Kuidas lahendada ebavõrdsust 2 muutujaga. Tunni kokkuvõte "kahe muutujaga ebavõrdsuste süsteemide lahendamine". kahe muutujaga

Teema: Võrrandid ja võrratused. Võrrandi- ja võrratussüsteemid

Õppetund:Kahe muutujaga võrrandid ja võrratused

Vaatleme üldiselt kahe muutujaga võrrandit ja võrratust.

Võrrand kahe muutujaga;

Kahe muutujaga ebavõrdsus, ebavõrdsuse märk võib olla ükskõik milline;

Siin on x ja y muutujad, p on neist sõltuv avaldis

Arvupaari () nimetatakse sellise võrrandi või võrratuse osaliseks lahendiks, kui selle paari avaldisesse asendamisel saame vastavalt õige võrrandi või võrratuse.

Ülesanne on leida või kujutada tasapinnal kõigi lahenduste hulk. Saate seda ülesannet ümber sõnastada – leida punktide asukoht (GLP), koostada võrrandi või võrratuse graafik.

Näide 1 - lahendage võrrand ja ebavõrdsus:

Teisisõnu hõlmab ülesanne GMT leidmist.

Vaatleme võrrandi lahendust. Sel juhul võib muutuja x väärtus olla mis tahes, seega on meil:

Ilmselt on võrrandi lahenduseks sirge moodustavate punktide hulk

Riis. 1. Võrrandigraafik Näide 1

Antud võrrandi lahendid on eelkõige punktid (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Antud võrratuse lahendiks on sirge kohal paiknev pooltasand, sealhulgas sirge ise (vt joonis 1). Tõepoolest, kui me võtame sirgel suvalise punkti x 0, siis on meil võrdsus . Kui me võtame punkti pooltasapinnal joone kohal, on meil . Kui võtame joone all oleva pooltasandi punkti, siis see ei rahulda meie ebavõrdsust: .

Nüüd kaaluge probleemi ringi ja ringiga.

Näide 2 - lahendage võrrand ja ebavõrdsus:

Teame, et antud võrrand on ringi võrrand, mille keskpunkt on lähtepunktis ja raadius 1.

Riis. 2. Illustratsioon näiteks 2

Suvalises punktis x 0 on võrrandil kaks lahendit: (x 0; y 0) ja (x 0; -y 0).

Antud ebavõrdsuse lahendus on ringi sees paiknevate punktide kogum, mis ei võta arvesse ringi ennast (vt joonis 2).

Vaatleme võrrandit moodulitega.

Näide 3 – lahendage võrrand:

Sel juhul oleks võimalik mooduleid laiendada, kuid arvestame võrrandi eripäradega. On lihtne näha, et selle võrrandi graafik on sümmeetriline mõlema telje suhtes. Siis kui punkt (x 0 ; y 0) on lahend, siis on ka punkt (x 0 ; -y 0) lahendus, punktid (-x 0 ; y 0) ja (-x 0 ; -y 0) ) on samuti lahendus.

Seega piisab lahenduse leidmisest, kus mõlemad muutujad on mittenegatiivsed ja võtavad telgede suhtes sümmeetriat:

Riis. 3. Illustratsioon näiteks 3

Niisiis, nagu näeme, on võrrandi lahendus ruut.

Vaatame nn pindalameetodit konkreetse näite varal.

Näide 4 - kujutage ebavõrdsuse lahenduste komplekti:

Domeenide meetodi järgi vaatleme kõigepealt vasakpoolset funktsiooni, kui paremal on null. See on kahe muutuja funktsioon:

Sarnaselt intervallide meetodile eemaldume ajutiselt ebavõrdsusest ja uurime koostatud funktsiooni tunnuseid ja omadusi.

ODZ: see tähendab, et x-telg torgatakse.

Nüüd näitame, et funktsioon on võrdne nulliga, kui murdosa lugeja on võrdne nulliga, meil on:

Koostame funktsiooni graafiku.

