Σειρά με σύνθετους όρους. Σειρά στον μιγαδικό τομέα Αριθμός σειρά με μιγαδικούς αριθμούς

463. Ποια είναι η γεωμετρική σημασία των ανισώσεων: 1) Re z > 0; 2) Είμαι z< 0 ?

2. Σειρά με σύνθετους όρους. Εξετάστε την ακολουθία μιγαδικών αριθμών z 1, z 2 , z 3, ..., όπου z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...).Σταθερός αριθμός c = a + biπου ονομάζεται όριοακολουθίες z 1, z 2 , z 3 , ..., εάν για οποιονδήποτε αυθαίρετα μικρό αριθμό δ>0 υπάρχει τέτοιος αριθμός Ν,ποιο είναι το νόημα z σελμε αριθμούς n > Nικανοποιούν την ανισότητα \z σελ-Με\< δ . Σε αυτή την περίπτωση γράφουν .

Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη ορίου μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών είναι η εξής: ο αριθμός c=a+biείναι το όριο μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, …αν και μόνο αν , .

(1)

του οποίου τα μέλη είναι μιγαδικοί αριθμοί λέγεται συγκεντρούμενος,Αν απείρως μικρόςμερικό άθροισμα της σειράς S n at p → ∞τείνει σε ένα ορισμένο τελικό όριο. Διαφορετικά, καλείται η σειρά (1). αποκλίνων.

Η σειρά (1) συγκλίνει εάν και μόνο εάν οι σειρές με πραγματικούς όρους συγκλίνουν

(2) Διερευνήστε τη σύγκλιση της σειράς Αυτή η σειρά, οι όροι της οποίας σχηματίζουν μια απείρως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο, συγκλίνει. Επομένως, μια δεδομένη σειρά με σύνθετους όρους συγκλίνει απόλυτα. ^

474. Βρείτε την περιοχή σύγκλισης της σειράς

Αντίγραφο

1 Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Tomsk State University of Architecture and Civil Engineering ROWS WITH COMPLEX MEMBERS Οδηγίες για ανεξάρτητη εργασία Συντάχθηκε από LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 σειρές με σύνθετα μέλη: μεθοδολογικές οδηγίες / Συντάχθηκε από LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomsk: Tomsk State Architectural and Construction University Publishing House, με Κριτής Καθηγητής NN Belov Editor EY Glotova Οι μεθοδολογικές οδηγίες προορίζονται για αυτοδιδασκαλία από φοιτητές του πρώτου έτους θέματα ειδικοτήτων «Σειρά με σύνθετα μέλη» του κλάδου JNF «Μαθηματικά» Δημοσιεύθηκε σύμφωνα με την απόφαση του μεθοδολογικού σεμιναρίου του τμήματος ανώτερων μαθηματικών, πρωτόκολλο 4 Μαρτίου Εγκρίθηκε και τέθηκε σε ισχύ από τον αντιπρύτανη ακαδημαϊκών υποθέσεων VV Dzyubo από 5 έως 55 Η αρχική διάταξη προετοιμάστηκε από τον συγγραφέα Υπογραφή για εκτύπωση Μορφή 6 84/6 Χαρτί όφσετ Typeface Times Εκπαιδευτική δημοσίευση l, 6 Κυκλοφορία 4 Παραγγελία Εκδοτικός οίκος TGASU, 64, Tomsk, Solyanaya sq., Εκτυπώθηκε από την αρχική διάταξη στο το OOP TGASU 64, Tomsk, Partizanskaya st., 5

