สัมผัสกันเป็นวงกลม บทเรียนที่สมบูรณ์ - ไฮเปอร์มาร์เก็ตแห่งความรู้ เส้นสัมผัสกัน มุมสัมผัสกันคืออะไร

1. ระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงมีค่ามากกว่ารัศมีในกรณีนี้ จุดทุกจุดของเส้นจะอยู่นอกวงกลม


2. ระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงนั้นน้อยกว่ารัศมีในกรณีนี้ เส้นตรงมีจุดอยู่ภายในวงกลม และเนื่องจากเส้นตรงไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง จึงถูกตัดกันด้วยวงกลมที่ 2 จุด


3. ระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงเท่ากับรัศมีเส้นตรงเป็นเส้นสัมผัสกัน

เส้นตรงที่มีจุดเดียวกับวงกลมเพียงจุดเดียวเรียกว่า แทนเจนต์ไปที่วงกลม

จุดร่วมในกรณีนี้เรียกว่า จุดติดต่อ.

ความเป็นไปได้ของการมีอยู่ของแทนเจนต์ และยิ่งไปกว่านั้น ที่ถูกลากผ่านจุดใดๆ ของวงกลมเป็นจุดของเส้นสัมผัส ได้รับการพิสูจน์โดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. ถ้าเส้นตรงตั้งฉากกับรัศมีที่ปลายเส้นนั้นวางอยู่บนวงกลม เส้นนี้จะเป็นเส้นสัมผัสกัน

ให้ O (รูป) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมวงหนึ่ง และ OA ของรัศมีบางส่วน จนจบ A เราวาด MN ^ OA

จำเป็นต้องพิสูจน์ว่าเส้น MN แทนเจนต์ เช่น เส้นตรงนี้มีจุด A ร่วมเพียงจุดเดียวกับวงกลม

ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: ให้ MN มีจุดร่วมอีกจุดหนึ่งกับวงกลม เช่น B

จากนั้นเส้นตรง OB จะเป็นรัศมีและเท่ากับ OA

แต่สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากถ้า OA ตั้งฉาก OB จะต้องเอียงไปทาง MN และค่าที่เอียงจะมากกว่าค่าตั้งฉาก

ทฤษฎีบทสนทนา ถ้าเส้นสัมผัสกันกับวงกลม รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นนั้น

ให้ MN เป็นจุดสัมผัสของวงกลม, A เป็นจุดสัมผัสของวงกลม และ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม

จะต้องพิสูจน์ว่า OA^MN

สมมติว่าตรงกันข้ามคือ สมมติว่าเส้นตั้งฉากที่ตกลงจาก O ถึง MN จะไม่ใช่ OA แต่เป็นเส้นอื่น เช่น OB

สมมติว่า BC = AB และดำเนินการ OS

จากนั้น OA และ OS จะมีความโน้มเอียง โดยอยู่ห่างจาก OB ตั้งฉากเท่ากัน ดังนั้น OS = OA

จากนี้ไปวงกลมโดยคำนึงถึงสมมติฐานของเราจะมีจุดร่วมสองจุดกับเส้น MN: A และ C เช่น MN จะไม่ใช่เส้นสัมผัสกัน แต่เป็นเส้นตัดซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข

ผลที่ตามมา ผ่านจุดใดๆ ก็ตามบนวงกลม เราสามารถวาดเส้นสัมผัสกันให้กับวงกลมนี้ได้ และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น เนื่องจากผ่านจุดนี้ไป เราสามารถวาดเส้นตั้งฉากได้เพียงจุดเดียวเท่านั้นกับรัศมีที่ลากเข้าไป

ทฤษฎีบท. แทนเจนต์ที่ขนานกับคอร์ดจะแบ่งส่วนโค้งที่คอร์ดซับไว้ครึ่งหนึ่ง ณ จุดที่สัมผัสกัน

ให้เส้นตรง AB (รูป) แตะวงกลมที่จุด M และขนานกับคอร์ด CD

เราต้องพิสูจน์ว่า ÈCM = ÈMD

เมื่อวาดเส้นผ่านศูนย์กลาง ME ผ่านจุดแทนเจนต์ เราจะได้: EM ^ AB และด้วยเหตุนี้ EM ^ CB

ดังนั้น ซีเอ็ม=เอ็มดี

งาน.ผ่านจุดที่กำหนด ให้ลากเส้นสัมผัสกันไปยังวงกลมที่กำหนด

หากจุดที่กำหนดอยู่บนวงกลม ให้วาดรัศมีผ่านจุดนั้นและลากเส้นตั้งฉากผ่านจุดสิ้นสุดของรัศมี เส้นนี้จะเป็นเส้นสัมผัสกันที่ต้องการ

ลองพิจารณากรณีที่ให้จุดไว้นอกวงกลม

ปล่อยให้มันจำเป็น (รูปที่) เพื่อวาดเส้นสัมผัสกันให้กับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง O ถึงจุด A

ในการทำเช่นนี้ จากจุด A ในฐานะศูนย์กลาง เราจะอธิบายส่วนโค้งที่มีรัศมี AO และจากจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง เราจะตัดส่วนโค้งนี้ที่จุด B และ C โดยมีเข็มทิศเปิดเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนด .

หลังจากวาดคอร์ด OB และ OS แล้ว เราจะเชื่อมต่อจุด A กับจุด D และ E ซึ่งคอร์ดเหล่านี้ตัดกับวงกลมที่กำหนด

เส้น AD และ AE สัมผัสกับวงกลม O

จากการก่อสร้างเป็นที่ชัดเจนว่าท่อ AOB และ AOC นั้นเป็นหน้าจั่ว (AO = AB = AC) โดยมีฐาน OB และ OS เท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O

เนื่องจาก OD และ OE เป็นรัศมี ดังนั้น D คือจุดกึ่งกลางของ OB และ E คือจุดกึ่งกลางของ OS ซึ่งหมายความว่า AD และ AE เป็นค่ามัธยฐานที่ลากไปยังฐานของท่อหน้าจั่ว และด้วยเหตุนี้จึงตั้งฉากกับฐานเหล่านี้ หากเส้น DA และ EA ตั้งฉากกับรัศมี OD และ OE แสดงว่าเส้นสัมผัสกัน

ผลที่ตามมา แทนเจนต์สองตัวที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังวงกลมจะมีขนาดเท่ากันและสร้างมุมเท่ากันโดยมีเส้นตรงเชื่อมจุดนี้เข้ากับศูนย์กลาง

