10 üzerinden 2 kombinasyon kaçtır. Kombinatorik: temel kurallar ve formüller. Permütasyonlar ve olasılık teorisi

N elemanın tümü tekrarlanmıyorsa ve hiçbiri tekrarlanmıyorsa bu, permütasyon sayısıyla ilgili bir problemdir. Çözüm basit bulunabilir. Sıradaki ilk sıra N öğeden herhangi biri olabilir, dolayısıyla N seçenek vardır. İkinci sırada - daha önce birinci sırada kullanılmış olanlar dışında herhangi biri. Bu nedenle, halihazırda bulunan N seçeneğin her biri için (N - 1) ikinci sıra seçeneği vardır ve toplam kombinasyon sayısı N*(N - 1) olur.
Aynı şey serinin geri kalan elemanları için de tekrarlanabilir. En sonunculuk için geriye tek bir seçenek kaldı; kalan son öğe. Sondan bir önceki için iki seçenek vardır ve bu böyle devam eder.
Bu nedenle, N adet tekrarlanmayan elemandan oluşan bir seri için olası permütasyonlar, 1'den N'ye kadar tüm tam sayıların çarpımına eşittir. Bu çarpıma N'nin faktöriyeli denir ve N! ile gösterilir. (“en faktöriyel” okuyun).

Önceki durumda, olası öğelerin sayısı ile satırdaki yer sayısı çakışıyordu ve sayıları N'ye eşitti. Ancak satırda olası öğelerin sayısından daha az yer olduğu bir durum mümkündür. Başka bir deyişle, numunedeki elementlerin sayısı belirli bir M sayısına eşittir ve M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
İlk olarak, N'den M elemanın bir sıra halinde düzenlenebileceği olası yolların toplam sayısını saymak isteyebilirsiniz.Bu yollara düzenleme denir.
İkinci olarak araştırmacı, N'den M elemanın seçilebileceği yolların sayısıyla ilgilenebilir. Bu durumda elemanların sırası artık önemli değildir, ancak herhangi iki seçenek birbirinden en az bir eleman kadar farklı olmalıdır. . Bu tür yöntemlere kombinasyonlar denir.

M öğelerinin N dışındaki yerleşim sayısını bulmak için permütasyonlarda olduğu gibi aynı akıl yürütme yöntemine başvurabilirsiniz. İlk sırada hala N öğe olabilir, ikinci sırada N - 1 vb. olabilir. Ancak sonuncusu için olası seçeneklerin sayısı bire eşit değil (N - M + 1), çünkü yerleştirme tamamlandığında hala (N - M) kullanılmayan öğeler kalacak.
Böylece, N'den M elemanlarının yerleşim sayısı, (N - M + 1)'den N'ye kadar tüm tam sayıların çarpımına veya aynı şekilde N!/(N - M)! bölümüne eşittir.

Açıkçası, N'den M elemanının kombinasyonlarının sayısı yerleştirme sayısından daha az olacaktır. Mümkün olan her kombinasyon için bir M var! bu kombinasyonun elemanlarının sırasına bağlı olarak olası yerleşimler. Bu nedenle bu miktarı bulmak için N'den M elemanının yerleşim sayısını N!'ye bölmeniz gerekir. Başka bir deyişle, N'den M elemanın kombinasyon sayısı N!/(M!*(N - M))'ye eşittir.

KOMBİNATÖRLER

Kombinatorik, belirli bir temel kümeden elemanların belirli kurallara uygun olarak seçilmesi ve düzenlenmesi problemlerini inceleyen bir matematik dalıdır. Kombinatorik formülleri ve ilkeleri, olasılık teorisinde rastgele olayların olasılığını hesaplamak ve buna göre rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını elde etmek için kullanılır. Bu da, doğada ve teknolojide kendini gösteren istatistiksel kalıpların doğru anlaşılması için çok önemli olan kitlesel rastgele olayların kalıplarını incelememize olanak tanır.

Kombinatorikte toplama ve çarpma kuralları

Toplama kuralı. Eğer A ve B eylemleri birbirini dışlıyorsa ve A eylemi m yolla, B eylemi n yolla gerçekleştirilebiliyorsa, bu durumda bu eylemlerden biri (A veya B) n + m yolla gerçekleştirilebilir.

Örnek 1.

