Online kartlegging. Hvordan tegne en funksjon plotte punkter på et koordinatplan

Bygge funksjon

Vi tilbyr din oppmerksomhet en tjeneste for å konstruere grafer over funksjoner online, alle rettigheter som tilhører selskapet Desmos. Bruk venstre kolonne for å legge inn funksjoner. Du kan gå inn manuelt eller ved å bruke det virtuelle tastaturet nederst i vinduet. For å forstørre vinduet med grafen kan du skjule både venstre kolonne og det virtuelle tastaturet.

Fordeler med online kartlegging

Visuell visning av innlagte funksjoner
Bygger veldig komplekse grafer
Konstruksjon av grafer spesifisert implisitt (for eksempel ellipse x^2/9+y^2/16=1)
Muligheten til å lagre diagrammer og motta en lenke til dem, som blir tilgjengelig for alle på Internett
Kontroll av skala, linjefarge
Mulighet for å plotte grafer etter punkter, ved hjelp av konstanter
Plotte flere funksjonsgrafer samtidig
Plotte i polare koordinater (bruk r og θ(\theta))

Hos oss er det enkelt å bygge diagrammer av ulik kompleksitet på nettet. Byggingen gjøres umiddelbart. Tjenesten er etterspurt for å finne skjæringspunkter for funksjoner, for å avbilde grafer for å flytte dem videre inn i et Word-dokument som illustrasjoner ved problemløsning, og for å analysere atferdstrekk ved funksjonsgrafer. Den optimale nettleseren for å arbeide med diagrammer på denne nettsiden er Google Chrome. Riktig drift er ikke garantert når du bruker andre nettlesere.

Tidligere studerte vi andre funksjoner, for eksempel lineære, la oss huske standardformen:

derav den åpenbare grunnleggende forskjellen - i den lineære funksjonen X står i første grad, og i den nye funksjonen begynner vi å studere, X står til andre potens.

Husk at grafen til en lineær funksjon er en rett linje, og grafen til en funksjon, som vi vil se, er en kurve som kalles en parabel.

La oss starte med å finne ut hvor formelen kom fra. Forklaringen er denne: hvis vi får et kvadrat med side EN, så kan vi beregne arealet slik:

Hvis vi endrer lengden på siden av et kvadrat, vil arealet endres.

Så dette er en av grunnene til at funksjonen studeres

Husk at variabelen X- dette er en uavhengig variabel, eller argument i en fysisk tolkning, det kan for eksempel være tid; Avstand er tvert imot en avhengig variabel den avhenger av tid. Den avhengige variabelen eller funksjonen er en variabel på.

Dette er loven om korrespondanse, i henhold til hvilken hver verdi X en enkelt verdi tildeles på.

Enhver korrespondanselov må tilfredsstille kravet om unikhet fra argument til funksjon. I en fysisk tolkning ser dette ganske klart ut ved å bruke eksempelet på avstandens avhengighet av tid: i hvert øyeblikk er vi i en viss avstand fra utgangspunktet, og det er umulig å være både 10 og 20 kilometer fra begynnelsen av reisen samtidig på tidspunkt t.

Samtidig kan hver funksjonsverdi oppnås med flere argumentverdier.

Så vi må bygge en graf av funksjonen, for dette må vi lage en tabell. Studer deretter funksjonen og dens egenskaper ved hjelp av grafen. Men selv før vi konstruerer en graf basert på typen funksjon, kan vi si noe om dens egenskaper: det er åpenbart at på kan ikke ta negative verdier, siden

Så la oss lage en tabell:

Ris. 1

Fra grafen er det lett å merke seg følgende egenskaper:

Akser på- dette er symmetriaksen til grafen;

Toppunktet til parabelen er punkt (0; 0);

Vi ser at funksjonen kun aksepterer ikke-negative verdier;

I intervallet hvor funksjonen avtar, og på intervallet hvor funksjonen øker;

Funksjonen får sin minste verdi ved toppunktet, ;

Det er ingen største verdi av en funksjon;

Eksempel 1

Betingelse:

Løsning:

Fordi det X ved tilstandsendringer på et spesifikt intervall kan vi si om funksjonen at den øker og endres på intervallet . Funksjonen har en minimumsverdi og en maksimumsverdi på dette intervallet

Ris. 2. Graf for funksjonen y = x 2 , x ∈

Eksempel 2

Betingelse: Finn den største og minste verdien av en funksjon:

Løsning:

X endringer over intervallet, som betyr på avtar på intervallet mens og øker på intervallet mens .

