ซีรีส์ที่มีคำศัพท์ที่ซับซ้อน อนุกรมในโดเมนเชิงซ้อน อนุกรมจำนวนที่มีจำนวนเชิงซ้อน

463. ความหมายทางเรขาคณิตของความไม่เท่าเทียมกันคืออะไร: 1) เรื่องz > 0; 2) ฉันz< 0 ?

2. ซีรีส์ที่มีคำศัพท์ที่ซับซ้อน. พิจารณาลำดับของจำนวนเชิงซ้อน ซ 1 , ซ 2 , z 3 , ... ที่ไหน z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...)จำนวนคงที่ ค = ก + ไบเรียกว่า ขีด จำกัดลำดับ ซ 1 , ซ 2 , z 3 , ..., ถ้าเป็นจำนวนเล็กน้อยตามอำเภอใจ δ>0 มีจำนวนดังกล่าว ยังไม่มีข้อความมันหมายความว่าอะไร ซีพีด้วยตัวเลข n > เอ็นตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน \z หน้า-กับ\< δ . ในกรณีนี้พวกเขาเขียน .

เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของขีดจำกัดของลำดับของจำนวนเชิงซ้อนมีดังนี้: ตัวเลข ค=ก+บีคือขีดจำกัดของลำดับของจำนวนเชิงซ้อน x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, …ถ้าและหาก , .

(1)

ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า มาบรรจบกัน,ถ้า nผลรวมบางส่วนของอนุกรม S n ใน พี → ∞มีแนวโน้มที่จะถึงขีดจำกัดสุดท้าย มิฉะนั้นจะเรียกว่าซีรีส์ (1) แตกต่าง

อนุกรม (1) มาบรรจบกันก็ต่อเมื่ออนุกรมที่มีเงื่อนไขจริงมาบรรจบกัน

(2) ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์ ซีรีส์นี้ ซึ่งมีเงื่อนไขที่ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด มาบรรจบกัน ดังนั้น อนุกรมที่มีเงื่อนไขที่ซับซ้อนมาบรรจบกันอย่างแน่นอน ^

474. หาพื้นที่บรรจบกันของอนุกรม

การถอดเสียง

1 หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา Tomsk State University of Architecture and Civil Engineering ROWS พร้อมสมาชิกที่ซับซ้อน แนวทางสำหรับงานอิสระ รวบรวมโดย LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 แถวที่มีสมาชิกที่ซับซ้อน: คำแนะนำด้านระเบียบวิธี / รวบรวมโดย LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomsk: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยสถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง Tomsk State พร้อมด้วยผู้ตรวจสอบศาสตราจารย์ NN Belov บรรณาธิการ EY Glotova คำแนะนำเชิงระเบียบมีไว้สำหรับการศึกษาด้วยตนเองโดยนักศึกษาชั้นปีที่ 1 ของทั้งหมด หัวข้อพิเศษ “ซีรี่ส์ที่มีสมาชิกที่ซับซ้อน” ของวินัย JNF “คณิตศาสตร์” จัดพิมพ์ตามการตัดสินใจของการสัมมนาระเบียบวิธีของภาควิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง โปรโตคอล 4 ของเดือนมีนาคม ได้รับการอนุมัติและบังคับใช้โดยรองอธิการบดีฝ่ายวิชาการ VV Dzyubo จาก 5 ถึง 55 เค้าโครงดั้งเดิมจัดทำโดยผู้เขียน ลงนามในการพิมพ์ รูปแบบ 6 84/6 กระดาษออฟเซ็ต แบบอักษรไทม์ส สิ่งพิมพ์ทางการศึกษา l, 6 การไหลเวียน 4 สำนักพิมพ์สั่งซื้อ TGASU, 64, Tomsk, Solyanaya sq., พิมพ์จากเค้าโครงดั้งเดิมใน OOP TGASU 64, Tomsk, Partizanskaya st., 5

3 ซีรีส์ที่มีเงื่อนไขที่ซับซ้อน หัวข้อ ชุดตัวเลขที่มีเงื่อนไขที่ซับซ้อน โปรดจำไว้ว่า จำนวนเชิงซ้อนคือตัวเลขในรูปแบบ z = x y โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง และหน่วยจินตภาพที่กำหนดโดยความเท่าเทียมกัน = - ตัวเลข x และ y เรียกว่า ส่วนจริงและส่วนจินตภาพของตัวเลข z ตามลำดับ และแสดงว่า x = Rez, y = Imz แน่นอนว่าระหว่างจุด M(x, y) ของระนาบ XOU ด้วยระบบพิกัดมุมฉากคาร์ทีเซียนและจำนวนเชิงซ้อนของรูปแบบ z = x y มีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ระนาบ XOU เรียกว่าระนาบเชิงซ้อน และ z เรียกว่าจุดของระนาบนี้ จำนวนจริงสอดคล้องกับแกน Abscissa เรียกว่าแกนจริง และตัวเลขในรูปแบบ z = y สอดคล้องกัน ไปยังแกนกำหนดซึ่งเรียกว่าแกนจินตภาพ หากพิกัดเชิงขั้วของจุด M(x,y) เขียนแทนด้วย r และ j แล้ว x = r cosj, y = r s j และตัวเลข z จะถูกเขียนในรูป รูปแบบ: z = r (cosj sj) โดยที่ r = x y การเขียนจำนวนเชิงซ้อนรูปแบบนี้เรียกว่าตรีโกณมิติ การเขียน z ในรูปแบบ z = x y เรียกว่าการเขียนรูปแบบพีชคณิต จำนวน r เรียกว่าโมดูลัสของตัวเลข z ตัวเลข j คืออาร์กิวเมนต์ (ที่จุด z = แนวคิดของอาร์กิวเมนต์ไม่ได้ขยาย) โมดูลัสของตัวเลข z ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยสูตร z = x y อาร์กิวเมนต์ j ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันภายใต้เงื่อนไขเพิ่มเติมเท่านั้น - พาย< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

