Veebigraafiku koostamine. Funktsiooni graafiku joonistamine Punktide joonistamine koordinaattasandil

Ehitamise funktsioon

Pakume teie tähelepanu funktsioonide graafikute koostamise teenust Internetis, mille kõik õigused kuuluvad ettevõttele Desmos. Funktsioonide sisestamiseks kasutage vasakpoolset veergu. Saate sisestada käsitsi või kasutades virtuaalset klaviatuuri akna allosas. Akna suurendamiseks graafikuga saate peita nii vasaku veeru kui ka virtuaalse klaviatuuri.

Veebikaardistamise eelised

Sisestatud funktsioonide visuaalne kuvamine
Väga keeruliste graafikute koostamine
Kaudselt määratud graafikute koostamine (näiteks ellips x^2/9+y^2/16=1)
Võimalus salvestada diagramme ja saada neile link, mis muutub Internetis kõigile kättesaadavaks
Skaala, joone värvi juhtimine
Võimalus joonistada graafikuid punktide kaupa, kasutades konstante
Mitme funktsioonigraafiku üheaegne joonistamine
Joonistamine polaarkoordinaatides (kasutage r ja θ(\theta))

Meiega on lihtne koostada võrgus erineva keerukusega graafikuid. Ehitus tehakse koheselt. Teenus on nõutud funktsioonide ristumispunktide leidmiseks, graafikute kujutamiseks nende edasiseks Wordi dokumenti teisaldamiseks ülesannete lahendamisel illustratsioonidena ning funktsioonigraafikute käitumistunnuste analüüsimiseks. Optimaalne brauser sellel veebisaidil olevate diagrammidega töötamiseks on Google Chrome. Teiste brauserite kasutamisel pole korrektne toimimine garanteeritud.

Varem uurisime muid funktsioone, näiteks lineaarset, meenutagem selle standardvormi:

siit ka ilmne põhimõtteline erinevus – lineaarfunktsioonis X seisab esimesel astmel ja uues funktsioonis hakkame õppima, X seisab teisel võimul.

Tuletame meelde, et lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon ja funktsiooni graafik, nagu näeme, on kõver, mida nimetatakse parabooliks.

Alustuseks uurime välja, kust valem tuli. Seletus on järgmine: kui meile antakse ruut küljega A, siis saame selle pindala arvutada järgmiselt:

Kui muudame ruudu külje pikkust, muutub selle pindala.

Seega on see üks põhjusi, miks seda funktsiooni uuritakse

Tuletage meelde, et muutuja X- see on sõltumatu muutuja või füüsikalises tõlgenduses argument, see võib olla näiteks aeg; Kaugus on vastupidi sõltuv muutuja, see sõltub ajast. Sõltuv muutuja või funktsioon on muutuja juures.

See on vastavuse seadus, mille kohaselt iga väärtus X määratakse üks väärtus juures.

Iga vastavusseadus peab vastama argumentide ja funktsioonide kordumatuse nõudele. Füüsilises tõlgenduses paistab see kauguse ajast sõltuvuse näitel üsna selge: igal ajahetkel oleme alguspunktist teatud kaugusel ning algusest ei saa olla nii 10 kui 20 kilomeetri kaugusel. teekonnast samal ajal ajal t.

Samal ajal saab iga funktsiooni väärtust saavutada mitme argumendi väärtusega.

Niisiis, peame koostama funktsiooni graafiku, selleks peame tegema tabeli. Seejärel uurige funktsiooni ja selle omadusi graafiku abil. Kuid isegi enne funktsiooni tüübi põhjal graafiku koostamist võime öelda midagi selle omaduste kohta: on ilmne, et juures ei saa võtta negatiivseid väärtusi, kuna

Niisiis, teeme tabeli:

Riis. 1

Graafikult on lihtne märkida järgmised omadused:

Telg juures- see on graafiku sümmeetriatelg;

Parabooli tipp on punkt (0; 0);

Näeme, et funktsioon aktsepteerib ainult mittenegatiivseid väärtusi;

Intervall kus funktsioon väheneb ja intervallil, kus funktsioon suureneb;

Funktsioon omandab oma väikseima väärtuse tipus, ;

Funktsioonil ei ole suurimat väärtust;

Näide 1

Seisukord:

Lahendus:

Kuna X tingimusel, et muutub teatud intervallil, võime funktsiooni kohta öelda, et see intervallil suureneb ja muutub. Funktsioonil on sellel intervallil minimaalne ja maksimaalne väärtus

Riis. 2. Funktsiooni y = x 2 , x ∈ graafik

Näide 2

Seisukord: Leia funktsiooni suurim ja väikseim väärtus:

Lahendus:

X muutub intervalli jooksul, mis tähendab juures väheneb intervalli ajal ja suureneb intervalli ajal while .

