Jak rozwiązać nierówności za pomocą 2 zmiennych. Podsumowanie lekcji „Rozwiązywanie układów nierówności z dwiema zmiennymi”. z dwiema zmiennymi

Temat: Równania i nierówności. Układy równań i nierówności

Lekcja:Równania i nierówności z dwiema zmiennymi

Rozważmy ogólnie równanie i nierówność z dwiema zmiennymi.

Równanie z dwiema zmiennymi;

Nierówność z dwiema zmiennymi, znak nierówności może być dowolny;

Tutaj x i y są zmiennymi, p jest wyrażeniem od nich zależnym

Parę liczb () nazywamy częściowym rozwiązaniem takiego równania lub nierówności, jeśli podstawiając tę ​​parę do wyrażenia otrzymamy odpowiednio prawidłowe równanie lub nierówność.

Zadanie polega na znalezieniu lub zobrazowaniu na płaszczyźnie zbioru wszystkich rozwiązań. Można to zadanie sparafrazować - znaleźć miejsce punktów (GLP), skonstruować wykres równania lub nierówności.

Przykład 1 - rozwiąż równanie i nierówność:

Innymi słowy, zadanie polega na znalezieniu czasu GMT.

Rozważmy rozwiązanie równania. W tym przypadku wartość zmiennej x może być dowolna, więc mamy:

Oczywiście rozwiązaniem równania jest zbiór punktów tworzących linię prostą

Ryż. 1. Przykład wykresu równania 1

Rozwiązaniem danego równania są w szczególności punkty (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Rozwiązaniem danej nierówności jest półpłaszczyzna znajdująca się nad prostą, obejmującą samą linię (patrz rysunek 1). Rzeczywiście, jeśli weźmiemy dowolny punkt x 0 na prostej, wówczas otrzymamy równość . Jeśli weźmiemy punkt w półpłaszczyźnie nad linią, mamy . Jeżeli przyjmiemy punkt w półpłaszczyźnie pod prostą, to nie będzie on spełniał naszej nierówności: .

Rozważmy teraz problem z okręgiem i okręgiem.

Przykład 2 - rozwiąż równanie i nierówność:

Wiemy, że podane równanie jest równaniem okręgu o środku w początku i promieniu 1.

Ryż. 2. Przykładowa ilustracja 2

W dowolnym punkcie x 0 równanie ma dwa rozwiązania: (x 0; y 0) i (x 0; -y 0).

Rozwiązaniem danej nierówności jest zbiór punktów znajdujących się wewnątrz okręgu, bez uwzględnienia samego okręgu (patrz rysunek 2).

Rozważmy równanie z modułami.

Przykład 3 - rozwiąż równanie:

W tym przypadku możliwa byłaby rozbudowa modułów, ale rozważymy specyfikę równania. Łatwo zauważyć, że wykres tego równania jest symetryczny względem obu osi. Wtedy jeśli punkt (x 0 ; y 0) jest rozwiązaniem, to punkt (x 0 ; -y 0) również jest rozwiązaniem, punkty (-x 0 ; y 0) i (-x 0 ; -y 0 ) są również rozwiązaniem.

Wystarczy więc znaleźć rozwiązanie, w którym obie zmienne są nieujemne i przyjmują symetrię względem osi:

Ryż. 3. Przykładowa ilustracja 3

Jak więc widzimy, rozwiązaniem równania jest kwadrat.

Przyjrzyjmy się tzw. metodzie obszarowej na konkretnym przykładzie.

Przykład 4 - przedstaw zbiór rozwiązań nierówności:

Zgodnie z metodą dziedzin najpierw rozważamy funkcję po lewej stronie, jeśli po prawej stronie jest zero. Jest to funkcja dwóch zmiennych:

Podobnie jak w przypadku metody przedziałów, chwilowo odchodzimy od nierówności i badamy cechy i właściwości złożonej funkcji.

ODZ: oznacza to, że oś X jest przebijana.

Teraz wskazujemy, że funkcja jest równa zero, gdy licznik ułamka jest równy zero, mamy:

Budujemy wykres funkcji.

