Szabályos ötszög építése. Műszaki rajz. Szabályos sokszögek felépítése Szabályos ötszög séma

Ez az ábra egy olyan sokszög, amelynek sarkai minimális száma nem használható egy terület csempézésére. Csak egy ötszögnek van annyi átlója, mint az oldalainak. Egy tetszőleges szabályos sokszög képleteivel meghatározhatja az ötszög összes szükséges paraméterét. Például írd be egy adott sugarú körbe, vagy építsd meg egy adott oldaloldal alapján.

Hogyan kell helyesen rajzolni egy gerendát, és milyen rajzeszközökre lesz szüksége? Vegyünk egy darab papírt, és jelöljünk meg egy pontot bárhol. Ezután rögzítsen egy vonalzót, és húzzon egy vonalat a jelzett ponttól a végtelenig. Egyenes vonal rajzolásához nyomja meg a "Shift" billentyűt, és rajzoljon egy kívánt hosszúságú vonalat. A rajzolás után azonnal megnyílik a "Formátum" fül. Törölje a vonal kijelölését, és látni fogja, hogy egy pont jelent meg a sor elején. Felirat létrehozásához kattintson a "Felirat rajzolása" gombra, és hozzon létre egy mezőt, ahol a felirat található.

Az ötszög felépítésének első módja „klasszikusabbnak” tekinthető. Az eredmény egy szabályos ötszög lesz. Ez alól a dodecagon sem kivétel, így felépítése iránytű nélkül lehetetlen lesz. A szabályos ötszög megalkotásának feladata a kör öt egyenlő részre osztása. Pentagramot rajzolhat a legegyszerűbb eszközökkel.

Sokáig küzdöttem, hogy ezt elérjem, és önállóan megtaláljam az arányokat és a függőségeket, de nem sikerült. Kiderült, hogy számos különböző lehetőség létezik egy szabályos ötszög felépítésére, amelyeket híres matematikusok fejlesztettek ki. Az érdekesség az, hogy számtanilag ez a feladat csak megközelítőleg pontosan megoldható, hiszen irracionális számokat kell használni. De geometrikusan megoldható.

A körök felosztása. Ezeknek az egyeneseknek a körrel való metszéspontjai a négyzet csúcsai. Az R sugarú körben (1. lépés) rajzoljon egy függőleges átmérőt. Az egyenes és a kör N konjugációs pontjában az egyenes érinti a kört.

Fogadás papírcsíkkal

Szabályos hatszög egy T-négyzet és egy 30X60°-os négyzet felhasználásával készíthető. Egy ilyen háromszög csúcsai megszerkeszthetők egy iránytű és egy 30 és 60 ° -os szögű négyzet, vagy csak egy iránytű segítségével. A 2-3 oldal felépítéséhez állítsa a T-négyzetet a szaggatott vonalak által mutatott helyzetbe, és húzzon egy egyenest a 2. ponton keresztül, amely meghatározza a háromszög harmadik csúcsát. Jelöljük a körön az 1-es pontot, és vesszük az ötszög egyik csúcsának. A talált csúcsokat sorba kötjük egymással. A hétszög az F pólusból érkező sugarak húzásával és a függőleges átmérő páratlan felosztásával építhető fel.

A cérna másik végén pedig a ceruza van beállítva és megszállottan. Ha tudja, hogyan kell csillagot rajzolni, de nem tudja, hogyan kell ötszöget rajzolni, rajzoljon egy csillagot ceruzával, majd kösse össze a csillag szomszédos végeit, majd törölje le magát a csillagot. Ezután tegyen egy papírlapot (jobb, ha négy gombbal vagy tűvel rögzíti az asztalra). Ezt az 5 csíkot tűkkel vagy tűkkel rögzítse egy papírra, hogy mozdulatlanok maradjanak. Ezután karikázza fel a kapott ötszöget, és távolítsa el ezeket a csíkokat a lapról.

Például egy ötágú csillagot (pentagramot) kell rajzolnunk a szovjet múltról vagy Kína jelenéről szóló képhez. Igaz, ehhez képesnek kell lennie egy csillag rajzának létrehozására perspektívában. Hasonlóképpen rajzolhat majd egy figurát ceruzával a papírra. Hogyan kell helyesen rajzolni egy csillagot, hogy egyenletes és szép legyen, nem fog azonnal válaszolni.

Középről engedjünk le 2 sugarat a körre úgy, hogy a köztük lévő szög 72 fok legyen (szögmérő). A kör öt részre osztása közönséges iránytűvel vagy szögmérővel történik. Mivel a szabályos ötszög az egyik alakzat, amely az aranymetszet arányait tartalmazza, festők és matematikusok régóta érdeklődnek ennek megalkotása iránt. Az iránytű és az egyenes vonalú konstrukció ezen elveit az Euklideszi elemek határozták meg.

