Poznámky k přednášce o tau. Historický základ Teorie automatického řízení průběh přednášek

Teorie automatického řízení(TAU) je vědní disciplína, která studuje procesy automatického řízení objektů různé fyzikální povahy. Zároveň jsou pomocí matematických prostředků identifikovány vlastnosti systémů automatického řízení a vypracována doporučení pro jejich návrh.

Příběh

Poprvé se informace o automatech objevily na počátku našeho letopočtu v dílech Herona z Alexandrie „Pneumatika“ a „Mechanika“, které popisovaly automaty vytvořené samotným Heronem a jeho učitelem Ctesibiem: pneumatický automat na otevírání chrámových dveří. , vodní varhany, automat na prodej svěcené vody atd. Heronovy nápady výrazně předběhly dobu a v jeho éře se nepoužívaly.

Stabilita lineárních systémů

Udržitelnost- schopnost automatického řídicího systému vrátit se do daného nebo jemu blízkého ustáleného stavu po jakékoli poruše.

Udržitelná samohybná děla- systém, ve kterém jsou tlumeny přechodové procesy.

Operátorová forma zápisu linearizované rovnice.

y(t) = y pusa(t) + y P= y ven(t) + y Svatý.

y pusa(y ven) je konkrétní řešení linearizované rovnice.

y P(y Svatý.) je obecné řešení linearizované rovnice jako homogenní diferenciální rovnice, tzn

ACS je stabilní, pokud se přechodné procesy v n (t), způsobené jakýmikoli poruchami, časem rozloží, tj.

Řešením diferenciální rovnice v obecném případě získáme komplexní kořeny p i, p i+1 = ±α i ± jβi

Každý pár komplexně konjugovaných kořenů odpovídá následující složce rovnice přechodového procesu:

Ze získaných výsledků je zřejmé, že:

Kritéria stability

Kritérium směrování

Pro určení stability systému jsou sestaveny tabulky formuláře:

Aby byl systém stabilní, je nutné, aby všechny prvky prvního sloupce měly kladné hodnoty; pokud první sloupec obsahuje záporné prvky, systém je nestabilní; pokud je alespoň jeden prvek nula a zbytek je kladný, pak je systém na hranici stability.

Hurwitzovo kritérium

Hurwitzův determinant

Teorém: Pro stabilitu uzavřeného ACS je nutné a postačující, aby Hurwitzův determinant a všechny jeho minority byly kladné při

Mikhailovovo kritérium

Nahradíme , kde ω je úhlová frekvence kmitů odpovídající čistě myšlené odmocnině tohoto charakteristického polynomu.

Kritérium: pro stabilitu lineárního systému n-tého řádu je nutné a postačující, aby Michajlovova křivka, konstruovaná v souřadnicích, procházela sekvenčně n kvadranty.

Podívejme se na vztah mezi Michajlovovou křivkou a znaky jejích kořenů(α>0 a β>0)

1) Kořenem charakteristické rovnice je záporné reálné číslo

2) Kořenem charakteristické rovnice je kladné reálné číslo

Faktor odpovídající danému kořenu je

3) Kořenem charakteristické rovnice je komplexní dvojice čísel se zápornou reálnou částí

Faktor odpovídající danému kořenu je

4) Kořenem charakteristické rovnice je komplexní dvojice čísel s kladnou reálnou částí

Faktor odpovídající danému kořenu je

Nyquistovo kritérium

Nyquistovo kritérium je graficko-analytické kritérium. Jeho charakteristickým rysem je, že závěr o stabilitě nebo nestabilitě systému s uzavřenou smyčkou se dělá v závislosti na typu amplitudově-fázové nebo logaritmické frekvenční charakteristiky systému s otevřenou smyčkou.

Nechť je systém s otevřenou smyčkou reprezentován jako polynom

pak provedeme substituci a dostaneme:

Pro pohodlnější konstrukci hodografu pro n>2 redukujeme rovnici (*) na „standardní“ tvar:

S tímto znázorněním je modul A(ω) = | W(jω)| se rovná poměru absolutních hodnot čitatele a jmenovatele a argument (fáze) ψ(ω) je rozdíl mezi jejich argumenty. Modul součinu komplexních čísel se zase rovná součinu modulů a argument se rovná součtu argumentů.

Moduly a argumenty odpovídající faktorům přenosové funkce

Poté sestrojíme hodograf pro pomocnou funkci, za kterou se změníme

V , a v (od n

Pro určení výsledného úhlu natočení najdeme rozdíl mezi argumenty čitatele a jmenovatele

Polynom čitatele pomocné funkce má stejný stupeň jako polynom jeho jmenovatele, z čehož vyplývá , proto je výsledný úhel natočení pomocné funkce 0. To znamená, že pro stabilitu uzavřeného systému hodograf vektoru pomocné funkce by neměl pokrývat počátek a hodograf funkce, tedy bod se souřadnicemi

Část 1. Teorie automatického řízení (TAC)

Přednáška 1. Základní pojmy a definice TAU. (2 hodiny)

Základní pojmy.

Řídicí systémy pro moderní chemicko-technologické procesy se vyznačují velkým množstvím technologických parametrů, jejichž počet může dosáhnout několika tisíc. Aby byl zachován požadovaný provozní režim a v konečném důsledku kvalita výrobků, musí být všechna tato množství udržována konstantní nebo měněna podle určitého zákona.

Fyzikální veličiny, které určují postup technologického procesu, se nazývají parametry procesu . Parametry procesu mohou být například: teplota, tlak, průtok, napětí atd.

Parametr technologického procesu, který musí být udržován konstantní nebo měněn podle určitého zákona, se nazývá řízená proměnná nebo nastavitelný parametr .

Volá se hodnota regulované veličiny v uvažovaném časovém okamžiku okamžitá hodnota .

Hodnota regulované veličiny získaná v uvažovaném časovém okamžiku na základě dat nějakého měřicího zařízení se nazývá její naměřená hodnota .

Příklad 1 Schéma ruční regulace teploty sušárny.

Je nutné ručně udržovat teplotu v sušicí skříni na úrovni T set.

Lidský operátor v závislosti na údajích rtuťového teploměru RT zapíná nebo vypíná topné těleso H pomocí spínače P. ¨

Na základě tohoto příkladu můžete zadat definice:

Řídicí objekt (předmět regulace, OU) – zařízení, jehož požadovaný provozní režim musí být navenek podporován speciálně organizovanými řídícími akcemi.