3 ΣΕΙΡΕΣ ΜΕ ΜΙΚΡΟΥΣ ΟΡΟΥΣ ΘΕΜΑ Σειρές αριθμών με μιγαδικούς όρους Θυμηθείτε ότι οι μιγαδικοί αριθμοί είναι αριθμοί της μορφής z = x y, όπου x και y είναι πραγματικοί αριθμοί και η φανταστική μονάδα που ορίζεται από την ισότητα = - Οι αριθμοί x και y ονομάζονται πραγματικά και φανταστικά μέρη του αριθμού z, αντίστοιχα και δηλώνουν x = Rez, y = Imz Προφανώς, μεταξύ των σημείων M(x, y) του επιπέδου XOU με καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και μιγαδικούς αριθμούς της μορφής z = x y, Υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα Το επίπεδο XOU ονομάζεται μιγαδικό επίπεδο και το z ονομάζεται σημείο αυτού του επιπέδου Οι πραγματικοί αριθμοί αντιστοιχούν στον άξονα της τετμημένης, που ονομάζεται πραγματικός άξονας, και οι αριθμοί της μορφής z = y αντιστοιχούν. στον άξονα τεταγμένων, ο οποίος ονομάζεται νοητός άξονας Αν οι πολικές συντεταγμένες του σημείου M(x,y) συμβολίζονται με r και j, τότε x = r cosj, y = r s j και ο αριθμός z θα γραφτεί στο. μορφή: z = r (cosj sj), όπου r = x y Αυτή η μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού ονομάζεται τριγωνομετρική, η γραφή z στη μορφή z = x y ονομάζεται αλγεβρική μορφή γραφής Ο αριθμός r ονομάζεται συντελεστής μέτρησης του αριθμού z, ο αριθμός j είναι το όρισμα (στο σημείο z = η έννοια ενός ορίσματος δεν επεκτείνεται) Το μέτρο του αριθμού z καθορίζεται μοναδικά από τον τύπο z = x y Το όρισμα j προσδιορίζεται μοναδικά μόνο υπό την πρόσθετη συνθήκη - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 αριθμοί z (εικ) Η σημασία αυτού πρέπει να θυμόμαστε ότι το y arq z - π εκφράζεται μέσω< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, αν x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, αν x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (εικ) М y r = j = p x Εικ Σε τριγωνομετρική μορφή, ο αριθμός z = - θα γραφεί με τη μορφή: - = сos π s π и Συνιστάται να επαναλάβετε τις πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς μόνοι σας θυμηθείτε τον τύπο για την αύξηση του αριθμού z σε δύναμη: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Βασικά ερωτήματα της θεωρίας Σύντομες απαντήσεις Ορισμός σειράς με μιγαδικούς όρους Η έννοια της σύγκλισης μιας σειράς Απαραίτητη προϋπόθεση για τη σύγκλιση Ορισμός Έστω μια ακολουθία z ) = ( x y ) = z, z, z, μιγαδικών αριθμών Α σύμβολο της μορφής ( å = z ονομάζεται σειρά, z είναι γενικός όρος της σειράς Οι έννοιες των μερικών αθροισμάτων μιας σειράς S, η σύγκλιση και η απόκλισή της αντιστοιχούν πλήρως σε παρόμοιες έννοιες για σειρές με πραγματικούς όρους. Η ακολουθία των μερικών Τα αθροίσματα μιας σειράς έχουν τη μορφή: S = z z , S = z z z ; της σειράς, διαφορετικά η σειρά ονομάζεται αποκλίνουσα Θυμηθείτε ότι ο ορισμός του ορίου μιας ακολουθίας μιγαδικών αριθμών, που χρησιμοποιήσαμε, τυπικά δεν διαφέρει από τον ορισμό του ορίου μιας ακολουθίας πραγματικών αριθμών: def (lm S. = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 μηδέν του γενικού όρου z της σειράς at Αυτό σημαίνει ότι αν παραβιαστεί αυτή η συνθήκη, δηλαδή αν lm z 1, η σειρά αποκλίνει, αλλά αν lm z =, το ερώτημα της σύγκλισης της σειράς παραμένει ανοιχτό είναι δυνατόν να μελετηθεί η σειρά å (x = για σύγκλιση διερευνώντας x και å = για τη σύγκλιση της σειράς å = με πραγματικούς όρους; y y) Ναι, είναι δυνατό Το παρακάτω θεώρημα ισχύει: Θεώρημα Για τη σειρά å = y (x) για να συγκλίνουν, είναι απαραίτητο και αρκετό και οι δύο σειρές å = å = να συγκλίνουν, και αν å x = S = όπου å S = (x y) = å = x u, και y = S, τότε S =. S S, συγκλίνει - Παράδειγμα Βεβαιωθείτε ότι η σειρά å = è () xia, και βρείτε το άθροισμά της είναι 7

8 Λύση Η σειρά å συγκλίνει, t k ~ = () () όταν Το άθροισμα S αυτής της σειράς είναι ίσο με (Κεφάλαιο, θέμα, n) Η σειρά å συγκλίνει ως απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική = πρόοδος, με å = () и S b = - q = συγκλίνει, και το άθροισμά της Έτσι, η σειρά S = Παράδειγμα Σειρά å αποκλίνει, t k αποκλίνει = è! αρμονική σειρά å Σε αυτή την περίπτωση, εξετάστε τη σειρά å = για σύγκλιση! δεν έχει νόημα Παράδειγμα Η σειρά å π tg αποκλίνει, γιατί για = è η σειρά å π tg παραβιάζεται η απαραίτητη προϋπόθεση για σύγκλιση = π lm tg = p ¹ и 8

9 Ποιες ιδιότητες έχουν οι συγκλίνουσες σειρές με μιγαδικούς όρους; Οι ιδιότητες είναι ίδιες με αυτές των συγκλίνουσων σειρών με πραγματικούς όρους. Συνιστάται η επανάληψη των ιδιοτήτων. Θεώρημα (επαρκής συνθήκη για τη σύγκλιση μιας σειράς) Εάν η σειρά å = z συγκλίνει, τότε η σειρά å = z θα συγκλίνει επίσης Όροι Ορισμός Η σειρά å = z ονομάζεται απολύτως συγκλίνουσα, αν η σειρά συγκλίνει å = z Παράδειγμα Να αποδείξετε την απόλυτη σύγκλιση της σειράς () () () 4 8 Λύση Ας χρησιμοποιήσουμε την τριγωνομετρική μορφή γραφής του αριθμού: 9.

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 Τότε π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos Þ z = 4 4 и Απομένει να εξετάσουμε τη σειρά å z για σύγκλιση = = Αυτή είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος με παρονομαστή. Μια τέτοια πρόοδος συγκλίνει και, επομένως, η σειρά συγκλίνει απόλυτα Κατά την απόδειξη της απόλυτης σύγκλισης, το θεώρημα χρησιμοποιείται συχνά Για να συγκλίνει απόλυτα η σειρά å = y (x), είναι απαραίτητο και επαρκές. απολύτως Παράδειγμα Σειρά å = (-) è cosπ ! x και å = y συγκλίνει απολύτως, t k συγκλίνει απολύτως å (-), και η απόλυτη σύγκλιση = της σειράς å cosπ αποδεικνύεται εύκολα: =!

