Hogyan oldjuk meg az egyenlőtlenségeket 2 változóval. Óra összefoglalója "egyenlőtlenségrendszerek megoldása két változóval". két változóval

Tantárgy: Egyenletek és egyenlőtlenségek. Egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek

Lecke:Egyenletek és egyenlőtlenségek két változóval

Tekintsünk általánosságban egy egyenletet és egy kétváltozós egyenlőtlenséget.

Egyenlet két változóval;

Két változós egyenlőtlenség, az egyenlőtlenség jele bármi lehet;

Itt x és y változók, p egy tőlük függő kifejezés

Egy () számpárt egy ilyen egyenlet vagy egyenlőtlenség részmegoldásának nevezzük, ha ezt a párat a kifejezésbe behelyettesítve megkapjuk a megfelelő egyenletet, illetve egyenlőtlenséget.

A feladat az összes megoldás halmazának megtalálása vagy síkon való ábrázolása. Ezt a feladatot átfogalmazhatja – keresse meg a pontok helyét (GLP), készítsen egyenlet vagy egyenlőtlenség grafikonját.

1. példa - egyenlet és egyenlőtlenség megoldása:

Más szavakkal, a feladat magában foglalja a GMT megtalálását.

Tekintsük az egyenlet megoldását. Ebben az esetben az x változó értéke tetszőleges lehet, így van:

Nyilvánvalóan az egyenlet megoldása az egyenest alkotó pontok halmaza

Rizs. 1. Egyenletgrafikon 1. példa

Egy adott egyenlet megoldásai különösen a (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1) pontok.

Az adott egyenlőtlenség megoldása egy, az egyenes felett elhelyezkedő félsík, beleértve magát az egyenest is (lásd 1. ábra). Valóban, ha felvesszük az egyenes bármely x 0 pontját, akkor megvan az egyenlőség. Ha felveszünk egy pontot egy félsíkban egy egyenes felett, akkor . Ha egy pontot veszünk a félsíkban az egyenes alatt, akkor az nem elégíti ki egyenlőtlenségünket: .

Most fontolja meg a problémát egy körrel és egy körrel.

2. példa - egyenlet és egyenlőtlenség megoldása:

Tudjuk, hogy az adott egyenlet egy olyan kör egyenlete, amelynek középpontja az origóban van és sugara 1.

Rizs. 2. Illusztráció például 2

Egy tetszőleges x 0 pontban az egyenletnek két megoldása van: (x 0; y 0) és (x 0; -y 0).

Egy adott egyenlőtlenség megoldása a körön belül elhelyezkedő pontok halmaza, magát a kört figyelmen kívül hagyva (lásd 2. ábra).

Tekintsünk egy egyenletet modulokkal.

3. példa - oldja meg az egyenletet:

Ebben az esetben lehetséges lenne a modulok bővítése, de figyelembe vesszük az egyenlet sajátosságait. Könnyen belátható, hogy ennek az egyenletnek a grafikonja szimmetrikus mindkét tengelyre. Ekkor ha az (x 0 ; y 0) pont megoldás, akkor az (x 0 ; -y 0) pont is megoldás, a (-x 0 ; y 0) és (-x 0 ; -y 0) pontok ) is megoldást jelentenek.

Így elég olyan megoldást találni, ahol mindkét változó nem negatív, és szimmetriát vesz a tengelyek körül:

Rizs. 3. Illusztráció például 3

Tehát, mint látjuk, az egyenlet megoldása egy négyzet.

Nézzük meg egy konkrét példán keresztül az úgynevezett területmódszert.

4. példa - ábrázolja az egyenlőtlenség megoldásainak halmazát:

A tartományok módszere szerint mindenekelőtt a bal oldalon lévő függvényt vesszük figyelembe, ha a jobb oldalon nulla van. Ez két változó függvénye:

Az intervallumok módszeréhez hasonlóan átmenetileg eltávolodunk az egyenlőtlenségtől, és tanulmányozzuk az összeállított függvény jellemzőit, tulajdonságait.

ODZ: ez azt jelenti, hogy az x tengely kilyukad.

Most jelezzük, hogy a függvény egyenlő nullával, amikor a tört számlálója nulla, a következőt kapjuk:

Megszerkesztjük a függvény grafikonját.

Rizs. 4. A függvény grafikonja, figyelembe véve az ODZ-t

Most vegyük figyelembe a függvény állandó előjelű területeit, amelyeket egy egyenes és egy szaggatott vonal alkot. a szaggatott vonalon belül a D 1 terület található. Szaggatott vonal és egyenes szakasz között - D 2 terület, vonal alatt - D 3 terület, szaggatott vonal és egyenes szakasz között - D 4 terület

Mindegyik kiválasztott területen a függvény megtartja előjelét, ami azt jelenti, hogy elegendő egy tetszőleges vizsgálati pontot ellenőrizni minden területen.

A területen vettük a pontot (0;1). Nekünk van:

A területen vesszük a pontot (10;1). Nekünk van:

Így az egész régió negatív, és nem elégíti ki az adott egyenlőtlenséget.

A területen vegye fel a pontot (0;-5). Nekünk van:

Így az egész régió pozitív és kielégíti az adott egyenlőtlenséget.

1. Kétváltozós egyenlőtlenségek. Módszerek két változós egyenlőtlenségrendszer megoldására: analitikus módszerrel és grafikus módszerrel.

2. Két egyenlőtlenség rendszerei két változóval: a megoldás eredményének rögzítése.

3. Kétváltozós egyenlőtlenségek halmazai.

KÉT VÁLTOZÓS EGYENLŐTLENSÉGEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGRENDSZEREK. F1(x, y)> alakú predikátum< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - az XxY halmazon definiált x és y változókkal rendelkező kifejezéseket hívjuk meg egyenlőtlenség két változóval (két ismeretlennel) x és y. Nyilvánvaló, hogy az alak bármely kétváltozós egyenlőtlensége beírható a formába f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. Az egyenlőtlenség megoldása A két változós egy olyan változóértékpár, amely egy egyenlőtlenséget valódi numerikus egyenlőtlenséggé alakít át. Ismeretes, hogy egy valós számpár (x, y) egyedileg határoz meg egy pontot a koordinátasíkon. Ez lehetővé teszi kétváltozós egyenlőtlenségek vagy egyenlőtlenségrendszerek geometriai ábrázolását, a koordinátasíkon meghatározott ponthalmazok formájában. Ha Eq.

f(x, y)= 0 egy bizonyos egyenest határoz meg a koordinátasíkon, akkor a sík azon pontjainak halmaza, amelyek nem ezen az egyenesen helyezkednek el, véges számú C₁ régióból áll, C 2,..., S p(17.8. ábra). Mindegyik C területen a függvény f(x, y) különbözik a nullától, mert pontok, amelyeken f(x, y)= 0 ezeknek a területeknek a határaihoz tartozik.

Megoldás. Alakítsuk át az egyenlőtlenséget formává x > y 2 + 2y - 3. Szerkesszünk parabolát a koordinátasíkon x= év 2 + 2 év - 3. A síkot két G₁ és G régióra osztja 2 (17.9. ábra). Mivel a parabolától jobbra fekvő bármely pont abszcisszája x= év 2 + 2 év- 3, nagyobb, mint az azonos ordinátájú, de parabolán fekvő pont abszcisszán stb. egyenlőtlenség x>y g + 2y -3 nem szigorú, akkor ennek az egyenlőtlenségnek a megoldásainak geometriai ábrázolása a parabolán fekvő sík pontjainak halmaza lesz. x= 2-kor+ 2у - 3 és attól jobbra (17.9. ábra).

Rizs. 17.10

17.15. példa. Rajzolja fel a koordinátasíkra az egyenlőtlenségrendszer megoldásainak halmazát!

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Megoldás. Az x > 0 egyenlőtlenségrendszer megoldásának geometriai ábrázolása, y > 0 az első koordinátaszög pontjainak halmaza. Egyenlőtlenségek megoldásainak geometriai ábrázolása x + y< 6 ill nál nél< 6 - x az egyenes alatt és magán az egyenesen elhelyezkedő pontok halmaza, amelyek a függvény grafikonjaként szolgálnak y = 6 - X. Egyenlőtlenségek megoldásainak geometriai ábrázolása xy > 5 vagy, mert x> 0 egyenlőtlenségek y > 5/x a függvény grafikonjaként szolgáló hiperbola ága felett elhelyezkedő pontok halmaza y = 5/x. Ennek eredményeként megkapjuk az y = 6 - x függvény grafikonjaként szolgáló egyenes alatti első koordinátaszögben elhelyezkedő koordinátasík ponthalmazát, valamint a hiperbola ága fölött, amely a következőképpen szolgál: a függvény grafikonja y = 5x(17.10. ábra).

fejezet III. TERMÉSZETES SZÁMOK ÉS NULLA

, és még inkább kétváltozós egyenlőtlenségrendszerek, úgy tűnik elég nehéz feladat. Létezik azonban egy egyszerű algoritmus, amely segít könnyedén és különösebb erőfeszítés nélkül megoldani az ilyen nagyon összetettnek tűnő problémákat. Próbáljuk meg kitalálni.

Legyen egy egyenlőtlenségünk két változóval, amelyek az alábbi típusok egyikéhez tartoznak:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Egy ilyen egyenlőtlenség megoldásainak ábrázolásához a koordinátasíkon a következőképpen járjunk el:

1. Megszerkesztjük az y = f(x) függvény grafikonját, amely a síkot két régióra osztja.
2. A kapott területek közül bármelyiket kiválasztjuk, és figyelembe veszünk egy tetszőleges pontot benne. Ellenőrizzük az eredeti egyenlőtlenség megvalósíthatóságát erre a pontra. Ha a teszt helyes numerikus egyenlőtlenséget ad, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy az eredeti egyenlőtlenség teljesül abban a régióban, amelyhez a kiválasztott pont tartozik. Így az egyenlőtlenség megoldásainak halmaza az a régió, amelyhez a kiválasztott pont tartozik. Ha az ellenőrzés eredménye hibás numerikus egyenlőtlenség, akkor az egyenlőtlenség megoldásainak halmaza lesz a második olyan tartomány, amelyhez a kiválasztott pont nem tartozik.
3. Ha az egyenlőtlenség szigorú, akkor a tartomány határai, vagyis az y = f(x) függvény grafikonjának pontjai nem szerepelnek a megoldások halmazában, és a határvonal szaggatott vonallal van ábrázolva. Ha az egyenlőtlenség nem szigorú, akkor a tartomány határai, vagyis az y = f(x) függvény gráfjának pontjai bekerülnek ennek az egyenlőtlenségnek a megoldási halmazába, és ebben az esetben a határt ábrázoljuk. folytonos vonalként. Most nézzünk meg néhány problémát ebben a témában.

1. feladat.

Milyen ponthalmazt ad az x · y ≤ 4 egyenlőtlenség?

Megoldás.

1) Megszerkesztjük az x · y = 4 egyenlet grafikonját. Ehhez először transzformáljuk. Nyilvánvaló, hogy x ebben az esetben nem változik 0-ra, mert különben 0 · y = 4 lenne, ami hibás. Ez azt jelenti, hogy az egyenletünket eloszthatjuk x-szel. A következőt kapjuk: y = 4/x. Ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola. Az egész síkot két részre osztja: a hiperbola két ága közötti részre és a rajtuk kívül esőre.

2) Válasszunk ki egy tetszőleges pontot az első régióból, legyen az (4; 2) pont. Ellenőrizzük az egyenlőtlenséget: 4 · 2 ≤ 4 – hamis.

Ez azt jelenti, hogy ennek a régiónak a pontjai nem elégítik ki az eredeti egyenlőtlenséget. Ekkor arra a következtetésre juthatunk, hogy az egyenlőtlenség megoldásainak halmaza lesz a második tartomány, amelyhez a kiválasztott pont nem tartozik.

3) Mivel az egyenlőtlenség nem szigorú, ezért a határpontokat, vagyis az y=4/x függvény grafikonjának pontjait egy folytonos vonallal húzzuk meg.

Fessük sárgára az eredeti egyenlőtlenséget meghatározó ponthalmazt (1. ábra).

2. feladat.

Rajzolja meg a koordinátasíkon a rendszer által meghatározott területet

Megoldás.

Először a következő függvények grafikonjait készítjük (2. ábra):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – egyenes

x 2 + y 2 = 9 – kör.

Most nézzük meg az egyes egyenlőtlenségeket külön-külön.

1) y > x 2 + 2.

Vegyük azt a pontot (0; 5), amely a függvény grafikonja felett van. Ellenőrizzük az egyenlőtlenséget: 5 > 0 2 + 2 – igaz.

Következésképpen az adott y = x 2 + 2 parabola felett elhelyezkedő összes pont kielégíti a rendszer első egyenlőtlenségét. Festjük őket sárgára.

2) y + x > 1.

Vegyük azt a pontot (0; 3), amely a függvény grafikonja felett van. Ellenőrizzük az egyenlőtlenséget: 3 + 0 > 1 – igaz.

Következésképpen az y + x = 1 egyenes felett lévő összes pont kielégíti a rendszer második egyenlőtlenségét. Fessük le őket zöld árnyalattal.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Felvesszük a (0; -4) pontot, amely az x 2 + y 2 = 9 körön kívül esik. Ellenőrizzük az egyenlőtlenséget: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – hibás.

Következésképpen az x 2 + y 2 = 9 körön kívül eső összes pont nem elégíti ki a rendszer harmadik egyenlőtlenségét. Ekkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az x 2 + y 2 = 9 körön belüli összes pont kielégíti a rendszer harmadik egyenlőtlenségét. Fessük le őket lila árnyalattal.

Ne felejtsük el, hogy ha az egyenlőtlenség szigorú, akkor a megfelelő határvonalat szaggatott vonallal kell meghúzni. A következő képet kapjuk (3. ábra).

A keresési terület az a terület, ahol mindhárom színes terület metszi egymást (4. ábra).

Kérdések a jegyzetekhez

Írj fel egy egyenlőtlenséget, amelynek megoldása egy kör és a körön belüli pontok:

Keresse meg azokat a pontokat, amelyek megoldják az egyenlőtlenséget:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

Hadd f(x,y)És g(x, y)- két változós kifejezés xÉs nál nélés hatálya x. Aztán a formai egyenlőtlenségek f(x, y) > g(x, y) vagy f(x, y) < g(x, y) hívott egyenlőtlenség két változóval .

A változók jelentése x, y sokaktól x, amelynél az egyenlőtlenség valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik, ezt nevezzük döntés és ki van jelölve (x, y). Oldja meg az egyenlőtlenséget - ez sok ilyen pár megtalálását jelenti.

Ha minden számpár (x, y) a megoldások halmazából az egyenlőtlenséghez, illessze a pontot M(x, y), megkapjuk az ezzel az egyenlőtlenséggel meghatározott sík ponthalmazát. Neveztetik ennek az egyenlőtlenségnek a grafikonja . Az egyenlőtlenség grafikonja általában egy síkon lévő terület.

Az egyenlőtlenség megoldási halmazának ábrázolása f(x, y) > g(x, y), járjon el az alábbiak szerint. Először cserélje ki az egyenlőtlenség jelét egy egyenlőségjelre, és keressen egy sort, amelyen az egyenlet szerepel f(x,y) = g(x,y). Ez a vonal a síkot több részre osztja. Ezek után elég minden részből egy pontot venni, és ellenőrizni, hogy ezen a ponton teljesül-e az egyenlőtlenség f(x, y) > g(x, y). Ha ezen a ponton hajtják végre, akkor a teljes részben végrehajtódik, ahol ez a pont található. Az ilyen alkatrészeket kombinálva számos megoldást kapunk.

Feladat. y > x.

Megoldás. Először az egyenlőtlenség jelét egyenlőségjelre cseréljük, és egy téglalap alakú koordináta-rendszerben készítünk egy egyenest, amely az egyenletet tartalmazza y = x.

Ez a vonal két részre osztja a síkot. Ezután minden részből vegyünk egy pontot, és ellenőrizzük, hogy ezen a ponton teljesül-e az egyenlőtlenség y > x.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenséget!
x 2 + nál nél 2 £25.

Legyen két egyenlőtlenség adott f 1(x, y) > g 1(x, y)És f 2(x, y) > g 2(x, y).

Kétváltozós egyenlőtlenséghalmazok rendszerei

Egyenlőtlenségek rendszere van saját magad ezen egyenlőtlenségek együttállása. Rendszermegoldás minden jelentése (x, y), amely minden egyenlőtlenséget valódi numerikus egyenlőtlenséggé változtat. Sok megoldás rendszerek Az egyenlőtlenségek egy adott rendszert alkotó egyenlőtlenségek megoldási halmazainak metszéspontja.

Egyenlőtlenségek halmaza van saját magad ezek diszjunkciója egyenlőtlenségek Állítsa be a megoldást minden jelentése (x, y), amely az egyenlőtlenségek halmazának legalább az egyikét valódi numerikus egyenlőtlenséggé alakítja. Sok megoldás totalitás egy halmazt alkotó egyenlőtlenségek megoldási halmazainak uniója.

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek rendszerét!

Megoldás. y = xÉs x 2 + nál nél 2 = 25. Megoldjuk a rendszer minden egyenlőtlenségét.

A rendszer grafikonja azon pontok halmaza lesz a síkon, amelyek az első és a második egyenlőtlenség megoldási halmazainak metszéspontja (kettős sraffozás).

Feladat. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségek halmazát

Gyakorlatok az önálló munkához

1. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségeket: a) nál nél> 2x; b) nál nél< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Oldja meg grafikusan az egyenlőtlenségrendszereket:

a) b)

A „Kétváltozós egyenlőtlenségek rendszerei” című videóóra vizuális oktatóanyagot tartalmaz a témában. A lecke magában foglalja a kétváltozós egyenlőtlenségrendszer megoldásának koncepcióját, példákat az ilyen rendszerek grafikus megoldására. Ennek a videós leckének az a célja, hogy fejlessze a tanulók képességét kétváltozós egyenlőtlenségrendszerek grafikus megoldására, hogy megkönnyítse az ilyen rendszerekre megoldások keresésének folyamatát és a megoldási módszer memorizálását.

A megoldás minden leírását rajzok kísérik, amelyek a koordinátasíkon jelenítik meg a feladat megoldását. Az ilyen ábrákon jól láthatóak a gráfok felépítésének sajátosságai és a megoldásnak megfelelő pontok elhelyezkedése. Minden fontos részlet és fogalom színnel kiemelve. Így a videolecke kényelmes eszköz a tanári problémák osztálytermi megoldására, és megszabadítja a tanárt attól, hogy szabványos anyagtömböt mutasson be a tanulókkal való egyéni munkához.

A videólecke a téma bemutatásával kezdődik, és egy példán átgondoljuk, hogyan lehet megoldást találni egy egyenlőtlenségekből álló rendszerre x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldására levont következtetések megértését a példák figyelembevétele erősíti. Először az x 2 + y 2 egyenlőtlenségrendszer megoldását vesszük figyelembe<=9 и x+y>=2. Nyilvánvaló, hogy a koordinátasíkon az első egyenlőtlenség megoldásai tartalmazzák az x 2 + y 2 = 9 kört és a benne lévő tartományt. Az ábrán ez a terület vízszintes árnyékolással van kitöltve. Az x+y>=2 egyenlőtlenség megoldási halmaza tartalmazza az x+y=2 egyenest és a fenti félsíkot. Ezt a területet a síkon más irányú vonások is jelzik. Most két megoldáshalmaz metszéspontját tudjuk meghatározni az ábrán. Egy x 2 + y 2 körszakaszban található<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Ezután elemezzük az y>=x-3 és y>=-2x+4 lineáris egyenlőtlenségek rendszerének megoldását. Az ábrán a feladatfeltétel mellett egy koordinátasíkot szerkesztünk. Rajta egy egyenest szerkesztünk, amely megfelel az y=x-3 egyenlet megoldásainak. Az y>=x-3 egyenlőtlenség megoldási területe az ezen egyenes feletti terület lesz. Ő árnyékos. A második egyenlőtlenség megoldásainak halmaza az y=-2x+4 egyenes felett található. Ezt az egyenest is ugyanarra a koordinátasíkra építjük fel, és a megoldási területet sraffozással. Két halmaz metszéspontja a két egyenes által alkotott szög a belső tartományával együtt. Az egyenlőtlenségrendszer megoldási területe kettős árnyékolással van kitöltve.

A harmadik példa vizsgálatakor azt az esetet írjuk le, amikor a rendszer egyenlőtlenségeinek megfelelő egyenletek grafikonjai párhuzamos egyenesek. Meg kell oldani az y egyenlőtlenségrendszert<=3x+1 и y>=3x-2. Az y=3x+1 egyenletnek megfelelő koordinátasíkon egy egyenest szerkesztünk. Az y egyenlőtlenség megoldásainak megfelelő értéktartomány<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

A „Kétváltozós egyenlőtlenségek rendszerei” videólecke használható vizuális segédeszközként az iskolai órán, vagy helyettesítheti a tanár magyarázatát az anyag önálló tanulmányozása során. A koordinátasíkon lévő egyenlőtlenségrendszerek megoldásának részletes, érthető magyarázata segítheti a távoktatás során a tananyag bemutatását.