ดังนั้น AD=AE และ ÐOAD = ÐOAE (รูปที่.) เนื่องจากสี่เหลี่ยม tr-ki AOD และ AOE ซึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉากร่วม AO และขาเท่ากับ OD และ OE (ตามรัศมี) จะเท่ากัน

โปรดทราบว่าคำว่า "แทนเจนต์" ในที่นี้หมายถึง "ส่วนแทนเจนต์" ที่แท้จริงจากจุดที่กำหนดไปยังจุดสัมผัส

งาน.วาดเส้นสัมผัสกันกับวงกลมที่กำหนด O ขนานกับเส้นตรงที่กำหนด AB (รูปที่)

เราลด OS ตั้งฉากลงเป็น AB จากศูนย์กลาง O และผ่านจุด D ซึ่งตั้งฉากนี้ตัดกับวงกลมให้วาด EF || เอบี

แทนเจนต์ที่เราหาคือ EF

อันที่จริงตั้งแต่ OS ^ AB และ EF || AB ตามด้วย EF ^ OD และเส้นตั้งฉากกับรัศมีที่ปลายวงกลมซึ่งอยู่บนวงกลมนั้นเป็นเส้นสัมผัสกัน

งาน.วาดแทนเจนต์ร่วมให้กับวงกลมสองวง O และ O 1 (รูปที่)

การวิเคราะห์. สมมติว่าปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว

ให้ AB เป็นจุดแทนเจนต์ร่วม, A และ B เป็นจุดแทนเจนต์

แน่นอนว่าหากเราพบจุดใดจุดหนึ่งเหล่านี้ เช่น A เราก็จะสามารถหาอีกจุดหนึ่งได้อย่างง่ายดาย

ให้เราวาดรัศมี OA และ O 1 B รัศมีเหล่านี้ซึ่งตั้งฉากกับแทนเจนต์ทั่วไปจะขนานกัน

ดังนั้นหากจาก O 1 เราวาด O 1 C || BA จากนั้นไปป์ไลน์ OCO 1 จะเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉากที่จุดยอด C

ดังนั้น หากเราอธิบายวงกลมจาก O เป็นจุดศูนย์กลางที่มีรัศมี OS วงกลมนั้นจะสัมผัสเส้นตรง O 1 C ที่จุด C

ทราบรัศมีของวงกลมเสริมนี้: เท่ากับ OA – CA = OA - O 1 B เช่น มันเท่ากับความแตกต่างระหว่างรัศมีของวงกลมเหล่านี้

การก่อสร้าง.จากจุดศูนย์กลาง O เราอธิบายวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับผลต่างของรัศมีเหล่านี้

จาก O 1 เราวาดแทนเจนต์ O 1 C ไปที่วงกลมนี้ (ในลักษณะที่ระบุไว้ในปัญหาก่อนหน้า)

ผ่านจุดสัมผัส C เราวาดรัศมี OS และทำต่อไปจนกว่าจะถึงวงกลมที่กำหนดที่จุด A สุดท้ายจาก A เราวาด AB ขนานกับ CO 1

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสร้างแทนเจนต์ร่วมอีกอัน A 1 B 1 (รูปที่) สายตรง AB และ A 1 B 1 เรียกว่า ภายนอกแทนเจนต์ทั่วไป

คุณสามารถใช้จ่ายเพิ่มอีกสอง ภายในแทนเจนต์ดังต่อไปนี้:

การวิเคราะห์.สมมติว่าปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว (รูปที่) ให้ AB เป็นแทนเจนต์ที่ต้องการ

ขอให้เราวาดรัศมี OA และ O 1 B ไปยังจุดสัมผัสกัน A และ B เนื่องจากรัศมีทั้งสองตั้งฉากกับแทนเจนต์ทั่วไป ทั้งสองจึงขนานกัน

ดังนั้นหากจาก O 1 เราวาด O 1 C || BA และต่อ OA ไปที่จุด C จากนั้น OS จะตั้งฉากกับ O 1 C

เป็นผลให้วงกลมที่อธิบายโดยรัศมี OS จากจุด O เนื่องจากจุดศูนย์กลางจะแตะเส้นตรง O 1 C ที่จุด C

ทราบรัศมีของวงกลมเสริมนี้: เท่ากับ OA+AC = OA+O 1 B เช่น มันเท่ากับผลรวมของรัศมีของวงกลมที่กำหนด

การก่อสร้าง.จาก O เป็นจุดศูนย์กลาง เราจะอธิบายวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับผลรวมของรัศมีเหล่านี้

จาก O 1 เราวาดแทนเจนต์ O 1 C ไปที่วงกลมนี้

เราเชื่อมต่อจุดติดต่อ C กับ O

ในที่สุด เมื่อผ่านจุด A ซึ่ง OS ตัดกับวงกลมที่กำหนด เราก็วาด AB = O 1 C

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถสร้างแทนเจนต์ภายใน A 1 B 1 อีกอันได้

คำจำกัดความทั่วไปของแทนเจนต์

ให้แทนเจนต์ AT และซีแคนต์ AM บางส่วนถูกลากผ่านจุด A ไปยังวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง (รูปที่)

ลองหมุนเส้นตัดนี้รอบจุด A เพื่อให้จุดตัด B อีกจุดขยับเข้าใกล้ A มากขึ้นเรื่อยๆ

จากนั้น OD ตั้งฉากซึ่งลดลงจากศูนย์กลางถึงเส้นตัดจะเข้าใกล้รัศมี OA มากขึ้นเรื่อยๆ และมุม AOD อาจน้อยกว่ามุมเล็กๆ ใดๆ

มุม MAT ที่เกิดจากเส้นตัดและแทนเจนต์จะเท่ากับมุม AOD (เนื่องจากความตั้งฉากของด้านข้าง)

ดังนั้น เมื่อจุด B เข้าใกล้ A อย่างไม่มีกำหนด มุม MAT ก็อาจมีขนาดเล็กลงตามอำเภอใจได้เช่นกัน

นี่แสดงเป็นคำอื่น ๆ เช่นนี้:

แทนเจนต์คือตำแหน่งจำกัดที่เส้นตัดผ่านจุดสัมผัสจะมีแนวโน้มเมื่อจุดตัดที่สองเข้าใกล้จุดสัมผัสอย่างไม่มีกำหนด

คุณสมบัตินี้ถือเป็นคำจำกัดความของแทนเจนต์เมื่อพูดถึงเส้นโค้งใดๆ

ดังนั้น ค่าแทนเจนต์ของเส้นโค้ง AB (รูปที่) คือตำแหน่งจำกัด MT ซึ่งเส้นตัด MN มีแนวโน้มเมื่อจุดตัด P เข้าใกล้ M โดยไม่มีขีดจำกัด

โปรดทราบว่าแทนเจนต์ที่กำหนดด้วยวิธีนี้สามารถมีจุดร่วมได้มากกว่าหนึ่งจุดพร้อมกับเส้นโค้ง (ดังที่เห็นในรูป)

โดยตรง ( มน) มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวบนวงกลม ( ก), เรียกว่า แทนเจนต์ ไปที่วงกลม.