Řízení – vytvoření řídicích akcí, které zajistí požadovaný provozní režim operačního zesilovače.

Nařízení – zvláštní typ ovládání, kdy je úkolem zajistit stálost jakékoli výstupní hodnoty operačního zesilovače.

Automatické ovládání – kontrola prováděná bez přímé lidské účasti.

Vstupní vliv(X)– vliv aplikovaný na vstup systému nebo zařízení.

Dopad na výstup(Y)– náraz vytvořený na výstupu systému nebo zařízení.

Vnější vliv – vliv vnějšího prostředí na systém.

Blokové schéma řídicího systému pro příklad 1 je znázorněno na Obr. 1.2.

Příklad 3 Teplotní obvod ASR s měřícím můstkem.

Když je teplota objektu rovna dané, je měřicí můstek M (viz obr. 1.4) vyvážený, na vstupu elektronového zesilovače není přijímán signál a systém je v rovnováze. Při odchylce teploty se změní odpor termistoru RT a rovnováha můstku se naruší. Na vstupu EC se objeví napětí, jehož fáze závisí na znaménku odchylky teploty od nastavené. Napětí zesílené v EC je přiváděno do motoru D, který pohání motor autotransformátoru AT příslušným směrem. Když teplota dosáhne nastavené hodnoty, můstek se vyrovná a motor se vypne.

Definice:

Nastavení vlivu (stejný jako vstupní vliv X) - vliv na systém, který určuje požadovaný zákon změny regulované veličiny).

Kontrolní akce (u) - dopad ovládacího zařízení na ovládaný objekt.

Ovládací zařízení (CD) - zařízení, které ovlivňuje řídicí objekt za účelem zajištění požadovaného provozního režimu.

Rušivý vliv (f) - náraz, který má tendenci narušit požadovaný funkční vztah mezi referenčním nárazem a řízenou veličinou.

Chyba ovládání (e = x - y) - rozdíl mezi předepsanými (x) a skutečnými (y) hodnotami regulované veličiny.

Regulátor (P) - soubor zařízení připojených k regulovanému objektu a zajišťujících automatické udržování nastavené hodnoty jeho řízené veličiny nebo její automatickou změnu podle určitého zákona.

Automatický řídicí systém (ASR) - automatický systém s uzavřeným okruhem vlivu, ve kterém je řízení (u) generováno jako výsledek porovnání skutečné hodnoty y s danou hodnotou x.

Další zapojení ve strukturálním schématu automatizovaného řídicího systému, směřující z výstupu na vstup uvažovaného úseku řetězce vlivů, se nazývá zpětná vazba (FE). Zpětná vazba může být negativní nebo pozitivní.

Klasifikace ASR.

1. Podle účelu (podle povahy změny úkolu):

· stabilizace ASR - systém, jehož operační algoritmus obsahuje instrukci k udržení regulované veličiny na konstantní hodnotě (x = const);

· software ASR - systém, jehož operační algoritmus obsahuje instrukci ke změně řízené veličiny v souladu s předem určenou funkcí (x je změněno softwarem);

· sledování ASR - systém, jehož operační algoritmus obsahuje instrukci ke změně řízené veličiny v závislosti na dříve neznámé hodnotě na vstupu ACP (x = var).

2. Podle počtu okruhů:

· jednookruhový - obsahující jeden okruh,

· víceokruhový - obsahující několik vrstevnic.

3. Podle počtu regulovaných veličin:

· jednorozměrný - systémy s 1 regulovanou veličinou,

· multidimenzionální - systémy s několika nastavitelnými veličinami.

Vícerozměrné ASR se zase dělí na systémy:

a) nesouvisející regulace, ve které regulátory přímo nesouvisí a mohou interagovat pouze prostřednictvím společného řídicího objektu;

b) vázaná regulace, ve které jsou mimo objekt regulace propojeny regulátory různých parametrů téhož technologického procesu.

4. Podle funkčního účelu:

ASR teploty, tlaku, průtoku, hladiny, napětí atd.

5. Podle povahy signálů používaných k ovládání:

· kontinuální,

· diskrétní (reléové, pulzní, digitální).

6. Podle povahy matematických vztahů:

· lineární, pro kterou platí zásada superpozice;

· nelineární.

Princip superpozice (překrytí): Pokud je na vstup objektu aplikováno několik vstupních vlivů, pak je reakce objektu na součet vstupních vlivů rovna součtu reakcí objektu na každý vliv zvlášť:

L(x 1 + x 2) = L(x 1) + L(x 2),

kde L je lineární funkce (integrace, derivace atd.).

7. Podle druhu energie použité k regulaci:

· pneumatický,

· hydraulický,

· elektrické,

· mechanické atd.

8. Podle zásady regulace:

· odchylkou :

Naprostá většina systémů je postavena na principu zpětné vazby - regulace odchylkou (viz obr. 1.7).

Prvek se nazývá sčítačka. Jeho výstupní signál je roven součtu vstupních signálů. Černý sektor znamená, že tento vstupní signál by měl být přijímán s opačným znaménkem.

· pobouřením .

Tyto systémy lze použít, pokud je možné měřit rušivý vliv (viz obr. 1.8). Diagram ukazuje K - zesilovač se zesílením K.

· kombinovaný - kombinovat vlastnosti předchozích ASR.

Touto metodou (viz obr. 1.9) se dosahuje vysoké kvality řízení, ale její použití je omezeno tím, že rušivý vliv f nelze vždy měřit.

Základní modely.

Fungování regulačního systému lze popsat slovně. Proto odstavec 1.1 popisuje systém řízení teploty pro sušicí komoru. Slovní popis pomáhá pochopit princip fungování systému, jeho účel, provozní vlastnosti atd. Nejdůležitější však je, že neposkytuje kvantitativní odhady kvality regulace, proto není vhodný pro studium charakteristik systémů a budování automatizovaných řídicích systémů. Místo toho TAU používá přesnější matematické metody pro popis vlastností systémů:

· statické vlastnosti,

· dynamické vlastnosti,

· diferenciální rovnice,

· přenosové funkce,

· frekvenční charakteristiky.

V kterémkoli z těchto modelů může být systém reprezentován jako spoj, který má vstupní vlivy X, poruchy F a výstupní vlivy Y

Pod vlivem těchto vlivů se může výstupní hodnota změnit. V tomto případě, když na vstup systému dorazí nová úloha, musí poskytnout s danou mírou přesnosti novou hodnotu regulované veličiny v ustáleném stavu.

