Keeruliste terminitega sari. Kompleksdomeeni seeriad Kompleksarvudega arvuseeriad

463. Mis on võrratuste geomeetriline tähendus: 1) Re z > 0; 2) olen z< 0 ?

2. Keeruliste terminitega sari. Mõelge kompleksarvude järjestusele z 1, z 2 , z 3, ..., kus z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Püsiv number c = a + bi helistas piir järjestused z 1, z 2 , z 3 , ..., kui mõne suvaliselt väikese arvu korral δ>0 on selline number N, Mida tähendab z lk numbritega n > N ebavõrdsust rahuldada \z lk-koos\< δ . Sel juhul nad kirjutavad .

Kompleksarvude jada piiri olemasolu vajalik ja piisav tingimus on järgmine: arv c=a+bi on kompleksarvude jada piir x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … kui ja ainult kui , .

(1)

mille liikmed on kompleksarvud nimetatakse koonduv, Kui nth osasumma seeriast S n at p → ∞ kaldub teatud lõpliku piirini. Vastasel juhul nimetatakse seeriat (1). lahknev.

Seeria (1) läheneb siis ja ainult siis, kui reaalväärtustega jada koondub

(2) Uurige ridade konvergentsi See jada, mille liikmed moodustavad lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni, koondub; seetõttu koondub antud keeruliste terminitega jada absoluutselt. ^

474. Leidke seeria konvergentsi piirkond

Ärakiri

1 Föderaalne Haridusagentuur Tomski Riiklik Arhitektuuri- ja Tsiviilehitusülikool KOMPLEKSLIIKMETEGA READ Iseseisva töö juhised Koostanud LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 rida keerukate liikmetega: metoodilised juhised / Koostanud LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomsk: Tomski Riikliku Arhitektuuri- ja Ehitusülikooli kirjastus, koos retsensent professor NN Belov Toimetaja EY Glotova Metoodilised juhised on mõeldud kõigi 1. kursuse üliõpilastele iseseisvaks õppimiseks erialade teemad JNF distsipliini "Matemaatika" kompleksliikmetega sari Avaldatud vastavalt kõrgema matemaatika osakonna metoodiliseminari otsusele, protokoll 4. märts Kinnitatud ja jõustatud õppeprorektori VV Dzyubo poolt 5-55 Algse küljenduse koostas autor Allkirjastatud trükkimiseks Formaat 6 84/6 Ofsetpaber Kirjatüüp Ajad Õppeväljaanne l, 6 Tiraaž 4 Tellimus Kirjastus TGASU, 64, Tomsk, Soljanaja sq., Trükitud originaalküljenduse järgi aastal OOP TGASU 64, Tomsk, Partizanskaja tn., 5

3 KOMPLEKSTERMINITEGA SARJA TEEMA Kompleksterminitega arvuseeriad Tuletame meelde, et kompleksarvud on arvud kujul z = x y, kus x ja y on reaalarvud ning võrdsusega = - Arvu x ja y defineeritud imaginaarühikut nimetatakse arvu z reaal- ja imaginaarsed osad ning tähistavad x = Rez, y = Imz Ilmselgelt on XOU tasandi punktide M(x, y) vahel, millel on ristkoordinaadisüsteem, ja kompleksarvud kujul z = x y, on üks-ühele vastavus XOU tasapinda nimetatakse komplekstasandiks ja z nimetatakse selle tasandi punktiks. Reaalarvud vastavad abstsissteljele, mida nimetatakse reaalteljeks, ja arvud kujul z = y vastavad ordinaatteljele, mida nimetatakse kujuteldavaks teljeks Kui punkti M(x,y) polaarkoordinaate tähistatakse r ja j-ga, siis kirjutatakse x = r cosj, y = r s j ja arv z vorm: z = r (cosj sj), kus r = x y Sellist kompleksarvu kirjutamise vormi nimetatakse trigonomeetriliseks, z kirjutamist kujul z = x y nimetatakse kirjutamise algebraliseks vormiks Arvu r nimetatakse arvu mooduliks z, arv j on argument (punktis z = argumendi mõistet ei laiendata) Arvu z moodul on üheselt määratud valemiga z = x y Argument j on üheselt määratud ainult lisatingimusel - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 numbrit z (joonis) Selle tähendust tuleks meeles pidada, et y arq z - π väljendatakse läbi< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, kui x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, kui x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (joonis) М y r = j = p x Joon Trigonomeetrilisel kujul kirjutatakse arv z = - kujul: - = сos π s π и Tehteid kompleksarvudega on soovitatav korrata ise. tuletage meelde valemit arvu z astmeks tõstmiseks: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Teooria võtmeküsimused Lühivastused Keeruliste terminitega jada definitsioon Rea konvergentsi mõiste Konvergentsi vajalik tingimus Definitsioon Olgu kompleksarvude jada z ) = ( x y ) = z, z, z, A vormi tähis ( å = z nimetatakse jadaks, z on rea üldliige Reaalliikmetega jadade puhul vastavad täielikult samalaadsetele mõistetele jada S osasummade mõisted, selle konvergents ja lahknemine. jada summad on kujul: S = z; S = z z; S = z z z; Kui $lm S ja see piir on lõplik ja võrdne arvuga S , nimetatakse seeriat koonduvaks ja arvu S summaks jada, vastasel juhul nimetatakse seeriat lahknevaks. Tuletame meelde, et kompleksarvude jada piiri definitsioon, mida me kasutasime, ei erine formaalselt reaalarvude jada piiri määratlusest: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 rea üldliikme z null at See tähendab, et kui seda tingimust rikutakse, st kui lm z ¹, siis jada lahkneb, aga kui lm z =, jääb see ridade konvergentsi küsimus lahtiseks. on võimalik uurida rida å (x = konvergentsi jaoks, uurides x ja å = ridade å = konvergentsi reaalliikmetega? y ja kui å x = S = kus å S = (x y) = å = x u , ja y = S, siis S = S S, koondub - Näide Veenduge, et seeria å = è () xia, ja leidke, et selle summa on 7