จุดร่วมในกรณีนี้เรียกว่า จุดติดต่อ.

ความเป็นไปได้ของการดำรงอยู่ แทนเจนต์และยิ่งไปกว่านั้น ลากผ่านจุดใดก็ได้ วงกลมเป็นจุดสัมผัสพิสูจน์ได้ดังนี้ ทฤษฎีบท.

ปล่อยให้มันจำเป็นต้องดำเนินการ วงกลมมีศูนย์กลาง โอ แทนเจนต์ผ่านจุด ก. การทำเช่นนี้จากจุด เอ,จากศูนย์กลางเราอธิบาย ส่วนโค้งรัศมี อ.โอ.และจากจุดนั้น โอเป็นจุดศูนย์กลาง เราตัดส่วนโค้งนี้ที่จุดต่างๆ บีและ กับคำตอบของเข็มทิศเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่กำหนด

หลังจากใช้จ่ายแล้ว คอร์ด โอ.บี.และ ระบบปฏิบัติการ, เชื่อมต่อจุด กมีจุด ดีและ อีซึ่งคอร์ดเหล่านี้ตัดกับวงกลมที่กำหนด โดยตรง ค.ศและ เอ.อี. - แทนเจนต์เป็นวงกลม โอ. แท้จริงจากการก่อสร้างก็ชัดเจนว่า สามเหลี่ยม เอโอบีและ เอโอซี หน้าจั่ว(เอโอ = เอบี = เอซี) พร้อมฐาน โอ.บี.และ ระบบปฏิบัติการเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม โอ.

เพราะ โอ.ดี.และ ส.อ.- รัศมีแล้ว ดี - กลาง โอ.บี., ก อี- กลาง ระบบปฏิบัติการ, วิธี ค.ศและ เอ.อี. - ค่ามัธยฐานวาดไปที่ฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และดังนั้นจึงตั้งฉากกับฐานเหล่านี้ ถ้าตรง ดี.เอ.และ อีเอตั้งฉากกับรัศมี โอ.ดี.และ ส.อ.แล้วพวกเขาก็- แทนเจนต์.

ผลที่ตามมา

แทนเจนต์สองตัวที่ลากจากจุดหนึ่งไปยังวงกลมนั้นเท่ากันและสร้างมุมเท่ากันโดยมีเส้นตรงเชื่อมจุดนี้เข้ากับศูนย์กลาง.

ดังนั้น โฆษณา=AEและ ∠ โอเอดี = ∠โอเออีเพราะ สามเหลี่ยมมุมฉาก อโอดีและ เอโออีมีร่วมกัน ด้านตรงข้ามมุมฉาก อ.โอ.และเท่าเทียมกัน ขา โอ.ดี.และ ส.อ.(เป็นรัศมี) เท่ากัน โปรดทราบว่าในที่นี้คำว่า "แทนเจนต์" จริงๆ แล้วหมายถึง " ส่วนแทนเจนต์” จากจุดที่กำหนดไปยังจุดสัมผัส

เส้นตรงที่มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวกับวงกลมเรียกว่าเส้นสัมผัสกันของวงกลม และจุดร่วมเรียกว่าจุดสัมผัสกันของเส้นตรงและวงกลม

ทฤษฎีบท (คุณสมบัติของเส้นสัมผัสกันของวงกลม)

สัมผัสกันของวงกลมจะตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส

ที่ให้ไว้

เอ – จุดติดต่อ

พิสูจน์:p โอเอ

การพิสูจน์.

ลองพิสูจน์ด้วยการขัดแย้งกันดู

สมมติว่า p คือ OA แล้ว OA จะเอียงไปทางเส้นตรง p

หากจากจุด O เราวาดเส้นตั้งฉาก OH ถึงเส้นตรง p ความยาวของมันจะน้อยกว่ารัศมี: OH< ОА=r

เราพบว่าระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรง p (OH) น้อยกว่ารัศมี (r) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง p คือเส้นตัดฉาก (นั่นคือ มันมีจุดร่วมสองจุดกับวงกลม) ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท (p คือแทนเจนต์)

ซึ่งหมายความว่าสมมติฐานไม่ถูกต้อง ดังนั้นเส้นตรง p จึงตั้งฉากกับ OA

ทฤษฎีบท (คุณสมบัติของเซกเมนต์แทนเจนต์ที่ดึงมาจากจุดหนึ่ง)

ส่วนของแทนเจนต์ของวงกลมที่ลากจากจุดหนึ่งจะเท่ากันและสร้างมุมเท่ากันโดยมีเส้นตรงผ่านจุดนี้และจุดศูนย์กลางของวงกลม

ที่ให้ไว้: ประมาณ. (หรือ)

AB และ AC แทนเจนต์กับสภาพแวดล้อม (หรือ)

พิสูจน์: AB=เอซี

การพิสูจน์

1) OB AB, OS AC ตามรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส (คุณสมบัติแทนเจนต์)

2) พิจารณา ตร. เอโอบี ฯลฯ AOS – พี/ยู

JSC – ทั่วไป

OB=OS (ตามรัศมี)

ซึ่งหมายความว่า ABO = AOC (โดยด้านตรงข้ามมุมฉากและขา) เพราะฉะนั้น,

เอบี = เอซี<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

ทฤษฎีบท (การทดสอบแทนเจนต์)

ถ้าเส้นตรงลากผ่านจุดสิ้นสุดของรัศมีที่วางอยู่บนวงกลมและตั้งฉากกับรัศมีนี้ เส้นนั้นจะเป็นรูปแทนเจนต์

