Sērija ar sarežģītiem terminiem. Sērijas kompleksajā domēnā Skaitļu sērijas ar kompleksajiem skaitļiem

463. Kāda ir nevienādību ģeometriskā nozīme: 1) Re z > 0; 2) Esmu z< 0 ?

2. Sērija ar sarežģītiem terminiem. Apsveriet komplekso skaitļu secību z 1 , z 2 , z 3, ..., kur z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Pastāvīgs skaitlis c = a + bi sauca ierobežojums sekvences z 1 , z 2 , z 3 , ..., ja kādam patvaļīgi mazam skaitlim δ>0 ir tāds numurs N, kāda ir nozīme z lpp ar cipariem n > N apmierināt nevienlīdzību \z lpp-ar\< δ . Šajā gadījumā viņi raksta .

Nepieciešams un pietiekams nosacījums komplekso skaitļu virknes limita pastāvēšanai ir šāds: skaitlis c=a+bi ir komplekso skaitļu virknes robeža x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … ja un tikai tad , .

(1)

kuras locekļi ir kompleksie skaitļi tiek izsaukts saplūstošs, Ja nth sērijas S n daļēja summa at p → ∞ tiecas uz noteiktu galīgo robežu. Pretējā gadījumā tiek izsaukta sērija (1). atšķiras.

Sērijas (1) konverģē tad un tikai tad, ja rindas ar reāliem rādītājiem saplūst

(2) Izpētīt rindas konverģenci Šī rinda, kuras noteikumi veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju, saplūst; tāpēc dotā rinda ar sarežģītiem terminiem saplūst absolūti. ^

474. Atrodiet sērijas konverģences apgabalu

Atšifrējums

1 Federālā izglītības aģentūra Tomskas Valsts Arhitektūras un inženierzinātņu universitāte RINDAS AR KOMPLEKTIEM LOCEKĻIEM Patstāvīgā darba vadlīnijas Sastādījis LI Lesņaks, VA Starenčenko Tomska

2 rindas ar sarežģītiem locekļiem: metodiskie norādījumi / Sastādījis LI Lesņaks, VA Starenčenko - Tomska: Tomskas Valsts arhitektūras un būvniecības universitātes izdevniecība, ar recenzentu profesoru NN Belovu redaktoru EY Glotovu Metodiskie norādījumi paredzēti visu 1. kursa studentu pašmācībai. specialitāšu tēmas JNF disciplīnas “Matemātika” sērija ar kompleksajiem dalībniekiem Publicēts saskaņā ar Augstākās matemātikas katedras metodiskā semināra lēmumu, 4. marta protokols Apstiprināts un stājies spēkā akadēmisko lietu prorektors VV Dzjubo. no 5 līdz 55 Oriģinālo maketu sagatavojis autors Parakstīts drukāšanai Formāts 6 84/6 Ofseta papīrs Burtu laiki Mācību izdevums l, 6 Tirāža 4 Pasūtījums Izdevniecība TGASU, 64, Tomska, Soļanaja kv., Drukāts no oriģinālā maketa g. OOP TGASU 64, Tomska, Partizanskaya st., 5

3 SĒRIJA AR KOMPLEKTIEM TERMINIEM TĒMA Skaitļu sērijas ar kompleksajiem terminiem Atgādiniet, ka kompleksie skaitļi ir skaitļi formā z = x y, kur x un y ir reāli skaitļi, un iedomātā vienība, ko nosaka vienādība = - Skaitļus x un y sauc par skaitļa z reālās un iedomātās daļas attiecīgi un apzīmē x = Rez, y = Imz Acīmredzot starp XOU plaknes punktiem M(x, y) ar Dekarta ortogonālo koordinātu sistēmu un kompleksajiem skaitļiem formā z = x y, ir atbilstība viens pret vienu XOU plakni sauc par komplekso plakni, un z sauc par šīs plaknes punktu. Reālie skaitļi atbilst abscisu asij, ko sauc par reālo asi, un skaitļi formā z = y atbilst uz ordinātu asi, ko sauc par iedomāto asi Ja punkta M(x,y) polārās koordinātas apzīmē ar r un j, tad x = r cosj, y = r s j un skaitlis z tiks ierakstīts forma: z = r (cosj sj), kur r = x y Šo kompleksā skaitļa rakstīšanas formu sauc par trigonometrisko, z rakstīšanu formā z = x y sauc par rakstīšanas algebrisko formu Skaitli r sauc par skaitļa moduli z, skaitlis j ir arguments (punktā z = argumenta jēdziens nav paplašināts) Skaitļa z modulis ir unikāli noteikts pēc formulas z = x y Arguments j ir unikāli noteikts tikai ar papildu nosacījumu - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 cipari z (att.) Jāatceras, ka y arq z - π tiek izteikts caur< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, ja x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, ja x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (att.) М y r = j = p x att. Trigonometriskā formā skaitlis z = - tiks rakstīts šādā formā: - = сos π s π и Ieteicams pašiem atkārtot darbības ar kompleksajiem skaitļiem Ļaujiet mums tikai atcerieties formulu skaitļa z palielināšanai pakāpē: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Teorijas galvenie jautājumi Īsas atbildes Rikas ar sarežģītiem terminiem definīcija Sērijas konverģences jēdziens Nepieciešamais konverģences nosacījums Definīcija Dota komplekso skaitļu secība z ) = ( x y ) = z, z, z, A formas simbols ( å = z sauc par sēriju, z ir sērijas vispārīgs jēdziens Sērijas daļējās summas jēdzieni, tās konverģence un diverģence pilnībā atbilst līdzīgiem jēdzieniem sērijām ar reāliem vārdiem. Parciālās kārtas secība sērijas summām ir šāda forma: S = z; S = z z; S = z z z; Ja $lm S un šī robeža ir ierobežota un vienāda ar skaitli S , sēriju sauc par konverģentu un skaitli S sauc par summu sēriju, pretējā gadījumā sēriju sauc par atšķirīgām. Atgādinām, ka mūsu izmantotā komplekso skaitļu virknes robežas definīcija formāli neatšķiras no reālu skaitļu virknes robežas definīcijas: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 sērijas vispārīgā termina z nulle pie Tas nozīmē, ka, ja šis nosacījums tiek pārkāpts, tas ir, ja lm z ¹, rinda atšķiras, bet, ja lm z =, jautājums par rindas konverģenci paliek atklāts. ir iespējams izpētīt rindu å (x = konverģencei, pētot x un å = rindas å = konverģenci ar reāliem vārdiem? y, un ja å x = S = kur å S = (x y) = å = x u , un y = S, tad S = S S, saplūst - Piemērs Pārliecinieties, ka virkne å = è () xia, un atrodiet, ka tās summa ir 7