8 Lahendus Rida å koondub, t k ~ = () () kui Selle jada summa S on võrdne (peatükk, teema, n) Rida å koondub lõpmatult kahaneva geomeetrilise = progressioonina, kus å = () и S b = - q = koondub ja selle summa Seega jada S = Näide Seeria å lahkneb, t k lahkneb = è! harmooniline jada å Sel juhul uurige jada å = konvergentsi jaoks! ei ole mõtet Näide Rida å π tg lahkneb, sest = è korral on jada å π tg rikutud konvergentsi vajalikku tingimust = π lm tg = p ¹ и 8

9 Millised omadused on kompleksterminitega koonduvatel ridadel? Omadused on samad, mis reaalliikmetega koonduvatel ridadel Soovitatav on omadusi korrata 4 Kas kompleksliikmetega jada puhul on olemas absoluutse konvergentsi kontseptsioon? Teoreem (piisav tingimus rea koondumiseks) Kui jada å = z koondub, siis koondub ka jada å = z. Rea å = z absoluutse konvergentsi mõiste näeb formaalselt välja täpselt sama, mis reaalarvuga ridade puhul Definitsioon Jada å = z nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui jada koondub å = z Näide Tõesta jada absoluutne konvergents () () () 4 8 Lahendus Kasutame arvu kirjutamise trigonomeetrilist vormi: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 Siis π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и Jääb uurida seeriat å z konvergentsi jaoks = = See on lõpmatult kahanev nimetajaga geomeetriline progressioon; selline progressioon koondub ja seetõttu koondub jada absoluutselt Absoluutse konvergentsi tõestamisel kasutatakse sageli teoreemi Teoreem Rea å = y (x) absoluutseks koondumiseks on vajalik ja piisav, et mõlemad seeriad å = oleks absoluutselt Näidisseeria å = (-) è cosπ ! x ja å = y koonduvad absoluutselt, t k koondub absoluutselt å (-) ja rea ​​å cosπ absoluutne konvergents = on kergesti tõestatav: =!

11 cosπ ja rida on å!! =! koondub d'Alemberti kriteeriumi järgi Võrdluskriteeriumi järgi koondub jada å cosπ Þ seeria å =! koondub absoluutselt cosπ =! Ülesannete lahendamine Uurige 4. seeriat konvergentsi suhtes: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и и ;! Lahendus å = è l l Jada lahkneb, kuna jada å lahkneb, mida on lihtne kindlaks teha võrdlustestiga: > ja harmooniline = l l seeria å, nagu teada, lahkneb. Pange tähele, et =-ga sel juhul on jada å integraali Cauchy testi põhjal = l koondub å (-) = è! l

12 Seeria koondub, nii et å =! koondub d'Alemberti piirtesti alusel ja jada å (-) koondub vastavalt teoreemile = l Leibniz å α π - π cos tg = и и Ilmselgelt sõltub seeria käitumine eksponendist α Olgu kirjutame seeria valemiga β - cosβ = s: å α π π s tg = и At α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = seeria α å и и 4 = koondub eeldusel, et α >, st α > korral ja lahkneb α või for puhul, läheneb, kuna π π tg ~ α korral seeria å = α α π tg α