ตัวเลข 4 ตัว z (รูป) ควรจำไว้ว่า y arq z - π แสดงผ่าน< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,ใช่; x y หาเรื่อง z = -arctg ถ้า x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π หาเรื่อง z = -, ถ้า x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π หาเรื่อง z = π - ส่วนโค้ง = π - = π ; z = = (รูป) М y r = j = p x มะเดื่อ ในรูปแบบตรีโกณมิติ ตัวเลข z = - จะถูกเขียนในรูปแบบ: - = сos π s π и ขอแนะนำให้ดำเนินการซ้ำกับจำนวนเชิงซ้อนด้วยตัวคุณเอง ให้เราเท่านั้น จำสูตรสำหรับการเพิ่มจำนวน z ให้เป็นกำลัง: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 คำถามสำคัญของทฤษฎี คำตอบสั้นๆ คำจำกัดความของอนุกรมที่มีพจน์เชิงซ้อน แนวคิดของการลู่เข้าของอนุกรม เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้า นิยาม ให้ลำดับ z ) = ( x y ) = z, z, z, ของจำนวนเชิงซ้อน A สัญลักษณ์ของรูปแบบ ( å = z เรียกว่าอนุกรม z เป็นคำทั่วไปของอนุกรม แนวคิดของผลรวมบางส่วนของอนุกรม S การบรรจบกันและความแตกต่างนั้นสอดคล้องกับแนวคิดที่คล้ายกันสำหรับอนุกรมที่มีเงื่อนไขจริง ลำดับของบางส่วน ผลรวมของอนุกรมจะมีรูปแบบ: S = z; S = z z; S = z z z; ถ้า $lm S และขีดจำกัดนี้มีจำนวนจำกัดและเท่ากับจำนวน S อนุกรมนี้จะเรียกว่าการลู่เข้า และจำนวน S เรียกว่าผลรวม มิฉะนั้นอนุกรมจะเรียกว่าไดเวอร์เจนต์ จำได้ว่า คำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับของจำนวนเชิงซ้อนที่เราใช้นั้นอย่างเป็นทางการไม่แตกต่างจากคำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับของจำนวนจริง: def (lm S = ส) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 ศูนย์ของเทอมทั่วไป z ของอนุกรมที่ หมายความว่าหากเงื่อนไขนี้ถูกละเมิด นั่นคือถ้า lm z ¹ อนุกรมแยกออก แต่ถ้า lm z = คำถามเกี่ยวกับการลู่เข้าของอนุกรมยังคงเปิดอยู่ คือ เป็นไปได้ที่จะศึกษาอนุกรม å (x = สำหรับการลู่เข้าโดยการตรวจสอบ x และ å = สำหรับการลู่เข้าของอนุกรม å = ด้วยเงื่อนไขจริง? y และถ้า å x = S = โดยที่ å S = (x y) = å = x u และ y = S จากนั้น S = S S มาบรรจบกัน - ตัวอย่าง ตรวจสอบให้แน่ใจว่าอนุกรม å = è () xia และหาผลรวมของมันคือ 7

8 วิธีแก้ไข อนุกรม å มาบรรจบกัน t k ~ = () () เมื่อผลรวม S ของอนุกรมนี้เท่ากับ (บทที่ หัวข้อ n) อนุกรม å มาบรรจบกันเป็นเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด = ความก้าวหน้า โดยมี å = () и S b = - q = มาบรรจบกัน และผลรวมของมัน ดังนั้น อนุกรม S = ตัวอย่าง อนุกรม å ลู่ออก, t k ลู่ออก = è! อนุกรมฮาร์มอนิก å ในกรณีนี้ ให้ตรวจสอบอนุกรม å = สำหรับการลู่เข้า! ไม่สมเหตุสมผล ตัวอย่าง อนุกรม å π tg ลู่ออก เพราะสำหรับ = è อนุกรม å π tg เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าถูกละเมิด = π lm tg = p ¹ и 8

9 อนุกรมลู่เข้าที่มีพจน์เชิงซ้อนมีคุณสมบัติอย่างไร คุณสมบัติจะเหมือนกับอนุกรมลู่เข้าที่มีเงื่อนไขจริง แนะนำให้ทำซ้ำคุณสมบัติ 4 มีแนวคิดเรื่องการลู่เข้าสัมบูรณ์สำหรับอนุกรมที่มีเงื่อนไขซับซ้อนหรือไม่? ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการลู่เข้าของอนุกรม) หากอนุกรม å = z มาบรรจบกัน อนุกรม å = z ก็จะมาบรรจบกันด้วย แนวคิดของการลู่เข้าสัมบูรณ์ของอนุกรม å = z ดูอย่างเป็นทางการทุกประการเหมือนกับอนุกรมที่มีจำนวนจริงทุกประการ คำจำกัดความ อนุกรม å = z เรียกว่าการลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน å = z ตัวอย่าง จงพิสูจน์การลู่เข้าสัมบูรณ์ของอนุกรม () () () 4 8 วิธีแก้ ลองใช้รูปแบบตรีโกณมิติในการเขียนตัวเลข: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 จากนั้น π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и ยังคงต้องตรวจสอบอนุกรม å z สำหรับการลู่เข้า = = นี่คือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดด้วยตัวส่วน การก้าวหน้าดังกล่าวมาบรรจบกัน ดังนั้น อนุกรมจึงมาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ เมื่อพิสูจน์การลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ทฤษฎีบทนี้มักจะใช้ ทฤษฎีบท เพื่อให้อนุกรม å = y (x) บรรจบกันอย่างสมบูรณ์ จำเป็นและเพียงพอที่อนุกรม å = ซีรี่ส์ตัวอย่างอย่างแน่นอน å = (-) è cosπ ! x และ å = y มาบรรจบกันอย่างแน่นอน t k มาบรรจบกันอย่างแน่นอน å (-) และการลู่เข้าสัมบูรณ์ = ของอนุกรม å cosπ ได้รับการพิสูจน์อย่างง่ายดาย: =!