8 Risinājums Rinda å saplūst, t k ~ = () () kad šīs rindas summa S ir vienāda ar (nodaļa, tēma, n) Rinda å saplūst kā bezgalīgi dilstoša ģeometriskā = progresija, ar å = () и S b = - q = saplūst, un tās summa Tādējādi sērija S = Piemēru sērija å novirzās, t k diverģē = è! harmoniku sērija å Šajā gadījumā pārbaudiet virkni å = konverģenci! nav jēgas Piemērs Rinda å π tg atšķiras, jo = è rindai å π tg tiek pārkāpts nepieciešamais konverģences nosacījums = π lm tg = p ¹ и 8

9 Kādas īpašības piemīt konverģentām rindām ar sarežģītiem terminiem? Īpašības ir tādas pašas kā konverģentām rindām ar reāliem vārdiem Ieteicams atkārtot īpašības 4 Vai pastāv absolūtās konverģences jēdziens sērijai ar sarežģītiem terminiem? Teorēma (pietiekams nosacījums rindas konverģencei) Ja rinda å = z saplūst, tad saplūst arī rinda å = z Rindas å = z absolūtās konverģences jēdziens formāli izskatās tieši tāds pats kā sērijām ar reālām Definīcija Sēriju å = z sauc par absolūti konverģentu, ja rinda saplūst å = z Piemērs Pierādīt rindas absolūto konverģenci () () () 4 8 Risinājums Izmantosim skaitļa rakstīšanas trigonometrisko formu: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 Tad π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и Atliek pārbaudīt virkni å z konverģencei = = Šī ir bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija ar saucēju; šāda progresija saplūst, un līdz ar to rindas konverģē absolūti Pierādot absolūto konverģenci, bieži izmanto teorēmu Teorēma Lai rinda å = y (x) saplūstu absolūti, ir nepieciešams un pietiekami, lai abas rindas å = būtu absolūti Piemēru sērija å = (-) è cosπ ! x un å = y saplūst absolūti, t k saplūst absolūti å (-), un rindas å cosπ absolūtā konverģence = ir viegli pierādāma: =!

11 cosπ, un rinda ir å!! =! saplūst pēc d'Alemberta kritērija Pēc salīdzināšanas kritērija rinda å cosπ saplūst Þ sērija å =! saplūst absolūti cosπ =! Problēmu risināšana Pārbaudiet konverģenci 4. sērijā: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и и ;! Risinājums å = è l l Virkne atšķiras, jo virkne å atšķiras, ko viegli noteikt ar salīdzināšanas testu: >, un harmoniku = l l sērija å, kā zināms, atšķiras.Ņemiet vērā, ka ar = šajā gadījumā virkne å pamatojoties uz integrāļa Košī testu = l saplūst å (-) = è! l

12 Sērija saplūst, tātad uz å =! konverģē, pamatojoties uz d'Alemberta robežpārbaudi, un rinda å (-) saplūst saskaņā ar teorēmu = l Leibnics å α π - π cos tg = и и Acīmredzot, rindas uzvedība būs atkarīga no eksponenta α Let mēs rakstām virkni, izmantojot formulu β - cosβ = s: å α π π s tg = и Pie α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = Sērija α å и и 4 = saplūdīs ar nosacījumu, ka α >, t.i., ja α >, un novirzīsies α vai for konverģēs, jo π π tg ~ α sērijai å = α α π tg α