Ryż. 4. Wykres funkcji z uwzględnieniem ODZ

Rozważmy teraz obszary stałego znaku funkcji; są one utworzone przez linię prostą i linię przerywaną. wewnątrz linii przerywanej znajduje się obszar D 1. Pomiędzy odcinkiem łamanej a prostą - obszar D 2, poniżej linii - obszar D 3, pomiędzy odcinkiem łamanej a prostą - obszar D 4

W każdym z wybranych obszarów funkcja zachowuje swój znak, co oznacza, że ​​wystarczy sprawdzić dowolny punkt testowy w każdym obszarze.

W obszarze bierzemy punkt (0;1). Mamy:

W okolicy zajmujemy punkt (10;1). Mamy:

Zatem cały region jest ujemny i nie spełnia zadanej nierówności.

W okolicy weź punkt (0;-5). Mamy:

Zatem cały region jest dodatni i spełnia zadaną nierówność.

1. Nierówności z dwiema zmiennymi. Metody rozwiązywania układu dwóch nierówności z dwiema zmiennymi: metoda analityczna i metoda graficzna.

2. Układy dwóch nierówności z dwiema zmiennymi: zapis wyniku rozwiązania.

3. Zbiory nierówności z dwiema zmiennymi.

NIERÓWNOŚCI I UKŁADY NIERÓWNOŚCI Z DWOMA ZMIENNYMI. Predykat postaci f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - wywoływane są wyrażenia ze zmiennymi x i y zdefiniowanymi na zbiorze XxY nierówność z dwiema zmiennymi (z dwiema niewiadomymi) x i y. Oczywiste jest, że dowolną nierówność postaci z dwiema zmiennymi można zapisać w postaci f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. Rozwiązanie nierówności z dwiema zmiennymi to para wartości zmiennych, która przekształca nierówność w prawdziwą nierówność liczbową. Wiadomo, że jest to para liczb rzeczywistych (x, y) jednoznacznie określa punkt w płaszczyźnie współrzędnych. Dzięki temu możliwe jest zobrazowanie rozwiązań nierówności lub układów nierówności z dwiema zmiennymi geometrycznie, w postaci pewnego zbioru punktów na płaszczyźnie współrzędnych. Jeśli równanie

f(x, y)= 0 definiuje pewną prostą na płaszczyźnie współrzędnych, wówczas zbiór punktów płaszczyzny nie leżących na tej prostej składa się ze skończonej liczby obszarów C₁, C2,..., S(ryc. 17.8). W każdym z obszarów C funkcja f(x, y) jest różna od zera, ponieważ punkty, w których f(x, y)= 0 należą do granic tych obszarów.

Rozwiązanie. Przekształćmy nierówność do postaci x > y 2 + 2 lata - 3. Skonstruujmy parabolę na płaszczyźnie współrzędnych X= rok 2 + 2 lata - 3. Podzieli płaszczyznę na dwa obszary G₁ i G 2 (ryc. 17.9). Ponieważ odcięta dowolnego punktu leżącego na prawo od paraboli X= 2 + 2 lata- 3, większa niż odcięta punktu, który ma tę samą rzędną, ale leży na paraboli itp. nierówność x>y g + 2y -3 nie jest ścisła, to geometryczną reprezentacją rozwiązań tej nierówności będzie zbiór punktów płaszczyzny leżącej na paraboli X= o 2+ 2у - 3 i na prawo od niego (ryc. 17.9).

Ryż. 17.10

Przykład 17.15. Narysuj na płaszczyźnie współrzędnych zbiór rozwiązań układu nierówności

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Rozwiązanie. Geometryczna reprezentacja rozwiązania układu nierówności x > 0, y > 0 to zbiór punktów pierwszego kąta współrzędnych. Geometryczna reprezentacja rozwiązań nierówności x + y< 6 lub Na< 6 - X to zbiór punktów leżących pod linią i na samej linii, służący jako wykres funkcji y = 6 - X. Geometryczna reprezentacja rozwiązań nierówności xy > 5 lub, ponieważ X> 0 nierówności y > 5/x to zbiór punktów leżących nad gałęzią hiperboli, która służy jako wykres funkcji y = 5/x. W rezultacie otrzymujemy zbiór punktów płaszczyzny współrzędnych leżących w pierwszym kącie współrzędnych poniżej prostej, która jest wykresem funkcji y = 6 - x, oraz powyżej gałęzi hiperboli, która służy jako wykres funkcji y = 5x(ryc. 17.10).