11 cosπ และแถวคือ å!! =! มาบรรจบกันตามเกณฑ์ของดาล็องแบร์ ​​โดยเกณฑ์การเปรียบเทียบ ซีรีส์ å cosπ มาบรรจบกัน Þ ซีรีส์ å =! มาบรรจบกันอย่างแน่นอน cosπ =! การแก้ปัญหา ตรวจสอบชุดที่ 4 สำหรับการลู่เข้า: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α ตาล π ; 4 å = и и ;! วิธีแก้ไข å = è l l อนุกรมลู่ออก เนื่องจากอนุกรม å ลู่ออก ซึ่งกำหนดได้ง่ายโดยการทดสอบเปรียบเทียบ: > และฮาร์มอนิก = l l ซีรีส์ å ตามที่ทราบกันดีว่าลู่ออก โปรดทราบว่าด้วย = ในกรณีนี้ อนุกรม å จากการทดสอบอินทิกรัลของ Cauchy = l มาบรรจบกัน å (-) = è! ล

12 ซีรีส์มาบรรจบกัน ดังนั้นถึง å =! มาบรรจบกันบนพื้นฐานของการทดสอบลิมิตของดาล็องแบร์ ​​และอนุกรม å (-) มาบรรจบกันตามทฤษฎีบท = l Leibniz å α π - π cos tg = и и เห็นได้ชัดว่าพฤติกรรมของอนุกรมจะขึ้นอยู่กับเลขชี้กำลัง α ให้ เราเขียนอนุกรมโดยใช้สูตร β - cosβ = s: å α π π s tg = и ที่ α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = อนุกรม α å и и и 4 = จะมาบรรจบกันโดยมีเงื่อนไขว่า α > เช่น สำหรับ α > และจะลู่ออกสำหรับ α หรือ สำหรับ จะมาบรรจบกัน เนื่องจากสำหรับ π π tg ~ α ซีรีส์ å = α α π tg α

13 ดังนั้น ซีรีส์ดั้งเดิมจะมาบรรจบกันที่และแตกต่างที่ α 4 å = и и! α > อนุกรม å ได้รับการตรวจสอบหาการลู่เข้าโดยใช้การทดสอบขีดจำกัดของ = è Cauchy: lm = lm = > Þ è อนุกรมลู่ออก Þ e è Þ จะลู่ออก และซีรีส์ 5 ดั้งเดิม ซีรีส์ 5 6 ได้รับการตรวจสอบหาลู่เข้าสัมบูรณ์ π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = คำตอบที่ 5 å = π cos()! å = - π cos มาบรรจบกันอย่างแน่นอน ดังนั้น (-)! มาบรรจบกันตามเกณฑ์การเปรียบเทียบ: π cos และอนุกรม å (-)! (-)! = (-)! มาบรรจบกันตามการทดสอบของดาล็องแบร์

14 4 6 å =!) 8 (ไปแถวนั้น!) 8 (å = ใช้เครื่องหมายของ d'Alembert:!) 8 (:)! () 8 (ลูม = 8 8 ลูม = 8 ลูม = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 ตรวจสอบชุดที่ 7 สำหรับการลู่เข้าสัมบูรณ์ 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (คำตอบ: 7, 8 มาบรรจบกันอย่างแน่นอน , 9 แตกต่าง, ไม่ได้มาบรรจบกันอย่างแน่นอน

16 หัวข้อ ซีรี่ส์กำลังที่มีคำศัพท์ที่ซับซ้อน เมื่อศึกษาหัวข้อ "ซีรีย์การทำงาน" จะมีการพิจารณาซีรีส์โดยละเอียดซึ่งเป็นเงื่อนไขที่เป็นสมาชิกของลำดับฟังก์ชันของตัวแปรจริง สิ่งที่น่าสนใจที่สุด (โดยเฉพาะในแง่ของการใช้งาน) คือ อนุกรมกำลัง คือ อนุกรมที่มีรูปแบบ å = a (x-x) ได้รับการพิสูจน์แล้ว (ทฤษฎีบทของอาเบล) ว่าอนุกรมกำลังทุกอนุกรมมีช่วงของการบรรจบกัน (x - R, x R) ซึ่งภายในผลรวม S (x) ของอนุกรม อนุกรมกำลังมีความต่อเนื่องและอนุกรมกำลังภายในช่วงการบรรจบกันสามารถแยกความแตกต่างได้ทีละระยะและบูรณาการทีละระยะ เหล่านี้คือคุณสมบัติที่น่าทึ่งของอนุกรมกำลังได้เปิดโอกาสที่เป็นไปได้ที่กว้างที่สุดสำหรับการใช้งานจำนวนมาก ในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาอนุกรมกำลัง ไม่ใช่ของจริง แต่มีคำศัพท์ที่ซับซ้อน 6 คำถามสำคัญของทฤษฎี คำตอบสั้นๆ คำจำกัดความของอนุกรมกำลัง อนุกรมกำลังคืออนุกรมฟังก์ชันที่มีรูปแบบ å = a (z - z), () โดยที่ a และ z ได้รับจำนวนเชิงซ้อน และ z เป็นตัวแปรเชิงซ้อน ในกรณีพิเศษ เมื่อ z = อนุกรมกำลังจะมีรูปแบบ å = a z ()

17 แน่นอนว่าอนุกรม () จะลดลงเหลืออนุกรม () โดยการแนะนำตัวแปรใหม่ W = z - z ดังนั้นเราจะจัดการกับอนุกรมในรูปแบบ () ทฤษฎีบทของอาเบลเป็นหลัก ถ้าอนุกรมกำลัง () มาบรรจบกันที่ z = z ¹ จากนั้นมันจะมาบรรจบกัน และยิ่งกว่านั้น สำหรับ z ใดๆ ก็ตามที่มี z อย่างแน่นอน< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 ทฤษฎีบทของอาเบลมีข้อพิสูจน์ ซึ่งระบุว่าถ้าอนุกรม å = a z ลู่ออกสำหรับ * z = z แล้วอนุกรมก็จะลู่ออกสำหรับ z ใดๆ ที่ * z > z มีแนวคิดเรื่องรัศมีสำหรับอนุกรมกำลัง () และ ( ) การบรรจบกัน? ใช่ มี Radius of Convergence R ซึ่งเป็นตัวเลขที่มีคุณสมบัติเป็นอย่างนั้นสำหรับ z ทั้งหมด โดยที่ z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, ซีรีส์ () แตกต่าง 4 ขอบเขตของการบรรจบกันของซีรีส์ () คืออะไร? ถ้า R คือรัศมีของการบรรจบกันของอนุกรม () แล้วเซตของจุด z โดยที่ z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 เป็นไปได้ไหมที่จะหารัศมีของการบรรจบกัน a โดยใช้สูตร R = lm และ R = lm ซึ่งเป็น a ที่เกิดขึ้นสำหรับอนุกรมกำลังด้วยเงื่อนไขจริง เป็นไปได้หากมีขีดจำกัดเหล่านี้ หากปรากฎว่า R = แสดงว่าอนุกรม () มาบรรจบกันที่จุด z = เท่านั้น หรือ z = z สำหรับอนุกรม () เมื่อ R = อนุกรมจะมาบรรจบกันที่จุดทั้งหมด ระนาบเชิงซ้อน ตัวอย่าง จงหารัศมีการบรรจบกันของอนุกรม å z = a ผลเฉลย R = lm = lm = a ดังนั้น อนุกรมมาบรรจบกันภายในรัศมีวงกลม ตัวอย่างนี้น่าสนใจเพราะบนขอบเขตของวงกลม x y< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 ระลึกได้ว่าอนุกรมกำลัง å = a x ภายในช่วงการบรรจบกันของการลู่เข้าไม่เพียงแต่สมบูรณ์เท่านั้น แต่ยังสม่ำเสมอกันด้วย ข้อความที่คล้ายกันนี้ใช้กับอนุกรม å = a z: ถ้าอนุกรมกำลังมาบรรจบกันและรัศมีของการลู่เข้าเท่ากับ R แล้ว อนุกรมนี้อยู่ในวงกลมปิดใดๆ z r โดยมีเงื่อนไขว่า r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 ในวงกลมรัศมี R > การบรรจบกันของอนุกรม ดังนั้นอนุกรมนี้คืออนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชัน f (z) เช่น f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! ค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม å = () f (z) a =! f () a (z - z) คำนวณโดยสูตร จำได้ว่าคำจำกัดความของอนุพันธ์ f (z) ได้รับอย่างเป็นทางการในลักษณะเดียวกับฟังก์ชัน f (x) ของตัวแปรจริงเช่น f (z ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz กฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชัน f (z) เหมือนกับกฎสำหรับการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันของตัวแปรจริง 7 ฟังก์ชัน f ในกรณีใด (z) เรียกว่าการวิเคราะห์ที่จุด z? แนวคิดของการวิเคราะห์ฟังก์ชันที่จุด z กำหนดไว้โดยการเปรียบเทียบกับแนวคิดของฟังก์ชัน f (x) ซึ่งเป็นการวิเคราะห์จริงที่จุด x คำจำกัดความ ฟังก์ชัน f (z) เรียกว่าการวิเคราะห์ที่จุด z หากมีอยู่ R > ในลักษณะนั้นในวงกลม z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 เราเน้นย้ำอีกครั้งว่าการแทนฟังก์ชันการวิเคราะห์ f (z) ที่จุด z ในรูปแบบของอนุกรมกำลังนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะ และอนุกรมนี้คืออนุกรม Taylor นั่นคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรมคำนวณโดย สูตร () f (z) a =! 8 ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นของตัวแปรเชิงซ้อน ในทฤษฎีอนุกรมกำลังของฟังก์ชันของตัวแปรจริง จะได้ส่วนขยายอนุกรมของฟังก์ชัน e x: = å x x e, xî(-,) =! เมื่อแก้ตัวอย่างจุดที่ 5 เราเชื่อว่าอนุกรม å z มาบรรจบกันบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ในกรณีพิเศษสำหรับ z = x ผลรวมจะเท่ากับ e x ข้อเท็จจริงนี้เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้ - =! แนวคิดต่อไปนี้: สำหรับค่าเชิงซ้อนของ z ฟังก์ชัน е z ตามคำจำกัดความถือเป็นผลรวมของอนุกรม å z ดังนั้น =! ze () def å z = =! คำจำกัดความของฟังก์ชัน ch z และ sh z x - x เนื่องจาก ch = = å k e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x โอ (-,),

23 และฟังก์ชัน e z ถูกกำหนดไว้แล้วสำหรับ z เชิงซ้อนทั้งหมด จึงเป็นเรื่องธรรมดาที่จะใช้ ch z = บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด def z - z e e def z - z e - e sh z = ดังนั้น: z -z k e - e z sh z = = ไซน์ไฮเปอร์โบลิก ; (ฎ)! å k = z - z å k e e z cosh z = = โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก; เค = (เค)! shz th z = แทนเจนต์ไฮเปอร์โบลิก; chz chz cth z = ไฮเปอร์โบลิกโคแทนเจนต์ shz คำจำกัดความของฟังก์ชัน s z และ cos z ให้เราใช้ส่วนขยายที่ได้รับก่อนหน้านี้: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( ฎ)! อนุกรมมาบรรจบกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด เมื่อแทนที่ x ในชุดข้อมูลเหล่านี้ด้วย z เราจะได้อนุกรมกำลังที่มีพจน์เชิงซ้อนซึ่งแสดงได้ง่ายว่ามาบรรจบกันบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดฟังก์ชันเชิงซ้อน z ใดๆ ของฟังก์ชันได้ s z และ cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเลขชี้กำลังกับฟังก์ชันตรีโกณมิติในระนาบเชิงซ้อน การแทนที่อนุกรม å z ze = =! z คูณ z แล้วตามด้วย z เราได้: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! เนื่องจาก e ()) e k k = (- เราจะได้: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) ดังนั้น: z -z z -z e e e - e сos z = ; s z = (6) จากสูตรที่ได้รับจะมีสูตรที่น่าทึ่งอีกสูตรหนึ่ง: z сos z s z = e (7) สูตร (6) และ (7) เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ โปรดทราบว่า สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับจำนวนจริง z เช่นกัน ในกรณีพิเศษสำหรับ z = j โดยที่ j เป็นจำนวนจริง สูตร (7) จะอยู่ในรูปแบบ: j cos j sj = e (8) จากนั้นจำนวนเชิงซ้อน z = r (cos j s j) จะเขียนอยู่ในรูป : j z = re (9) สูตร (9) เรียกว่า รูปแบบเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน z 4

25 สูตรที่เชื่อมต่อฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิก สูตรต่อไปนี้พิสูจน์ได้ง่ายๆ: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z มาพิสูจน์สูตรแรกและสูตรที่สี่กันดีกว่า (แนะนำให้พิสูจน์สูตรที่สอง) และสามตัวคุณเอง) ลองใช้สูตร ( 6) ออยเลอร์: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z การใช้สูตร sh z = s z และ ch z = cos z เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์เมื่อมองแวบแรกว่าเป็นคุณสมบัติที่น่าประหลาดใจของฟังก์ชัน s z และ cos z ต่างจากฟังก์ชัน y = s x และ y = cos x ฟังก์ชัน s z และ cos z ไม่ถูกจำกัดด้วยค่าสัมบูรณ์ อันที่จริง หากในสูตรที่ระบุโดยเฉพาะ z = y ดังนั้น s y = sh y, cos y = ch y ซึ่งหมายความว่าใน แกนจินตภาพ s z และ cos z ไม่ได้ถูกจำกัดด้วยค่าสัมบูรณ์ เป็นที่น่าสนใจว่าสำหรับ s z และ cos z สูตรทั้งหมดนั้นใช้ได้ คล้ายกับสูตรสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ s x และ cos x สูตรที่ให้มานั้นค่อนข้างจะใช้บ่อยเมื่อศึกษา อนุกรมสำหรับการลู่เข้า ตัวอย่าง พิสูจน์การลู่เข้าสัมบูรณ์ของอนุกรม å s = คำตอบ เราตรวจสอบอนุกรม å สำหรับการลู่เข้า s = ตามที่กล่าวไว้ ฟังก์ชัน s z ที่อยู่บนแกนจินตภาพไม่ใช่ 5

26 คือ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถใช้เกณฑ์การเปรียบเทียบได้ เราจะใช้สูตร s = sh จากนั้น å = å s sh = = เราศึกษาอนุกรม å sh = โดยใช้เกณฑ์ของ D'Alembert: - () - - sh () อี - อี อี (อี- อี) อี lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () เนื่องจาก lm = จากโมดูลมาบรรจบกันภายใต้เงื่อนไข 8 - = 8 = ดังนั้นอนุกรม z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >จุดของวงกลม z = - จะมาบรรจบกัน และนอกวงกลมนี้ นั่นคืออนุกรมลู่ออก เราศึกษาพฤติกรรมของอนุกรมที่ z = ซึ่งสมการในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนจะมีรูปแบบ x (y) = ที่ z = 9 อนุกรมของค่าสัมบูรณ์จะมีรูปแบบ : å 8 - = å = = อนุกรมนี้อยู่ในวงกลมปิด อนุกรมที่ได้มาบรรจบกันหมายความว่า z มาบรรจบกันอย่างแน่นอน พิสูจน์ได้ว่าฟังก์ชัน å z ze = เป็นคาบด้วยคาบ π (คุณสมบัติของฟังก์ชัน e z นี้แยกความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญระหว่างฟังก์ชัน e x) การพิสูจน์ เราใช้คำจำกัดความของฟังก์ชันคาบและสูตร (6) เราจำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่า z z e π = e โดยที่ z = x y ขอให้เราแสดงว่าเป็นเช่นนั้น: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e ดังนั้น e z คือ a ฟังก์ชันคาบ!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 หาสูตรที่เชื่อมตัวเลข e และ π วิธีแก้ ลองใช้รูปแบบเลขชี้กำลังในการเขียนจำนวนเชิงซ้อน j: z = re สำหรับ z = - เราจะได้ r =, j = π และด้วยเหตุนี้ π e = - () สูตรที่น่าทึ่งและสิ่งนี้แม้ว่าการปรากฏตัวทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขแต่ละตัว π, e และไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับการปรากฏตัวของอีกสองคน! สูตร () ก็น่าสนใจเช่นกันเพราะปรากฎว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลัง e z ซึ่งแตกต่างจากฟังก์ชัน e x สามารถรับค่าลบได้ e x 5 ค้นหาผลรวมของอนุกรม å cos x =! วิธีแก้ ลองแปลงอนุกรม x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (จ) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) เมื่อแก้โจทย์ เราใช้สูตร = cos x s x สองครั้ง และการขยายอนุกรมของฟังก์ชัน (e x) e 6 ขยายฟังก์ชัน f (x) = e x cos x ลงในอนุกรมกำลัง โดยใช้การขยายอนุกรม ของฟังก์ชัน x() x x x x e = e e = e cos x e s x วิธีแก้ x() x() x e = å = å!! = = π cos и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 ผลลัพธ์อนุกรมที่ได้มาบรรจบกันบนแกนจำนวนทั้งหมด ดังนั้นถึง x π (x) () cos และอนุกรม å (x)! 4! =! x< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 หารัศมี R และวงกลมของการบรรจบกันของอนุกรมนี้ 4 ตรวจสอบพฤติกรรมของอนุกรมที่จุดขอบเขตของวงกลมที่มาบรรจบกัน (ที่จุดที่วางอยู่บนวงกลม) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 คำตอบ:) R = อนุกรมมาบรรจบกันที่จุด z = - ;) R = อนุกรมมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิงในวงกลมปิด z โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด z = - หรือขึ้นอยู่กับ x (y) ;) R =, อนุกรมมาบรรจบกันในวงกลมปิด z หรืออยู่ภายใต้ x y ; 4) R = อนุกรมมาบรรจบกันอย่างสมบูรณ์ในวงกลมปิด z หรือภายใต้เงื่อนไข x y 9 7 ขยายฟังก์ชัน f (x) = e x s x, () x เป็นอนุกรมยกกำลังโดยใช้การขยายอนุกรมของฟังก์ชัน e 8 ตรวจสอบให้แน่ใจว่า สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ใดๆ จะใช้สูตร: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (ใช้สูตรของออยเลอร์)

31 รายการการอ่านที่แนะนำ วรรณกรรมพื้นฐาน Piskunov, NS อนุพันธ์และแคลคูลัสเชิงปริพันธ์สำหรับวิทยาลัย / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ / GM Fichtengolts T - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: Lan, 9 48 s Vorobyov, แถวทฤษฎี NN / NN Vorobyov - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: Lan, 8 48 s 4 เขียน, DT บันทึกการบรรยายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ขั้นสูง Ch / DT เขียน M: Iris-press, 8 5 คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นในแบบฝึกหัดและปัญหา Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ฯลฯ] M: ONICS, 8 C วรรณกรรมเพิ่มเติม Kudryavtsev, LD หลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ / LD Kudryavtsev TM: Higher school, 98 C Khabibullin, MV Complex Numbers: แนวทาง / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6 s Moldovanova , EA Rows และการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน: หนังสือเรียน / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา Tomsk State University of Architecture and Civil Engineering FOURIER SERIES FOURIER INTEGRAL AS A LIMITING CASE of FOURIER SERIES แนวทางสำหรับงานอิสระ

RANKS Khabarovsk 4 4 NUMBER SERIES อนุกรมตัวเลขคือนิพจน์โดยที่ตัวเลขที่ประกอบเป็นลำดับจำนวนอนันต์ เป็นคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรม โดยที่ N (N คือเซตของจำนวนธรรมชาติ) ตัวอย่าง

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา Arkhangelsk State Technical University คณะวิศวกรรมโยธา RANKS แนวทางในการทำงานมอบหมายงานอิสระ Arkhangelsk ให้สำเร็จ

มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐมอสโกแห่งการบินพลเรือน V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. คู่มือคณิตศาสตร์ Shurinov สำหรับศึกษาวินัยและการทดสอบที่ได้รับมอบหมาย

5 อนุกรมกำลัง 5 อนุกรมกำลัง: คำจำกัดความ, พื้นที่ของการลู่เข้าอนุกรมฟังก์ชันของรูปแบบ (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) โดยที่, a, a, K, a ,k เป็นตัวเลขบางตัวเรียกว่าตัวเลขอนุกรมกำลัง

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา MOSCOW STATE UNIVERSITY OF GEODESY AND CARTOGRAPHY (MIIGAiK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev การสอนสำหรับนักเรียนเกี่ยวกับการศึกษาอิสระ

หัวข้อ อนุกรมจำนวนเชิงซ้อน พิจารณาอนุกรมจำนวน k ak ที่มีจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ A อนุกรมเรียกว่าการลู่เข้าหากลำดับ S ของผลรวมบางส่วน S a k มาบรรจบกัน ยิ่งไปกว่านั้น ขีดจำกัด S ของลำดับ

กระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซีย ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน คู่มือวิธีการเชิงระเบียบวิธี รวบรวมโดย: MDUlymzhiev LIIInkheyeva IBYumov SZhyumova การทบทวนคู่มือระเบียบวิธีการเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชัน

8 อนุกรมจำนวนเชิงซ้อน พิจารณาอนุกรมจำนวนที่มีจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ k a (46) โดยที่ (ak) เป็นลำดับตัวเลขที่กำหนดซึ่งมีเงื่อนไขเชิงซ้อน k อนุกรม (46) เรียกว่าลู่เข้า ถ้า

การบรรยายที่จัดทำโดยรองศาสตราจารย์ Musina MV คำจำกัดความ การแสดงออกของแบบฟอร์ม ชุดตัวเลขและฟังก์ชัน ชุดตัวเลข: แนวคิดพื้นฐาน () ซึ่งเรียกว่าชุดตัวเลข (หรือเพียงแค่ชุด) ตัวเลข สมาชิกของชุด (ขึ้นอยู่กับ

คณะโลหการ ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง คำแนะนำด้านระเบียบวิธี Novokuznetsk 5 หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา สถาบันการศึกษาของรัฐที่มีการศึกษาวิชาชีพระดับสูง

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางแห่งการศึกษาวิชาชีพชั้นสูงมหาวิทยาลัยแห่งรัฐ Novgorod ตั้งชื่อตาม

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษาสถาบันการศึกษาระดับรัฐของการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง SOUTH FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodological

ลำดับตัวเลข ลำดับตัวเลข Def ลำดับตัวเลขคือฟังก์ชันตัวเลขที่กำหนดบนเซตของจำนวนธรรมชาติ x - สมาชิกทั่วไปของลำดับ x =, x =, x =, x =,

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา มหาวิทยาลัยมาตรวิทยาและการทำแผนที่แห่งรัฐมอสโก (MIIGAiK) คำแนะนำวิธีการและงานสำหรับงานอิสระในหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง ตัวเลข

คำแนะนำด้านระเบียบวิธีสำหรับงานคำนวณในหลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง “ชุดสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ปริพันธ์สองเท่า” ส่วน หัวข้อ ชุด สารบัญ ชุด ชุดหมายเลข การบรรจบกันและความแตกต่าง

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา สถาบันการศึกษาของรัฐที่มีการศึกษาวิชาชีพระดับสูง มหาวิทยาลัยแห่งรัฐโนฟโกรอด ตั้งชื่อตามยาโรสลาฟ สถาบันปรีชาญาณแห่งอิเล็กทรอนิกส์

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐเบลารุส หัวข้อมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐ Vitebsk "แถว" ภาควิชาคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีและประยุกต์ พัฒนาโดย รศ. อี.บี. ดูนินา. ขั้นพื้นฐาน

กระทรวงคมนาคมของสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษาของรัฐสหพันธรัฐการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง ULYANOVSK โรงเรียนการบินระดับสูงของสถาบันการบินพลเรือน

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "Tomsk State สถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง

Sgups Department of Higher Mathematics คำแนะนำระเบียบวิธีสำหรับการคำนวณมาตรฐาน "ซีรี่ส์" Novosibirsk 006 ข้อมูลทางทฤษฎีบางส่วน ชุดตัวเลข ให้คุณ ; ยู ; ยู ; ; ยู ; มีจำนวนอนันต์

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย มหาวิทยาลัยสถาปัตยกรรมและการก่อสร้างแห่งรัฐคาซาน ภาควิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง ชุดตัวเลขและฟังก์ชัน แนวทางสำหรับ

การบรรยาย N 7. ซีรีส์พาวเวอร์ และซีรีส์ Taylor.. ซีรีส์พาวเวอร์..... ซีรีส์ Taylor.... 4. การขยายฟังก์ชันพื้นฐานบางอย่างไปสู่ซีรีส์ Taylor และ Maclaurin.... 5 4. การประยุกต์ซีรีส์พาวเวอร์... . 7 .อำนาจ

หัวข้อโมดูล ลำดับการทำงานและอนุกรม คุณสมบัติของการลู่เข้ากันของลำดับและอนุกรม อนุกรมกำลัง การบรรยาย คำจำกัดความของลำดับฟังก์ชันและอนุกรม สม่ำเสมอ

มหาวิทยาลัยรัฐเบลารุสแห่งเศรษฐศาสตร์ คณะเศรษฐศาสตร์ แผนกสารสนเทศเศรษฐศาสตร์และเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ แถว บันทึกการบรรยายและการประชุมเชิงปฏิบัติการสำหรับนักศึกษาเศรษฐศาสตร์

กระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซีย Ulyanovsk State Technical University SERIES ตัวเลขและฟังก์ชัน FOURIER SERIES Ulyanovsk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 ผู้ตรวจสอบผู้สมัครสาขาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์

3724 อนุกรมหลายชุดและปริพันธ์เส้นโค้ง 1 โปรแกรมการทำงานของส่วนต่างๆ “อนุกรมหลายชุดและปริพันธ์เส้นโค้ง” 11 อนุกรมตัวเลข แนวคิดของอนุกรมตัวเลข คุณสมบัติของอนุกรมตัวเลข เครื่องหมายที่จำเป็นของการลู่เข้า

บทที่ Series สัญกรณ์อย่างเป็นทางการของผลรวมของเงื่อนไขของลำดับตัวเลขบางลำดับ อนุกรมจำนวนเรียกว่าอนุกรมตัวเลข ผลรวม S เรียกว่าผลรวมบางส่วนของอนุกรม หากมีขีดจำกัด lim S, S แสดงว่าอนุกรม

บรรยาย. ซีรีย์ฟังก์ชั่น คำจำกัดความของอนุกรมฟังก์ชัน อนุกรมที่มีสมาชิกเป็นฟังก์ชันของ x เรียกว่าฟังก์ชัน: u = u (x) + u + K+ u + K = โดยให้ x มีค่าที่แน่นอน x เราจะ

วี.วี. จูค, A.M. ซีรีส์ Kamachkin 1 Power รัศมีการลู่เข้าและช่วงการลู่เข้า ธรรมชาติของการบรรจบกัน การบูรณาการและความแตกต่าง 1.1 รัศมีของการลู่เข้าและช่วงของการลู่เข้า ช่วงการทำงาน

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางด้านการศึกษาวิชาชีพระดับสูง "มหาวิทยาลัยอุตสาหกรรมแห่งรัฐไซบีเรีย"

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางด้านการศึกษาวิชาชีพระดับสูง "มหาวิทยาลัยอุตสาหกรรมแห่งรัฐไซบีเรีย"

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ส่วน: ชุดตัวเลขและฟังก์ชัน หัวข้อ: อนุกรมกำลัง การขยายฟังก์ชั่นไปสู่ซีรีย์พาวเวอร์อาจารย์ Rozhkova S.V. 3 34. อนุกรมกำลัง อนุกรมกำลังคืออนุกรมของกำลัง

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาด้านงบประมาณของรัฐสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาระดับมืออาชีพ "มหาวิทยาลัย SAMARA STATE AEROSPACE"

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย การวิจัยแห่งชาติ Nizhny Novgorod State University ตั้งชื่อตาม NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva จัดอันดับฟังก์ชั่นการวิเคราะห์

การทดสอบแบบ “อนุกรม” เพื่อทดสอบตัวเอง สัญญาณที่จำเป็นของการลู่เข้าของอนุกรม ทฤษฎีบท สัญญาณที่จำเป็นของการลู่เข้า ถ้าอนุกรมมาบรรจบกัน แล้ว lim + ข้อพิสูจน์จะเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความแตกต่างของอนุกรม ถ้า lim แล้วอนุกรมจะแยกออก

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซีย สาขา Achinsk ของสถาบันการศึกษาอิสระของรัฐบาลกลางแห่งการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "มหาวิทยาลัยสหพันธ์ไซบีเรีย" คณิตศาสตร์

(โดเมนอนุกรมกำลังของฟังก์ชันของลำดับการลู่เข้าของการค้นหาช่วงของการลู่เข้า - ตัวอย่างรัศมีของช่วงของตัวอย่างการลู่เข้า) ให้กำหนดลำดับฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุด

ลำดับ ลำดับเลข แนวคิดทั่วไป คำจำกัดความ หากจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวเชื่อมโยงกับจำนวนใดจำนวนหนึ่งตามกฎหมายกำหนด เซตของจำนวนตัวเลขจะเรียกว่าลำดับตัวเลข

กระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซีย MATI - มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐรัสเซียตั้งชื่อตาม K E TSIOLKOVSKY ภาควิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง RANKS แนวทางสำหรับงานหลักสูตร รวบรวมโดย:

การบรรยายครั้งที่ 3 ซีรีส์ Taylor และ Maclaurin การประยุกต์อนุกรมกำลัง การขยายฟังก์ชันไปสู่อนุกรมกำลัง ซีรีส์ Taylor และ Maclaurin สำหรับการใช้งาน สิ่งสำคัญคือต้องสามารถขยายฟังก์ชันที่กำหนดให้เป็นอนุกรมกำลัง ฟังก์ชันเหล่านั้นได้

สถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาของรัฐ "มหาวิทยาลัยเบลารุส - รัสเซีย" ภาควิชา "คณิตศาสตร์ขั้นสูง" คณิตศาสตร์ขั้นสูง คณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ อันดับ คำแนะนำระเบียบวิธี

บทเรียนเรื่องอนุกรมเลขและยกกำลัง ชุดตัวเลข ผลรวมของซีรีส์ สัญญาณของการบรรจบกัน.. คำนวณผลรวมของอนุกรม 6 วิธีแก้ปัญหา ผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอนันต์ q เท่ากับ โดยที่ q คือตัวส่วนของความก้าวหน้า

กระทรวงศึกษาธิการแห่งสาธารณรัฐเบลารุส สถาบันการศึกษา "Mogilev State University of Food" ภาควิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง คณิตศาสตร์ชั้นสูง แนวทางการปฏิบัติ

การบรรยายครั้งที่ 6 การขยายฟังก์ชันเป็นอนุกรมกำลัง เอกลักษณ์ของส่วนขยาย อนุกรม Taylor และ Maclaurin การขยายเป็นอนุกรมกำลังของฟังก์ชันพื้นฐานบางฟังก์ชัน การประยุกต์อนุกรมกำลัง ในการบรรยายครั้งก่อน

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "Tomsk State สถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง

4 ชุดฟังก์ชัน 4 คำจำกัดความพื้นฐาน ปล่อยให้ลำดับฟังก์ชันไม่สิ้นสุดที่มีโดเมนร่วมของคำจำกัดความ X u), u (), K, u (),K (นิพจน์นิพจน์ u) + u () + K + u () +

องค์ประกอบของทฤษฎีฟังก์ชันของแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการตัวแปรที่ซับซ้อน จากการศึกษาหัวข้อนี้ นักเรียนจะต้องเรียนรู้: ค้นหารูปแบบตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังของจำนวนเชิงซ้อนตาม

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา สถาบันการศึกษาของรัฐที่มีการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "Ural State Pedagogical University" คณะคณิตศาสตร์

มหาวิทยาลัยรัฐ KAZAN ภาควิชาสถิติคณิตศาสตร์ ชุดตัวเลข คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี KAZAN 008 จัดพิมพ์โดยการตัดสินใจของส่วนของสภาวิทยาศาสตร์และระเบียบวิธีของมหาวิทยาลัยคาซาน

อนุกรมฟังก์ชัน อนุกรมฟังก์ชัน ผลรวมและโดเมนของฟังก์ชัน o ให้ลำดับของฟังก์ชัน k ถูกกำหนดไว้ในโดเมน Δ ของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน (k 1 อนุกรมฟังก์ชันเรียกว่า

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา MOSCOW STATE UNIVERSITY OF GEODESY AND CARTOGRAPHY (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova การสอนสำหรับนักเรียนเพื่อการศึกษาอิสระในส่วนนี้

บทที่ อนุกรมกำลัง a a a อนุกรม A ที่มีรูปแบบ a a a a () เรียกว่าอนุกรมกำลัง โดยที่ a เป็นค่าคงที่ที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของอนุกรม บางครั้งถือว่าอนุกรมกำลังที่มีรูปแบบทั่วไปมากกว่า: a a(a) a(a) ก(ก) () ที่ไหน

บรรยาย N34. อนุกรมจำนวนที่มีพจน์เชิงซ้อน อนุกรมกำลังในโดเมนเชิงซ้อน ฟังก์ชั่นการวิเคราะห์ ฟังก์ชันผกผัน..อนุกรมตัวเลขที่มีพจน์เชิงซ้อน.....อนุกรมกำลังในโดเมนเชิงซ้อน....

งานตัวเลือก คำนวณค่าของฟังก์ชัน ให้คำตอบในรูปแบบพีชคณิต: a sh ; b l วิธีแก้ไข a ลองใช้สูตรสำหรับการเชื่อมต่อระหว่างไซน์ตรีโกณมิติและไซน์ไฮเปอร์โบลิก: ; sh -s รับ

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา สถาบันการศึกษาของรัฐที่มีการศึกษาวิชาชีพระดับสูง มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐ Ukhta แนวทางจำนวนที่ซับซ้อน

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย สถาบันการศึกษาด้านงบประมาณของรัฐบาลกลางแห่งการศึกษาวิชาชีพระดับสูง "มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐ SAMARA" ภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์

ชุดฟังก์ชันการบรรยาย 7-8 1 พื้นที่ของการบรรจบกัน 1 ชุดของรูปแบบ u () u () u () u (), 1 2 u () โดยที่ฟังก์ชันถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าชุดฟังก์ชัน . เซตของจุดทั้งหมด

หน่วยงานกลางเพื่อการศึกษา สถาบันการศึกษาของรัฐที่มีการศึกษาวิชาชีพระดับสูง มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐ Ukhta (USTU) ฟังก์ชั่นจำกัด ระเบียบวิธี

การบรรยาย เทียบเท่า infinitesimals ขีด จำกัด ที่น่าทึ่งที่หนึ่งและที่สอง การเปรียบเทียบของฟังก์ชันที่มีขนาดใหญ่และไม่มีที่สิ้นสุด ฟังก์ชัน f () เรียกว่า จิ๋วที่จุด a (ที่ a) ถ้า (

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์ของสหพันธรัฐรัสเซียสถาบันการศึกษางบประมาณของรัฐบาลกลางการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "Tomsk State สถาปัตยกรรมและการก่อสร้าง

ชุดหมายเลขบรรยาย สัญญาณของการบรรจบกัน ชุดหมายเลข สัญญาณของการลู่เข้า การแสดงออกที่ไม่สิ้นสุดของลำดับตัวเลข + + + + ซึ่งประกอบด้วยเงื่อนไขของจำนวนอนันต์ เรียกว่าชุดตัวเลข ตัวเลข

EV Nebogina, ชุดปฏิบัติการ OS Afanasyeva ในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง Samara 9 หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษาของรัฐสถาบันการศึกษาระดับสูงของการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง "SAMARSKY"

บทที่ 3 แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ซีรีส์ ปริพันธ์คู่ วรรณกรรม: , ch. ,กลี; บทที่ XII, 6 จำเป็นต้องแก้ไขปัญหาในหัวข้อนี้