Πώς να λύσετε ανισώσεις με 2 μεταβλητές. Περίληψη μαθήματος «Επίλυση συστημάτων ανισοτήτων με δύο μεταβλητές». με δύο μεταβλητές

Θέμα: Εξισώσεις και ανισώσεις. Συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων

Μάθημα:Εξισώσεις και ανισώσεις με δύο μεταβλητές

Ας εξετάσουμε γενικά μια εξίσωση και μια ανισότητα με δύο μεταβλητές.

Εξίσωση με δύο μεταβλητές.

Ανισότητα με δύο μεταβλητές, το πρόσημο της ανισότητας μπορεί να είναι οτιδήποτε.

Εδώ τα x και y είναι μεταβλητές, το p είναι μια έκφραση που εξαρτάται από αυτές

Ένα ζεύγος αριθμών () ονομάζεται μερική λύση μιας τέτοιας εξίσωσης ή ανισότητας εάν, όταν αντικαθιστούμε αυτό το ζεύγος στην παράσταση, λάβουμε τη σωστή εξίσωση ή ανισότητα, αντίστοιχα.

Το καθήκον είναι να βρείτε ή να απεικονίσετε σε ένα επίπεδο το σύνολο όλων των λύσεων. Μπορείτε να παραφράσετε αυτήν την εργασία - βρείτε τον τόπο των σημείων (GLP), κατασκευάστε ένα γράφημα μιας εξίσωσης ή ανισότητας.

Παράδειγμα 1 - επίλυση εξίσωσης και ανισότητας:

Με άλλα λόγια, η εργασία περιλαμβάνει την εύρεση του GMT.

Ας εξετάσουμε τη λύση της εξίσωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, η τιμή της μεταβλητής x μπορεί να είναι οποιαδήποτε, οπότε έχουμε:

Προφανώς, η λύση της εξίσωσης είναι το σύνολο των σημείων που σχηματίζουν μια ευθεία γραμμή

Ρύζι. 1. Παράδειγμα γραφήματος εξίσωσης 1

Οι λύσεις μιας δεδομένης εξίσωσης είναι, συγκεκριμένα, τα σημεία (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Η λύση στη δεδομένη ανισότητα είναι ένα ημιεπίπεδο που βρίσκεται πάνω από τη γραμμή, συμπεριλαμβανομένης της ίδιας της ευθείας (βλ. Εικόνα 1). Πράγματι, αν πάρουμε οποιοδήποτε σημείο x 0 στην ευθεία, τότε έχουμε την ισότητα . Αν πάρουμε ένα σημείο σε ένα ημιεπίπεδο πάνω από μια ευθεία, έχουμε . Αν πάρουμε ένα σημείο στο ημιεπίπεδο κάτω από τη γραμμή, τότε δεν θα ικανοποιήσει την ανισότητά μας: .

Τώρα εξετάστε το πρόβλημα με έναν κύκλο και έναν κύκλο.

Παράδειγμα 2 - επίλυση εξίσωσης και ανισότητας:

Γνωρίζουμε ότι η δεδομένη εξίσωση είναι η εξίσωση ενός κύκλου με κέντρο στην αρχή και ακτίνα 1.

Ρύζι. 2. Απεικόνιση για παράδειγμα 2

Σε ένα αυθαίρετο σημείο x 0, η εξίσωση έχει δύο λύσεις: (x 0; y 0) και (x 0; -y 0).

Η λύση σε μια δεδομένη ανισότητα είναι ένα σύνολο σημείων που βρίσκονται μέσα στον κύκλο, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη ο ίδιος ο κύκλος (βλ. Εικόνα 2).

Ας εξετάσουμε μια εξίσωση με μονάδες.