11 cosπ, και η σειρά είναι å!! =! συγκλίνει με το κριτήριο του d'Alembert Με το κριτήριο σύγκρισης η σειρά å cosπ συγκλίνει Þ σειρά å =! συγκλίνει απολύτως cosπ =! Επίλυση προβλημάτων Εξετάστε τη σειρά 4 για σύγκλιση: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и и ;! Λύση å = è l l Η σειρά αποκλίνει, επειδή η σειρά å αποκλίνει, η οποία διαπιστώνεται εύκολα με τη συγκριτική δοκιμή: >, και η αρμονική = l l σειρά å, όπως είναι γνωστό, αποκλίνει με = σε αυτή την περίπτωση η σειρά å με βάση το ολοκληρωτικό τεστ Cauchy = l συγκλίνει å (-) = è! μεγάλο

12 Η σειρά συγκλίνει, άρα σε å =! συγκλίνει με βάση το οριακό τεστ του d'Alembert και η σειρά å (-) συγκλίνει σύμφωνα με το θεώρημα = l Leibniz å α π - π cos tg = и и Προφανώς, η συμπεριφορά της σειράς θα εξαρτηθεί από τον εκθέτη α Έστω γράφουμε τη σειρά χρησιμοποιώντας τον τύπο β - cosβ = s: å α π π s tg = и Στο α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = Σειρά α å и и 4 = θα συγκλίνει με την προϋπόθεση ότι το α >, δηλ. για το α > και θα αποκλίνει για το α ή για θα συγκλίνει, αφού για το π π tg ~ α Σειρά å = α α π tg α

13 Έτσι, η αρχική σειρά θα συγκλίνει και θα αποκλίνει στο α 4 å = и и! α > Η σειρά å εξετάζεται για σύγκλιση χρησιμοποιώντας = è οριακή δοκιμή του Cauchy: lm = lm = > Þ è η σειρά αποκλίνει Þ e è Þ θα αποκλίνει και η αρχική σειρά 5 σειρά Σειρά 5 6 εξετάζεται για απόλυτη σύγκλιση π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = Λύση 5 å = π cos()! å = - Το π cos συγκλίνει απολύτως, άρα στο (-)! συγκλίνει σύμφωνα με το κριτήριο σύγκρισης: π cos, και η σειρά å (-)! (-)! = (-)! συγκλίνει σύμφωνα με το τεστ του d'Alembert

14 4 6 å =!) 8 (Στη σειρά!) 8 (å = εφαρμόστε το σύμβολο του d'Alembert:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Εξετάστε τη σειρά 7 για απόλυτη σύγκλιση 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Απαντήσεις: 7, 8 συγκλίνουν απόλυτα , 9 αποκλίνει, δεν συγκλίνει απόλυτα

16 ΘΕΜΑ Σειρά ισχύος με σύνθετους όρους Κατά τη μελέτη της ενότητας «Λειτουργικές σειρές», εξετάστηκαν λεπτομερώς οι σειρές, οι όροι των οποίων ήταν μέλη μιας συγκεκριμένης ακολουθίας συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής Οι πιο ελκυστικές (ειδικά από την άποψη των εφαρμογών). σειρά ισχύος, δηλαδή σειρές της μορφής å = a (x-x) Αποδείχθηκε (θεώρημα Abel) ότι κάθε σειρά ισχύος έχει ένα διάστημα σύγκλισης (x - R, x R), εντός του οποίου το άθροισμα S (x) της σειράς είναι συνεχής και ότι οι σειρές ισχύος εντός του διαστήματος σύγκλισης μπορούν να διαφοροποιηθούν όρος προς όρο και να ενσωματωθούν όρος προς όρο. Αυτές είναι οι αξιοσημείωτες ιδιότητες των σειρών ισχύος όχι με πραγματικούς, αλλά με μιγαδικούς όρους 6 Βασικά ερωτήματα θεωρίας Σύντομες απαντήσεις Ορισμός σειράς ισχύος Μια σειρά ισχύος είναι μια συναρτησιακή σειρά της μορφής å = a (z - z), () όπου a και z δίνονται μιγαδικοί αριθμοί, και z είναι μια μιγαδική μεταβλητή Στην ειδική περίπτωση όταν z =, η σειρά ισχύος έχει τη μορφή å = a z ()

