Kuidas skaneerida - muster etteantud suurusega koonuse või kärbitud koonuse jaoks. Lihtne pühkimisarvutus. Koonuse maht, selle arvutamine Käbi vuntside maht

Erinevate geomeetriliste kehade hulgas on üks huvitavamaid koonus. See moodustatakse täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber selle ühe jala.

Kuidas leida koonuse ruumala – põhimõisted

Enne koonuse mahu arvutamise alustamist peaksite tutvuma põhimõistetega.

• Ringkoonus - sellise koonuse alus on ring. Kui alus on ellips, parabool või hüperbool, siis nimetatakse kujundeid elliptiliseks, paraboolseks või hüperboolseks koonusteks. Tasub meeles pidada, et kahel viimasel koonusetüübil on lõpmatu maht.
• Tüvikoonus on koonuse osa, mis asub aluse ja selle alusega paralleelse tasapinna vahel, mis asub tipu ja aluse vahel.
• Kõrgus - ülaosast vabastatud segment, mis on risti alusega.
• Koonuse generatriks on segment, mis ühendab aluse ja tipu piiri.

Koonuse maht

Koonuse ruumala arvutamiseks kasutatakse valemit V=1/3*S*H, kus S on aluspind, H on kõrgus. Kuna koonuse alus on ring, leitakse selle pindala valemiga S= nR^2, kus n = 3,14, R on ringi raadius.

On olukord, kus mõned parameetrid on teadmata: kõrgus, raadius või generatrix. Sel juhul tasub kasutada Pythagorase teoreemi. Koonuse telglõik on võrdhaarne kolmnurk, mis koosneb kahest täisnurksest kolmnurgast, kus l on hüpotenuus ning H ja R on jalad. Siis l=(H^2+R^2)^1/2.

Kärbitud koonuse maht

Tüvikoonus on äralõigatud tipuga koonus.

Sellise koonuse mahu leidmiseks vajate valemit:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

kus n=3,14, r on lõikeringi raadius, R on suure aluse raadius, H on kõrgus.

Tüvikoonuse telglõik on võrdhaarne trapets. Seega, kui on vaja leida koonuse generatriksi pikkus või ühe ringi raadius, tasub trapetsi külgede ja aluste leidmiseks kasutada valemeid.

Leidke koonuse ruumala, kui selle kõrgus on 8 cm ja aluse raadius on 3 cm.

Antud: K=8 cm, R=3 cm.

Esiteks leidke aluse pindala, rakendades valemit S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Nüüd leiame valemi V=1/3*S*H abil koonuse ruumala.

V = 1/3 * 28,26 * 8 = 75,36 cm^3

Koonusekujulisi kujusid leidub kõikjal: parkimiskoonused, hoonetornid, lambivarjud. Seetõttu võib koonuse mahu leidmise teadmine mõnikord kasuks tulla nii töö- kui ka igapäevaelus.

Sõna “muster” asemel kasutatakse vahel “pühkimist”, kuid see termin on mitmetähenduslik: näiteks hõõrits on tööriist augu läbimõõdu suurendamiseks ja elektroonikatehnoloogias on hõõritsa mõiste. Seetõttu, kuigi olen kohustatud kasutama sõnu "koonuse pühkimine", et otsingumootorid leiaksid selle artikli nende abil üles, kasutan ma sõna "muster".

Koonuse mustri ehitamine on lihtne asi. Vaatleme kahte juhtumit: täiskoonuse ja kärbitud koonuse puhul. Pildil (suurendamiseks klõpsake) on näidatud selliste koonuste ja nende mustrite visandid. (Märgin kohe, et räägime ainult ümara põhjaga sirgetest koonustest. Ovaalse põhjaga ja kaldkoonustega koonuseid käsitleme järgmistes artiklites).

1. Täielik koonus

Nimetused:

Mustri parameetrid arvutatakse järgmise valemi abil:
;
;
Kus .

2. Kärbitud koonus

Nimetused:

Mustri parameetrite arvutamise valemid:
;
;
;
Kus .
Pange tähele, et need valemid sobivad ka täiskoonuse jaoks, kui asendame .

Mõnikord on koonuse konstrueerimisel põhiline nurga väärtus selle tipus (või kujuteldavas tipus, kui koonus on kärbitud). Lihtsaim näide on see, kui teil on vaja ühte koonust, et see sobituks teisega. Tähistame seda nurka tähega (vt pilti).
Sel juhul saame seda kasutada ühe kolme sisendväärtuse asemel: , või . Miks "koos O", mitte "koos e"? Kuna koonuse ehitamiseks piisab kolmest parameetrist ja neljanda väärtus arvutatakse ülejäänud kolme väärtuste kaudu. Miks just kolm, mitte kaks või neli, on küsimus, mis jääb sellest artiklist välja. Salapärane hääl ütleb mulle, et see on kuidagi seotud “koonuse” objekti kolmemõõtmelisusega. (Võrdle kahemõõtmelise ringisegmendi objekti kahe algparameetriga, millest arvutasime artiklis kõik muud parameetrid.)