Riis. 4. Funktsiooni graafik, võttes arvesse ODZ-d

Vaatleme nüüd funktsiooni konstantse märgi alasid, mille moodustavad sirgjoon ja katkendjoon. katkendjoone sees on ala D 1. Katkendjoone ja sirge lõigu vahel - ala D 2, joone all - ala D 3, katkendjoone ja sirge segmendi vahel - ala D 4

Igas valitud piirkonnas säilitab funktsioon oma märgi, mis tähendab, et piisab suvalise katsepunkti kontrollimisest igas piirkonnas.

Piirkonnas võtame punkti (0;1). Meil on:

Piirkonnas võtame punkti (10;1). Meil on:

Seega on kogu piirkond negatiivne ega rahulda antud ebavõrdsust.

Piirkonnas võtke punkt (0;-5). Meil on:

Seega on kogu regioon positiivne ja rahuldab antud ebavõrdsust.

1. Kahe muutujaga ebavõrdsused. Kahe muutujaga kahe võrratuse süsteemi lahendamise meetodid: analüütiline meetod ja graafiline meetod.

2. Kahe muutujaga kahe võrratuse süsteemid: lahenduse tulemuse registreerimine.

3. Kahe muutujaga võrratuste hulgad.

KAHE MUUTUJAGA EBAVÕRDSUSED JA VÕRDSUSÜSTEEMID. Predikaat kujul f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - kutsutakse välja avaldised, mille muutujad x ja y on defineeritud hulgal XxY ebavõrdsus kahe muutujaga (kahe tundmatuga) x ja y. On selge, et vormi saab kirjutada igasuguse kahe muutujaga vormi ebavõrdsuse f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. Ebavõrdsuse lahendamine Kahe muutujaga on muutujaväärtuste paar, mis teisendab ebavõrdsuse tõeliseks arvuliseks ebavõrdsuseks. On teada, et reaalarvude paar (x, y) määrab üheselt punkti koordinaattasandil. See võimaldab kujutada kahe muutujaga võrratuste või võrratussüsteemide lahendeid geomeetriliselt, koordinaattasandil teatud punktide komplektina. Kui Eq.

f(x, y)= 0 määratleb teatud sirge koordinaattasandil, siis tasandi punktide hulk, mis sellel sirgel ei asu, koosneb lõplikust arvust piirkondadest C₁, C 2,..., S p(joonis 17.8). Igas piirkonnas C on funktsioon f(x, y) erineb nullist, sest punktid, kus f(x, y)= 0 kuuluvad nende alade piiridesse.

Lahendus. Teisendame ebavõrdsuse vormiks x > y 2 + 2 a - 3. Konstrueerime koordinaattasandile parabooli X= a 2 + 2 a - 3. See jagab tasapinna kaheks piirkonnaks G₁ ja G 2 (joonis 17.9). Kuna iga punkti abstsiss asub paraboolist paremal X= a 2 + 2 a- 3, suurem kui punkti abstsiss, millel on sama ordinaat, kuid mis asub paraboolil jne. ebavõrdsus x>y g + 2y -3 ei ole range, siis on selle võrratuse lahendite geomeetriliseks esituseks paraboolil paikneva tasandi punktide hulk X= kell 2+ 2у - 3 ja sellest paremale (joon. 17.9).

Riis. 17.10

Näide 17.15. Joonistage koordinaattasandile võrratuste süsteemi lahendite hulk

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Lahendus. Võrratussüsteemi x > 0 lahendi geomeetriline esitus, y > 0 on esimese koordinaatnurga punktide kogum. Võrratuste lahendite geomeetriline esitus x + y< 6 või juures< 6 - X on punktide kogum, mis asub joone all ja joonel endal ning toimib funktsiooni graafikuna y = 6 - X. Võrratuste lahendite geomeetriline esitus xy > 5 või sellepärast X> 0 ebavõrdsust y > 5/x on punktide kogum, mis asub funktsiooni graafikuna kasutatava hüperbooli haru kohal y = 5/x. Selle tulemusena saame koordinaattasandi punktide komplekti, mis asuvad esimeses koordinaatnurgas sirgjoone all, mis toimib funktsiooni y = 6 - x graafikuna, ja hüperbooli haru kohal, mis toimib funktsiooni graafik y = 5x(Joon. 17.10).