17 Προφανώς, η σειρά () ανάγεται στη σειρά () εισάγοντας μια νέα μεταβλητή W = z - z, επομένως θα ασχοληθούμε κυρίως με σειρές της μορφής () Θεώρημα του Abel Αν η σειρά ισχύος () συγκλίνει στο z = z ¹, τότε συγκλίνει και, επιπλέον, απολύτως για οποιοδήποτε z για το οποίο z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Το θεώρημα του Abel έχει ένα συμπέρασμα, το οποίο δηλώνει ότι εάν η σειρά å = a z αποκλίνει για * z = z, τότε θα αποκλίνει επίσης για οποιοδήποτε z για το οποίο * z > z Υπάρχει έννοια ακτίνας για σειρές ισχύος () και ( ) σύγκλιση; Ναι, υπάρχει μια ακτίνα σύγκλισης R, ένας αριθμός που έχει την ιδιότητα ότι για όλα τα z, για τα οποία z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, η σειρά () αποκλίνει 4 Ποια είναι η περιοχή σύγκλισης της σειράς (); Αν R είναι η ακτίνα σύγκλισης της σειράς (), τότε το σύνολο των σημείων z για τα οποία z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Είναι δυνατόν να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης a χρησιμοποιώντας τους τύπους R = lm και R = lm, a που έλαβε χώρα για σειρές ισχύος με πραγματικούς όρους; Είναι δυνατό, εάν υπάρχουν αυτά τα όρια Εάν αποδειχθεί ότι R =, αυτό θα σημαίνει ότι η σειρά () συγκλίνει μόνο στο σημείο z = ή z = z για τη σειρά () Όταν R = η σειρά θα συγκλίνει σε ολόκληρη Μιγαδικό επίπεδο Παράδειγμα Βρείτε την ακτίνα σύγκλισης της σειράς å z = a Λύση R = lm = lm = a Έτσι, η σειρά συγκλίνει μέσα σε έναν κύκλο ακτίνας Το παράδειγμα είναι ενδιαφέρον γιατί στο όριο του κύκλου x y< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Θυμηθείτε ότι οι σειρές ισχύος å = a x εντός του διαστήματος σύγκλισης δεν συγκλίνουν μόνο απόλυτα, αλλά και ομοιόμορφα Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για τη σειρά å = a z: εάν μια σειρά ισχύος συγκλίνει και η ακτίνα της σύγκλισης είναι ίση με R, τότε. αυτή η σειρά σε οποιονδήποτε κλειστό κύκλο z r υπό τον όρο ότι r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 σε κύκλο ακτίνας R > σύγκλιση της σειράς, τότε αυτή η σειρά είναι η σειρά Taylor της συνάρτησης f (z), δηλ. f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Συντελεστές της σειράς å = () f (z) a =! f () a (z - z) υπολογίζονται με τον τύπο Υπενθυμίζεται ότι ο ορισμός της παραγώγου f (z) δίνεται τυπικά με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως για τη συνάρτηση f (x) μιας πραγματικής μεταβλητής, δηλ. f (z) ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Οι κανόνες για τη διαφοροποίηση της συνάρτησης f (z) είναι οι ίδιοι με τους κανόνες για τη διαφοροποίηση της συνάρτησης μιας πραγματικής μεταβλητής 7 Σε ποια περίπτωση είναι η συνάρτηση f (z) ονομάζεται αναλυτική στο σημείο z; Η έννοια της αναλυτικής συνάρτησης σε ένα σημείο z δίνεται κατ' αναλογία με την έννοια μιας συνάρτησης f (x) που είναι πραγματική αναλυτική σε ένα σημείο x Ορισμός Μια συνάρτηση f (z) ονομάζεται αναλυτική σε ένα σημείο z, αν υπάρχει R > τέτοια ώστε στον κύκλο z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Τονίζουμε για άλλη μια φορά ότι η αναπαράσταση μιας αναλυτικής συνάρτησης f (z) σε ένα σημείο z με τη μορφή σειράς ισχύος είναι μοναδική και αυτή η σειρά είναι η σειρά Taylor της, δηλαδή οι συντελεστές της σειράς υπολογίζονται από το τύπος () f (z) a =! 8 Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής Στη θεωρία των σειρών ισχύος συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής προέκυψε η επέκταση σειράς της συνάρτησης e x: = å x x e, xî(-,) =! Κατά την επίλυση του παραδείγματος του σημείου 5, ήμασταν πεπεισμένοι ότι η σειρά å z συγκλίνει σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο Στην ειδική περίπτωση για το z = x, το άθροισμά της είναι ίσο με e x Αυτό το γεγονός βασίζεται στο εξής - =! ακόλουθη ιδέα: για μιγαδικές τιμές του z, η συνάρτηση e z εξ ορισμού θεωρείται το άθροισμα της σειράς å z Άρα, =! z e () def å z = =! Ορισμός των συναρτήσεων ch z και sh z x - x Αφού ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 και η συνάρτηση e z ορίζεται τώρα για όλα τα μιγαδικά z, τότε είναι φυσικό να πάρουμε ch z = σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, def z - z e e def z - z e - e sh z = Έτσι: z -z k e - e z sh z = = υπερβολικό ημίτονο ; (κ)! å k = z - z å k e e z cosh z = = υπερβολικό συνημίτονο; k = (k)! shz th z = υπερβολική εφαπτομένη; chz chz cth z = υπερβολική συνεφαπτομένη shz Ορισμός των συναρτήσεων s z και cos z Ας χρησιμοποιήσουμε τις επεκτάσεις που λήφθηκαν προηγουμένως: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( κ)! Οι σειρές συγκλίνουν σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή Όταν αντικαθιστούμε το x σε αυτές τις σειρές με το z, λαμβάνουμε σειρές ισχύος με μιγαδικούς όρους, οι οποίοι, όπως είναι εύκολο να φανούν, συγκλίνουν σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο. Αυτό μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε για κάθε μιγαδικό z τις συναρτήσεις s z και cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Σχέση εκθετικής συνάρτησης και τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο μιγαδικό επίπεδο Αντικατάσταση στη σειρά å z z e = =! z με z, και μετά με z, παίρνουμε: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Αφού e ()) e k k = (-, θα έχουμε: z -z = å k = k (-) z (k)!k = cos z z - z k e - e (-) z = å = s z k= (k) Έτσι: z -z -z e e - e сos z = s z = (6) Από τους ληφθέντες τύπους προκύπτει ένας άλλος αξιόλογος τύπος: z сos z s z = e (7) Οι τύποι (6) και (7) ονομάζονται τύποι του Euler Αυτοί οι τύποι ισχύουν επίσης για το πραγματικό z Στην ειδική περίπτωση για το z = j, όπου το j είναι πραγματικός αριθμός, ο τύπος (7) θα έχει τη μορφή: j cos j sj = e (8) Στη συνέχεια, ο μιγαδικός αριθμός z = r. (cos j s j) θα γραφτεί με τη μορφή : j z = re (9) Ο τύπος (9) ονομάζεται εκθετική μορφή γραφής του μιγαδικού αριθμού z 4

