Serier med komplekse termer. Serier i det komplekse domenet Tallserier med komplekse tall

463. Hva er den geometriske betydningen av ulikhetene: 1) Re z > 0; 2) Jeg er z< 0 ?

2. Serier med komplekse termer. Tenk på rekkefølgen av komplekse tall z 1, z 2 , z 3, ..., hvor z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Konstant tall c = a + bi kalt grense sekvenser z 1, z 2 , z 3 , ..., hvis for et hvilket som helst vilkårlig lite antall δ>0 det er et slikt tall N, hva er meningen z s med tall n > N tilfredsstille ulikheten \z s-Med\< δ . I dette tilfellet skriver de .

En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en grense for en sekvens av komplekse tall er som følger: tallet c=a+bi er grensen for en sekvens av komplekse tall x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … hvis og bare hvis , .

(1)

hvis medlemmer er komplekse tall kalles konvergent, Hvis nth delsum av serien S n at p → ∞ har en tendens til en viss sluttgrense. Ellers kalles serie (1). avvikende.

Serier (1) konvergerer hvis og bare hvis serier med reelle termer konvergerer

(2) Undersøk konvergensen til serien Denne serien, hvis termer danner en uendelig avtagende geometrisk progresjon, konvergerer; derfor konvergerer en gitt serie med komplekse termer absolutt. ^

474. Finn konvergensområdet til serien

Avskrift

1 Federal Agency for Education Tomsk State University of Architecture and Civil Engineering REKKER MED KOMPLEKSE MEDLEMMER Retningslinjer for uavhengig arbeid Satt sammen av LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 rader med komplekse medlemmer: metodologiske instruksjoner / Sammenstilt av LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomsk: Tomsk State Architectural and Construction University Publishing House, med anmelder professor NN Belov Redaktør EY Glotova Metodiske instruksjoner er beregnet på selvstudium av 1. års studenter av alle spesialitetsemner "Serie med komplekse medlemmer" av JNF-disiplinen "Matematikk" Publisert i henhold til avgjørelsen fra metodologisk seminar ved Institutt for høyere matematikk, protokoll 4. mars Godkjent og satt i kraft av prorektor for akademiske anliggender VV Dzyubo fra 5 til 55 Den originale layouten er utarbeidet av forfatteren Signert for trykking Format 6 84/6 Offsetpapir Skriftsnitt Tider Pedagogisk publikasjon l, 6 Opplag 4 Bestill Forlag TGASU, 64, Tomsk, Solyanaya sq., Trykket fra originaloppsettet i OOP TGASU 64, Tomsk, Partizanskaya st., 5

3 SERIE MED KOMPLEKSE TERMER TEMA Tallserier med komplekse ledd Husk at komplekse tall er tall på formen z = x y, hvor x og y er reelle tall, og den imaginære enheten definert av likheten = - Tallene x og y kalles reelle og imaginære deler av tallet z, henholdsvis og angir x = Rez, y = Imz Åpenbart, mellom punktene M(x, y) til XOU-planet med et kartesisk ortogonalt koordinatsystem og komplekse tall på formen z = x y, det er en en-til-en-korrespondanse XOU-planet kalles det komplekse planet, og z kalles et punkt i dette planet Reelle tall tilsvarer abscisseaksen, kalt den reelle aksen, og tall på formen z = y tilsvarer til ordinataksen, som kalles den imaginære aksen Hvis polarkoordinatene til punktet M(x,y) er angitt med r og j, vil x = r cosj, y = r s j og tallet z skrives i form: z = r (cosj sj), hvor r = x y Denne formen for å skrive et komplekst tall kalles trigonometrisk, å skrive z på formen z = x y kalles en algebraisk skriveform Tallet r kalles modulen til tallet z, tallet j er argumentet (i punktet z = konseptet til et argument utvides ikke) Modulen til tallet z er unikt bestemt av formelen z = x y Argumentet j er unikt bestemt bare under tilleggsbetingelsen - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 tall z (fig) Betydningen av dette bør huskes at y arq z - π uttrykkes gjennom< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, hvis x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, hvis x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (fig) М y r = j = p x Fig På trigonometrisk form vil tallet z = - skrives på formen: - = сos π s π и Det anbefales å gjenta operasjoner på komplekse tall selv La oss bare husk formelen for å heve tallet z til en potens: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Teoriens sentrale spørsmål Korte svar Definisjon av en serie med komplekse termer Konseptet konvergens av en serie Nødvendig betingelse for konvergens Definisjon La en sekvens z ) = ( x y ) = z, z, z, av komplekse tall gis A symbol på formen ( å = z kalles en serie, z er en generell term for serien. Begrepene med partielle summer av en serie S, dens konvergens og divergens samsvarer fullt ut med lignende begreper for serier med reelle termer. Rekkefølgen av partial summer av en serie har formen: S = z; S = z z; S = z z z; Hvis $lm S og denne grensen er endelig og lik tallet S, kalles serien konvergent, og tallet S kalles summen av serien, ellers kalles serien divergent. Husk at definisjonen av grensen for en sekvens av komplekse tall, som vi brukte, formelt sett ikke er forskjellig fra definisjonen av grensen for en sekvens av reelle tall: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 null av den generelle termen z i serien ved Dette betyr at hvis denne betingelsen brytes, det vil si hvis lm z ¹, divergerer serien, men hvis lm z =, forblir spørsmålet om konvergensen til serien åpent. det mulig å studere serien å (x = for konvergens ved å undersøke x og å = for konvergensen av serien å = med reelle termer? y, og hvis å x = S = hvor å S = (x y) = å = x u , og y = S, så S = S S, konvergerer - Eksempel Sørg for at serien å = è () xia, og finn summen er 7

