สมการกำลังสอง สมการกำลังสองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์ ความหมายและตัวอย่างสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ แสดงสมการกำลังสองในรูปของราก

ในสังคมสมัยใหม่ ความสามารถในการดำเนินการกับสมการที่มีตัวแปรกำลังสองจะมีประโยชน์ในหลายสาขาของกิจกรรม และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในทางปฏิบัติในการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์และทางเทคนิค สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้จากการออกแบบเรือเดินทะเลและแม่น้ำ เครื่องบิน และขีปนาวุธ ด้วยความช่วยเหลือของการคำนวณดังกล่าวจะกำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของวัตถุต่าง ๆ รวมถึงวัตถุอวกาศ ตัวอย่างที่มีคำตอบของสมการกำลังสองไม่ได้ใช้เฉพาะในการพยากรณ์ทางเศรษฐกิจ ในการออกแบบและก่อสร้างอาคารเท่านั้น แต่ยังใช้ในสถานการณ์ประจำวันที่ธรรมดาที่สุดอีกด้วย อาจจำเป็นต้องใช้ในการเดินทางเข้าค่าย ในงานกีฬา ในร้านค้าเมื่อซื้อของ และในสถานการณ์ทั่วไปอื่นๆ

ลองแบ่งนิพจน์เป็นปัจจัยองค์ประกอบ

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยค่าสูงสุดของระดับของตัวแปรที่อยู่ในนิพจน์ที่กำหนด ถ้ามันเท่ากับ 2 สมการดังกล่าวจะเรียกว่าสมการกำลังสอง

หากเราพูดในภาษาของสูตร นิพจน์เหล่านี้ ไม่ว่าจะมีรูปลักษณ์อย่างไร ก็สามารถนำมาอยู่ในฟอร์มได้เสมอ เมื่อด้านซ้ายของนิพจน์ประกอบด้วยสามพจน์ ในหมู่พวกเขา: ax 2 (นั่นคือตัวแปรกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของมัน), bx (ไม่ทราบโดยไม่มีกำลังสองที่มีค่าสัมประสิทธิ์ของมัน) และ c (องค์ประกอบอิสระนั่นคือตัวเลขธรรมดา) ทั้งหมดนี้มีค่าเท่ากับ 0 ทางด้านขวา ในกรณีที่พหุนามดังกล่าวไม่มีเงื่อนไขที่เป็นส่วนประกอบ ยกเว้น ax 2 จะเรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ตัวอย่างการแก้ปัญหาดังกล่าวซึ่งหาค่าของตัวแปรได้ไม่ยากควรพิจารณาก่อน

ถ้านิพจน์ดูเหมือนมีสองพจน์ทางด้านขวาของนิพจน์ ถ้าให้เจาะจงยิ่งขึ้นคือ ax 2 และ bx การหาค่า x นั้นง่ายที่สุดโดยการใส่คร่อมตัวแปร ตอนนี้สมการของเราจะมีลักษณะดังนี้: x(ax+b) นอกจากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า x=0 หรือปัญหาลดลงเพื่อค้นหาตัวแปรจากนิพจน์ต่อไปนี้: ax+b=0 สิ่งนี้ถูกกำหนดโดยหนึ่งในคุณสมบัติของการคูณ กฎบอกว่าผลคูณของปัจจัยสองตัวจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 ก็ต่อเมื่อหนึ่งในนั้นมีค่าเป็นศูนย์

ตัวอย่าง

x=0 หรือ 8x - 3 = 0

เป็นผลให้เราได้สองรากของสมการ: 0 และ 0.375

สมการประเภทนี้สามารถอธิบายการเคลื่อนไหวของร่างกายภายใต้การกระทำของแรงโน้มถ่วงซึ่งเริ่มเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งซึ่งเป็นจุดกำเนิด สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: y = v 0 t + gt 2 /2 โดยการแทนค่าที่จำเป็น เทียบค่าด้านขวาเป็น 0 และค้นหาสิ่งที่ไม่รู้ที่เป็นไปได้ คุณจะสามารถหาเวลาที่ผ่านไปตั้งแต่ตอนที่ร่างกายลอยขึ้นไปจนถึงตอนที่ร่างกายตกลงมา เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ อีกมากมาย แต่เราจะพูดถึงเรื่องนี้ในภายหลัง

แยกตัวประกอบนิพจน์

กฎที่อธิบายไว้ข้างต้นทำให้สามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้ในกรณีที่ซับซ้อนมากขึ้น พิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองประเภทนี้

X2 - 33x + 200 = 0

Trinomial สี่เหลี่ยมนี้เสร็จสมบูรณ์ ขั้นแรก เราเปลี่ยนนิพจน์และแยกย่อยมันเป็นปัจจัยต่างๆ มีสองตัว: (x-8) และ (x-25) = 0 ดังนั้น เราจึงมีราก 8 และ 25 สองราก

ตัวอย่างการแก้สมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ทำให้วิธีนี้สามารถค้นหาตัวแปรในนิพจน์ ไม่เพียงแต่ในลำดับที่สองเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลำดับที่สามและสี่ด้วย

ตัวอย่างเช่น: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0 เมื่อแยกตัวประกอบด้านขวาออกเป็นตัวประกอบที่มีตัวแปร จะมีสามตัว นั่นคือ (x + 1), (x-3) และ (x + 3).