A szabályos ötszög egy geometriai alakzat, amely öt egyenes metszéspontjából jön létre, amelyek öt azonos szöget hoznak létre. Ezt az alakot Pentagonnak hívják. A művészek munkássága szorosan kapcsolódik az ötszöghöz - rajzaik szabályos geometriai formákra épülnek. Ehhez tudnia kell, hogyan kell gyorsan felépíteni egy ötszöget.

Miért érdekes ez az ábra? Az épület ötszög alakú Az Amerikai Egyesült Államok Védelmi Minisztériuma. Ez látszik a repülés magasságából készült fotókon. A természetben nincsenek kristályok és kövek, amelyek alakja ötszögre emlékeztetne. Csak ezen az ábrán a lapok száma esik egybe az átlók számával.

Szabályos ötszög paraméterei

A téglalap alakú ötszögnek, mint a geometriában minden figurának, megvannak a maga paraméterei. A szükséges képletek ismeretében kiszámíthatja ezeket a paramétereket, amelyek megkönnyítik az ötszög felépítésének folyamatát. Számítási módszerek és képletek:

• sokszögben az összes szög összege 360 ​​fok. Egy szabályos ötszögben minden szög egyenlő, a központi szöget így találjuk meg: 360/5 \u003d 72 fok;
• a belső sarkot így találjuk: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 fok. Az összes belső szög összege: 108*5 = 540 fok.

Az ötszög oldalát a problémameghatározásban már megadott paraméterek segítségével találjuk meg:

• ha egy kör van körülírva az ötszög körül, és a sugara ismert, az oldalt a következő képlet szerint találjuk meg: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1,1756 * R.
• Ha ismert az ötszögbe írt kör sugara, akkor a sokszög oldalának kiszámításának képlete: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Az ötszög ismert átlójával az oldalát a következőképpen számítják ki: a \u003d D / 1,618.

Az ötszög területe oldalához hasonlóan a már megtalált paraméterektől függ:

• a beírt kör ismert sugarát használva a területet a következőképpen találjuk meg: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• az ötszög körüli körülírt kör lehetővé teszi a terület megtalálását a következő képlettel: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• az ötszög oldalától függően: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

A Pentagon építése

Szabályos ötszöget építhetsz vonalzó és körző segítségével, a beleírt kör vagy az egyik oldala alapján.

Hogyan rajzoljunk ötszöget egy beírt kör alapján? Ehhez készítsen egy iránytűt és egy vonalzót, és tegye a következőket:

1. Először meg kell rajzolnia egy kört O középponttal, majd válasszon rajta egy pontot, A - az ötszög tetejét. Egy vonal húzódik a közepétől a tetejéig.
2. Ezután az OA egyenesre merőleges szakaszt készítünk, amely szintén átmegy O-n - a kör középpontján. A körrel való metszéspontját a B pont jelzi. Az O.V. szakaszt a C pont felezi.
3. A C pont az A-n áthaladó új kör középpontja lesz. A D pont metszéspontja az OB egyenessel az első ábra határain belül.
4. Ezután D-n keresztül egy harmadik kört húzunk, melynek középpontja az A pont. Két pontban metszi az első ábrát, ezeket E és F betűkkel kell jelölni.
5. A következő kör középpontja az E pontban van, és átmegy A-n, metszéspontja pedig az eredetivel az új G pontban van.
6. Az ábrán az utolsó kört egy A ponton keresztül húzzuk át, amelynek középpontja F. A H pont a kezdeti körrel való metszéspontjába kerül.
7. Az első körön az összes megtett lépés után öt pont jelent meg, amelyeket szakaszokkal kell összekötni. Így egy AE G H F szabályos ötszöget kaptunk.

Hogyan építsünk egy szabályos ötszöget más módon? Egy vonalzó és egy körző segítségével az ötszög kicsit gyorsabban felépíthető. Ehhez szüksége van:

1. Először körzővel kell rajzolnia egy kört, amelynek középpontja az O pont.
2. Megrajzolódik az OA sugár – egy körön ábrázolt szakasz. A B pont kettévágja.
3. Az OA sugárra merőlegesen rajzolunk egy OS szakaszt, a B és C pontokat egy egyenes köti össze.
4. A következő lépés a BC szakasz hosszának ábrázolása egy iránytűvel az átmérős egyenesen. A D pont merőleges az OA szakaszra, a B és D pontok pedig összekapcsolódnak, és új szakaszt alkotnak.
5. Az ötszög oldalának méretének meghatározásához össze kell kötni a C és a D pontokat.
6. D iránytű segítségével körbe kerül, és az E pont jelzi. E és C összekapcsolásával megkaphatjuk egy szabályos ötszög első oldalát. Ezt az utasítást követve megtanulhatod, hogyan lehet gyorsan felépíteni egy egyenlő oldalú ötszöget, és folytatni kell a többi oldal építését, mint az elsőt.

