Online térképezés. Függvény grafikon ábrázolása Pontok ábrázolása egy koordinátasíkon

Építési funkció

Figyelmébe ajánljuk a függvénygrafikonok online összeállítására szolgáló szolgáltatást, amelynek minden joga a céget illeti Desmos. A bal oldali oszlop segítségével adja meg a függvényeket. Beírhat kézzel vagy az ablak alján található virtuális billentyűzet segítségével. Az ablak grafikonnal való nagyításához elrejtheti a bal oldali oszlopot és a virtuális billentyűzetet is.

Az online térképezés előnyei

  • A bevitt funkciók vizuális megjelenítése
  • Nagyon összetett grafikonok készítése
  • Implicit módon megadott gráfok felépítése (például ellipszis x^2/9+y^2/16=1)
  • Lehetőség a diagramok mentésére és a rájuk mutató hivatkozás fogadására, amely mindenki számára elérhetővé válik az interneten
  • Skála és vonalszín szabályozása
  • Grafikonok pontonkénti ábrázolásának lehetősége, állandók használatával
  • Több függvénygrafikon egyidejű ábrázolása
  • Polárkoordináták ábrázolása (használjon r és θ(\theta))

Nálunk könnyű különféle bonyolultságú grafikonokat készíteni online. Az építkezés azonnal megtörténik. Igény van a szolgáltatásra a függvények metszéspontjainak megtalálására, a feladatok megoldása során a Word dokumentumba történő további áthelyezésére szolgáló gráfok ábrázolására, valamint a függvénygráfok viselkedési sajátosságainak elemzésére. Az ezen a webhelyen található diagramokkal való munkavégzéshez az optimális böngésző a Google Chrome. Más böngészők használata esetén a megfelelő működés nem garantált.

Korábban más függvényeket is tanulmányoztunk, például a lineárist, emlékezzünk vissza a szabványos formájára:

innen ered a nyilvánvaló alapvető különbség – a lineáris függvényben x első fokon áll, és az új funkcióban kezdjük tanulmányozni, xáll a második hatalomhoz.

Emlékezzünk vissza, hogy egy lineáris függvény grafikonja egy egyenes, a függvény grafikonja pedig, mint látni fogjuk, egy parabolának nevezett görbe.

Kezdjük azzal, hogy megtudjuk, honnan származik a képlet. A magyarázat a következő: ha adunk egy négyzetet oldallal A, akkor a területét a következőképpen számíthatjuk ki:

Ha megváltoztatjuk egy négyzet oldalának hosszát, akkor a területe is megváltozik.

Tehát ez az egyik oka annak, hogy a függvényt tanulmányozzák

Emlékezzünk arra, hogy a változó x- ez egy független változó, vagy fizikai értelmezésben argumentum, lehet például az idő. A távolság éppen ellenkezőleg, függő változó, az időtől függ. A függő változó vagy függvény egy változó nál nél.

Ez a megfelelés törvénye, amely szerint minden érték x egyetlen érték van hozzárendelve nál nél.

Bármely megfelelési törvénynek meg kell felelnie az érvtől a funkcióig terjedő egyediség követelményének. Fizikai értelmezésben ez elég egyértelműnek tűnik a távolság időfüggőségének példáján keresztül: minden időpillanatban egy bizonyos távolságra vagyunk a kiindulási ponttól, és lehetetlen egyszerre 10 és 20 kilométerre lenni a kezdettől. az utazás egyidejűleg a t időpontban.

Ugyanakkor minden függvényérték több argumentumértékkel is elérhető.

Tehát létre kell hoznunk a függvény grafikonját, ehhez egy táblázatot kell készítenünk. Ezután tanulmányozza a függvényt és tulajdonságait a grafikon segítségével. De még mielőtt a függvény típusa alapján megszerkesztenénk a gráfot, elmondhatunk valamit a tulajdonságairól: nyilvánvaló, hogy nál nél nem vehet fel negatív értékeket, mivel

Tehát készítsünk egy táblázatot:

Rizs. 1

A grafikonról könnyen észrevehető a következő tulajdonságok:

Tengely nál nél- ez a gráf szimmetriatengelye;

A parabola csúcsa pont (0; 0);

Látjuk, hogy a függvény csak nem negatív értékeket fogad el;

Abban az intervallumban, ahol a függvény csökken, és azon az intervallumon, ahol a függvény növekszik;

A függvény a legkisebb értékét a csúcson kapja, ;

Egy függvénynek nincs legnagyobb értéke;

1. példa

Feltétel:

Megoldás:

Mert a x egy adott intervallumon bekövetkező feltétel változással azt mondhatjuk a függvényről, hogy az intervallumon növekszik és változik. A függvénynek ezen az intervallumon van egy minimális és egy maximális értéke

Rizs. 2. Az y = x 2, x ∈ függvény grafikonja

2. példa

Feltétel: Keresse meg egy függvény legnagyobb és legkisebb értékét:

Megoldás:

x intervallum alatt változik, ami azt jelenti nál nél csökken a while intervallumon, és nő a while intervallumon.

Tehát a változás határai x, és a változás határai nál nél, és ezért egy adott intervallumon van a függvénynek egy minimális értéke és egy maximuma is

Rizs. 3. Az y = x 2, x ∈ [-3] függvény grafikonja; 2]

Illusztráljuk, hogy ugyanaz a függvényérték több argumentumértékkel is elérhető.

A függvénygráf egy függvény viselkedésének vizuális megjelenítése egy koordinátasíkon. A grafikonok segítenek megérteni egy függvény különböző aspektusait, amelyek nem határozhatók meg magából a függvényből. Számos függvény grafikonját összeállíthatja, és mindegyikük egy adott képletet kap. Bármely függvény grafikonja egy adott algoritmus segítségével épül fel (ha elfelejtette egy adott függvény grafikus ábrázolásának pontos folyamatát).

Lépések

Lineáris függvény ábrázolása

    Határozza meg, hogy a függvény lineáris-e. A lineáris függvényt a forma képlete adja meg F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) vagy y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(például ), grafikonja pedig egy egyenes. Így a képlet egy változót és egy állandót (konstanst) tartalmaz kitevők, gyökjelek vagy hasonlók nélkül. Ha egy hasonló típusú függvényt adunk meg, akkor nagyon egyszerű egy ilyen függvény grafikonját ábrázolni. Íme további példák a lineáris függvényekre:

    Használjon konstanst egy pont megjelölésére az Y tengelyen. A (b) konstans annak a pontnak az „y” koordinátája, ahol a gráf metszi az Y tengelyt, azaz olyan pontról van szó, amelynek „x” koordinátája 0. Tehát ha x = 0 behelyettesítjük a képletbe. , akkor y = b (konstans). Példánkban y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) a konstans egyenlő 5-tel, vagyis az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5). Ábrázolja ezt a pontot a koordinátasíkon.

    Keresse meg a vonal meredekségét. Ez egyenlő a változó szorzójával. Példánkban y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) az „x” változóval 2-es tényező; így a lejtés együtthatója egyenlő 2. A lejtős együttható határozza meg az egyenes dőlésszögét az X tengelyhez képest, vagyis minél nagyobb a meredekségtényező, annál gyorsabban nő vagy csökken a függvény.

    Írja fel a lejtőt törtként! A szögegyüttható megegyezik a dőlésszög érintőjével, vagyis a függőleges távolság (egy egyenes két pontja között) és a vízszintes távolság (ugyanazon pontok közötti) arányával. Példánkban a meredekség 2, így kijelenthetjük, hogy a függőleges távolság 2 és a vízszintes távolság 1. Írja ezt törtként: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

    • Ha a meredekség negatív, a függvény csökken.

  1. Attól a ponttól kezdve, ahol az egyenes metszi az Y tengelyt, ábrázoljon egy második pontot függőleges és vízszintes távolságok használatával. Egy lineáris függvény két pont segítségével ábrázolható. Példánkban az Y tengellyel való metszéspont koordinátái (0,5); Ettől a ponttól lépj 2 szóközzel feljebb, majd 1 szóközzel jobbra. Jelöljön meg egy pontot; koordinátái lesznek (1,7). Most húzhat egy egyenes vonalat.

    Vonalzó segítségével húzzon egyenes vonalat két ponton. A hibák elkerülése érdekében keresse meg a harmadik pontot, de a legtöbb esetben a grafikon két pont segítségével is ábrázolható. Így egy lineáris függvényt ábrázolt.

    Pontok ábrázolása a koordinátasíkon

    1. Határozzon meg egy függvényt. A függvény jelölése f(x). Az "y" változó minden lehetséges értékét a függvény tartományának, az "x" változó minden lehetséges értékét pedig a függvény tartományának nevezzük. Például vegyük az y = x+2 függvényt, nevezetesen f(x) = x+2.

      Rajzolj két egymást metsző merőleges vonalat. A vízszintes vonal az X tengely A függőleges vonal az Y tengely.

      Jelölje be a koordinátatengelyeket. Oszd fel az egyes tengelyeket egyenlő szegmensekre, és számozd meg őket. A tengelyek metszéspontja 0. Az X tengelynél: a pozitív számok jobbra (0-tól), a negatív számok balra vannak ábrázolva. Az Y tengelyre: a pozitív számok felül (0-tól), a negatív számok pedig alul vannak ábrázolva.

      Keresse meg az "y" értékeit az "x" értékei közül. Példánkban f(x) = x+2. Helyettesítsen be adott x értékeket ebbe a képletbe a megfelelő y értékek kiszámításához. Ha összetett függvényt adunk, egyszerűsítsük úgy, hogy az egyenlet egyik oldalán elválasztjuk az „y”-t.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

    2. Ábrázoljuk a pontokat a koordinátasíkon. Minden koordinátapárnál tegye a következőket: keresse meg a megfelelő értéket az X tengelyen, és rajzoljon egy függőleges vonalat (pontozott); keresse meg a megfelelő értéket az Y tengelyen, és rajzoljon egy vízszintes vonalat (szaggatott vonal). Jelölje meg a két szaggatott vonal metszéspontját; így egy pontot ábrázolt a grafikonon.

      Törölje a szaggatott vonalakat. Ezt azután végezze el, hogy a grafikonon az összes pontot a koordinátasíkon ábrázolta. Megjegyzés: az f(x) = x függvény grafikonja a koordináták középpontján átmenő egyenes [pont koordinátákkal (0,0)]; az f(x) = x + 2 gráf az f(x) = x egyenessel párhuzamos, de két egységgel felfelé eltolt egyenes, ezért átmegy a (0,2) koordinátájú ponton (mivel az állandó 2) .

    Összetett függvény ábrázolása

      Keresse meg a függvény nulláit! A függvény nullái az x változó értékei, ahol y = 0, vagyis ezek azok a pontok, ahol a grafikon metszi az X-tengelyt lépése bármely függvény grafikus ábrázolásának folyamatában. Egy függvény nulláinak megtalálásához egyenlővé tegyük azt nullával. Például:

      Keresse meg és jelölje meg a vízszintes aszimptotákat. Az aszimptota egy olyan egyenes, amelyet egy függvény grafikonja megközelít, de soha nem metszi egymást (azaz ebben a tartományban a függvény nincs definiálva, pl. 0-val osztva). Jelölje meg az aszimptotát szaggatott vonallal. Ha az "x" változó egy tört nevezőjében van (pl. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), állítsa a nevezőt nullára, és keresse meg az „x”-et. Az „x” változó kapott értékeiben a függvény nincs definiálva (példánkban szaggatott vonalakat húzz x = 2 és x = -2 között), mert nem oszthatsz 0-val. De aszimptoták nem csak azokban az esetekben léteznek, amikor a függvény törtkifejezést tartalmaz. Ezért ajánlott a józan ész használata:

A modulokat tartalmazó függvénygráfok készítése általában jelentős nehézségeket okoz az iskolásoknak. Azonban nem minden olyan rossz. Elegendő néhány algoritmust megjegyezni az ilyen problémák megoldásához, és könnyedén elkészítheti a grafikont a legbonyolultabbnak tűnő függvényről is. Nézzük meg, milyen algoritmusok ezek.

1. Az y = |f(x)| függvény grafikonjának ábrázolása

Vegye figyelembe, hogy a függvényértékek halmaza y = |f(x)| : y ≥ 0. Így az ilyen függvények grafikonjai mindig teljes egészében a felső félsíkban helyezkednek el.

Az y = |f(x)| függvény grafikonjának ábrázolása a következő egyszerű négy lépésből áll.

1) Óvatosan és körültekintően készítse el az y = f(x) függvény grafikonját!

2) Hagyja változatlanul a grafikon minden olyan pontját, amely a 0x tengely felett vagy azon található.

3) Jelenítse meg a grafikon azon részét, amely a 0x tengely alatt van, szimmetrikusan a 0x tengelyhez képest.

Példa 1. Rajzolja meg az y = |x 2 – 4x + 3| függvény grafikonját

1) Megszerkesztjük az y = x 2 – 4x + 3 függvény grafikonját. Nyilvánvalóan ennek a függvénynek a grafikonja egy parabola. Határozzuk meg a parabola és a koordinátatengelyek összes metszéspontjának koordinátáit és a parabola csúcsának koordinátáit.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Ezért a parabola a (3, 0) és (1, 0) pontokban metszi a 0x tengelyt.

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Ezért a parabola a (0, 3) pontban metszi a 0y tengelyt.

Parabola csúcs koordinátái:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Ezért a (2, -1) pont ennek a parabolának a csúcsa.

A kapott adatok felhasználásával rajzoljunk parabolát! (1. ábra)

2) A grafikonnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x tengelyhez képest.

3) Megkapjuk az eredeti függvény grafikonját ( rizs. 2 szaggatott vonallal ábrázolva).

2. Az y = f(|x|) függvény ábrázolása

Vegye figyelembe, hogy az y = f(|x|) alakú függvények párosak:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Ez azt jelenti, hogy az ilyen függvények grafikonjai szimmetrikusak a 0y tengelyre.

Az y = f(|x|) függvény grafikonjának ábrázolása a következő egyszerű műveleti láncból áll.

1) Ábrázolja az y = f(x) függvényt!

2) Hagyja el a gráfnak azt a részét, amelyre x ≥ 0, azaz a gráfnak azt a részét, amely a jobb oldali félsíkban található.

3) Jelenítse meg a grafikon (2) pontban meghatározott részét szimmetrikusan a 0y tengelyre.

4) Végső grafikonként válassza ki a (2) és (3) pontban kapott görbék unióját!

2. példa Rajzolja meg az y = x 2 – 4 · |x| függvény grafikonját + 3

Mivel x 2 = |x| 2, akkor az eredeti függvény a következő formában írható át: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Most már alkalmazhatjuk a fent javasolt algoritmust.

1) Gondosan és körültekintően elkészítjük az y = x 2 – 4 x + 3 függvény grafikonját (lásd még rizs. 1).

2) Meghagyjuk a gráfnak azt a részét, amelyre x ≥ 0, vagyis a gráfnak azt a részét, amely a jobb oldali félsíkban található.

3) Jelenítse meg a grafikon jobb oldalát szimmetrikusan a 0y tengelyre.

(3. ábra).

3. példa Rajzolja meg az y = log 2 |x| függvény grafikonját

A fenti sémát alkalmazzuk.

1) Készítsd el az y = log 2 x függvény grafikonját (4. ábra).

3. Az y = |f(|x|)| függvény ábrázolása

Vegye figyelembe, hogy az y = |f(|x|)| alakú függvények szintén egyenletesek. Valóban, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), ezért grafikonjaik szimmetrikusak a 0y tengelyre. Az ilyen függvények értékkészlete: y ≥ 0. Ez azt jelenti, hogy az ilyen függvények grafikonjai teljes egészében a felső félsíkban helyezkednek el.

Az y = |f(|x|)| függvény ábrázolásához a következőket kell tennie:

1) Óvatosan készítse el az y = f(|x|) függvény gráfját!

2) Hagyja változatlanul a grafikonnak azt a részét, amely a 0x tengely felett vagy azon található.

3) Jelenítse meg a grafikon 0x tengely alatti részét szimmetrikusan a 0x tengelyhez képest.

4) Végső grafikonként válassza ki a (2) és (3) pontban kapott görbék unióját!

4. példa Rajzolja meg az y = |-x 2 + 2|x| függvény grafikonját – 1|.

1) Vegye figyelembe, hogy x 2 = |x| 2. Ez azt jelenti, hogy az eredeti függvény helyett y = -x 2 + 2|x| - 1

használhatja az y = -|x| függvényt 2 + 2|x| – 1, mivel a grafikonjaik egybeesnek.

Egy y = -|x| gráfot készítünk 2 + 2|x| – 1. Ehhez a 2. algoritmust használjuk.

a) Ábrázolja az y = -x 2 + 2x – 1 függvényt! (6. ábra).

b) Meghagyjuk a gráfnak azt a részét, amely a jobb oldali félsíkban található.

c) A kapott grafikonrészt szimmetrikusan jelenítjük meg a 0y tengelyre.

d) A kapott grafikont az ábrán a pontozott vonal mutatja (7. ábra).

2) A 0x tengely felett nincsenek pontok, a 0x tengelyen lévő pontokat változatlanul hagyjuk.

3) A grafikonnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x-hez képest.

4) A kapott grafikont az ábrán pontozott vonal jelzi (8. ábra).

5. példa: Ábrázolja az y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Először meg kell ábrázolnia az y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) függvényt. Ehhez visszatérünk a 2. algoritmushoz.

a) Óvatosan ábrázolja az y = (2x – 4) / (x + 3) függvényt (9. ábra).

Vegye figyelembe, hogy ez a függvény tört lineáris, és grafikonja hiperbola. A görbe ábrázolásához először meg kell találni a grafikon aszimptotáit. Vízszintes – y = 2/1 (x együtthatóinak aránya a tört számlálójában és nevezőjében), függőlegesen – x = -3.

2) Változatlanul hagyjuk a grafikonnak azt a részét, amely a 0x tengely felett van vagy rajta.

3) A grafikonnak a 0x tengely alatti része szimmetrikusan jelenik meg a 0x-hez képest.

4) A végső grafikon az ábrán látható (11. ábra).

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Oszd meg a barátaiddal:
Kapcsolódó kiadványok