Niisiis, muutuste piirid X ja muutuste piirid juures, ja seetõttu on antud intervallil nii funktsiooni minimaalne väärtus kui ka maksimumväärtus

Riis. 3. Funktsiooni y = x 2 , x ∈ [-3 graafik; 2]

Illustreerime tõsiasja, et sama funktsiooni väärtuse saab saavutada mitme argumendi väärtusega.

Funktsioonigraafik on funktsiooni käitumise visuaalne esitus koordinaattasandil. Graafikud aitavad teil mõista funktsiooni erinevaid aspekte, mida ei saa funktsiooni enda järgi määrata. Saate koostada paljude funktsioonide graafikuid ja igaühele neist antakse konkreetne valem. Mis tahes funktsiooni graafik koostatakse kindla algoritmi abil (kui olete konkreetse funktsiooni täpse graafiku tegemise protsessi unustanud).

Sammud

Lineaarse funktsiooni joonistamine

Määrake, kas funktsioon on lineaarne. Lineaarfunktsioon on antud vormi valemiga F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) või y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(näiteks ) ja selle graafik on sirgjoon. Seega sisaldab valem ühte muutujat ja üht konstanti (konstanti) ilma eksponentide, juurmärkide või muu sarnaseta. Arvestades sarnast tüüpi funktsiooni, on sellise funktsiooni graafiku koostamine üsna lihtne. Siin on muid näiteid lineaarsetest funktsioonidest:

Kasutage konstanti punkti märkimiseks Y-teljel. Konstant (b) on selle punkti "y" koordinaat, kus graafik lõikub Y-teljega. See tähendab, et see on punkt, mille "x" koordinaat on 0. Seega, kui x = 0 asendatakse valemiga. , siis y = b (konstant). Meie näites y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstant on võrdne 5-ga, see tähendab, et lõikepunktil Y-teljega on koordinaadid (0,5). Joonistage see punkt koordinaattasandile.

Leidke joone kalle. See on võrdne muutuja kordajaga. Meie näites y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) muutujaga “x” on tegur 2; seega on kalde koefitsient võrdne 2. Kaldekoefitsient määrab sirge kaldenurga X-telje suhtes, st mida suurem on kaldetegur, seda kiiremini funktsioon suureneb või väheneb.

Kirjutage kalle murruna. Nurgakoefitsient võrdub kaldenurga puutujaga, see tähendab vertikaalse kauguse (sirgejoone kahe punkti vahelise) ja horisontaalse kauguse (samade punktide vahel) suhtega. Meie näites on kalle 2, seega võime väita, et vertikaalne kaugus on 2 ja horisontaalne kaugus on 1. Kirjutage see murdarvuna: 2 1 (\displaystyle (\frac (2) (1))).

Kui kalle on negatiivne, siis funktsioon väheneb.

Punktist, kus sirgjoon lõikub Y-teljega, joonistage teine punkt vertikaalsete ja horisontaalsete vahemaade abil. Lineaarfunktsiooni saab joonistada kahe punkti abil. Meie näites on Y-teljega ristumispunktil koordinaadid (0,5); Sellest punktist liigutage 2 tühikut üles ja seejärel 1 tühiku võrra paremale. Märkige punkt; sellel on koordinaadid (1,7). Nüüd saate tõmmata sirge joone.

Joonlaua abil tõmmake sirgjoon läbi kahe punkti. Vigade vältimiseks leia kolmas punkt, kuid enamasti saab graafiku koostada kahe punkti abil. Seega olete joonistanud lineaarse funktsiooni.

Punktide joonistamine koordinaattasandile
1. Määratlege funktsioon. Funktsioon on tähistatud kui f(x). Muutuja "y" kõiki võimalikke väärtusi nimetatakse funktsiooni domeeniks ja kõiki muutuja "x" võimalikke väärtusi nimetatakse funktsiooni domeeniks. Näiteks vaatleme funktsiooni y = x+2, nimelt f(x) = x+2.
  