Ustálený stav - jedná se o režim, ve kterém bude nesoulad mezi skutečnou hodnotou regulované veličiny a její nastavenou hodnotou v čase konstantní.

Statické charakteristiky.

Statická charakteristika prvkem je závislost ustálených hodnot výstupní veličiny na hodnotě veličiny na vstupu systému, tzn.

y ústa = j(x).

Statická charakteristika (viz obr. 1.11) se často zobrazuje graficky jako křivka y(x).

Statický je prvek, u kterého se při konstantním vstupním vlivu v průběhu času ustavuje konstantní výstupní hodnota. Například, když jsou na vstup ohřívače aplikovány různé hodnoty napětí, zahřeje se na hodnoty teploty odpovídající těmto napětím.

Astatic je prvek, u kterého při konstantním vstupním působení výstupní signál neustále roste konstantní rychlostí, zrychlením atd.

Lineární statický prvek se nazývá prvek bez setrvačnosti, který má lineární statickou charakteristiku:

y ústa = K*x + a 0 .

Jak vidíte, statická charakteristika prvku má v tomto případě podobu přímky se součinitelem sklonu K.

Lineární statické charakteristiky, na rozdíl od nelineárních, jsou pohodlnější ke studiu díky jejich jednoduchosti. Pokud je objektový model nelineární, pak je obvykle převeden na lineární formu linearizací.

Samohybné dělo je tzv statický , jestliže při konstantním vstupním vlivu má chyba řízení e tendenci ke konstantní hodnotě v závislosti na velikosti vlivu.

Samohybné dělo je tzv astatický , jestliže při konstantním vstupním vlivu má chyba řízení tendenci k nule, bez ohledu na velikost vlivu.

Laplace transformuje.

Studium ASR je výrazně zjednodušeno při použití aplikovaných matematických metod operačního počtu. Například fungování určitého systému je popsáno diferenciální rovnicí tvaru

, (2.1)

kde x a y jsou vstupní a výstupní veličiny. Pokud v této rovnici místo x(t) a y(t) dosadíme funkce X(s) a Y(s) komplexní proměnné s tak, že

A , (2.2)

pak původní DE za nulových počátečních podmínek je ekvivalentní lineární algebraické rovnici

a 2 s 2 Y(s) + ai s Y(s) + ao Y(s) = b1 X(s) + b° X(s).

Takový přechod z diferenciální rovnice na rovnici algebraickou se nazývá Laplaceova transformace , vzorce (2.2). Vzorce Laplaceovy transformace a výsledná rovnice je operátorová rovnice .

Jsou volány nové funkce X(s) a Y(s). snímky x(t) a y(t) jsou Laplace, zatímco x(t) a y(t) jsou originály ve vztahu k X(s) a Y(s).

Přechod z jednoho modelu na druhý je celkem jednoduchý a spočívá v nahrazení znamének diferenciálů operátory s n , znamének integrálů faktorem a samotných x(t) a y(t) obrázky X(s) a Y(s). ).

Pro zpětný přechod od operátorové rovnice k funkcím času se používá metoda inverzní Laplaceova transformace . Obecný vzorec pro inverzní Laplaceovu transformaci:

, (2.3)

kde f(t) je originál, F(jw) je obraz v s = jw, j je imaginární jednotka, w je frekvence.

Tento vzorec je poměrně složitý, proto byly vyvinuty speciální tabulky (viz tabulky 1.1 a 1.2), které shrnují nejčastěji se vyskytující funkce F(s) a jejich originály f(t). Umožňují opustit přímé použití vzorce (2.3).

Tabulka 1.2 - Laplaceovy transformace

Tabulka 1.2 - Vzorce pro inverzní Laplaceovu transformaci (sčítání)

Zákon změny výstupního signálu je obvykle funkce, kterou je třeba najít, a vstupní signál je obvykle znám. Některé typické vstupní signály byly diskutovány v části 2.3. Zde jsou jejich obrázky:

jednokroková akce má obrázek X(s) = ,

delta funkce X(s) = 1,

lineární náraz X(s) = .

Příklad. Řešení DE pomocí Laplaceových transformací.

Předpokládejme, že vstupní signál má formu jednokrokového efektu, tzn. x(t) = 1. Potom obraz vstupního signálu X(s) = .

Původní diferenciální rovnici transformujeme podle Laplacea a dosadíme X(s):

s 2 Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s 2 Y + 5sY + 6Y = 2s + 12,

Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.

Výraz pro Y je definován:

.

Originál přijaté funkce není v tabulce originálů a obrázků. K vyřešení problému jeho nalezení je zlomek rozdělen na součet jednoduchých zlomků, přičemž se bere v úvahu, že jmenovatel může být reprezentován jako s (s + 2) (s + 3):

= = + + =

Porovnáním výsledného zlomku s původním můžete vytvořit systém tří rovnic se třemi neznámými:

Mi + M2 + M3 = 0 Mi = 2

5. M 1 + 3. M 2 + 2. M3 = 2 až M2 = -4

6. Mi = 12 M3 = 2

Proto může být zlomek reprezentován jako součet tří zlomků:

= - + .

Nyní pomocí tabulkových funkcí je určena původní výstupní funkce:

y(t) = 2-4. e-2 t + 2. e-3t. ¨

Přenosové funkce.

Příklady typických odkazů.

Vazba systému je prvek systému, který má určité dynamické vlastnosti. Články řídicích systémů mohou mít různý fyzikální základ (elektrické, pneumatické, mechanické atd. články), ale patří do stejné skupiny. Vztah mezi vstupními a výstupními signály ve spojích jedné skupiny je popsán stejnými přenosovými funkcemi.

Nejjednodušší typické odkazy:

· zesílení,

· integrace,

rozlišování

· aperiodický,

· oscilační,

· zpožděný.

1) Posilující odkaz.

Linka zesílí vstupní signál o K krát. Linková rovnice y = K*x, přenosová funkce W(s) = K. Volá se parametr K získat .

Výstupní signál takového spoje přesně opakuje vstupní signál, zesílený K-krát (viz obr. 1.15).

Příklady takových spojení jsou: mechanické převody, senzory, zesilovače bez setrvačnosti atd.

2) Integrace.

2.1) Ideální integrace.

Výstupní hodnota ideálního integračního článku je úměrná integrálu vstupní hodnoty.

; W(s) =

Když je na vstup přiveden vlivový spoj, výstupní signál se neustále zvyšuje (viz obr. 1.16).