13 Tādējādi sākotnējā sērija saplūdīs un novirzīsies pie α 4 å = и и! α > Sērijas å konverģenci pārbauda, ​​izmantojot = è Košī robežpārbaudi: lm = lm = > Þ è sērijas atšķiras Þ e è Þ novirzīsies un sākotnējās sērijas 5 sērijas 5 sērija 6 tiek pārbaudīta absolūtajai konverģencei π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = 5. risinājums å = π cos()! å = - π cos saplūst absolūti, tātad uz (-)! saplūst pēc salīdzināšanas kritērija: π cos, un sēriju å (-)! (-)! = (-)! saplūst saskaņā ar d'Alemberta testu

14 4 6 å =!) 8 (Uz rindu!) 8 (å = lietot d'Alemberta zīmi:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Pārbaudiet 7. sēriju absolūtai konverģencei 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Atbildes: 7, 8 saplūst absolūti , 9 atšķiras, nesaplūst absolūti

16 TĒMA Pakāpju rindas ar sarežģītiem terminiem Pētot sadaļu “Funkcionālās rindas”, tika detalizēti aplūkotas sērijas, kuru termini bija noteiktas reāla mainīgā funkciju secības dalībnieki.Vispievilcīgākās (īpaši lietojumu ziņā) bija pakāpju rindas, t.i., rindas formā å = a (x-x) Tika pierādīts (Ābela teorēma), ka katrai pakāpju rindai ir konverģences intervāls (x - R, x R), kurā rindas summa S (x) ir nepārtraukta un ka pakāpju rindas konverģences intervālā var atšķirt pēc termina un integrētas pēc termina. Šīs ir pakāpju rindu ievērojamās īpašības, kas ir pavērušas visplašākās iespējas to daudzajiem pielietojumiem. Šajā tēmā aplūkosim pakāpju rindas nevis ar reāliem, bet ar sarežģītiem terminiem 6 Teorijas galvenie jautājumi Īsās atbildes Pakāpju rindas definīcija Pakāpju rinda ir funkcionāla virkne formā å = a (z - z), (), kur a un z ir doti kompleksie skaitļi, un z ir komplekss mainīgais. Īpašā gadījumā, kad z =, pakāpju rindai ir forma å = a z ()