Παράδειγμα 3 - λύστε την εξίσωση:

Σε αυτήν την περίπτωση, θα ήταν δυνατή η επέκταση των ενοτήτων, αλλά θα εξετάσουμε τις ιδιαιτερότητες της εξίσωσης. Είναι εύκολο να δούμε ότι το γράφημα αυτής της εξίσωσης είναι συμμετρικό και για τους δύο άξονες. Τότε αν το σημείο (x 0 ; y 0) είναι λύση, τότε το σημείο (x 0 ; -y 0) είναι επίσης λύση, τα σημεία (-x 0 ; y 0) και (-x 0 ; -y 0 ) είναι επίσης μια λύση .

Έτσι, αρκεί να βρεθεί μια λύση όπου και οι δύο μεταβλητές είναι μη αρνητικές και λαμβάνουν συμμετρία ως προς τους άξονες:

Ρύζι. 3. Απεικόνιση για παράδειγμα 3

Άρα, όπως βλέπουμε, η λύση της εξίσωσης είναι ένα τετράγωνο.

Ας δούμε τη λεγόμενη μέθοδο της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα 4 - απεικονίστε το σύνολο των λύσεων στην ανισότητα:

Σύμφωνα με τη μέθοδο των τομέων, πρώτα απ 'όλα εξετάζουμε τη συνάρτηση στην αριστερή πλευρά εάν υπάρχει μηδέν στη δεξιά. Αυτή είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών:

Παρόμοια με τη μέθοδο των διαστημάτων, απομακρυνόμαστε προσωρινά από την ανισότητα και μελετάμε τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες της σύνθετης συνάρτησης.

ODZ: αυτό σημαίνει ότι ο άξονας x τρυπιέται.

Τώρα υποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι ίση με μηδέν όταν ο αριθμητής του κλάσματος είναι ίσος με μηδέν, έχουμε:

Κατασκευάζουμε ένα γράφημα της συνάρτησης.

Ρύζι. 4. Γράφημα της συνάρτησης, λαμβάνοντας υπόψη το ODZ

Τώρα θεωρήστε τις περιοχές σταθερού πρόσημου της συνάρτησης που σχηματίζονται από μια ευθεία γραμμή και μια διακεκομμένη γραμμή. μέσα στη διακεκομμένη γραμμή υπάρχει η περιοχή D 1. Μεταξύ τμήματος διακεκομμένης γραμμής και ευθείας - περιοχή D 2, κάτω από τη γραμμή - περιοχή D 3, μεταξύ τμήματος διακεκομμένης γραμμής και ευθείας - περιοχή D 4

Σε κάθε μια από τις επιλεγμένες περιοχές, η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημά της, πράγμα που σημαίνει ότι αρκεί να ελέγξετε ένα αυθαίρετο σημείο δοκιμής σε κάθε περιοχή.

Στην περιοχή παίρνουμε το σημείο (0;1). Εχουμε:

Στην περιοχή παίρνουμε το σημείο (10;1). Εχουμε:

Έτσι, ολόκληρη η περιοχή είναι αρνητική και δεν ικανοποιεί τη δεδομένη ανισότητα.

Στην περιοχή, πάρτε το σημείο (0;-5). Εχουμε:

Έτσι, ολόκληρη η περιοχή είναι θετική και ικανοποιεί τη δεδομένη ανισότητα.

1. Ανισώσεις με δύο μεταβλητές. Μέθοδοι επίλυσης συστήματος δύο ανισώσεων με δύο μεταβλητές: αναλυτική μέθοδο και γραφική μέθοδο.

2. Συστήματα δύο ανισώσεων με δύο μεταβλητές: καταγραφή του αποτελέσματος της λύσης.

3. Σύνολα ανισώσεων με δύο μεταβλητές.