Så, grensene for endring X, og grensene for endring på, og derfor er det på et gitt intervall både en minimumsverdi for funksjonen og et maksimum

Ris. 3. Graf for funksjonen y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

La oss illustrere det faktum at samme funksjonsverdi kan oppnås med flere argumentverdier.

En funksjonsgraf er en visuell representasjon av oppførselen til en funksjon på et koordinatplan. Grafer hjelper deg å forstå ulike aspekter ved en funksjon som ikke kan bestemmes ut fra selve funksjonen. Du kan bygge grafer av mange funksjoner, og hver av dem vil få en spesifikk formel. Grafen til enhver funksjon bygges ved hjelp av en spesifikk algoritme (hvis du har glemt den nøyaktige prosessen med å tegne en spesifikk funksjon).

Trinn

Tegne en lineær funksjon

Bestem om funksjonen er lineær. Den lineære funksjonen er gitt av en formel av formen F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) eller y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(for eksempel ), og grafen er en rett linje. Dermed inkluderer formelen én variabel og én konstant (konstant) uten noen eksponenter, rottegn eller lignende. Gitt en funksjon av lignende type, er det ganske enkelt å plotte en graf av en slik funksjon. Her er andre eksempler på lineære funksjoner:

Bruk en konstant for å markere et punkt på Y-aksen. Konstanten (b) er "y"-koordinaten til punktet der grafen skjærer Y-aksen. Det vil si at det er et punkt hvis "x"-koordinat er lik 0. Hvis x = 0 blir erstattet med formelen. , så y = b (konstant). I vårt eksempel y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanten er lik 5, det vil si at skjæringspunktet med Y-aksen har koordinater (0,5). Plott dette punktet på koordinatplanet.

Finn helningen på linjen. Den er lik multiplikatoren til variabelen. I vårt eksempel y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) med variabelen "x" er det en faktor på 2; dermed er helningskoeffisienten lik 2. Helningskoeffisienten bestemmer helningsvinkelen til den rette linjen til X-aksen, det vil si at jo større helningskoeffisienten er, jo raskere øker eller minker funksjonen.

Skriv helningen som en brøk. Vinkelkoeffisienten er lik tangenten til helningsvinkelen, det vil si forholdet mellom den vertikale avstanden (mellom to punkter på en rett linje) og den horisontale avstanden (mellom de samme punktene). I vårt eksempel er helningen 2, så vi kan slå fast at den vertikale avstanden er 2 og den horisontale avstanden er 1. Skriv dette som en brøk: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Hvis helningen er negativ, avtar funksjonen.

Fra punktet der den rette linjen skjærer Y-aksen, plott et andre punkt ved å bruke vertikale og horisontale avstander. En lineær funksjon kan tegnes med to punkter. I vårt eksempel har skjæringspunktet med Y-aksen koordinater (0,5); Fra dette tidspunktet flytter du 2 felt opp og deretter 1 felt til høyre. Merk et punkt; den vil ha koordinater (1,7). Nå kan du tegne en rett linje.

Bruk en linjal til å tegne en rett linje gjennom to punkter. For å unngå feil, finn det tredje punktet, men i de fleste tilfeller kan grafen plottes med to punkter. Dermed har du plottet en lineær funksjon.

Plotte punkter på koordinatplanet
1. Definer en funksjon. Funksjonen er betegnet som f(x). Alle mulige verdier av variabelen "y" kalles funksjonens domene, og alle mulige verdier av variabelen "x" kalles funksjonens domene. Tenk for eksempel på funksjonen y = x+2, nemlig f(x) = x+2.
  