13 Seega koondub algseeria ja lahkneb α 4 å = и и! α > Seeria å konvergentsi uurimiseks kasutatakse = è Cauchy piirtesti: lm = lm = > Þ è jada lahkneb Þ e è Þ lahkneb ja algse seeria 5 seeria 5 6 absoluutse lähenemise suhtes uuritakse π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = Lahendus 5 å = π cos()! å = - π cos koondub absoluutselt, seega (-)! koondub vastavalt võrdluskriteeriumile: π cos ja seeria å (-)! (-)! = (-)! koondub d'Alemberti testi järgi

14 4 6 å =!) 8 (Rea juurde!) 8 (å = rakenda d'Alemberti märki:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Uurige seeriat 7 absoluutse konvergentsi jaoks 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Vastused: 7, 8 koonduvad absoluutselt , 9 lahkneb, ei ühti absoluutselt

16 TEEMA Keeruliste terminitega astmeread Rubriigi “Funktsionaalread” uurimisel käsitleti üksikasjalikult seeriaid, mille tingimused olid reaalse muutuja teatud funktsioonide jada liikmed.Kõige atraktiivsemad (eriti rakenduste osas) olid astmerida, st jada kujul å = a (x-x) Tõendati (Abeli ​​teoreem), et igal astmereal on konvergentsi intervall (x - R, x R), mille sees rea summa S (x) on pidev ja et konvergentsivahemikus olevaid astmerida saab termini kaupa diferentseerida ja termini kaupa integreerida. Need on astmeridade tähelepanuväärsed omadused, mis on avanud kõige laiemad võimalused nende arvukateks rakendusteks. Selles teemas käsitleme astmerida mitte reaal-, vaid kompleksterminitega 6 Teooria võtmeküsimused Lühivastused Astumusrea definitsioon Astmete jada on funktsionaalne jada kujul å = a (z - z), (), kus a ja z on antud kompleksarvud, ja z on kompleksmuutuja. Erijuhul, kui z =, on astmerida kujul å = a z ()

