Összetett kifejezéseket tartalmazó sorozat. Sorozatok a komplex tartományban Számsorozatok komplex számokkal

463. Mi az egyenlőtlenségek geometriai jelentése: 1) Re z > 0; 2) Im z< 0 ?

2. Összetett kifejezéseket tartalmazó sorozat. Tekintsük a komplex számok sorozatát z 1 , z 2 , z 3 , ..., hol z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...).Állandó szám c = a + bi hívott határ sorozatok z 1 , z 2 , z 3 , ..., ha bármilyen tetszőlegesen kis számra δ>0 van ilyen szám N, mi a jelentése z p számokkal n > N kielégíti az egyenlőtlenséget \z p-Val vel\< δ . Ebben az esetben írnak .

A komplex számsorozat határértékének létezésének szükséges és elégséges feltétele a következő: a szám c=a+bi komplex számsorozat határértéke x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … ha, és csak akkor ha , .

(1)

amelynek tagjai komplex számok nevezzük konvergens, Ha nth az S n sorozat részösszege at p → ∞ egy bizonyos végső határig tart. Ellenkező esetben az (1) sorozatot hívják divergens.

Az (1) sorozat akkor és csak akkor konvergál, ha valós értékű sorozatok konvergálnak

(2) Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját Ez a sorozat, amelynek tagjai végtelenül csökkenő geometriai progressziót alkotnak, konvergál; ezért egy adott sorozat összetett tagokkal abszolút konvergál. ^

474. Keresse meg a sorozat konvergencia területét

Átirat

1 Szövetségi Oktatási Ügynökség Tomszki Állami Építészeti és Építőmérnöki Egyetem SOROK KOMPLEX TAGJÁVAL Útmutató az önálló munkához Összeállította: LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 sor összetett tagokkal: módszertani utasítások / Összeállította LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomszk: Tomszki Állami Építészeti és Építőipari Egyetem Kiadója, lektor NN Belov professzorral, szerkesztő EY Glotova A módszertani utasítások az első éves hallgatók önálló tanulására szolgál szakterületek témakörei A JNF „Matematika” tudományág „Komplex tagjaival” sorozata Megjelent a Felső Matematika Tanszék módszertani szemináriumának döntése alapján, március 4-i jegyzőkönyv Jóváhagyta és hatályba léptette VV Dzyubo tudományos rektorhelyettes 5-től 55-ig Az eredeti tördelést a szerző készítette Nyomtatásra aláírva Formátum 6 84/6 Ofszet papír Betűtípus Idők Oktatási kiadvány l, 6 4. példányszám Rendelés Kiadó TGASU, 64, Tomszk, Solyanaya sq., Az eredeti elrendezésből nyomtatva az OOP TGASU 64, Tomszk, Partizanskaya u. 5

3 KOMPLEX KIFEJEZÉSES SOROK TÉMAKÖR Számsorok komplex tagokkal Emlékezzünk vissza, hogy a komplex számok z = x y formájú számok, ahol x és y valós számok, és a képzetes egységet, amelyet az egyenlőség = - Az x és y számokat ún. a z szám valós és képzetes részei, és jelölik x = Rez, y = Imz Nyilvánvalóan az XOU sík M(x, y) pontjai között derékszögű ortogonális koordinátarendszerrel és z = x y alakú komplex számokkal, Az XOU síkot komplex síknak, z-t pedig ennek a síknak egy pontjának nevezzük. A valós számok az abszcissza tengelynek felelnek meg, amelyet valós tengelynek nevezünk, és a z = y alakú számok felelnek meg az ordináta tengelyre, amelyet képzeletbeli tengelynek nevezünk Ha az M(x,y) pont polárkoordinátáit r és j jelöljük, akkor x = r cosj, y = r s j és a z szám kerül a alakja: z = r (cosj sj), ahol r = x y A komplex szám írásának ezt a formáját trigonometrikusnak, a z z = x y alakban való írását algebrai írásformának nevezzük Az r számot a szám modulusának nevezzük. z, a j szám az argumentum (a z pontban = az argumentum fogalma nincs kiterjesztve) A z szám modulusát a z = x y képlet határozza meg egyértelműen. π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 szám z (ábra) Ennek jelentését meg kell jegyezni, hogy y arq z - π a következőn keresztül fejeződik ki< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, ha x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, ha x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (ábra) М y r = j = p x ábra Trigonometrikus formában a z = - szám a következő formában lesz írva: - = сos π s π и Javasoljuk, hogy a komplex számokkal végzett műveleteket saját maga is megismételje. idézzük fel a z szám hatványra emelésének képletét: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Az elmélet kulcskérdései Rövid válaszok Egy összetett tagú sorozat definíciója Sorozat konvergenciájának fogalma A konvergencia szükséges feltétele Definíció Legyen egy komplex számokból álló z ) = ( x y ) = z, z, z sorozat A az alak szimbóluma ( å = z sorozatnak nevezzük, z a sorozat általános tagja Az S sorozat részösszegei, konvergenciája és divergenciája teljes mértékben megfelelnek a valós tagú sorozatok hasonló fogalmainak. A részleges sorozat egy sorozat összege a következő: S = z; S = z z; S = z z z; Ha $lm S és ez a határ véges és egyenlő az S számmal, a sorozatot konvergensnek, az S számot pedig összegnek nevezzük. Emlékezzünk vissza, hogy a komplex számsorozat határértékének általunk használt definíciója formálisan nem különbözik egy valós számsorozat határértékének meghatározásától: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