8 Løsning Serien å konvergerer, t k ~ = () () når Summen S av denne serien er lik (Kapittel, emne, n) Serien å konvergerer som en uendelig avtagende geometrisk = progresjon, med å = () и S b = - q = konvergerer, og dens sum Dermed divergerer serien S = Eksempel Serie å, t k divergerer = è! harmonisk serie å I dette tilfellet, undersøk serien å = for konvergens! gir ikke mening Eksempel Serien å π tg divergerer, fordi for = è serien å π tg brytes den nødvendige betingelsen for konvergens = π lm tg = p ¹ и 8

9 Hvilke egenskaper har konvergerende serier med komplekse ledd? Egenskapene er de samme som for konvergerende serier med reelle termer Det anbefales å gjenta egenskapene 4 Finnes det et konsept for absolutt konvergens for en serie med komplekse ledd? Teorem (tilstrekkelig betingelse for konvergens av en serie) Hvis rekken å = z konvergerer, vil også rekken å = z konvergere Konseptet med absolutt konvergens av rekken å = z ser formelt ut nøyaktig det samme som for serier med reell Definisjon Serien å = z kalles absolutt konvergent, hvis rekken konvergerer å = z Eksempel Bevis den absolutte konvergensen til rekken () () () 4 8 Løsning La oss bruke den trigonometriske formen for å skrive tallet: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 Da gjenstår π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и Det gjenstår å undersøke rekken å z for konvergens = = Dette er en uendelig avtagende geometrisk progresjon med en nevner; en slik progresjon konvergerer, og derfor konvergerer rekken absolutt. Når absolutt konvergens bevises, brukes ofte teoremet Teorem For at rekken å = y (x) skal konvergere absolutt, er det nødvendig og tilstrekkelig at begge rekkene å = være absolutt Eksempel Serie å = (-) è cosπ ! x og å = y konvergerer absolutt, t k konvergerer absolutt å (-), og den absolutte konvergensen = av serien å cosπ er lett bevist: =!

11 cosπ, og raden er å!! =! konvergerer etter d'Alemberts kriterium Ved sammenligningskriteriet konvergerer serien å cosπ Þ serien å =! konvergerer absolutt cosπ =! Løse problemer Undersøk serie 4 for konvergens: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и и ;! Løsning å = è l l Rekken divergerer, fordi serien å divergerer, noe som lett kan fastslås ved sammenligningstesten: >, og harmoniske = l l serien å divergerer som kjent Merk at med = i dette tilfellet serien å basert på den integrale Cauchy-testen = l konvergerer å (-) = è! l

