Çevrimiçi grafik. Bir fonksiyonun grafiği nasıl çizilir Koordinat düzleminde noktaları çizme

Oluşturma işlevi

Tüm hakları şirkete ait olan, çevrimiçi fonksiyon grafikleri oluşturmaya yönelik bir hizmeti dikkatinize sunuyoruz. Desmos. İşlevlere girmek için sol sütunu kullanın. Manuel olarak veya pencerenin altındaki sanal klavyeyi kullanarak girebilirsiniz. Grafiğin bulunduğu pencereyi büyütmek için hem sol sütunu hem de sanal klavyeyi gizleyebilirsiniz.

Çevrimiçi grafiğin faydaları

• Girilen fonksiyonların görsel gösterimi
• Çok karmaşık grafikler oluşturma
• Örtülü olarak belirtilen grafiklerin oluşturulması (örneğin, elips x^2/9+y^2/16=1)
• İnternetteki herkesin kullanımına sunulan grafikleri kaydetme ve bunlara bir bağlantı alma yeteneği
• Ölçek kontrolü, çizgi rengi
• Sabitleri kullanarak grafikleri noktalara göre çizme imkanı
• Aynı anda birden fazla fonksiyon grafiğinin çizilmesi
• Kutupsal koordinatlarda çizim (r ve θ(\theta)) kullanın

Bizimle, çevrimiçi olarak değişen karmaşıklıktaki çizelgeleri oluşturmak kolaydır. İnşaat anında yapılır. Hizmet, fonksiyonların kesişim noktalarını bulmak, problemleri çözerken bunları bir Word belgesine taşımak için grafikleri tasvir etmek ve fonksiyon grafiklerinin davranışsal özelliklerini analiz etmek için talep görmektedir. Bu web sitesi sayfasındaki grafiklerle çalışmak için en uygun tarayıcı Google Chrome'dur. Diğer tarayıcılar kullanıldığında doğru çalışma garanti edilmez.

Daha önce diğer fonksiyonları incelemiştik, örneğin doğrusal, standart formunu hatırlayalım:

dolayısıyla bariz temel fark - doğrusal fonksiyonda X birinci derecede yer alır ve çalışmaya başladığımız yeni fonksiyonda, X ikinci kuvvete karşılık gelir.

Doğrusal bir fonksiyonun grafiğinin düz bir çizgi olduğunu ve göreceğimiz gibi bir fonksiyonun grafiğinin parabol adı verilen bir eğri olduğunu hatırlayın.

Formülün nereden geldiğini öğrenerek başlayalım. Açıklaması şudur: Eğer bize kenarı olan bir kare verilirse A, o zaman alanını şu şekilde hesaplayabiliriz:

Bir karenin bir kenar uzunluğunu değiştirirsek alanı da değişir.

Dolayısıyla fonksiyonun incelenmesinin nedenlerinden biri de budur.

Değişkeni hatırlayın X- bu bağımsız bir değişken veya fiziksel bir yorumda argümandır; örneğin zaman olabilir. Aksine mesafe bağımlı bir değişkendir; zamana bağlıdır. Bağımlı değişken veya fonksiyon bir değişkendir en.

Bu, her bir değerin geçerli olduğu yazışma yasasıdır. X tek bir değer atanır en.

Herhangi bir yazışma yasası, argümandan fonksiyona kadar benzersizlik gerekliliğini karşılamalıdır. Fiziksel bir yorumda, mesafenin zamana bağımlılığı örneğini kullanarak bu oldukça açık görünüyor: zamanın her anında başlangıç ​​noktasından belirli bir mesafedeyiz ve başlangıçtan hem 10 hem de 20 kilometre uzakta olmamız imkansız. yolculuğun aynı zamanda t zamanında.

Aynı zamanda her fonksiyon değerine birden fazla argüman değeri ile ulaşılabilir.

