Serien mit komplexen Begriffen. Reihe im komplexen Bereich Zahlenreihe mit komplexen Zahlen

463. Was ist die geometrische Bedeutung der Ungleichungen: 1) Re z > 0; 2) Ich bin z< 0 ?

2. Reihen mit komplexen Begriffen. Betrachten Sie die Folge komplexer Zahlen z 1 , z 2 , z 3 , ..., wo z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Konstante Zahl c = a + bi angerufen Grenze Sequenzen z 1 , z 2 , z 3 , ..., falls für eine beliebig kleine Zahl δ>0 es gibt so eine Nummer N, was ist die Bedeutung z p mit Zahlen n > N die Ungleichung erfüllen \z p-Mit\< δ . In diesem Fall schreiben sie .

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines Grenzwertes einer Folge komplexer Zahlen ist folgende: die Zahl c=a+bi ist der Grenzwert einer Folge komplexer Zahlen x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … dann und nur dann, wenn , .

(1)

deren Mitglieder komplexe Zahlen sind, heißt konvergent, Wenn nth Teilsumme der Reihe S n bei p → ∞ tendiert zu einer bestimmten Endgrenze. Andernfalls wird Serie (1) aufgerufen abweichend.

Reihe (1) konvergiert genau dann, wenn Reihen mit reellen Termen konvergieren

(2) Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe. Diese Reihe, deren Terme eine unendlich abnehmende geometrische Folge bilden, konvergiert; Daher konvergiert eine gegebene Reihe mit komplexen Termen absolut. ^

474. Finden Sie den Konvergenzbereich der Reihe

Transkript

1 Bundesagentur für Bildung Staatliche Universität für Architektur und Bauingenieurwesen Tomsk REIHEN MIT KOMPLEXEN MITGLIEDERN Richtlinien für unabhängiges Arbeiten Zusammengestellt von LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 Zeilen mit komplexen Elementen: methodische Anweisungen / Zusammengestellt von LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomsk: Verlag der Staatlichen Universität für Architektur und Bau Tomsk, mit Rezensent Professor NN Belov Herausgeber EY Glotova Methodische Anweisungen sind für das Selbststudium aller Erstsemesterstudenten gedacht Fachthemen „Reihe mit komplexen Mitgliedern“ der JNF-Disziplin „Mathematik“ Veröffentlicht gemäß Beschluss des Methodenseminars der Abteilung für Höhere Mathematik, Protokoll 4 vom März Genehmigt und in Kraft gesetzt vom Vizerektor für akademische Angelegenheiten VV Dzyubo von 5 bis 55 Das Originallayout wurde vom Autor vorbereitet. Für den Druck signiert Format 6 84/6 Offsetpapier Schriftart Zeiten Bildungspublikation l, 6 Auflage 4 Bestellung Verlag TGASU, 64, Tomsk, Soljanaja-Platz, Gedruckt nach dem Originallayout in OOP TGASU 64, Tomsk, Partizanskaya Str., 5

