanın apsisi olduğundan X= y 2 + 2y- 3, aynı koordinata sahip ancak bir parabol üzerinde yer alan bir noktanın apsisinden daha büyüktür, vb. eşitsizlik x>y g + 2y -3 kesin değilse, bu eşitsizliğin çözümlerinin geometrik temsili, parabol üzerinde bulunan düzlemin noktaları kümesi olacaktır. X= 2'de+ 2у - 3 ve sağında (Şekil 17.9).

Pirinç. 17.10

Örnek 17.15. Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini koordinat düzleminde çizin

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Çözüm. x > 0 eşitsizlik sisteminin çözümünün geometrik temsili, y > 0, birinci koordinat açısının noktaları kümesidir. Eşitsizliklerin çözümlerinin geometrik gösterimi x + y< 6 veya en< 6 - X fonksiyonun grafiği olarak hizmet veren, çizginin altında ve çizginin üzerinde yer alan noktalar kümesidir y = 6 - X. Eşitsizliklerin çözümlerinin geometrik gösterimi xy > 5 veya çünkü X> 0 eşitsizlik y > 5/x fonksiyonun grafiği olarak hizmet veren hiperbol dalının üzerinde yer alan noktalar kümesidir y = 5/x. Sonuç olarak, y = 6 - x fonksiyonunun grafiği olarak hizmet veren düz çizginin altında ve hiperbolün dalının üzerinde yer alan, birinci koordinat açısında yer alan koordinat düzleminin bir dizi noktasını elde ederiz. fonksiyonun grafiği y = 5x(Şekil 17.10).

Bölüm III. DOĞAL SAYILAR VE SIFIR

ve hatta daha fazlası iki değişkenli eşitsizlik sistemleri, anlaşılan oldukça zor bir görev. Ancak, bu tür görünüşte çok karmaşık sorunları kolayca ve fazla çaba harcamadan çözmeye yardımcı olan basit bir algoritma vardır. Hadi anlamaya çalışalım.

Aşağıdaki türlerden birindeki iki değişkenle bir eşitsizliğimiz olsun:

y > f(x); y ≥ f(x); sen< f(x); y ≤ f(x).

Böyle bir eşitsizliğin çözüm kümesini koordinat düzleminde göstermek için aşağıdaki şekilde ilerleyin:

1. Düzlemi iki bölgeye ayıran y = f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturuyoruz.
2. Ortaya çıkan alanlardan herhangi birini seçiyoruz ve içinde isteğe bağlı bir noktayı değerlendiriyoruz. Bu nokta için orijinal eşitsizliğin uygulanabilirliğini kontrol ediyoruz. Test doğru bir sayısal eşitsizlikle sonuçlanırsa, seçilen noktanın ait olduğu bölgenin tamamında orijinal eşitsizliğin sağlandığı sonucuna varırız. Dolayısıyla eşitsizliğin çözüm kümesi, seçilen noktanın ait olduğu bölgedir. Kontrolün sonucu hatalı bir sayısal eşitsizlik ise eşitsizliğin çözüm kümesi, seçilen noktanın ait olmadığı ikinci bölge olacaktır.
3. Eşitsizlik katı ise bölgenin sınırları yani y = f(x) fonksiyonunun grafiğindeki noktalar çözüm kümesine dahil edilmez ve sınır noktalı çizgiyle gösterilir. Eşitsizlik katı değilse, bölgenin sınırları, yani y = f(x) fonksiyonunun grafiğindeki noktalar, bu eşitsizliğin çözüm kümesine dahil edilir ve bu durumda sınır gösterilir. sağlam bir çizgi olarak. Şimdi bu konuyla ilgili çeşitli sorunlara bakalım.

Görev 1.

x · y ≤ 4 eşitsizliği tarafından hangi noktalar kümesi verilmektedir?

Çözüm.

1) x · y = 4 denkleminin grafiğini oluşturuyoruz. Bunu yapmak için önce onu dönüştürüyoruz. Açıkçası, bu durumda x 0'a dönüşmez, aksi takdirde 0 · y = 4 elde ederiz ki bu yanlıştır. Bu, denklemimizi x'e bölebileceğimiz anlamına gelir. Şunu elde ederiz: y = 4/x. Bu fonksiyonun grafiği bir hiperboldür. Tüm düzlemi iki bölgeye ayırır: hiperbolün iki dalı arasındaki bölge ve bunların dışındaki bölge.

2) Birinci bölgeden rastgele bir nokta seçelim, o nokta (4;2) olsun. Eşitsizliği kontrol edelim: 4 · 2 ≤ 4 – yanlış.

Bu, bu bölgenin noktalarının orijinal eşitsizliği karşılamadığı anlamına gelir. O zaman eşitsizliğin çözüm kümesinin seçilen noktanın ait olmadığı ikinci bölge olacağı sonucuna varabiliriz.

3) Eşitsizlik kesin olmadığından sınır noktalarını yani y=4/x fonksiyonunun grafiğinin noktalarını düz bir çizgiyle çiziyoruz.