Tento odkaz je astatický, tzn. nemá ustálený stav.

2.2) Skutečná integrace.

Přenosová funkce tohoto odkazu má tvar:

Přechodová odezva je na rozdíl od ideálního článku křivka (viz obr. 1.17).

Příkladem integračního článku je stejnosměrný motor s nezávislým buzením, pokud je jako vstupní efekt bráno napájecí napětí statoru a jako výstupní efekt je brán úhel natočení rotoru.

3) Rozlišování.

3.1) Ideální diferenciátor.

Výstupní veličina je úměrná časové derivaci vstupu:

U skokového vstupního signálu je výstupním signálem impuls (funkce d).

3.2) Skutečné rozlišování.

Ideální rozlišovací vazby nejsou fyzicky realizovatelné. Většina objektů, které představují rozlišovací vazby, patří ke skutečným rozlišovacím vazbám. Přechodná odezva a přenosová funkce tohoto spoje mají tvar:

4) Aperiodický (inerciální).

Tento odkaz odpovídá dálkovému ovládání a PF formuláře:

; W(s) = .

Stanovme povahu změny výstupní hodnoty tohoto spoje, když je na vstup aplikován stupňovitý efekt hodnoty x 0.

Obrázek efektu kroku: X(s) = . Pak je obrázek výstupní veličiny:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0.

Rozdělme zlomek na prvočísla:

= + = = - = -

Originál prvního zlomku podle tabulky: L -1 ( ) = 1, druhý:

Pak konečně dostaneme:

y(t) = K x 0 (1-).

Konstanta T se nazývá časová konstanta.

Většina tepelných objektů jsou aperiodické spoje. Například při přivedení napětí na vstup elektrické pece se její teplota změní podle podobného zákona (viz obr. 1.19).

5) Oscilační spojení má DE a PF formuláře

,

W(s) = .

Když je na vstup aplikován krokový efekt s amplitudou x 0, přechodová křivka bude

mají jeden ze dvou typů: aperiodický (při T 1 ³ 2T 2) nebo oscilační (při T 1< 2Т 2).

6) Zpožděno.

y(t) = x(t - t), W(s) = e - ts.

Výstupní hodnota y přesně opakuje vstupní hodnotu x s ​​určitým zpožděním t. Příklady: pohyb nákladu po dopravníku, pohyb kapaliny potrubím.

Link připojení.

Vzhledem k tomu, že zkoumaný objekt je pro zjednodušení analýzy jeho fungování rozdělen do spojnic, pak po určení přenosových funkcí pro každý spoj vyvstává úkol spojit je do jedné přenosové funkce objektu. Typ přenosové funkce objektu závisí na posloupnosti připojení vazeb:

1) Sériové připojení.

W rev = W 1. W2. W 3...

Když jsou spoje zapojeny do série, jejich přenosové funkce se znásobí.

2) Paralelní připojení.

W rev = W 1 + W 2 + W 3 + …

Když jsou spoje zapojeny paralelně, jejich přenosové funkce se sčítají.

3) Zpětná vazba

Přenos funkce odkazem (x):

„+“ odpovídá zápornému OS,

"-" - pozitivní.

Pro určení přenosových funkcí objektů se složitějším zapojením vazeb se používá buď sekvenční zvětšování obvodu, nebo se převádějí pomocí Mesonova vzorce.

Přenosové funkce ASR.

Pro výzkum a výpočty je strukturní diagram ASR prostřednictvím ekvivalentních transformací redukován na nejjednodušší standardní formu „objekt - kontrolér“.

To je nutné zaprvé, aby bylo možné určit matematické závislosti v systému, a zadruhé, na takovou standardní strukturu se zpravidla aplikují všechny inženýrské metody pro výpočet a stanovení nastavení regulátorů.

V obecném případě lze do této podoby přivést libovolné jednorozměrné ASR s hlavní zpětnou vazbou postupným zvětšováním vazeb.

Pokud výstup systému y není přiveden na jeho vstup, získáme řídicí systém s otevřenou smyčkou, jehož přenosová funkce je definována jako součin:

W ¥ = W p . W y

(W p - PF regulátoru, W y - PF řídicího objektu).

To znamená, že posloupnost spojnic W p a W y může být nahrazena jedním spojem s W ¥ . Přenosová funkce systému s uzavřenou smyčkou se obvykle označuje jako Ф(s). Lze jej vyjádřit pomocí W ¥:

Tato přenosová funkce Фз(s) určuje závislost y na x a nazývá se přenosová funkce systému s uzavřenou smyčkou podél kanálu referenční akce (referencí).

Pro ASR existují také přenosové funkce prostřednictvím jiných kanálů:

Ф e (s) = = - omylem,

Ф v (s) = = - rušením.

Protože přenosová funkce systému s otevřenou smyčkou je v obecném případě zlomkově-racionální funkcí tvaru W ¥ = , lze přenosové funkce systému s uzavřenou smyčkou transformovat:

Ф z (s) = = , Ф e (s) = = .

Jak vidíte, tyto přenosové funkce se liší pouze ve vyjádření jejich čitatelů. Výraz jmenovatele se nazývá charakteristický výraz uzavřeného systému a označuje se jako D з (s) = A(s) + B(s), zatímco výraz nalezený v čitateli přenosové funkce systému s otevřenou smyčkou W ¥ se nazývá charakteristický výraz systému s otevřenou smyčkou B(s).

Kmitočtové charakteristiky.

Příklady LCH.

1. Dolní propust (LPF)

LACHH LFCH Příklad obvodu

Dolní propust je určena k potlačení vysokofrekvenčních vlivů.

2. Horní propust (HPF)

LACHH LFCH Příklad obvodu

Horní propust je určena k potlačení nízkofrekvenčních vlivů.

3. Bariérový filtr.

Stop filtr potlačuje pouze určitý rozsah frekvencí

LFC a LFCH Příklad obvodu

Kritéria udržitelnosti.

Udržitelnost.

Důležitým ukazatelem ASR je stabilita, neboť jejím hlavním účelem je udržovat danou konstantní hodnotu řízeného parametru nebo ji měnit podle určitého zákona. Pokud se řízený parametr odchyluje od zadané hodnoty (např. vlivem poruchy nebo změny nastavení), regulátor působí na systém tak, aby tuto odchylku eliminoval. Pokud se v důsledku tohoto dopadu systém vrátí do původního stavu nebo přejde do jiného rovnovážného stavu, pak se takový systém nazývá udržitelného . Dojde-li ke kmitům se stále rostoucí amplitudou nebo k monotónnímu nárůstu chyby e, pak se soustava nazývá nestabilní .