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ. Κατηγόρημα του τύπου f1(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - καλούνται εκφράσεις με μεταβλητές x και y που ορίζονται στο σύνολο XxY ανισότητα με δύο μεταβλητές (με δύο αγνώστους) x και y.Είναι σαφές ότι οποιαδήποτε ανισότητα της φόρμας με δύο μεταβλητές μπορεί να γραφτεί στη φόρμα f(x, y) > 0, ΧΟΧ, υΟ U. Επίλυση της ανισότηταςμε δύο μεταβλητές είναι ένα ζεύγος μεταβλητών τιμών που μετατρέπει μια ανισότητα σε αληθινή αριθμητική ανισότητα.Είναι γνωστό ότι ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών (x, y)καθορίζει μοναδικά ένα σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων. Αυτό καθιστά δυνατή την απεικόνιση λύσεων ανισώσεων ή συστημάτων ανισώσεων με δύο μεταβλητές γεωμετρικά, με τη μορφή ορισμένου συνόλου σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων. Εάν η εξ.

f(x, y)= 0 ορίζει μια συγκεκριμένη γραμμή στο επίπεδο συντεταγμένων, τότε το σύνολο των σημείων του επιπέδου που δεν βρίσκονται σε αυτήν την ευθεία αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό περιοχών C1, Γ 2,..., S p(Εικ. 17.8). Σε καθεμία από τις περιοχές Γ, η συνάρτηση f(x, y)είναι διαφορετικό από το μηδέν, γιατί σημεία στα οποία f(x, y)= 0 ανήκουν στα όρια αυτών των περιοχών.

Λύση.Ας μετατρέψουμε την ανισότητα σε μορφή x > y 2 + 2y - 3. Ας κατασκευάσουμε μια παραβολή στο επίπεδο συντεταγμένων Χ= y 2 + 2 ε - 3. Θα χωρίσει το επίπεδο σε δύο περιοχές G1 και G 2 (Εικ. 17.9). Από την τετμημένη οποιουδήποτε σημείου βρίσκεται στα δεξιά της παραβολής Χ= y 2 + 2 ετών- 3, μεγαλύτερο από την τετμημένη σημείου που έχει την ίδια τεταγμένη, αλλά βρίσκεται σε παραβολή κ.λπ. ανισότητα x>y g + 2y -3δεν είναι αυστηρή, τότε η γεωμετρική αναπαράσταση των λύσεων αυτής της ανισότητας θα είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου που βρίσκεται στην παραβολή Χ= στις 2+ 2υ - 3 και στα δεξιά του (Εικ. 17.9).

Ρύζι. 17.10

Παράδειγμα 17.15. Σχεδιάστε στο επίπεδο συντεταγμένων το σύνολο των λύσεων του συστήματος των ανισώσεων

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Λύση.Μια γεωμετρική αναπαράσταση της λύσης στο σύστημα ανισώσεων x > 0, y > 0 είναι το σύνολο των σημείων της πρώτης γωνίας συντεταγμένων. Γεωμετρική αναπαράσταση λύσεων ανισώσεων x + y< 6 ή στο< 6 - Χείναι το σύνολο των σημείων που βρίσκονται κάτω από την ευθεία και στην ίδια την ευθεία, που χρησιμεύουν ως γράφημα της συνάρτησης y = 6 - Χ.Γεωμετρική αναπαράσταση λύσεων ανισώσεων xy > 5ή, επειδή Χ> 0 ανισώσεις y > 5/xείναι το σύνολο των σημείων που βρίσκονται πάνω από τον κλάδο της υπερβολής που χρησιμεύει ως γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 5/x.Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ένα σύνολο σημείων του επιπέδου συντεταγμένων που βρίσκεται στην πρώτη γωνία συντεταγμένων κάτω από την ευθεία γραμμή, η οποία χρησιμεύει ως γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 6 - x, και πάνω από τον κλάδο της υπερβολής, η οποία χρησιμεύει ως το γράφημα της συνάρτησης y = 5x(Εικ. 17.10).

Κεφάλαιο III. ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΜΗΔΕΝ

, και ακόμη περισσότερο συστήματα ανισοτήτων με δύο μεταβλητές, Φαίνεταιαρκετά δύσκολο έργο. Ωστόσο, υπάρχει ένας απλός αλγόριθμος που βοηθά στην επίλυση φαινομενικά πολύ περίπλοκων προβλημάτων αυτού του είδους εύκολα και χωρίς ιδιαίτερη προσπάθεια. Ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε.