Yani fonksiyonun grafiğini oluşturmamız gerekiyor, bunun için bir tablo yapmamız gerekiyor. Daha sonra grafiği kullanarak fonksiyonu ve özelliklerini inceleyin. Ancak fonksiyonun türüne dayalı bir grafik oluşturmadan önce bile, onun özellikleri hakkında bir şeyler söyleyebiliriz: açıktır ki en negatif değer alamaz çünkü

O halde bir tablo oluşturalım:

Pirinç. 1

Grafikten aşağıdaki özellikleri not etmek kolaydır:

Eksen en- bu grafiğin simetri eksenidir;

Parabolün tepe noktası (0; 0) noktasıdır;

Fonksiyonun sadece negatif olmayan değerleri kabul ettiğini görüyoruz;

Bulunduğu aralıkta fonksiyon azalır ve fonksiyonun arttığı aralıkta;

Fonksiyon en küçük değerini tepe noktasında alır, ;

Bir fonksiyonun en büyük değeri yoktur;

örnek 1

Durum:

Çözüm:

Çünkü X Belirli bir aralıktaki koşul değişiklikleriyle, fonksiyon hakkında belirli bir aralıkta arttığını ve değiştiğini söyleyebiliriz. Fonksiyonun bu aralıkta bir minimum değeri ve bir maksimum değeri vardır.

Pirinç. 2. y = x 2 , x ∈ fonksiyonunun grafiği

Örnek 2

Durum: Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun:

Çözüm:

X aralık boyunca değişir, yani en while aralığında azalır ve while aralığında artar.

Yani değişimin sınırları X ve değişimin sınırları en ve dolayısıyla belirli bir aralıkta fonksiyonun hem minimum değeri hem de maksimumu vardır.

Pirinç. 3. y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Aynı fonksiyon değerinin birden fazla argüman değeriyle elde edilebileceğini örnekleyelim.

Fonksiyon grafiği, bir fonksiyonun koordinat düzlemindeki davranışının görsel bir temsilidir. Grafikler, bir fonksiyonun kendisinden belirlenemeyen çeşitli yönlerini anlamanıza yardımcı olur. Birçok fonksiyonun grafiğini oluşturabilirsiniz ve her birine özel bir formül verilecektir. Herhangi bir fonksiyonun grafiği belirli bir algoritma kullanılarak oluşturulur (eğer belirli bir fonksiyonun grafiğini çizme sürecini tam olarak unuttuysanız).

Adımlar

Doğrusal Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi

Fonksiyonun doğrusal olup olmadığını belirleyin. Doğrusal fonksiyon aşağıdaki formülle verilir F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) veya y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(örneğin, ) ve grafiği düz bir çizgidir. Dolayısıyla formül, herhangi bir üs, kök işareti veya benzeri olmaksızın bir değişken ve bir sabit (sabit) içerir. Benzer türde bir fonksiyon verildiğinde, böyle bir fonksiyonun grafiğini çizmek oldukça basittir. Doğrusal fonksiyonların diğer örnekleri şunlardır:

Y ekseninde bir noktayı işaretlemek için bir sabit kullanın.(b) sabiti, grafiğin Y eksenini kestiği noktanın “y” koordinatıdır, yani “x” koordinatı 0 olan bir noktadır. Yani formülde x = 0 yazılırsa. , bu durumda y = b (sabit). Örneğimizde y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) sabit 5'e eşittir, yani Y ekseni ile kesişme noktasının koordinatları (0,5) vardır. Bu noktayı koordinat düzleminde işaretleyin.

Doğrunun eğimini bulun. Değişkenin çarpanına eşittir. Örneğimizde y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)“x” değişkeninin çarpanı 2'dir; dolayısıyla eğim katsayısı 2'ye eşit olur. Eğim katsayısı düz çizginin X eksenine eğim açısını belirler, yani eğim katsayısı ne kadar büyük olursa fonksiyon o kadar hızlı artar veya azalır.

Eğimi kesir olarak yazın. Açısal katsayı, eğim açısının tanjantına, yani dikey mesafenin (düz bir çizgi üzerindeki iki nokta arasındaki) yatay mesafeye (aynı noktalar arasındaki) oranına eşittir. Örneğimizde eğim 2 olduğundan dikey mesafenin 2, yatay mesafenin 1 olduğunu söyleyebiliriz. Bunu kesir olarak yazın: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Eğim negatifse fonksiyon azalıyor demektir.