Aby bylo možné určit, zda je systém stabilní nebo ne, používají se kritéria stability:

1) kořenové kritérium,

2) Stodolovo kritérium,

3) Hurwitzovo kritérium,

4) Nyquistovo kritérium,

5) kritérium Michajlova a kol.

První dvě kritéria jsou nezbytnými kritérii pro stabilitu jednotlivých spojů a systémů s otevřenou smyčkou. Kritérium Hurwitz je algebraické a bylo vyvinuto pro bezodkladné určení stability systémů s uzavřenou smyčkou. Poslední dvě kritéria patří do skupiny frekvenčních kritérií, protože určují stabilitu uzavřených systémů na základě jejich frekvenčních charakteristik. Jejich vlastností je možnost aplikace na uzavřené systémy se zpožděním, což je naprostá většina řídicích systémů.

Kořenové kritérium.

Kořenové kritérium určuje stabilitu systému podle typu přenosové funkce. Dynamickou charakteristikou systému, která popisuje základní behaviorální vlastnosti, je charakteristický polynom umístěný ve jmenovateli přenosové funkce. Nastavením jmenovatele na nulu lze získat charakteristickou rovnici, jejíž kořeny lze použít k určení stability.

Kořeny charakteristické rovnice mohou být reálné nebo komplexní a pro určení stability jsou vyneseny do komplexní roviny (viz obr. 1.34).

(Symbol označuje kořeny rovnice.)

Typy kořenů charakteristické rovnice:

Platný:

pozitivní (kořen číslo 1);

negativní (2);

nula (3);

Komplex

komplexní konjugáty (4);

čistě imaginární (5);

V pořadí násobnosti jsou kořeny:

jednoduchý (1, 2, 3);

konjugát (4, 5): si = a ± jw;

násobky (6) s i = s i +1 = …

Kořenové kritérium je formulováno takto:

Lineární ASR je stabilní, pokud všechny kořeny charakteristické rovnice leží v levé polorovině. Pokud je alespoň jeden kořen na pomyslné ose, která je hranicí stability, pak se říká, že systém je na hranici stability. Pokud je alespoň jeden kořen v pravé polorovině (bez ohledu na počet kořenů v levé), pak je systém nestabilní.

Jinými slovy, všechny skutečné kořeny a skutečné části komplexních kořenů musí být negativní. Jinak je systém nestabilní.

Příklad 3.1. Přenosová funkce systému má tvar:

.

Charakteristická rovnice: s 3 + 2s 2 + 2,25s + 1,25 = 0.

Odmocniny: s 1 = -1; s2 = -0,5 + j; s3 = -0,5 - j.

Proto je systém stabilní. ¨

Stodolovo kritérium.

Toto kritérium je důsledkem předchozího a je formulováno následovně: Lineární systém je stabilní, pokud jsou všechny koeficienty charakteristického polynomu kladné.

To znamená, že pro koeficient přenosu z příkladu 3.1 podle Stodolova kritéria odpovídá stabilnímu systému.

Hurwitzovo kritérium.

Hurwitzovo kritérium pracuje s charakteristickým polynomem systému s uzavřenou smyčkou. Jak je známo, blokové schéma ACP chybně vypadá (viz obrázek)

W p - přenosová funkce ovladače,

W y je přenosová funkce řídicího objektu.

Stanovme přenosovou funkci pro přímou komunikaci (přenosová funkce systému s otevřenou smyčkou, viz odstavec 2.6.4): W ¥ = W p W y.

.

Přenosová funkce systému s otevřenou smyčkou má zpravidla frakčně-racionální formu:

.

Potom po substituci a transformaci dostaneme:

.

Z toho vyplývá, že charakteristický polynom systému s uzavřenou smyčkou (CPPS) lze definovat jako součet čitatele a jmenovatele W ¥:

Dz (s) = A(s) + B(s).

Pro určení Hurwitzovy stability je matice zkonstruována tak, že podél hlavní diagonály jsou umístěny koeficienty HPZS od a n +1 do a 0. Vpravo a vlevo od něj jsou zapsány koeficienty s indexy oddělenými 2 (a 0, a 2, a 4 ... nebo a 1, a 3, a 5 ...). Pak pro stabilní systém je nutné a postačující, aby determinant a všechny vedlejší diagonální hlavní matice byly větší než nula.

Pokud je alespoň jeden determinant roven nule, pak bude systém na hranici stability.

Pokud je alespoň jeden determinant záporný, pak je systém nestabilní bez ohledu na počet kladných nebo nulových determinantů.

Příklad. Je dána přenosová funkce systému s otevřenou smyčkou

.

Je nutné určit stabilitu systému s uzavřenou smyčkou pomocí Hurwitzova kritéria.

Pro tento účel je HPZ definováno:

D(s) = A(s) + B(s) = 2 s 4 + 3 s 3 + s 2 + 2 s 3 + 9 s 2 + 6 s + 1 = 2 s 4 + 5 s 3 + 10 s 2 + 6 s + 1.

Protože stupeň HPLC je n = 4, bude mít matrice velikost 4x4. HPZ koeficienty jsou a 4 = 2, a 3 = 5, a 2 = 10, a 1 = 6 a 0 = 1.

Matice vypadá takto:

(všimněte si podobnosti řádků matice: 1 s 3 a 2 se 4). Kvalifikace:

Δ 1 = 5 > 0,

,

A4 = 1* A3 = 1*209 > 0.

Protože všechny determinanty jsou pozitivní, pak ACP stabilní. ♦

Mikhailovovo kritérium.

Výše popsaná kritéria stability nefungují, pokud má přenosová funkce systému zpoždění, to znamená, že může být zapsána ve tvaru

,

kde t je zpoždění.

Charakteristickým vyjádřením uzavřeného systému v tomto případě není polynom a jeho kořeny nelze určit. K určení stability v tomto případě se používají frekvenční kritéria Michajlova a Nyquista.

Postup pro použití Michajlovova kritéria:

1) Charakteristický výraz uzavřeného systému je napsán:

Dz (s) = A(s) + B(s). e - t s .

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ A VĚDY RUSKÉ FEDERACE

Federální státní autonomní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání

"St. Petersburg State University of Aerospace Instrumentation"

_________________________________________________________________

M. V. Burakov

Teorie automatického řízení.