Ας έχουμε μια ανισότητα με δύο μεταβλητές ενός από τους παρακάτω τύπους:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Για να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων σε μια τέτοια ανισότητα στο επίπεδο συντεταγμένων, προχωρήστε ως εξής:

1. Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), η οποία χωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές.
2. Επιλέγουμε οποιαδήποτε από τις περιοχές που προκύπτουν και θεωρούμε ένα αυθαίρετο σημείο σε αυτό. Ελέγχουμε τη σκοπιμότητα της αρχικής ανισότητας για αυτό το σημείο. Εάν η δοκιμή καταλήξει σε σωστή αριθμητική ανισότητα, τότε συμπεραίνουμε ότι η αρχική ανισότητα ικανοποιείται σε ολόκληρη την περιοχή στην οποία ανήκει το επιλεγμένο σημείο. Έτσι, το σύνολο των λύσεων της ανισότητας είναι η περιοχή στην οποία ανήκει το επιλεγμένο σημείο. Εάν το αποτέλεσμα του ελέγχου είναι μια λανθασμένη αριθμητική ανισότητα, τότε το σύνολο των λύσεων της ανισότητας θα είναι η δεύτερη περιοχή στην οποία δεν ανήκει το επιλεγμένο σημείο.
3. Αν η ανισότητα είναι αυστηρή, τότε τα όρια της περιοχής, δηλαδή τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x), δεν περιλαμβάνονται στο σύνολο των λύσεων και το όριο απεικονίζεται με διακεκομμένη γραμμή. Αν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, τότε τα όρια της περιοχής, δηλαδή τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x), περιλαμβάνονται στο σύνολο των λύσεων αυτής της ανισότητας και το όριο σε αυτή την περίπτωση απεικονίζεται ως συμπαγής γραμμή. Τώρα ας δούμε πολλά προβλήματα σε αυτό το θέμα.

Εργασία 1.

Ποιο σύνολο σημείων δίνεται από την ανίσωση x · y ≤ 4;

Λύση.

1) Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση της εξίσωσης x · y = 4. Για να γίνει αυτό, πρώτα τη μετασχηματίζουμε. Προφανώς, το x σε αυτή την περίπτωση δεν μετατρέπεται σε 0, αφού διαφορετικά θα είχαμε 0 · y = 4, το οποίο είναι λάθος. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να διαιρέσουμε την εξίσωσή μας με το x. Παίρνουμε: y = 4/x. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι υπερβολή. Διαιρεί ολόκληρο το επίπεδο σε δύο περιοχές: τη μία ανάμεσα στους δύο κλάδους της υπερβολής και την έξω από αυτές.

2) Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετο σημείο από την πρώτη περιοχή, έστω το σημείο (4; 2). Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 4 · 2 ≤ 4 – false.

Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία αυτής της περιοχής δεν ικανοποιούν την αρχική ανισότητα. Τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το σύνολο των λύσεων της ανισότητας θα είναι η δεύτερη περιοχή στην οποία δεν ανήκει το επιλεγμένο σημείο.

3) Εφόσον η ανίσωση δεν είναι αυστηρή, σχεδιάζουμε τα οριακά σημεία, δηλαδή τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=4/x, με συμπαγή γραμμή.

Ας ζωγραφίσουμε το σύνολο των σημείων που ορίζει την αρχική ανισότητα με κίτρινο χρώμα (Εικ. 1).

Εργασία 2.

Σχεδιάστε την περιοχή που ορίζεται στο επίπεδο συντεταγμένων από το σύστημα

Λύση.

Αρχικά, κατασκευάζουμε γραφήματα των παρακάτω συναρτήσεων (Εικ. 2):

y = x 2 + 2 – παραβολή,

y + x = 1 – ευθεία γραμμή

x 2 + y 2 = 9 – κύκλος.

Τώρα ας δούμε κάθε ανισότητα ξεχωριστά.

1) y > x 2 + 2.