III peatükk. LOODUSLIKUD NUMBRID JA NULL

, ja veelgi enam kahe muutujaga võrratuste süsteemid, tundub päris raske ülesanne. Siiski on olemas lihtne algoritm, mis aitab sedalaadi pealtnäha väga keerukaid probleeme lihtsalt ja ilma suurema vaevata lahendada. Proovime selle välja mõelda.

Olgu meil ebavõrdsus kahe muutujaga, mis on ühte järgmistest tüüpidest:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Sellise ebavõrdsuse lahenduste hulga kujutamiseks koordinaattasandil toimige järgmiselt.

1. Koostame funktsiooni y = f(x) graafiku, mis jagab tasandi kaheks piirkonnaks.
2. Valime saadud aladest suvalise ja arvestame selles suvalise punktiga. Kontrollime selle punkti algse ebavõrdsuse teostatavust. Kui testi tulemuseks on õige arvuline võrratus, siis järeldame, et algne võrratus on täidetud kogu piirkonnas, kuhu valitud punkt kuulub. Seega on ebavõrdsuse lahenduste hulk piirkond, kuhu valitud punkt kuulub. Kui kontrolli tulemuseks on vale numbriline võrratus, siis on võrratuse lahendite hulk teine ​​piirkond, kuhu valitud punkt ei kuulu.
3. Kui ebavõrdsus on range, siis piirkonna piirid ehk funktsiooni y = f(x) graafiku punktid ei kuulu lahenduste hulka ja piir on kujutatud punktiirjoonega. Kui ebavõrdsus ei ole range, kaasatakse piirkonna piirid, see tähendab funktsiooni y = f(x) graafiku punktid selle võrratuse lahenduste hulka ja see piir on sel juhul kujutatud. pideva joonena. Vaatame nüüd mitmeid selle teemaga seotud probleeme.

Ülesanne 1.

Millise punktide hulga annab võrratus x · y ≤ 4?

Lahendus.

1) Koostame graafiku võrrandist x · y = 4. Selleks teisendame selle esmalt. Ilmselgelt ei muutu x sel juhul 0-ks, sest muidu oleks meil 0 · y = 4, mis on vale. See tähendab, et saame oma võrrandi jagada x-ga. Saame: y = 4/x. Selle funktsiooni graafik on hüperbool. See jagab kogu tasapinna kaheks piirkonnaks: hüperbooli kahe haru vahele jäävasse ja neist väljapoole jäävasse piirkonda.

2) Valime esimesest piirkonnast suvalise punkti, olgu selleks punkt (4; 2). Kontrollime ebavõrdsust: 4 · 2 ≤ 4 – väär.

See tähendab, et selle piirkonna punktid ei rahulda algset ebavõrdsust. Siis võime järeldada, et ebavõrdsuse lahenduste hulk on teine ​​piirkond, kuhu valitud punkt ei kuulu.

3) Kuna võrratus ei ole range, siis tõmbame piiripunktid ehk funktsiooni y=4/x graafiku punktid pideva joonega.

Värvime algset ebavõrdsust defineeriva punktide hulga kollaseks (joonis 1).

2. ülesanne.

Joonistage süsteemi poolt koordinaattasandile määratud ala

Lahendus.

Alustuseks koostame järgmiste funktsioonide graafikud (joonis 2):

y = x 2 + 2 – parabool,

y + x = 1 – sirgjoon

x 2 + y 2 = 9 – ring.

Vaatame nüüd iga ebavõrdsust eraldi.

1) y > x 2 + 2.

Võtame punkti (0; 5), mis asub funktsiooni graafiku kohal. Kontrollime ebavõrdsust: 5 > 0 2 + 2 – tõene.

Järelikult rahuldavad kõik punktid, mis asuvad antud parabooli kohal y = x 2 + 2, süsteemi esimest võrratust. Värvime need kollaseks.

2) y + x > 1.

Võtame punkti (0; 3), mis asub funktsiooni graafiku kohal. Kontrollime ebavõrdsust: 3 + 0 > 1 – tõene.

Järelikult rahuldavad kõik punktid, mis asuvad sirge y + x = 1 kohal, süsteemi teist võrratust. Värvime need rohelise varjundiga.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Võtame punkti (0; -4), mis asub väljaspool ringi x 2 + y 2 = 9. Kontrollime ebavõrdsust: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – vale.

Järelikult ei rahulda kõik punktid, mis asuvad väljaspool ringi x 2 + y 2 = 9, süsteemi kolmandat võrratust. Siis võime järeldada, et kõik punktid, mis asuvad ringi x 2 + y 2 = 9 sees, rahuldavad süsteemi kolmandat võrratust. Värvime need lilla varjundiga.

Ärge unustage, et kui ebavõrdsus on range, tuleks vastav piirijoon tõmmata punktiirjoonega. Saame järgmise pildi (joonis 3).

Otsinguala on ala, kus kõik kolm värvilist ala ristuvad üksteisega (joonis 4).

Küsimused märkmete jaoks

Kirjutage võrratus, mille lahendus on ring ja punktid ringi sees:

Leidke punktid, mis lahendavad ebavõrdsuse:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

Lase f(x,y) Ja g(x, y)- kaks muutujatega avaldist X Ja juures ja ulatus X. Siis vormi ebavõrdsused f(x, y) > g(x, y) või f(x, y) < g(x, y) helistas ebavõrdsus kahe muutujaga .

Muutujate tähendus x, y paljudelt X, mille korral ebavõrdsus muutub tõeliseks arvuliseks võrratuseks, nimetatakse seda otsus ja on määratud (x, y). Lahendage ebavõrdsus - see tähendab paljude selliste paaride leidmist.

Kui iga numbripaar (x, y) Lahenduste hulgast ebavõrdsusele, sobitage punkt M(x, y), saame selle ebavõrdsusega määratud tasandi punktide hulga. Teda kutsutakse selle ebavõrdsuse graafik . Ebavõrdsuse graafik on tavaliselt tasapinna pindala.

Ebavõrdsuse lahenduste hulga kujutamiseks f(x, y) > g(x, y), toimige järgmiselt. Esmalt asendage ebavõrdsusmärk võrdusmärgiga ja leidke sirge, millel on võrrand f(x,y) = g(x,y). See joon jagab tasapinna mitmeks osaks. Pärast seda piisab, kui võtta igas osas üks punkt ja kontrollida, kas selles punktis on ebavõrdsus täidetud f(x, y) > g(x, y). Kui see täidetakse selles punktis, siis täidetakse see kogu selles osas, kus see punkt asub. Selliseid osi kombineerides saame palju lahendusi.

Ülesanne. y > x.

Lahendus. Esiteks asendame ebavõrdsuse märgi võrdusmärgiga ja konstrueerime ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis sirge, millel on võrrand y = x.

See joon jagab tasapinna kaheks osaks. Pärast seda võtke igast osast üks punkt ja kontrollige, kas ebavõrdsus on selles punktis täidetud y > x.

Ülesanne. Lahendage ebavõrdsus graafiliselt
X 2 + juures 2 25 naela.

Olgu antud kaks ebavõrdsust f 1(x, y) > g 1(x, y) Ja f 2(x, y) > g 2(x, y).

Kahe muutujaga võrratuste hulkade süsteemid

Ebavõrdsuse süsteem on ise nende ebavõrdsuste koosmõju. Süsteemne lahendus on iga tähendus (x, y), mis muudab iga ebavõrdsuse tõeliseks arvuliseks võrratuseks. Palju lahendusi süsteemid ebavõrdsused on antud süsteemi moodustavate võrratuste lahendite kogumite ristumiskoht.

Ebavõrdsuse hulk on ise nende lahutamine ebavõrdsused Määra lahendus on iga tähendus (x, y), mis teisendab vähemalt ühe võrratuste hulgast tõeliseks arvuliseks võrratuseks. Palju lahendusi totaalsus on ebavõrdsuse lahenduste hulk, mis moodustab hulga.

Ülesanne. Lahendage graafiliselt võrratuste süsteem

Lahendus. y = x Ja X 2 + juures 2 = 25. Lahendame süsteemi iga ebavõrdsuse.

Süsteemi graafik on punktide kogum tasapinnal, mis on esimese ja teise võrratuse lahendushulkade lõikepunktiks (topeltviirutuseks).

Ülesanne. Lahendage graafiliselt võrratuste hulk

Harjutused iseseisvaks tööks

1. Lahenda graafiliselt võrratused: a) juures> 2x; b) juures< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 4 naela.

2. Lahendage graafiliselt võrratussüsteemid:

a) b)

Videotund “Kahe muutujaga ebavõrdsuse süsteemid” sisaldab selleteemalist visuaalset õppematerjali. Tund sisaldab kahe muutujaga võrratussüsteemi lahendamise kontseptsiooni käsitlemist, näiteid selliste süsteemide graafilisest lahendamisest. Selle videotunni eesmärk on arendada õpilaste oskust graafiliselt lahendada kahe muutujaga ebavõrdsussüsteeme, hõlbustada sellistele süsteemidele lahenduste leidmise protsessi mõistmist ja lahendusmeetodi meeldejätmist.

Iga lahenduse kirjeldusega on kaasas joonised, mis kuvavad ülesande lahendust koordinaattasandil. Sellistel joonistel on selgelt näha graafikute koostamise tunnused ja lahendusele vastavate punktide paiknemine. Kõik olulised detailid ja kontseptsioonid on värviga esile tõstetud. Seega on videotund mugav vahend õpetajaprobleemide lahendamiseks klassiruumis ja vabastab õpetaja standardse materjaliploki esitamisest individuaalseks tööks õpilastega.

Videotund algab teema sissejuhatusega ja näitega, kuidas leida lahendusi süsteemile, mis koosneb ebavõrdsustest x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Ebavõrdsuse süsteemi lahendamisel tehtud järelduste mõistmist tugevdab näidete vaatlemine. Esimesena vaadeldakse võrratuste süsteemi x 2 + y 2 lahendust<=9 и x+y>=2. Ilmselgelt hõlmavad koordinaattasandi esimese võrratuse lahendused ringi x 2 + y 2 = 9 ja selle sees olevat piirkonda. See ala joonisel on täidetud horisontaalse varjutusega. Võrratuse x+y>=2 lahendite hulk sisaldab sirget x+y=2 ja ülal paiknevat pooltasapinda. Seda piirkonda tähistatakse tasapinnal ka erisuunaliste tõmmetega. Nüüd saame määrata kahe lahendushulga ristumiskoha joonisel. See sisaldub ringisegmendis x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Järgnevalt analüüsime lineaarsete võrratuste süsteemi y>=x-3 ja y>=-2x+4 lahendust. Joonisel ülesande tingimuse kõrvale on konstrueeritud koordinaattasand. Sellele konstrueeritakse sirge, mis vastab võrrandi y=x-3 lahenditele. Võrratuse y>=x-3 lahendusalaks on ala, mis asub selle sirge kohal. Ta on varjutatud. Teise võrratuse lahendite hulk asub sirge y=-2x+4 kohal. See sirge konstrueeritakse samuti samale koordinaattasandile ja lahendusala viirutatakse. Kahe hulga ristumiskoht on kahe sirge konstrueeritud nurk koos selle sisepiirkonnaga. Ebavõrdsuste süsteemi lahendusala on täidetud topeltvarjutusega.

Kolmanda näite vaatlemisel kirjeldatakse juhtumit, kui süsteemi võrratustele vastavate võrrandite graafikud on paralleelsed sirged. On vaja lahendada võrratuste süsteem y<=3x+1 и y>=3x-2. Koordinaattasandile konstrueeritakse sirge, mis vastab võrrandile y=3x+1. Väärtuste vahemik, mis vastab ebavõrdsuse y lahenditele<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

Videotundi “Kahe muutujaga ebavõrdsuste süsteemid” saab kasutada visuaalse abivahendina koolitunnis või asendada õpetaja selgitust materjali iseseisval õppimisel. Üksikasjalik ja arusaadav selgitus ebavõrdsuste süsteemide lahendamise kohta koordinaattasandil võib aidata materjali esitada kaugõppe ajal.