Tutorial

Petrohrad

Recenzenti:

Kandidát technických věd D. O. Yakimovsky (Spolkový státní podnik „Výzkumný ústav velitelských zařízení“). Kandidát technických věd docent A. A. Martynov

(St. Petersburg State University of Aerospace Instrumentation)

Schváleno redakční a vydavatelskou radou univerzity

jako učební pomůcka

Burakov M.V.

D79 Teorie automatického řízení: učebnice. příspěvek. 1. díl / M. V. Burakov – Petrohrad: GUAP, 2013. -258 s.: ill.

Učebnice pojednává o základech teorie automatického řízení - základní kurz pro školení inženýrů v oboru automatizace a řízení.

Jsou uvedeny základní pojmy a principy řízení, jsou uvažovány matematické modely a metody analýzy a syntézy lineárních a diskrétních systémů řízení založených na aparátu přenosových funkcí.

Učebnice je určena pro přípravu bakalářských a magisterských oborů oboru 220400 „Řízení v technických systémech“, jakož i studentů jiných specializací studujících obory „Teorie automatického řízení“ a „Základy teorie řízení“.

− ZÁKLADNÍ POJMY A DEFINICE

o Stručná historie vývoje teorie automatiky

vedení skogo

Teorii automatického řízení lze definovat jako vědu o metodách určování zákonitostí řízení jakýchkoliv objektů, které lze realizovat pomocí technických prostředků.

První automatická zařízení vyvinul člověk ve starověku, jak dokládají písemné důkazy, které se k nám dostaly. V dílech starověkých řeckých a římských vědců jsou uvedeny popisy různých automatických zařízení: hodometer - automatické zařízení pro měření vzdálenosti založené na přepočítávání počtu otáček kola vozíku; stroje na otevírání dveří a prodej vody v chrámech; automatická divadla s vačkovým mechanismem; zařízení na házení šípů s automatickým podáváním. Na přelomu našeho letopočtu vybavili Arabové vodní hodiny plovákovým regulátorem hladiny (obr. 1.1).

Ve středověku se vyvinula „androidová“ automatizace, kdy mechanici konstruktéři vytvářeli zařízení, která napodobovala jednotlivé lidské činy. Název „android“ zdůrazňuje humanoidní povahu stroje. Androidy fungují na základě hodinových mechanismů.

Lze identifikovat několik faktorů, které si vyžádaly vývoj řídicích systémů v 17. – 18. století:

1. rozvoj hodinářství, řízený potřebami rychle se rozvíjející lodní dopravy;

2. rozvoj mlýnského průmyslu a potřeba regulace provozu vodních mlýnů;

3. vynález parního stroje.

Rýže. 1.1. Design vodních hodin

I když je známo, že odstředivé vyrovnávače rychlosti se používaly ve vodních mlýnech na mouku již ve středověku, za první zpětnovazební řídicí systém je považován regulátor teploty Holanďana Corneliuse Drebbela (1600). V roce 1675 X. Huygens zabudoval do hodin kyvadlový regulátor. Denis Papin vynalezl v roce 1681 první regulátor tlaku pro parní kotle.

Parní stroj se stal prvním cílem průmyslových regulátorů, protože neměl schopnost samostatně pracovat stabilně, tzn. neměl „samonivelační“

my“ (obr. 1.2).

Obr.1.2. Parní stroj s regulátorem

Prvními průmyslovými regulátory jsou automatický plovákový regulátor pro napájení kotle parního stroje, sestrojený v roce 1765 I.I Polzunovem, a odstředivý regulátor otáček pro parní stroj, na který získal v roce 1784 patent J. Watt (obr. 1.3). .

Tyto první regulátory byly systémy přímého řízení, to znamená, že k ovládání regulátorů nebyly potřeba další zdroje energie - citlivý prvek přímo pohyboval regulátorem (moderní řídicí systémy jsou systémy nepřímého řízení, protože chybový signál je téměř vždy nedostatečný ve výkonu pro řízení regulačních tělo).

Rýže. 1.3. Wattův odstředivý regulátor.

Nebylo náhodou, že parní stroj se stal prvním objektem pro aplikaci technologie a teorie řízení, protože neměl schopnost samostatně pracovat stabilně a neměl samonivelaci.

Je třeba také poznamenat důležitost vytvoření prvního softwarového zařízení pro ovládání tkalcovského stavu pomocí děrného štítku (pro reprodukci vzorů na koberci), postaveného v roce 1808 J. Jacquardem.

Polzunovův vynález nebyl náhodný, protože na konci 18. století zaujímal ruský metalurgický průmysl přední postavení ve světě. Následně ruští vědci a inženýři nadále významně přispívali k rozvoji teorie automatického řízení.

První práce o teorii regulace se objevila v roce 1823 a napsal ji Chizhov, profesor Petrohradské univerzity.

V 1854 K.I. Konstantinov navrhl použití „elektromagnetického regulátoru rychlosti“, který vyvinul, namísto kuželového kyvadla v parních strojích. Namísto odstředivého mechanismu využívá elektromagnet k řízení toku páry do stroje. Regulátor navržený Konstantinovem měl větší citlivost než kónické kyvadlo.

V 1866 A.I. Shpakovsky vyvinul regulátor pro parní kotel, který byl ohříván pomocí trysek. Přívod paliva tryskami byl úměrný změně tlaku páry v kotli. Pokud tlak klesl, zvýšil se průtok paliva vstřikovači, což vedlo ke zvýšení teploty a v důsledku toho ke zvýšení tlaku.

V 1856 v Moskvě, během korunovace Alexandra III., bylo instalováno šest výkonných elektrických obloukových lamp s automatickým regulátorem Shpakovsky. Jednalo se o první praktickou zkušenost s výrobou instalace a dlouhodobým provozem řady elektromechanických regulátorů.

V letech 1869–1883 V. N. Čikolev vyvinul řadu elektromechanických regulátorů, včetně diferenciálního regulátoru pro obloukové lampy, který sehrál důležitou roli v historii regulační techniky.

Datum zrodu teorie automatického řízení (ATC) se obvykle nazývá rok 1868, kdy byla publikována práce J. Maxwella „On Regulators“, ve které byla jako model regulátoru použita diferenciální rovnice.