25 Τύποι που συνδέουν τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις Οι ακόλουθοι τύποι αποδεικνύονται εύκολα: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z Ας αποδείξουμε τον πρώτο και τον τέταρτο τύπο (συνιστάται η απόδειξη του δεύτερου και τρίτον οι ίδιοι) Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους ( 6) Euler: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z Χρησιμοποιώντας τους τύπους sh z = s z και ch z = cos z, είναι εύκολο να αποδειχθεί, με την πρώτη ματιά, μια εκπληκτική ιδιότητα των συναρτήσεων s z και cos z και y = cos x, οι συναρτήσεις s z και cos z δεν περιορίζονται σε απόλυτη τιμή Στην πραγματικότητα, εάν στους αναφερόμενους τύπους, ειδικότερα, z = y, τότε s y = sh y, cos y = ch y. ο φανταστικός άξονας s z και cos z δεν περιορίζονται σε απόλυτη τιμή Είναι ενδιαφέρον ότι για τα s z και cos z ισχύουν όλοι οι τύποι, παρόμοιοι με τους τύπους για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις s x και cos x Οι δεδομένοι τύποι χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά κατά τη μελέτη σειρά για σύγκλιση Παράδειγμα Να αποδείξετε την απόλυτη σύγκλιση της σειράς å s = Λύση Εξετάζουμε τη σειρά å για σύγκλιση s = Όπως σημειώθηκε, η συνάρτηση s z που οριοθετείται στον φανταστικό άξονα δεν είναι 5

26 είναι, λοιπόν, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο σύγκρισης Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο s = sh = = Μελετάμε τη σειρά å sh = χρησιμοποιώντας το κριτήριο του D'Alembert: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm =lm=< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () αφού lm =, από τις μονάδες συγκλίνει υπό την συνθήκη 8 - = 8 = Έτσι, η σειρά z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >σημεία του κύκλου z = -, θα συγκλίνουν, και έξω από αυτόν τον κύκλο, δηλαδή, η σειρά αποκλίνει Μελετούμε τη συμπεριφορά της σειράς στο z =, η εξίσωση της οποίας στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έχει τη μορφή x (y). = Στο z = 9, η σειρά των απόλυτων τιμών θα έχει τη μορφή: å 8 - = å = = ότι αυτή η σειρά σε κλειστό κύκλο Η σειρά που προκύπτει συγκλίνει, αυτό σημαίνει ότι z συγκλίνει απολύτως Αποδείξτε ότι η συνάρτηση å z z e = είναι περιοδική με περίοδο π (αυτή η ιδιότητα της συνάρτησης e z το διακρίνει σημαντικά =! από τη συνάρτηση e x) Απόδειξη Χρησιμοποιούμε τον ορισμό μιας περιοδικής συνάρτησης και τον τύπο (6) Πρέπει να βεβαιωθούμε ότι z z e π = e, όπου z = x y Ας δείξουμε ότι αυτό είναι έτσι: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Άρα, e z είναι a περιοδική συνάρτηση!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Πάρτε έναν τύπο που συνδέει τους αριθμούς e και π Λύση Ας χρησιμοποιήσουμε την εκθετική μορφή γραφής j μιγαδικού αριθμού: z = re Για z = - θα έχουμε r =, j = π και, επομένως, π e = - () Καταπληκτικός τύπος και αυτό παρά το γεγονός ότι η εμφάνιση στα μαθηματικά καθενός από τους αριθμούς π, ε και δεν έχει καμία σχέση με την εμφάνιση των άλλων δύο! Ο τύπος () είναι επίσης ενδιαφέρον επειδή αποδεικνύεται ότι η εκθετική συνάρτηση e z, σε αντίθεση με τη συνάρτηση e x, μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές e x 5 Βρείτε το άθροισμα της σειράς å cos x =! Λύση Ας μετατρέψουμε τη σειρά x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Κατά την επίλυση, χρησιμοποιήσαμε τον τύπο = cos x s x δύο φορές και την επέκταση σειράς της συνάρτησης (e x) e 6 Αναπτύξτε τη συνάρτηση f (x) = e x cos x σε μια σειρά ισχύος, χρησιμοποιώντας την επέκταση σειράς της συνάρτησης x() x x x x e = e e = e cos x e s x Λύση x() x() x e = å = å!! = = π cos s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 Η σειρά που προκύπτει συγκλίνει σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, άρα σε x π (x) () cos, και τη σειρά å (x)! 4! =! Χ< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Βρείτε την ακτίνα R και τον κύκλο σύγκλισης της σειράς 4 Διερευνήστε τη συμπεριφορά της σειράς στα οριακά σημεία του κύκλου σύγκλισης (σε σημεία που βρίσκονται στον κύκλο) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Απαντήσεις:) R =, η σειρά συγκλίνει στο σημείο z = - ;) R =, η σειρά συγκλίνει απολύτως σε έναν κλειστό κύκλο z με κέντρο στο σημείο z = - ή υπόκειται σε x (y) ;) R =, Η σειρά συγκλίνει απολύτως σε έναν κλειστό κύκλο z ή υπόκειται σε x y ; 4) R =, η σειρά συγκλίνει απόλυτα σε έναν κλειστό κύκλο z ή υπό την συνθήκη x y 9 7 Αναπτύξτε τη συνάρτηση f (x) = e x s x, () x σε μια σειρά ισχύος χρησιμοποιώντας την επέκταση σειράς της συνάρτησης e 8 Βεβαιωθείτε ότι για οποιοδήποτε μιγαδικό z θα πραγματοποιηθούν τύποι: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (χρησιμοποιήστε τους τύπους του Euler)