Az azonos oldalú ötszögben az átlók egyenlőek, és egy ötágú csillagot alkotnak, amelyet pentagramnak neveznek. Az aranymetszés az átló méretének az ötszög oldalához viszonyított aránya.

A Pentagon nem alkalmas a gép teljes kitöltésére. Bármilyen anyag ilyen formában történő használata hézagokat vagy átfedéseket hagy maga után. Bár ilyen formájú természetes kristályok nem léteznek a természetben, amikor a sima réztermékek felületén jég képződik, ötszög formájú molekulák jelennek meg, amelyek láncokba kapcsolódnak.

A legegyszerűbb módja annak, hogy egy papírcsíkból szabályos ötszöget kapjunk, ha csomóba kötjük, és kissé lenyomjuk. Ez a módszer hasznos az óvodások szülei számára, akik meg akarják tanítani kisgyermekeiket a geometriai formák felismerésére.

Videó

Nézze meg, hogyan rajzolhat gyorsan ötszöget.

Körbe írt szabályos hatszög felépítése.

A hatszög felépítése azon alapul, hogy oldala megegyezik a körülírt kör sugarával. Ezért az építéshez elegendő a kört hat egyenlő részre osztani, és a talált pontokat összekapcsolni egymással.

Szabályos hatszög egy T-négyzet és egy 30X60°-os négyzet felhasználásával készíthető. Ennek a konstrukciónak a végrehajtásához a kör vízszintes átmérőjét vesszük az 1-es és 4-es szögek felezőjeként, felépítjük az 1-6, 4-3, 4-5 és 7-2 oldalakat, majd megrajzoljuk az 5-6 és 3 oldalakat. - 2.

Egy ilyen háromszög csúcsai megszerkeszthetők egy iránytű és egy 30 és 60 ° -os szögű négyzet, vagy csak egy iránytű segítségével. Tekintsünk két módszert egy körbe írt egyenlő oldalú háromszög megszerkesztésére.

Első út(61. ábra, a)) azon alapul, hogy a 7, 2, 3 háromszög mindhárom szöge 60°-ot tartalmaz, és a 7 ponton keresztül húzott függőleges vonal az 1 szög magassága és felezőpontja is. a 0 - 1 - 2 szög egyenlő 30°-kal, majd az 1 - 2 oldal megkereséséhez elegendő 30°-os szöget beállítani az 1. pontból és a 0 - 1 oldalból. Ehhez állítsa be a T-négyzetet és a négyzetet az ábrán látható módon, húzzon egy 1-2 vonalat, amely a kívánt háromszög egyik oldala lesz. A 2-3 oldal felépítéséhez állítsa a T-négyzetet a szaggatott vonalak által mutatott helyzetbe, és húzzon egy egyenest a 2. ponton keresztül, amely meghatározza a háromszög harmadik csúcsát.

Második út azon a tényen alapul, hogy ha egy körbe írt szabályos hatszöget építünk, majd egyen keresztül összekötjük a csúcsait, akkor egyenlő oldalú háromszöget kapunk.

A háromszög felépítéséhez megjelöljük az 1. csúcspontot az átmérőn, és húzunk egy átmérős egyenest 1 - 4 között. Továbbá a 4. pontból D / 2-vel egyenlő sugárral leírjuk az ívet, amíg az nem metszi a kört a 3 pontokban. és 2. Az eredményül kapott pontok a kívánt háromszög másik két csúcsa lesz.

Ezt a konstrukciót négyzet és iránytű segítségével lehet megtenni.

Első út azon alapul, hogy a négyzet átlói a körülírt kör középpontjában metszik egymást, és 45°-os szöget zárnak be a tengelyeihez. Ennek alapján egy T-négyzetet és egy 45°-os szögű négyzetet építünk be az ábrán látható módon. 62, a, és jelölje be az 1-es és 3-as pontot. Továbbá ezeken a pontokon keresztül egy T-négyzet segítségével megrajzoljuk a 4 - 1 és 3 -2 négyzet vízszintes oldalait. Ezután egy T-négyzet segítségével a négyzet szára mentén megrajzoljuk a négyzet függőleges oldalait 1-2 és 4-3.

Második út azon alapul, hogy a négyzet csúcsai felezik az átmérő végei közé zárt kör íveit. Két egymásra merőleges átmérő végén kijelöljük az A, B és C pontokat, és ezekből y sugárral írjuk le az íveket metszéspontig.