12 Serien konvergerer, så til å =! konvergerer på grunnlag av d'Alemberts grensetest, og rekken å (-) konvergerer i henhold til teoremet = l Leibniz å α π - π cos tg = и и Åpenbart vil oppførselen til serien avhenge av eksponenten α Lat vi skriver serien med formelen β - cosβ = s: å α π π s tg = и Ved α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = Serie α å и и и 4 = vil konvergere forutsatt at α >, dvs. for α > og vil divergere for α eller for vil konvergere, siden for π π tg ~ α Serie å = α α π tg α

13 Dermed vil den opprinnelige serien konvergere ved og divergere ved α 4 å = и и! α > Serien å undersøkes for konvergens ved å bruke = è Cauchys grensetest: lm = lm = > Þ è serien divergerer Þ e è Þ vil divergere og den opprinnelige serien 5 serien Series 5 6 undersøkes for absolutt konvergens π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = Løsning 5 å = π cos()! å = - π cos konvergerer absolutt, så til (-)! konvergerer i henhold til sammenligningskriteriet: π cos, og rekken å (-)! (-)! = (-)! konvergerer i henhold til d'Alemberts test

14 4 6 å =!) 8 (Til raden!) 8 (å = påfør d'Alemberts tegn:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Undersøk serie 7 for absolutt konvergens 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Svar: 7, 8 konvergerer absolutt , 9 divergerer, konvergerer ikke absolutt

16 TEMA Power-serier med komplekse termer Ved studering av avsnittet "Funksjonelle serier" ble serier vurdert i detalj, hvis termer var medlemmer av en viss sekvens av funksjoner av en reell variabel. De mest attraktive (spesielt når det gjelder applikasjoner) var potensrekke, dvs. rekke av formen å = a (x-x) Det ble bevist (Abels teorem) at hver potensrekke har et konvergensintervall (x - R, x R), innenfor hvilket summen S (x) av rekken er kontinuerlig og at potensseriene innenfor konvergensintervallet kan differensieres term for term og integrert term for term. Dette er de bemerkelsesverdige egenskapene til potensserier har åpnet de bredeste mulighetene for deres mange anvendelser. I dette emnet vil vi vurdere potensserier ikke med reelle, men med komplekse ledd 6 Teoriens sentrale spørsmål Korte svar Definisjon av potensrekke En potensrekke er en funksjonell rekke av formen å = a (z - z), () hvor a og z er gitt komplekse tall, og z er en kompleks variabel. I det spesielle tilfellet når z =, har potensserien formen å = a z ()