17 Acīmredzot virkne () tiek reducēta uz sēriju (), ieviešot jaunu mainīgo W = z - z, tāpēc mēs galvenokārt aplūkosim sērijas () formā. Ābela teorēma Ja pakāpju rinda () konverģē pie z = z ¹, tad tas saplūst un turklāt absolūti jebkuram z, kuram z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Ābela teorēmai ir secinājums, kas nosaka, ka, ja virkne å = a z atšķiras * z = z, tad tā atšķirsies arī jebkuram z, kuram * z > z Vai ir rādiusa jēdziens pakāpju rindām () un ( ) konverģence? Jā, ir konverģences rādiuss R, skaitlis, kuram ir īpašība, ka visiem z, kuriem z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, sērija () atšķiras 4 Kāds ir sērijas () konverģences reģions? Ja R ir sērijas () konverģences rādiuss, tad punktu kopa z, kurai z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Vai ir iespējams atrast konverģences rādiusu a, izmantojot formulas R = lm un R = lm, a a kas notika pakāpju rindām ar reāliem vārdiem? Ir iespējams, ja šīs robežas pastāv Ja izrādīsies, ka R =, tas nozīmēs, ka rinda () saplūst tikai punktā z = vai z = z sērijai () Ja R = rinda konverģēs uz visu kompleksā plakne Piemērs Atrast sērijas konverģences rādiusu å z = a Risinājums R = lm = lm = a Tādējādi rinda saplūst rādiusa riņķa iekšpusē Piemērs ir interesants, jo uz apļa x y robežas< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Atgādinām, ka pakāpju rindas å = a x savā konverģences intervālā saplūst ne tikai absolūti, bet arī vienmērīgi Līdzīgs apgalvojums attiecas arī uz rindu å = a z: ja pakāpju rinda saplūst un tās konverģences rādiuss ir vienāds ar R, tad šī sērija jebkurā slēgtā lokā z r ar nosacījumu, ka r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 aplī ar rādiusu R > rindas konverģence, tad šī rinda ir funkcijas f (z) Teilora rinda, t.i., f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Rindas å = () f (z) a = koeficienti! f () a (z - z) aprēķina pēc formulas Atgādiniet, ka atvasinājuma f (z) definīcija formāli ir dota tieši tādā pašā veidā kā reāla mainīgā funkcijai f (x), t.i., f (z) ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Funkcijas f (z) diferencēšanas noteikumi ir tādi paši kā reāla mainīgā 7 funkcijas diferencēšanas noteikumi Kādā gadījumā ir funkcija f (z) sauc par analītisko punktā z? Analītiskas funkcijas jēdziens punktā z ir sniegts pēc analoģijas ar funkcijas f (x) jēdzienu, kas ir reāla analītiska punktā x. Definīcija F (z) funkciju sauc par analītisko punktā z, ja tāda pastāv. R > tāds, ka aplī z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Mēs vēlreiz uzsveram, ka funkcijas f (z) analītiskais attēlojums punktā z pakāpju rindas veidā ir unikāls, un šī rinda ir tās Teilora rinda, tas ir, rindas koeficientus aprēķina pēc formula () f (z) a =! 8 Kompleksa mainīgā elementārās pamatfunkcijas Reāla mainīgā funkciju pakāpju rindas teorijā iegūts funkcijas e x sērijas izvērsums: = å x x e, xî(-,) =! Risinot 5. punkta piemēru, pārliecinājāmies, ka virkne å z saplūst visā kompleksajā plaknē Īpašā gadījumā z = x tās summa ir vienāda ar e x Šis fakts ir pamatā sekojošam - =! šāda ideja: kompleksām z vērtībām funkcija е z pēc definīcijas tiek uzskatīta par sērijas å z summu Tādējādi =! z e () def å z = =! Funkciju ch z un sh z x - x definīcija Tā kā ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 un funkcija e z tagad ir definēta visiem kompleksajiem z, tad ir dabiski ņemt ch z = visā kompleksajā plaknē, def z - z e e def z - z e - e sh z = Tādējādi: z -z k e - e z sh z = = hiperboliskais sinuss ; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hiperboliskais kosinuss; k = (k)! shz th z = hiperboliskais tangenss; chz chz cth z = hiperboliskā kotangenta shz Funkciju s z un cos z definīcija Izmantosim agrāk iegūtos paplašinājumus: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! rindas saplūst visā skaitļu rindā Aizstājot x šajās rindās ar z, mēs iegūstam pakāpju rindas ar kompleksiem vārdiem, kuras, kā ir viegli parādīt, saplūst visā kompleksajā plaknē. Tas ļauj jebkurai kompleksai z noteikt funkcijas s z un cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Sakarība starp eksponenciālo funkciju un trigonometriskajām funkcijām kompleksajā plaknē Aizstāšana rindā å z z e = =! z ar z un pēc tam ar z, mēs iegūstam: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Tā kā e ()) e k k = (-, mums būs: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) Tādējādi: z -z z -z e e e - e сos z =;s z = (6) No iegūtajām formulām izriet vēl viena ievērojama formula: z сos z s z = e (7) Formulas (6) un (7) sauc par Eilera formulām. Ņemiet vērā, ka šīs formulas der arī reālajam z. Īpašā gadījumā z = j, kur j ir reāls skaitlis, formulai (7) būs šāda forma: j cos j sj = e (8) Tad kompleksais skaitlis z = r (cos j s j) tiks uzrakstīts formā : j z = re (9) Formulu (9) sauc par kompleksā skaitļa rakstīšanas eksponenciālo formu z 4

25 Formulas, kas savieno trigonometriskās un hiperboliskās funkcijas Viegli pierādāmas šādas formulas: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z Pierādīsim pirmo un ceturto formulu (ieteicams pierādīt otro). un trešais pats) Izmantosim formulas ( 6) Eilers: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z Izmantojot formulas sh z = s z un ch z = cos z, no pirmā acu uzmetiena ir viegli pierādīt funkciju s z un cos z pārsteidzošu īpašību. Atšķirībā no funkcijām y = s x un y = cos x, funkcijas s z un cos z nav ierobežotas absolūtā vērtībā Faktiski, ja norādītajās formulās, konkrēti, z = y, tad s y = sh y, cos y = ch y Tas nozīmē, ka uz iedomātā ass s z un cos z absolūtā vērtībā nav ierobežotas Interesanti, ka s z un cos z der visas formulas, līdzīgi kā trigonometrisko funkciju s x un cos x formulas.Dotās formulas diezgan bieži tiek izmantotas pētot konverģences rindas Piemērs Pierādīt rindas absolūto konverģenci å s = Risinājums Mēs pārbaudām virkni å konverģences noteikšanai s = Kā tika atzīmēts, funkcija s z, kas robežojas ar iedomāto asi, nav 5