Sınıfta 16 erkek, 10 kız var. Bir görevliyi kaç farklı şekilde görevlendirebilirsiniz?

Çözüm

Göreve ya bir erkek ya da kız atanabilir, yani. Nöbetçi 16 erkekten herhangi biri veya 10 kızdan herhangi biri olabilir.

Toplam kuralını kullanarak bir görevlinin 16+10=26 şekilde atanabileceğini görüyoruz.

Ürün kuralı. Ardışık olarak yapılması gereken k tane eylem olsun. Eğer ilk eylem n 1 yolla gerçekleştirilebiliyorsa, ikinci eylem n 2 yolla, üçüncüsü n 3 yolla gerçekleştirilebiliyorsa ve bu şekilde, n k yolla gerçekleştirilebilen k. eyleme kadar devam eder, o zaman tüm k eylemler birlikte gerçekleştirilebilir. :

yollar.

Örnek 2.

Sınıfta 16 erkek, 10 kız var. İki görevli kaç farklı şekilde atanabilir?

Çözüm

Göreve ilk gelen kişi olarak bir kız ya da erkek atanabilir. Çünkü Sınıfta 16 erkek ve 10 kız var o zaman 16+10=26 yol ile ilk görevliyi atayabilirsiniz.

Birinci nöbetçiyi seçtikten sonra kalan 25 kişiden ikincisini seçebiliyoruz. 25 yol.

Çarpma teoremine göre iki görevli 26*25=650 şekilde seçilebilir.

Tekrarlanmayan kombinasyonlar. Tekrarlı kombinasyonlar

Kombinatorikteki klasik bir problem, içeriği şu soruyla ifade edilebilen tekrarsız kombinasyon sayısı problemidir: kaç tane yollar Olabilmek seçmek nereden n farklı öğe?

Örnek 3.

Hediye olarak sunulan 10 farklı kitaptan 4'ünü seçmelisiniz. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm

10 kitaptan 4'ünü seçmemiz gerekiyor ve seçim sırası önemli değil. Böylece, 10 elementin 4'lü kombinasyon sayısını bulmanız gerekir:

.

Tekrarlı kombinasyon sayısı problemini düşünün: n farklı türden her biri r tane özdeş nesne vardır; kaç tane yollar Olabilmek seçmek m()'den bunlar (n*r) öğe?

.

Örnek 4.

Pastanede 4 çeşit kek satılıyordu: Napolyon, ekler, kurabiye ve puf böreği. 7 adet pastayı kaç farklı şekilde satın alabilirsiniz?

Çözüm

Çünkü 7 kek arasında aynı türden kekler olabilir, bu durumda 7 kekin satın alınabileceği yolların sayısı, 7'den 4'e kadar tekrarlı kombinasyonların sayısına göre belirlenir.

.

Tekrarı olmayan yerleşimler. Tekrarlı yerleşimler

Kombinatorikteki klasik bir problem, içeriği şu soruyla ifade edilebilen, tekrarsız yerleşim sayısı problemidir: kaç tane yollar Olabilmek seçmek Ve postalamak İle farklıyım yer nereden farklı öğeler?

Örnek 5.

Bazı gazeteler 12 sayfadır. Bu gazetenin sayfalarına dört fotoğraf koymak gerekiyor. Gazetenin hiçbir sayfasında birden fazla fotoğraf yer almayacaksa bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm.

Bu görevde sadece fotoğraf seçmiyoruz, onları gazetenin belirli sayfalarına yerleştiriyoruz ve gazetenin her sayfasında birden fazla fotoğraf bulunmamalı. Böylece problem, 4 elementin 12 elementinin tekrarı olmadan yerleştirme sayısının belirlenmesi şeklindeki klasik probleme indirgenir:

Böylece 12 sayfadaki 4 fotoğraf 11.880 şekilde düzenlenebilmektedir.

Ayrıca kombinatorikteki klasik bir problem, içeriği şu soruyla ifade edilebilecek tekrarlı yerleşim sayısı problemidir: kaç tane yollar Olabilmek SenBordu Ve postalamak İle farklıyım yer nereden n öğe,İlehazır Hangi Orada aynısı?

Örnek 6.

Çocuğun masa oyunu setinden hâlâ 1, 3 ve 7 numaralı pullar vardı ve bu pulları kullanarak bir katalog oluşturmak için tüm kitapların üzerine beş basamaklı sayılar koymaya karar verdi. Bir çocuk kaç farklı beş basamaklı sayı oluşturabilir?