Rozdział III. LICZBY NATURALNE I ZEROWE

, a tym bardziej układy nierówności z dwiema zmiennymi, wydaje się dość trudne zadanie. Istnieje jednak prosty algorytm, który pomaga rozwiązać pozornie bardzo złożone problemy tego rodzaju łatwo i bez większego wysiłku. Spróbujmy to rozgryźć.

Załóżmy nierówność z dwiema zmiennymi jednego z następujących typów:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Aby zobrazować zbiór rozwiązań takiej nierówności na płaszczyźnie współrzędnych, wykonaj następujące czynności:

1. Budujemy wykres funkcji y = f(x), która dzieli płaszczyznę na dwa obszary.
2. Wybieramy dowolny z powstałych obszarów i rozważamy w nim dowolny punkt. Sprawdzamy wykonalność pierwotnej nierówności dla tego punktu. Jeżeli w wyniku testu zostanie wykryta poprawna nierówność liczbowa, to stwierdzamy, że pierwotna nierówność jest spełniona w całym obszarze, do którego należy wybrany punkt. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest obszar, do którego należy wybrany punkt. Jeżeli sprawdzenie wykaże błędną nierówność liczbową, wówczas zbiorem rozwiązań nierówności będzie drugi obszar, do którego wybrany punkt nie należy.
3. Jeżeli nierówność jest ścisła, to granice obszaru, czyli punkty wykresu funkcji y = f(x), nie są uwzględniane w zbiorze rozwiązań, a granicę zaznacza się linią przerywaną. Jeżeli nierówność nie jest ścisła, wówczas granice obszaru, czyli punkty wykresu funkcji y = f(x), włącza się do zbioru rozwiązań tej nierówności i w tym przypadku przedstawia się granicę jako linia ciągła. Przyjrzyjmy się teraz kilku problemom związanym z tym tematem.

Zadanie 1.

Jaki zbiór punktów wynika z nierówności x · y ≤ 4?

Rozwiązanie.

1) Budujemy wykres równania x · y = 4. W tym celu najpierw go przekształcamy. Oczywiście x w tym przypadku nie zmienia się na 0, ponieważ w przeciwnym razie mielibyśmy 0 · y = 4, co jest błędne. Oznacza to, że możemy podzielić nasze równanie przez x. Otrzymujemy: y = 4/x. Wykres tej funkcji jest hiperbolą. Dzieli całą płaszczyznę na dwa obszary: ten pomiędzy dwoma gałęziami hiperboli i ten znajdujący się poza nimi.

2) Wybierzmy dowolny punkt z pierwszego obszaru, niech będzie to punkt (4; 2). Sprawdźmy nierówność: 4 · 2 ≤ 4 – fałsz.

Oznacza to, że punkty tego obszaru nie spełniają pierwotnej nierówności. Można wówczas stwierdzić, że zbiorem rozwiązań nierówności będzie drugi obszar, do którego wybrany punkt nie należy.

3) Ponieważ nierówność nie jest ścisła, punkty graniczne, czyli punkty wykresu funkcji y=4/x, rysujemy linią ciągłą.

Zamalujmy na żółto zbiór punktów definiujący pierwotną nierówność (rys. 1).

Zadanie 2.

Narysuj obszar zdefiniowany na płaszczyźnie współrzędnych przez układ

Rozwiązanie.

Na początek budujemy wykresy następujących funkcji (ryc. 2):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – linia prosta

x 2 + y 2 = 9 – okrąg.

Przyjrzyjmy się teraz każdej nierówności osobno.

1) y > x 2 + 2.

Bierzemy punkt (0; 5), który leży nad wykresem funkcji. Sprawdźmy nierówność: 5 > 0 2 + 2 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej danej paraboli y = x 2 + 2 spełniają pierwszą nierówność układu. Pomalujmy je na żółto.

2) y + x > 1.