Orijinal eşitsizliği tanımlayan noktalar kümesini sarıya boyayalım (Şekil 1).

Görev 2.

Sistem tarafından koordinat düzleminde tanımlanan alanı çizin

Çözüm.

Başlangıç ​​olarak aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini oluşturuyoruz (Şekil 2):

y = x 2 + 2 – parabol,

y + x = 1 – düz çizgi

x 2 + y 2 = 9 – daire.

Şimdi her eşitsizliğe ayrı ayrı bakalım.

1) y > x 2 + 2.

Fonksiyonun grafiğinin üzerinde bulunan (0; 5) noktasını alıyoruz. Eşitsizliği kontrol edelim: 5 > 0 2 + 2 – doğru.

Sonuç olarak, verilen y = x 2 + 2 parabolünün üzerinde yer alan tüm noktalar sistemin ilk eşitsizliğini karşılar. Onları sarıya boyayalım.

2) y + x > 1.

Fonksiyonun grafiğinin üzerinde bulunan (0; 3) noktasını alıyoruz. Eşitsizliği kontrol edelim: 3 + 0 > 1 – doğru.

Sonuç olarak, y + x = 1 düz çizgisinin üzerinde kalan tüm noktalar sistemin ikinci eşitsizliğini karşılar. Onları yeşil gölgeyle boyayalım.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

x 2 + y 2 = 9 çemberinin dışında kalan (0; -4) noktasını alıyoruz. Eşitsizliği kontrol ediyoruz: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – yanlış.

Sonuç olarak x 2 + y 2 = 9 çemberinin dışında kalan tüm noktalar sistemin üçüncü eşitsizliğini sağlamaz. O zaman x 2 + y 2 = 9 çemberinin içinde yer alan tüm noktaların sistemin üçüncü eşitsizliğini sağladığı sonucuna varabiliriz. Onları mor gölgeyle boyayalım.

Eşitsizlik katıysa karşılık gelen sınır çizgisinin noktalı çizgiyle çizilmesi gerektiğini unutmayın. Aşağıdaki resmi elde ediyoruz (Şekil 3).

Arama alanı üç renkli alanın da birbiriyle kesiştiği alandır (Şekil 4).

Notlar için sorular

Çözümü daire olan ve dairenin içindeki noktaları gösteren bir eşitsizlik yazın:

Eşitsizliği çözen noktaları bulun:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

İzin vermek f(x,y) Ve g(x, y)- değişkenli iki ifade X Ve en ve kapsam X. Daha sonra formdaki eşitsizlikler f(x, y) > g(x, y) veya f(x, y) < g(x, y) isminde iki değişkenli eşitsizlik .

Değişkenlerin Anlamı x, y birçoktan X Eşitsizliğin gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştüğü noktaya denir. karar ve belirlenmiş (x, y). Eşitsizliği çözün - bu, bu tür birçok çiftin bulunması anlamına gelir.

Her sayı çifti ise (x, y)çözüm kümesinden eşitsizliğe kadar noktayı eşleştirin M(x, y), bu eşitsizliğin belirlediği düzlemdeki noktalar kümesini elde ederiz. O aradı bu eşitsizliğin grafiği . Bir eşitsizliğin grafiği genellikle düzlem üzerinde bir alandır.

Eşitsizliğin çözüm kümesini tasvir etmek f(x, y) > g(x, y), aşağıdaki şekilde ilerleyin. Öncelikle eşitsizlik işaretini eşittir işaretiyle değiştirin ve denklemi içeren bir doğru bulun. f(x,y) = g(x,y). Bu çizgi düzlemi birkaç parçaya böler. Bundan sonra her bölümden bir puan alıp bu noktada eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek yeterlidir. f(x, y) > g(x, y). Bu noktada yürütülürse bu noktanın bulunduğu bölümün tamamında yürütülecektir. Bu parçaları birleştirerek birçok çözüm elde ediyoruz.

Görev. sen > X.

Çözüm.Öncelikle eşitsizlik işaretini eşittir işaretiyle değiştiririz ve dikdörtgen koordinat sisteminde denklemi içeren bir çizgi oluştururuz. sen = X.

Bu çizgi düzlemi iki parçaya böler. Bundan sonra her parçaya bir puan alın ve bu noktada eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edin. sen > X.

Görev. Eşitsizliği grafiksel olarak çözün
X 2 + en 2 £25.

İki eşitsizlik verilsin F 1(x, y) > G 1(x, y) Ve F 2(x, y) > G 2(x, y).

İki değişkenli eşitsizlik kümeleri sistemleri

Eşitsizlik sistemi dır-dir kendin bu eşitsizliklerin birleşimi. Sistem çözümü her anlam mı (x, y) eşitsizliklerin her birini gerçek bir sayısal eşitsizliğe dönüştürür. Birçok çözüm sistemler eşitsizlikler, belirli bir sistemi oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimidir.