3 REIHEN MIT KOMPLEXEN BEGRIFFEN THEMA Zahlenreihen mit komplexen Termen Denken Sie daran, dass komplexe Zahlen Zahlen der Form z = x y sind, wobei x und y reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit durch die Gleichheit = definiert ist. Die Zahlen x und y heißen die Real- bzw. Imaginärteil der Zahl z und bezeichnen x = Rez, y = Imz Offensichtlich zwischen den Punkten M(x, y) der XOU-Ebene mit einem kartesischen orthogonalen Koordinatensystem und komplexen Zahlen der Form z = x y, Es besteht eine Eins-zu-eins-Entsprechung. Die XOU-Ebene wird als komplexe Ebene bezeichnet, und z wird als Punkt dieser Ebene bezeichnet. Reelle Zahlen entsprechen der Abszissenachse, die als reelle Achse bezeichnet wird, und Zahlen der Form z = y entsprechen zur Ordinatenachse, die als imaginäre Achse bezeichnet wird. Wenn die Polarkoordinaten des Punktes M(x,y) mit r und j bezeichnet werden, dann werden x = r cosj, y = r s j und die Zahl z in geschrieben Form: z = r (cosj sj), wobei r = x y Diese Form des Schreibens einer komplexen Zahl wird trigonometrisch genannt, das Schreiben von z in der Form z = x y wird als algebraische Schreibform bezeichnet. Die Zahl r wird als Modul der Zahl bezeichnet z, die Zahl j ist das Argument (an der Stelle z = wird der Begriff eines Arguments nicht erweitert) Der Modul der Zahl z wird durch die Formel z = x y eindeutig bestimmt. Das Argument j ist nur unter der zusätzlichen Bedingung eindeutig bestimmt - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 Zahlen z (Abb.) Die Bedeutung davon sollte beachtet werden, dass y arq z - π ausgedrückt wird durch< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, wenn x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, wenn x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (fig) М y r = j = p x Abb In trigonometrischer Form wird die Zahl z = - in der Form geschrieben: - = сos π s π и Es wird empfohlen, Operationen an komplexen Zahlen selbst zu wiederholen. Lassen Sie uns nur Erinnern Sie sich an die Formel zur Potenzierung der Zahl z: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Schlüsselfragen der Theorie Kurzantworten Definition einer Reihe mit komplexen Termen Der Begriff der Konvergenz einer Reihe Notwendige Konvergenzbedingung Definition Es sei eine Folge z ) = ( x y ) = z, z, z, komplexer Zahlen gegeben A Symbol der Form ( å = z heißt Reihe, z ist ein allgemeiner Term der Reihe. Die Konzepte der Partialsummen einer Reihe S, ihrer Konvergenz und Divergenz entsprechen vollständig ähnlichen Konzepten für Reihen mit reellen Termen. Die Folge von Teilsummen Summen einer Reihe haben die Form: S = z; S = z z; S = z z z; Wenn $lm S und dieser Grenzwert endlich und gleich der Zahl S ist, heißt die Reihe konvergent und die Zahl S heißt Summe der Reihe, andernfalls heißt die Reihe divergent. Denken Sie daran, dass sich die Definition des Grenzwerts einer Folge komplexer Zahlen, die wir verwendet haben, formal nicht von der Definition des Grenzwerts einer Folge reeller Zahlen unterscheidet: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 Null des allgemeinen Termes z der Reihe bei Dies bedeutet, dass bei Verletzung dieser Bedingung, also wenn lm z ¹, die Reihe divergiert, bei lm z = jedoch die Frage der Konvergenz der Reihe offen bleibt. Ist Es ist möglich, die Reihe å (x = auf Konvergenz zu untersuchen, indem x und å = auf die Konvergenz der Reihe å = mit reellen Termen untersucht werden? y, und wenn å x = S = wobei å S = (x y) = å = x u , und y = S, dann S = S S, konvergiert - Beispiel Stellen Sie sicher, dass die Reihe å = è () xia, und ermitteln Sie, dass ihre Summe 7 ist

8 Lösung Die Reihe å konvergiert, t k ~ = () (), wenn die Summe S dieser Reihe gleich (Kapitel, Thema, n) ist. Die Reihe å konvergiert als unendlich abnehmende geometrische = Progression, mit å = () è S b = - q = konvergiert und seine Summe. Somit divergiert die Reihe S = Beispielreihe å, t k divergiert = è! harmonische Reihe å Untersuchen Sie in diesem Fall die Reihe å = auf Konvergenz! macht keinen Sinn Beispiel Die Reihe å π tg divergiert, weil für = è die Reihe å π tg die notwendige Konvergenzbedingung verletzt ist = π lm tg = p ¹ è 8