17 Det er klart at rekken () reduseres til rekken () ved å introdusere en ny variabel W = z - z, så vi vil hovedsakelig ta for oss serier av formen () Abels teorem Hvis potensserien () konvergerer ved z = z ¹, så konvergerer den og dessuten absolutt for enhver z for hvilken z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Abels teorem har en konsekvens, som sier at hvis rekken å = a z divergerer for * z = z, så vil den også divergere for enhver z for hvilken * z > z Er det et konsept for radius for potensrekker () og ( ) konvergens? Ja, det er en konvergensradius R, et tall som har egenskapen at for alle z, for hvilken z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, serie () divergerer 4 Hva er området for konvergens av serier ()? Hvis R er konvergensradiusen til serien (), så settet med punkter z som z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Er det mulig å finne konvergensradius a ved å bruke formlene R = lm og R = lm, a a som fant sted for potensrekker med reelle termer? Det er mulig, hvis disse grensene eksisterer Hvis det viser seg at R =, vil dette bety at serien () konvergerer kun i punktet z = eller z = z for serien () Når R = serien vil konvergere på hele komplekst plan Eksempel Finn konvergensradiusen til serien å z = a Løsning R = lm = lm = a Dermed konvergerer serien innenfor en sirkel med radius Eksemplet er interessant fordi på grensen til sirkelen x y< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Husk at potensserien å = a x innenfor deres konvergensintervall konvergerer ikke bare absolutt, men også jevnt. Et lignende utsagn gjelder for rekken å = a z: hvis en potensserie konvergerer og radiusen til dens konvergens er lik R, så denne serien i enhver lukket sirkel z r forutsatt at r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 i en sirkel med radius R > konvergens av serien, så er denne serien Taylor-serien til funksjonen f (z), dvs. f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Koeffisienter i rekken å = () f (z) a =! f () a (z - z) beregnes med formelen Husk at definisjonen av den deriverte f (z) formelt er gitt på nøyaktig samme måte som for funksjonen f (x) til en reell variabel, dvs. f (z) ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Reglene for å differensiere funksjonen f (z) er de samme som reglene for å differensiere funksjonen til en reell variabel 7 I hvilket tilfelle er funksjonen f (z) kalt analytisk ved punktet z? Begrepet en funksjonsanalytisk i et punkt z er gitt i analogi med begrepet en funksjon f (x) som er reell analytisk i et punkt x. Definisjon En funksjon f (z) kalles analytisk i et punkt z hvis det eksisterer R > slik at i sirkelen z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Vi understreker nok en gang at representasjonen av en funksjon f (z) analytisk i et punkt z i form av en potensserie er unik, og denne serien er dens Taylor-serie, det vil si at koeffisientene til serien beregnes av formel () f (z) a =! 8 Grunnleggende elementære funksjoner til en kompleks variabel I teorien om potensrekker av funksjoner til en reell variabel ble serieutvidelsen av funksjonen e x oppnådd: = å x x e, xî(-,) =! Når vi løste eksempelet i punkt 5, var vi overbevist om at serien å z konvergerer på hele det komplekse planet I det spesielle tilfellet for z = x er summen lik e x Dette faktum ligger til grunn for følgende - =! følgende idé: for komplekse verdier av z regnes funksjonen е z per definisjon som summen av serien å z. Dermed =! z e () def å z = =! Definisjon av funksjonene ch z og sh z x - x Siden ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 og funksjonen e z er nå definert for alle komplekse z, da er det naturlig å ta ch z = på hele det komplekse planet, def z - z e e def z - z e - e sh z = Dermed: z -z k e - e z sh z = = hyperbolsk sinus ; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hyperbolsk cosinus; k = (k)! shz th z = hyperbolsk tangens; chz chz cth z = hyperbolsk cotangens shz Definisjon av funksjonene s z og cos z La oss bruke utvidelsene som er oppnådd tidligere: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! serier konvergerer på hele tallinjen Når vi erstatter x i disse rekkene med z, får vi potensserier med komplekse ledd, som, som det er lett å vise, konvergerer på hele det komplekse planet.Dette lar oss bestemme funksjonene for ethvert kompleks z funksjonene s z og cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Sammenheng mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner i det komplekse planet Erstatter i rekken å z z e = =! z ved z, og deretter ved z, får vi: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Siden e ()) e k k = (-, vil vi ha: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) Således: z -z z -z e e e - e сos z = ; s z = (6) Fra de oppnådde formlene følger en annen bemerkelsesverdig formel: z сos z s z = e (7) Formler (6) og (7) kalles Eulers formler. Merk at disse formlene er også gyldige for reell z. I det spesielle tilfellet for z = j, hvor j er et reelt tall, vil formel (7) ha formen: j cos j sj = e (8) Da vil det komplekse tallet z = r (cos j s j) vil bli skrevet på formen : j z = re (9) Formel (9) kalles den eksponentielle formen for å skrive det komplekse tallet z 4

25 Formler som forbinder trigonometriske og hyperbolske funksjoner Følgende formler er enkle å bevise: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z La oss bevise den første og fjerde formelen (det anbefales å bevise den andre og tredje deg selv) La oss bruke formlene ( 6) Euler: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z Ved å bruke formlene sh z = s z og ch z = cos z, er det enkelt å bevise ved første øyekast en overraskende egenskap ved funksjonene s z og cos z. I motsetning til funksjonene y = s x og y = cos x, er funksjonene s z og cos z ikke begrenset i absolutt verdi. Faktisk, hvis i de angitte formlene, spesielt, z = y, så er s y = sh y, cos y = ch y Dette betyr at på den imaginære aksen s z og cos z er ikke begrenset i absolutt verdi. Det er interessant at for s z og cos z er alle formlene gyldige, i likhet med formlene for de trigonometriske funksjonene s x og cos x. De gitte formlene brukes ganske ofte når man studerer serie for konvergens Eksempel Bevis den absolutte konvergensen til serien å s = Løsning Vi undersøker serien å for konvergens s = Som nevnt er funksjonen s z avgrenset på den imaginære aksen ikke 5