Bierzemy punkt (0; 3), który leży nad wykresem funkcji. Sprawdźmy nierówność: 3 + 0 > 1 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej prostej y + x = 1 spełniają drugą nierówność układu. Pomalujmy je zielonym cieniowaniem.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Bierzemy punkt (0; -4), który leży poza okręgiem x 2 + y 2 = 9. Sprawdzamy nierówność: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – niepoprawna.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące poza okręgiem x 2 + y 2 = 9 nie spełniają trzeciej nierówności układu. Możemy wtedy stwierdzić, że wszystkie punkty leżące wewnątrz okręgu x 2 + y 2 = 9 spełniają trzecią nierówność układu. Pomalujmy je fioletowym cieniowaniem.

Nie zapominaj, że jeśli nierówność jest ścisła, wówczas odpowiednią linię graniczną należy narysować linią przerywaną. Otrzymujemy następujący obraz (ryc. 3).

Pożądany obszar to obszar, w którym wszystkie trzy kolorowe obszary przecinają się ze sobą (ryc. 4).

Pytania do notatek

Zapisz nierówność, której rozwiązaniem jest okrąg i punkty wewnątrz okręgu:

Znajdź punkty rozwiązujące nierówność:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

Pozwalać f(x, y) I g(x, y)- dwa wyrażenia ze zmiennymi X I Na i zakres X. Następnie nierówności formy f(x, y) > g(x, y) Lub f(x, y) < g(x, y) zwany nierówność z dwiema zmiennymi .

Znaczenie zmiennych x, y od wielu X, przy którym nierówność zamienia się w prawdziwą nierówność liczbową, nazywa się to decyzja i jest wyznaczony (x, y). Rozwiąż nierówność - oznacza to znalezienie wielu takich par.

Jeśli każda para liczb (x, y) ze zbioru rozwiązań do nierówności, dopasuj punkt M(x, y), otrzymujemy zbiór punktów na płaszczyźnie określonej przez tę nierówność. Jest on nazywany wykres tej nierówności . Wykres nierówności jest zwykle obszarem na płaszczyźnie.

Aby przedstawić zbiór rozwiązań nierówności f(x, y) > g(x, y), postępować w następujący sposób. Najpierw zamień znak nierówności na znak równości i znajdź prostą zawierającą równanie f(x, y) = g(x, y). Linia ta dzieli płaszczyznę na kilka części. Następnie wystarczy w każdej części wziąć po jednym punkcie i sprawdzić, czy w tym miejscu nierówność jest spełniona f(x, y) > g(x, y). Jeśli zostanie wykonane w tym miejscu, to zostanie wykonane w całej części, w której znajduje się ten punkt. Łącząc takie części otrzymujemy wiele rozwiązań.

Zadanie. y > X.

Rozwiązanie. Najpierw zastępujemy znak nierówności znakiem równości i konstruujemy prostą w prostokątnym układzie współrzędnych, która ma równanie y = X.

Linia ta dzieli płaszczyznę na dwie części. Następnie weź po jednym punkcie z każdej części i sprawdź, czy w tym miejscu nierówność jest spełniona y > X.

Zadanie. Rozwiązać graficznie nierówność
X 2 + Na 2 25 funtów.

Niech zostaną dane dwie nierówności F 1(x, y) > G 1(x, y) I F 2(x, y) > G 2(x, y).

Układy zbiorów nierówności z dwiema zmiennymi

Układ nierówności Jest się koniunkcja tych nierówności. Rozwiązanie systemowe jest każde znaczenie (x, y), co zamienia każdą z nierówności w prawdziwą nierówność numeryczną. Wiele rozwiązań systemy nierówności to przecięcie zbiorów rozwiązań nierówności tworzących dany system.

Zbiór nierówności Jest się rozłączenie tych nierówności Ustaw rozwiązanie jest każde znaczenie (x, y), co przekształca co najmniej jedną ze zbioru nierówności w prawdziwą nierówność numeryczną. Wiele rozwiązań całość jest sumą zbiorów rozwiązań nierówności tworzących zbiór.

Zadanie. Rozwiązać graficznie układ nierówności

Rozwiązanie. y = x I X 2 + Na 2 = 25. Rozwiązujemy każdą nierówność układu.

Wykresem układu będzie zbiór punktów na płaszczyźnie będących przecięciem (podwójnym kreskowaniem) zbiorów rozwiązań pierwszej i drugiej nierówności.