ที่ให้ไว้: OA – รัศมีของวงกลม

พิสูจน์: p- สัมผัสกับวงกลม

การพิสูจน์

OA – รัศมีของวงกลม (ตามเงื่อนไข) (OA=r)

OA – ตั้งฉากจาก O ถึงเส้นตรง p (OA =d)

ซึ่งหมายความว่า r=OA=d ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง p และวงกลมมีจุดร่วมจุดเดียว

ดังนั้น เส้น p สัมผัสกับวงกลม ฯลฯ

3.คุณสมบัติของคอร์ดและเซแคนต์

คุณสมบัติของแทนเจนต์และซีแคนต์

คำนิยาม

เส้นรอบวงคือตำแหน่งของจุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดหนึ่งเท่ากันเรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงกลม

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลมเรียกว่า คอร์ด(ในรูปนี้คือส่วน) เรียกว่าคอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม เส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม

1. แทนเจนต์ตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัส

2. ส่วนแทนเจนต์ที่ดึงมาจากจุดหนึ่งมีค่าเท่ากัน

3. ถ้าลากเส้นสัมผัสกันและเส้นตัดออกจากจุดที่อยู่นอกวงกลม กำลังสองของความยาวของเส้นสัมผัสกันจะเท่ากับผลคูณของเส้นตัดกับส่วนนอกของเส้นนั้น

ส่วนใหญ่แล้วปัญหาทางเรขาคณิตทำให้เกิดปัญหาสำหรับผู้สมัคร ผู้สำเร็จการศึกษา และผู้เข้าร่วมการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกทางคณิตศาสตร์ หากคุณดูสถิติของการสอบ Unified State ประจำปี 2010 คุณจะเห็นว่าผู้เข้าร่วมประมาณ 12% เริ่มโจทย์เรขาคณิต C4 และผู้เข้าร่วมเพียง 0.2% เท่านั้นที่ได้รับคะแนนเต็ม และโดยทั่วไปแล้วปัญหากลับกลายเป็นว่า ยากที่สุดในบรรดาข้อเสนอทั้งหมด

แน่นอนว่ายิ่งเราเสนอวิธีแก้ปัญหาที่สวยงามหรือไม่คาดคิดให้กับเด็กนักเรียนได้เร็วเท่าไรก็ยิ่งมีโอกาสทำให้พวกเขาสนใจและหลงใหลอย่างจริงจังและเป็นเวลานานมากขึ้นเท่านั้น แต่การค้นหาปัญหาที่น่าสนใจและซับซ้อนในระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 นั้นยากเพียงใดเมื่อการศึกษาเรขาคณิตอย่างเป็นระบบเพิ่งเริ่มต้น สิ่งที่สามารถเสนอให้กับนักเรียนที่สนใจในคณิตศาสตร์ที่รู้เพียงสัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมและคุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกันและแนวตั้ง? อย่างไรก็ตาม เราสามารถแนะนำแนวคิดเรื่องเส้นสัมผัสกันของวงกลมได้ โดยเป็นเส้นตรงที่มีจุดเดียวกันกับวงกลม สมมติว่ารัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสนั้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกัน แน่นอนว่าควรพิจารณากรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการจัดเรียงวงกลมสองวงและแทนเจนต์ร่วมซึ่งสามารถดึงได้จากศูนย์ถึงสี่ ด้วยการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่เสนอด้านล่างนี้ คุณสามารถขยายชุดปัญหาสำหรับนักเรียนระดับประถม 7 ได้อย่างมาก ในขณะเดียวกันก็พิสูจน์ข้อเท็จจริงที่สำคัญหรือน่าสนใจและสนุกสนานไปพร้อมกัน นอกจากนี้ เนื่องจากข้อความจำนวนมากไม่รวมอยู่ในหนังสือเรียนของโรงเรียน จึงสามารถพูดคุยกันในชั้นเรียนแบบวงกลมและกับผู้สำเร็จการศึกษาได้เมื่อทำการวัดแผนผังซ้ำ ข้อเท็จจริงเหล่านี้กลายเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องในปีการศึกษาที่แล้ว เนื่องจากงานวินิจฉัยจำนวนมากและงานของ Unified State Examination เองมีปัญหาในการแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นต้องใช้คุณสมบัติของเซ็กเมนต์แทนเจนต์ที่พิสูจน์ด้านล่าง

ที 1 ส่วนของแทนเจนต์ถึงวงกลมที่ดึงมาจาก
เท่ากับหนึ่งจุด (รูปที่ 1)

นี่คือทฤษฎีบทที่คุณสามารถแนะนำให้กับนักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ได้เป็นครั้งแรก
ในกระบวนการพิสูจน์ เราใช้เครื่องหมายความเท่ากันของสามเหลี่ยมมุมฉากและสรุปว่าจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม บีเอสเอ.
ระหว่างทาง เราจำได้ว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมคือตำแหน่งของจุดในพื้นที่ภายในของมุม ซึ่งอยู่ห่างจากด้านข้างเท่ากัน วิธีแก้ปัญหาที่ห่างไกลจากปัญหาเล็กๆ น้อยๆ นั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงเหล่านี้ ซึ่งเข้าถึงได้แม้กระทั่งผู้ที่เพิ่งเริ่มศึกษาเรขาคณิตก็ตาม

1. เส้นแบ่งครึ่งมุม ก, ในและ กับรูปสี่เหลี่ยมนูน เอบีซีดีตัดกันที่จุดหนึ่ง รังสี เอบีและ กระแสตรงตัดกันที่จุดหนึ่ง อีและรังสี
ดวงอาทิตย์และ ค.ศตรงจุด เอฟ. พิสูจน์ว่ารูปสี่เหลี่ยมไม่นูน เออีซีเอฟผลบวกของความยาวของด้านตรงข้ามจะเท่ากัน

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 2)อนุญาต เกี่ยวกับ– จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งเหล่านี้ แล้ว เกี่ยวกับมีระยะห่างเท่ากันทุกด้านของรูปสี่เหลี่ยม เอบีซีดี, นั่นคือ
เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยม ตามทฤษฎีบท 1 ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: เออาร์ = อ.เค., เอ่อ = อี.พี., เอฟ.ที. = เอฟเค. ลองบวกด้านซ้ายและขวาทีละเทอมและรับความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

(เออาร์ + เอ่อ) + เอฟ.ที. = (อ.เค. +เอฟเค) + อี.พี.; เอ.อี. + (เอฟซี + ซี.ที.) = เอเอฟ + (สหภาพยุโรป + พีซี). เพราะ เซนต์ = อาร์เอส, ที่ เออี + เอฟซี = เอเอฟ + สหภาพยุโรปซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ให้เราพิจารณาปัญหาเกี่ยวกับสูตรที่ผิดปกติ เพื่อหาคำตอบที่เพียงพอที่จะรู้ทฤษฎีบท 1 .