Továbbá az ívek metszéspontjain keresztül segédvonalakat rajzolunk, amelyeket az ábrán folytonos vonalakkal jelölünk. A körrel való metszéspontjaik határozzák meg az 1. és 3. csúcsot; 4 és 2. Az így kapott kívánt négyzet csúcsait sorba kapcsoljuk egymással.

Körbe írt szabályos ötszög építése.

Egy szabályos ötszög körbeírásához a következő konstrukciókat készítjük. Jelöljük a körön az 1-es pontot, és vesszük az ötszög egyik csúcsának. Oszd ketté az AO szakaszt. Ehhez az A pontból induló AO sugárral leírjuk az ívet a körrel az M és B pontokban lévő metszéspontig. Ezeket a pontokat egy egyenessel összekötve megkapjuk a K pontot, amelyet azután az 1. ponthoz kapcsolunk. Az A7 szakasszal egyenlő sugárral leírjuk az ívet a K ponttól a H pontban lévő AO átmérős egyenes metszéspontjáig. Az 1. pontot a H ponttal összekötve megkapjuk az ötszög oldalát. Ezután az 1H szakasznak megfelelő iránytűnyílással, amely az 1. csúcstól a kör metszéspontjáig ívelt ívet írja le, megtaláljuk a 2. és 5. csúcsot. Miután a 2. és 5. csúcsból bemetszett ugyanazzal az iránytűnyílással, megkapjuk a maradékot. 3. és 4. csúcsok. A talált pontokat szekvenciálisan összekötjük egymással.

Szabályos ötszög építése az oldalára adott.

Egy szabályos ötszög megalkotásához a megadott oldala mentén (64. ábra) az AB szakaszt hat egyenlő részre osztjuk. Az AB sugarú A és B pontokból íveket írunk le, amelyek metszéspontja a K pontot adja. Ezen a ponton és az AB egyenes 3. osztásán keresztül függőleges vonalat húzunk. Ezen az egyenesen a K ponttól távolabb félreteszünk egy 4/6 AB szelvényt. 1. pontot kapunk - az ötszög csúcsát. Ezután AB-val egyenlő sugárral az 1. pontból leírjuk az ívet az előzőleg A és B pontból rajzolt ívekkel való metszéspontig. Az ívek metszéspontjai határozzák meg a 2 és 5 ötszög csúcsait. csúcsok sorba kapcsolva egymással.

Körbe írt szabályos hétszög felépítése.

Legyen adott egy D átmérőjű kör; szabályos hétszöget kell beleírni (65. ábra). Osszuk a kör függőleges átmérőjét hét egyenlő részre. A D kör átmérőjével megegyező sugarú 7. pontból addig írjuk le az ívet, amíg az F pontban nem metszi a vízszintes átmérő folytatását. Az F pontot a sokszög pólusának nevezzük. A VII. pontot a hétszög egyik csúcsának véve az F pólusból a függőleges átmérő egyenletes osztásain keresztül sugarakat vonunk le, amelyeknek a körrel való metszéspontja határozza meg a hétszög VI, V és IV csúcsát. Ahhoz, hogy a IV, V és VI pontból / - // - /// csúcsokat kapjunk, vízszintes vonalakat húzunk, amíg nem metszik egymást a körrel. A talált csúcsokat sorba kötjük egymással. A hétszög az F pólusból érkező sugarak húzásával és a függőleges átmérő páratlan felosztásával építhető fel.

A fenti módszer tetszőleges számú oldalú szabályos sokszögek készítésére alkalmas.

A kör tetszőleges számú egyenlő részre osztása a táblázat adatainak felhasználásával is elvégezhető. 2. ábra, amely azokat az együtthatókat mutatja, amelyek lehetővé teszik a szabályos beírt sokszögek oldalméreteinek meghatározását.

Szabályos beírt sokszögek oldalhosszai.

A táblázat első oszlopa egy szabályos beírt sokszög oldalainak számát mutatja, a második oszlopban pedig az együtthatók. Egy adott sokszög oldalának hosszát úgy kapjuk meg, hogy egy adott kör sugarát megszorozzuk a sokszög oldalainak számának megfelelő tényezővel.

Ozsegov magyarázó szótára azt mondja, hogy az ötszög olyan, amelyet öt egymást metsző egyenes vonal határol, amelyek öt belső szöget alkotnak, valamint bármely hasonló alakú tárgy. Ha egy adott sokszögnek ugyanazok az oldalai és szögei, akkor szabályosnak (ötszögnek) nevezzük.

Mi az érdekes egy szabályos ötszögben?