Velký podíl na rozvoji TAU měl ruský matematik a inženýr I. A. Vyšněgradskij. Ve své práci „O obecné teorii regulátorů“, publikované v roce 1876, zkoumal parní stroj a odstředivý regulátor jako jediný dynamický systém. Vyshnegradsky učinil prakticky nejdůležitější závěry o stabilním pohybu systémů. Jako první zavedl koncept linearizace diferenciálních rovnic a výrazně tak zjednodušil matematický aparát výzkumu.

TEORIE AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ PRO „ATRAKTÍNY“

K.Yu Polyakov

Petrohrad

© K.Yu. Polyakov, 2008

„Na vysoké škole je potřeba prezentovat materiál na vysoké odborné úrovni. Ale protože tato úroveň jde běžnému studentovi nad hlavu, vysvětlím na prstech. Není to moc profesionální, ale dá se to pochopit."

Neznámý učitel

Předmluva

Tato příručka je určena pro první seznámení s tématem. Jeho úkolem je vysvětlit základní pojmy „na prstech“ teorie automatického řízení a ujistěte se, že po přečtení budete schopni vnímat odbornou literaturu na toto téma. Tato příručka by měla být považována pouze za základ, odrazový můstek pro seriózní studium vážného tématu, které se může stát velmi zajímavým a vzrušujícím.

Existují stovky učebnic o automatickém řízení. Celý problém je ale v tom, že když mozek vnímá nové informace, hledá něco známého, čeho se může „chytit“, a na tomto základě „propojit“ nové s již známými pojmy. Praxe ukazuje, že čtení seriózních učebnic je pro moderního studenta obtížné. Není se čeho chytit. A za přísnými vědeckými důkazy často uniká podstata věci, která je obvykle docela jednoduchá. Autor se pokusil „sestoupit“ na nižší úroveň a vybudovat řetězec od „každodenních“ konceptů ke konceptům teorie managementu.

Prezentace na každém kroku trpí nedostatečnou přísností, nejsou podány důkazy, vzorce se používají jen tam, kde to bez nich nejde. Matematik zde nalezne mnoho nesrovnalostí a opomenutí, neboť (v souladu s cíli příručky) mezi přísností a srozumitelností je vždy volba provedena ve prospěch srozumitelnosti.

Na straně čtenáře je vyžadována malá předchozí znalost. Je potřeba mít nápad

Ó některé části vyššího kurzu matematiky:

1) derivace a integrály;

2) diferenciální rovnice;

3) lineární algebra, matice;

4) komplexní čísla.

Poděkování

Autor vyjadřuje hlubokou vděčnost Dr. A.N. Chuřilov, Ph.D. V.N. Kaliničenko a Ph.D. V. Rybinského, který si pečlivě přečetl předběžnou verzi manuálu a uvedl mnoho cenných připomínek, které umožnily prezentaci zlepšit a učinit ji srozumitelnější.

© K.Yu. Polyakov, 2008

© K.Yu. Polyakov, 2008

1. Základní pojmy

1.1. Úvod

Od pradávna chtěl člověk využívat předměty a síly přírody pro své účely, tedy k jejich ovládání. Můžete ovládat neživé předměty (například odvalování kamene na jiné místo), zvířata (trénink), lidi (šéf - podřízený). Mnoho manažerských úkolů v moderním světě je spojeno s technickými systémy - automobily, lodě, letadla, obráběcí stroje. Například potřebujete udržovat daný kurz lodi, výšku letadla, otáčky motoru nebo teplotu v lednici nebo troubě. Pokud jsou tyto úkoly řešeny bez lidské účasti, mluví o automatické ovládání.

Teorie managementu se snaží odpovědět na otázku „jak by měl člověk řídit? Až do 19. století nauka o řízení neexistovala, i když již existovaly první automatické řídicí systémy (např. větrné mlýny byly „naučeny“ otáčet se po větru). Vývoj teorie managementu začal během průmyslové revoluce. Nejprve byl tento směr ve vědě vyvinut mechanikou k řešení problémů regulace, to znamená udržování dané hodnoty rychlosti otáčení, teploty, tlaku v technických zařízeních (například v parních strojích). Odtud pochází název „teorie automatické regulace“.

Později se ukázalo, že principy managementu lze úspěšně aplikovat nejen v technice, ale také v biologii, ekonomii a společenských vědách. Věda kybernetika studuje procesy řízení a zpracování informací v systémech jakékoli povahy. Jedna z jeho sekcí, týkající se především technických systémů, je tzv teorie automatického řízení. Kromě klasických problémů řízení se zabývá také optimalizací zákonitostí řízení a otázkami adaptability (adaptace).

Někdy se názvy „teorie automatického řízení“ a „teorie automatického řízení“ používají zaměnitelně. Například v moderní zahraniční literatuře najdete pouze jeden termín – teorie řízení.

1.2. Řídící systémy

1.2.1. Z čeho se řídicí systém skládá?

V V úlohách řízení jsou vždy dva objekty – řízený a manažer. Obvykle se nazývá spravovaný objektkontrolní objekt nebo jednoduše objekt a objekt řízení – regulátor. Například při řízení rychlosti otáčení je řídicím objektem motor (elektromotor, turbína); v problému stabilizace kurzu lodi - loď ponořená ve vodě; v úkolu udržovat úroveň hlasitosti - dynamická

© K.Yu. Polyakov, 2008

ka. Moderní auto je doslova „nacpané“ řídicí elektronikou, až po palubní počítače.

Regulátor zpravidla nepůsobí na ovládaný objekt přímo, ale prostřednictvím aktuátorů (pohonů), které mohou řídicí signál zesílit a převést, např. elektrický signál se může „přeměnit“ v pohyb ventilu regulujícího spotřebu paliva, popř. do natočení volantu pod určitým úhlem.

Aby regulátor „viděl“, co se s objektem skutečně děje, jsou zapotřebí senzory. Senzory se nejčastěji používají k měření těch charakteristik objektu, které je třeba řídit. Kvalitu řízení lze navíc zlepšit, pokud se získají další informace – měřením vnitřních vlastností objektu.

1.2.2. Struktura systému

Typický řídicí systém tedy zahrnuje zařízení, ovladač, akční člen a senzory. Soubor těchto prvků však ještě není systémem. K přeměně v systém jsou zapotřebí komunikační kanály, prostřednictvím kterých dochází k výměně informací mezi prvky. K přenosu informací lze použít elektrický proud, vzduch (pneumatické systémy), kapalinu (hydraulické systémy) a počítačové sítě.

Vzájemně propojené prvky jsou již systémem, který má (díky spojům) speciální vlastnosti, které jednotlivé prvky a jakákoliv jejich kombinace nemají.