26 ir, tāpēc mēs nevaram izmantot salīdzināšanas kritēriju. Mēs izmantosim formulu s = sh. Tad å = å s sh = = Mēs pētām sēriju å sh =, izmantojot D'Alemberta kritēriju: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () jo lm =, no moduļiem saplūst ar nosacījumu 8 - = 8 = Tādējādi sērija z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >riņķa punkti z = - saplūst, un ārpus šī apļa, tas ir, rinda atšķiras. Mēs pētām rindas uzvedību pie z =, kuras vienādojumam Dekarta koordinātu sistēmā ir forma x (y) = Pie z = 9 absolūto vērtību virknei būs šāda forma: å 8 - = å = = ka šī sērija slēgtā lokā Rezultātā iegūtā rinda saplūst, tas nozīmē, ka z saplūst absolūti Pierādiet, ka funkcija å z z e = ir periodisks ar periodu π (šī funkcijas e z īpašība to būtiski atšķir =! no funkcijas e x) Pierādījums Izmantojam periodiskas funkcijas definīciju un formulu (6) Jāpārliecinās, ka z z e π = e, kur z = x y Parādīsim, ka tas tā ir: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Tātad, e z ir a periodiskā funkcija!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Iegūstiet formulu, kas savieno skaitļus e un π Risinājums Izmantosim j kompleksā skaitļa rakstīšanas eksponenciālo formu: z = re Ja z = - mums būs r =, j = π un līdz ar to π e = - () Pārsteidzoša formula un tas neskatoties uz to, ka katra skaitļa π, e parādīšanās matemātikā nav nekāda sakara ar pārējo divu parādīšanos! Formula () ir interesanta arī tāpēc, ka izrādās, ka eksponenciālā funkcija e z atšķirībā no funkcijas e x var iegūt negatīvas vērtības e x 5 Atrodiet rindas å cos x = summu! Risinājums Pārveidosim virkni x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Risinot izmantojām formulu = cos x s x divas reizes un funkcijas (e x) e 6 sērijas izvēršanu Izvērsiet funkciju f (x) = e x cos x pakāpju virknē, izmantojot sērijas paplašinājumu. funkcijas x() x x x x e = e e = e cos x e s x Risinājums x() x() x e = å = å!! = = π cos s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 Iegūtā rinda saplūst pa visu skaitļa asi, tātad uz x π (x) () cos, un sēriju å (x)! 4! =! x< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Atrast rindas rādiusu R un konverģences apli 4 Izpētīt rindas uzvedību konverģences apļa robežpunktos (punktos, kas atrodas uz apļa) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Atbildes:) R =, virkne saplūst punktā z = - ;) R =, sērijas saplūst absolūti slēgtā aplī z, kura centrs atrodas punktā z = - vai ir pakļauts x (y) ;) R =, rinda saplūst absolūti slēgtā lokā z vai pakļauta x y ; 4) R =, rinda saplūst absolūti slēgtā aplī z vai pie nosacījuma x y 9 7 Paplašiniet funkciju f (x) = e x s x, () x pakāpju virknē, izmantojot funkcijas e sērijas paplašinājumu 8 Pārliecinieties, ka jebkuram kompleksam z notiks formulas: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (izmantojiet Eilera formulas)

31 IETEICAMĀS LITERATŪRAS SARAKSTS Pamatliteratūra Piskunov, NS Diferenciālrēķini un integrāļi koledžām / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Matemātiskās analīzes pamati / GM Fichtengolts T - St. Petersburg: Lans, 9 Vorobyov48 NN Teorijas rindas / NN Vorobjovs - Sanktpēterburga: Lan, 8 48 s 4 Rakstiski, DT Lekciju konspekti par augstāko matemātiku Ch / DT Rakstiski M: Iris-press, 8 5 Augstākā matemātika vingrinājumos un uzdevumos Ch / PE Danko, AG Popovs , TY Koževņikova [ u.c.] M: ONICS, 8 C Papildliteratūra Kudrjavcevs, LD Matemātiskās analīzes kurss / LD Kudrjavcevs TM: Higher school, 98 C Khabibullin, MV Kompleksie numuri: vadlīnijas / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6s Moldova , EA Rindas un kompleksā analīze: mācību grāmata / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kiļina Tomska: TPU, 9

Federālā izglītības aģentūra Tomskas Valsts Arhitektūras un būvniecības universitāte FUJĀ SĒRIJA FUJĀ SĒRIJAS INTEGRĀLS KĀ FORJĒ SĒRIJAS IEROBEŽOJUMS GADĪJUMS Patstāvīgā darba vadlīnijas

RANKS Habarovska 4 4 SKAITĻU SĒRIJA Skaitļu sērija ir izteiksme, kur skaitļi, kas veido bezgalīgu skaitļu virkni, sērijas vispārīgais termins, kur N (N ir naturālu skaitļu kopa) Piemērs

Federālā izglītības aģentūra Arhangeļskas Valsts tehniskā universitāte Būvniecības fakultāte RANKS Vadlīnijas patstāvīgā darba uzdevumu izpildei Arhangeļska

MASKAVAS VALSTS CIVILĀS AVIĀCIJAS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE V.M. Ļubimovs, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinova MATEMĀTIKAS ROKASGRĀMATA disciplīnas apguvei un ieskaites uzdevumiem

5 Pakāpju rinda 5 Pakāpju rinda: definīcija, konverģences apgabals Funkcionālās rindas formā (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) kur, a, a, K, a ,k dažus skaitļus sauc par pakāpju sērijām