2.อยู่ไหม n- รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเรียงกัน 1, 2, 3, ..., n, วงกลมอะไรสามารถเขียนได้?

สารละลาย. สมมุติว่าอย่างนี้ n-gon มีอยู่จริง ก 1 ก 2 =1, …, ก n-1 ก n= n– 1,ก n ก 1 = n. บี 1 , …, บี n - จุดติดต่อที่เกี่ยวข้อง จากนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 ก 1 บี 1 = ก 1 บี n< 1, n – 1 < ก n บี n< n.โดยคุณสมบัติของเซกเมนต์แทนเจนต์ ก n บี n= ก n บี n-1 . แต่, ก n บี n-1< ก n-1 ก n= ไม่มี – 1. ความขัดแย้ง. ดังนั้นไม่มี n- ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา

ที 2ผลรวมของด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่อธิบายไว้
วงกลมเท่ากัน (รูปที่ 3)

ตามกฎแล้วเด็กนักเรียนสามารถพิสูจน์คุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่อธิบายไว้ได้อย่างง่ายดาย หลังจากพิสูจน์ทฤษฎีบทแล้ว 1 เป็นการฝึกซ้อม เราสามารถสรุปข้อเท็จจริงนี้ได้ - ผลบวกของด้านข้างของสามเหลี่ยมคู่ที่ตัดขอบด้านหนึ่งจะเท่ากัน ตัวอย่างเช่นสำหรับรูปหกเหลี่ยม เอบีซีดีเอฟขวา: AB + ซีดี + EF = BC + DE + FA

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 1). เนื่องจากรูปสี่เหลี่ยม ABEF และ ECDF เป็นวงจร ดังนั้นตามทฤษฎีบท 2 P ABEF = 2(AB + EF) และ P ECDF = 2(CD + EF) โดยเงื่อนไข

พี เอบีเอฟ – พี อีซีดีเอฟ = 2(AB + EF) – 2(ซีดี + EF) = 2p AB – ซีดี = p AB = ก + พี

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 5)โดยทฤษฎีบทที่ 1 MV = MX และ RS = RHดังนั้นปริมณฑลของสามเหลี่ยม แอมอาร์เท่ากับผลรวมของส่วนต่างๆ เอบีและ เครื่องปรับอากาศหรือ แทนเจนต์คู่ที่ลากไปที่วงกลมด้านนอกของสามเหลี่ยม แอมอาร์ . ค่าของมุม MOP วัดได้ครึ่งหนึ่งของมุม วีโอเอสซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกจุด เอ็กซ์.

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 6) วิธีที่หนึ่ง (พีชคณิต) อนุญาต อลาสกา = อัน = x,แล้ว BK = BM = ค – x, CM = CN = ก – ค + x เอซี = AN + NCจากนั้นเราก็สามารถสร้างสมการได้ x: b = x + (ก – ค + x)ที่ไหน .

วิธีที่สอง (เรขาคณิต) ลองดูที่แผนภาพ ส่วนของแทนเจนต์ที่เท่ากัน นำมาทีละส่วน บวกกันจนถึงกึ่งเส้นรอบรูป
สามเหลี่ยม. สีแดงและสีเขียวประกอบกันเป็นด้าน ก.แล้วส่วนที่เราสนใจ x = พี – ก.แน่นอนว่าผลลัพธ์ที่ได้ก็เกิดขึ้นพร้อมกัน

. ซี

4. ค้นหารัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉากพร้อมขา ก, ขและด้านตรงข้ามมุมฉาก กับ. วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 8) ตโอเค ยังไงล่ะ โอมซีเอ็น -สี่เหลี่ยมจัตุรัส จากนั้นรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในจะเท่ากับส่วนแทนเจนต์ CN .

5. พิสูจน์ว่าจุดสัมผัสของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และวงกลมด้านนอกกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมมีความสมมาตรรอบกึ่งกลางของด้านนี้

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 9)โปรดทราบว่า AK เป็นส่วนแทนเจนต์ของวงกลมด้านนอกของรูปสามเหลี่ยม เอบีซีตามสูตร (2) . วีเอ็ม- ส่วนของเส้น สัมผัสวงกลมแนบกับสามเหลี่ยม เอบีซีตามสูตร (1) . AK = วีเอ็มและนี่หมายถึงจุดนั้น เค และ เอ็มให้ห่างจากกึ่งกลางด้านข้างเท่ากัน เอบี, Q.E.D.

6. แทนเจนต์ภายนอกทั่วไปสองอันและแทนเจนต์ภายในหนึ่งอันถูกลากไปที่วงกลมสองวง แทนเจนต์ภายในตัดกันแทนเจนต์ภายนอกที่จุดต่างๆ เอ, บีและสัมผัสวงกลมตามจุดต่างๆ เอ 1และ ใน 1 .พิสูจน์ว่า เอเอ 1 = บีบี 1

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 10) หยุด... มีอะไรให้ตัดสินใจ? นี่เป็นเพียงการกำหนดที่แตกต่างกันของปัญหาก่อนหน้านี้ แน่นอนว่าวงกลมวงหนึ่งถูกจารึกไว้ และอีกวงหนึ่งเป็นวงกลมด้านนอกของสามเหลี่ยมหนึ่งๆ เอบีซีและส่วนต่างๆ เอเอ 1 และ บีบี 1สอดคล้องกับส่วนต่างๆ อลาสก้าและ วีเอ็มงาน 5 เป็นที่น่าสังเกตว่าปัญหาที่เสนอในการแข่งขันคณิตศาสตร์โอลิมปิก All-Russian สำหรับเด็กนักเรียนได้รับการแก้ไขด้วยวิธีที่ชัดเจนเช่นนี้

7. ด้านของรูปห้าเหลี่ยมตามลำดับการเคลื่อนที่คือ 5, 6, 10, 7, 8 พิสูจน์ว่าไม่สามารถเขียนวงกลมไว้ในรูปห้าเหลี่ยมนี้ได้

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 11). สมมติว่าอยู่ในรูปห้าเหลี่ยม เอบีดีอีคุณสามารถเขียนวงกลมได้ อีกทั้งฝ่ายต่างๆ เอบี, บี.ซี., ซีดี, เดและ อีเอมีค่าเท่ากับ 5, 6, 10, 7 และ 8 ตามลำดับ ให้เราทำเครื่องหมายจุดสัมผัสกันตามลำดับ – เอฟ, ช, ชม, มและ เอ็น. ให้ความยาวของส่วน เอเอฟเท่ากับ เอ็กซ์.