26 er derfor kan vi ikke bruke sammenligningskriteriet. Vi bruker formelen s = sh. Da å = å s sh = = Vi studerer serien å sh = ved å bruke D'Alemberts kriterium: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () siden lm =, fra modulene konvergerer under betingelsen 8 - = 8 = Dermed er serien z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >punkter i sirkelen z = -, vil konvergere, og utenfor denne sirkelen divergerer serien.Vi studerer oppførselen til serien ved z =, hvis likning i det kartesiske koordinatsystemet har formen x (y) = Ved z = 9 vil serien av absolutte verdier ha formen: å 8 - = å = = at denne serien i en lukket sirkel Den resulterende serien konvergerer, dette betyr at z konvergerer absolutt Bevis at funksjonen å z z e = er periodisk med periode π (denne egenskapen til funksjonen e z skiller den signifikant =! fra funksjonen e x) Bevis Vi bruker definisjonen av en periodisk funksjon og formel (6) Vi må sørge for at z z e π = e, hvor z = x y La oss vise at dette er slik: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Altså, e z er a periodisk funksjon!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Få en formel som forbinder tallene e og π Løsning La oss bruke eksponentiell form for å skrive j komplekst tall: z = re For z = - vil vi ha r =, j = π og dermed π e = - () Utrolig formel og dette til tross for at utseendet i matematikk av hvert av tallene π, e og ikke har noe å gjøre med utseendet til de to andre! Formel () er også interessant fordi det viser seg at eksponentialfunksjonen e z, i motsetning til funksjonen e x, kan ta negative verdier e x 5 Finn summen av rekken å cos x =! Løsning La oss transformere serien x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Ved løsning brukte vi formelen = cos x s x to ganger og serieutvidelsen av funksjonen (e x) e 6 Utvid funksjonen f (x) = e x cos x til en potensserie, ved hjelp av serieutvidelsen av funksjonen x() x x x x e = e e = e cos x e s x Løsning x() x() x e = å = å!! = = π cos s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 Den resulterende rekken konvergerer på hele tallaksen, så til x π (x) () cos, og rekken å (x)! 4! =! x< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Finn radius R og konvergenssirkelen til serien 4 Undersøk oppførselen til serien ved grensepunktene til konvergenssirkelen (ved punkter som ligger på sirkelen) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Svar:) R =, serier konvergerer i punktet z = - ;) R =, serier konvergerer absolutt i en lukket sirkel z med sentrum i punktet z = - eller underlagt x (y) ;) R =, serie konvergerer absolutt i en lukket sirkel z eller underlagt x y ; 4) R =, serien konvergerer absolutt i en lukket sirkel z eller under betingelsen x y 9 7 Utvid funksjonen f (x) = e x s x, () x til en potensserie ved hjelp av serieutvidelsen av funksjonen e 8 Sørg for at for ethvert kompleks vil z finne sted formler: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (bruk Eulers formler)

31 LISTE OVER ANBEFALT LESING Grunnlitteratur Piskunov, NS Differensial- og integralregning for høyskoler / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Fundamentals of matematisk analyse / GM Fichtengolts T - St. Petersburg: Lan, 9 Vorobyov 48, 9 NN Teori rows / NN Vorobyov - St. Petersburg: Lan, 8 48 s 4 Skriftlig, DT Forelesningsnotater om høyere matematikk Ch / DT Skriftlig M: Iris-press, 8 5 Høyere matematikk i oppgaver og oppgaver Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ etc.] M: ONICS, 8 C Tilleggslitteratur Kudryavtsev, LD Kurs i matematisk analyse / LD Kudryavtsev TM: Høyere skole, 98 C Khabibullin, MV Komplekse tall: retningslinjer / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6 s Moldova , EA Rader og kompleks analyse: lærebok / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Federal Agency for Education Tomsk State University of Architecture and Civil Engineering

RANKS Khabarovsk 4 4 TALSERIER En tallserie er et uttrykk hvor tallene som danner en uendelig tallsekvens, den generelle termen for rekken, der N (N er settet av naturlige tall) Eksempel

Federal Agency for Education Arkhangelsk State Technical University Fakultet for sivilingeniør RANKS Retningslinjer for gjennomføring av oppgaver for selvstendig arbeid Arkhangelsk