31 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗΣ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ Βασική βιβλιογραφία Piskunov, NS Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός για κολέγια / NS Voskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Fundamentals of mathematical analysis / GM Fichtengolts : Lanbyroovs 9, Peters. NN Theory rows / NN Vorobyov - St. Petersburg: Lan, 8 48 s 4 Written, DT Σημειώσεις διάλεξης για ανώτερα μαθηματικά Ch / DT Γραπτές M: Iris-press, 8 5 Ανώτερα μαθηματικά σε ασκήσεις και προβλήματα Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ κ.λπ.] M: ONICS, 8 C Πρόσθετη βιβλιογραφία Kudryavtsev, LD Μάθημα μαθηματικής ανάλυσης / LD Kudryavtsev TM: Higher school, 98 C Khabibullin, MV Σύνθετοι αριθμοί: κατευθυντήριες γραμμές / MV Khabibullin Tomsk, TGASU6 Moldoova, 9 , EA Σειρές και σύνθετη ανάλυση: σχολικό βιβλίο / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Κρατικό Πανεπιστήμιο Αρχιτεκτονικής και Πολιτικής Μηχανικής Tomsk ΣΕΙΡΑ FOURIER INTEGRAL FOURIER AS A LIMITING CASE OF FOURIER SERIES Οδηγίες για ανεξάρτητη εργασία

ΚΑΤΑΤΑΞΕΙΣ Khabarovsk 4 4 ΣΕΙΡΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Μια σειρά αριθμών είναι μια έκφραση όπου, οι αριθμοί που σχηματίζουν μια άπειρη ακολουθία αριθμών, ο γενικός όρος της σειράς, όπου N (N είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών) Παράδειγμα

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Arkhangelsk State Technical University Σχολή Πολιτικών Μηχανικών RANKS Οδηγίες για την ολοκλήρωση εργασιών για ανεξάρτητη εργασία Arkhangelsk

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΙΝΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΑΕΡΟΠΟΡΙΑΣ ΜΟΣΧΑΣ V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Shurinov για τη μελέτη της πειθαρχίας και των εργασιών τεστ

5 Σειρά ισχύος 5 Σειρά ισχύος: ορισμός, περιοχή σύγκλισης Λειτουργικές σειρές της μορφής (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) όπου, a, a, K, a ,k είναι ορισμένοι αριθμοί που ονομάζονται Αριθμοί σειράς ισχύος

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΓΕΩΔΗΣΙΑΣ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΜΟΣΧΑΣ (MIIGAiK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev TUTORIAL FOR STUDENTS ON INDEPENDENT STUDY

Θέμα Μιγαδικές σειρές αριθμών Θεωρούμε μια αριθμητική σειρά k ak με μιγαδικούς αριθμούς της μορφής Μια σειρά ονομάζεται συγκλίνουσα αν η ακολουθία S των μερικών της αθροισμάτων S a k k συγκλίνει. Επιπλέον, το όριο S της ακολουθίας

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ THE THEORY OF FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIAB Μεθοδολογικό εγχειρίδιο Συντάχθηκε από: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Ανασκόπηση του μεθοδολογικού εγχειριδίου για τη θεωρία των συναρτήσεων

8 Μιγαδικές σειρές αριθμών Θεωρούμε μια σειρά αριθμών με μιγαδικούς αριθμούς της μορφής k a, (46) όπου (a k) είναι μια δεδομένη αριθμητική ακολουθία με μιγαδικούς όρους k Η σειρά (46) ονομάζεται συγκλίνουσα αν

Διαλέξεις που ετοίμασε ο αναπληρωτής καθηγητής Musina MV Ορισμός Έκφραση της μορφής Αριθμητική και λειτουργική σειρά Αριθμητική σειρά: βασικές έννοιες (), όπου ονομάζονται σειρά αριθμών (ή απλώς σειρά) Αριθμοί, μέλη της σειράς (εξαρτώνται

Μεταλλουργική Σχολή Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών ΚΑΤΑΤΑΞΕΙΣ Μεθοδολογικές οδηγίες Novokuznetsk 5 Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Προϋπολογιστικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης Κρατικό Πανεπιστήμιο του Νόβγκοροντ με το όνομα

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση Ομοσπονδιακό Κρατικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης ΝΟΤΙΟ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Μεθοδολογική

Σειρά αριθμών Ακολουθία αριθμών Def Μια αριθμητική ακολουθία είναι μια αριθμητική συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών x - ένα γενικό μέλος της ακολουθίας x =, x =, x =, x =,

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία Εκπαίδευσης Moscow State University of Geodesy and Cartography (MIIGAiK) ΜΕΘΟΔΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΙ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ στο μάθημα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμητικό

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΩΝ ΑΝΩΤΕΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ «ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΕΙΡΑ ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ» ΜΕΡΟΣ ΘΕΜΑ ΣΕΙΡΑ Περιεχόμενα Σειρά Αριθμός Σειρά Σύγκλιση και απόκλιση

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης Κρατικό Πανεπιστήμιο του Νόβγκοροντ με το όνομα Yaroslav the Wise Institute of Electronic

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας EE "Κρατικό Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο Vitebsk" Θέμα. «Σειρά» Τμήμα Θεωρητικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. που αναπτύχθηκε από τον Αναπλ. Ε.Β. Ντουνίνα. Βασικός

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΜΕΤΑΦΟΡΩΝ ΤΗΣ ΡΩΣΙΑΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ULYANOVSK Ανώτατη ΣΧΟΛΗ ΑΕΡΟΠΟΡΙΑΣ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΑΕΡΟΠΟΡΙΑΣ

Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Προϋπολογιστικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης «Κρατικό Αρχιτεκτονικό και Κατασκευαστικό Τομσκ

Sgups Department of Higher Mathematics Μεθοδολογικές οδηγίες για την εκτέλεση τυπικών υπολογισμών «Σειρά» Novosibirsk 006 Μερικές θεωρητικές πληροφορίες Σειρά αριθμών Let u ; u ; u ; ; u ; υπάρχει ένας άπειρος αριθμός

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΚΡΑΤΙΚΟ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΑΖΑΝ Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗ ΣΕΙΡΑ Οδηγίες για