Federālā izglītības aģentūra MASKAVAS ŠTATA ĢEOĒZIJAS UN KARTOGRAFIJĀS UNIVERSITĀTE (MIIGAIK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev PAMĀCĪBA STUDENTIEM PAR NEATKARĪGU STUDIJU

Tēma Komplekso skaitļu rindas Aplūkosim skaitļu sēriju k ak ar kompleksiem skaitļiem formā A sēriju sauc par konverģentu, ja tās daļējo summu S a k k secība S konverģē. Turklāt secības robeža S

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS IZGLĪTĪBAS MINISTRIJA KOMPLEKSĀ MAINĪGĀ FUNKCIJU TEORIJA Metodiskā rokasgrāmata Sastādīja: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Pārskats par metodisko rokasgrāmatu par funkciju teoriju

8 Komplekso skaitļu rindas Aplūkosim skaitļu virkni ar kompleksajiem skaitļiem formā k a, (46), kur (a k) ir dota skaitļu virkne ar kompleksiem vārdiem k Sēriju (46) sauc par konverģentu, ja

Lekcijas sagatavoja asociētais profesors Musina MV Definīcija Formas izteiksme Skaitliskās un funkcionālās sērijas Skaitļu rindas: pamatjēdzieni (), kur sauc par skaitļu sēriju (vai vienkārši sēriju) Skaitļi, sērijas dalībnieki (atkarīgs

Metalurģijas fakultāte Augstākās matemātikas katedra RANKS Metodiskie norādījumi Novokuzņecka 5 Federālā izglītības aģentūra Valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Novgorodas Valsts universitātes Federālā valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestāde

Federālā izglītības aģentūra Federālā valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde DIENVIDU FEDERĀLĀ UNIVERSITĀTE R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaja metodiskā

Ciparu sērija Ciparu virkne Def Ciparu virkne ir skaitliska funkcija, kas definēta uz naturālu skaitļu kopas x — secības x =, x =, x =, x = vispārīgs loceklis,

Federālā izglītības aģentūra Maskavas Valsts ģeodēzijas un kartogrāfijas universitāte (MIIGAIK) METODISKIE NORĀDĪJUMI UN UZDEVUMI PATSTĀVĪGA DARBA kursam AUGSTĀKĀ MATEMĀTIKA Skaitliskā.

METODOLOĢISKIE NORĀDĪJUMI APRĒĶINĀŠANAS UZDEVUMIEM AUGSTĀKĀS MATEMĀTIKAS KURSA “PARASTĀ DIFERENCIĀLO VIENĀDĀJUMU SĒRIJA DUBULTĀ INTEGRĀLI” DAĻA TĒMU SĒRIJA Saturs Sērija Skaitļu rindas Konverģence un diverģence

Federālā izglītības aģentūra Valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde Novgorodas Valsts universitāte nosaukta Jaroslava Gudrā Elektronikas institūta vārdā

Baltkrievijas Republikas Izglītības ministrija Vitebskas Valsts tehnoloģiskā universitāte Tēma. "Rindas" Teorētiskās un lietišķās matemātikas katedra. izstrādājusi asoc. E.B. Dunina. Pamata

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS TRANSPORTA MINISTRIJA FEDERĀLĀS VALSTS AUGSTĀKĀS PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE UĻJANOVSKAS AUGSTSKO AVIĀCIJAS SKOLA CIVILĀS AVIĀCIJAS INSTITŪTS

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālā valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestāde "Tomskas valsts arhitektūras un būvniecības

Sgups Augstākās matemātikas katedra Metodiskie norādījumi standarta aprēķinu veikšanai “Sērija” Novosibirska 006 Dažas teorētiskās informācijas Skaitļu sērijas Let u ; u ; u ; ; u ; ir bezgalīgs skaits

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS IZGLĪTĪBAS UN ZINĀTNES MINISTRIJA KAZĀŅAS VALSTS ARHITEKTŪRAS UN CELTNIECĪBAS UNIVERSITĀTE Augstākās matemātikas katedra SKAITĻU UN FUNKCIONĀLĀS SĒRIJAS Vadlīnijas

LEKCIJA N 7. Jaudrindas un Teilora rindas.. Spēku rindas..... Teilora rindas.... 4. Dažu elementāru funkciju izvēršana Teilora un Maklarīna sērijās.... 5 4. Jaudrindu pielietojums... 7 .Jauda

Moduļa tēma Funkcionālās sekvences un sērijas Sekvenču un sēriju vienmērīgas konverģences īpašības Jaudas sērijas Lekcija Funkcionālo secību un sēriju definīcijas Vienoti

BALTKRIEVIJAS VALSTS EKONOMIKAS UNIVERSITĀTE FAKULTĀTE EKONOMIKAS INFORMĀCIJAS UN MATEMĀTISKĀS EKONOMIKAS katedra Rows Lekciju konspekts un darbnīca ekonomikas studentiem