MOSKVA STATE TEKNISK UNIVERSITET FOR SIVIEL LUFTFART V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov MATHEMATICS MANUAL for å studere disiplinen og prøveoppgaver

5 potensserier 5 potensserier: definisjon, konvergensregion Funksjonelle serier av formen (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) hvor, a, a, K, a ,k er noen tall som kalles potensserier Tall

Federal Agency for Education MOSCOW STATE UNIVERSITY OF GEODESY AND CARTOGRAPHY (MIIGAiK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev TUTORIAL FOR STUDENTER PÅ UAVHENGIG STUDIE

Emne Komplekse tallserier Betrakt en tallrekke k ak med komplekse tall av formen En serie kalles konvergent hvis sekvensen S av dens delsummer S a k k konvergerer. Dessuten er grensen S for sekvensen

DEN RUSSISKE FØDERASJONS UDDANNINGSDEPARTEMENT FUNKSJONSTEORIEN TIL EN KOMPLEKS VARIABEL Metodehåndbok Satt sammen av: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Gjennomgang av den metodiske håndboken om funksjonsteorien

8 Komplekse tallserier Betrakt en tallserie med komplekse tall på formen k a, (46) der (a k) er en gitt tallrekke med komplekse ledd k Serie (46) kalles konvergent hvis

Forelesninger utarbeidet av førsteamanuensis Musina MV Definisjon Uttrykk for formen Numerisk og funksjonell serie Tallserier: grunnleggende begreper (), der kalt en tallserie (eller ganske enkelt en serie) Tall, medlemmer av serien (avhenger

Metallurgisk fakultet Institutt for høyere matematikk RANKS Metodologiske instruksjoner Novokuznetsk 5 Federal Agency for Education Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Education Institute of Higher Professional Education Novgorod State University oppkalt etter

Federal Agency for Education Federal State Educational Institute of Higher Professional Education SOUTH FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodologisk

Nummerserie Nummersekvens Def En tallsekvens er en numerisk funksjon definert på settet med naturlige tall x - et generelt medlem av sekvensen x =, x =, x =, x =,

Federal Agency for Education Moscow State University of Geodesy and Cartography (MIIGAiK) METODISKE INSTRUKSJONER OG OPPGAVER FOR UAVHENGIG ARBEID i kurset HØYERE MATEMATIKK Numerisk

METODOLOGISKE INSTRUKSJONER FOR BEREGNINGSOPPGAVER I LØPET AV HØYERE MATEMATIKK «ORDINÆRE DIFFERENSIALLIGNINGER SERIE DOBBELT INTEGRALER» DEL TEMA SERIE Innhold Serie Nummerserie Konvergens og divergens

Federal Agency for Education Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonell utdanning Novgorod State University oppkalt etter Yaroslav Wise Institute of Electronic

Utdanningsdepartementet i Republikken Hviterussland Vitebsk State Technological University Emne. "Rows" Institutt for teoretisk og anvendt matematikk. utviklet av Assoc. E.B. Dunina. Grunnleggende

DEN RUSSISKE FØDERASJONS TRANSPORTDEPARTEMENT FEDERAL STATE EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION ULYANOVSK HIGHER AVIATION SCHOOL OF CIVIL AVIATION INSTITUTE

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Tomsk State Architectural and Construction

Sgups Institutt for høyere matematikk Metodiske instruksjoner for utførelse av standardberegninger “Serie” Novosibirsk 006 Litt teoretisk informasjon Nummerserie Let u ; u ; u ; ; u ; det er et uendelig antall

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON KAZAN STATE ARCHITECTURAL AND CONSTRUCTION UNIVERSITY Institutt for høyere matematikk NUMERISK OG FUNKSJONELL SERIE Retningslinjer for

FOREDRAG N 7. Power series og Taylor series.. Power series..... Taylor series.... 4. Utvidelse av noen elementære funksjoner til Taylor og Maclaurin seriene.... 5 4. Anvendelse av power series... 7 .Strøm

Modulemne Funksjonelle sekvenser og serier Egenskaper for enhetlig konvergens av sekvenser og serier Power-serier Forelesning Definisjoner av funksjonelle sekvenser og serier Ensartet