  Joonistage kaks ristuvat risti. Horisontaalne joon on X-telg. Vertikaalne joon on Y-telg.
  
  Märgistage koordinaatteljed. Jagage iga telg võrdseteks segmentideks ja nummerdage need. Telgede lõikepunkt on 0. X-telje jaoks: positiivsed arvud joonistatakse paremale (alates 0-st) ja negatiivsed arvud vasakule. Y-telje jaoks: positiivsed arvud on joonistatud üleval (alates 0-st) ja negatiivsed arvud alla.
  
  Leidke "y" väärtused "x" väärtustest. Meie näites f(x) = x+2. Vastavate y väärtuste arvutamiseks asendage selle valemiga konkreetsed x väärtused. Kui teil on keeruline funktsioon, siis lihtsustage seda, eraldades võrrandi ühel küljel oleva "y".
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Joonistage punktid koordinaattasandile. Iga koordinaatide paari puhul toimi järgmiselt: leia X-teljel vastav väärtus ja tõmba vertikaaljoon (punktiir); leida Y-teljel vastav väärtus ja tõmmata horisontaaljoon (katkendjoon). Märkige kahe punktiirjoone lõikepunkt; seega olete joonistanud graafikule punkti.
  
  Kustutage punktiirjooned. Tehke seda pärast kõigi graafiku punktide joonistamist koordinaattasandile. Märkus: funktsiooni f(x) = x graafik on koordinaatide keskpunkti [punkt koordinaatidega (0,0)] läbiv sirgjoon; graafik f(x) = x + 2 on sirgega f(x) = x paralleelne sirge, kuid nihutatud kahe ühiku võrra ülespoole ja läbib seetõttu punkti koordinaatidega (0,2) (kuna konstant on 2) .
Kompleksfunktsiooni graafik

Mooduleid sisaldavate funktsioonide graafikute koostamine tekitab koolilastele tavaliselt suuri raskusi. Kõik pole siiski nii hull. Piisab, kui meeles pidada mõnda algoritmi selliste probleemide lahendamiseks ja saate hõlpsalt koostada graafiku isegi kõige keerukamatest funktsioonidest. Mõelgem välja, millised algoritmid need on.

1. Funktsiooni y = |f(x)| graafiku joonistamine

Pange tähele, et funktsiooni väärtuste komplekt y = |f(x)| : y ≥ 0. Seega paiknevad selliste funktsioonide graafikud alati täielikult ülemisel pooltasandil.

Funktsiooni y = |f(x)| graafiku joonistamine koosneb järgmisest lihtsast neljast sammust.

1) Koostage hoolikalt ja hoolikalt funktsiooni y = f(x) graafik.

2) Jätke muutmata kõik graafiku punktid, mis asuvad 0x telje kohal või kohal.

3) Kuvage graafiku osa, mis asub 0x telje all sümmeetriliselt 0x telje suhtes.

Näide 1. Joonistage funktsiooni y = |x 2 – 4x + 3| graafik

1) Koostame funktsiooni y = x 2 – 4x + 3 graafiku. Ilmselgelt on selle funktsiooni graafik parabool. Leiame kõigi parabooli ja koordinaatide telgede lõikepunktide koordinaadid ja parabooli tipu koordinaadid.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Seetõttu lõikub parabool 0x teljega punktides (3, 0) ja (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Seetõttu lõikub parabool 0y teljega punktis (0, 3).

Parabooli tipu koordinaadid:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Seetõttu on punkt (2, -1) selle parabooli tipp.

Saadud andmete abil joonistage parabool (Joonis 1)

2) 0x telje all asuv graafiku osa kuvatakse sümmeetriliselt 0x telje suhtes.

3) Saame algse funktsiooni graafiku ( riis. 2, näidatud punktiirjoonena).

2. Funktsiooni y = f(|x|) joonistamine

Pange tähele, et funktsioonid kujul y = f(|x|) on paarisarvulised:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). See tähendab, et selliste funktsioonide graafikud on sümmeetrilised telje 0y suhtes.

Funktsiooni y = f(|x|) graafiku koostamine koosneb järgmisest lihtsast toimingute ahelast.

1) Joonistage funktsioon y = f(x).