Ebben a formában épült fel az Egyesült Államok Védelmi Minisztériumának jól ismert épülete. A terjedelmes szabályos poliéderek közül csak a dodekaédernek van ötszög alakú lapja. A természetben pedig teljesen hiányoznak a kristályok, amelyek lapjai egy szabályos ötszögre hasonlítanak. Ezenkívül ez az ábra egy olyan sokszög, amelynek minimális sarkai vannak, és amelyek nem használhatók terület csempézésére. Csak egy ötszögnek van annyi átlója, mint az oldalainak. Egyetértek, érdekes!

Alaptulajdonságok és képletek

Egy tetszőleges szabályos sokszög képleteivel meghatározhatja az ötszög összes szükséges paraméterét.

• Központi szög α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Belső szög β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Ennek megfelelően a belső szögek összege 540°.
• Az átló és az oldal aránya (1+√5)/2, azaz (kb. 1,618).
• A szabályos ötszög oldalának hossza három képlet egyikével számítható ki attól függően, hogy melyik paraméter már ismert:

• ha egy kör van körülírva, és R sugara ismert, akkor a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• abban az esetben, ha egy r sugarú kört szabályos ötszögbe írunk, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• előfordul, hogy sugarak helyett a D átló értéke ismert, ekkor az oldalt a következőképpen határozzuk meg: a ≈ D / 1,618.

• A szabályos ötszög területét ismét attól függően határozzuk meg, hogy milyen paramétert ismerünk:
• ha van beírt vagy körülírt kör, akkor két képlet egyikét kell használni:

S \u003d (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r vagy S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• a terület is meghatározható, csak az a oldal hosszának ismeretében:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Szabályos ötszög: építkezés

Ezt a geometriai alakzatot többféleképpen meg lehet építeni. Például írd be egy adott sugarú körbe, vagy építsd meg egy adott oldaloldal alapján. A cselekvések sorrendjét Eukleidész Elemei című könyve írta le Kr.e. 300 körül. Mindenesetre szükségünk van egy iránytűre és egy vonalzóra. Tekintsük az építés módját egy adott kör használatával.

1. Válasszon ki egy tetszőleges sugarat, és rajzoljon egy kört, középpontját O ponttal jelölve.

2. A körvonalon válasszunk ki egy pontot, amely ötszögünk egyik csúcsaként fog szolgálni. Legyen ez A pont. Kösd össze az O és A pontot egy egyenessel.

3. Húzzunk egy egyenest az O ponton át merőlegesen az OA egyenesre. Jelölje B pontként azt a pontot, ahol ez az egyenes metszi a körvonalat.

4. Az O és B pontok közötti távolság közepén építse fel a C pontot.

5. Rajzolj most egy kört, amelynek középpontja a C pontban lesz, és amely áthalad az A ponton. Az OB egyenessel való metszéspontja (a legelső körön belül lesz) a D pont lesz.

6. Szerkesszünk meg egy D-n átmenő kört, melynek középpontja A pontban lesz. Az eredeti körrel való metszéspontjait E és F pontokkal kell jelölni.

7. Építsen most egy kört, amelynek középpontja E-ben lesz. Ezt úgy kell megtennie, hogy átmenjen A-n. Az eredeti kör másik metszéspontját fel kell tüntetni

8. Végül rajzoljon egy kört A-n keresztül, amelynek középpontja az F pontban van. Jelölje meg az eredeti kör másik metszéspontját a H ponttal.

9. Most már csak az A, E, G, H, F csúcsokat kell összekötni. A szabályos ötszögünk elkészül!

5.3. arany ötszög; Eukleidész építése.

Az "aranymetszet" csodálatos példája a szabályos ötszög - domború és csillag alakú (5. ábra).

Pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell építeni.

Legyen O a kör középpontja, A egy pont a körön, E pedig az OA szakasz felezőpontja. Az O pontban visszaállított OA sugárra merőleges metszi a kört a D pontban. Iránytűvel jelölje be az átmérőn a CE = ED szakaszt. Egy szabályos ötszög körbe írt oldalának hossza DC. Félretesszük a körön a DC szakaszokat, és öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásáért. Összekapcsoljuk az ötszög sarkait egy átlón keresztül, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekötött szegmensekre.

Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszög. Oldalai felül 36°-os szöget zárnak be, az oldalra fektetett alap pedig az aranymetszet arányában osztja el.

Van egy arany téglatest is - ez egy téglalap alakú paralelepipedon, amelynek élei 1,618, 1 és 0,618 hosszúak.

Most nézzük meg az Eukleidész által az Elemekben felkínált bizonyítékot.

a körülírt kör közepétől. Kezdjük azzal

ABE szegmens, középre osztva és

Tehát legyen AC = AE. Jelölje a az EBC és CEB egyenlő szögeket. Mivel AC=AE, az ACE szög is egyenlő a-val. Az a tétel, hogy egy háromszög szögeinek összege 180 fok, lehetővé teszi az ALL szög meghatározását: ez 180-2a, és az EAC szög 3a - 180. De akkor az ABC szög 180-a. Az ABC háromszög szögeit összegezve azt kapjuk, hogy

180=(3a-180) + (3a-180) + (180-a)

Ahonnan 5a=360, tehát a=72.