HVITERUSSISK STATSØKONOMISK UNIVERSITET FAKULTET INSTITUTT FOR ØKONOMISK INFORMASJON OG MATEMATISK ØKONOMI Rader Forelesningsnotater og workshop for økonomistudenter

Utdanningsdepartementet i den russiske føderasjonen Ulyanovsk State Technical University NUMERISK OG FUNKSJONELL SERIES FOURIER SERIES Ulyanovsk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Reviewer Kandidat for fysikk og matematikk

3724 MULTIPLE SERIES AND KURVILINEAR INTEGRALER 1 ARBEIDSPROGRAM AV SEKSJONER “FLERE SERIER OG KURVILINEÆRE INTEGRALER” 11 Nummerserie Begrepet tallserier Egenskaper til nummerserier Nødvendig tegn på konvergens

Kapittelserier Formell notasjon av summen av ledd av en eller annen tallrekke Tallserier kalles tallserier Sum S kalles partielle summer av rekken Hvis det er en grense lim S, S så er serien

Foredrag. Funksjonell serie. Definisjon av en funksjonell serie En serie hvis medlemmer er funksjoner av x kalles funksjonell: u = u (x) + u + K+ u + K = Ved å gi x en viss verdi x,

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin 1 Power-serien. Konvergensradius og konvergensintervall. Konvergensens natur. Integrasjon og differensiering. 1.1 Konvergensradius og konvergensintervall. Funksjonell rekkevidde

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Education Institute of Higher Professional Education "Siberian State Industrial University"

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Education Institute of Higher Professional Education "Siberian State Industrial University"

Matematisk analyse Seksjon: Numeriske og funksjonelle serier Emne: Potensrekker. Utvidelse av en funksjon til en kraftserie Foreleser Rozhkova S.V. 3 34. Power-serie En potensserie er en rekke potenser

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON FEDERAL STATE BUDGET EDUCATIONAL INSTITUTION OF HØYERE PROFESJONELL UDDANNELSE "SAMARA STATE AEROSPACE UNIVERSITY"

UDDANNELSES- OG VITENSKAPSMINISTERIET I DEN RUSSISKE FØDERASJON Nasjonal forskning Nizhny Novgorod State University oppkalt etter NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva RANGE AV ANALYTISKE FUNKSJONER

"Serie"-tester for selvtest Et nødvendig tegn på konvergensen til en serie Teorem et nødvendig tegn på konvergens Hvis serien konvergerer, er lim + Korollary en tilstrekkelig betingelse for divergensen til serien. Hvis lim divergerer serien

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Achinsk-grenen av den føderale statens autonome utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "Siberian Federal University" MATEMATIKK

(funksjonell serie potens serie domene for konvergens rekkefølge for å finne konvergensintervallet - eksempel radius av intervallet av konvergenseksempler) La en uendelig sekvens av funksjoner gis, Funksjonell

Serie Tallserie Generelle begreper Definisjon Hvis hvert naturlig tall er assosiert med et bestemt tall i henhold til en viss lov, kalles settet med nummererte tall en tallrekke,

Utdanningsdepartementet i den russiske føderasjonen MATI - RUSSIAN STATE TECHNOLOGICAL UNIVERSITY oppkalt etter K E TSIOLKOVSKY Institutt for høyere matematikk RANKS Retningslinjer for kursarbeid Satt sammen av:

Forelesning 3 Taylor- og Maclaurin-serier Anvendelse av potensserier Utvidelse av funksjoner til potensserier Taylor- og Maclaurin-serier For applikasjoner er det viktig å kunne utvide en gitt funksjon til en potensserie, disse funksjonene

STATSINSTITUTION FOR HØYERE PROFESJONELL UTDANNING "HVITERUSSISK-RUSSISK UNIVERSITET" Institutt for "Høyere matematikk" HØYERE MATEMATIKK MATEMATIKK MATEMATISK ANALYSE RANKS Metodiske anbefalinger

Tall- og kraftserieleksjon. Nummerserie. Summen av serien. Tegn på konvergens.. Regn ut summen av rekken. 6 Løsning. Summen av leddene til en uendelig geometrisk progresjon q er lik, hvor q er nevneren for progresjonen.