Krievijas Federācijas Izglītības ministrija Uļjanovskas Valsts tehniskā universitāte NUMERISKĀS UN FUNKCIONĀLĀS SĒRIJAS FUJĀ SĒRIJA Uļjanovskas UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 recenzenta fizikas un matemātikas zinātņu kandidāts

3724 DARBĪBAS SĒRIJAS UN LĪKLINIĀRI INTEGRĀLI 1 SADAĻU DARBA PROGRAMMA “VAIRĀKAS SĒRIJAS UN LĪKLINEI INTEGRĀLI” 11 Skaitļu sērijas Skaitļu sērijas jēdziens Skaitļu sērijas īpašības Nepieciešamā konverģences zīme

Nodaļa Sērija Kādas skaitļu virknes terminu summas formāls apzīmējums Skaitļu sērijas sauc par skaitļu sērijām Summas S sauc par rindas daļējām summām Ja ir limits lim S, S tad sērija

Lekcija. Funkcionālās sērijas. Funkcionālās sērijas definīcija Sēriju, kuras locekļi ir x funkcijas, sauc par funkcionālām: u = u (x) + u + K+ u + K = Dodot x noteiktu vērtību x, mēs

V.V. Žuks, A.M. Kamachkin 1 Power sērija. Konverģences rādiuss un konverģences intervāls. Konverģences būtība. Integrācija un diferenciācija. 1.1. Konverģences rādiuss un konverģences intervāls. Funkcionālais diapazons

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālā valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestāde "Sibīrijas Valsts rūpniecības universitāte"

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālā valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestāde "Sibīrijas Valsts rūpniecības universitāte"

Matemātiskā analīze Sadaļa: Skaitliskās un funkcionālās rindas Tēma: Jaudas rindas. Funkcijas paplašināšana jaudas sērijā Lektore Rožkova S.V. 3 34. Pakāpju rinda Pakāpju rinda ir pakāpju virkne

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS IZGLĪTĪBAS UN ZINĀTNES MINISTRIJA FEDERĀLĀS VALSTS BUDŽETA AUGSTĀKĀS PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE “SAMARAS VALSTS AEROSPSUMA UNIVERSITĀTE”

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS IZGLĪTĪBAS UN ZINĀTNES MINISTRIJA Nacionālās pētniecības Ņižņijnovgorodas Valsts universitāte, kas nosaukta NI Lobačevska vārdā NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva ANALĪTISKO FUNKCIJU KANTS

“Sērija” pašpārbaudes testi Nepieciešamā rindas konverģences zīme Teorēma nepieciešamā konverģences zīme Ja rinda saplūst, tad lim + Secinājums ir pietiekams nosacījums rindas diverģencei Ja lim, tad rinda atšķiras

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālās valsts autonomās augstākās profesionālās izglītības iestādes "Sibīrijas federālā universitāte" Ačinskas nodaļa MATEMĀTIKA

(funkcionālās sērijas pakāpju rindas konverģences apgabals konverģences intervāla atrašanas secībā - konverģences piemēru intervāla piemēra rādiuss) Dota bezgalīga funkciju secība, Funkcionāls

Sērijas Skaitļu sērijas Vispārīgi jēdzieni Definīcija Ja katrs naturālais skaitlis ir saistīts ar noteiktu skaitli saskaņā ar noteiktu likumu, tad numurēto skaitļu kopu sauc par skaitļu virkni,

Krievijas Federācijas Izglītības ministrija MATI - K E TSIOLKOVSKI vārdā nosauktā KRIEVIJAS VALSTS TEHNOLOĢISKĀ UNIVERSITĀTE Augstākās matemātikas katedra RANKS Kursa darba vadlīnijas Sastādījis:

3. lekcija Teilora un Maklaurina sērija Jaudrindu pielietojums Funkciju paplašināšana jaudas virknēs Teilora un Maklaurina sērijās Lietojumprogrammām ir svarīgi, lai doto funkciju varētu izvērst jaudas virknē, tās funkcijas.

VALSTS AUGSTĀKĀS PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE "BALTKRIEVIJAS-KRIEVIJAS UNIVERSITĀTE" "Augstākās matemātikas" katedra AUGSTĀKĀS MATEMĀTIKAS MATEMĀTIKAS MATEMĀTISKĀS ANALĪZES KANTI Metodiskie ieteikumi

Ciparu un pakāpju sērijas Nodarbība. Skaitļu sērija. Sērijas summa. Konverģences pazīmes.. Aprēķināt rindas summu. 6 Risinājums. Bezgalīgas ģeometriskās progresijas q vārdu summa ir vienāda ar, kur q ir progresijas saucējs.