A sorozat z általános tagjának 7 nullája Ez azt jelenti, hogy ha ez a feltétel megsértődik, azaz ha lm z ¹, akkor a sorozat eltér, de ha lm z =, akkor a sorozat konvergenciájának kérdése nyitva marad. vizsgálható az å sorozat (x = konvergenciára úgy, hogy x és å = az å = sorozat valós tagokkal való konvergenciáját vizsgáljuk? y, és ha å x = S = ahol å S = (x y) = å = x u , és y = S, akkor S = S S, konvergál - Példa Győződjön meg arról, hogy az å = è () xia sorozat, és keresse meg, hogy az összege 7

8 Megoldás Az å sorozat konvergál, t k ~ = () () amikor Ennek a sorozatnak az S összege egyenlő (fejezet, téma, n) Az å sorozat végtelenül csökkenő geometriai = progresszióként konvergál, å = () и S b = - q = konvergál, és összege Így az S sorozat = Példasor å divergál, t k divergál = è! harmonikus sorozat å Ebben az esetben vizsgáljuk meg az å = sorozatot a konvergencia szempontjából! nincs értelme Példa Az å π tg sorozat divergál, mert = è esetén az å π tg sorozat megsérti a konvergenciához szükséges feltételt = π lm tg = p ¹ и 8

9 Milyen tulajdonságai vannak az összetett tagokat tartalmazó konvergens sorozatoknak? A tulajdonságok megegyeznek a valós tagú konvergens sorozatok tulajdonságaival Javasoljuk a tulajdonságok megismétlését 4 Létezik-e abszolút konvergencia fogalma összetett tagú sorozatokra? Tétel (elegendő feltétel egy sorozat konvergenciájához) Ha az å = z sorozat konvergál, akkor az å = z sorozat is konvergál.Az å = z sorozat abszolút konvergenciájának fogalma formálisan pontosan ugyanúgy néz ki, mint a valós sorozatoknál Definíció Az å = z sorozatot abszolút konvergensnek nevezzük, ha a sorozat konvergál å = z Példa Igazolja a sorozat abszolút konvergenciáját () () () 4 8 Megoldás Használjuk a számírás trigonometrikus alakját: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 Ekkor π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и Még az å sorozatot kell megvizsgálni z konvergenciára = = Ez egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió nevezővel; egy ilyen progresszió konvergál, és ezért a sorozat abszolút konvergál. Az abszolút konvergencia bizonyításakor gyakran alkalmazzák a tételt Tétel Ahhoz, hogy az å = y (x) sorozat abszolút konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy mindkét å sorozat legyen abszolút példasorozat å = (-) è cosπ ! x és å = y abszolút, t k abszolút konvergál å (-), és az å cosπ sorozat abszolút konvergenciája = könnyen igazolható: =!

11 cosπ, és a sor å!! =! konvergál a d'Alembert-kritérium Az összehasonlítási kritérium alapján az å cosπ sorozat konvergál Þ sorozat å =! abszolút konvergál cosπ =! Feladatok megoldása Vizsgálja meg a 4. sorozat konvergenciáját: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и и ;! Megoldás å = è l l A sorozat divergál, mert az å sorozat divergál, ami az összehasonlító teszttel könnyen megállapítható: >, és a harmonikus = l l sorozat å, mint ismeretes, eltér. az integrál Cauchy-próba alapján = l konvergál å (-) = è! l