Utdanningsdepartementet i Republikken Hviterussland Utdanningsinstitusjon "Mogilev State University of Food" Institutt for høyere matematikk HØYERE MATEMATIKK Retningslinjer for praktisk

Forelesning 6 Utvidelse av en funksjon til en potensserie Unikhet ved utvidelsen Taylor og Maclaurin-serien Utvidelse til en potensserie av noen elementære funksjoner Anvendelse av potensserier I tidligere forelesninger

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Tomsk State Architectural and Construction

4 Funksjonsserie 4 Grunndefinisjoner La en uendelig sekvens av funksjoner med et felles definisjonsdomene X u), u (), K, u (),K (DEFINISJON Uttrykk u) + u () + K + u () +

ELEMENTER I FUNKSJONSTEORIEN TIL EN KOMPLEKS VARIABEL OPERASJONSBEREGNING Som et resultat av å studere dette emnet skal eleven lære: finne trigonometriske og eksponentielle formene til et komplekst tall iht.

Federal Agency for Education Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning "Ural State Pedagogical University" Fakultet for matematisk avdeling

KAZAN STATE UNIVERSITY Institutt for matematisk statistikk NUMERISK SERIE Utdannings- og metodologisk håndbok KAZAN 008 Publisert etter vedtak fra seksjonen av Scientific and Methodological Council ved Kazan University

Funksjonell serie Funksjonell serie, dens sum og domene av funksjonelle o La en sekvens av funksjoner k gis i domenet Δ av reelle eller komplekse tall (k 1 En funksjonell serie kalles

Federal Agency for Education MOSCOW STATE UNIVERSITY OF GEODESY AND CARTOGRAPHY (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova TUTORIAL FOR STUDENTER FOR UAVHENGIG STUDIE AV SEKSJONEN

Kapittel Potensrekke a a a En rekke av formen a a a a a () kalles en potensrekke, der, a, er konstanter kalt koeffisienter av rekken. Noen ganger vurderes en potensrekke av en mer generell form: a a(a) a(a) a(a) (), hvor

FOREDRAG N34. Tallserier med komplekse ledd. Kraftserier i det komplekse domenet. Analytiske funksjoner. Inverse funksjoner..numeriske serier med komplekse termer.....potensrekker i det komplekse domenet....

Alternativ Oppgave Regn ut verdien av funksjonen, gi svaret på algebraisk form: a sh ; b l Løsning a La oss bruke formelen for sammenhengen mellom trigonometrisk sinus og hyperbolsk sinus: ; sh -s Få

Federal Agency for Education Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning Ukhta State Technical University KOMPLEKSE NUMMER Retningslinjer

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION FOR HØYERE PROFESJONELL UTDANNELSE "SAMARA STATE TECHNICAL UNIVERSITY" Institutt for anvendt matematikk

Funksjonell serie Forelesninger 7-8 1 Konvergensområde 1 En serie med formen u () u () u () u (), 1 2 u () hvor funksjonene er definert på et bestemt intervall kalles en funksjonell serie . Settet med alle punkter

Federal Agency for Education Statlig utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning Ukhta State Technical University (USTU) GRENSEFUNKSJONER Metodologisk

FOREDRAG Ekvivalente infinitesimaler Første og andre bemerkelsesverdige grense Sammenligning av uendelig store og infinitesimale funksjoner Funksjon f () kalles infinitesimal i et punkt a (ved a) hvis (

Utdannings- og vitenskapsdepartementet i den russiske føderasjonen Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Tomsk State Architectural and Construction

Forelesning Tallserie Tegn på konvergens Tallserie Tegn på konvergens Et uendelig uttrykk for en tallsekvens + + + +, satt sammen av ledd av en uendelig en, kalles en tallserie Tall,

EV Nebogina, OS Afanasyeva SERIES PRACTICUM I HØYERE MATEMATIKK Samara 9 FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION STATLIG UTDANNINGSINSTITUTION FOR HØYERE PROFESJONELL UTDANNELSE “SAMARSKY”

Kapittel III INTEGRALBEREGNING AV FUNKSJONER FOR FLERE VARIABLER, FUNKSJONER AV EN KOMPLEKS VARIABEL, SERIE Doble integraler LITTERATUR: , kap. ,glii; , Kapittel XII, 6 For å løse problemer om dette emnet er det nødvendig,