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν 7. Σειρά Power και σειρές Taylor.. Σειρά Power..... Σειρά Taylor.... 4. Επέκταση ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων σε σειρές Taylor και Maclaurin.... 5 4. Εφαρμογή των σειρών ισχύος... 7 .Ισχύς

Θέμα ενότητας Λειτουργικές ακολουθίες και σειρές Ιδιότητες ομοιόμορφης σύγκλισης ακολουθιών και σειρών Διάλεξη Ορισμοί συναρτησιακών ακολουθιών και σειρών Ομοιόμορφα

ΚΡΑΤΙΚΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΕΥΚΟΡΩΣΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ Σειρές Σημειώσεις διαλέξεων και εργαστήριο για φοιτητές οικονομικών επιστημών

Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ulyanovsk State Technical University NUMERICAL AND FUNCTIONAL SERIES FOURIER SERIES Ulyanovsk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Κριτής Υποψήφιος Φυσικής και Μαθηματικών

3724 ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΩΝ «ΠΟΛΛΑΠΛΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΚΥΠΛΟΓΡΑΜΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ» 11 Αριθμητική σειρά Έννοια σειράς αριθμών Ιδιότητες σειράς αριθμών Απαραίτητο σημάδι σύγκλισης

Σειρά κεφαλαίου Επίσημος συμβολισμός του αθροίσματος των όρων κάποιας ακολουθίας αριθμών Οι σειρές αριθμών ονομάζονται σειρές αριθμών Τα αθροίσματα S ονομάζονται μερικά αθροίσματα της σειράς Εάν υπάρχει ένα όριο lim S, S τότε η σειρά

Διάλεξη. Λειτουργική σειρά. Ορισμός συναρτησιακής σειράς Μια σειρά της οποίας τα μέλη είναι συναρτήσεις του x ονομάζεται συναρτητική: u = u (x) + u + K+ u + K = Δίνοντας x μια ορισμένη τιμή x,

V.V. Zhuk, Α.Μ. Σειρά Kamachkin 1 Power. Ακτίνα σύγκλισης και διάστημα σύγκλισης. Φύση σύγκλισης. Ένταξη και διαφοροποίηση. 1.1 Ακτίνα σύγκλισης και διάστημα σύγκλισης. Λειτουργικό εύρος

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Δημοσιονομικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "Κρατικό Βιομηχανικό Πανεπιστήμιο της Σιβηρίας"

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Δημοσιονομικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "Κρατικό Βιομηχανικό Πανεπιστήμιο της Σιβηρίας"

Μαθηματική ανάλυση Ενότητα: Αριθμητικές και συναρτησιακές σειρές Θέμα: Σειρά ισχύος. Επέκταση μιας συνάρτησης σε σειρά ισχύος Λέκτορας Rozhkova S.V. 3 34. Σειρά ισχύος Μια σειρά ισχύος είναι μια σειρά δυνάμεων.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ Ανώτατης ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ “SAMARA STATE AEROSSPACE UNIVERSITY”

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ Εθνική Έρευνα Nizhny Novgorod State University με το όνομα NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva ΤΑΞΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΩΝ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ

«Σειρά» Δοκιμές για αυτοέλεγχο Ένα απαραίτητο σημάδι σύγκλισης μιας σειράς Θεώρημα απαραίτητο σημάδι σύγκλισης Εάν η σειρά συγκλίνει τότε το lim + το συμπέρασμα είναι επαρκής συνθήκη για την απόκλιση της σειράς Εάν lim τότε η σειρά αποκλίνει

Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης της Ρωσικής Ομοσπονδίας Παράρτημα Achinsk του Ομοσπονδιακού Κρατικού Αυτόνομου Εκπαιδευτικού Ιδρύματος Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης "Σιβηρικό Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο" ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

(Σειρά ισχύος συναρτησιακής σειράς τομέας σύγκλισης σειρά εύρεσης του διαστήματος σύγκλισης - παράδειγμα ακτίνας του διαστήματος σύγκλισης Παραδείγματα) Έστω μια άπειρη ακολουθία συναρτήσεων, Λειτουργική

Σειρά αριθμών σειράς Γενικές έννοιες Ορισμός Εάν κάθε φυσικός αριθμός συσχετίζεται με έναν ορισμένο αριθμό σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο νόμο, τότε το σύνολο των αριθμημένων αριθμών ονομάζεται ακολουθία αριθμών,

Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας MATI - ΡΩΣΙΚΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ με το όνομα K E TSIOLKOVSKY Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών RANKS Οδηγίες για την εργασία μαθημάτων Συντάχθηκε από:

Διάλεξη 3 Σειρές Taylor and Maclaurin Εφαρμογή της σειράς ισχύος Επέκταση λειτουργιών σε σειρές ισχύος Taylor και Maclaurin Για εφαρμογές, είναι σημαντικό να μπορείτε να επεκτείνετε μια δεδομένη συνάρτηση σε μια σειρά ισχύος, αυτές οι συναρτήσεις

ΚΡΑΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΕΥΚΟΡΩΣΙΑΣ-ΡΩΣΙΑΣ" Τμήμα "Ανώτατων Μαθηματικών" Ανώτατα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΑΞΕΙΣ Μεθοδολογικές συστάσεις

Μάθημα αριθμητικής και ισχύος σειράς. Σειρά αριθμών. Το άθροισμα της σειράς. Σημάδια σύγκλισης.. Υπολογίστε το άθροισμα της σειράς. 6 Λύση. Το άθροισμα των όρων μιας άπειρης γεωμετρικής προόδου q είναι ίσο με, όπου q είναι ο παρονομαστής της προόδου.

Υπουργείο Παιδείας της Δημοκρατίας της Λευκορωσίας Εκπαιδευτικό Ίδρυμα "Mogilev State University of Food" Τμήμα Ανώτατων Μαθηματικών Ανώτατα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Οδηγίες για πρακτική

Διάλεξη 6 Επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος Μοναδικότητα της επέκτασης σειρές Taylor και Maclaurin Επέκταση σε μια σειρά ισχύος ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων Εφαρμογή της σειράς ισχύος Σε προηγούμενες διαλέξεις

Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Προϋπολογιστικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης «Κρατικό Αρχιτεκτονικό και Κατασκευαστικό Τομσκ

4 Σειρά συναρτήσεων 4 Βασικοί ορισμοί Έστω μια άπειρη ακολουθία συναρτήσεων με κοινό πεδίο ορισμού X u), u (), K, u (),K (ΟΡΙΣΜΟΣ Έκφραση u) + u () + K + u () +

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΚΡΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΙΚΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ως αποτέλεσμα της μελέτης αυτού του θέματος, ο μαθητής πρέπει να μάθει: να βρει τις τριγωνομετρικές και εκθετικές μορφές ενός μιγαδικού αριθμού σύμφωνα με

Ομοσπονδιακός Οργανισμός για την Εκπαίδευση Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης "Ural State Pedagogical University" Τμήμα Μαθηματικών Σχολής

ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΑΖΑΝ Τμήμα Μαθηματικής Στατιστικής ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΣΕΙΡΑ Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο KAZAN 008 Εκδόθηκε με απόφαση του τμήματος του Επιστημονικού και Μεθοδολογικού Συμβουλίου του Πανεπιστημίου του Καζάν

Συναρτησιακές σειρές Συναρτησιακές σειρές, το άθροισμά της και το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων o Έστω μια ακολουθία συναρτήσεων k στο πεδίο ορισμού Δ πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών (k 1 Μια συναρτητική σειρά ονομάζεται

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΓΕΩΔΗΣΙΑΣ ΚΑΙ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΜΟΣΧΑΣ (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova TUTORIAL FOR STUDENTS FOR INDENDENT STUDY OF THE SECTION

Κεφάλαιο Ισχύς a a a Μια σειρά της μορφής a a a a () ονομάζεται σειρά ισχύος, όπου, a, είναι σταθερές που ονομάζονται συντελεστές της σειράς Μερικές φορές μια σειρά ισχύος μιας πιο γενικής μορφής θεωρείται: a a(a) a(a). α(α) (), όπου

ΔΙΑΛΕΞΗ Ν34. Σειρά αριθμών με σύνθετους όρους. Σειρά ισχύος στον σύνθετο τομέα. Αναλυτικές συναρτήσεις. Αντίστροφες συναρτήσεις..αριθμητικές σειρές με μιγαδικούς όρους.....σειρές ισχύος στο μιγαδικό πεδίο....

Επιλογή Εργασία Υπολογίστε την τιμή της συνάρτησης, δώστε την απάντηση σε αλγεβρική μορφή: a sh ; b l Λύση α Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη σύνδεση μεταξύ του τριγωνομετρικού ημιτόνου και του υπερβολικού ημιτόνου: ; sh -s Get

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης Ukhta State Technical University Οδηγίες ΜΥΠΛΟΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Υπουργείο Παιδείας και Επιστημών της Ρωσικής Ομοσπονδίας ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ Ίδρυμα Ανώτατης ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ «ΣΑΜΑΡΑ ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ» Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών

Λειτουργικές σειρές Διαλέξεις 7-8 1 Περιοχή σύγκλισης 1 Μια σειρά της μορφής u () u () u () u (), 1 2 u () όπου οι συναρτήσεις ορίζονται σε ένα ορισμένο διάστημα ονομάζεται συναρτησιακή σειρά . Το σύνολο όλων των σημείων

Ομοσπονδιακή Υπηρεσία για την Εκπαίδευση Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα τριτοβάθμιας επαγγελματικής εκπαίδευσης Ukhta State Technical University (USTU) LIMIT FUNCTIONS Μεθοδολογική

ΔΙΑΛΕΞΗ Ισοδύναμα απειροελάχιστα Πρώτο και δεύτερο αξιοσημείωτα όρια Σύγκριση απείρως μεγάλων και απειροελάχιστων συναρτήσεων Η συνάρτηση f () ονομάζεται απειροελάχιστη σε ένα σημείο α (στο α) αν (

Υπουργείο Παιδείας και Επιστήμης της Ρωσικής Ομοσπονδίας Ομοσπονδιακό Κρατικό Προϋπολογιστικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ανώτατης Επαγγελματικής Εκπαίδευσης «Κρατικό Αρχιτεκτονικό και Κατασκευαστικό Τομσκ

Διάλεξη Σειρά αριθμών Σημάδια σύγκλισης Σειρά αριθμών Σημάδια σύγκλισης Μια άπειρη έκφραση μιας αριθμητικής ακολουθίας + + + +, που αποτελείται από όρους ενός άπειρου, ονομάζεται αριθμητική σειρά Αριθμοί,

EV Nebogina, OS Afanasyeva SERIES PRACTICUM IN Higher Mathematics Samara 9 FEDERAL AGENCY FOR EDUCATION ΚΡΑΤΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ Ανώτατης ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ «SAMARSKY»

Κεφάλαιο III ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΡΚΕΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΚΡΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΣΕΙΡΑ Διπλά ολοκληρώματα ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ: , κεφ. ,glii; , Κεφάλαιο XII, 6 Για την επίλυση προβλημάτων σχετικά με αυτό το θέμα είναι απαραίτητο,