2) Jäta see graafiku osa, mille puhul x ≥ 0, st graafiku osa, mis asub parempoolsel pooltasandil.

3) Kuvage punktis (2) määratud graafiku osa sümmeetriliselt 0y telje suhtes.

4) Lõpliku graafikuna vali punktides (2) ja (3) saadud kõverate liit.

Näide 2. Joonistage funktsiooni y = x 2 – 4 · |x| graafik + 3

Kuna x 2 = |x| 2, siis saab algse funktsiooni ümber kirjutada järgmisel kujul: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Nüüd saame rakendada ülal pakutud algoritmi.

1) Koostame hoolikalt ja hoolikalt funktsiooni y = x 2 – 4 x + 3 graafiku (vt ka riis. 1).

2) Jätame selle osa graafikust, mille jaoks x ≥ 0, ehk graafiku osa, mis asub parempoolsel pooltasandil.

3) Kuvage graafiku parem pool sümmeetriliselt 0y telje suhtes.

(Joonis 3).

Näide 3. Joonistage funktsiooni y = log 2 |x| graafik

Rakendame ülaltoodud skeemi.

1) Koostage funktsiooni y = log 2 x graafik (Joonis 4).

3. Funktsiooni y = |f(|x|)| joonistamine

Pange tähele, et funktsioonid kujul y = |f(|x|)| on ka ühtlased. Tõepoolest, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) ja seetõttu on nende graafikud sümmeetrilised telje 0y suhtes. Selliste funktsioonide väärtuste komplekt: y ≥ 0. See tähendab, et selliste funktsioonide graafikud asuvad täielikult ülemisel pooltasandil.

Funktsiooni y = |f(|x|)| joonistamiseks peate:

1) Koostage hoolikalt funktsiooni y = f(|x|) graafik.

2) Jätke muutmata graafiku osa, mis asub 0x telje kohal või peal.

3) Kuvage graafiku osa, mis asub 0x telje all sümmeetriliselt 0x telje suhtes.

4) Lõpliku graafikuna vali punktides (2) ja (3) saadud kõverate liit.

Näide 4. Joonistage funktsiooni y = |-x 2 + 2|x| graafik – 1|.

1) Pange tähele, et x 2 = |x| 2. See tähendab, et algse funktsiooni asemel y = -x 2 + 2|x| - 1

võite kasutada funktsiooni y = -|x| 2 + 2|x| – 1, kuna nende graafikud langevad kokku.

Koostame graafiku y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Selleks kasutame algoritmi 2.

a) Joonistage funktsioon y = -x 2 + 2x – 1 (Joonis 6).

b) Jätame graafiku selle osa, mis asub parempoolsel pooltasandil.

c) Kuvame saadud graafiku osa sümmeetriliselt 0y telje suhtes.

d) Saadud graafik on näidatud joonisel punktiirjoonega (Joonis 7).

2) 0x telje kohal ei ole punkte, jätame 0x telje punktid muutmata.

3) 0x-telje all asuv graafiku osa kuvatakse sümmeetriliselt 0x-i suhtes.

4) Saadud graafik on näidatud joonisel punktiirjoonega (Joonis 8).

Näide 5. Joonistage funktsioon y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Kõigepealt peate joonistama funktsiooni y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Selleks pöördume tagasi 2. algoritmi juurde.

a) Joonistage hoolikalt funktsioon y = (2x – 4) / (x + 3) (Joonis 9).

Pange tähele, et see funktsioon on murdosaline lineaarne ja selle graafik on hüperbool. Kõvera joonistamiseks peate esmalt leidma graafiku asümptoodid. Horisontaalne – y = 2/1 (x-i kordajate suhe murru lugejas ja nimetajas), vertikaalne – x = -3.

2) Jätame muutmata graafiku selle osa, mis asub 0x telje kohal või sellel.

3) 0x-telje all asuv graafiku osa kuvatakse sümmeetriliselt 0x-i suhtes.

4) Lõplik graafik on näidatud joonisel (Joonis 11).

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Veebigraafiku koostamine. Funktsiooni graafiku joonistamine Punktide joonistamine koordinaattasandil

Ehitamise funktsioon

Veebikaardistamise eelised

Sammud

Lineaarse funktsiooni joonistamine

Punktide joonistamine koordinaattasandile

Kompleksfunktsiooni graafik