12 A sorozat konvergál, tehát å =! konvergál a d'Alembert-féle határpróba alapján, és az å (-) sorozat a = l tétel szerint konvergál Leibniz å α π - π cos tg = и и Nyilvánvaló, hogy a sorozat viselkedése az α kitevőtől függ. a sorozatot a β - cosβ = s képlettel írjuk fel: å α π π s tg = и At α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = α å и и и 4 = sorozat konvergál, feltéve, hogy α >, azaz α > esetén és divergál α vagy for esetén, konvergál, mivel π π tg ~ α sorozat esetén å = α α π tg α

13 Így az eredeti sorozat α 4 å = и и pontban fog konvergálni és divergálni! α > Az å sorozat konvergenciáját a = è Cauchy-féle határpróbával vizsgáljuk: lm = lm = > Þ è a sorozat eltér Þ e è Þ el fog térni, és az eredeti 5. sorozat 5. sorozata 6. sorozat abszolút konvergenciáját vizsgáljuk π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = 5. megoldás å = π cos()! å = - π cos abszolút konvergál, tehát (-)-hez! az összehasonlítási kritérium szerint konvergál: π cos, és az å (-) sorozat! (-)! = (-)! d'Alembert tesztje szerint konvergál

14 4 6 å =!) 8 (A sorhoz!) 8 (å = d'Alembert jele:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Vizsgáljuk meg a 7. sorozatot abszolút konvergenciára 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (A válaszok: 7, 8 abszolút konvergálnak , 9 eltér, nem konvergál abszolút

16 TÉMAKÖR Komplex terminusokkal rendelkező hatványsorok A „Funkcionális sorozatok” fejezet tanulmányozása során részletesen megvizsgáltuk azokat a sorozatokat, amelyek tagjai egy valós változó bizonyos függvénysorozatának tagjai voltak. hatványsorok, azaz å = a (x-x) alakú sorozatok Bebizonyosodott (Abel-tétel), hogy minden hatványsornak van egy konvergencia intervalluma (x - R, x R), amelyen belül a sorozat S (x) összege folytonos, és hogy a konvergencia intervallumon belüli hatványsorok tagonként differenciálhatók és tagonként integrálhatóak. Ezek a hatványsorok figyelemre méltó tulajdonságai, amelyek a legszélesebb lehetőségeket nyitották meg számos alkalmazásukra. Ebben a témában hatványsorokat fogunk megvizsgálni nem valós, hanem összetett kifejezésekkel 6 Az elmélet kulcskérdései Rövid válaszok Hatványsor definíciója A hatványsor egy å = a (z - z), () alakú függvénysor, ahol a és z komplex számok, és z egy komplex változó. Abban a speciális esetben, amikor z =, a hatványsor alakja å = a z ()