9 Welche Eigenschaften haben konvergente Reihen mit komplexen Termen? Die Eigenschaften sind die gleichen wie bei konvergenten Reihen mit reellen Gliedern. Es wird empfohlen, die Eigenschaften zu wiederholen. 4 Gibt es ein Konzept der absoluten Konvergenz für eine Reihe mit komplexen Gliedern? Satz (ausreichende Bedingung für die Konvergenz einer Reihe) Wenn die Reihe å = z konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe å = z. Das Konzept der absoluten Konvergenz der Reihe å = z sieht formal genauso aus wie für Reihen mit reeller Zahl Begriffe. Definition Die Reihe å = z heißt absolut konvergent, wenn die Reihe å = z konvergiert. Beispiel Beweisen Sie die absolute Konvergenz der Reihe () () () 4 8 Lösung Wir verwenden die trigonometrische Schreibweise der Zahl: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s è 4 4 Dann ist π π () = () cos s Þ è 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 è Es bleibt die Reihe å zu untersuchen z für Konvergenz = = Dies ist eine unendlich abnehmende geometrische Folge mit einem Nenner; Eine solche Folge konvergiert, und daher konvergiert die Reihe absolut. Beim Beweis der absoluten Konvergenz wird häufig der Satz verwendet. Satz Damit die Reihe å = y (x) absolut konvergiert, ist es notwendig und ausreichend, dass beide Reihen å = sind absolut Beispielreihe å = (-) è cosπ ! x und å = y konvergieren absolut, t k konvergiert absolut å (-), und die absolute Konvergenz = der Reihe å cosπ lässt sich leicht beweisen: =!

11 cosπ, und die Zeile ist å!! =! konvergiert nach d'Alemberts Kriterium. Nach dem Vergleichskriterium konvergiert die Reihe å cosπ Þ Reihe å =! konvergiert absolut cosπ =! Probleme lösen Untersuchen Sie Serie 4 auf Konvergenz: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos è α tan π ; 4 å = è è ;! Lösung å = è l l Die Reihe divergiert, weil die Reihe å divergiert, was durch den Vergleichstest leicht festgestellt werden kann: >, und die harmonische = l l Reihe å divergiert bekanntlich. Beachten Sie, dass mit = in diesem Fall die Reihe å basierend auf dem Integral-Cauchy-Test = l konvergiert å (-) = è! l

12 Die Reihe konvergiert also zu å =! konvergiert auf der Grundlage des Grenzwerttests von d'Alembert, und die Reihe å (-) konvergiert gemäß dem Satz = l Leibniz å α π - π cos tg = и и Offensichtlich hängt das Verhalten der Reihe vom Exponenten α Let ab Wir schreiben die Reihe mit der Formel β - cosβ = s: å α π π s tg = и Bei α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = Reihe α å è è 4 = wird konvergieren, vorausgesetzt, dass α >, d. h. für α > und wird für α divergieren oder für wird konvergieren, da für π π tg ~ α Reihe å = α α π tg α

13 Somit wird die ursprüngliche Reihe bei α 4 å = и и konvergieren und divergieren! α > Die Reihe å wird mit = è Cauchys Grenztest auf Konvergenz untersucht: lm = lm = > Þ è die Reihe divergiert Þ e è Þ wird divergieren und die ursprüngliche Reihe 5 Reihe Reihe 5 6 wird auf absolute Konvergenz untersucht π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = Lösung 5 å = π cos()! å = - π cos konvergiert absolut, also gegen (-)! konvergiert nach dem Vergleichskriterium: π cos, und die Reihe å (-)! (-)! = (-)! konvergiert nach dem d'Alembert-Test

14 4 6 å =!) 8 (Zur Zeile!) 8 (å = d'Alembert-Zeichen anwenden:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Untersuchen Sie Reihe 7 auf absolute Konvergenz 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Antworten: 7, 8 konvergieren absolut , 9 divergiert, konvergiert nicht absolut