Eşitsizlikler kümesi dır-dir kendin bunların ayrılması eşitsizlikler Çözümü ayarla her anlam mı (x, y) eşitsizliklerden en az birini gerçek sayısal eşitsizliğe dönüştürür. Birçok çözüm bütünlük bir küme oluşturan eşitsizliklerin çözüm kümelerinin birleşimidir.

Görev. Eşitsizlik sistemini grafiksel olarak çözün

Çözüm. y = x Ve X 2 + en 2 = 25. Sistemin her eşitsizliğini çözüyoruz.

Sistemin grafiği, birinci ve ikinci eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimi (çift tarama) olan düzlem üzerindeki noktaların kümesi olacaktır.

Görev. Bir dizi eşitsizliği grafiksel olarak çözün

Bağımsız çalışma için alıştırmalar

1. Eşitsizlikleri grafiksel olarak çözün: a) en> 2X; B) en< 2X + 3;

V) X 2+ e 2 > 9; G) X 2+ e 2 £4.

2. Eşitsizlik sistemlerini grafiksel olarak çözün:

a) b)

“İki değişkenli eşitsizlik sistemleri” video dersi bu konuyla ilgili görsel eğitim materyali içermektedir. Ders, iki değişkenli bir eşitsizlik sistemini çözme kavramının ele alınmasını, bu tür sistemlerin grafiksel olarak çözülmesine ilişkin örnekleri içerir. Bu video dersinin amacı öğrencilerin iki değişkenli eşitsizlik sistemlerini grafiksel olarak çözme becerilerini geliştirmek, bu tür sistemlere çözüm bulma sürecini anlamalarını ve çözüm yöntemini ezberlemelerini kolaylaştırmaktır.

Çözümün her açıklamasına, sorunun çözümünü koordinat düzleminde gösteren çizimler eşlik etmektedir. Bu tür şekiller, grafik oluşturmanın özelliklerini ve çözüme karşılık gelen noktaların konumunu açıkça göstermektedir. Tüm önemli ayrıntılar ve kavramlar renk kullanılarak vurgulanır. Bu nedenle video dersi, sınıftaki öğretmen sorunlarını çözmek için uygun bir araçtır ve öğretmeni, öğrencilerle bireysel çalışma için standart bir materyal bloğu sunmaktan kurtarır.

Video dersi konuyu tanıtarak ve eşitsizliklerden oluşan bir sistemin çözümlerini bulma örneğini ele alarak başlıyor x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Bir eşitsizlik sisteminin çözümüne ilişkin sonuçların anlaşılması, örnekler dikkate alınarak güçlendirilir. Öncelikle x 2 + y 2 eşitsizlik sisteminin çözümü ele alınır<=9 и x+y>=2. Açıkçası, koordinat düzlemindeki ilk eşitsizliğin çözümleri x 2 + y 2 = 9 dairesini ve onun içindeki bölgeyi içermektedir. Şekildeki bu alan yatay gölgeleme ile doldurulmuştur. x+y>=2 eşitsizliğinin çözüm kümesi x+y=2 doğrusunu ve yukarıda yer alan yarım düzlemi içerir. Bu alan aynı zamanda düzlemde farklı yöndeki vuruşlarla da gösterilir. Artık şekildeki iki çözüm kümesinin kesişimini belirleyebiliriz. x 2 + y 2 daire parçasında bulunur<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Daha sonra, y>=x-3 ve y>=-2x+4 doğrusal eşitsizlikleri sisteminin çözümünü analiz ediyoruz. Şekilde görev koşulunun yanında bir koordinat düzlemi oluşturulmuştur. Üzerine y=x-3 denkleminin çözümlerine karşılık gelen düz bir çizgi çizilir. y>=x-3 eşitsizliğinin çözüm alanı bu doğrunun üzerindeki alan olacaktır. Gölgeli. İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi y=-2x+4 çizgisinin üzerinde yer alır. Bu düz çizgi de aynı koordinat düzlemi üzerinde inşa edilir ve çözüm alanı taranır. İki kümenin kesişimi, iki düz çizginin iç bölgesiyle birlikte oluşturduğu açıdır. Eşitsizlik sisteminin çözüm alanı çift gölgeleme ile doldurulmuştur.

Üçüncü örnek ele alındığında, sistemin eşitsizliklerine karşılık gelen denklemlerin grafiklerinin paralel çizgiler olduğu durum anlatılmaktadır. Eşitsizlik sistemini çözmek gerekir y<=3x+1 и y>=3x-2. y=3x+1 denklemine karşılık gelen koordinat düzlemi üzerinde düz bir çizgi çizilir. Y eşitsizliğinin çözümlerine karşılık gelen değer aralığı<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

“İki Değişkenli Eşitsizlik Sistemleri” video dersi okuldaki bir derste görsel bir yardımcı olarak kullanılabilir veya materyali kendi başınıza çalışırken öğretmenin açıklamasının yerine kullanılabilir. Koordinat düzlemindeki eşitsizlik sistemlerinin çözümünün ayrıntılı ve anlaşılır bir açıklaması, uzaktan eğitim sırasında materyalin sunulmasına yardımcı olabilir.