Παίρνουμε το σημείο (0; 5), το οποίο βρίσκεται πάνω από το γράφημα της συνάρτησης. Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 5 > 0 2 + 2 – αληθές.

Συνεπώς, όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω από τη δεδομένη παραβολή y = x 2 + 2 ικανοποιούν την πρώτη ανισότητα του συστήματος. Ας τα βάψουμε κίτρινα.

2) y + x > 1.

Παίρνουμε το σημείο (0; 3), το οποίο βρίσκεται πάνω από το γράφημα της συνάρτησης. Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 3 + 0 > 1 – αληθές.

Συνεπώς, όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω από την ευθεία y + x = 1 ικανοποιούν τη δεύτερη ανισότητα του συστήματος. Ας τα βάψουμε με πράσινη σκίαση.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Παίρνουμε το σημείο (0; -4), που βρίσκεται έξω από τον κύκλο x 2 + y 2 = 9. Ελέγχουμε την ανισότητα: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – λάθος.

Κατά συνέπεια, όλα τα σημεία που βρίσκονται έξω από τον κύκλο x 2 + y 2 = 9 δεν ικανοποιούν την τρίτη ανισότητα του συστήματος. Τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όλα τα σημεία που βρίσκονται μέσα στον κύκλο x 2 + y 2 = 9 ικανοποιούν την τρίτη ανισότητα του συστήματος. Ας τα βάψουμε με μωβ σκίαση.

Μην ξεχνάτε ότι εάν η ανισότητα είναι αυστηρή, τότε η αντίστοιχη οριακή γραμμή θα πρέπει να σχεδιάζεται με μια διακεκομμένη γραμμή. Παίρνουμε την παρακάτω εικόνα (Εικ. 3).

Η περιοχή αναζήτησης είναι η περιοχή όπου και οι τρεις χρωματιστές περιοχές τέμνονται μεταξύ τους (Εικ. 4).

Ερωτήσεις για σημειώσεις

Γράψτε μια ανίσωση της οποίας η λύση είναι κύκλος και σημεία μέσα στον κύκλο:

Βρείτε τα σημεία που λύνουν την ανίσωση:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

Αφήνω f(x,y)Και g(x, y)- δύο εκφράσεις με μεταβλητές ΧΚαι στοκαι το πεδίο εφαρμογής Χ. Στη συνέχεια ανισότητες της μορφής f(x, y) > g(x, y)ή f(x, y) < g(x, y)που ονομάζεται ανισότητα με δύο μεταβλητές .

Έννοια των μεταβλητών x, yαπό πολλούς Χ, στην οποία η ανισότητα μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ανισότητα, ονομάζεται απόφαση και ορίζεται (x, y). Λύστε την ανισότητα - αυτό σημαίνει να βρεις πολλά τέτοια ζεύγη.

Αν κάθε ζεύγος αριθμών (x, y)από το σύνολο των λύσεων στην ανισότητα, αντιστοιχίστε το σημείο M(x, y), λαμβάνουμε το σύνολο των σημείων στο επίπεδο που καθορίζεται από αυτή την ανισότητα. Ονομάζεται γράφημα αυτής της ανισότητας . Η γραφική παράσταση μιας ανισότητας είναι συνήθως μια περιοχή σε ένα επίπεδο.

Να απεικονίσει το σύνολο των λύσεων της ανισότητας f(x, y) > g(x, y), προχωρήστε ως εξής. Πρώτα, αντικαταστήστε το πρόσημο της ανισότητας με ένα πρόσημο ίσου και βρείτε μια γραμμή που έχει την εξίσωση f(x,y) = g(x,y). Αυτή η γραμμή χωρίζει το αεροπλάνο σε πολλά μέρη. Μετά από αυτό, αρκεί να πάρουμε ένα σημείο σε κάθε μέρος και να ελέγξουμε αν η ανισότητα ικανοποιείται σε αυτό το σημείο f(x, y) > g(x, y). Εάν εκτελεστεί σε αυτό το σημείο, τότε θα εκτελεστεί σε ολόκληρο το τμήμα όπου βρίσκεται αυτό το σημείο. Συνδυάζοντας τέτοια μέρη, παίρνουμε πολλές λύσεις.