  Tegn to kryssende vinkelrette linjer. Den horisontale linjen er X-aksen. Den vertikale linjen er Y-aksen.
  
  Merk koordinataksene. Del hver akse i like segmenter og nummerer dem. Skjæringspunktet for aksene er 0. For X-aksen: positive tall plottes til høyre (fra 0), og negative tall til venstre. For Y-aksen: positive tall er plottet på toppen (fra 0), og negative tall på bunnen.
  
  Finn verdiene til "y" fra verdiene til "x". I vårt eksempel er f(x) = x+2. Bytt ut spesifikke x-verdier i denne formelen for å beregne de tilsvarende y-verdiene. Hvis gitt en kompleks funksjon, forenkle den ved å isolere "y" på den ene siden av ligningen.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Tegn punktene på koordinatplanet. For hvert par koordinater gjør du følgende: finn den tilsvarende verdien på X-aksen og tegn en vertikal linje (stiplet); finn den tilsvarende verdien på Y-aksen og tegn en horisontal linje (stiplet linje). Marker skjæringspunktet mellom de to stiplede linjene; dermed har du plottet et punkt på grafen.
  
  Slett de stiplede linjene. Gjør dette etter å ha plottet alle punktene på grafen på koordinatplanet. Merk: grafen til funksjonen f(x) = x er en rett linje som går gjennom koordinatsenteret [punkt med koordinater (0,0)]; grafen f(x) = x + 2 er en linje parallell med linjen f(x) = x, men forskjøvet oppover med to enheter og går derfor gjennom punktet med koordinater (0,2) (fordi konstanten er 2) .
Tegne en kompleks funksjon

Å konstruere grafer over funksjoner som inneholder moduler forårsaker vanligvis betydelige vanskeligheter for skolebarn. Alt er imidlertid ikke så verst. Det er nok å huske noen få algoritmer for å løse slike problemer, og du kan enkelt bygge en graf av selv den mest tilsynelatende komplekse funksjonen. La oss finne ut hva slags algoritmer dette er.

1. Tegn en graf for funksjonen y = |f(x)|

Merk at settet med funksjonsverdier y = |f(x)| : y ≥ 0. Dermed er grafene til slike funksjoner alltid plassert helt i det øvre halvplanet.

Plotte en graf for funksjonen y = |f(x)| består av følgende enkle fire trinn.

1) Konstruer forsiktig og nøye en graf for funksjonen y = f(x).

2) La alle punkter på grafen som er over eller på 0x-aksen være uendret.

3) Vis den delen av grafen som ligger under 0x-aksen symmetrisk i forhold til 0x-aksen.

Eksempel 1. Tegn en graf av funksjonen y = |x 2 – 4x + 3|

1) Vi bygger en graf av funksjonen y = x 2 – 4x + 3. Det er klart at grafen til denne funksjonen er en parabel. La oss finne koordinatene til alle skjæringspunktene til parabelen med koordinataksene og koordinatene til parabelens toppunkt.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Derfor skjærer parablen 0x-aksen i punktene (3, 0) og (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Derfor skjærer parablen 0y-aksen i punktet (0, 3).

Parabelens toppunktkoordinater:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Derfor er punkt (2, -1) toppunktet til denne parabelen.

Tegn en parabel ved å bruke dataene som er oppnådd (Figur 1)

2) Den delen av grafen som ligger under 0x-aksen vises symmetrisk i forhold til 0x-aksen.

3) Vi får en graf av den opprinnelige funksjonen ( ris. 2, vist som en stiplet linje).

2. Tegne grafen for funksjonen y = f(|x|)

Merk at funksjoner av formen y = f(|x|) er partall:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Dette betyr at grafene til slike funksjoner er symmetriske om 0y-aksen.

Å tegne en graf for funksjonen y = f(|x|) består av følgende enkle kjede av handlinger.