16 THEMA Potenzreihen mit komplexen Termen Beim Studium des Abschnitts „Funktionsreihen“ wurden Reihen im Detail betrachtet, deren Terme Mitglieder einer bestimmten Funktionsfolge einer reellen Variablen waren. Am attraktivsten (insbesondere im Hinblick auf Anwendungen) waren Potenzreihen, d.h. Reihen der Form å = a (x-x) Es wurde bewiesen (Satz von Abel), dass jede Potenzreihe ein Konvergenzintervall (x - R, x R) hat, innerhalb dessen die Summe S (x) der Reihe liegt stetig ist und dass die Potenzreihen innerhalb des Konvergenzintervalls Term für Term differenziert und Term für Term integriert werden können. Dies sind die bemerkenswerten Eigenschaften von Potenzreihen, die die breitesten Möglichkeiten für ihre zahlreichen Anwendungen eröffnet haben. In diesem Thema werden wir Potenzreihen betrachten nicht mit reellen, sondern mit komplexen Termen 6 Schlüsselfragen der Theorie Kurze Antworten Definition einer Potenzreihe Eine Potenzreihe ist eine Funktionsreihe der Form å = a (z - z), (), wobei a und z komplexe Zahlen sind, und z ist eine komplexe Variable. Im Sonderfall z = hat die Potenzreihe die Form å = a z ()

17 Offensichtlich wird die Reihe () auf die Reihe () reduziert, indem eine neue Variable W = z – z eingeführt wird, daher werden wir uns hauptsächlich mit Reihen der Form () befassen. Satz von Abel Wenn die Potenzreihe () bei z = z konvergiert ¹, dann konvergiert es und zwar absolut für jedes z, für das z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Der Satz von Abel hat eine Folgerung, die besagt, dass, wenn die Reihe å = a z für * z = z divergiert, sie auch für jedes z divergiert, für das * z > z Gibt es ein Konzept für den Radius für Potenzreihen () und ( ) Konvergenz? Ja, es gibt einen Konvergenzradius R, eine Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle z, für die z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, Reihe () divergiert 4 Was ist der Konvergenzbereich der Reihe ()? Wenn R der Konvergenzradius der Reihe () ist, dann ist die Menge der Punkte z, für die z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Ist es möglich, mit den Formeln R = lm und R = lm den Konvergenzradius a zu ermitteln, der für Potenzreihen mit reellen Termen stattfand? Es ist möglich, wenn diese Grenzen bestehen. Wenn sich herausstellt, dass R = ist, bedeutet dies, dass die Reihe () nur im Punkt z = oder z = z für die Reihe () konvergiert. Wenn R = ist, konvergiert die Reihe im Ganzen komplexe Ebene Beispiel Finden Sie den Konvergenzradius der Reihe å z = a Lösung R = lm = lm = a Somit konvergiert die Reihe innerhalb eines Kreises mit Radius. Das Beispiel ist interessant, weil auf der Grenze des Kreises x y< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Denken Sie daran, dass die Potenzreihen å = a x innerhalb ihres Konvergenzintervalls nicht nur absolut, sondern auch gleichmäßig konvergieren. Eine ähnliche Aussage gilt für die Reihe å = a z: Wenn eine Potenzreihe konvergiert und der Radius ihrer Konvergenz gleich R ist, dann diese Reihe in einem beliebigen geschlossenen Kreis z r vorausgesetzt, dass r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 in einem Kreis mit Radius R > Konvergenz der Reihe, dann ist diese Reihe die Taylor-Reihe der Funktion f (z), d. h. f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Koeffizienten der Reihe å = () f (z) a =! f () a (z - z) werden nach