17 Ilmselgelt taandatakse jada () jadaks () uue muutuja W = z - z sisseviimisega, seega käsitleme peamiselt jada kujul () Abeli ​​teoreem Kui astmerida () koondub z = z ¹, siis see läheneb ja pealegi absoluutselt iga z puhul, mille puhul z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Abeli ​​teoreemil on järeldus, mis väidab, et kui jada å = a z lahkneb * z = z korral, siis lahkneb see ka iga z puhul, mille korral * z > z Kas on olemas raadiuse mõiste astmeridade () ja ( ) lähenemine? Jah, on olemas lähenemisraadius R, arv, millel on omadus, et kõigi z puhul, mille korral z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, seeria () lahkneb 4 Mis on seeriate () lähenemispiirkond? Kui R on jada () lähenemisraadius, siis punktide hulk z, mille korral z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Kas on võimalik leida lähenemisraadius a kasutades valemeid R = lm ja R = lm, a a mis toimus reaalliikmetega astmeridade korral? On võimalik, kui need piirid on olemas Kui selgub, et R =, tähendab see, et seeria () koondub ainult punktis z = või z = z seeria () korral, kui R = jada koondub kogu ulatuses komplekstasapind Näide Leidke rea å z = a lähenemisraadius Lahendus R = lm = lm = a Seega koondub jada raadiusega ringi sees Näide on huvitav, kuna ringi x y piiril< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Tuletame meelde, et astmeread å = a x koonduvad oma lähenemisvahemikus mitte ainult absoluutselt, vaid ka ühtlaselt Sarnane väide kehtib ka jada å = a z kohta: kui astmerida koondub ja selle lähenemisraadius on võrdne R-ga, siis see seeria mis tahes suletud ringis z r tingimusel, et r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 ringis raadiusega R > jada konvergents, siis see jada on funktsiooni f (z) Taylori jada, st f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Rea koefitsiendid å = () f (z) a =! f () a (z - z) arvutatakse valemiga Tuletame meelde, et tuletise f (z) definitsioon on formaalselt antud täpselt samamoodi nagu reaalmuutuja funktsiooni f (x) puhul, st f (z) ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Funktsiooni f (z) eristamise reeglid on samad, mis reaalmuutuja funktsiooni eristamise reeglid 7 Millisel juhul on funktsioon f (z) nimetatakse analüütiliseks punktis z? Funktsiooni analüütiline mõiste punktis z on antud analoogia alusel funktsiooniga f (x), mis on punktis x reaalne analüütiline. Definitsioon Funktsiooni f (z) nimetatakse analüütiliseks punktis z, kui see on olemas R > selline, et ringis z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Rõhutame veel kord, et funktsiooni f (z) analüütiline esitus punktis z astmerea kujul on ainulaadne ja see jada on selle Taylori jada, see tähendab, et jada koefitsiendid arvutatakse valem () f (z) a =! 8 Kompleksmuutuja põhielementaarfunktsioonid Reaalmuutuja funktsioonide astmeridade teoorias saadi funktsiooni e x jadalaiendus: = å x x e, xî(-,) =! Punkti 5 näite lahendamisel veendusime, et jada å z koondub kogu komplekstasandil Erijuhul z = x on selle summa võrdne e x See asjaolu on aluseks järgnevale - =! järgmine idee: z kompleksväärtuste korral loetakse funktsiooni е z definitsiooni järgi seeria å z summaks, seega =! z e () def å z = =! Funktsioonide ch z ja sh z x - x definitsioon Kuna ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 ja funktsioon e z on nüüd defineeritud kõigi komplekssete z jaoks, siis on loomulik võtta ch z = kogu komplekstasandil, def z - z e e def z - z e - e sh z = Seega: z -z k e - e z sh z = = hüperboolne siinus ; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hüperboolne koosinus; k = (k)! shz th z = hüperboolne puutuja; chz chz cth z = hüperboolne kotangent shz Funktsioonide s z ja cos z definitsioon Kasutame varem saadud laiendusi: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! seeriad koonduvad tervele arvureale Kui asendada x nendes ridades z-ga, saame kompleksliikmetega astmeread, mis, nagu on lihtne näidata, koonduvad kogu komplekstasandil. See võimaldab määrata mis tahes kompleksse z funktsioonid s z ja cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Eksponentfunktsiooni ja trigonomeetriliste funktsioonide seos komplekstasandil Asendamine reas å z z e = =! z z-ga ja seejärel z-ga saame: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Kuna e ()) e k k = (-, siis saame: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) Seega: z -z z -z e e e - e сos z = s z = (6) Saadud valemitest tuleneb veel üks tähelepanuväärne valem: z сos z s z = e (7) Valemeid (6) ja (7) nimetatakse Euleri valemiteks. Pange tähele, et need valemid kehtivad ka reaalarvu z puhul. Erijuhul z = j, kus j on reaalarv, saab valem (7) järgmisel kujul: j cos j sj = e (8) Siis kompleksarv z = r (cos j s j) kirjutatakse kujul : j z = re (9) Valemit (9) nimetatakse kompleksarvu z 4 kirjutamise eksponentsiaalseks vormiks

25 Trigonomeetrilisi ja hüperboolseid funktsioone ühendavad valemid Kergesti on tõestatavad järgmised valemid: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z Tõestame esimest ja neljandat valemit (soovitav on tõestada teist ja kolmandaks ise) Kasutame valemeid ( 6) Euler: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e ch z = = cos z Kasutades valemeid sh z = s z ja ch z = cos z, on esmapilgul lihtne tõestada funktsioonide s z ja cos z üllatavat omadust. Erinevalt funktsioonidest y = s x ja y = cos x, ei ole funktsioonid s z ja cos z absoluutväärtuses piiratud. Tegelikult, kui näidatud valemites on eelkõige z = y, siis s y = sh y, cos y = ch y See tähendab, et imaginaarne telg s z ja cos z ei ole absoluutväärtuses piiratud Huvitav on see, et s z ja cos z puhul kehtivad sarnaselt trigonomeetriliste funktsioonide s x ja cos x valemitega.Toodud valemeid kasutatakse õppimisel üsna sageli konvergentsi jada Näide Tõesta rea ​​å absoluutne lähenemine s = Lahendus Uurime rida å lähenemise jaoks s = Nagu märgitud, ei ole kujuteldaval teljel piiratud funktsioon s z 5