Allpool on toodud valemid, mille järgi määratakse koonuse neljas parameeter, kui on antud kolm.

4. Mustri konstrueerimise meetodid

• Arvutage kalkulaatoril olevad väärtused ja looge kompassi, joonlaua ja nurgamõõturi abil paberile (või kohe metallile) muster.
• Sisestage valemid ja lähteandmed arvutustabelisse (näiteks Microsoft Excel). Saadud tulemust kasutatakse mustri koostamiseks graafilise redaktori (näiteks CorelDRAW) abil.
• kasuta minu programmi, mis joonistab ekraanile ja prindib välja antud parameetritega koonuse mustri. Selle mustri saab salvestada vektorfailina ja importida CorelDRAW-i.

5. Mitte paralleelsed alused

Mis puutub kärbitud koonustesse, siis programm Cones koostab mustreid ikkagi koonuste jaoks, millel on ainult paralleelsed alused.
Neile, kes otsivad võimalust konstrueerida mitteparalleelsete alustega kärbitud koonusmustrit, on siin link, mille üks saidi külastajatest annab:
Mitteparalleelsete alustega tüvikoonus.

Koonuse pinna areng on tasapinnaline kujund, mis saadakse koonuse külgpinna ja aluse kombineerimisel teatud tasapinnaga.

Pühkimise ehitusvõimalused:

Parema ringikujulise koonuse arendamine

Parempoolse ringkoonuse külgpinna areng on ringsektor, mille raadius võrdub koonilise pinna generatriksi pikkusega l ja kesknurk φ määratakse valemiga φ=360*R/ l, kus R on koonuse aluse ümbermõõdu raadius.

Mitmete kirjeldava geomeetria ülesannete puhul on eelistatud lahenduseks koonuse lähendamine (asendamine) sellesse kantud püramiidiga ja ligikaudse sihiku konstrueerimine, millele on mugav tõmmata koonilisel pinnal asetsevaid jooni.

Ehitusalgoritm

1. Sisestame koonilisele pinnale hulknurkse püramiidi. Mida rohkem on püramiidi külgpindu, seda täpsem on tegeliku ja ligikaudse skaneeringu vastavus.
2. Ehitame kolmnurga meetodil püramiidi külgpinna arenduse. Koonuse alusele kuuluvad punktid on ühendatud sujuva kõveraga.

Näide

Alloleval joonisel on korrapärane kuusnurkne püramiid SABCDEF kantud parempoolsesse ringikujulisse koonusesse ja selle külgpinna ligikaudne areng koosneb kuuest võrdhaarsest kolmnurgast - püramiidi tahkudest.

Vaatleme kolmnurka S 0 A 0 B 0 . Selle külgede S 0 A 0 ja S 0 B 0 pikkused on võrdsed koonilise pinna generatriksiga l. Väärtus A 0 B 0 vastab pikkusele A'B'. Kolmnurga S 0 A 0 B 0 ehitamiseks joonise suvalises kohas seame kõrvale lõigu S 0 A 0 =l, mille järel joonistame ringid raadiusega S 0 B 0 =l ja A 0 B 0 = A'B' vastavalt punktidest S 0 ja A 0. Ühendame ringide B 0 lõikepunkti punktidega A 0 ja S 0 .

SABCDEF püramiidi tahud S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 on ehitatud sarnaselt kolmnurgale S 0 A 0 B 0.

Punktid A, B, C, D, E ja F, mis asuvad koonuse põhjas, on ühendatud sujuva kõveraga - ringikaarega, mille raadius on l.

Viltuse koonuse areng

Mõelge kaldkoonuse külgpinna pühkimise konstrueerimise protseduurile lähendusmeetodil.

Algoritm

1. Me kirjutame koonuse aluse ringile kuusnurga 123456. Ühendage punktid 1, 2, 3, 4, 5 ja 6 tipuga S. Sel viisil konstrueeritud püramiid S123456 on teatud lähendusastmega, koonilise pinna asendus ja kasutatakse sellisena edasistes konstruktsioonides.
2. Püramiidi servade looduslikud väärtused määrame ümber väljaulatuva joone pööramise meetodil: näites kasutatakse i-telge, mis on risti horisontaalse projektsioonitasapinnaga ja läbib tippu S.
   Seega võtab serva S5 pöörlemise tulemusena selle uus horisontaalprojektsioon S'5' 1 asendi, kus see on paralleelne frontaaltasandiga π 2 . Vastavalt sellele on S''5'' 1 S5 loomulik väärtus.
3. Konstrueerime püramiidi S123456 külgpinna arenduse, mis koosneb kuuest kolmnurgast: 0 1 0 . Iga kolmnurga ehitamine toimub kolmest küljest. Näiteks △S 0 1 0 6 0 pikkus on S 0 1 0 =S''1'' 0, S 0 6 0 =S''6'' 1, 1 0 6 0 =1'6'.