Tekrarı olmayan permütasyonlar. Tekrarlı permütasyonlar

Kombinatorikteki klasik bir problem, içeriği şu soruyla ifade edilebilen tekrarsız permütasyon sayısı problemidir: kaç tane yollar Olabilmek postalamak N çeşitli öğeler Açık farklı yer?

Örnek 7.

“Evlilik” kelimesinin harflerinden kaç tane dört harfli “kelime” oluşturabilirsiniz?

Çözüm

Genel nüfus “evlilik” kelimesinin 4 harfinden oluşur (b, p, a, k). “Kelimelerin” sayısı bu 4 harfin permütasyonları ile belirlenir, yani.

Seçilen n eleman arasında aynı olanların (geri dönüşlü seçim) olması durumunda, tekrarlı permütasyon sayısı sorunu şu soruyla ifade edilebilir: N farklı yerde bulunan n nesne, n nesne arasında k farklı tip (k) varsa, kaç farklı şekilde yeniden düzenlenebilir?< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Örnek 8.

"Mississippi" kelimesinin harflerinden kaç farklı harf kombinasyonu yapılabilir?

Çözüm

1 adet "m" harfi, 4 adet "i" harfi, 3 adet "c" harfi ve 1 adet "p" harfi olmak üzere toplam 9 harf bulunmaktadır. Bu nedenle tekrarlı permütasyon sayısı eşittir

"KOMBİNATÖRİKLER" BÖLÜMÜNÜN ARKA PLAN ÖZETİ

Arkadaşlar! Bu ölü defter elimde zaten olduğundan, onu size dün üç fizikçinin, iki ekonomistin, biri Politeknik'ten, biri de beşeri bilimlerden birinin uğraştığı bir problemi sormak için kullanacağım. Beynimizin tamamını kırdık ve sürekli farklı sonuçlar alıyoruz. Belki aranızda programcılar ve matematik dehaları vardır, ayrıca problem genelde okul problemidir ve çok kolaydır, formülü çıkaramayız. Çünkü kesin bilimleri okumayı bıraktık ve bunun yerine bazı nedenlerden dolayı kitap yazıp resim çiziyoruz. Üzgünüm.

Yani arka plan.

Bana yeni bir banka kartı verildi ve her zamanki gibi PIN kodunu şakacı bir şekilde tahmin ettim. Ama art arda değil. Yani diyelim ki PIN kodu 8794, ben de 9748 dedim. tüm sayıları tahmin ettim, bu dört basamaklı sayının içinde yer alıyordu. İyi evet, sayının kendisi değil, ama sadece bileşenleri Merak ediyordum. Ama rakamların hepsi doğru! NOT - Rastgele hareket ettim, yani zaten bilinen sayıları doğru sıraya koymak zorunda değildim, sadece ruhla hareket ettim: burada benim için bilinmeyen dört sayı var ve bunların arasında olabileceğine inanıyorum. 9, 7, 4 ve 8 olup sıraları önemli değildir. Hemen kendimize şu soruyu sorduk: kaç seçeneğim vardı?(muhtemelen onu alıp tahmin etmemin ne kadar havalı olduğunu anlamak için). Yani, dört sayının kaç kombinasyonu arasından seçim yapmam gerekiyordu? Ve sonra doğal olarak kıyamet koptu. Bütün akşam kafamız patladı ve hepimiz tamamen farklı cevaplarla karşılaştık! Hatta tüm bu kombinasyonları art arda bir deftere yazmaya başladım, ancak dört yüzde dört yüzden fazla olduğunu fark ettim (her halükarda bu, bana orada olduğuna dair güvence veren fizikçi Thrash'in cevabını çürüttü). dört yüz kombinasyon vardı, ama yine de bu tam olarak net değil) - ve pes etti.

Aslında, sorunun özü. Dört basamaklı bir sayının içerdiği dört sayıyı (herhangi bir sırayla) tahmin etme olasılığı nedir?