26 on seega ei saa me kasutada võrdluskriteeriumit. Kasutame valemit s = sh. Siis å = å s sh = = Uurime seeriat å sh = kasutades D'Alemberti kriteeriumi: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () kuna lm =, moodulitest koondub tingimusel 8 - = 8 = Seega seeria z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >ringi punktid z = - koonduvad ja väljaspool seda ringi ehk jada lahkneb Uurime jada käitumist punktis z =, mille võrrand Descartes'i koordinaatsüsteemis on kujul x (y) = Kui z = 9, on absoluutväärtuste jada kuju: å 8 - = å = = et see seeria suletud ringis Saadud seeria koondub, see tähendab, et z koondub absoluutselt. Tõesta, et funktsioon å z z e = on perioodiline perioodiga π (see funktsiooni e z omadus eristab seda =! oluliselt funktsioonist e x) Tõestus Kasutame perioodilise funktsiooni definitsiooni ja valemit (6) Peame veenduma, et z z e π = e, kus z = x y Näitame, et see on nii: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Niisiis, e z on a perioodiline funktsioon!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Leia valem, mis ühendab numbreid e ja π Lahendus Kasutame j kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalset vormi: z = re Kui z = - saame r =, j = π ja seega π e = - () Hämmastav valem ja seda hoolimata asjaolust, et iga arvu π, e ilmumisel matemaatikas pole midagi pistmist kahe ülejäänud numbri ilmumisega! Valem () on huvitav ka seetõttu, et selgub, et erinevalt funktsioonist e x võib eksponentsiaalfunktsioon e z võtta negatiivseid väärtusi e x 5 Leidke rea å cos x = summa! Lahendus Teisendame jada x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Lahendamisel kasutasime valemit = cos x s x kaks korda ja funktsiooni (e x) jadalaiendit e 6 Laiendame funktsiooni f (x) = e x cos x astmereaks, kasutades seerialaiendit. funktsiooni x() x x x x e = e e = e cos x e s x Lahendus x() x() x e = å = å!! = = π cos s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 Saadud jada koondub tervele arvuteljele, nii et x π (x) () cos ja seeria å (x)! 4! =! x< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Leidke jada raadius R ja lähenemisring 4 Uurige jada käitumist konvergentsiringi piirpunktides (ringil asuvates punktides) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Vastust:) R =, jada koondub punktis z = - ;) R =, jada koondub absoluutselt suletud ringis z, mille keskpunkt on punktis z = - või allub x (y) ;) R =, jada koondub absoluutselt suletud ringis z või allub x y ; 4) R =, jada koondub absoluutselt suletud ringis z või tingimusel x y 9 7 Laienda funktsioon f (x) = e x s x, () x astmereaks, kasutades funktsiooni e jadalaiendit 8 Veenduge, et mis tahes kompleksse z korral toimuvad valemid: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (kasutage Euleri valemeid)

31 SOOVITUSLIKU LUGEMISE LOETELU Aluskirjandus Piskunov, NS Diferentsiaal- ja integraalarvutus kõrgkoolidele / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Matemaatilise analüüsi alused / GM Fichtengolts T - St. Petersburg48 Lans, 9 Vorobyov48 NN Teooria read / NN Vorobjov - Peterburi: Lan, 8 48 s 4 Kirjalik, DT Kõrgema matemaatika loengukonspekt Ch / DT Kirjalik M: Iris-press, 8 5 Kõrgem matemaatika harjutustes ja ülesannetes Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ jne] M: ONICS, 8 C Lisakirjandus Kudrjavtsev, LD Matemaatilise analüüsi kursus / LD Kudrjavtsev TM: Kõrgkool, 98 C Khabibullin, MV Kompleksnumbrid: juhised / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6s Moldovanova , EA read ja kompleksanalüüs: õpik / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Föderaalne Haridusagentuur Tomski Riiklik Arhitektuuri- ja Ehitusülikool FOURIER SERIES FOURIER SERIES FOURIER INTEGRAAL KUI FOURIER SERIA PIIRANGUJUHT Iseseisva töö juhised

RANKS Khabarovsk 4 4 ARVUJADA Arvurida on avaldis, kus arvud, mis moodustavad lõpmatu arvujada, rea üldliige, kus N (N on naturaalarvude hulk) Näide

Föderaalne Haridusagentuur Arhangelski Riiklik Tehnikaülikool Ehitusteaduskond RANKS Juhised iseseisva töö ülesannete täitmiseks Arhangelsk

MOSKVA RIIK TEHNILINE ÜLIKOOLI TSIVIILLENNUD V.M. Ljubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinovi MATEMAATIKA KÄSIRAAMAT distsipliini õppimiseks ja kontrolltöödeks

5 Astmete jada 5 Astmete jada: definitsioon, lähenemispiirkond Funktsionaalne jada kujul (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) kus, a, a, K, a ,k on mõningaid numbreid, mida nimetatakse astmeridadeks