Εργο. y > Χ.

Λύση.Αρχικά, αντικαθιστούμε το πρόσημο της ανισότητας με ένα πρόσημο ίσου και κατασκευάζουμε μια γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που έχει την εξίσωση y = Χ.

Αυτή η γραμμή χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη. Μετά από αυτό, πάρτε ένα σημείο σε κάθε μέρος και ελέγξτε εάν η ανισότητα ικανοποιείται σε αυτό το σημείο y > Χ.

Εργο.Λύστε γραφικά την ανισότητα
Χ 2 + στο 2 25 £.

Ας δοθούν δύο ανισότητες φά 1(x, y) > σολ 1(x, y)Και φά 2(x, y) > σολ 2(x, y).

Συστήματα συνόλων ανισώσεων με δύο μεταβλητές

Σύστημα ανισοτήτων είναι ο ίδιος συνδυασμό αυτών των ανισοτήτων. Λύση συστήματος είναι κάθε νόημα (x, y), που μετατρέπει κάθε μία από τις ανισώσεις σε αληθινή αριθμητική ανισότητα. Πολλές λύσεις συστήματα οι ανισότητες είναι η τομή συνόλων λύσεων σε ανισώσεις που σχηματίζουν ένα δεδομένο σύστημα.

Σύνολο ανισοτήτων είναι ο ίδιος διάσπαση αυτών ανισότητες Σετ λύση είναι κάθε νόημα (x, y), το οποίο μετατρέπει τουλάχιστον μία από το σύνολο των ανισώσεων σε αληθινή αριθμητική ανισότητα. Πολλές λύσεις ολότητα είναι μια ένωση συνόλων λύσεων σε ανισότητες που σχηματίζουν ένα σύνολο.

Εργο.Να λύσετε γραφικά το σύστημα των ανισοτήτων

Λύση. y = xΚαι Χ 2 + στο 2 = 25. Λύνουμε κάθε ανισότητα του συστήματος.

Η γραφική παράσταση του συστήματος θα είναι το σύνολο των σημείων του επιπέδου που είναι η τομή (διπλή εκκόλαψη) των συνόλων των λύσεων στην πρώτη και τη δεύτερη ανισότητα.

Εργο.Λύστε γραφικά ένα σύνολο ανισώσεων

Ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία

1. Λύστε γραφικά τις ανισώσεις: α) στο> 2Χ; σι) στο< 2Χ + 3;

V) Χ 2+ y 2 > 9; ΣΟΛ) Χ 2+ y 2 4 £.

2. Να λύσετε γραφικά τα συστήματα ανισώσεων:

α) β)

Το βίντεο μάθημα «Συστήματα ανισοτήτων με δύο μεταβλητές» περιέχει οπτικό εκπαιδευτικό υλικό για αυτό το θέμα. Το μάθημα περιλαμβάνει εξέταση της έννοιας της επίλυσης ενός συστήματος ανισοτήτων με δύο μεταβλητές, παραδείγματα γραφικής επίλυσης τέτοιων συστημάτων. Ο σκοπός αυτού του μαθήματος βίντεο είναι να αναπτύξει την ικανότητα των μαθητών να λύνουν συστήματα ανισοτήτων με δύο μεταβλητές γραφικά, να διευκολύνει την κατανόηση της διαδικασίας εύρεσης λύσεων σε τέτοια συστήματα και την απομνημόνευση της μεθόδου επίλυσης.

Κάθε περιγραφή της λύσης συνοδεύεται από σχέδια που εμφανίζουν τη λύση του προβλήματος στο επίπεδο συντεταγμένων. Τέτοια σχήματα δείχνουν ξεκάθαρα τα χαρακτηριστικά της κατασκευής γραφημάτων και τη θέση των σημείων που αντιστοιχούν στη λύση. Όλες οι σημαντικές λεπτομέρειες και έννοιες επισημαίνονται χρησιμοποιώντας χρώμα. Έτσι, ένα μάθημα βίντεο είναι ένα βολικό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων των δασκάλων στην τάξη και απελευθερώνει τον δάσκαλο από την παρουσίαση ενός τυπικού μπλοκ υλικού για ατομική εργασία με μαθητές.