Zadanie. Rozwiązać graficznie zbiór nierówności

Ćwiczenia do samodzielnej pracy

1. Rozwiąż graficznie nierówności: a) Na> 2X; B) Na< 2X + 3;

V) X 2+ y 2 > 9; G) X 2+ y 2 4 funty.

2. Rozwiązać graficznie układy nierówności:

a) b)

Lekcja wideo „Układy nierówności z dwiema zmiennymi” zawiera wizualne materiały edukacyjne na ten temat. Lekcja obejmuje rozważenie koncepcji rozwiązania układu nierówności z dwiema zmiennymi, przykłady graficznego rozwiązywania takich układów. Celem tej lekcji wideo jest rozwinięcie umiejętności uczniów w zakresie graficznego rozwiązywania układów nierówności z dwiema zmiennymi, aby ułatwić zrozumienie procesu znajdowania rozwiązań takich układów i zapamiętywanie metody rozwiązania.

Do każdego opisu rozwiązania dołączone są rysunki przedstawiające rozwiązanie problemu na płaszczyźnie współrzędnych. Takie figury wyraźnie pokazują cechy konstruowania grafów i położenie punktów odpowiadających rozwiązaniu. Wszystkie ważne szczegóły i koncepcje są podkreślone kolorem. Tym samym lekcja wideo jest wygodnym narzędziem do rozwiązywania problemów nauczyciela na lekcji i uwalnia go od konieczności przedstawiania standardowego bloku materiału do indywidualnej pracy z uczniami.

Lekcja wideo rozpoczyna się od wprowadzenia tematu i rozważenia przykładu znajdowania rozwiązań układu składającego się z nierówności x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Zrozumienie wniosków płynących z rozwiązania układu nierówności można wzmocnić poprzez rozważenie przykładów. Najpierw rozważane jest rozwiązanie układu nierówności x 2 + y 2<=9 и x+y>=2. Oczywiście rozwiązania pierwszej nierówności na płaszczyźnie współrzędnych obejmują okrąg x 2 + y 2 = 9 i znajdujący się w nim obszar. Ten obszar na rysunku jest wypełniony poziomym cieniowaniem. Zbiór rozwiązań nierówności x+y>=2 obejmuje prostą x+y=2 i znajdującą się powyżej półpłaszczyznę. Obszar ten jest również oznaczony na płaszczyźnie kreskami w innym kierunku. Teraz możemy wyznaczyć przecięcie dwóch zbiorów rozwiązań na rysunku. Jest zawarty w segmencie koła x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Następnie analizujemy rozwiązanie układu nierówności liniowych y>=x-3 i y>=-2x+4. Na rysunku obok warunku zadania skonstruowana jest płaszczyzna współrzędnych. Konstruuje się na nim prostą odpowiadającą rozwiązaniom równania y=x-3. Obszarem rozwiązania nierówności y>=x-3 będzie obszar znajdujący się powyżej tej prostej. Jest zacieniona. Zbiór rozwiązań drugiej nierówności znajduje się powyżej prostej y=-2x+4. Ta linia prosta jest również zbudowana na tej samej płaszczyźnie współrzędnych, a obszar rozwiązania jest zakreskowany. Przecięciem dwóch zbiorów jest kąt zbudowany przez dwie linie proste wraz z ich obszarem wewnętrznym. Obszar rozwiązania układu nierówności jest wypełniony podwójnym cieniowaniem.

Rozważając trzeci przykład, opisano przypadek, gdy wykresy równań odpowiadających nierównościom układu są liniami równoległymi. Należy rozwiązać układ nierówności y<=3x+1 и y>=3x-2. Na płaszczyźnie współrzędnych odpowiadającej równaniu y=3x+1 konstruowana jest linia prosta. Zakres wartości odpowiadających rozwiązaniom nierówności y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

Lekcję wideo „Układy nierówności z dwiema zmiennymi” można wykorzystać jako pomoc wizualną na lekcji w szkole lub zastąpić wyjaśnienia nauczyciela podczas samodzielnego studiowania materiału. Szczegółowe, zrozumiałe wyjaśnienie rozwiązywania układów nierówności na płaszczyźnie współrzędnych może pomóc w prezentacji materiału podczas nauczania na odległość.