Föderaalne Haridusagentuur MOSKVA RIIKLIK GEODEESI- JA KARTOGRAAFIAÜLIKOOL (MIIGAIK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymžiev ÕPETUS ÕPILASELE ISESEISEVÕPPE KOHTA

Teema Kompleksarvude jada Vaatleme kujuga kompleksarvudega arvujada k ak. Sarja nimetatakse koonduvaks, kui selle osasummade S a k k jada S koondub. Veelgi enam, jada piir S

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUSMINISTEERIUM KOMPLEKSMUUTUVA FUNKTSIOONIDE TEOORIA Metoodiline käsiraamat Koostanud: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Ülevaade funktsioonide teooria metoodikast

8 Kompleksarvude jada Vaatleme arvujada kompleksarvudega kujul k a, (46) kus (a k) on antud arvujada kompleksliikmetega k. Sarja (46) nimetatakse koonduvaks, kui

Loengud koostas dotsent Musina MV Definitsioon Vormi avaldis Arv- ja funktsionaaljada Arvurida: põhimõisted (), kus nimetatakse arvuseeriaks (või lihtsalt jadaks) Arvud, seeria liikmed (sõltub

Metallurgiateaduskond Kõrgema matemaatika osakond RANKS Metoodilised juhised Novokuznetsk 5 Föderaalne Haridusagentuur Riiklik erialane kõrgharidusasutus

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Professionaalse kõrghariduse föderaalne riigieelarveline õppeasutus Novgorodi Riikliku Ülikooli nimega

Föderaalne Haridusagentuur Föderaalne Riiklik Professionaalse Kõrghariduse Õppeasutus LÕUNA FÖDERAALÜLIKOOL R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaja metoodika

Arvurida Arvujada Def Arvujada on arvuline funktsioon, mis on defineeritud naturaalarvude hulgas x - jada x =, x =, x =, x =, üldliige,

Föderaalne Haridusagentuur Moskva Riiklik Geodeesia ja Kartograafia Ülikool (MIIGAIK) ISESEISEVSE TÖÖ METOODIKA JUHEND JA ÜLESANDED kursusel KÕRGEMATEMAATIKA Numbriline

METOODILISED JUHEND KÕRGEMA MATEMAATIKA KURSUSE ARVUTUSÜLESANDEKS „TARIDIFFERENTSIAALVÕRDENDITE SARJA KAHEKORDSELT INTEGRAALID” OSA TEEMA SARJA Sisukord Sari Arvurida Konvergents ja lahknemine

Föderaalne Haridusagentuur Riiklik kutsealane kõrgharidusasutus Novgorodi Riiklik Ülikool, mis sai nime Jaroslav Targa Elektroonikainstituudi järgi

Valgevene Vabariigi Haridusministeerium Vitebski Riiklik Tehnikaülikool Teema. "Read" teoreetilise ja rakendusmatemaatika osakond. välja töötatud Assoc. E.B. Dunina. Põhiline

VENEMAA FÖDERAATSIOONI TRANSPORDIMINISTEERIUM FöderaalRIIK KUTSEHARIDUSASUTUS ULJANOVSK KÕRGE LENNUKOOL CIVIILLENNUINSTITUUT

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Tomski Riiklik Arhitektuur ja Ehitus

Sgups Kõrgema matemaatika osakond Metoodilised juhised standardarvutuste tegemiseks “Seeria” Novosibirsk 006 Teatud teoreetilist teavet Arvurida Olgu u ; u ; u ; ; u ; on lõpmatu arv

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM KAASAN RIIKLIK ARHITEKTUURI- JA EHITUSÜLIKOOL Kõrgema matemaatika osakond ARVU- JA FUNKTSIONAALNE SARJA

LOENG N 7. Võimseeriad ja Taylori seeriad.. Jõuridad..... Taylori seeriad.... 4. Mõnede elementaarfunktsioonide laiendamine Taylori ja Maclaurini seeriateks.... 5 4. Astumusridade rakendamine... 7 .Toide

Mooduli teema Funktsionaaljadad ja jadad Jadade ja seeriate ühtlase konvergentsi omadused Võimseeria Loeng Funktsionaaljadade ja jadade definitsioonid Ühtlane

VALGEVENE RIIKLIK MAJANDUSÜLIKOOL TEADUSKOND MAJANDUSINFO JA MATEMAATILISE MAJANDUSE OSAKOND Rows Loengukonspekt ja töötuba majandusüliõpilastele