แล้ว บี.เอฟ. = เอฟดี – เอเอฟ = 5 – x = บี.จี.. จี.ซี. = บี.ซี. – บี.จี. = = 6 – (5 – x) = 1 + x = ช. และอื่นๆ: เอชดี = ดีเอ็ม = 9 – x; ฉัน. = TH = x – 2, หนึ่ง = 10 – เอ็กซ์.

แต่, เอเอฟ = หนึ่ง. นั่นคือ 10 - เอ็กซ์ = เอ็กซ์; เอ็กซ์= 5 อย่างไรก็ตาม ส่วนแทนเจนต์ เอเอฟด้านเท่ากันไม่ได้ เอบี. ผลลัพธ์ที่ขัดแย้งกันพิสูจน์ว่าไม่สามารถเขียนวงกลมในรูปห้าเหลี่ยมที่กำหนดได้

8. วงกลมเขียนไว้เป็นรูปหกเหลี่ยม โดยด้านของวงกลมเรียงตามลำดับเส้นรอบวงคือ 1, 2, 3, 4, 5 จงหาความยาวของด้านที่หก

สารละลาย. แน่นอนว่าเราสามารถกำหนดส่วนแทนเจนต์ได้เป็น เอ็กซ์เช่นเดียวกับปัญหาที่แล้ว ให้สร้างสมการแล้วหาคำตอบ แต่การใช้หมายเหตุประกอบทฤษฎีบทจะมีประสิทธิภาพและประสิทธิผลมากกว่ามาก 2 : ผลรวมของด้านของรูปหกเหลี่ยมที่ตัดขอบเข้าหากันมีค่าเท่ากัน

จากนั้น 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + เอ็กซ์, ที่ไหน เอ็กซ์– ด้านที่หกไม่ทราบ เอ็กซ์ = 3.

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 12). เนื่องจากความยาวของด้านทุกด้านเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนของความยาวของด้านทั้งสองจึงเท่ากัน บีที, บี.พี., ดีเอ็ม, ดีเอ็น, อ.เค.และ ที่. เรามี ที่ + โทรทัศน์= 1 และเศษส่วนของความยาวเซ็กเมนต์ ที่และ วัณโรคมีความเท่าเทียมกัน มันจะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ ที่ + โทรทัศน์= 0.5. ตามทฤษฎีบท 1 เวอร์มอนต์ + วีอาร์.
วิธี, วีอาร์= 0.5. โปรดทราบว่าสภาพ ซีดี= 3 กลายเป็นว่าไม่มีการอ้างสิทธิ์ เห็นได้ชัดว่าผู้เขียนปัญหาสันนิษฐานว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาอื่น คำตอบ: 0.5

10. เป็นรูปสี่เหลี่ยม ABCD AD = กระแสตรง, AB = 3, BC = 5วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอบีดีและ ย่านศูนย์กลางธุรกิจแตะส่วนใดส่วนหนึ่ง บีดีที่จุด มและ เอ็นตามลำดับ ค้นหาความยาวของส่วน มน.

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 13) MN = DN – DMตามสูตร (1) สำหรับรูปสามเหลี่ยม ดีบีเอและ ดีบีซีดังนั้นเราจึงมี:

11. เป็นรูปสี่เหลี่ยม เอบีซีดีคุณสามารถเขียนวงกลมได้ วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอบีดีและ ย่านศูนย์กลางธุรกิจมีรัศมี รและ รตามลำดับ ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมเหล่านี้

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 13) เนื่องจากตามเงื่อนไขของรูปสี่เหลี่ยม เอบีซีดีจารึกไว้โดยทฤษฎีบท 2 เรามี: AB + DC = AD + BCลองใช้แนวคิดในการแก้ปัญหาก่อนหน้านี้ . ซึ่งหมายความว่าจุดสัมผัสของวงกลมกับปล้อง ดีเอ็มจับคู่. ระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับผลรวมของรัศมี คำตอบ: ร+อาร์

ในความเป็นจริง ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสภาพเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เอบีซีดีคุณสามารถเขียนวงกลมซึ่งเทียบเท่ากับเงื่อนไขในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูนได้ เอบีซีดีวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอดีซีสัมผัสกัน ตรงกันข้ามเป็นจริง

ขอเสนอให้พิสูจน์ข้อความทั้งสองที่ผกผันร่วมกันในปัญหาต่อไปนี้ ซึ่งถือได้ว่าเป็นลักษณะทั่วไปของข้อความนี้

12. ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน เอบีซีดี (ข้าว. 14) วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีและ เอดีซีสัมผัสกัน พิสูจน์ว่าวงกลมที่เขียนด้วยรูปสามเหลี่ยม เอบีดีและ บีดีซีสัมผัสกันอีกด้วย

13. ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีกับฝ่ายต่างๆ ก, ขและ คด้านข้าง ดวงอาทิตย์ทำเครื่องหมายจุดแล้ว ดีดังนั้นวงกลมจึงเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยม เอบีดีและ เอซีดีแตะส่วนใดส่วนหนึ่ง ค.ศณ จุดหนึ่ง. ค้นหาความยาวของส่วน บีดี.

