Seria ze złożonymi terminami. Szeregi w dziedzinie zespolonej Szeregi liczbowe z liczbami zespolonymi

463. Jakie jest geometryczne znaczenie nierówności: 1) Re z > 0; 2) jestem z< 0 ?

2. Szeregi z wyrazami złożonymi. Rozważmy ciąg liczb zespolonych z 1 , z 2 , z 3 , ..., gdzie z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Stała liczba c = a + bi zwany limit sekwencje z 1 , z 2 , z 3 , ..., jeśli dla dowolnej dowolnie małej liczby δ>0 jest taki numer N, jakie jest znaczenie z p z liczbami n > N spełniają nierówność \z p-Z\< δ . W tym przypadku piszą .

Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia granicy ciągu liczb zespolonych jest: liczba c=a+bi jest granicą ciągu liczb zespolonych x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … wtedy i tylko wtedy gdy , .

(1)

którego członkowie są liczbami zespolonymi, nazywa się zbieżny, Jeśli n-ty suma częściowa szeregu S n w p → ∞ zmierza do pewnej ostatecznej granicy. W przeciwnym razie wywoływany jest szereg (1). rozbieżny.

Szereg (1) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi z wyrazami rzeczywistymi są zbieżne

(2) Zbadaj zbieżność szeregu. Szereg ten, którego wyrazy tworzą nieskończenie malejący postęp geometryczny, jest zbieżny; dlatego dany szereg ze złożonymi terminami jest zbieżny absolutnie. ^

474. Znajdź obszar zbieżności szeregu

Transkrypcja

1 Federalna Agencja Edukacji Tomski Państwowy Uniwersytet Architektury i Inżynierii Lądowej RZĘDY ZE ZŁOŻONYMI CZŁONKAMI Wytyczne dotyczące samodzielnej pracy Opracowane przez LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 rzędy ze złożonymi członkami: instrukcje metodologiczne / Opracowano przez: LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomsk: Wydawnictwo Państwowego Uniwersytetu Architektury i Budownictwa w Tomsku, z recenzentem profesorem NN Belovem Redaktorem EY Glotovem Instrukcje metodyczne są przeznaczone do samodzielnej nauki przez studentów pierwszego roku wszystkich tematy specjalności „Seria ze złożonymi członkami” dyscypliny JNF „Matematyka” Opublikowano zgodnie z decyzją seminarium metodologicznego wydziału matematyki wyższej, protokół 4 marca Zatwierdzony i wprowadzony w życie przez prorektora ds. akademickich VV Dzyubo od 5 do 55 Oryginalny układ przygotował autor Podpisano do druku Format 6 84/6 Papier offsetowy Czcionka Times Publikacja edukacyjna l, 6 Nakład 4 Zamówienie Wydawnictwo TGASU, 64, Tomsk, pl. Solanaya, Wydrukowano z oryginalnego układu w OOP TGASU 64, Tomsk, ul. Partizanskaya, 5

3 SERIE Z TERMINAMI ZŁOŻONYMI TEMAT Szeregi liczbowe z terminami zespolonymi Przypomnijmy, że liczby zespolone to liczby w postaci z = x y, gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi, a jednostka urojona określona przez równość = - Liczby x i y nazywane są rzeczywiste i urojone części liczby z i oznaczają x = Rez, y = Imz Oczywiście pomiędzy punktami M(x, y) płaszczyzny XOU z ortogonalnym kartezjańskim układem współrzędnych i liczbami zespolonymi postaci z = x y, istnieje zgodność jeden do jednego. Płaszczyzna XOU nazywana jest płaszczyzną zespoloną, a z nazywa się punktem tej płaszczyzny. Liczby rzeczywiste odpowiadają osi odciętej, zwanej osią rzeczywistą, a liczby w postaci z = y odpowiadają. do osi rzędnych, którą nazywamy osią urojoną. Jeśli współrzędne biegunowe punktu M(x,y) oznaczymy przez r i j, to w polu zapiszemy x = r cosj, y = r s j i liczbę z. postać: z = r (cosj sj), gdzie r = x y Ta forma zapisu liczby zespolonej nazywa się trygonometryczną, zapisanie z w postaci z = x y nazywa się algebraiczną formą zapisu. Liczba r nazywana jest modułem liczby z, liczba j jest argumentem (w punkcie z = pojęcie argumentu nie jest rozszerzone) Moduł liczby z jest jednoznacznie określony wzorem z = x y Argument j jest jednoznacznie określony tylko pod dodatkowym warunkiem - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 liczby z (rys.) Znaczenie tego należy pamiętać, że y arq z - π wyraża się poprzez< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >, y; x y argument z = -arctg, jeśli x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, jeśli x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (rys.) М y r = j = p x Ryc. W postaci trygonometrycznej liczba z = - zostanie zapisana w postaci: - = сos π s π и Zaleca się samodzielne powtarzanie operacji na liczbach zespolonych przypomnij sobie wzór na podniesienie liczby z do potęgi: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Kluczowe pytania teorii Krótkie odpowiedzi Definicja szeregu z terminami zespolonymi Pojęcie zbieżności szeregu Warunek konieczny zbieżności Definicja Niech będzie podany ciąg z ) = ( x y ) = z, z, z, liczb zespolonych A symbol postaci ( å = z nazywa się szeregiem, z jest wyrazem ogólnym szeregu. Pojęcia sum częściowych szeregu S, jego zbieżności i rozbieżności w pełni odpowiadają podobnym pojęciom dla szeregów z wyrazami rzeczywistymi. Ciąg częściowych sumy szeregu mają postać: S = z ; S = z z ; S = z z z ; Jeśli $lm S i ta granica jest skończona i równa liczbie S , szereg nazywa się zbieżnym, a liczbę S nazywa się sumą szeregu, inaczej szereg nazywa się rozbieżnym Przypomnijmy, że definicja granicy ciągu liczb zespolonych, którą zastosowaliśmy, formalnie nie różni się od definicji granicy ciągu liczb rzeczywistych: def (lm S). = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 zero członu ogólnego z szeregu w Oznacza to, że jeśli ten warunek zostanie naruszony, czyli jeśli lm z ¹, szereg jest rozbieżny, natomiast jeśli lm z =, kwestia zbieżności szeregu pozostaje otwarta Iz można badać szereg å (x = dla zbieżności poprzez badanie x i å = dla zbieżności szeregu å = z wyrazami rzeczywistymi? y y) Tak, jest to możliwe. Twierdzenie Aby szereg å = y (x) jest zbieżny, konieczne i wystarczające jest, aby oba szeregi å = å = były zbieżne y, a jeśli å x = S = gdzie å S = (x y) = å = x u i y = S, to S =. SS, zbiega się - Przykład Upewnij się, że szereg å = è () xia i znajdź jego sumę wynoszącą 7

8 Rozwiązanie Szereg å zbiega się, t k ~ = () () gdy Suma S tego szeregu jest równa (Rozdział, temat, n) Szereg å zbiega się jako nieskończenie malejąca geometryczna = progresja, gdzie å = () и S b = - q = zbiega się i jego suma Zatem szereg S = Przykład Szereg å jest rozbieżny, t k jest rozbieżny = è! szereg harmoniczny å W tym przypadku zbadaj szereg å = pod kątem zbieżności! nie ma sensu Przykład Szereg å π tg jest rozbieżny, gdyż dla = è szereg å π tg zostaje naruszony warunek konieczny zbieżności = π lm tg = p ¹ и 8

9 Jakie właściwości mają szeregi zbieżne ze złożonymi wyrazami? Właściwości są takie same jak szeregów zbieżnych z wyrazami rzeczywistymi. Zaleca się powtórzenie właściwości. 4 Czy istnieje koncepcja zbieżności absolutnej dla szeregów o wyrazach złożonych? Twierdzenie (warunek wystarczający na zbieżność szeregu) Jeśli szereg å = z jest zbieżny, to i szereg å = z będzie zbieżny formalnie wyrazy Definicja Szereg å = z nazywa się absolutnie zbieżnym, jeśli szereg jest zbieżny å = z Przykład Udowodnij absolutną zbieżność szeregu () () () 4 8 Rozwiązanie Skorzystajmy z formy trygonometrycznej zapisu liczby: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 Wtedy π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и Pozostaje zbadać szereg å z dla zbieżności = = Jest to nieskończenie malejący postęp geometryczny z mianownikiem; taki postęp jest zbieżny, a zatem szereg jest zbieżny absolutnie. Dowodząc zbieżności absolutnej, często stosuje się twierdzenie. Aby szereg å = y (x) był zbieżny absolutnie, konieczne i wystarczające jest, aby oba szeregi å = były. absolutnie Przykład Seria å = (-) è cosπ ! x i å = y są zbieżne absolutnie, t k są zbieżne absolutnie å (-), a zbieżność absolutną = szeregu å cosπ można łatwo udowodnić: =!

11 cosπ, a rząd to å!! =! zbiega się według kryterium d'Alemberta Według kryterium porównania szereg å cosπ jest zbieżny Þ szereg å =! jest zbieżny absolutnie cosπ =! Rozwiązywanie problemów Zbadaj serię 4 pod kątem zbieżności: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и i ;! Rozwiązanie å = è l l Szereg jest rozbieżny, ponieważ szereg å jest rozbieżny, co można łatwo ustalić za pomocą testu porównawczego: >, a harmoniczna = l l szereg å, jak wiadomo, jest rozbieżny z = w tym przypadku szereg å na podstawie całkowego testu Cauchy’ego = l zbiega się å (-) = è! l

12 Szereg jest zbieżny, czyli å =! zbiega się na podstawie testu granicznego d'Alemberta, a szereg å (-) jest zbieżny zgodnie z twierdzeniem = l Leibniz å α π - π cos tg = и и Oczywiście zachowanie szeregu będzie zależeć od wykładnika α Niech napiszmy szereg korzystając ze wzoru β - cosβ = s: å α π π s tg = и At α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = szereg α å и и 4 = będzie zbieżny pod warunkiem, że α >, czyli dla α > i będzie rozbieżny dla α lub dla będzie zbieżny, gdyż dla π π tg ~ α Szereg å = α α π tg α

13 Zatem szereg pierwotny będzie zbiegał się i rozchodził w punkcie α 4 å = и и! α > Szereg å sprawdza się pod kątem zbieżności za pomocą = è testu granicznego Cauchy'ego: lm = lm = > Þ è szereg jest rozbieżny Þ e è Þ będzie się rozchodził i pierwotny szereg 5 Szereg 5 6 bada się pod kątem zbieżności absolutnej π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = Rozwiązanie 5 å = π cos()! å = - π cos jest zbieżny bezwzględnie, czyli do (-)! zbiega się według kryterium porównania: π cos i szereg å (-)! (-)! = (-)! jest zbieżny zgodnie z testem d'Alemberta

14 4 6 å =!) 8 (Do rzędu!) 8 (å = zastosuj znak d'Alemberta:!) ​​8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Zbadaj szereg 7 pod kątem zbieżności absolutnej 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Odpowiedzi: 7, 8 zbiegają się absolutnie , 9 jest rozbieżny, nie jest zbieżny bezwzględnie

16 TEMAT Szeregi potęgowe ze złożonymi terminami Podczas studiowania rozdziału „Szereg funkcyjny” szczegółowo rozważono szeregi, których wyrazy są członkami pewnego ciągu funkcji zmiennej rzeczywistej. Najbardziej atrakcyjne (szczególnie pod względem zastosowań) były szereg potęgowy, czyli szereg postaci å = a (x-x) Udowodniono (twierdzenie Abela), że każdy szereg potęgowy ma przedział zbieżności (x - R, x R), w którym mieści się suma S (x) szeregu jest ciągła i że szeregi potęgowe w przedziale zbieżności można różnicować wyraz po wyrazie i całkować wyraz po wyrazie. Oto niezwykłe właściwości szeregów potęgowych, które otworzyły najszersze możliwości ich licznych zastosowań. W tym temacie rozważymy szeregi potęgowe nie z terminami rzeczywistymi, ale ze złożonymi 6 Kluczowe pytania teorii Krótkie odpowiedzi Definicja szeregu potęgowego Szereg potęgowy to szereg funkcyjny postaci å = a (z - z), () gdzie a i z są liczbami zespolonymi, oraz z jest zmienną zespoloną. W szczególnym przypadku, gdy z =, szereg potęgowy ma postać å = a z ()

17 Oczywiście szereg () sprowadza się do szeregu () poprzez wprowadzenie nowej zmiennej W = z - z, więc będziemy mieli do czynienia głównie z szeregami postaci () Twierdzenie Abela Jeśli szereg potęgowy () zbiega się przy z = z ¹, to jest zbieżny, a ponadto absolutnie dla dowolnego z, dla którego z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Z twierdzenia Abela wynika, że ​​jeśli szereg å = a z jest rozbieżny dla * z = z, to będzie rozbieżny również dla dowolnego z, dla którego * z > z Czy istnieje pojęcie promienia dla szeregów potęgowych () i ( ) zbieżność? Tak, istnieje promień zbieżności R, liczba, która ma tę właściwość, że dla wszystkich z, dla których z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, szereg () jest rozbieżny 4 Jaki jest obszar zbieżności szeregu ()? Jeśli R jest promieniem zbieżności szeregu (), to zbiór punktów z, dla których z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Czy można wyznaczyć promień zbieżności a korzystając ze wzorów R = lm i R = lm, a a co miało miejsce dla szeregów potęgowych z wyrazami rzeczywistymi? Jest to możliwe, jeśli te granice istnieją. Jeśli okaże się, że R =, będzie to oznaczać, że szereg () zbiega się dopiero w punkcie z = lub z = z dla szeregu (). Gdy R = szereg będzie zbieżny na całym płaszczyzna zespolona Przykład Znajdź promień zbieżności szeregu å z = a Rozwiązanie R = lm = lm = a Zatem szereg zbiega się wewnątrz okręgu o promieniu. Przykład jest interesujący, ponieważ na granicy okręgu x y< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Przypomnijmy, że szeregi potęgowe å = a x w obrębie swojego przedziału zbieżności są zbieżne nie tylko bezwzględnie, ale i jednostajnie. Podobne stwierdzenie obowiązuje dla szeregu å = a z: jeśli szereg potęgowy jest zbieżny, a promień jego zbieżności jest równy R, to ten szereg w dowolnym zamkniętym okręgu z r pod warunkiem, że r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 w okręgu o promieniu R > zbieżność szeregu, to szereg ten jest szeregiem Taylora funkcji f (z), czyli f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Współczynniki szeregu å = () f (z) a =! f () a (z - z) oblicza się ze wzoru Przypomnijmy, że definicję pochodnej f (z) podaje się formalnie dokładnie w ten sam sposób, jak dla funkcji f (x) zmiennej rzeczywistej, czyli f (z ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Zasady różniczkowania funkcji f (z) są takie same jak zasady różniczkowania funkcji zmiennej rzeczywistej 7 W jakim przypadku jest to funkcja f (z) nazywany analitycznym w punkcie z? Pojęcie funkcji analitycznej w punkcie z jest dane przez analogię z pojęciem funkcji f(x), która jest rzeczywista analityczna w punkcie x. Definicja Funkcję f(z) nazywamy analityczną w punkcie z, jeżeli istnieje R > taki, że w okręgu z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Jeszcze raz podkreślamy, że reprezentacja funkcji analitycznej f (z) w punkcie z w postaci szeregu potęgowego jest jednoznaczna, a szereg ten jest jej szeregiem Taylora, czyli współczynniki szeregu oblicza się za pomocą formuła () f (z) a =! 8 Podstawowe funkcje elementarne zmiennej zespolonej W teorii szeregów potęgowych funkcji zmiennej rzeczywistej uzyskano rozwinięcie szeregowe funkcji e x: = å x x e, xî(-,) =! Rozwiązując przykład punktu 5, byliśmy przekonani, że szereg å z zbiega się na całej płaszczyźnie zespolonej. W szczególnym przypadku dla z = x jego suma jest równa e x Z tego faktu wynika, że ​​- =! następujący pomysł: dla złożonych wartości z funkcja е z z definicji jest uważana za sumę szeregu å z Zatem =! z e () def å z = =! Definicja funkcji ch z i sh z x - x Ponieważ ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 i funkcja e z jest teraz zdefiniowana dla wszystkich zespolonych z, wówczas naturalnym jest przyjęcie ch z = na całej płaszczyźnie zespolonej, def z - z e e def z - z e - e sh z = Zatem: z -z k e - e z sh z = = sinus hiperboliczny; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = cosinus hiperboliczny; k = (k)! shz th z = tangens hiperboliczny; chz chz cth z = cotangens hiperboliczny shz Definicja funkcji s z i cos z Skorzystajmy z otrzymanych wcześniej rozwinięć: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! szeregi zbiegają się na całej osi liczbowej. Zastępując x w tych szeregach przez z, otrzymujemy szeregi potęgowe o wyrazach zespolonych, które jak łatwo wykazać są zbieżne na całej płaszczyźnie zespolonej. Pozwala to wyznaczyć dla dowolnego zespołu z funkcje s z i cos z: å k k (-) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Zależność funkcji wykładniczej od funkcji trygonometrycznych w płaszczyźnie zespolonej. Zastępowanie w szeregu å z z e = =! z przez z, a następnie przez z, otrzymujemy: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Ponieważ e ()) e k k = (-, będziemy mieli: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) ! Zatem: z -z z -z e e e - e сos z = ; s z = (6) Z uzyskanych wzorów wynika kolejny niezwykły wzór: z сos z s z = e (7) Wzory (6) i (7) nazywane są wzorami Eulera wzory te obowiązują także dla rzeczywistego z. W szczególnym przypadku dla z = j, gdzie j jest liczbą rzeczywistą, wzór (7) przyjmie postać: j cos j sj = e (8) Wtedy liczba zespolona z = r (cos j s j) zostanie zapisane w postaci: j z = re (9) Wzór (9) nazywany jest wykładniczą formą zapisu liczby zespolonej z 4

25 Wzory łączące funkcje trygonometryczne i hiperboliczne Łatwo udowodnić następujące wzory: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z Udowodnimy pierwszy i czwarty wzór (zaleca się udowodnienie drugiego i trzeci sam) Skorzystajmy ze wzorów ( 6) Eulera: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e ch z = = cos z Korzystając ze wzorów sh z = s z i ch z = cos z, łatwo jest na pierwszy rzut oka wykazać zaskakującą właściwość funkcji s z i cos z, w odróżnieniu od funkcji y = s x i y = cos x, funkcje s z i cos z nie są ograniczone wartością bezwzględną W rzeczywistości, jeśli we wskazanych wzorach w szczególności z = y, to s y = sh y, cos y = ch y Oznacza to, że na. urojone osie s z i cos z nie są ograniczone wartością bezwzględną. Co ciekawe, dla sz i cos z obowiązują wszystkie wzory, podobnie jak wzory na funkcje trygonometryczne s x i cos x. Podane wzory są dość często wykorzystywane podczas nauki szereg dla zbieżności Przykład Udowodnić absolutną zbieżność szeregu å s = Rozwiązanie Sprawdzamy szereg å pod kątem zbieżności s = Jak zauważono, funkcja sz ograniczona na osi urojonej nie wynosi 5

26 jest zatem nie możemy zastosować kryterium porównania. Skorzystamy ze wzoru s = sh. Wtedy å = å s sh = = Badamy szereg å sh = korzystając z kryterium D'Alemberta: - () - - sh () e - e mi (e- e) mi lm = lm =lm=< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () ponieważ lm =, z modułów zbiega się pod warunkiem 8 - = 8 = Zatem szereg z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >punkty okręgu z = - zbiegną się, a poza tym okręgiem, czyli szereg się rozchodzi, badamy zachowanie szeregu w z =, którego równanie w kartezjańskim układzie współrzędnych ma postać x (y) = Przy z = 9 szereg wartości bezwzględnych będzie miał postać: å 8 - = å = = że ten szereg jest w zamkniętym okręgu Wynikowy szereg jest zbieżny, czyli z zbieżny bezwzględnie Udowodnić, że funkcja å z z e = jest okresowy z okresem π (ta właściwość funkcji e z znacząco odróżnia ją =! od funkcji e x) Dowód Korzystamy z definicji funkcji okresowej i wzoru (6) Musimy się upewnić, że z z e π = e, gdzie z = x y Pokażmy, że tak jest: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Zatem e z jest a funkcja okresowa!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Uzyskaj wzór łączący liczby e i π Rozwiązanie Skorzystajmy z wykładniczej formy zapisu liczby zespolonej j: z = re Dla z = - będziemy mieli r =, j = π i tym samym π e = - () Niesamowity wzór i to pomimo tego, że pojawienie się w matematyce każdej z liczb π, e i nie ma nic wspólnego z pojawieniem się dwóch pozostałych! Wzór () jest również interesujący, ponieważ okazuje się, że funkcja wykładnicza e z, w przeciwieństwie do funkcji e x, może przyjmować wartości ujemne e x 5 Znajdź sumę szeregu å cos x =! Rozwiązanie Przekształćmy szereg x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (e) cos x = = s x mi e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Przy rozwiązywaniu wykorzystaliśmy dwukrotnie wzór = cos x s x i rozwinięcie funkcji w szereg (e x) e 6 Rozwiń funkcję f (x) = e x cos x w szereg potęgowy, korzystając z rozwinięcia w szereg funkcji x() x x x x e = e e = e cos x e s x Rozwiązanie x() x() x e = å = å!! = = π cos и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 Powstały szereg zbiega się na całej osi liczbowej, czyli do x π (x) () cos, a szereg å (x)! 4! =! X< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Znajdź promień R i okrąg zbieżności szeregu 4 Zbadaj zachowanie szeregu w punktach granicznych okręgu zbieżności (w punktach leżących na okręgu) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Odpowiedzi:) R =, szereg zbiega się w punkcie z = - ;) R =, szereg zbiega się absolutnie po zamkniętym okręgu z ze środkiem w punkcie z = - lub podlega x (y) ;) R =, szereg zbiega się absolutnie w zamkniętym okręgu z lub podlega x y ; 4) R =, szereg zbiega się absolutnie po zamkniętym okręgu z lub pod warunkiem x y 9 7 Rozwiń funkcję f (x) = e x s x, () x w szereg potęgowy, korzystając z rozwinięcia szeregowego funkcji e 8 Upewnij się, że dla dowolnego zespołu z będą miały miejsce wzory: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (użyj wzorów Eulera)

31 SPIS ZALECANYCH LEKTORÓW Literatura podstawowa Piskunov, NS Rachunek różniczkowy i całkowy dla szkół wyższych / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Podstawy analizy matematycznej / GM Fichtengolts T - St. Petersburg: Lan, 9 48 s Vorobyov, NN Teoria wierszy / NN Vorobyov - St. Petersburg: Łan, 8 48 s 4 Pisemne, DT Notatki z wykładów z matematyki wyższej Ch / DT Napisane M: Iris-press, 8 5 Matematyka wyższa w ćwiczeniach i problemach Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ itd.] M: ONICS, 8 C Literatura dodatkowa Kudryavtsev, LD Kurs analizy matematycznej / LD Kudryavtsev TM: Szkoła wyższa, 98 C Khabibullin, MV Liczby zespolone: ​​wytyczne / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6 s Moldovanova , EA Wiersze i analiza kompleksowa: podręcznik / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Federalna Agencja Edukacji Tomski Państwowy Uniwersytet Architektury i Inżynierii Lądowej SERIA FOURIERA INTEGRAL FOURIERA JAKO PRZYPADEK OGRANICZAJĄCY SERII FOURIERA Wytyczne dotyczące samodzielnej pracy

RANKI Chabarowsk 4 4 SERIA LICZBOWA Szereg liczb to wyrażenie, w którym liczby tworzące nieskończony ciąg liczb są wyrazem ogólnym szeregu, gdzie N (N jest zbiorem liczb naturalnych) Przykład

Federalna Agencja Edukacji Archangielsk Państwowy Uniwersytet Techniczny Wydział Inżynierii Lądowej RANGI Wytyczne dotyczące wykonywania zadań do samodzielnej pracy Archangielsk

MOSKWA PAŃSTWOWA UNIWERSYTET TECHNICZNY LOTNICTWA CYWILNEGO V.M. Lyubimov, E.A. Żukowa, V.A. Ukhova, Yu.A. PODRĘCZNIK MATEMATYKI Shurinova do studiowania dyscypliny i zadań testowych

5 Szereg potęgowy 5 Szereg potęgowy: definicja, obszar zbieżności Szereg funkcyjny postaci (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) gdzie, a, a, K, a ,k to niektóre liczby nazywane szeregami potęgowymi

Federalna Agencja Edukacji MOSKWA PAŃSTWOWY UNIWERSYTET GEODEZYJNY I KARTOGRAFII (MIIGAiK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev ĆWICZENIA DLA STUDENTÓW NA SAMODZIELNYCH STUDIACH

Temat Szereg liczb zespolonych Rozważmy szereg liczb k ak z liczbami zespolonymi w postaci Szereg A nazywa się zbieżnym, jeśli ciąg S jego sum częściowych S a k k jest zbieżny. Ponadto granica S ciągu

MINISTERSTWO EDUKACJI FEDERACJI ROSYJSKIEJ TEORIA FUNKCJI ZMIENNEJ ZŁOŻONEJ Podręcznik metodologiczny Opracował: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Przegląd podręcznika metodologicznego teorii funkcji

8 Szereg liczb zespolonych Rozważmy szereg liczbowy z liczbami zespolonymi w postaci k a, (46) gdzie (a k) jest danym ciągiem liczbowym z wyrazami zespolonymi k Szereg (46) nazywa się zbieżnym, jeśli

Wykłady przygotowane przez profesora nadzwyczajnego Musinę MV Definicja Wyrażenie postaci Szereg liczbowy i funkcyjny Szereg liczbowy: pojęcia podstawowe (), gdzie nazywany jest serią liczbową (lub po prostu serią) Liczby, członkowie szeregu (zależne

Wydział Metalurgiczny Katedra Matematyki Wyższej RANGI Instrukcje metodologiczne Nowokuźnieck 5 Federalna Agencja ds. Edukacji Państwowa instytucja edukacyjna wyższego wykształcenia zawodowego

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego Nowogrodzki Uniwersytet Państwowy im.

Federalna Agencja ds. Edukacji Federalna Państwowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Kształcenia Zawodowego UNIWERSYTET POŁUDNIOWEJ FEDERALNEJ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodyczne

Szereg liczb Sekwencja liczb Def Sekwencja liczb jest funkcją liczbową zdefiniowaną na zbiorze liczb naturalnych x - człon ogólny ciągu x =, x =, x =, x =,

Federalna Agencja Edukacji Moskiewski Państwowy Uniwersytet Geodezji i Kartografii (MIIGAiK) INSTRUKCJE METODYCZNE I ZADANIA DO PRACY SAMODZIELNEJ w ramach MATEMATYKI WYŻSZEJ Numeryczne

WSKAZÓWKI METODOLOGICZNE DO ZADANIA OBLICZENIOWEGO W PRZEDMIOTIE MATEMATYKI WYŻSZEJ „RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYKŁYCH SERIA CAŁKI PODWÓJNE” CZĘŚĆ TEMAT SERIA Spis treści Seria Seria liczbowa Zbieżność i rozbieżność

Federalna Agencja Edukacji Państwowa instytucja edukacyjna wyższego wykształcenia zawodowego Nowogródski Uniwersytet Państwowy im. Jarosława Mądrego Instytut Elektroniki

Ministerstwo Edukacji Republiki Białorusi EE „Witebski Państwowy Uniwersytet Technologiczny” Temat. Katedra Matematyki Teoretycznej i Stosowanej „Wiersze”. opracowany przez doc. E.B. Dunina. Podstawowy

MINISTERSTWO TRANSPORTU FEDERACJI ROSYJSKIEJ PAŃSTWO FEDERALNE INSTYTUCJA EDUKACYJNA WYŻSZEJ SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO WYŻSZA SZKOŁA LOTNICZA W ULANOWSKU INSTYTUTU LOTNICTWA CYWILNEGO

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Tomsk Państwowy Architektoniczny i Budowlany

Sgups Katedra Matematyki Wyższej Instrukcje metodologiczne dotyczące wykonywania standardowych obliczeń „Seria” Nowosybirsk 006 Niektóre informacje teoretyczne Szeregi liczbowe Let u ; ty; ty; ; ty; istnieje nieskończona liczba

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ PAŃSTWOWY UNIWERSYTET ARCHITEKTURY I BUDOWNICTWA W KAZANIE Wydział Matematyki Wyższej SERIE NUMERYCZNE I FUNKCJONALNE Wytyczne dla

WYKŁAD N 7. Szereg potęgowy i szereg Taylora.. Szereg potęgowy..... Szereg Taylora.... 4. Rozwinięcie niektórych funkcji elementarnych na szeregi Taylora i Maclaurina.... 5 4. Zastosowanie szeregów potęgowych... 7.Moc

Moduł Tematyka Ciągi i szeregi funkcyjne Własności jednostajnej zbieżności ciągów i szeregów Szereg potęgowy Wykład Definicje ciągów i szeregów funkcjonalnych Jednostajnie

Białoruski Państwowy Uniwersytet Ekonomiczny WYDZIAŁ INFORMACJI EKONOMICZNEJ I EKONOMIKI MATEMATYCZNEJ Rzędy Notatki z wykładów i warsztaty dla studentów ekonomii

Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej Państwowy Uniwersytet Techniczny w Uljanowsku SERIA NUMERYCZNA I FUNKCJONALNA SERIA FOURIERA Uljanowsk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Recenzent Kandydat z fizyki i matematyki

3724 WIELE SZEREGÓW I CAŁKI krzywoliniowe 1 PROGRAM PRACY PRZEKROJÓW „WIELE SZEREGÓW I CAŁKI krzywoliniowe” 11 Szereg liczbowy Pojęcie szeregu liczbowego Własności szeregów liczbowych Niezbędny znak zbieżności

Rozdział Szereg Formalny zapis sumy wyrazów pewnego ciągu liczb Szeregi liczb nazywane są szeregami liczbowymi Sumy S nazywane są sumami częściowymi szeregu Jeśli istnieje granica S, S, to szereg

Wykład. Seria funkcjonalna. Definicja szeregu funkcyjnego Szereg, którego członkami są funkcje x, nazywa się funkcjonałem: u = u (x) + u + K+ u + K = Nadając x pewną wartość x, możemy

V.V. Żuk, A.M. Seria Kamachkin 1 Power. Promień zbieżności i przedział zbieżności. Charakter zbieżności. Integracja i różnicowanie. 1.1 Promień zbieżności i przedział zbieżności. Zakres funkcjonalny

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Syberyjski Państwowy Uniwersytet Przemysłowy”

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Syberyjski Państwowy Uniwersytet Przemysłowy”

Analiza matematyczna Dział: Szeregi numeryczne i funkcyjne Temat: Szeregi potęgowe. Rozbudowa funkcji na szereg potęgowy Wykładowca Rozhkova S.V. 3 34. Szereg potęgowy Szereg potęgowy to szereg potęgowy.

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ BUDŻET PAŃSTWA FEDERALNEGO INSTYTUCJA EDUKACYJNA WYŻSZEJ SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO „PAŃSTWOWY UNIWERSYTET LOTNICZY SAMARA”

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI FEDERACJI ROSYJSKIEJ Badania Narodowe Niżny Nowogród Państwowy Uniwersytet im. NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva RANGI FUNKCJI ANALITYCZNYCH

„Seria” Testy do samotestowania Znak konieczny zbieżności szeregu Twierdzenie niezbędny znak zbieżności Jeżeli szereg jest zbieżny to lim + Wniosek jest warunkiem wystarczającym rozbieżności szeregu Jeżeli lim to szereg jest rozbieżny

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Achinsk oddział Federalnej Państwowej Autonomicznej Instytucji Edukacyjnej Wyższego Kształcenia Zawodowego „Syberyjski Uniwersytet Federalny” MATEMATYKA

(seria potęgowa szeregu funkcyjnego dziedzina zbieżności kolejność znajdowania przedziału zbieżności - przykładowy promień przedziału zbieżności przykłady) Niech dany będzie nieskończony ciąg funkcji, Funkcjonalny

Seria Seria liczb Pojęcia ogólne Definicja Jeżeli każda liczba naturalna jest powiązana z określoną liczbą zgodnie z pewnym prawem, wówczas zbiór liczb numerowanych nazywa się ciągiem liczbowym,

Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej MATI - ROSYJSKI PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY im. KE TSIOLKOVSKY'EGO Wydział Matematyki Wyższej RANGI Wytyczne dotyczące pracy na kursach Opracowano przez:

Wykład 3 Szereg Taylora i Maclaurina Zastosowanie szeregów potęgowych Rozbudowa funkcji na szeregi potęgowe Szereg Taylora i Maclaurina Dla zastosowań ważna jest umiejętność rozwinięcia danej funkcji w szereg potęgowy, te funkcje

PAŃSTWOWA INSTYTUCJA WYŻSZEJ SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO „Uniwersytet Białorusko-Rosyjski” Katedra „Matematyki Wyższej” MATEMATYKA WYŻSZA MATEMATYKA ANALIZA MATEMATYCZNA RANGI Zalecenia metodologiczne

Lekcja liczbowa i potęgowa. Seria liczb. Suma szeregu. Znaki zbieżności. Oblicz sumę szeregu. 6 Rozwiązanie. Suma wyrazów nieskończonego postępu geometrycznego q jest równa, gdzie q jest mianownikiem postępu.

Ministerstwo Edukacji Republiki Białorusi Instytucja Edukacyjna „Państwowy Uniwersytet Żywności w Mohylewie” Wydział Matematyki Wyższej MATEMATYKA WYŻSZA Wytyczne dotyczące zajęć praktycznych

Wykład 6 Rozbudowa funkcji w szereg potęgowy Jednoznaczność rozwinięcia szeregu Taylora i Maclaurina Rozbudowa w szereg potęgowy niektórych funkcji elementarnych Zastosowanie szeregów potęgowych W poprzednich wykładach

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Tomsk Państwowy Architektoniczny i Budowlany

4 Seria funkcji 4 Podstawowe definicje Niech nieskończony ciąg funkcji o wspólnej dziedzinie definicji X u), u (), K, u (),K (DEFINICJA Wyrażenie u) + u () + K + u () +

ELEMENTY TEORII FUNKCJI RACHUNKU OPERACYJNEGO ZMIENNEJ ZŁOŻONEJ W wyniku studiowania tego tematu student musi nauczyć się: znajdować formy trygonometryczne i wykładnicze liczby zespolonej według

Federalna Agencja Edukacji Państwowa instytucja edukacyjna wyższego wykształcenia zawodowego „Uralski Państwowy Uniwersytet Pedagogiczny” Wydział Matematyki

UNIWERSYTET PAŃSTWOWY KAZAN Zakład Statystyki Matematycznej SERIE NUMERYCZNE Podręcznik edukacyjno-metodologiczny KAZAN 008 Opublikowany decyzją sekcji Rady Naukowo-Metodologicznej Uniwersytetu w Kazaniu

Szereg funkcyjny Szereg funkcyjny, jego suma i dziedzina funkcjonału o Niech będzie dany ciąg funkcji k w dziedzinie Δ liczb rzeczywistych lub zespolonych (k 1 Szereg funkcjonalny nazywa się

Federalna Agencja Edukacji MOSKWA PAŃSTWOWY UNIWERSYTET GEODEZYJNO-KARTOGRAFICZNY (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova ĆWICZENIA DLA STUDENTÓW DO NIEZALEŻNYCH STUDIÓW SEKCJI

Rozdział Szereg potęgowy a a Szereg potęgowy w postaci a a a a () nazywany jest szeregiem potęgowym, gdzie a są stałymi zwanymi współczynnikami szeregu. Czasami rozważa się szereg potęgowy o bardziej ogólnej postaci: a a(a) a(a) a(a) (), gdzie

WYKŁAD N34. Szeregi liczbowe ze złożonymi terminami. Szeregi potęgowe w dziedzinie zespolonej. Funkcje analityczne. Funkcje odwrotne... szeregi liczbowe ze złożonymi wyrazami... szeregi potęgowe w dziedzinie zespolonej...

Opcja Zadanie Oblicz wartość funkcji, podaj odpowiedź w formie algebraicznej: a sh ; b l Rozwiązanie a Skorzystajmy ze wzoru na połączenie sinusa trygonometrycznego z sinusem hiperbolicznym: ; sh -s Zdobądź

Federalna Agencja ds. Edukacji Państwowa instytucja edukacyjna wyższego wykształcenia zawodowego Uchta Państwowy Uniwersytet Techniczny LICZBY ZŁOŻONE Wytyczne

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej PAŃSTWA FEDERALNEGO BUDŻETOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA WYŻSZEJ SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO „PAŃSTWOWY UNIWERSYTET TECHNICZNY SAMARA” Wydział Matematyki Stosowanej

Szereg funkcjonalny Wykłady 7-8 1 Obszar zbieżności 1 Szereg postaci u () u () u () u (), 1 2 u (), w którym funkcje są określone na pewnym przedziale, nazywa się szeregiem funkcjonalnym . Zbiór wszystkich punktów

Federalna Agencja ds. Edukacji Państwowa instytucja edukacyjna wyższej edukacji zawodowej Uchta Państwowy Uniwersytet Techniczny (USTU) FUNKCJE LIMITOWE Metodologiczne

WYKŁAD Równoważne nieskończenie małe Pierwsza i druga granica niezwykła Porównanie nieskończenie dużych i nieskończenie małych funkcji Funkcja f () nazywana jest nieskończenie małą w punkcie a (w a) jeśli (

Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Wyższego Szkolnictwa Zawodowego „Tomsk Państwowy Architektoniczny i Budowlany

Wykład Szereg liczbowy Znaki zbieżności Szereg liczbowy Znaki zbieżności Nieskończone wyrażenie ciągu liczbowego + + + +, złożonego z wyrazów nieskończonej, nazywa się szeregiem liczbowym Liczby,

EV Nebogina, OS Afanasyeva SERIA PRAKTYKA W MATEMATYCE WYŻSZEJ Samara 9 FEDERALNA AGENCJA EDUKACJI PAŃSTWOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA WYŻSZEJ SZKOLNICTWA ZAWODOWEGO „SAMARSKI”

Rozdział III RACHUNEK INTEGRALNY FUNKCJI KILKU ZMIENNYCH, FUNKCJE ZMIENNEJ ZŁOŻONEJ, SZEREG Całki podwójne LITERATURA: , rozdz. , glii; , Rozdział XII, 6 Aby rozwiązać problemy na ten temat konieczne jest,