Ya da değil, daha açık ve daha kesin hale getirmek için konuyu başka bir şekilde ifade edelim (Ben bir hümanistim, kusura bakmayın, her ne kadar matematiğe karşı her zaman büyük bir zayıflığım olmuş olsa da). Kaç tane tekrarlanmayan 0'dan 9999'a kadar sıra sayıları dizisinde yer alan sayıların kombinasyonları? ( lütfen bunu "kaç kombinasyon" sorusuyla karıştırmayın tekrarlanmayan sayılar"!!! sayılar tekrarlanabilir! Yani bu durumda 2233 ve 3322 aynı kombinasyondur!!).

Veya daha da spesifik. On sayıdan birini dört kez tahmin etmem gerekiyor. Ama art arda değil.

Peki ya da başka bir şey. Genel olarak kart PIN kodunun oluşturulduğu sayısal kombinasyon için kaç seçeneğe sahip olduğumu bulmam gerekiyor. Yardım edin, iyi insanlar! Lütfen yardım ederken hemen bunlar için 9999 seçenek olduğunu yazmaya başlamayın.(Dün herkesin aklına ilk başta bu geldi), çünkü bu saçmalık - sonuçta bizi endişelendiren açıdan bakıldığında 1234 sayısı, 3421 sayısı, 4312 sayısı vb. aynı şey! Evet, sayılar tekrarlanabilir çünkü 1111 veya örneğin 0007 PIN kodu vardır. PIN kodu yerine bir araba numarası hayal edebilirsiniz. Diyelim ki araba numarasını oluşturan tek haneli sayıların tamamını tahmin etme olasılığı nedir? Veya olasılık teorisini tamamen ortadan kaldırmak için kaç sayı kombinasyonundan birini seçmem gerekiyordu?

Lütfen cevaplarınızı ve gerekçelerinizi bazı kesin formüllerle destekleyin, çünkü dün neredeyse deliriyorduk. Hepinize şimdiden çok teşekkür ederim!

Not: Akıllı bir kişi, bir programcı, sanatçı ve mucit, sorunun doğru çözümünü çok doğru bir şekilde önerdi ve bana birkaç dakika boyunca harika bir ruh hali verdi: " Sorunun çözümü şu: Obsesif kompulsif bozukluğu var, tedavisi şu: Evlen ve tepe domates. Ben onun yerinde olsaydım “olasılık nedir” sorusuyla değil, “bu kadar rakamlara neden dikkat ediyorum” sorusuyla daha fazla ilgilenirdim. Genel olarak ekleyecek bir şey bile yok :)

Aşağıdaki hesap makinesi n'ye m elemanın tüm kombinasyonlarını üretecek şekilde tasarlanmıştır.
Bu tür kombinasyonların sayısı Kombinatorik Elemanları hesaplayıcısı kullanılarak hesaplanabilir. Permütasyonlar, yerleşimler, kombinasyonlar.

Hesap makinesinin altındaki oluşturma algoritmasının açıklaması.

Algoritma

Kombinasyonlar sözlükbilimsel sıraya göre oluşturulur. Algoritma, set elemanlarının sıra indeksleriyle çalışır.
Bir örnek kullanarak algoritmaya bakalım.
Sunumu basitleştirmek için, endeksleri 1 ile başlayan, yani 1 2 3 4 5 olan beş öğeden oluşan bir kümeyi düşünün.
M = 3 boyutunda tüm kombinasyonların üretilmesi gerekmektedir.
Verilen m boyutunun ilk kombinasyonu ilk olarak başlatılır - endeksler artan sıradadır
1 2 3
Daha sonra son eleman kontrol edilir, yani i = 3. Değeri n - m + i'den küçükse 1 artırılır.
1 2 4
Son eleman tekrar kontrol edilir ve tekrar artırılır.
1 2 5
Artık elemanın değeri mümkün olan maksimum değere eşittir: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, i = 2 olan önceki eleman kontrol edilir.
Değeri n - m + i'den küçükse 1 artırılır ve onu takip eden tüm elemanlar için değer, önceki elemanın değeri artı 1'e eşittir.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Daha sonra tekrar i = 3 olup olmadığını kontrol ediyoruz.
1 3 5
Daha sonra i = 2 olup olmadığını kontrol edin.
1 4 5
Sonra i = 1'in sırası gelir.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
Ve ilerisi,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - son kombinasyon, çünkü tüm elemanları n - m + i'ye eşittir.

PIN kodlarının dünya altyapısındaki önemli rolüne rağmen, insanların gerçekte PIN kodlarını nasıl seçtiklerine dair hiçbir akademik araştırma yapılmamıştır.