Tehát a BEC háromszög alján lévő szögek mindegyike kétszerese a felső szögnek, ami 36 fokkal egyenlő. Ezért egy szabályos ötszög megalkotásához csak tetszőleges kört kell megrajzolni, amelynek középpontja az E pontban van, és amely az X pontban metszi az EC-t és az Y pontban az EB oldalt: az XY szakasz a szabályos ötszög egyik oldala kör; A teljes kört megkerülve megtalálhatja az összes többi oldalt.

Most bebizonyítjuk, hogy AC=AE. Tegyük fel, hogy a C csúcsot egy egyenes szakasz köti össze a BE szakasz N felezőpontjával. Figyeljük meg, hogy mivel CB = CE, akkor a CNE szög derékszög. A Pitagorasz-tétel szerint:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 = 2 (1-4j 2)

Így van (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Tehát AC = ja = jAB = AE, amit be kellett bizonyítani

5.4 Arkhimédész spirálja.

Sorozatosan levágva négyzeteket az arany téglalapoktól a végtelenig, minden alkalommal, amikor az ellentétes pontokat egy negyed körrel összekötjük, meglehetősen elegáns görbét kapunk. Az első figyelmet az ókori görög tudós, Arkhimédész hívta fel rá, akinek a nevét viseli. Tanulmányozta, és levezette ennek a spirálnak az egyenletét.

Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a technológiában.

6. Fibonacci-számok.

A pisai Leonardo olasz matematikus nevéhez, akit inkább Fibonacci becenéven ismernek (a Fibonacci a filius Bonacci, azaz Bonacci fia rövidítése), közvetve az aranymetszéshez kötődik.

1202-ben megírta a „Liber abacci” című könyvet, vagyis „Az abakusz könyvét”. A "Liber abacci" egy terjedelmes mű, amely szinte az összes akkori számtani és algebrai tudást tartalmazza, és jelentős szerepet játszott a nyugat-európai matematika fejlődésében a következő évszázadokban. Különösen ebből a könyvből ismerkedtek meg az európaiak a hindu ("arab") számokkal.

A könyvben közölt anyag számos olyan problémával foglalkozik, amelyek e tanulmány jelentős részét alkotják.

Tekintsünk egy ilyen problémát:

Hány pár nyúl születik egy párból egy év alatt?

Valaki elhelyezett egy pár nyulat egy bizonyos helyre, minden oldalról fallal körülzárva, hogy megtudja, hány pár nyúl születik ebben az évben, ha a nyulak természete olyan, hogy egy hónap múlva egy pár a nyulak egy másikat szaporítanak, a nyulak pedig a születésük utáni második hónaptól szülnek."

Most térjünk át a nyulakról a számokra, és vegyük figyelembe a következő számsort:

u 1 , u 2 … u n

amelyben minden tag egyenlő a két előző összegével, azaz. bármely n>2 esetén

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Ez a szekvencia aszimptotikusan (egyre lassabban közeledve) valamilyen állandó relációra hajlik. Ez az arány azonban irracionális, vagyis olyan számról van szó, amelynek törtrészében végtelen, megjósolhatatlan tizedesjegyek sorozata van. Nem lehet pontosan kifejezni.

Ha a Fibonacci sorozat bármely tagját elosztjuk az előtte lévővel (például 13:8), akkor az eredmény egy olyan érték lesz, amely az 1,61803398875 irracionális érték körül ingadozik, és néha meghaladja, néha nem éri el.

A sorozat aszimptotikus viselkedése, arányának csillapított ingadozása egy Φ irracionális szám körül érthetőbbé válhat, ha a sorozat több első tagjának arányait megmutatjuk. Ez a példa bemutatja a második tag kapcsolatát az elsővel, a harmadikat a másodikkal, a negyediket a harmadikkal, és így tovább:

1:1 = 1,0000, ami 0,6180-al kisebb, mint a phi

2:1 = 2,0000, ami 0,3820 phi-val több

3:2 = 1,5000, ami 0,1180-al kevesebb, mint a phi

5:3 = 1,6667, ami 0,0486 phi-val több

8:5 = 1,6000, ami 0,0180-al kevesebb, mint a phi

Ahogy haladunk a Fibonacci összegzési szekvencián, minden új tag az elérhetetlen F-hez egyre nagyobb közelítéssel osztja a következőt.

Az ember tudat alatt az isteni arányt keresi: arra van szükség, hogy kielégítse kényelmi szükségletét.