เป็นผลให้เห็นได้ชัดว่าสมการนี้มีสามราก: -3; -1; 3.

แยกรากที่สอง

อีกกรณีหนึ่งของสมการอันดับสองที่ไม่สมบูรณ์คือนิพจน์ที่เขียนด้วยภาษาของตัวอักษรในลักษณะที่ด้านขวาสร้างขึ้นจากส่วนประกอบ ax 2 และ c ที่นี่ เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปร เทอมอิสระจะถูกโอนไปทางด้านขวา และหลังจากนั้น รากที่สองจะถูกแยกออกจากทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน ควรสังเกตว่าในกรณีนี้มักจะมีสองรากของสมการ ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือความเท่าเทียมกันที่ไม่มีคำว่า c เลย โดยที่ตัวแปรมีค่าเท่ากับศูนย์ เช่นเดียวกับรูปแบบต่างๆ ของนิพจน์เมื่อด้านขวากลายเป็นลบ ในกรณีหลังนี้ไม่มีทางแก้ไขได้เลย เนื่องจากการกระทำข้างต้นไม่สามารถดำเนินการกับรูทได้ ตัวอย่างการแก้ปัญหาสมการกำลังสองประเภทนี้ควรได้รับการพิจารณา

ในกรณีนี้ รากของสมการจะเป็นตัวเลข -4 และ 4

การคำนวณพื้นที่ของที่ดิน

ความจำเป็นในการคำนวณประเภทนี้ปรากฏในสมัยโบราณเนื่องจากการพัฒนาคณิตศาสตร์ในยุคที่ห่างไกลนั้นมีสาเหตุหลักมาจากความจำเป็นในการกำหนดพื้นที่และขอบเขตของที่ดินด้วยความแม่นยำมากที่สุด

เราควรพิจารณาตัวอย่างด้วยการแก้สมการกำลังสองที่รวบรวมบนพื้นฐานของปัญหาประเภทนี้

สมมติว่ามีที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีความยาวมากกว่าความกว้าง 16 เมตร คุณควรหาความยาว ความกว้าง และปริมณฑลของไซต์ หากทราบว่าพื้นที่ของไซต์คือ 612 ม. 2

ในตอนแรกเราจะสร้างสมการที่จำเป็น ให้ระบุความกว้างของส่วนเป็น x จากนั้นความยาวจะเป็น (x + 16) จากสิ่งที่เขียนว่าพื้นที่ถูกกำหนดโดยนิพจน์ x (x + 16) ซึ่งตามเงื่อนไขของปัญหาของเราคือ 612 ซึ่งหมายความว่า x (x + 16) \u003d 612

คำตอบของสมการกำลังสองสมบูรณ์และพจน์นี้เป็นเพียงนั้น ไม่สามารถทำได้ด้วยวิธีเดียวกัน ทำไม แม้ว่าทางด้านซ้ายของมันจะมีตัวประกอบสองตัว แต่ผลคูณของพวกมันไม่เท่ากับ 0 เลย ดังนั้นจึงใช้วิธีอื่นที่นี่

เลือกปฏิบัติ

ก่อนอื่นเราจะทำการเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นจากนั้นลักษณะของนิพจน์นี้จะมีลักษณะดังนี้: x 2 + 16x - 612 = 0 ซึ่งหมายความว่าเราได้รับนิพจน์ในรูปแบบที่สอดคล้องกับมาตรฐานที่ระบุก่อนหน้านี้โดยที่ ก=1, ข=16, ค= -612.

นี่อาจเป็นตัวอย่างของการแก้สมการกำลังสองผ่านตัวจำแนก นี่คือการคำนวณที่จำเป็นตามรูปแบบ: D = b 2 - 4ac ค่าเสริมนี้ไม่เพียงแต่ทำให้สามารถค้นหาค่าที่ต้องการในสมการอันดับสองเท่านั้น แต่ยังกำหนดจำนวนตัวเลือกที่เป็นไปได้อีกด้วย ในกรณี D>0 มีสองกรณี; สำหรับ D=0 มีหนึ่งรูท ในกรณีที่ ง<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

เกี่ยวกับรากและสูตร

ในกรณีของเรา ค่าจำแนกคือ: 256 - 4(-612) = 2704 แสดงว่าปัญหาของเรามีคำตอบแล้ว หากคุณทราบ การแก้สมการกำลังสองจะต้องดำเนินการต่อโดยใช้สูตรด้านล่าง ช่วยให้คุณสามารถคำนวณรากได้

ซึ่งหมายความว่าในกรณีที่นำเสนอ: x 1 =18, x 2 =-34 ตัวเลือกที่สองในภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกนี้ไม่สามารถแก้ปัญหาได้ เนื่องจากขนาดของแปลงที่ดินไม่สามารถวัดเป็นค่าลบได้ ซึ่งหมายความว่า x (นั่นคือความกว้างของแปลง) คือ 18 ม. จากที่นี่ เราคำนวณความยาว: 18+16=34 และเส้นรอบวง 2(34+ 18) = 104 (ม. 2)

ตัวอย่างและงาน

เราศึกษาสมการกำลังสองต่อไป ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียดของหลาย ๆ ข้อจะได้รับด้านล่าง

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

ย้ายทุกอย่างไปทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน ทำการแปลง นั่นคือเราได้รูปแบบของสมการ ซึ่งมักจะเรียกว่าสมการมาตรฐาน และเทียบเป็นศูนย์

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

เมื่อเพิ่มสิ่งที่คล้ายกันแล้วเราจะพิจารณาการจำแนก: D \u003d 49 - 48 \u003d 1 ดังนั้นสมการของเราจะมีสองราก เราคำนวณตามสูตรข้างต้นซึ่งหมายความว่าอันแรกจะเท่ากับ 4/3 และ 1 อันที่สอง

2) ตอนนี้เราจะเปิดเผยปริศนาประเภทอื่น

มาดูกันว่ามีราก x 2 - 4x + 5 = 1 ตรงนี้ไหม? เพื่อให้ได้คำตอบที่ละเอียดถี่ถ้วน เรานำพหุนามไปยังรูปแบบที่คุ้นเคยและคำนวณการจำแนก ในตัวอย่างนี้ ไม่จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง เพราะสาระสำคัญของปัญหาไม่ได้อยู่ในสมการนี้เลย ในกรณีนี้ D \u003d 16 - 20 \u003d -4 ซึ่งหมายความว่าไม่มีรากจริงๆ

ทฤษฎีบทของเวียตา

การแก้สมการกำลังสองผ่านสูตรข้างต้นและตัวจำแนกจะสะดวกกว่า เมื่อแยกรากที่สองออกจากค่าของค่าหลัง แต่สิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นเสมอไป อย่างไรก็ตาม มีหลายวิธีในการรับค่าของตัวแปรในกรณีนี้ ตัวอย่าง: การแก้สมการกำลังสองโดยใช้ทฤษฎีบทของ Vieta ได้รับการตั้งชื่อตามชายคนหนึ่งที่อาศัยอยู่ในฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 16 และมีอาชีพที่ยอดเยี่ยมเนื่องจากความสามารถทางคณิตศาสตร์และความสัมพันธ์ในศาล ภาพเหมือนของเขาสามารถเห็นได้ในบทความ

รูปแบบที่ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียงสังเกตเห็นมีดังนี้ เขาพิสูจน์ว่าผลรวมของรากของสมการเท่ากับ -p=b/a และผลคูณของสมการตรงกับ q=c/a

ทีนี้มาดูงานเฉพาะ

3x2 + 21x - 54 = 0

เพื่อความง่าย ลองแปลงนิพจน์:

x 2 + 7x - 18 = 0

เมื่อใช้ทฤษฎีบท Vieta จะได้ผลรวมของรากคือ -7 และผลคูณของรากคือ -18 จากที่นี่เราได้ว่ารากของสมการคือตัวเลข -9 และ 2 หลังจากทำการตรวจสอบแล้ว เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าค่าเหล่านี้ของตัวแปรนั้นเหมาะสมกับนิพจน์จริงๆ

กราฟและสมการของพาราโบลา

แนวคิดของฟังก์ชันกำลังสองและสมการกำลังสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ตัวอย่างนี้ได้รับก่อนหน้านี้แล้ว ทีนี้มาดูปริศนาทางคณิตศาสตร์ในรายละเอียดเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย สมการใดๆ ของประเภทที่อธิบายสามารถแสดงเป็นภาพได้ การพึ่งพากันซึ่งวาดในรูปของกราฟเรียกว่าพาราโบลา ประเภทต่าง ๆ ดังแสดงในรูปด้านล่าง

พาราโบลาใดๆ ก็มีจุดยอด นั่นคือจุดที่แตกแขนงออกมา ถ้า a>0 พวกมันจะไปสูงจนถึงอนันต์ และเมื่อ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

การแสดงฟังก์ชั่นที่มองเห็นได้ช่วยในการแก้สมการใด ๆ รวมถึงสมการกำลังสอง วิธีนี้เรียกว่ากราฟิก และค่าของตัวแปร x คือพิกัด abscissa ณ จุดที่เส้นกราฟตัดกับ 0x พิกัดของจุดยอดสามารถหาได้จากสูตรที่กำหนด x 0 = -b / 2a และเมื่อแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการดั้งเดิมของฟังก์ชัน คุณจะพบ y 0 นั่นคือพิกัดที่สองของจุดยอดพาราโบลาที่เป็นของแกน y

จุดตัดของกิ่งของพาราโบลากับแกน abscissa

มีตัวอย่างมากมายเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสอง แต่ก็มีรูปแบบทั่วไปด้วย ลองพิจารณาพวกเขา เป็นที่ชัดเจนว่าจุดตัดของกราฟกับแกน 0x สำหรับ a>0 เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ y 0 รับค่าลบเท่านั้น และสำหรับก<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. มิฉะนั้น ง<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

จากกราฟของพาราโบลา คุณยังสามารถหารากได้อีกด้วย สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน นั่นคือ หากการแสดงภาพของฟังก์ชันกำลังสองไม่ง่ายนัก คุณสามารถจัดสมการด้านขวาของนิพจน์เป็น 0 แล้วแก้สมการที่ได้ และเมื่อทราบจุดตัดกับแกน 0x แล้ว การลงจุดจะง่ายขึ้น

จากประวัติศาสตร์

ด้วยความช่วยเหลือของสมการที่มีตัวแปรกำลังสอง ในสมัยก่อน ไม่เพียงแต่การคำนวณทางคณิตศาสตร์และกำหนดพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น คนสมัยก่อนต้องการการคำนวณเช่นนี้สำหรับการค้นพบครั้งยิ่งใหญ่ในด้านฟิสิกส์และดาราศาสตร์ เช่นเดียวกับการพยากรณ์ทางโหราศาสตร์

ตามที่นักวิทยาศาสตร์สมัยใหม่แนะนำ ชาวเมืองบาบิโลนเป็นคนกลุ่มแรกที่แก้สมการกำลังสอง มันเกิดขึ้นสี่ศตวรรษก่อนการมาถึงของยุคของเรา แน่นอนว่าการคำนวณของพวกเขาแตกต่างจากที่ยอมรับในปัจจุบันโดยพื้นฐานและกลายเป็นแบบดั้งเดิมมากขึ้น ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวเมโสโปเตเมียไม่มีความคิดเกี่ยวกับการมีอยู่ของจำนวนลบ พวกเขายังไม่คุ้นเคยกับรายละเอียดปลีกย่อยอื่น ๆ ของนักเรียนในยุคของเรา

บางทีอาจเร็วกว่านักวิทยาศาสตร์แห่งบาบิโลนเสียด้วยซ้ำ บัณฑิตจากอินเดีย บัวดายามา แก้ปัญหาสมการกำลังสอง เรื่องนี้เกิดขึ้นประมาณแปดศตวรรษก่อนการกำเนิดของยุคของพระคริสต์ จริงอยู่ที่สมการอันดับสองซึ่งเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้สมการ นอกจากเขาแล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวจีนยังสนใจคำถามที่คล้ายกันในสมัยก่อนอีกด้วย ในยุโรปสมการกำลังสองเริ่มได้รับการแก้ไขเมื่อต้นศตวรรษที่ 13 เท่านั้น แต่ต่อมานักวิทยาศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่เช่น Newton, Descartes และอื่น ๆ อีกมากมายได้นำไปใช้ในงานของพวกเขา

สูตรหารากของสมการกำลังสอง มีการพิจารณากรณีของรูทจริง หลายค่า และซับซ้อน การแยกตัวประกอบของกำลังสอง การตีความทางเรขาคณิต ตัวอย่างการหารากและการแยกตัวประกอบ

ดูสิ่งนี้ด้วย: การแก้สมการกำลังสองออนไลน์

สูตรพื้นฐาน

พิจารณาสมการกำลังสอง:
(1) .
รากของสมการกำลังสอง(1) กำหนดโดยสูตร:
; .
สูตรเหล่านี้รวมกันได้ดังนี้:
.
เมื่อทราบรากของสมการกำลังสองแล้ว พหุนามของระดับที่สองสามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัย (แยกตัวประกอบ):
.

นอกจากนี้ เราถือว่านั่นเป็นจำนวนจริง
พิจารณา จำแนกสมการกำลังสอง:
.
หากการจำแนกเป็นบวก สมการกำลังสอง (1) จะมีรากจริงสองรากที่แตกต่างกัน:
; .
จากนั้นการแยกตัวประกอบของกำลังสองที่มีรูปแบบ:
.
ถ้าตัวจำแนกเป็นศูนย์ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากที่แท้จริงหลายตัว (เท่ากัน) สองราก:
.
การแยกตัวประกอบ:
.
หากการจำแนกเป็นลบ สมการกำลังสอง (1) จะมีรากผันที่ซับซ้อนสองราก:
;
.
นี่คือหน่วยจินตภาพ ;
และเป็นส่วนจริงและจินตนาการของราก:
; .
แล้ว

.

การตีความกราฟิก

ถ้าเรากราฟฟังก์ชัน
,
ซึ่งเป็นพาราโบลา จากนั้น จุดตัดของกราฟกับแกนจะเป็นรากของสมการ
.
เมื่อ กราฟตัดแกน abscissa (แกน) ที่สองจุด ()
เมื่อ กราฟแตะแกน x ที่จุดหนึ่ง ()
เมื่อ กราฟไม่ตัดแกน x ()

สูตรที่มีประโยชน์เกี่ยวกับสมการกำลังสอง

(ฉ.1) ;
(ฉ.2) ;
(ฉ.3) .

ที่มาของสูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เราทำการแปลงและใช้สูตร (ฉ.1) และ (ฉ.3):




,
ที่ไหน
; .

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับพหุนามของระดับที่สองในรูปแบบ:
.
จากนี้จะเห็นได้ว่าสมการ

ดำเนินการที่
และ .
นั่นคือ และเป็นรากของสมการกำลังสอง
.

ตัวอย่างการหารากของสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

(1.1) .

.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของเรา (1.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาความแตกต่าง:
.
เนื่องจากดิสคริมิแนนต์เป็นค่าบวก สมการจึงมีรากจริงสองราก:
;
;
.

จากที่นี่ เราได้รับการสลายตัวของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสเป็นปัจจัย:

.

กราฟของฟังก์ชัน y = 2 x 2 + 7 x + 3ตัดแกน x สองจุด

มาพล็อตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลา มันข้ามแกน x (แกน) ที่สองจุด:
และ .
จุดเหล่านี้คือรากของสมการเดิม (1.1)

;
;
.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(2.1) .

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับสมการเดิม (2.1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาความแตกต่าง:
.
เนื่องจากตัวจำแนกเป็นศูนย์ สมการจึงมีรากทวีคูณ (เท่ากัน) สองตัว:
;
.

จากนั้นการแยกตัวประกอบของตรีโกณมิติมีรูปแบบ:
.

กราฟของฟังก์ชัน y = x 2 - 4 x + 4แตะแกน x ที่จุดหนึ่ง

มาพล็อตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลา มันแตะแกน x (แกน) ที่จุดหนึ่ง:
.
จุดนี้คือรากของสมการเดิม (2.1) เนื่องจากรากนี้แยกตัวประกอบสองครั้ง:
,
จากนั้นรูทดังกล่าวจะเรียกว่าทวีคูณ นั่นคือพวกเขาคิดว่ามีสองรากเท่ากัน:
.

;
.

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหารากของสมการกำลังสอง:
(3.1) .

เราเขียนสมการกำลังสองในรูปแบบทั่วไป:
(1) .
ให้เราเขียนสมการเดิม (3.1) ใหม่:
.
เมื่อเปรียบเทียบกับ (1) เราจะพบค่าสัมประสิทธิ์:
.
ค้นหาความแตกต่าง:
.
การเลือกปฏิบัติเป็นค่าลบ, . ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

คุณสามารถค้นหารากที่ซับซ้อน:
;
;
.

แล้ว


.

กราฟของฟังก์ชันไม่ตัดแกน x ไม่มีรากที่แท้จริง

มาพล็อตฟังก์ชันกัน
.
กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นพาราโบลา ไม่ผ่าน abscissa (แกน) ดังนั้นจึงไม่มีรากที่แท้จริง

ไม่มีรากที่แท้จริง รากที่ซับซ้อน:
;
;
.

หัวข้อนี้อาจดูซับซ้อนในตอนแรกเนื่องจากมีสูตรที่ไม่ง่ายมากมาย สมการกำลังสองไม่เพียงแค่มีรายการที่ยาวเท่านั้น แต่ยังพบรากได้จากการจำแนก มีทั้งหมดสามสูตรใหม่ ไม่ค่อยจำง่าย สิ่งนี้เป็นไปได้หลังจากการแก้สมการบ่อยครั้งเท่านั้น จากนั้นจะจำสูตรเองทั้งหมด

มุมมองทั่วไปของสมการกำลังสอง

ที่นี่มีการเสนอสัญกรณ์ที่ชัดเจนเมื่อระดับที่ใหญ่ที่สุดเขียนขึ้นก่อนจากนั้น - ตามลำดับจากมากไปน้อย บ่อยครั้งที่มีบางสถานการณ์ที่เงื่อนไขแตกต่างกัน จากนั้นจะเป็นการดีกว่าถ้าเขียนสมการใหม่ตามลำดับระดับของตัวแปรจากมากไปน้อย

ให้เราแนะนำสัญกรณ์ แสดงในตารางด้านล่าง

หากเรายอมรับสัญลักษณ์เหล่านี้ สมการกำลังสองทั้งหมดจะถูกลดขนาดเป็นสัญลักษณ์ต่อไปนี้

นอกจากนี้ค่าสัมประสิทธิ์ a ≠ 0 ให้สูตรนี้แทนด้วยหมายเลขหนึ่ง

เมื่อกำหนดสมการแล้ว มันไม่ชัดเจนว่าคำตอบจะมีกี่ราก เนื่องจากหนึ่งในสามตัวเลือกนั้นเป็นไปได้เสมอ:

• สารละลายจะมีสองราก
• คำตอบจะเป็นตัวเลขหนึ่งตัว
• สมการไม่มีรากเลย

และแม้ว่าการตัดสินใจจะไม่สิ้นสุด แต่ก็ยากที่จะเข้าใจว่าตัวเลือกใดจะตกหล่นในกรณีใดกรณีหนึ่ง

ประเภทของบันทึกสมการกำลังสอง

งานอาจมีรายการที่แตกต่างกัน พวกมันจะไม่ดูเหมือนสูตรทั่วไปของสมการกำลังสองเสมอไป บางครั้งก็จะขาดบางข้อไป ที่เขียนไว้ด้านบนคือสมการที่สมบูรณ์ หากคุณลบเทอมที่สองหรือสามในนั้น คุณจะได้อย่างอื่น บันทึกเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าสมการกำลังสอง แต่ไม่สมบูรณ์เท่านั้น

นอกจากนี้ เฉพาะเงื่อนไขที่ค่าสัมประสิทธิ์ "b" และ "c" สามารถหายไปได้ ตัวเลข "a" ต้องไม่เป็นศูนย์ไม่ว่าในกรณีใดๆ เพราะในกรณีนี้สูตรจะเปลี่ยนเป็นสมการเชิงเส้น สูตรสำหรับรูปแบบสมการที่ไม่สมบูรณ์จะเป็นดังนี้:

ดังนั้นจึงมีเพียงสองประเภทเท่านั้น นอกจากสมการที่สมบูรณ์แล้ว ยังมีสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์อีกด้วย ให้สูตรแรกเป็นเลขสอง และสูตรที่สองเป็นเลขสาม

การเลือกปฏิบัติและการพึ่งพาจำนวนรากตามค่าของมัน

ต้องทราบหมายเลขนี้เพื่อคำนวณรากของสมการ สามารถคำนวณได้เสมอไม่ว่าสูตรของสมการกำลังสองจะเป็นอย่างไร ในการคำนวณการแบ่งแยก คุณต้องใช้ความเท่าเทียมกันที่เขียนด้านล่าง ซึ่งจะมีเลขสี่

หลังจากแทนค่าสัมประสิทธิ์ลงในสูตรนี้แล้ว คุณจะได้ตัวเลขที่มีเครื่องหมายต่างกัน ถ้าคำตอบคือใช่ คำตอบของสมการจะเป็นรากที่แตกต่างกันสองราก ด้วยจำนวนลบรากของสมการกำลังสองจะหายไป ถ้ามีค่าเท่ากับศูนย์ คำตอบจะเป็น 1

แก้สมการกำลังสองสมบูรณ์ได้อย่างไร?

อันที่จริง การพิจารณาประเด็นนี้ได้เริ่มขึ้นแล้ว เพราะก่อนอื่นคุณต้องค้นหาการแยกแยะ หลังจากชี้แจงว่ามีรากของสมการกำลังสองและทราบจำนวนแล้ว คุณต้องใช้สูตรสำหรับตัวแปร หากมีสองรูตคุณต้องใช้สูตรดังกล่าว

เนื่องจากมีเครื่องหมาย “±” จึงมีค่าสองค่า นิพจน์ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์เป็นตัวจำแนก ดังนั้นจึงสามารถเขียนสูตรใหม่ด้วยวิธีอื่นได้

สูตรที่ห้า จากเรกคอร์ดเดียวกัน จะเห็นได้ว่าหากตัวจำแนกเป็นศูนย์ รากทั้งสองจะใช้ค่าเดียวกัน

หากการแก้สมการกำลังสองยังไม่ได้ผล จะเป็นการดีกว่าถ้าจดค่าของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดก่อนที่จะใช้สูตรจำแนกและตัวแปร หลังจากนี้ช่วงเวลานี้จะไม่ทำให้เกิดปัญหา แต่ในช่วงเริ่มต้นมีความสับสน

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์จะแก้ไขได้อย่างไร?

ทุกอย่างง่ายกว่ามากที่นี่ แม้ไม่จำเป็นต้องมีสูตรเพิ่มเติม และคุณไม่ต้องการสิ่งที่ถูกเขียนขึ้นสำหรับผู้เลือกปฏิบัติและผู้ไม่รู้จัก

ขั้นแรก ให้พิจารณาสมการที่ไม่สมบูรณ์หมายเลขสอง ในความเท่าเทียมกันนี้ ควรจะนำค่าที่ไม่ทราบออกจากวงเล็บและแก้สมการเชิงเส้น ซึ่งจะยังคงอยู่ในวงเล็บ คำตอบจะมีสองราก อันแรกจำเป็นต้องเท่ากับศูนย์เพราะมีตัวประกอบของตัวแปรเอง ประการที่สองได้มาจากการแก้สมการเชิงเส้น

สมการที่ไม่สมบูรณ์ที่เลข 3 จะแก้ได้โดยย้ายเลขจากด้านซ้ายของสมการไปทางขวา จากนั้นคุณต้องหารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ต่อหน้าสิ่งที่ไม่รู้จัก มันยังคงอยู่เพียงเพื่อแยกรากที่สองและอย่าลืมจดสองครั้งด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

ต่อไปนี้เป็นการกระทำบางอย่างที่ช่วยให้คุณเรียนรู้วิธีแก้ความเท่ากันทุกประเภทที่เปลี่ยนเป็นสมการกำลังสอง พวกเขาจะช่วยนักเรียนหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดเนื่องจากความไม่ตั้งใจ ข้อบกพร่องเหล่านี้เป็นสาเหตุของผลการเรียนที่ไม่ดีเมื่อศึกษาหัวข้อที่กว้างขวาง "สมการกำลังสอง (เกรด 8)" ต่อจากนี้ การกระทำเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องดำเนินการอย่างต่อเนื่อง เพราะจะมีนิสัยมั่นคง.

• ก่อนอื่นคุณต้องเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน นั่นคือ เทอมแรกที่มีดีกรีสูงสุดของตัวแปร จากนั้น - โดยไม่มีดีกรีและเทอมสุดท้าย - เป็นเพียงตัวเลข

• หากเครื่องหมายลบปรากฏก่อนค่าสัมประสิทธิ์ "a" แสดงว่าผู้เริ่มต้นสามารถศึกษาสมการกำลังสองได้ยากขึ้น จะดีกว่าที่จะกำจัดมัน เพื่อจุดประสงค์นี้ ความเท่าเทียมกันทั้งหมดจะต้องคูณด้วย "-1" ซึ่งหมายความว่าเงื่อนไขทั้งหมดจะเปลี่ยนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้าม

• ในทำนองเดียวกัน ขอแนะนำให้กำจัดเศษส่วน เพียงคูณสมการด้วยตัวประกอบที่เหมาะสมเพื่อให้ตัวส่วนตัดกัน

ตัวอย่าง

จำเป็นต้องแก้สมการกำลังสองต่อไปนี้:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

สมการแรก: x 2 - 7x \u003d 0 ไม่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงแก้ไขได้ตามที่อธิบายไว้ในสูตรหมายเลขสอง

หลังจากถ่ายคร่อม ปรากฎว่า x (x - 7) \u003d 0

รากแรกรับค่า: x 1 \u003d 0 รากที่สองจะพบได้จากสมการเชิงเส้น: x - 7 \u003d 0 ง่ายต่อการดูว่า x 2 \u003d 7

สมการที่สอง: 5x2 + 30 = 0 ไม่สมบูรณ์อีกครั้ง แก้ไขเฉพาะตามที่อธิบายไว้สำหรับสูตรที่สาม

หลังจากโอน 30 ไปทางด้านขวาของสมการ: 5x 2 = 30 ตอนนี้คุณต้องหารด้วย 5 ปรากฎว่า x 2 = 6 คำตอบจะเป็นตัวเลข: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

สมการที่สาม: 15 - 2x - x 2 \u003d 0 ที่นี่และด้านล่าง การแก้สมการกำลังสองจะเริ่มต้นด้วยการเขียนใหม่ในรูปแบบมาตรฐาน: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0 ตอนนี้ได้เวลาใช้สมการที่สอง เคล็ดลับที่เป็นประโยชน์และคูณทุกอย่างด้วยลบหนึ่ง ปรากฎว่า x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ตามสูตรที่สี่ คุณต้องคำนวณการเลือกปฏิบัติ: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64 มันคือ จำนวนบวก จากที่กล่าวมาข้างต้น ปรากฎว่าสมการมีสองราก ต้องคำนวณตามสูตรที่ห้า ตามนั้นปรากฎว่า x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2 จากนั้น x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5

สมการที่สี่ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ถูกแปลงเป็น: x 2 + 3x + 8 \u003d 0 การแยกแยะเท่ากับค่านี้: -23 เนื่องจากตัวเลขนี้เป็นค่าลบ คำตอบของงานนี้จะเป็นรายการต่อไปนี้: "ไม่มีราก"

สมการที่ห้า 12x + x 2 + 36 = 0 ควรเขียนใหม่ดังนี้ x 2 + 12x + 36 = 0 หลังจากใช้สูตรสำหรับการเลือกปฏิบัติ จะได้เลขศูนย์ ซึ่งหมายความว่าจะมีหนึ่งรูทคือ: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6

สมการที่หก (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) ต้องการการแปลงซึ่งประกอบด้วยความจริงที่ว่าคุณต้องนำเงื่อนไขที่เหมือนกันมาก่อนที่จะเปิดวงเล็บ แทนที่อันแรกจะมีนิพจน์ดังกล่าว: x 2 + 2x + 1 หลังจากเท่ากัน รายการนี้จะปรากฏขึ้น: x 2 + 3x + 2 หลังจากนับคำที่คล้ายกันแล้ว สมการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​2 - x \u003d 0 มันไม่สมบูรณ์ คล้ายกับที่ได้รับการพิจารณาแล้วสูงขึ้นเล็กน้อย รากของสิ่งนี้จะเป็นตัวเลข 0 และ 1

" นั่นคือสมการของระดับแรก ในบทเรียนนี้ เราจะสำรวจ สมการกำลังสองคืออะไรและวิธีแก้ไข

สมการกำลังสองคืออะไร

สำคัญ!

ระดับของสมการถูกกำหนดโดยระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่า

หากระดับสูงสุดที่ไม่ทราบค่าเป็น "2" แสดงว่าคุณมีสมการกำลังสอง

ตัวอย่างของสมการกำลังสอง

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

สำคัญ! รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองมีลักษณะดังนี้:

ก x 2 + ข x + ค = 0

• "a" - ค่าสัมประสิทธิ์แรกหรืออาวุโส
• "b" - ค่าสัมประสิทธิ์ที่สอง
• "c" เป็นสมาชิกฟรี

หากต้องการค้นหา "a", "b" และ "c" คุณต้องเปรียบเทียบสมการของคุณกับรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสอง "ax 2 + bx + c \u003d 0"

มาฝึกหาค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ในสมการกำลังสองกันเถอะ

• ก = −1
• ข = 1
• ค =

  1

  3

• เอ = 1
• ข = 0.25
• ค = 0

• เอ = 1
• ข = 0
• ค = −8

วิธีแก้สมการกำลังสอง

สมการพิเศษใช้ในการแก้สมการกำลังสองไม่เหมือนกับสมการเชิงเส้น สูตรการหาราก.

จดจำ!

ในการแก้สมการกำลังสอง คุณต้อง:

• นำสมการกำลังสองมาสู่รูปแบบทั่วไป "ax 2 + bx + c \u003d 0" นั่นคือมีเพียง "0" เท่านั้นที่ควรอยู่ทางด้านขวา
• ใช้สูตรสำหรับราก:

ลองใช้ตัวอย่างเพื่อหาวิธีใช้สูตรเพื่อหารากของสมการกำลังสอง มาแก้สมการกำลังสองกันเถอะ

X 2 - 3x - 4 = 0

สมการ "x 2 - 3x - 4 = 0" ได้ลดลงเป็นรูปแบบทั่วไป "ax 2 + bx + c = 0" แล้ว และไม่ต้องการการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติม ในการแก้ปัญหาเราต้องสมัครเท่านั้น สูตรการหารากของสมการกำลังสอง.

มากำหนดค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" สำหรับสมการนี้

ด้วยความช่วยเหลือ สมการกำลังสองใดๆ จะถูกแก้ไข

ในสูตร "x 1; 2 \u003d" นิพจน์รูทมักจะถูกแทนที่
"b 2 − 4ac" ถึงตัวอักษร "D" และเรียกว่า discriminant มีการกล่าวถึงแนวคิดของการเลือกปฏิบัติในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทเรียน "การเลือกปฏิบัติคืออะไร"

พิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งของสมการกำลังสอง

x 2 + 9 + x = 7x

ในรูปแบบนี้ การหาค่าสัมประสิทธิ์ "a", "b" และ "c" ค่อนข้างยาก ก่อนอื่นให้นำสมการไปสู่รูปแบบทั่วไป "ax 2 + bx + c \u003d 0"

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

ตอนนี้คุณสามารถใช้สูตรสำหรับราก

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

มีหลายครั้งที่ไม่มีรากในสมการกำลังสอง สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อจำนวนลบปรากฏในสูตรใต้ราก

มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นสิ่งสำคัญ

สมการกำลังสองคือสมการในรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a , b และ c เป็นตัวเลขที่กำหนดเองได้ และ a ≠ 0

ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ เราทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:

1. ไม่มีราก
2. พวกมันมีรากเดียว
3. พวกมันมีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองและสมการเชิงเส้น โดยที่รากจะมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการมีกี่ราก มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวจำแนกก็คือตัวเลข D = b 2 − 4ac

สูตรนี้ต้องรู้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญแล้ว อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยสัญลักษณ์ของการเลือกปฏิบัติ คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีกี่ราก คือ:

1. ถ้า ง< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 แสดงว่ามีหนึ่งรูทพอดี
3. ถ้า D > 0 จะมีสองราก

โปรดทราบ: การเลือกปฏิบัติระบุจำนวนของรากและไม่ใช่สัญญาณของมันเลย ด้วยเหตุผลบางอย่างที่หลายคนคิด ลองดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวคุณเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0

เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกและหาตัวจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ดังนั้น ดิสคริมิแนนต์จึงเป็นค่าบวก สมการจึงมีรากต่างกันสองตัว เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131

การจำแนกเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายยังคงอยู่:
ก = 1; ข = -6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การเลือกปฏิบัติเท่ากับศูนย์ - รากจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่ามีการเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ - แต่คุณจะไม่สับสนและไม่ทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณ "เติมมือของคุณ" หลังจากนั้นไม่นาน คุณจะไม่ต้องเขียนค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดอีกต่อไป คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้ที่ไหนสักแห่งหลังจากแก้สมการได้ 50-70 ครั้ง โดยทั่วไปไม่มาก

รากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากัน หากตัวจำแนก D > 0 สามารถหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกัน ซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้าย ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการมีสองรากอีกครั้ง ไปหาพวกเขากันเถอะ

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท สามารถใช้สูตรใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น อันแรก:

อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่าง ทุกอย่างง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็จะไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อค่าสัมประสิทธิ์ลบถูกแทนที่ในสูตร เทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้อีกครั้ง: ดูสูตรอย่างแท้จริง ระบายสีแต่ละขั้นตอน - และกำจัดข้อผิดพลาดในไม่ช้า

สมการกำลังสองไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองค่อนข้างแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความ ตัวอย่างเช่น:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าไม่มีคำศัพท์ใดคำหนึ่งในสมการเหล่านี้ สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน: ไม่จำเป็นต้องคำนวณการจำแนกด้วยซ้ำ ดังนั้น ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 เช่น ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอน กรณีที่ยากมากเป็นไปได้เมื่อค่าสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b \u003d c \u003d 0 ในกรณีนี้ สมการจะใช้รูปแบบ ax 2 \u003d 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีสมการเดียว รูท: x \u003d 0

ลองพิจารณากรณีอื่น ๆ ให้ b \u003d 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c \u003d 0 ลองแปลงเล็กน้อย:

เนื่องจากรากที่สองทางคณิตศาสตร์มาจากจำนวนที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ความเสมอภาคสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลเมื่อ (−c / a ) ≥ 0 สรุป:

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามอสมการ (−c / a ) ≥ 0 จะมีรากสองราก สูตรได้รับข้างต้น
2. ถ้า (−c / a )< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องใช้การจำแนก - ไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ อันที่จริง ไม่จำเป็นต้องจำอสมการ (−c / a ) ≥ 0 ด้วยซ้ำ แค่แสดงค่า x 2 และดูว่าอะไรอยู่อีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับ หากมีจำนวนบวกจะมีสองราก ถ้าติดลบก็จะไม่มีรากเลย

ทีนี้มาจัดการกับสมการในรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ การแยกตัวประกอบของพหุนามก็เพียงพอแล้ว:

ผลคูณจะเท่ากับศูนย์เมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ นี่คือที่มาของรากเหง้า โดยสรุป เราจะวิเคราะห์สมการต่างๆ เหล่านี้:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6 ไม่มีรากเพราะ สแควร์ต้องไม่เท่ากับจำนวนลบ

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.