Vene Föderatsiooni Haridusministeerium Uljanovski Riiklik Tehnikaülikool NUMBRI- JA FUNKTSIONAALNE SERIA FOURIER SERIES Uljanovski UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 retsensent, füüsika ja matemaatika kandidaat

3724 MITMESE SERIA JA KURVILINE INTEGRAALID 1 JAGU “MITMESE SERIA JA KURVILINE INTEGRAALID” TÖÖPROGRAMM 11 Arvurida Arvurea mõiste Arvuridade omadused Vajalik lähenemise märk

Peatükk Sari Mingi arvujada liikmete summa formaalne tähistus Arvuridu nimetatakse arvujadadeks Summa S nimetatakse jada osasummadeks Kui on piirmäär S, S, siis seeria

Loeng. Funktsionaalne seeria. Funktsionaalrea definitsioon Funktsionaalseteks nimetatakse jada, mille liikmed on x funktsioonid: u = u (x) + u + K+ u + K = Andes x-ile teatud väärtuse x, saame

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin 1 Power seeria. Konvergentsi raadius ja lähenemisvahemik. Konvergentsi olemus. Integratsioon ja eristumine. 1.1 Lähenemisraadius ja lähenemisvahemik. Funktsionaalne vahemik

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Siberi Riiklik Tööstusülikool"

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Siberi Riiklik Tööstusülikool"

Matemaatiline analüüs Sektsioon: Arv- ja funktsionaalrea Teema: Jõuridad. Funktsiooni laiendamine võimsusseeriaks Lektor Rozhkova S.V. 3 34. Astmete jada Astmete jada on astmete jada

VENEMAA FÖDERAATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM LIITRIIGI EELARVE TÖÖKÕRGE KÕRGHARIDUSASUTUS “SAMARA RIIKLIK LENNUÜLIKOOL”

VENEMAA FÖDERATSIOONI HARIDUS- JA TEADUSMINISTEERIUM Riiklik Teadusuuringute Nižni Novgorodi Riiklik Ülikool NI Lobatševski NP Semerikova AA Dubkov AA Khartšova ANALÜÜTILISTE FUNKTSIOONIDE RIIGID

“Seeria” Enesetesti testid Vajalik jada koondumise märk Teoreem vajalik konvergentsi märk Kui jada koondub, siis lim + Järeldus on seeria lahknemise piisav tingimus Kui lim, siis seeria lahkneb

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalse Riikliku Autonoomse Kõrgkooli "Siberi Föderaalne Ülikool" Atšinski filiaal MATEMAATIKA

(funktsionaalse jada astmeridade konvergentsi domeen konvergentsi intervalli leidmise järjekord - konvergentsi intervalli näite raadius näited) Olgu antud lõpmatu funktsioonide jada, Funktsionaalne

Jada Arvurida Üldmõisted Definitsioon Kui iga naturaalarv on teatud seaduse järgi seotud teatud arvuga, siis nummerdatud arvude hulka nimetatakse arvujadaks,

Vene Föderatsiooni Haridusministeerium MATI - K E TSIOLKOVSKI järgi nime saanud VENEMAA RIIKLIKU TEHNOLOOGIAÜLIKOOL Kõrgema matemaatika osakond RANKS Kursusetöö juhend Koostanud:

3. loeng Taylori ja Maclaurini seeria Võimseeria rakendamine Funktsioonide laiendamine astmeridadeks Taylori ja Maclaurini seeriad Rakenduste jaoks on oluline, et antud funktsiooni oleks võimalik laiendada astmereaks, need funktsioonid

RIIKLIKU KUTSEKÕRGHARIDUSASUTUS "VALGEVENE-VENEMAA ÜLIKOOL" "Kõrgmatemaatika" osakond KÕRGEMA MATEMAATIKA MATEMAATIKA MATEMAATILISE ANALÜÜSI EDED Metoodilised soovitused

Arv- ja võimsusseeria Õppetund. Numbriseeria. Sarja summa. Konvergentsi märgid.. Arvutage ridade summa. 6 Lahendus. Lõpmatu geomeetrilise progressiooni q liikmete summa on võrdne, kus q on progressiooni nimetaja.