der Formel berechnet. Denken Sie daran, dass die Definition der Ableitung f (z) formal genauso gegeben ist wie für die Funktion f (x) einer reellen Variablen, d. h. f (z ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Die Regeln zur Differenzierung der Funktion f (z) sind die gleichen wie die Regeln zur Differenzierung der Funktion einer reellen Variablen 7 In welchem ​​Fall ist die Funktion f (z) am Punkt z analytisch genannt? Der Begriff einer Funktion, die an einem Punkt z analytisch ist, ist in Analogie zum Begriff einer Funktion f (x) gegeben, die an einem Punkt x reell analytisch ist. Definition Eine Funktion f (z) heißt analytisch an einem Punkt z, wenn sie existiert R > so dass im Kreis z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Wir betonen noch einmal, dass die Darstellung einer an einem Punkt z analytischen Funktion f (z) in Form einer Potenzreihe eindeutig ist und diese Reihe ihre Taylor-Reihe ist, d. h. die Koeffizienten der Reihe werden durch die berechnet Formel () f (z) a =! 8 Grundlegende Elementarfunktionen einer komplexen Variablen In der Theorie der Potenzreihen von Funktionen einer reellen Variablen wurde die Reihenentwicklung der Funktion e x erhalten: = å x x e, xî(-,) =! Bei der Lösung des Beispiels von Punkt 5 waren wir davon überzeugt, dass die Reihe å z auf der gesamten komplexen Ebene konvergiert. Im Sonderfall für z = x ist ihre Summe gleich e x. Diese Tatsache liegt dem folgenden zugrunde - =! folgende Idee: Für komplexe Werte von z gilt die Funktion е z per Definition als Summe der Reihe å z Somit =! z e () def å z = =! Definition der Funktionen ch z und sh z x - x Da ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 und die Funktion e z ist nun für alle komplexen z definiert, dann ist es natürlich, ch z = auf der gesamten komplexen Ebene zu nehmen, def z - z e e def z - z e - e sh z = Also: z -z k e - e z sh z = = hyperbolischer Sinus ; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hyperbolischer Kosinus; k = (k)! shz th z = hyperbolischer Tangens; chz chz cth z = hyperbolischer Kotangens shz Definition der Funktionen s z und cos z Lassen Sie uns die zuvor erhaltenen Entwicklungen verwenden: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! Reihen konvergieren auf der gesamten Zahlengeraden Wenn wir in diesen Reihen x durch z ersetzen, erhalten wir Potenzreihen mit komplexen Termen, die, wie man leicht zeigt, auf der gesamten komplexen Ebene konvergieren. Dadurch können wir für jedes komplexe z die Funktionen bestimmen s z und cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und trigonometrischen Funktionen in der komplexen Ebene Ersetzen in der Reihe å z z e = =! z durch z und dann durch z erhalten wir: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Da e ()) e k k = (-, haben wir: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) Also: z -z z -z e e - e сos z = ; s z = (6) Aus den erhaltenen Formeln folgt eine weitere bemerkenswerte Formel: z сos z s z = e (7) Die Formeln (6) und (7) werden Eulers Formeln genannt. Beachten Sie, dass Diese Formeln gelten auch für reelles z. Im Sonderfall für z = j, wo j eine reelle Zahl ist, hat Formel (7) die Form: j cos j sj = e (8) Dann ist die komplexe Zahl z = r (cos j s j) wird in der Form geschrieben: j z = re (9) Formel (9) wird als Exponentialform zum Schreiben der komplexen Zahl z 4 bezeichnet