Το μάθημα βίντεο ξεκινάει εισάγοντας το θέμα και εξετάζοντας ένα παράδειγμα εύρεσης λύσεων σε ένα σύστημα που αποτελείται από ανισότητες x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Η κατανόηση των συμπερασμάτων που εξάγονται για την επίλυση ενός συστήματος ανισοτήτων ενισχύεται με την εξέταση παραδειγμάτων. Η λύση του συστήματος των ανισώσεων x 2 + y 2 εξετάζεται πρώτα<=9 и x+y>=2. Προφανώς, οι λύσεις στην πρώτη ανισότητα στο επίπεδο συντεταγμένων περιλαμβάνουν τον κύκλο x 2 + y 2 = 9 και την περιοχή μέσα σε αυτόν. Αυτή η περιοχή στο σχήμα είναι γεμάτη με οριζόντια σκίαση. Το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης x+y>=2 περιλαμβάνει την ευθεία x+y=2 και το ημιεπίπεδο που βρίσκεται παραπάνω. Αυτή η περιοχή υποδεικνύεται επίσης στο επίπεδο με πινελιές σε διαφορετική κατεύθυνση. Τώρα μπορούμε να προσδιορίσουμε την τομή δύο συνόλων λύσεων στο σχήμα. Περιέχεται σε ένα τμήμα κύκλου x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Στη συνέχεια, αναλύουμε τη λύση του συστήματος γραμμικών ανισώσεων y>=x-3 και y>=-2x+4. Στο σχήμα, δίπλα στην συνθήκη εργασίας, κατασκευάζεται ένα επίπεδο συντεταγμένων. Πάνω του κατασκευάζεται μια ευθεία που αντιστοιχεί στις λύσεις της εξίσωσης y=x-3. Η περιοχή λύσης για την ανισότητα y>=x-3 θα είναι η περιοχή που βρίσκεται πάνω από αυτή τη γραμμή. Είναι σκιασμένη. Το σύνολο των λύσεων της δεύτερης ανισότητας βρίσκεται πάνω από την ευθεία y=-2x+4. Αυτή η ευθεία κατασκευάζεται επίσης στο ίδιο επίπεδο συντεταγμένων και η περιοχή της λύσης είναι διαγραμμισμένη. Η τομή δύο συνόλων είναι η γωνία που κατασκευάζεται από δύο ευθείες γραμμές, μαζί με την εσωτερική της περιοχή. Η περιοχή λύσης του συστήματος ανισοτήτων είναι γεμάτη με διπλή σκίαση.

Όταν εξετάζουμε το τρίτο παράδειγμα, περιγράφεται η περίπτωση όταν οι γραφικές παραστάσεις των εξισώσεων που αντιστοιχούν στις ανισότητες του συστήματος είναι παράλληλες ευθείες. Είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα των ανισοτήτων y<=3x+1 и y>=3x-2. Κατασκευάζεται μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο συντεταγμένων που αντιστοιχεί στην εξίσωση y=3x+1. Εύρος τιμών που αντιστοιχεί σε λύσεις της ανισότητας y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

Το μάθημα βίντεο «Συστήματα ανισοτήτων με δύο μεταβλητές» μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως οπτικό βοήθημα σε ένα μάθημα στο σχολείο ή να αντικαταστήσει την εξήγηση του δασκάλου όταν μελετάτε μόνοι σας το υλικό. Μια λεπτομερής, κατανοητή εξήγηση της επίλυσης συστημάτων ανισοτήτων στο επίπεδο συντεταγμένων μπορεί να βοηθήσει στην παρουσίαση του υλικού κατά την εξ αποστάσεως εκπαίδευση.