Valgevene Vabariigi Haridusministeerium Haridusasutus "Mogilevi Riiklik Toiduülikool" Kõrgema matemaatika osakond KÕRGEMATEMAATIKA Juhised praktiliseks kasutamiseks

6. loeng Funktsiooni laiendamine astmereaks Laienduse unikaalsus Taylori ja Maclaurini seeriaks Mõne elementaarfunktsiooni astmereaks laiendamine Astmete jada rakendamine Eelmistes loengutes

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Tomski Riiklik Arhitektuur ja Ehitus

4 Funktsiooniseeria 4 Põhidefinitsioonid Olgu lõpmatu funktsioonide jada definitsiooni ühise domeeniga X u), u (), K, u (),K (DEFINITSIOON Avaldis u) + u () + K + u () +

KOMPLEKSMUUTUVA TEHTEARVUTUSE FUNKTSIOONIDE TEOORIA ELEMENTID Selle teema õppimise tulemusena peab õpilane õppima: leidma kompleksarvu trigonomeetrilised ja eksponentsiaalsed vormid vastavalt

Föderaalne Haridusagentuur Riiklik erialane kõrgharidusasutus "Uurali Riiklik Pedagoogikaülikool" Matemaatikateaduskonna osakond

KASANI RIIKLIKÜLIK Matemaatilise statistika osakond ARVISERIA Haridus- ja metoodiline käsiraamat KAZAN 008 Avaldatud Kaasani ülikooli teadus- ja metoodikanõukogu sektsiooni otsusega

Funktsionaaljada Funktsionaaljada, selle summa ja funktsionaalsuse valdkond o Olgu reaal- või kompleksarvude domeenis Δ antud funktsioonide jada (k 1 Funktsionaalne jada nimetatakse

Föderaalne Haridusagentuur MOSKVA RIIKLIK GEODEESI- JA KARTOGRAAFIAÜLIKOOL (MIIGAIK) O. V. Isakova L. A. Saykova ÕPETUS ÕPILASELE SEKTSIOONI ISESEISVAKS ÕPPEKS

Peatükk Astmete jada a a a Vormi a a a a a () jada nimetatakse astmeridadeks, kus, a, on konstandid, mida nimetatakse jada koefitsientideks Mõnikord vaadeldakse ka üldisema kujuga astmerida: a a(a) a(a) a(a) (), kus

LOENG N34. Keeruliste terminitega numbriseeriad. Võimseeriad kompleksvaldkonnas. Analüütilised funktsioonid. Pöördfunktsioonid..keeruliste terminitega arvjada.....astmerida kompleksvaldkonnas....

Valik Ülesanne Arvuta funktsiooni väärtus, anna vastus algebralisel kujul: a sh ; b l Lahendus a Kasutame trigonomeetrilise siinuse ja hüperboolse siinuse seose valemit: ; sh -s Hangi

Föderaalne Haridusagentuur Riiklik erialane kõrgharidusasutus Ukhta Riiklik Tehnikaülikool KEERULISED NUMBRID Juhised

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium LIITRIIGI EELARVELINE KÕRGHARIDUSASUTUS “SAMARA RIIKLIK TEHNIKAÜLIKOOL” Rakendusmatemaatika osakond

Funktsionaaljada Loengud 7-8 1 Konvergentsi ala 1 Funktsionaalreaks nimetatakse seeriat kujul u () u () u () u (), 1 2 u () kus funktsioonid on defineeritud teatud intervallil. . Kõigi punktide kogum

Föderaalne Haridusagentuur Riiklik erialane kõrgharidusasutus Ukhta Riiklik Tehnikaülikool (USTU) PIIRFUNKTSIOONID Metoodilised

LOENG Ekvivalentsed infinitesimaalid Esimene ja teine ​​tähelepanuväärne piir Lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide võrdlus Funktsiooni f () nimetatakse punktis a (punktis a) lõpmata väikseks, kui (

Vene Föderatsiooni Haridus- ja Teadusministeerium Föderaalne riigieelarveline kõrgharidusasutus "Tomski Riiklik Arhitektuur ja Ehitus

Loeng Arvurida Konvergentsi märgid Arvurida Konvergentsi märgid Numbrijada + + + + lõpmatut avaldist, mis koosneb lõpmatu ühe terminitest, nimetatakse arvuseeriaks Numbrid,

EV Nebogina, OS Afanasjeva SARJA KÕRGMATEMAATIKA PRAKTIKA Samara 9 Föderaalne haridusagentuur RIIKLIK KÕRGHARIDUSASUTUS “SAMARSKY”

III peatükk MITME MUUTUJA FUNKTSIOONIDE INTEGRAALARVUTUS, KOMPLEKSSMUUTUVA FUNKTSIOONID, SERIA Topeltintegraalid KIRJANDUS: , ptk. ,glii; , XII peatükk, 6 Selleteemaliste probleemide lahendamiseks on vaja,