25 Formeln, die trigonometrische und hyperbolische Funktionen verbinden Die folgenden Formeln lassen sich leicht beweisen: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z Lassen Sie uns die erste und vierte Formel beweisen (es wird empfohlen, die zweite zu beweisen). und dritter selbst) Verwenden wir die Formeln ( 6) Euler: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e ch z = = cos z Mit den Formeln sh z = s z und ch z = cos z lässt sich eine auf den ersten Blick überraschende Eigenschaft der Funktionen s z und cos z leicht beweisen. Im Gegensatz zu den Funktionen y = s x Und y = cos Die imaginären Achsen s z und cos z unterliegen keiner absoluten Beschränkung. Interessant ist, dass für s z und cos z alle Formeln gültig sind, ähnlich den Formeln für die trigonometrischen Funktionen s x und cos x. Die angegebenen Formeln werden beim Lernen recht häufig verwendet Reihe für Konvergenz Beispiel Beweisen Sie die absolute Konvergenz der Reihe å s = Lösung Wir untersuchen die Reihe å auf Konvergenz s = Wie bereits erwähnt, ist die auf der imaginären Achse begrenzte Funktion s z nicht 5

26 ist, daher können wir das Vergleichskriterium nicht verwenden. Wir verwenden die Formel s = sh. Dann å = å s sh = = Wir untersuchen die Reihe å sh = unter Verwendung des D'Alembert-Kriteriums: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () da lm =, aus den Moduln konvergiert unter der Bedingung 8 - = 8 = Somit ist die Reihe z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >Punkte des Kreises z = - werden konvergieren, und außerhalb dieses Kreises, d. h. die Reihe divergiert. Wir untersuchen das Verhalten der Reihe bei z =, deren Gleichung im kartesischen Koordinatensystem die Form x (y) hat. = Bei z = 9 hat die Reihe der Absolutwerte die Form: å 8 - = å = = dass diese Reihe in einem geschlossenen Kreis ist. Die resultierende Reihe konvergiert, das heißt z konvergiert absolut. Beweisen Sie, dass die Funktion å z z e = ist periodisch mit der Periode π (diese Eigenschaft der Funktion e z unterscheidet sie =! erheblich von der Funktion e x) Beweis Wir verwenden die Definition einer periodischen Funktion und Formel (6). Wir müssen sicherstellen, dass z z e π = e, wobei z = x y Zeigen wir, dass dies so ist: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Also ist e z a periodische Funktion!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Erhalten Sie eine Formel, die die Zahlen e und π verbindet. Lösung Lassen Sie uns die Exponentialform verwenden, um j komplexe Zahl zu schreiben: z = re Für z = - haben wir r =, j = π und somit π e = - () Erstaunliche Formel und das trotz der Tatsache, dass das Auftreten jeder der Zahlen π, e und π in der Mathematik nichts mit dem Auftreten der anderen beiden zu tun hat! Formel () ist auch deshalb interessant, weil sich herausstellt, dass die Exponentialfunktion e z im Gegensatz zur Funktion e x negative Werte annehmen kann e x 5 Finden Sie die Summe der Reihe å cos x =! Lösung Lassen Sie uns die Reihe x x сos x s x e (e) å = å = å!! transformieren. x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Bei der Lösung verwendeten wir zweimal die Formel = cos x s x und die Reihenentwicklung der Funktion (e x) e 6 Erweitern Sie die Funktion f (x) = e x cos x mithilfe der Reihenentwicklung zu einer Potenzreihe der Funktion x() x x x x e = e e = e cos x e s x Lösung x() x() x e = å = å!! = = π cos s è 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! è 4 4 Т ê å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 Die resultierende Reihe konvergiert auf der gesamten Zahlenachse, also zu x π (x) () cos, und die Reihe å (x)! 4! =! X< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Finden Sie den Radius R und den Konvergenzkreis der Reihe. 4 Untersuchen Sie das Verhalten der Reihe an den Randpunkten des Konvergenzkreises (an Punkten, die auf dem Kreis liegen) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Antworten:) R =, Reihe konvergiert im Punkt z = - ;) R =, Reihe konvergiert absolut in einem geschlossenen Kreis z mit Mittelpunkt im Punkt z = - oder abhängig von x (y) ;) R =, Reihe konvergiert absolut in einem geschlossenen Kreis z oder unterliegt x y ; 4) R =, die Reihe konvergiert absolut in einem geschlossenen Kreis z oder unter der Bedingung x y 9 7 Erweitern Sie die Funktion f (x) = e x s x, () x zu einer Potenzreihe unter Verwendung der Reihenentwicklung der Funktion e 8 Stellen Sie sicher, dass für jedes komplexe z finden Formeln statt: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (verwenden Sie Eulers Formeln)

31 LISTE DER EMPFEHLENSWERTEN LEKTÜRE Grundlagenliteratur Piskunov, NS Differential- und Integralrechnung für Hochschulen / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Grundlagen der mathematischen Analyse / GM Fichtengolts T - St. Petersburg: Lan, 9 48 s Vorobyov, NN Theoriereihen / NN Vorobyov - St. Petersburg: Lan, 8 48 s 4 schriftlich, DT Vorlesungsskript zur höheren Mathematik Ch / DT schriftlich M: Iris-Presse, 8 5 Höhere Mathematik in Übungen und Problemen Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ usw.] M: ONICS, 8 C Zusätzliche Literatur Kudryavtsev, LD Kurs der mathematischen Analyse / LD Kudryavtsev TM: Höhere Schule, 98 C Khabibullin, MV Komplexe Zahlen: Richtlinien / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6 s Moldovanova , EA Zeilen und komplexe Analyse: Lehrbuch / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

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