1. Düz çizginin Y eksenini kestiği noktadan itibaren dikey ve yatay mesafeleri kullanarak ikinci bir nokta çizin. Doğrusal bir fonksiyonun grafiği iki nokta kullanılarak çizilebilir. Örneğimizde Y ekseni ile kesişme noktasının koordinatları (0,5) vardır; Bu noktadan itibaren 2 basamak yukarı ve sonra 1 basamak sağa hareket edin. Bir noktayı işaretleyin; koordinatları (1,7) olacaktır. Artık düz bir çizgi çizebilirsiniz.

   Bir cetvel kullanarak iki noktadan geçen düz bir çizgi çizin. Hatalardan kaçınmak için üçüncü noktayı bulun, ancak çoğu durumda grafik iki nokta kullanılarak çizilebilir. Böylece doğrusal bir fonksiyon çizdiniz.

   Koordinat düzleminde noktaların çizilmesi

   1. Bir işlev tanımlayın. Fonksiyon f(x) olarak gösterilir. "y" değişkeninin olası tüm değerlerine fonksiyonun tanım kümesi, "x" değişkeninin tüm olası değerlerine ise fonksiyonun tanım kümesi adı verilir. Örneğin, y = x+2 fonksiyonunu, yani f(x) = x+2'yi düşünün.

      Kesişen iki dik çizgi çizin. Yatay çizgi X eksenidir. Dikey çizgi Y eksenidir.

      Koordinat eksenlerini etiketleyin. Her ekseni eşit parçalara bölün ve numaralandırın. Eksenlerin kesişme noktası 0'dır. X ekseni için: pozitif sayılar sağa (0'dan itibaren) ve negatif sayılar sola çizilir. Y ekseni için: pozitif sayılar üstte (0'dan itibaren), negatif sayılar ise altta çizilir.

      "x" değerlerinden "y" değerlerini bulun.Örneğimizde f(x) = x+2. Karşılık gelen y değerlerini hesaplamak için belirli x değerlerini bu formülde değiştirin. Karmaşık bir fonksiyon verilmişse, "y"yi denklemin bir tarafında yalnız bırakarak basitleştirin.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Koordinat düzlemindeki noktaları işaretleyin. Her koordinat çifti için aşağıdakileri yapın: X ekseninde karşılık gelen değeri bulun ve dikey bir çizgi (noktalı) çizin; Y ekseninde karşılık gelen değeri bulun ve yatay bir çizgi (kesikli çizgi) çizin. İki noktalı çizginin kesişme noktasını işaretleyin; Böylece grafikte bir nokta çizmiş oldunuz.

      Noktalı çizgileri silin. Bunu grafikteki tüm noktaları koordinat düzlemine çizdikten sonra yapın. Not: f(x) = x fonksiyonunun grafiği koordinat merkezinden [(0,0) koordinatlı nokta] geçen düz bir çizgidir; f(x) = x + 2 grafiği, f(x) = x doğrusuna paralel fakat iki birim yukarı kaydırılmış ve bu nedenle (0,2) koordinatlı noktadan geçen bir doğrudur (çünkü sabit 2'dir) .

   Karmaşık Bir Fonksiyonun Grafiğinin Çizilmesi

   Fonksiyonun sıfırlarını bulun. Bir fonksiyonun sıfırları, y = 0 olan x değişkeninin değerleridir, yani grafiğin X eksenini kestiği noktalardır. Tüm fonksiyonların sıfırları olmadığını ancak bunların ilk olduğunu unutmayın. Herhangi bir fonksiyonun grafiğini çizme sürecindeki adım. Bir fonksiyonun sıfırlarını bulmak için onu sıfıra eşitleyin. Örneğin:

   Yatay asimptotları bulun ve işaretleyin. Asimptot, bir fonksiyonun grafiğinin yaklaştığı ancak asla kesişmediği bir çizgidir (yani bu bölgede, örneğin 0'a bölünürken fonksiyon tanımlanmamıştır). Asimptotu noktalı bir çizgiyle işaretleyin. "X" değişkeni bir kesrin paydasındaysa (örneğin, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), paydayı sıfıra ayarlayın ve “x”i bulun. “x” değişkeninin elde edilen değerlerinde fonksiyon tanımlanmamıştır (örneğimizde x = 2 ve x = -2 boyunca noktalı çizgiler çiziniz), çünkü 0'a bölemezsiniz. Ancak asimptotlar yalnızca fonksiyonun kesirli bir ifade içerdiği durumlarda mevcut değildir. Bu nedenle sağduyunuzu kullanmanız önerilir:

Modüller içeren fonksiyonların grafiklerini oluşturmak genellikle okul çocukları için önemli zorluklara neden olur. Ancak her şey o kadar da kötü değil. Bu tür problemleri çözmek için birkaç algoritmayı hatırlamak yeterlidir ve en karmaşık görünen fonksiyonun bile grafiğini kolayca oluşturabilirsiniz. Bunların ne tür algoritmalar olduğunu bulalım.

1. y = |f(x)| fonksiyonunun grafiğini çizmek

Fonksiyon değerleri kümesinin y = |f(x)| : y ≥ 0. Dolayısıyla bu tür fonksiyonların grafikleri her zaman tamamen üst yarı düzlemde yer alır.

y = |f(x)| fonksiyonunun grafiğini çizmek aşağıdaki basit dört adımdan oluşur.

1) Dikkatli ve dikkatli bir şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturun.

2) Grafikte 0x ekseninin üstünde veya üzerinde bulunan tüm noktaları değiştirmeden bırakın.

3) Grafiğin 0x ekseninin altında kalan kısmını 0x eksenine göre simetrik olarak görüntüleyin.

Örnek 1. y = |x 2 – 4x + 3| fonksiyonunun grafiğini çizin.

1) y = x 2 – 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini oluşturuyoruz. Bu fonksiyonun grafiğinin bir parabol olduğu açıktır. Parabolün koordinat eksenleri ile kesiştiği tüm noktaların koordinatlarını ve parabolün tepe noktasının koordinatlarını bulalım.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Bu nedenle parabol, 0x eksenini (3, 0) ve (1, 0) noktalarında keser.

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Bu nedenle parabol, 0y eksenini (0, 3) noktasında keser.

Parabolün köşe koordinatları:

x inç = -(-4/2) = 2, y inç = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Dolayısıyla (2, -1) noktası bu parabolün tepe noktasıdır.

Elde edilen verileri kullanarak bir parabol çizin (Şekil 1)

2) Grafiğin 0x ekseninin altında kalan kısmı 0x eksenine göre simetrik olarak görüntülenir.

3) Orijinal fonksiyonun bir grafiğini elde ederiz ( pirinç. 2, noktalı çizgi olarak gösterilmiştir).

2. y = f(|x|) fonksiyonunun grafiğini çizme

y = f(|x|) formundaki fonksiyonların çift olduğuna dikkat edin:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Bu, bu tür fonksiyonların grafiklerinin 0y eksenine göre simetrik olduğu anlamına gelir.

y = f(|x|) fonksiyonunun grafiğini çizmek aşağıdaki basit eylemler zincirinden oluşur.

1) y = f(x) fonksiyonunun grafiğini çizin.

2) Grafiğin x ≥ 0 olduğu kısmını, yani grafiğin sağ yarı düzlemde bulunan kısmını bırakın.

3) Grafiğin (2) noktasında belirtilen kısmını 0y eksenine simetrik olarak görüntüleyin.

4) Son grafik olarak (2) ve (3) noktalarında elde edilen eğrilerin birleşimini seçin.

Örnek 2. y = x 2 – 4 · |x| fonksiyonunun grafiğini çizin + 3

x 2 = |x| olduğundan Şekil 2'de görüldüğü gibi orijinal fonksiyon aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Artık yukarıda önerilen algoritmayı uygulayabiliriz.