Ligikaudse pühkimise vastavus tegelikule sõltub püramiidi tahkude arvust. Nägude arvu valimisel lähtutakse joonise lugemise lihtsusest, selle täpsuse nõuetest, iseloomulike punktide ja joonte olemasolust, mis tuleb skannimisele üle kanda.

Joone ülekandmine koonuse pinnalt arendusse

Koonuse pinnal asuv joon n tekib selle lõikumise tulemusena teatud tasapinnaga (joonis allpool). Mõelge pühkimisjoone n konstrueerimise algoritmile.

Algoritm

1. Leidke punktide A, B ja C projektsioonid, milles sirge n lõikub koonusesse S123456 kirjutatud püramiidi servadega.
2. Määrame segmentide SA, SB, SC tegeliku suuruse, pöörates ümber eenduva joone. Selles näites SA=S''A'', SB=S''B''1, SC=S''C''1.
3. Leiame punktide A 0 , B 0 , C 0 asukoha püramiidi vastavatel servadel, jättes kõrvale lõigud S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. Ühendame punktid A 0, B 0, C 0 sujuva joonega.

Kärbikoonuse areng

Allpool kirjeldatud parempoolse ringikujulise tüvikoonuse pühkimismeetod põhineb sarnasuse põhimõttel.

Geomeetrias on tüvikoonus keha, mis moodustub ristkülikukujulise trapetsi pööramisel selle selle külje ümber, mis on risti alusega. Kuidas nad arvutavad kärbitud koonuse maht, teavad kõik kooli geomeetria kursusest ja praktikas kasutavad neid teadmisi sageli erinevate masinate ja mehhanismide projekteerijad, mõne tarbeeseme arendajad, aga ka arhitektid.

Tüvikoonuse ruumala arvutamine

Kärbitud koonuse ruumala arvutamise valem

Kärbitud koonuse maht arvutatakse järgmise valemi abil:

h- koonuse kõrgus

r- ülemise aluse raadius

R- põhja aluse raadius

V- kärbitud koonuse maht

π - 3,14

Selliste geomeetriliste kehadega nagu kärbitud koonused, igapäevaelus kohtab igaüks üsna sageli, kui mitte pidevalt. Nende kujul on lai valik igapäevaelus laialdaselt kasutatavaid anumaid: ämbrid, klaasid, mõned tassid. On ütlematagi selge, et need välja töötanud disainerid pidid kasutama valemit, mis arvutab kärbitud koonuse maht, kuna see väärtus on antud juhul väga oluline, kuna see määrab nii olulise omaduse nagu toote mahutavus.

Inseneristruktuurid, mis on kärbitud koonused, võib sageli näha suurtes tööstusettevõtetes, samuti soojus- ja tuumaelektrijaamades. Just selline vorm on jahutustornidel – seadmed, mis on ette nähtud suurte veekoguste jahutamiseks, sundides atmosfääriõhu vastuvoolu. Kõige sagedamini kasutatakse neid konstruktsioone juhtudel, kui on vaja lühikese aja jooksul oluliselt vähendada suure koguse vedeliku temperatuuri. Nende struktuuride arendajad peavad kindlaks määrama kärbitud koonuse maht mille arvutamise valem on üsna lihtne ja kõigile teada, kes kunagi keskkoolis hästi õppisid.

Sellise geomeetrilise kujuga detaile leidub üsna sageli erinevate tehniliste seadmete disainis. Näiteks hammasrattaid, mida kasutatakse süsteemides, kus on vaja muuta kineetilise ülekande suunda, rakendatakse kõige sagedamini koonusülekannete abil. Need osad on lahutamatu osa paljudest käigukastidest, aga ka kaasaegsetes sõidukites kasutatavatest automaat- ja manuaalkäigukastidest.

Tüvikoonuse kujul on mõned lõikeriistad, mida tootmises laialdaselt kasutatakse, näiteks freesid. Nende abiga saate töödelda kaldpindu teatud nurga all. Metalli- ja puidutöötlemisseadmete lõikurite teritamiseks kasutatakse sageli abrasiivseid rattaid, mis on samuti tüvikoonused. Pealegi, kärbitud koonuse maht on vaja määrata trei- ja freespinkide projekteerijad, mis hõlmavad koonilise varrega varustatud lõikeriista (puurid, hõõritsad jne) kinnitamist.