17 Nyilvánvalóan a () sorozatot a () sorozatra redukáljuk egy új W = z - z változó bevezetésével, így elsősorban a () alakú sorozatokkal fogunk foglalkozni. Ábel-tétel Ha a () hatványsor z = z-hez konvergál. ¹, akkor konvergál, és ráadásul abszolút minden z-re, amelyre z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Ábel tételének van egy következménye, amely kimondja, hogy ha az å = a z sorozat divergál * z = z esetén, akkor divergál minden olyan z esetén is, amelyre * z > z Van-e sugárfogalom a () és () hatványsorokra ) konvergencia? Igen, van egy R konvergenciasugár, egy olyan szám, amelynek az a tulajdonsága, hogy minden z esetén, amelyre z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, () sorozat divergál 4 Mekkora a () sorozatok konvergencia tartománya? Ha R a () sorozat konvergencia sugara, akkor azon z pontok halmaza, amelyekre z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Megtalálható-e az a konvergencia sugara az R = lm és R = lm képletekkel, a a, amely valós tagú hatványsorokra ment végbe? Lehetséges, ha ezek a határértékek léteznek Ha kiderül, hogy R =, ez azt jelenti, hogy a () sorozat csak a z = vagy z = z pontban konvergál a sorozat () esetén, ha R = a sorozat a teljes egészen konvergál. komplex sík Példa Határozza meg az å z = a sorozat konvergencia sugarát Megoldás R = lm = lm = a Így a sorozat egy sugarú körön belül konvergál A példa azért érdekes, mert az x y kör határán< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Emlékezzünk vissza, hogy az å = a x hatványsorok a konvergencia intervallumukon belül nem csak abszolút, hanem egyenletesen is konvergálnak Hasonló állítás érvényes az å = a z sorozatra is: ha egy hatványsor konvergál, és a konvergencia sugara egyenlő R-rel, akkor ez a sorozat bármely zárt körben z r feltéve, hogy r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 egy R sugarú körben > a sorozat konvergenciája, akkor ez a sorozat az f (z) függvény Taylor-sora, azaz f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Az å = () f (z) a = sorozat együtthatói! f () a (z - z) képlettel számítható. Emlékezzünk vissza, hogy az f (z) derivált definíciója formálisan pontosan ugyanúgy adott, mint egy valós változó f (x) függvényére, azaz f (z) ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Az f (z) függvény differenciálásának szabályai megegyeznek a valós változó függvényének differenciálására vonatkozó szabályokkal 7 Milyen esetben az f függvény (z) analitikusnak nevezzük a z pontban? A z pontban analitikus függvény fogalmát analógiával adjuk meg egy f (x) függvény fogalmával, amely egy x pontban valós analitikus Definíció Egy f (z) függvényt analitikusnak nevezzük a z pontban, ha létezik. R > úgy, hogy a z körben z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy egy f (z) függvény analitikus ábrázolása egy z pontban hatványsor formájában egyedi, és ez a sorozat annak Taylor-sora, vagyis a sorozat együtthatóit a képlet () f (z) a =! 8 Komplex változó alapvető elemi függvényei A valós változó függvényeinek hatványsorának elméletében az e x függvény sorkiterjesztését kaptuk: = å x x e, xî(-,) =! Az 5. pont példájának megoldása során meggyőződtünk arról, hogy az å z sorozat a teljes komplex síkon konvergál, z = x speciális esetben összege e x Ez a tény az alábbi - = alapja! a következő ötlet: z komplex értékei esetén az е z függvényt definíció szerint az å z sorozat összegének tekintjük, így =! z e () def å z = =! A ch z és sh z x - x függvények meghatározása Mivel ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23, és az e z függvény most minden z komplexre definiálva van, akkor természetes, hogy ch z = a teljes komplex síkon, def z - z e e def z - z e - e sh z = Így: z -z k e - e z sh z = = hiperbolikus szinusz ; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hiperbolikus koszinusz; k = (k)! shz th z = hiperbolikus érintő; chz chz cth z = hiperbolikus kotangens shz Az s z és cos z függvények meghatározása Használjuk a korábban kapott kiterjesztéseket: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! sorozatok a teljes számegyenesen konvergálnak Ha ezekben a sorozatokban x-et z-re cseréljük, akkor komplex tagokkal rendelkező hatványsorokat kapunk, amelyek, mint jól látható, a teljes komplex síkon konvergálnak, így tetszőleges komplex z függvényeket határozhatunk meg. s z és cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Az exponenciális függvény és a trigonometrikus függvények kapcsolata a komplex síkban Csere a sorozatban å z z e = =! z z-vel, majd z-vel a következőt kapjuk: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Mivel e ()) e k k = (-, így lesz: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) Így: z -z z -z e e e - e сos z = s z = (6) A kapott képletekből egy másik figyelemre méltó képlet következik: z сos z s z = e (7) A (6) és (7) képleteket Euler-képleteknek nevezzük. ezek a képletek a valós z-re is érvényesek. z = j speciális esetben, ahol j valós szám, a (7) képlet a következő alakot ölti: j cos j sj = e (8) Ekkor a z = r komplex szám (cos j s j) a következő formában lesz felírva: j z = re (9) A (9) képletet a z 4 komplex szám írásának exponenciális alakjának nevezzük.

25 Trigonometrikus és hiperbolikus függvényeket összekötő képletek Könnyen bizonyíthatóak a következő képletek: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z Bizonyítsuk be az első és a negyedik képletet (a második bizonyítása javasolt). és a harmadik magad) Használjuk a képleteket ( 6) Euler: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e ch z = = cos z Az sh z = s z és ch z = cos z képletekkel első pillantásra könnyű bizonyítani az s z és cos z függvények meglepő tulajdonságát. Az y = s x függvényekkel ellentétben és y = cos x, az s z és cos z függvények abszolút értéke nem korlátozott. az s z és cos z képzeletbeli tengely abszolút értékben nincs korlátozva Érdekes, hogy s z és cos z esetén minden képlet érvényes, hasonlóan az s x és cos x trigonometrikus függvények képletéhez.A megadott képleteket meglehetősen gyakran használják a tanulmányozás során sorozat a konvergenciára Példa Igazolja az å sorozat abszolút konvergenciáját s = Megoldás Vizsgáljuk meg az å sorozatot konvergenciára s = Mint megjegyeztük, a képzeletbeli tengelyre határolt s z függvény nem 5

26, ezért nem használhatjuk az összehasonlítási kritériumot, az s = sh képletet fogjuk használni. Ekkor å = å s sh = = Az å sh = sorozatot tanulmányozzuk D'Alembert-kritérium segítségével: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () mivel lm =, a modulokból a 8 - = 8 = feltétel alatt konvergál, így a z sorozat< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >a z = - kör pontjai konvergálnak, és ezen a körön kívül, vagyis a sorozatok szétválnak.A z =-ben lévő sorozat viselkedését vizsgáljuk, melynek egyenlete a derékszögű koordinátarendszerben x (y) alakú. = z = 9 esetén az abszolút értékek sorozata a következő formában lesz: å 8 - = å = = hogy ez a sorozat zárt körben Az eredményül kapott sorozat konvergál, ez azt jelenti, hogy z abszolút konvergál. Bizonyítsuk be, hogy az å z z e függvény = periodikus π periódussal (az e z függvénynek ez a tulajdonsága jelentősen megkülönbözteti =! az e x függvénytől) Bizonyítás A periodikus függvény definícióját és a (6) képletet használjuk. Meg kell győződnünk arról, hogy z z e π = e, ahol z = x y Mutassuk meg, hogy ez így van: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Tehát, e z egy periodikus függvény!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Szerezzen egy képletet, amely összeköti az e és π számokat Megoldás Használjuk a j komplex szám írásának exponenciális alakját: z = re z = - esetén r =, j = π lesz, és így π e = - () Csodálatos képlet, és ez annak ellenére, hogy a matematikában a π, e számok megjelenésének semmi köze a másik kettő megjelenéséhez! A () képlet azért is érdekes, mert kiderül, hogy az e z exponenciális függvény az e x függvénytől eltérően negatív értékeket vehet fel e x 5 Keresse meg az å cos x = sorozat összegét! Megoldás Alakítsuk át az x x сos x s x e (e) å = å = å sorozatot!! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Megoldáskor a = cos x s x képletet használtuk kétszer, valamint az (e x) e 6 függvény sorkiterjesztését. Bontsuk ki az f (x) = e x cos x függvényt hatványsorrá, a sorkiterjesztés segítségével. az x() x x x x e = e e = e cos x e s x függvény x() x() x e = å = å megoldása!! = = π cos s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 A kapott sorozat a teljes számtengelyen konvergál, tehát x π (x) () cos-hoz, és az å (x) sorozathoz! 4! =! x< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Határozza meg a sorozat R sugarát és konvergenciakörét. 4 Vizsgálja meg a sorozat viselkedését a konvergenciakör határpontjaiban (a körön fekvő pontokban) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Válaszok:) R =, sorozat a z pontban konvergál = - ;) R =, sorozat abszolút konvergál egy zárt körben z, amelynek középpontja a z = - pontban van, vagy az x (y) függvénye ;) R =, sorozat abszolút konvergál egy z zárt körben vagy x y -nak van alávetve; 4) R =, a sorozat abszolút konvergál egy zárt körben z vagy x y 9 feltétel mellett 7 Bontsa ki az f (x) = e x s x, () x függvényt hatványsorrá az e függvény sorbővítésével 8 Győződjön meg arról, hogy bármely komplex z esetén a következő képletek fordulnak elő: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (használd az Euler-képleteket)

31 AJÁNLOTT IRODALOM JEGYZÉKE Alapirodalom Piskunov, NS Differenciál- és integrálszámítás főiskoláknak / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM A matematikai elemzés alapjai / GM Fichtengolts T - St. Petersburg: Lans 9 Vorobyov48 NN Elméleti sorok / NN Vorobjov - Szentpétervár: Lan, 8 48 s 4 Írásbeli, DT Előadásjegyzet a felsőbb matematikáról Ch / DT Írásbeli M: Iris-press, 8 5 Felső matematika gyakorlatokban és feladatokban Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ stb.] M: ONICS, 8 C Kiegészítő irodalom Kudrjavcev, LD Matematikai elemzés tanfolyam / LD Kudryavtsev TM: Higher school, 98 C Khabibullin, MV Komplex számok: iránymutatások / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6s Moldovanova , EA Sorok és komplex elemzés: tankönyv / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Szövetségi Oktatási Ügynökség Tomszki Állami Építészeti és Építőmérnöki Egyetem FOURIER SOROZAT A FOURIER INTEGRÁL MINT A FOURIER SOROZAT KORLÁTOZÓ ESETE Irányelvek az önálló munkához

RANKS Habarovsk 4 4 SZÁMSOROZAT A számsor olyan kifejezés, ahol a végtelen számsorozatot alkotó számok a sorozat általános tagja, ahol N (N a természetes számok halmaza) Példa

Szövetségi Oktatási Ügynökség Arhangelszki Állami Műszaki Egyetem Építőmérnöki Kar RANKS Útmutató az önálló munkához szükséges feladatok elvégzéséhez Arhangelszk

MOSZKVA ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM POLGÁRI REPÜLÉSI EGYETEM V.M. Lyubimov, E.A. Zsukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov MATEMATIKAI KÉZIKÖNYV a tudományág tanulmányozásához és a tesztfeladatokhoz

5 Hatványsor 5 Hatványsor: definíció, konvergencia tartomány Funkcionális sorozatok (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) ahol, a, a, K, a ,k néhány számot hatványsoroknak nevezünk

Szövetségi Oktatási Ügynökség MOSZKVA ÁLLAMI GEODÉZIAI ÉS KARTOGRÁFIAI EGYETEM (MIIGAIK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev oktatóanyag DIÁKOKNAK A FÜGGETLEN TANULMÁNYHOZ

Téma Komplex számsor Tekintsünk egy k ak számsort, amelynek alakja komplex számok Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha S a k k részösszegeinek S sorozata konvergál. Sőt, a sorozat S határértéke

AZ OROSZ Föderáció OKTATÁSI MINISZTÉRIUMA EGY KOMPLEX VÁLTOZÓ FUNKCIÓI ELMÉLETE Módszertani kézikönyv Összeállította: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova A függvényelmélet módszertani kézikönyvének áttekintése

8 Komplex számsor Tekintsünk egy k a, (46) alakú komplex számsort, ahol (a k) egy adott k komplex tagú számsor A (46) sorozatot konvergensnek nevezzük, ha

Az előadásokat készítette: egyetemi docens Musina MV Definíció A forma kifejezése Numerikus és funkcionális sorozat Számsorok: alapfogalmak (), ahol számsorozatnak (vagy egyszerűen sorozatnak) nevezik Számok, a sorozat tagjai (attól függ

Kohászati ​​Kar Felsőfokú Matematika Tanszék RANKS Módszertani utasítások Novokuznyeck 5 Szövetségi Oktatási Ügynökség Állami felsőoktatási intézmény

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény, a Novgorodi Állami Egyetem névadója

Szövetségi Oktatási Ügynökség Szövetségi Állami Szakmai Felsőoktatási Intézmény DÉL SZÖVETSÉGI EGYETEM R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Módszertani

Számsorozat Számsorozat Def A számsorozat egy numerikus függvény, amely az x természetes számok halmazán van definiálva - az x =, x =, x =, x = sorozat általános tagja,

Szövetségi Oktatási Ügynökség Moszkvai Állami Geodéziai és Térképészeti Egyetem (MIIGAIK) MÓDSZERI UTASÍTÁSOK ÉS FELADATOK AZ ÖNÁLLÓ MUNKÁHOZ a FELSŐ MATEMATIKA numerikus kurzusban

MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK SZÁMÍTÁSI FELADATOKHOZ FELSŐ MATEMATIKA TERMÉSZÉBEN „KÖZÖSSÉGES DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK SOROZAT DUPLÉS INTEGRÁL” RÉSZ TÉMASOROZAT Tartalom Sorozat Számsor Konvergencia és divergencia

Szövetségi Oktatási Ügynökség Állami felsőoktatási szakmai felsőoktatási intézmény, a Novgorodi Állami Egyetem, Jaroszlav, a Bölcs Elektronikus Intézet nevét viselő

A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma Vitebsk Állami Műszaki Egyetem Téma. "Sorok" Elméleti és Alkalmazott Matematika Tanszék. dolgozta ki Assoc. E.B. Dunina. Alapvető

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓS KÖZLEKEDÉSI MINISZTÉRIUM SZÖVETSÉGI ÁLLAMI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY ULYANOVSK FELSŐ REPÜLÉSI ISKOLA POLGÁRI REPÜLÉSI INTÉZET

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Tomski Állami Építészeti és Építőipari

Sgups Felsőmatematika Tanszék Módszertani utasítások szabványos számítások elvégzéséhez „Sorozat” Novoszibirszk 006 Néhány elméleti információ Számsorozat Legyen u ; u ; u ; ; u ; végtelen szám van

AZ OROSZORSZÁG OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA KAZÁN ÁLLAMI ÉPÍTÉSZETI ÉS ÉPÍTÉSI EGYETEM Felsőmatematika Tanszék NUMERIKUS ÉS FUNKCIONÁLIS SOROZAT Irányelvek

N ELŐADÁS 7. Hatványsorok és Taylor sorozatok.. Hatványsorok..... Taylor sorozatok... 4. Néhány elemi függvény kiterjesztése Taylor és Maclaurin sorozatokra.... 5 4. Hatványsorok alkalmazása... 7 .Tápellátás

Modul Téma Funkcionális sorozatok és sorozatok Sorozatok és sorozatok egyenletes konvergenciájának tulajdonságai Hatványsor Előadás Funkcionális sorozatok és sorozatok definíciói Egységesen

BELORÚSZ ÁLLAMI GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KAR GAZDASÁGI INFORMÁCIÓS ÉS MATEMATIKAI GAZDASÁGTAN TANSZÉK Sorok Jegyzetek és workshop közgazdász hallgatóknak

Az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma Uljanovszki Állami Műszaki Egyetem NUMERIKUS ÉS FUNKCIONÁLIS SOROZAT FOURIER SOROZAT Uljanovszk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 bíráló fizika és matematika kandidátusa

3724 TÖBB SOROZATOK ÉS GÖRBELI INTEGRÁLOK 1 „TÖBB SOROZATOK ÉS KÖRBELI INTEGRÁLOK” SZEKCIÓK MUNKAPROGRAMJA 11 Számsor Számsor fogalma Számsor tulajdonságai Számsorok tulajdonságai A konvergencia szükséges jele

Fejezet Sorozat Valamely számsorozat tagösszegének formális jelölése A számsorokat számsoroknak nevezzük Az S összegeket a sorozat részösszegeinek nevezzük Ha van S, S határérték, akkor a sorozat

Előadás. Funkcionális sorozat. Funkcionális sorozat definíciója Funkcionálisnak nevezzük azt a sorozatot, amelynek tagjai x függvényei: u = u (x) + u + K+ u + K = Ha x-nek egy bizonyos x értéket adunk,

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin 1 Power sorozat. Konvergencia sugár és konvergencia intervallum. A konvergencia jellege. Integráció és differenciálás. 1.1 Konvergencia sugár és konvergencia intervallum. Funkcionális tartomány

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Szibériai Állami Ipari Egyetem"

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Szibériai Állami Ipari Egyetem"

Matematikai elemzés Szekció: Numerikus és funkcionális sorozatok Témakör: Hatványsorok. Egy függvény kiterjesztése hatványsorba Előadó Rozhkova S.V. 3 34. Hatványsorok A hatványsorok hatványok sorozata

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY „SZAMARA ÁLLAMI REPÜLÉSI EGYETEM”

AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA Nyizsnyij Novgorodi Nemzeti Kutatási Egyetem, NI Lobacsevszkij NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcseva AZ ELEMZŐ FUNKCIÓK RANCSAI

„Sor” tesztek önellenőrzéshez Egy sorozat konvergenciájának szükséges jele Tétel a konvergencia szükséges jele Ha a sorozat konvergál, akkor lim + Következmény elégséges feltétele a sorozat divergenciájának Ha lim, akkor a sorozat eltér

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma A "Szibériai Szövetségi Egyetem" Szövetségi Állami Autonóm Oktatási Intézmény Achinszki fiókja MATEMATIKA

(függvénysoros hatványsor konvergenciatartomány a konvergencia intervallum megtalálásának sorrendje - példa sugara a konvergencia intervallumra) Legyen adott egy végtelen függvénysorozat, Funkcionális

Sorozat Számsor Általános fogalmak Definíció Ha minden természetes szám egy bizonyos törvény szerint egy bizonyos számhoz kapcsolódik, akkor a számozott számok halmazát számsorozatnak nevezzük,

Az Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma MATI - OROSZ ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM K E CIOLKOVSZKIJ Felsőfokú Matematika Tanszék RANKS Irányelvei a tanfolyami munkához Összeállította:

3. előadás Taylor és Maclaurin sorozat Hatványsorok alkalmazása Függvények kiterjesztése hatványsorokká Taylor és Maclaurin sorozatok Az alkalmazásoknál fontos, hogy egy adott függvényt hatványsorba tudjunk bővíteni, azokat a függvényeket

ÁLLAMI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY "BELORUSZ-ORROSZ EGYETEM" "Felsőmatematika" Tanszék FELSŐ MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIKAI ELEMZÉSI RENDSZEREK Módszertani ajánlások

Numerikus és hatványsorozat Lecke. Számsorozat. A sorozat összege. A konvergencia jelei.. Számítsa ki a sorozat összegét! 6 Megoldás. Egy q végtelen geometriai haladás tagjainak összege egyenlő, ahol q a haladás nevezője.

A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma Oktatási intézmény "Mogilev Állami Élelmiszertudományi Egyetem" Felsőfokú Matematika Tanszék FELSŐ MATEMATIKA Útmutató a gyakorlathoz

6. előadás Függvény kiterjesztése hatványsorba A bővítés egyedisége Taylor és Maclaurin sorozat Néhány elemi függvény hatványsorává bővítése Hatványsorok alkalmazása Korábbi előadásokon

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Tomski Állami Építészeti és Építőipari

4 Függvénysorozat 4 Alapdefiníciók Legyen egy végtelen függvénysorozat, amelynek közös definíciós tartománya X u), u (), K, u (),K (DEFINÍCIÓ u) + u () + K + u () +

A KOMPLEX VÁLTOZÓS MŰVELETI SZÁMÍTÁS FUNKCIÓI ELMÉLETÉNEK ELEMEI A téma tanulmányozása eredményeként a hallgatónak meg kell tanulnia: meg kell találnia egy komplex szám trigonometrikus és exponenciális alakját a szerint.

Szövetségi Oktatási Ügynökség Állami felsőoktatási intézmény "Urali Állami Pedagógiai Egyetem" Matematikai Kar Tanszék

KAZÁN ÁLLAMI EGYETEM Matematikai Statisztikai Tanszék NUMERIKUS SOROZAT Oktatási és módszertani kézikönyv KAZAN 008 Megjelent a Kazáni Egyetem Tudományos és Módszertani Tanácsa szekciójának határozata alapján

Funkcionális sorozat Funkcionális sorozat, a függvény összege és tartománya o Legyen adott k függvénysorozat a valós vagy komplex számok Δ tartományában (k 1 Egy funkcionális sorozatot ún.

Szövetségi Oktatási Ügynökség MOSZKVA ÁLLAMI GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIAI EGYETEM (MIIGAIK) O. V. Isakova L. A. Saykova ÚTMUTATÓ DIÁKOKNAK A SZEKCIÓ FÜGGETLEN TANULMÁNYÁHOZ

Fejezet Hatványsorok a a a Az a a a a a () alakú sorozatot hatványsornak nevezzük, ahol, a, a sorozat együtthatóinak nevezett állandók Néha általánosabb formájú hatványsort veszünk figyelembe: a a(a) a(a) a(a) (), ahol

ELŐADÁS N34. Számsorok összetett kifejezésekkel. Hatványsorok a komplex tartományban. Analitikai funkciók. Inverz függvények..numerikus sorozatok összetett kifejezésekkel.....hatványsorok a komplex tartományban....

Opció Feladat Számítsa ki a függvény értékét, adja meg a választ algebrai formában: a sh ; b l Megoldás a Használjuk a trigonometrikus szinusz és a hiperbolikus szinusz kapcsolatának képletét: ; sh -s Get

Szövetségi Oktatási Ügynökség Állami felsőoktatási szakmai felsőoktatási intézmény Ukhta Állami Műszaki Egyetem KOMPLEX SZÁMOK Irányelvek

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY „SZAMARA ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM” Alkalmazott Matematika Tanszék

Funkcionális sorozatok 7-8. előadások 1 Konvergencia területe 1 Az u () u () u () u (), 1 2 u () formájú sorozatot, ahol a függvények egy bizonyos intervallumon vannak definiálva, funkcionális sorozatnak nevezzük. . Az összes pont halmaza

Szövetségi Oktatási Ügynökség Állami felsőoktatási felsőoktatási intézmény Ukhta Állami Műszaki Egyetem (USTU) LIMIT FUNKCIÓK Módszertani

ELŐADÁS Egyenértékű infinitezimálisok Első és második figyelemre méltó határérték Végtelenül nagy és infinitezimális függvények összehasonlítása Az f () függvényt infinitezimálisnak nevezzük egy a (a) pontban, ha (

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Tomski Állami Építészeti és Építőipari

Előadás Számsor A konvergencia jelei Számsorok A konvergencia jelei Egy végtelen számsorozat + + + + végtelen kifejezését, amely egy végtelen számsoraiból áll, számsorozatnak nevezzük.

EV Nebogina, OS Afanasyeva SOROZAT GYAKORLAT A FELSŐ MATEMATIKÁBAN Samara 9 SZÖVETSÉGI OKTATÁSI ÜGYNÖKSÉG ÁLLAMI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY „SZAMARSKIJ”

III. fejezet TÖBB VÁLTOZÓ FUNKCIÓJÁNAK INTEGRÁLSZÁMÍTÁSA, KOMPLEX VÁLTOZÓ FUNKCIÓI, SOROZAT Kettős integrálok IRODALOM: , ch. ,glii; , XII, 6. fejezet A témával kapcsolatos problémák megoldásához szükséges,