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 15) ลองใช้สูตร (1) สำหรับรูปสามเหลี่ยม เอดีซีและ เอ.ดี.บี., กำลังคำนวณ ดีเอ็มสอง

ปรากฎว่า ดี– จุดสัมผัสด้านข้าง ดวงอาทิตย์วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซี. สิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นจริง: หากจุดยอดของสามเหลี่ยมเชื่อมต่อกับจุดสัมผัสของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ซึ่งอยู่ฝั่งตรงข้าม วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมที่ได้จะสัมผัสกัน

14. ศูนย์ เกี่ยวกับ 1 , เกี่ยวกับ 2 และ เกี่ยวกับ 3 วงกลม 3 วงที่มีรัศมีเท่ากันไม่ตัดกันจะอยู่ที่จุดยอดของรูปสามเหลี่ยม จากจุดต่างๆ เกี่ยวกับ 1 , เกี่ยวกับ 2 , เกี่ยวกับ 3 ให้วาดแทนเจนต์ของวงกลมเหล่านี้ดังแสดงในรูป

เป็นที่ทราบกันว่าแทนเจนต์เหล่านี้ตัดกันเป็นรูปหกเหลี่ยมนูนซึ่งด้านข้างทาสีแดงและสีน้ำเงิน พิสูจน์ว่าผลรวมของความยาวของส่วนสีแดงเท่ากับผลรวมของความยาวของส่วนสีน้ำเงิน

วิธีแก้ปัญหา (รูปที่ 16) สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจวิธีใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าวงกลมที่กำหนดมีรัศมีเท่ากัน โปรดทราบว่าส่วนต่างๆ บีอาร์และ ดีเอ็มเท่ากัน ซึ่งตามมาจากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมมุมฉาก เกี่ยวกับ 1 บีอาร์และ โอ 2 บี.เอ็ม.. เช่นเดียวกัน ดี.แอล. = ดี.พี., เอฟเอ็น = เอฟเค. เราเพิ่มระยะความเท่าเทียมกันทีละเทอม จากนั้นลบออกจากผลรวมที่ได้ ส่วนแทนเจนต์ที่เหมือนกันที่ดึงมาจากจุดยอด ก, กับ, และ อีหกเหลี่ยม เอบีซีดีเอฟ: เออาร์และ อ.เค., ซี.แอล.และ ซี.เอ็ม., THและ อี.พี.. เราได้รับสิ่งที่เราต้องการ

นี่คือตัวอย่างของปัญหาใน Stereometry ที่เสนอในการแข่งขันคณิตศาสตร์นานาชาติ XII สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย "Cup in Memory of A. N. Kolmogorov"

16. ให้ปิรามิดห้าเหลี่ยม SA 1 ก 2 ก 3 ก 4 ก 5 .มีทรงกลม วซึ่งสัมผัสขอบทั้งหมดของปิรามิดและอีกทรงกลมหนึ่ง w 1,ซึ่งสัมผัสถึงฐานทุกด้าน ก 1 ก 2 ก 3 ก 4 ก 5และความต่อเนื่องของซี่โครงด้านข้าง SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5เกินกว่ายอดของฐาน พิสูจน์ว่ายอดพีระมิดอยู่ห่างจากจุดยอดฐานเท่ากัน (แบร์ลอฟ เอส.แอล., คาร์ปอฟ ดี.วี.)

17. การสอบแบบรวมรัฐ งานวินิจฉัย 8/12/2552 หน้า–4ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เอบีซีดีซึ่งเป็นพื้นฐานของสิ่งนั้น พ.ศ. = 44,ค.ศ = 100, เอบี = ซีดี= 35. วงกลมแทนเจนต์กับเส้น ค.ศและ เอ.ซี., สัมผัสด้านข้าง ซีดีตรงจุด เค. ค้นหาความยาวของส่วน ซีเค.BDC และ บีดีเอให้สัมผัสด้านข้าง วดีที่จุด อีและ เอฟ. ค้นหาความยาวของส่วน อีเอฟ.

สารละลาย. เป็นไปได้สองกรณี (รูปที่ 20 และรูปที่ 21) การใช้สูตร (1) เราค้นหาความยาวของส่วนต่างๆ เดและ ดีเอฟ.

ในกรณีแรก ค.ศ = 0,1เครื่องปรับอากาศ, ซีดี = 0,9เอ.ซี.. ในครั้งที่สอง - ค.ศ = 0,125เครื่องปรับอากาศ, ซีดี = 1,125เอ.ซี.. เราแทนที่ข้อมูลและรับคำตอบ: 4.6 หรือ 5.5

ปัญหาสำหรับการแก้ปัญหาอย่างอิสระ/

1. เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วที่ล้อมรอบวงกลมมีค่าเท่ากับ 2 ถูหาเส้นโครงของเส้นทแยงมุมสี่เหลี่ยมคางหมูบนฐานที่ใหญ่กว่า (1/2r)

2. เปิดธนาคารของปัญหาการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ ที่ 4. ให้เป็นวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซี (รูปที่ 22)ดึงสามแทนเจนต์ออกมา เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่ตัดคือ 6, 8, 10 จงหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้ (24)

3. เป็นรูปสามเหลี่ยม เอบีซีวงกลมถูกจารึกไว้ มินนิโซตา –สัมผัสกับวงกลม MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม บรรษัทข้ามชาติ (12)

4. วงกลมที่มีด้าน a เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีเส้นแทนเจนต์มาตัดกันทั้งสองด้าน หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่ตัด. (ก)

5. วงกลมถูกจารึกไว้ในรูปห้าเหลี่ยมโดยมีด้านข้าง ก, ง, ค, งและ จ. ค้นหาส่วนที่จุดสัมผัสของเส้นสัมผัสแบ่งด้านให้เท่ากัน ก.

6. วงกลมถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีด้าน 6, 10 และ 12 แทนเจนต์ถูกลากไปที่วงกลมเพื่อให้มันตัดกันด้านยาวสองด้าน หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่ตัด. (16)

7. ซีดี– ค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม เอบีซี. วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอซีดีและ บีซีดีให้แตะส่วนนั้น ซีดีที่จุด มและ เอ็น. หา มน, ถ้า เครื่องปรับอากาศ – ดวงอาทิตย์ = 2. (1)

8. ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีกับฝ่ายต่างๆ ก, ขและ คด้านข้าง ดวงอาทิตย์ทำเครื่องหมายจุดแล้ว ดี. สู่วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอบีดีและ เอซีดีแทนเจนต์ร่วมจะถูกวาดตัดกัน ค.ศตรงจุด ม. ค้นหาความยาวของส่วน เช้า. (ความยาว เช้าไม่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของจุด ดีและ
เท่ากับ ½ ( ค + ข – ก))

9. วงกลมรัศมีถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ก. รัศมีของวงกลมสัมผัสกับด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนต่อขยายของขาเท่ากับ ร.หาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก. ( ร-อา)

10. ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซีทราบความยาวของด้านข้าง: เอบี = กับ, เครื่องปรับอากาศ = ข, ดวงอาทิตย์ = ก. วงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมแตะด้านข้าง เอบีตรงจุด ค 1. วงกลมด้านนอกสัมผัสกับส่วนขยายของด้านข้าง เอบีต่อจุด กตรงจุด ค 2. กำหนดความยาวของส่วน ค 1 ค 2. (ข)

11. จงหาความยาวของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมหารด้วยจุดสัมผัสของวงกลมที่มีรัศมี 3 ซม. เป็นส่วนๆ 4 ซม. และ 3 ซม. (7, 24 และ 25 ซม. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)

12. โซรอสโอลิมปิก 1996 รอบ 2 ชั้น 11. ให้เป็นรูปสามเหลี่ยม เอบีซีที่ด้านข้างซึ่งมีจุดทำเครื่องหมายไว้ ก 1 บี 1 ค 1. รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอซี 1 บี 1, บีซี 1 เอ 1, เอสเอ 1 บี 1เท่ากันใน ร. รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม ก 1 บี 1 ค 1เท่ากับ ร. ค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม เอบีซี. (ร +ร).

ปัญหาที่ 4–8 นำมาจากหนังสือปัญหาของ Gordin R.K. “เรขาคณิต ระนาบ" มอสโก สำนักพิมพ์ MCNMO 2547.

แนวคิดเรื่องการแทนเจนต์เป็นวงกลม

วงกลมมีตำแหน่งสัมพันธ์ที่เป็นไปได้สามตำแหน่งสัมพันธ์กับเส้นตรง:

ถ้าระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงน้อยกว่ารัศมี เส้นตรงจะมีจุดตัดกับวงกลมสองจุด

หากระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงเท่ากับรัศมี เส้นตรงจะมีจุดตัดกับวงกลมสองจุด

ถ้าระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงมากกว่ารัศมี เส้นตรงจะมีจุดตัดกับวงกลมสองจุด

ตอนนี้เราขอแนะนำแนวคิดเรื่องเส้นสัมผัสวงกลม

คำจำกัดความ 1

แทนเจนต์ของวงกลมคือเส้นตรงที่มีจุดตัดกันหนึ่งจุด

จุดร่วมของวงกลมและแทนเจนต์เรียกว่าจุดแทนเจนต์ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1. แทนเจนต์เป็นวงกลม

ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องเส้นสัมผัสกันของวงกลม

ทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบทสมบัติแทนเจนต์: แทนเจนต์ของวงกลมตั้งฉากกับรัศมีที่ลากไปยังจุดแทนเจนต์

การพิสูจน์.

พิจารณาวงกลมที่มี $O$ อยู่ตรงกลาง ให้เราวาดแทนเจนต์ $a$ ที่จุด $A$ $OA=r$ (รูปที่ 2)

ให้เราพิสูจน์ว่า $a\bot r$

เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วยการขัดแย้งกัน สมมติว่าแทนเจนต์ $a$ ไม่ได้ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลม

รูปที่ 2 ภาพประกอบทฤษฎีบทที่ 1

นั่นคือ $OA$ มีความโน้มเอียงไปทางแทนเจนต์ เนื่องจากเส้นตั้งฉากกับเส้นตรง $a$ จะน้อยกว่าเส้นเอียงถึงเส้นตรงเดียวกันเสมอ ระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงจึงน้อยกว่ารัศมี ดังที่เราทราบ ในกรณีนี้ เส้นตรงจะมีจุดตัดกับวงกลมสองจุด ซึ่งขัดแย้งกับคำจำกัดความของแทนเจนต์

ดังนั้นแทนเจนต์จึงตั้งฉากกับรัศมีของวงกลม

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 2

การกลับกันของทฤษฎีบทสมบัติแทนเจนต์: ถ้าเส้นที่ลากผ่านปลายรัศมีของวงกลมตั้งฉากกับรัศมี เส้นนี้จะสัมผัสกับวงกลมนี้

การพิสูจน์.

ตามเงื่อนไขของปัญหา เราได้ว่ารัศมีนั้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงที่กำหนด ดังนั้น ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรงจะเท่ากับความยาวของรัศมี ดังที่เราทราบ ในกรณีนี้ วงกลมมีจุดตัดกับเส้นนี้เพียงจุดเดียว ตามคำจำกัดความที่ 1 เราพบว่าเส้นนี้สัมผัสกับวงกลม

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท 3

ส่วนของแทนเจนต์ของวงกลมที่ลากจากจุดหนึ่งจะเท่ากันและสร้างมุมเท่ากันโดยมีเส้นตรงผ่านจุดนี้และจุดศูนย์กลางของวงกลม

การพิสูจน์.

ให้วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $O$ แทนเจนต์ที่แตกต่างกันสองตัวถูกดึงมาจากจุด $A$ (ซึ่งอยู่บนวงกลมทั้งหมด) จากจุดสัมผัส $B$ และ $C$ ตามลำดับ (รูปที่ 3)

ขอให้เราพิสูจน์ว่า $\angle BAO=\angle CAO$ และ $AB=AC$

รูปที่ 3 ภาพประกอบทฤษฎีบทที่ 3

ตามทฤษฎีบท 1 เรามี:

ดังนั้น สามเหลี่ยม $ABO$ และ $ACO$ จึงเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก $OB=OC=r$ และด้านตรงข้ามมุมฉาก $OA$ เป็นเรื่องธรรมดา ดังนั้น สามเหลี่ยมเหล่านี้จึงมีด้านตรงข้ามมุมฉากและขาเท่ากัน

ดังนั้นเราจึงได้ $\angle BAO=\angle CAO$ และ $AB=AC$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาเรื่องแนวคิดเรื่องเส้นสัมผัสกันของวงกลม

ตัวอย่างที่ 1

ให้วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $O$ และมีรัศมี $r=3\ cm$ แทนเจนต์ $AC$ มีจุดสัมผัส $C$ $AO=4\ ซม.$. ค้นหา $AC$

สารละลาย.

ก่อนอื่นเรามาพรรณนาทุกอย่างในรูปก่อน (รูปที่ 4)

รูปที่ 4.

เนื่องจาก $AC$ เป็นแทนเจนต์และ $OC$ คือรัศมี ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราจะได้ $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$ เราพบว่าสามเหลี่ยม $ACO$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งหมายความว่าตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะได้:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \