Wykresy online. Jak wykreślić funkcję Rysowanie punktów na płaszczyźnie współrzędnych

Funkcja budowania

Oferujemy Państwu usługę konstruowania wykresów funkcji online, do której wszelkie prawa należą do firmy Desmos. Użyj lewej kolumny, aby wprowadzić funkcje. Można wprowadzić ręcznie lub korzystając z wirtualnej klawiatury znajdującej się na dole okna. Aby powiększyć okno z wykresem, możesz ukryć zarówno lewą kolumnę, jak i wirtualną klawiaturę.

Korzyści z wykresów online

• Wizualna prezentacja wprowadzonych funkcji
• Tworzenie bardzo złożonych wykresów
• Konstrukcja wykresów określonych implicite (na przykład elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Możliwość zapisywania wykresów i otrzymania linku do nich, który staje się dostępny dla każdego w Internecie
• Kontrola skali, koloru linii
• Możliwość kreślenia wykresów punktowo, z wykorzystaniem stałych
• Jednoczesne rysowanie kilku wykresów funkcji
• Wykreślanie współrzędnych biegunowych (użyj r i θ(\theta))

Z nami łatwo jest budować wykresy o różnej złożoności online. Budowa odbywa się błyskawicznie. Usługa jest potrzebna do znajdowania punktów przecięcia funkcji, do przedstawiania wykresów w celu dalszego przenoszenia ich do dokumentu Word jako ilustracji przy rozwiązywaniu problemów oraz do analizowania cech behawioralnych wykresów funkcji. Optymalną przeglądarką do pracy z wykresami na tej stronie serwisu jest Google Chrome. Nie gwarantuje się poprawnego działania w przypadku korzystania z innych przeglądarek.

Wcześniej badaliśmy inne funkcje, na przykład liniową, przypomnijmy jej standardową postać:

stąd oczywista zasadnicza różnica - w funkcji liniowej X stoi w pierwszym stopniu i w nowej funkcji zaczynamy się uczyć, X stoi do drugiej potęgi.

Przypomnijmy, że wykres funkcji liniowej jest linią prostą, a wykres funkcji, jak zobaczymy, jest krzywą zwaną parabolą.

Zacznijmy od ustalenia, skąd wzięła się formuła. Wyjaśnienie jest następujące: jeśli dany jest kwadrat z bokiem A, to możemy obliczyć jego pole w następujący sposób:

Jeśli zmienimy długość boku kwadratu, to zmieni się jego pole.

Jest to więc jeden z powodów, dla których bada się tę funkcję

Przypomnijmy, że zmienna X- jest to zmienna niezależna, czyli argument w interpretacji fizycznej może to być np. czas. Odległość jest natomiast zmienną zależną i zależy od czasu. Zmienna zależna lub funkcja jest zmienną Na.

Jest to prawo korespondencji, zgodnie z którym każda wartość X przypisana jest pojedyncza wartość Na.

Każde prawo korespondencyjne musi spełniać wymóg wyjątkowości od argumentu do funkcji. W interpretacji fizycznej wygląda to całkiem jasno na przykładzie zależności odległości od czasu: w każdym momencie jesteśmy w pewnej odległości od punktu początkowego, a nie da się być jednocześnie 10 i 20 kilometrów od początku podróży w tym samym czasie w chwili t.

Jednocześnie każdą wartość funkcji można osiągnąć za pomocą kilku wartości argumentów.

Musimy więc zbudować wykres funkcji, w tym celu musimy stworzyć tabelę. Następnie przeanalizuj funkcję i jej właściwości za pomocą wykresu. Ale jeszcze zanim zbudujemy wykres na podstawie rodzaju funkcji, możemy powiedzieć coś o jej właściwościach: to oczywiste Na nie może przyjmować wartości ujemnych, ponieważ

Zróbmy więc tabelę:

Ryż. 1

Z wykresu łatwo zauważyć następujące właściwości:

Oś Na- jest to oś symetrii wykresu;

Wierzchołek paraboli to punkt (0; 0);

Widzimy, że funkcja przyjmuje tylko wartości nieujemne;

W przedziale gdzie funkcja maleje i na przedziale, w którym funkcja rośnie;

Funkcja uzyskuje najmniejszą wartość w wierzchołku, ;

Nie ma największej wartości funkcji;

Przykład 1

Stan : schorzenie:

Rozwiązanie:

Ponieważ X poprzez zmianę warunku w określonym przedziale, możemy powiedzieć o funkcji, że rośnie i zmienia się w tym przedziale. Funkcja ma w tym przedziale wartość minimalną i maksymalną

Ryż. 2. Wykres funkcji y = x 2 , x ∈

Przykład 2

Stan : schorzenie: Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji:

Rozwiązanie:

X zmienia się w danym przedziale, co oznacza Na maleje w przedziale while i wzrasta w przedziale while .

A więc granice zmian X i granice zmian Na, a zatem w danym przedziale istnieje zarówno minimalna wartość funkcji, jak i maksymalna

Ryż. 3. Wykres funkcji y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Zilustrujmy fakt, że tę samą wartość funkcji można osiągnąć za pomocą kilku wartości argumentów.

Wykres funkcji to wizualna reprezentacja zachowania funkcji na płaszczyźnie współrzędnych. Wykresy pomagają zrozumieć różne aspekty funkcji, których nie można określić na podstawie samej funkcji. Można budować wykresy wielu funkcji, a każda z nich otrzyma konkretny wzór. Wykres dowolnej funkcji budowany jest przy użyciu określonego algorytmu (jeśli zapomniałeś dokładnego procesu wykreślania konkretnej funkcji).

Kroki

Wykres funkcji liniowej

Określ, czy funkcja jest liniowa. Funkcja liniowa jest dana wzorem postaci fa (x) = k x + b (\ displaystyle F (x) = kx + b) Lub y = k x + b (\ displaystyle y = kx + b)(na przykład ), a jej wykres jest linią prostą. Zatem wzór zawiera jedną zmienną i jedną stałą (stałą) bez żadnych wykładników, pierwiastków i tym podobnych. Biorąc pod uwagę funkcję podobnego typu, dość łatwo jest wykreślić wykres takiej funkcji. Oto inne przykłady funkcji liniowych:

Użyj stałej, aby zaznaczyć punkt na osi Y. Stała (b) jest współrzędną „y” punktu, w którym wykres przecina oś Y, czyli jest to punkt, którego współrzędna „x” jest równa 0. Zatem, jeśli x = 0, podstawiamy do wzoru. , wtedy y = b (stała). W naszym przykładzie y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) stała jest równa 5, czyli punkt przecięcia z osią Y ma współrzędne (0,5). Narysuj ten punkt na płaszczyźnie współrzędnych.

Znajdź nachylenie linii. Jest równy mnożnikowi zmiennej. W naszym przykładzie y = 2 x + 5 (\ displaystyle y = 2x + 5) przy zmiennej „x” występuje współczynnik 2; zatem współczynnik nachylenia wynosi 2. Współczynnik nachylenia określa kąt nachylenia prostej do osi X, czyli im większy współczynnik nachylenia, tym szybciej funkcja rośnie lub maleje.

Zapisz nachylenie w postaci ułamka zwykłego. Współczynnik kątowy jest równy tangensowi kąta nachylenia, czyli stosunkowi odległości pionowej (między dwoma punktami na linii prostej) do odległości poziomej (między tymi samymi punktami). W naszym przykładzie nachylenie wynosi 2, więc możemy stwierdzić, że odległość pionowa wynosi 2, a odległość pozioma wynosi 1. Zapisz to jako ułamek zwykły: 2 1 (\ Displaystyle (\ Frac (2) (1))).

• Jeśli nachylenie jest ujemne, funkcja jest malejąca.

1. Z punktu, w którym prosta przecina oś Y, narysuj drugi punkt, wykorzystując odległości pionowe i poziome. Funkcję liniową można przedstawić na wykresie za pomocą dwóch punktów. W naszym przykładzie punkt przecięcia z osią Y ma współrzędne (0,5); Od tego momentu przesuń się o 2 pola w górę, a następnie o 1 pole w prawo. Zaznacz punkt; będzie miał współrzędne (1,7). Teraz możesz narysować linię prostą.

   Za pomocą linijki narysuj linię prostą przechodzącą przez dwa punkty. Aby uniknąć błędów, znajdź trzeci punkt, ale w większości przypadków wykres można wykreślić za pomocą dwóch punktów. W ten sposób wykreśliłeś funkcję liniową.

   Rysowanie punktów na płaszczyźnie współrzędnych

   1. Zdefiniuj funkcję. Funkcja jest oznaczona jako f(x). Wszystkie możliwe wartości zmiennej „y” nazywane są dziedziną funkcji, a wszystkie możliwe wartości zmiennej „x” nazywane są dziedziną funkcji. Rozważmy na przykład funkcję y = x+2, a mianowicie f(x) = x+2.

      Narysuj dwie przecinające się linie prostopadłe. Linia pozioma to oś X. Linia pionowa to oś Y.

      Oznacz osie współrzędnych. Podziel każdą oś na równe segmenty i ponumeruj je. Punkt przecięcia osi wynosi 0. Dla osi X: liczby dodatnie są wykreślane w prawo (od 0), a liczby ujemne w lewo. Dla osi Y: liczby dodatnie są wykreślane na górze (od 0), a liczby ujemne na dole.

      Znajdź wartości „y” z wartości „x”. W naszym przykładzie f(x) = x+2. Zastąp określone wartości x w tym wzorze, aby obliczyć odpowiednie wartości y. Jeśli funkcja jest złożona, uprość ją, oddzielając „y” po jednej stronie równania.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Narysuj punkty na płaszczyźnie współrzędnych. Dla każdej pary współrzędnych wykonaj następujące czynności: znajdź odpowiednią wartość na osi X i narysuj linię pionową (przerywaną); znajdź odpowiednią wartość na osi Y i narysuj linię poziomą (linia przerywana). Zaznacz punkt przecięcia dwóch przerywanych linii; w ten sposób nakreśliłeś punkt na wykresie.

      Usuń przerywane linie. Zrób to po naniesieniu wszystkich punktów na wykresie na płaszczyznę współrzędnych. Uwaga: wykres funkcji f(x) = x jest linią prostą przechodzącą przez środek współrzędnych [punkt o współrzędnych (0,0)]; wykres f(x) = x + 2 jest prostą równoległą do prostej f(x) = x, ale przesuniętą w górę o dwie jednostki i dlatego przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0,2) (ponieważ stała wynosi 2) .

   Wykresy złożonej funkcji

   Znajdź miejsca zerowe funkcji. Zera funkcji to wartości zmiennej x, gdzie y = 0, czyli są to punkty, w których wykres przecina oś X. Należy pamiętać, że nie wszystkie funkcje mają zera, ale są to pierwsze krok w procesie tworzenia wykresu dowolnej funkcji. Aby znaleźć zera funkcji, przyrównaj ją do zera. Na przykład:

   Znajdź i zaznacz asymptoty poziome. Asymptota to prosta, do której wykres funkcji zbliża się, ale nigdy nie przecina (tzn. w tym obszarze funkcja nie jest zdefiniowana, na przykład przy dzieleniu przez 0). Zaznacz asymptotę linią przerywaną. Jeśli zmienna „x” znajduje się w mianowniku ułamka (na przykład y = 1 4 - x 2 (\ Displaystyle y = (\ Frac (1) (4-x ^ (2))))), ustaw mianownik na zero i znajdź „x”. W uzyskanych wartościach zmiennej „x” funkcja nie jest zdefiniowana (w naszym przykładzie przeciągnij linie przerywane przez x = 2 i x = -2), ponieważ nie można dzielić przez 0. Ale asymptoty istnieją nie tylko w przypadkach, gdy funkcja zawiera wyrażenie ułamkowe. Dlatego zaleca się kierować zdrowym rozsądkiem:

Konstruowanie wykresów funkcji zawierających moduły sprawia zwykle uczniom duże trudności. Jednak wszystko nie jest takie złe. Wystarczy zapamiętać kilka algorytmów rozwiązywania takich problemów i można łatwo zbudować wykres nawet najbardziej pozornie złożonej funkcji. Zastanówmy się, jakie to są algorytmy.

1. Wykreślenie wykresu funkcji y = |f(x)|

Należy pamiętać, że zbiór wartości funkcji y = |f(x)| : y ≥ 0. Zatem wykresy takich funkcji zawsze leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.

Rysowanie wykresu funkcji y = |f(x)| składa się z czterech prostych kroków.

1) Ostrożnie i starannie skonstruuj wykres funkcji y = f(x).

2) Pozostaw bez zmian wszystkie punkty na wykresie, które znajdują się powyżej lub na osi 0x.

3) Wyświetl część wykresu leżącą poniżej osi 0x symetrycznie względem osi 0x.

Przykład 1. Narysuj wykres funkcji y = |x 2 – 4x + 3|

1) Budujemy wykres funkcji y = x 2 – 4x + 3. Oczywiście wykresem tej funkcji jest parabola. Znajdźmy współrzędne wszystkich punktów przecięcia paraboli z osiami współrzędnych i współrzędnymi wierzchołka paraboli.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Dlatego parabola przecina oś 0x w punktach (3, 0) i (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Zatem parabola przecina oś 0y w punkcie (0, 3).

Współrzędne wierzchołka paraboli:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Dlatego punkt (2, -1) jest wierzchołkiem tej paraboli.

Na podstawie uzyskanych danych narysuj parabolę (ryc. 1)

2) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem osi 0x.

3) Otrzymujemy wykres oryginalnej funkcji ( Ryż. 2, zaznaczone linią przerywaną).

2. Wykres funkcji y = f(|x|)

Zauważ, że funkcje postaci y = f(|x|) są parzyste:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Oznacza to, że wykresy takich funkcji są symetryczne względem osi 0y.

Wykreślenie wykresu funkcji y = f(|x|) składa się z następującego prostego łańcucha działań.

1) Naszkicuj funkcję y = f(x).

2) Pozostaw tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.

3) Wyświetlić część wykresu określoną w pkt. (2) symetrycznie do osi 0y.

4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).

Przykład 2. Narysuj wykres funkcji y = x 2 – 4 · |x| + 3

Ponieważ x 2 = |x| 2, wówczas pierwotną funkcję można zapisać w następującej postaci: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Teraz możemy zastosować zaproponowany powyżej algorytm.

1) Starannie i starannie budujemy wykres funkcji y = x 2 – 4 x + 3 (patrz także Ryż. 1).

2) Pozostawiamy tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.

3) Wyświetl prawą stronę wykresu symetrycznie do osi 0y.

(ryc. 3).

Przykład 3. Narysuj wykres funkcji y = log 2 |x|

Stosujemy schemat podany powyżej.

1) Zbuduj wykres funkcji y = log 2 x (ryc. 4).

3. Wykreślenie funkcji y = |f(|x|)|

Zauważ, że funkcje postaci y = |f(|x|)| są również równe. Rzeczywiście, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a zatem ich wykresy są symetryczne względem osi 0y. Zbiór wartości takich funkcji: y ≥ 0. Oznacza to, że wykresy takich funkcji leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.

Aby wykreślić funkcję y = |f(|x|)|, należy:

1) Ostrożnie skonstruuj wykres funkcji y = f(|x|).

2) Pozostaw bez zmian część wykresu znajdującą się powyżej lub na osi 0x.

3) Wyświetl część wykresu znajdującą się poniżej osi 0x symetrycznie względem osi 0x.

4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).

Przykład 4. Narysuj wykres funkcji y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Zauważ, że x 2 = |x| 2. Oznacza to, że zamiast pierwotnej funkcji y = -x 2 + 2|x| - 1

możesz użyć funkcji y = -|x| 2 + 2|x| – 1, gdyż ich wykresy są zbieżne.

Budujemy graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. W tym celu używamy algorytmu 2.

a) Naszkicuj funkcję y = -x 2 + 2x – 1 (ryc. 6).

b) Pozostawiamy tę część wykresu, która znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.

c) Wynikową część wykresu wyświetlamy symetrycznie do osi 0y.

d) Wynikowy wykres pokazano linią przerywaną na rysunku (ryc. 7).

2) Powyżej osi 0x nie ma punktów; punkty na osi 0x pozostawiamy bez zmian.

3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem 0x.

4) Wynikowy wykres pokazano na rysunku linią przerywaną (ryc. 8).

Przykład 5. Wykres funkcji y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Najpierw musisz wykreślić funkcję y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby to zrobić, wracamy do algorytmu 2.

a) Ostrożnie wykreśl funkcję y = (2x – 4) / (x + 3) (ryc. 9).

Należy zauważyć, że ta funkcja jest ułamkowa i jej wykres jest hiperbolą. Aby wykreślić krzywą, należy najpierw znaleźć asymptoty wykresu. Pozioma – y = 2/1 (stosunek współczynników x w liczniku i mianowniku ułamka), pionowa – x ​​= -3.

2) Tę część wykresu, która znajduje się powyżej osi 0x lub na niej, pozostawiamy bez zmian.

3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x będzie wyświetlana symetrycznie względem 0x.

4) Ostateczny wykres pokazano na rysunku (ryc. 11).

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.