Ha a Fibonacci-sorozat bármely tagját elosztjuk a következővel, csak az 1,618 reciprokát kapjuk (1: 1,618=0,618). De ez is nagyon szokatlan, sőt figyelemre méltó jelenség. Mivel az eredeti arány egy végtelen tört, ennek az aránynak sem szabad vége lenni.

Ha minden számot elosztunk az utána következővel, 0,382-t kapunk

Az arányokat így választva megkapjuk a Fibonacci-együtthatók fő halmazát: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Megemlítjük a 0,5-öt is, amelyek mindegyike különleges szerepet tölt be a természetben és különösen a technikai elemzésben.

Itt meg kell jegyezni, hogy Fibonacci csak a sorozatára emlékeztette az emberiséget, mivel az ókorban Aranymetszet néven ismerték.

Az aranymetszés, mint láttuk, a szabályos ötszöggel kapcsolatban merül fel, így a Fibonacci-számok mindenben szerepet játszanak, ami a szabályos ötszögekhez kapcsolódik - domború és csillag alakú.

A Fibonacci-sorozat csak matematikai incidens maradhatott volna, ha nem lett volna az a tény, hogy a növény- és állatvilág aranyfelosztásának minden kutatója, a művészetről nem is beszélve, változatlanul ehhez a sorozathoz érkezett, mint az aranyosztás törvényének számtani kifejezésére. . A tudósok folytatták a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletének aktív fejlesztését. Yu. Matiyasevics Fibonacci-számok felhasználásával megoldja Hilbert 10. feladatát (a diofantini egyenletek megoldásáról). Elegáns módszerek léteznek számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására Fibonacci-számok és az aranymetszet segítségével. Az USA-ban még a Mathematical Fibonacci Association is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.

Az egyik vívmány ezen a területen az általánosított Fibonacci-számok és az általánosított aranymetszés felfedezése. A Fibonacci-sor (1, 1, 2, 3, 5, 8) és az általa felfedezett „bináris” számsorok 1, 2, 4, 8, 16 ... (vagyis egy számsor n-ig , ahol bármely n-nél kisebb természetes szám ábrázolható e sorozat néhány számának összegeként) első ránézésre teljesen eltérőek. De a felépítésük algoritmusai nagyon hasonlóak egymáshoz: az első esetben minden szám az előző szám összege önmagával 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., a másodikban - ez a két előző szám összege 2 \u003d 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... hogy találjunk egy általános matematikai képletet, amelyből és a " bináris sorozat, valamint a Fibonacci sorozat?

Valóban, állítsunk be egy S numerikus paramétert, amely tetszőleges értéket vehet fel: 0, 1, 2, 3, 4, 5... az előzőtől S lépéssel elválasztva. Ha ennek a sorozatnak az n-edik tagját S (n)-nel jelöljük, akkor az S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1) általános képletet kapjuk.

Nyilvánvalóan, ha S = 0, ebből a képletből egy „bináris” sorozatot kapunk, S = 1-vel - egy Fibonacci-sort, ahol S = 2, 3, 4. Új számsorok, amelyeket S-Fibonacci számoknak nevezünk.

Általánosságban elmondható, hogy az arany S-arány az arany S-metszet x S+1 – x S – 1 = 0 egyenletének pozitív gyöke.

Könnyen kimutatható, hogy S = 0 esetén a szakasz felezését kapjuk, S = 1-nél pedig az ismert klasszikus aranymetszetet.

A szomszédos Fibonacci S-számok abszolút matematikai pontosságú arányai a határértékben egybeesnek az arany S-arányokkal! Vagyis az arany S-szelvények a Fibonacci S-számok numerikus invariánsai.

7. Aranymetszet a művészetben.

7.1. Aranymetszet a festészetben.

A festészet "aranymetszetének" példáira térve nem szabad megállítani a figyelmet Leonardo da Vinci munkásságán. Kiléte a történelem egyik titka. Maga Leonardo da Vinci mondta: "Aki nem matematikus, ne merje elolvasni a műveimet."

Kétségtelen, hogy Leonardo da Vinci nagy művész volt, ezt már kortársai is felismerték, de személyisége és tevékenysége továbbra is rejtélyes marad, hiszen nem elképzeléseinek koherens bemutatását hagyta az utókornak, hanem csak számos kézzel írt vázlatot, jegyzetet. amelyek azt mondják: „mindkettő a világon”.

Monna Lisa (Gioconda) portréja évek óta felkeltette a kutatók figyelmét, akik megállapították, hogy a rajz kompozíciója arany háromszögeken alapul, amelyek egy szabályos csillagötszög részei.