Cambridge Üniversitesi araştırmacıları Sören Preibusch ve Ross Anderson, 4 basamaklı banka PIN kodunu tahmin etmenin zorluğuna ilişkin dünyanın ilk niceliksel analizini yayınlayarak durumu düzelttiler.

Banka dışı kaynaklardan ve çevrimiçi anketlerden gelen şifre sızıntılarına ilişkin verileri kullanan bilim adamları, kullanıcıların PIN kodu seçimini web siteleri için şifre seçiminden çok daha ciddiye aldıklarını buldu: çoğu kod neredeyse rastgele bir sayı dizisi içeriyor. Bununla birlikte, ilk veriler arasında basit kombinasyonlar ve doğum günleri de vardır; yani, biraz şansla, bir saldırgan değerli kodu kolayca tahmin edebilir.

Çalışmanın başlangıç ​​noktası, RockYou veritabanından (1,7 milyon) 4 basamaklı şifre dizisi ve iPhone ekran kilitleme programından (veritabanı uygulama geliştiricisi Daniel Amitay tarafından sağlanmıştır) 200 bin PIN kodundan oluşan bir veritabanıydı. . Bu verilerden oluşturulan grafiklerde ilginç modeller ortaya çıkıyor: tarihler, yıllar, yinelenen sayılar ve hatta 69 ile biten PIN kodları. Bu gözlemlere dayanarak bilim adamları, 25 faktöre bağlı olarak her PIN kodunun popülerliğini tahmin eden doğrusal bir regresyon modeli oluşturdular. Kodun bir DDMM tarihi olup olmadığı, artan bir dizi olup olmadığı vb. gibi. Her setteki PIN kodlarının %79'u ve %93'ü bu genel koşulları karşılamaktadır.

Yani kullanıcılar 4 basamaklı kodları yalnızca birkaç basit faktöre göre seçiyor. Eğer banka PIN kodları bu şekilde seçilseydi, sadece üç denemede %8-9'u tahmin edilebilirdi! Ancak elbette insanlar banka kodlarına çok daha dikkat ediyorlar. Büyük miktarda gerçek bankacılık verisi bulunmadığından, araştırmacılar gerçek PIN kodlarının halihazırda dikkate alınanlardan ne kadar farklı olduğunu değerlendirmek için 1.300'den fazla kişiyle anket yaptı. Araştırmanın özellikleri göz önüne alındığında, katılımcılara kodların kendileri hakkında sorular sorulmamış, yalnızca yukarıdaki faktörlerden herhangi birine (artan, DDMM formatı vb.) uygunlukları sorulmuştur.

İnsanların banka PIN kodlarını gerçekten çok daha dikkatli seçtikleri ortaya çıktı. Ankete katılanların yaklaşık dörtte biri banka tarafından oluşturulan rastgele bir PIN kullanıyor. Üçte birinden fazlası PIN'ini eski bir telefon numarasını, öğrenci kimlik numarasını veya rastgele görünen başka bir sayı dizisini kullanarak seçiyor. Sonuçlara göre, kart sahiplerinin %64'ü sözde rastgele PIN kullanıyor; bu oran, banka dışı kodlarla yapılan önceki deneylerdeki %23-27'den çok daha yüksek. Diğer %5'lik bir kesim ise dijital bir kalıp (örneğin 4545) kullanıyor ve %9'u bir klavye desenini (örneğin 2684) tercih ediyor. Genel olarak, bir saldırganın altı denemede (üçü ATM ve üçü ödeme terminali ile) başka birinin kartının PIN kodunu tahmin etme şansı %2'den azdır.

En popüler 100 PIN kodu

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

Not: Pratikte elbette bir saldırganın PIN kodunuzu gözetlemesi, tahmin etmekten çok daha kolaydır. Ancak görünüşte umutsuz bir durumda bile kendinizi gözetlemekten de koruyabilirsiniz:

Kombinatorik, verilen nesnelerden belirli koşullara bağlı olarak kaç farklı kombinasyonun yapılabileceğiyle ilgili soruları inceleyen bir matematik dalıdır. Kombinatoriğin temelleri rastgele olayların olasılıklarını tahmin etmek için çok önemlidir, çünkü Olayların gelişimi için temelde mümkün olan farklı seçeneklerin sayısını hesaplamamıza izin verenler onlardır.