1) y = x 2 – 4 x + 3 fonksiyonunun grafiğini dikkatli ve dikkatli bir şekilde oluşturuyoruz (ayrıca bkz. pirinç. 1).

2) Grafiğin x ≥ 0 olduğu kısmını, yani grafiğin sağ yarı düzlemde yer alan kısmını bırakıyoruz.

3) Grafiğin sağ tarafını 0y eksenine simetrik olarak görüntüleyin.

(Şek. 3).

Örnek 3. y = log 2 |x| fonksiyonunun grafiğini çizin

Yukarıda verilen şemayı uyguluyoruz.

1) y = log 2 x fonksiyonunun grafiğini oluşturun (Şekil 4).

3. y = |f(|x|)| fonksiyonunun grafiğini çizmek

y = |f(|x|)| formundaki fonksiyonlara dikkat edin. aynı zamanda eşitler. Aslında, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) olduğundan grafikleri 0y eksenine göre simetriktir. Bu tür fonksiyonların değer kümesi: y ≥ 0. Bu, bu tür fonksiyonların grafiklerinin tamamen üst yarı düzlemde yer aldığı anlamına gelir.

y = |f(|x|)| fonksiyonunu çizmek için şunları yapmanız gerekir:

1) y = f(|x|) fonksiyonunun grafiğini dikkatlice oluşturun.

2) Grafiğin 0x ekseninin üstünde veya üzerinde olan kısmını değiştirmeden bırakın.

3) Grafiğin 0x ekseninin altında bulunan kısmını 0x eksenine göre simetrik olarak görüntüleyin.

4) Son grafik olarak (2) ve (3) noktalarında elde edilen eğrilerin birleşimini seçin.

Örnek 4. y = |-x 2 + 2|x| fonksiyonunun grafiğini çizin – 1|.

1) x 2 = |x| 2. Bu, orijinal işlev yerine y = -x 2 + 2|x| - 1

y = -|x| fonksiyonunu kullanabilirsiniz 2 + 2|x| – 1, çünkü grafikleri çakışıyor.

Bir y = -|x| grafiği oluşturuyoruz 2 + 2|x| – 1. Bunun için algoritma 2’yi kullanıyoruz.

a) y = -x 2 + 2x – 1 fonksiyonunun grafiğini çizin (Şekil 6).

b) Grafiğin sağ yarı düzlemde bulunan kısmını bırakıyoruz.

c) Grafiğin ortaya çıkan kısmını 0y eksenine simetrik olarak gösteriyoruz.

d) Ortaya çıkan grafik şekilde noktalı çizgi ile gösterilmiştir. (Şekil 7).

2) 0x ekseninin üzerinde hiçbir nokta yok; 0x eksenindeki noktaları değiştirmeden bırakıyoruz.

3) Grafiğin 0x ekseninin altında bulunan kısmı 0x'e göre simetrik olarak görüntülenir.

4) Ortaya çıkan grafik şekilde noktalı çizgiyle gösterilmiştir. (Şekil 8).

Örnek 5. y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| fonksiyonunun grafiğini çizin

1) Öncelikle y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) fonksiyonunun grafiğini çizmeniz gerekir. Bunu yapmak için Algoritma 2'ye dönüyoruz.

a) y = (2x – 4) / (x + 3) fonksiyonunu dikkatlice çizin (Şekil 9).

Bu fonksiyonun kesirli doğrusal olduğunu ve grafiğinin bir hiperbol olduğunu unutmayın. Bir eğri çizmek için öncelikle grafiğin asimptotlarını bulmanız gerekir. Yatay – y = 2/1 (kesrin pay ve paydasındaki x katsayılarının oranı), dikey – x = -3.

2) Grafiğin 0x ekseninin üzerinde veya üzerinde bulunan kısmını değiştirmeden bırakacağız.

3) Grafiğin 0x ekseninin altında bulunan kısmı 0x'e göre simetrik olarak görüntülenecektir.

4) Son grafik şekilde gösterilmiştir. (Şekil 11).

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.