Szintén megjelenik Shishkin festményén az aranymetszet aránya. I. I. Shishkin ezen a híres festményén jól láthatóak az aranymetszet motívumai. A fényesen megvilágított fenyőfa (az előtérben) aranymetszés szerint osztja fel a kép hosszát. A fenyőtől jobbra egy domb található, amelyet a nap világít meg. A kép jobb oldalát vízszintesen osztja fel az aranymetszés szerint.

Raphael "Az ártatlanok mészárlása" című festménye az aranymetszés másik elemét mutatja be - az aranyspirált. Raphael előkészítő vázlatán a kompozíció szemantikai középpontjától - attól a ponttól, ahol a harcos ujjai a gyermek bokája körül zárultak - piros vonalak húzódnak a gyermek alakja mentén, a nőt magához szorítva, a harcost felemelt kardot, majd ugyanannak a csoportnak a figurái mentén a vázlat jobb oldalán . Nem tudni, hogy Raphael megépítette-e az aranyspirált, vagy érezte.

T. Cook az aranymetszetet használta, amikor Sandro Botticelli "Vénusz születése" című festményét elemezte.

7.2. Az aranymetszet piramisai.

A piramisok, különösen az aranymetszet gyógyászati ​​tulajdonságai széles körben ismertek. A leggyakoribb vélemények szerint a helyiség, amelyben egy ilyen piramis található, nagyobbnak tűnik, és a levegő átlátszóbb. Az álmokra kezdenek jobban emlékezni. Az is ismert, hogy az aranymetszés széles körben használatos volt az építészetben és a szobrászatban. Példa erre: a görögországi Pantheon és Parthenon, Bazhenov és Malevics építészek épületei

8. Következtetés.

Azt kell mondanunk, hogy az aranymetszés nagyszerűen alkalmazható az életünkben.

Bebizonyosodott, hogy az emberi testet az aranymetszés arányában osztja az övvonal.

A nautilus héja arany spirálként csavarodott.

Az aranymetszésnek köszönhetően felfedezték a Mars és a Jupiter közötti aszteroidaövet – arányaiban ott kellene lennie még egy bolygónak.

A húr gerjesztése az azt osztó pontban az aranyosztáshoz képest nem fogja rezgésbe hozni a húrt, vagyis ez a kompenzációs pont.

Az elektromágneses energiaforrással rendelkező repülőgépeken négyszögletes cellák jönnek létre az aranymetszet arányával.

A Gioconda arany háromszögekre épül, az arany spirál Raphael "Az ártatlanok mészárlása" című festményén van jelen.

Sandro Botticelli "Vénusz születése" című festményén talált arány

Számos építészeti műemlék épült aranymetszés segítségével, köztük az athéni Pantheon és Parthenon, Bazhenov és Malevics építészek épületei.

John Kepler, aki öt évszázaddal ezelőtt élt, a kijelentés tulajdonosa: "A geometriának két nagy kincse van. Az első a Pitagorasz-tétel, a második egy szakasz felosztása a szélső és az átlagos arányban."

Bibliográfia

1. D. Pidow. Geometria és művészet. – M.: Mir, 1979.

2. "Tudomány és technológia" folyóirat

3. „Quantum” folyóirat, 1973, 8. sz.

4. „Mathematics at School” folyóirat, 1994, 2. szám; 3. sz.

5. Kovalev F.V. Aranymetszet a festészetben. K .: Vyscha iskola, 1989.

6. Sztahov A. Az aranymetszés kódjai.

7. Vorobjov N.N. "Fibonacci számok" - M.: Nauka 1964

8. "Matematika - Enciklopédia gyerekeknek" M .: Avanta +, 1998

9. Információk az internetről.

Fibonacci mátrixok és az úgynevezett "arany" mátrixok, új számítógépes aritmetika, új kódolási elmélet és új kriptográfiai elmélet. Az új tudomány lényege az összes matematika revíziója az aranymetszet szempontjából, Pitagorasztól kezdve, ami természetesen új és minden bizonnyal nagyon érdekes matematikai eredményeket von maga után az elméletben. Gyakorlatilag - "arany" számítógépesítés. És mert...

Ez az eredmény nem lesz hatással. Az aranymetszés alapja a 4-es és 6-os rekurzív arányok invariánsa. Ez mutatja az aranymetszet "stabilitását", az élő anyag szerveződésének egyik alapelvét. Szintén az aranymetszés alapja két egzotikus rekurzív sorozat megoldása (4. ábra). 4 rekurzív Fibonacci szekvencia tehát...

A fül j5, a fül és a korona távolsága pedig j6. Így ebben a szoborban egy geometriai progressziót látunk j nevezővel: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (9. ábra). Így az aranymetszés az ókori Görögország művészetének egyik alapelve. A szív és az agy ritmusa. Az emberi szív egyenletesen ver - körülbelül 60 ütés / perc nyugalmi állapotban. A szív összeszorul, mint egy dugattyú...