1) Tegn grafen for funksjonen y = f(x).

2) La den delen av grafen være for x ≥ 0, det vil si den delen av grafen som ligger i høyre halvplan.

3) Vis delen av grafen spesifisert i punkt (2) symmetrisk til 0y-aksen.

4) Som den siste grafen, velg foreningen av kurvene oppnådd i punkt (2) og (3).

Eksempel 2. Tegn en graf for funksjonen y = x 2 – 4 · |x| + 3

Siden x 2 = |x| 2, så kan den opprinnelige funksjonen skrives om i følgende form: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Nå kan vi bruke algoritmen foreslått ovenfor.

1) Vi bygger nøye og forsiktig en graf av funksjonen y = x 2 – 4 x + 3 (se også ris. 1).

2) Vi lar den delen av grafen være x ≥ 0, det vil si den delen av grafen som ligger i høyre halvplan.

3) Vis høyre side av grafen symmetrisk til 0y-aksen.

(Fig. 3).

Eksempel 3. Tegn en graf for funksjonen y = log 2 |x|

Vi bruker ordningen gitt ovenfor.

1) Bygg en graf av funksjonen y = log 2 x (Fig. 4).

3. Plott funksjonen y = |f(|x|)|

Merk at funksjoner av formen y = |f(|x|)| er også jevne. Faktisk, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), og derfor er grafene deres symmetriske om 0y-aksen. Settet med verdier for slike funksjoner: y ≥ 0. Dette betyr at grafene til slike funksjoner er plassert helt i det øvre halvplanet.

For å plotte funksjonen y = |f(|x|)|, må du:

1) Konstruer nøye en graf for funksjonen y = f(|x|).

2) La den delen av grafen som er over eller på 0x-aksen uendret.

3) Vis den delen av grafen som ligger under 0x-aksen symmetrisk i forhold til 0x-aksen.

4) Som den siste grafen, velg foreningen av kurvene oppnådd i punkt (2) og (3).

Eksempel 4. Tegn en graf for funksjonen y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Merk at x 2 = |x| 2. Dette betyr at i stedet for den opprinnelige funksjonen = -x 2 + 2|x| - 1

du kan bruke funksjonen y = -|x| 2 + 2|x| – 1, siden deres grafer er sammenfallende.

Vi bygger en graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Til dette bruker vi algoritme 2.

a) Tegn grafen for funksjonen y = -x 2 + 2x – 1 (Fig. 6).

b) Vi forlater den delen av grafen som er plassert i høyre halvplan.

c) Vi viser den resulterende delen av grafen symmetrisk til 0y-aksen.

d) Den resulterende grafen er vist med den stiplede linjen i figuren (Fig. 7).

2) Det er ingen punkter over 0x-aksen vi lar punktene på 0x-aksen være uendret.

3) Den delen av grafen som ligger under 0x-aksen vises symmetrisk i forhold til 0x.

4) Den resulterende grafen er vist i figuren med en stiplet linje (Fig. 8).

Eksempel 5. Tegn grafen for funksjonen y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Først må du plotte funksjonen y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). For å gjøre dette går vi tilbake til Algoritme 2.

a) Plot forsiktig funksjonen y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig. 9).

Legg merke til at denne funksjonen er brøk lineær og grafen er en hyperbel. For å plotte en kurve må du først finne asymptotene til grafen. Horisontal – y = 2/1 (forholdet mellom koeffisientene til x i telleren og nevneren til brøken), vertikal – x = -3.

2) Vi vil la den delen av grafen som er over 0x-aksen eller på den være uendret.

3) Den delen av grafen som ligger under 0x-aksen vil vises symmetrisk i forhold til 0x.

4) Den endelige grafen er vist i figuren (Fig. 11).

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Online kartlegging. Hvordan tegne en funksjon plotte punkter på et koordinatplan

Bygge funksjon

Fordeler med online kartlegging

Trinn

Tegne en lineær funksjon

Plotte punkter på koordinatplanet

Tegne en kompleks funksjon