Kombinatoriklerin temel formülü

K tane element grubu olsun ve i'inci grup n i elementten oluşsun. Her gruptan bir öğe seçelim. Daha sonra böyle bir seçimin yapılabileceği yolların toplam sayısı N, N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k ilişkisiyle belirlenir.

Örnek 1. Bu kuralı basit bir örnekle açıklayalım. İki element grubu olsun ve ilk grup n 1 elementten, ikincisi ise n 2 elementten oluşsun. Bu iki gruptan, her gruptan bir eleman bulunacak şekilde kaç farklı eleman çifti oluşturulabilir? Diyelim ki birinci gruptan ilk elemanı aldık ve onu değiştirmeden tüm olası çiftleri inceledik, yalnızca ikinci grubun elemanlarını değiştirdik. Bu eleman için bu tür n 2 çift olabilir. Daha sonra birinci gruptan ikinci elemanı alıyoruz ve onun için mümkün olan tüm çiftleri de oluşturuyoruz. Ayrıca bu türden 2 tane çift olacaktır. İlk grupta yalnızca n 1 öğe bulunduğundan, toplam olası seçenekler n 1 *n 2 olacaktır.

Örnek 2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından, rakamlar tekrarlanabildiği sürece kaç tane üç basamaklı çift sayı oluşturulabilir?
Çözüm: n 1 =6 (çünkü 1, 2, 3, 4, 5, 6'dan herhangi bir sayıyı ilk rakam olarak alabilirsiniz), n 2 =7 (çünkü 0'dan herhangi bir sayıyı ikinci rakam olarak alabilirsiniz, 1, 2) , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (çünkü 0, 2, 4, 6'dan herhangi bir sayı üçüncü rakam olarak alınabilir).
Yani N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

Tüm grupların aynı sayıda öğeden oluşması durumunda; n 1 =n 2 =...n k =n her seçimin aynı gruptan yapıldığını ve seçimden sonraki elemanın gruba geri döndüğünü varsayabiliriz. O halde tüm seçim yöntemlerinin sayısı nk'dir. Kombinatorikteki bu seçim yöntemine denir geri dönüşlü örnekler.

Örnek 3. 1, 5, 6, 7, 8 rakamlarından kaç tane dört basamaklı sayı oluşturulabilir?
Çözüm. Dört basamaklı bir sayının her basamağı için beş olasılık vardır, bu da N=5*5*5*5=5 4 =625 anlamına gelir.

N elemandan oluşan bir küme düşünün. Kombinatorikte bu kümeye denir Genel popülasyon.

N elemanın m'ye göre yerleşim sayısı

Tanım 1. Konaklama N tarafından elemanlar M kombinatorikte herhangi sıralı set itibaren M popülasyondan seçilen çeşitli unsurlar N elementler.

Örnek 4.Üç elemanın (1, 2, 3) ikişer ikişer farklı düzenlemeleri (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) kümeleri olacaktır. , 2 ). Yerleşimler hem öğeler hem de sıralama açısından birbirinden farklı olabilir.

Kombinatoriklerdeki yerleşim sayısı A n m ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Yorum: n!=1*2*3*...*n (okuyun: “en faktöriyel”), ayrıca 0!=1 olduğu varsayılır.

Örnek 5. Onlar basamağı ile birler basamağı farklı ve tek olan iki basamaklı kaç sayı vardır?
Çözüm:Çünkü Beş tek rakam varsa, yani 1, 3, 5, 7, 9, bu görev, beş farklı rakamdan ikisini seçip iki farklı konuma yerleştirmekten ibarettir; belirtilen sayılar şöyle olacaktır:

Tanım 2. Kombinasyon itibaren N tarafından elemanlar M kombinatorikte herhangi sırasız küme itibaren M popülasyondan seçilen çeşitli unsurlar N elementler.

Örnek 6. (1, 2, 3) kümesi için kombinasyonlar (1, 2), (1, 3), (2, 3)'tür.

Her biri m olan n öğenin kombinasyon sayısı

Kombinasyonların sayısı Cnm ile gösterilir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

Örnek 7. Bir okuyucu mevcut altı kitaptan ikisini kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm: Yöntem sayısı iki kitaptan oluşan altı kitabın kombinasyon sayısına eşittir, yani. eşittir:

N elementin permütasyonları

Tanım 3. Permütasyon itibaren N elementlere herhangi denir sıralı set bu unsurlar.