Baltkrievijas Republikas Izglītības ministrija Izglītības iestāde "Mogiļevas Valsts pārtikas universitāte" Augstākās matemātikas katedra AUGSTĀKĀS MATEMĀTIKAS Praktiskās vadlīnijas

6. lekcija Funkcijas paplašināšana pakāpju virknē Izvērsuma unikalitāte Teilora un Maklarīna virknē Dažu elementāru funkciju izvēršana pakāpju virknē Pakāpju rindu pielietošana Iepriekšējās lekcijās

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālā valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestāde "Tomskas valsts arhitektūras un būvniecības

4 Funkciju sērija 4 Pamatdefinīcijas Ļaujiet bezgalīgai funkciju secībai ar kopēju definīcijas apgabalu X u), u (), K, u (), K (DEFINĪCIJA Izteiksme u) + u () + K + u () +

KOMPLEKSĀ MAINĪGĀ DARBĪBAS KARĒĶINA FUNKCIJU TEORIJAS ELEMENTI Šīs tēmas apguves rezultātā studentam jāiemācās: atrast kompleksā skaitļa trigonometriskās un eksponenciālās formas atbilstoši

Federālā izglītības aģentūra Valsts augstākās profesionālās izglītības iestādes "Urāles Valsts pedagoģiskā universitāte" Matemātikas fakultātes katedra

KAZĀŅAS VALSTS UNIVERSITĀTE Matemātiskās statistikas katedra SKAITLISKĀ SĒRIJA Izglītības un metodiskā rokasgrāmata KAZAN 008 Publicēts ar Kazaņas Universitātes Zinātniski metodiskās padomes sekcijas lēmumu

Funkcionālās rindas Funkcionālās rindas, to summa un funkcionālās jomas o Dota funkciju secība k reālo vai komplekso skaitļu apgabalā Δ (k 1 Tiek saukta funkcionālā sērija

Federālā izglītības aģentūra MASKAVAS VALSTS ĢEOĒZIJAS UN KARTOGRAFIJĀS UNIVERSITĀTE (MIIGAIK) O. V. Isakova L. A. Saykova PAMĀCĪBA STUDENTIEM SEKCIJAS PATSTĀVĪGAI STUDENTIEM

Nodaļa Pakāpju rindas a a a Formas a a a a a () virkni sauc par pakāpju rindu, kur, a, ir konstantes, ko sauc par rindas koeficientiem.Dažreiz tiek aplūkota vispārīgākas formas pakāpju rinda: a a(a) a(a) a(a) (), kur

LEKCIJA N34. Skaitļu sērijas ar sarežģītiem terminiem. Jaudas sērijas kompleksajā jomā. Analītiskās funkcijas. Apgrieztās funkcijas..ciparu rindas ar sarežģītiem terminiem.....pakāpju rindas kompleksajā jomā....

Variants Uzdevums Aprēķināt funkcijas vērtību, sniegt atbildi algebriskā formā: a sh ; b l Risinājums a Izmantosim trigonometriskā sinusa un hiperboliskā sinusa savienojuma formulu: ; sh -s Get

Federālā izglītības aģentūra Valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde Ukhtas Valsts tehniskā universitāte KOMPLEKŠIE NUMURI Vadlīnijas

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija FEDERĀLĀS VALSTS BUDŽETA IZGLĪTĪBAS AUGSTĀKĀS PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE “SAMARAS VALSTS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE” Lietišķās matemātikas katedra

Funkcionālās sērijas 7.-8. lekcijas 1 Konverģences apgabals 1 Formu u () u () u () u (), 1 2 u () virkni, kur funkcijas ir definētas noteiktā intervālā, sauc par funkcionālo sēriju. . Visu punktu kopums

Federālā izglītības aģentūra Valsts augstākās profesionālās izglītības iestāde Uhtas Valsts tehniskā universitāte (USTU) IEROBEŽOTĀS FUNKCIJAS Metodiskā

LEKCIJA Ekvivalenti bezgalīgi mazi Pirmā un otrā ievērojamā robeža Bezgalīgi lielu un bezgalīgi mazu funkciju salīdzinājums Funkciju f () sauc par bezgalīgi mazo punktā a (pie a), ja (

Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Federālā valsts budžeta augstākās profesionālās izglītības iestāde "Tomskas valsts arhitektūras un būvniecības

Lekcija Skaitļu sērija Konverģences pazīmes Skaitļu sērijas Konverģences pazīmes Bezgalīgu skaitļu virknes izteiksmi + + + +, kas sastāv no bezgalīgas vienuma vārdiem, sauc par skaitļu sēriju Skaitļi,

EV Nebogina, OS Afanasjeva AUGSTĀKĀS MATEMĀTIKAS SĒRIJAS PRAKTIKA Samara 9 FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA VALSTS AUGSTĀKĀS PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE “SAMARSKY”

III nodaļa VAIRĀKU MAINĪGO FUNKCIJU INTEGRĀLAIS APRĒĶINS, KOMPLEKSĀ MAINĪGĀ FUNKCIJAS, SĒRIJA Dubultie integrāļi LITERATŪRA: , sk. ,glii; , XII nodaļa, 6 Lai atrisinātu problēmas par šo tēmu, ir nepieciešams,