Örnek 7a.Üç elemandan (1, 2, 3) oluşan bir kümenin tüm olası permütasyonları şunlardır: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

N elementin farklı permütasyonlarının sayısı P n ile gösterilir ve P n = n! formülüyle hesaplanır.

Örnek 8. Farklı yazarların yedi kitabı bir rafta tek sıra halinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm: Bu problem yedi farklı kitabın permütasyon sayısıyla ilgilidir. Kitapları düzenlemenin P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 yolu vardır.

Tartışma. Olası kombinasyon sayısının farklı kurallara (permütasyonlar, kombinasyonlar, yerleşimler) göre hesaplanabileceğini ve sonucun farklı olacağını görüyoruz çünkü Hesaplama prensibi ve formüllerin kendisi farklıdır. Tanımlara dikkatlice baktığınızda sonucun aynı anda birçok faktöre bağlı olduğunu fark edeceksiniz.

Öncelikle kümelerini kaç elementten birleştirebiliriz (elemanların toplamı ne kadar büyük).

İkinci olarak sonuç, ihtiyacımız olan eleman setlerinin boyutuna bağlıdır.

Son olarak kümedeki elemanların sırasının bizim için önemli olup olmadığını bilmek önemlidir. Son faktörü aşağıdaki örnekle açıklayalım.

Örnek 9. Veli toplantısında 20 kişi bulunuyor. Eğer 5 kişiden oluşması gerekiyorsa veli komitesinin oluşumu için kaç farklı seçenek vardır?
Çözüm: Bu örnekte komite listesindeki isimlerin sırası ile ilgilenmiyoruz. Sonuç olarak aynı kişilerin bu işin bir parçası olduğu ortaya çıkarsa, o zaman bizim açımızdan bu da aynı seçenektir. Bu nedenle sayıyı hesaplamak için formülü kullanabiliriz. kombinasyonlar 20 elementten oluşan, her biri 5 adet.

Her komite üyesinin başlangıçta belirli bir çalışma alanından sorumlu olması durumunda işler farklı olacaktır. O halde, komitenin aynı liste bileşimine sahip olması durumunda, içinde muhtemelen 5 kişi vardır! seçenekler permütasyonlar bu önemli. Farklı (hem kompozisyon hem de sorumluluk alanı açısından) seçeneklerin sayısı bu durumda sayıya göre belirlenir. yerleşimler 20 elementten oluşan, her biri 5 adet.

Kendi kendine test görevleri
1. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından, rakamlar tekrarlanabiliyorsa, kaç tane üç basamaklı çift sayı oluşturulabilir?
Çünkü Üçüncü sıradaki çift sayı 0, 2, 4, 6 olabilir, yani. dört haneli. İkinci sıra yedi rakamdan herhangi biri olabilir. Birinci basamak, sıfır dışındaki yedi rakamdan herhangi biri olabilir; 6 olasılık. Sonuç =4*7*6=168.
2. Soldan sağa ve sağdan sola aynı okunan beş basamaklı kaç sayı vardır?
İlk sıra 0 dışında herhangi bir sayı olabilir, yani. 9 olasılık. Herhangi bir sayı ikinci sırada olabilir, yani. 10 olasılık. Üçüncü sıra ayrıca herhangi bir sayı da olabilir; 10 olasılık. Dördüncü ve beşinci rakamlar önceden belirlenmiş olup, birinci ve ikinci rakama denk gelir, dolayısıyla bu sayıların sayısı 9*10*10=900 olur.
3. Sınıfta on konu ve günde beş ders vardır. Bir gün için kaç farklı şekilde program oluşturabilirsiniz?

4. Grupta 20 kişi varsa, konferansa 4 delege kaç farklı şekilde seçilebilir?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Her zarfa yalnızca bir harf yerleştirilecekse, sekiz farklı harf sekiz farklı zarfa kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?
Sekiz harften birini birinci zarfa, geri kalan yedi harften birini ikinci zarfa, altı harften birini üçüncü zarfa vb. koyabilirsiniz. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. İki matematikçi ve altı iktisatçıdan oluşan bir komisyonun üç matematikçi ve on iktisatçıdan oluşması gerekir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?