Hlavní intrika managementu souvisí se skutečností, že prostředí ovlivňuje objekt - vnější poruchy, které „brání“ regulátoru v plnění svěřeného úkolu. Většina poruch je předem nepředvídatelná, to znamená, že mají náhodný charakter.

Senzory navíc neměří parametry přesně, ale s nějakou chybou, i když malou. V tomto případě hovoří o „šumu měření“ analogicky s hlukem v radiotechnice, který zkresluje signály.

Abychom to shrnuli, můžeme nakreslit blokové schéma řídicího systému takto:

Například v systému řízení kurzu lodi

kontrolní objekt- toto je samotná loď umístěná ve vodě; k řízení jejího průběhu se používá kormidlo pro změnu směru proudění vody;

regulátor – digitální počítač;

pohon - řídicí zařízení, které zesiluje řídicí elektrický signál a převádí jej na otáčení řízení;

senzory - měřící systém, který zjišťuje skutečný průběh;

vnější poruchy- jedná se o mořské vlny a vítr, které vychylují loď z daného kurzu;

šum měření je chyba snímače.

Zdá se, že informace v řídicím systému „jdou do kruhu“: regulátor vydá signál

ovládání na pohonu, který působí přímo na objekt; poté se informace o objektu vrátí přes senzory zpět do ovladače a vše začíná znovu. Říkají, že systém má zpětnou vazbu, to znamená, že regulátor používá informace o stavu objektu k rozvoji řízení. Systémy zpětné vazby se nazývají uzavřené, protože informace jsou přenášeny v uzavřené smyčce.

© K.Yu. Polyakov, 2008

1.2.3. Jak regulátor funguje?

Regulátor porovnává signál nastavení („nastavená hodnota“, „nastavená hodnota“, „požadovaná hodnota“) se zpětnovazebními signály ze snímačů a určuje nesoulad(chyba ovládání) – rozdíl mezi daným a skutečným stavem. Pokud je nula, není nutná žádná kontrola. Pokud existuje rozdíl, regulátor vydá řídicí signál, který se snaží nesoulad snížit na nulu. Proto lze v mnoha případech obvod regulátoru nakreslit takto:

Zpětná vazba

Tento diagram ukazuje kontrola chyb(nebo odchylkou). To znamená, že aby regulátor začal působit, musí se regulovaná hodnota odchylovat od nastavené hodnoty. Blok označený ≠ najde neshodu. V nejjednodušším případě odečítá od dané hodnoty zpětnovazební signál (naměřenou hodnotu).

Je možné ovládat objekt, aniž by došlo k chybě? V reálných systémech ne. Předně kvůli předem neznámým vnějším vlivům a ruchům. Kromě toho mají řídicí objekty setrvačnost, to znamená, že se nemohou okamžitě přesunout z jednoho stavu do druhého. Možnosti regulátoru a pohonů (tedy výkon řídícího signálu) jsou vždy omezeny, tudíž je omezena i rychlost řídícího systému (rychlost přechodu do nového režimu). Například při řízení lodi úhel kormidla obvykle nepřesahuje 30 - 35°, to omezuje rychlost změny kurzu.

Zvažovali jsme možnost, kdy se zpětná vazba používá ke snížení rozdílu mezi zadaným a skutečným stavem řídicího objektu. Taková zpětná vazba se nazývá negativní zpětná vazba, protože zpětnovazební signál se odečítá od povelového signálu. Mohlo by to být naopak? Ukazuje se, že ano. V tomto případě se zpětná vazba nazývá pozitivní, zvyšuje nesoulad, to znamená, že má tendenci „rozkolísat“ systém. V praxi se kladná zpětná vazba využívá např. u generátorů k udržení netlumených elektrických oscilací.

1.2.4. Systémy s otevřenou smyčkou

Je možné ovládat bez použití zpětné vazby? V zásadě je to možné. V tomto případě ovladač nedostává žádné informace o skutečném stavu objektu, takže musí být přesně známo, jak se tento objekt chová. Teprve potom si můžete předem spočítat, jak je potřeba jej ovládat (sestavit potřebný ovládací program). Neexistuje však žádná záruka, že úkol bude dokončen. Takové systémy se nazývají systémy řízení programů nebo systémy s otevřenou smyčkou, protože informace se nepřenášejí v uzavřené smyčce, ale pouze v jednom směru.

Auto může řídit i nevidomý nebo neslyšící řidič. Na chvíli. Dokud si pamatuje cestu a umí správně vypočítat své místo. Dokud cestou nepotká chodce nebo jiná auta, o kterých nemůže předem vědět. Z tohoto jednoduchého příkladu je zřejmé, že bez

© K.Yu. Polyakov, 2008

zpětná vazba (informace ze senzorů) nelze brát v úvahu vliv neznámých faktorů a neúplnost našich znalostí.

I přes tyto nevýhody se v praxi používají systémy s otevřenou smyčkou. Například informační tabule na nádraží. Nebo jednoduchý systém řízení motoru, ve kterém není nutné velmi přesně udržovat otáčky. Systémy s otevřenou smyčkou jsou však z pohledu teorie řízení málo zajímavé a nebudeme se o nich dále bavit.

1.3. Jaké typy řídicích systémů existují?

Automatický systém je systém, který funguje bez lidského zásahu. Je tam ještě nějaké Automatizovaný systémy, ve kterých rutinní procesy (sběr a analýza informací) provádí počítač, ale celý systém řídí lidský operátor, který rozhoduje. Dále budeme studovat pouze automatické systémy.

1.3.1. Cíle řídicích systémů

Automatické řídicí systémy se používají k řešení tří typů problémů:

stabilizace, tedy udržení daného provozního režimu, který se po dlouhou dobu nemění (signál nastavení je konstantní, často nulový);

softwarové ovládání– ovládání podle předem známého programu (signál nastavení se mění, ale je znám předem);

sledování neznámého hlavního signálu.

NA mezi stabilizační systémy patří např. autopiloti na lodích (udržující daný kurz), systémy řízení otáček turbín. Programované řídicí systémy jsou široce používány v domácích spotřebičích, jako jsou pračky. Servosystémy slouží k zesílení a převodu signálů, používají se v pohonech a při přenosu příkazů po komunikačních linkách např. přes internet.

1.3.2. Jednorozměrné a vícerozměrné systémy

Podle počtu vstupů a výstupů existují

jednorozměrné systémy, které mají jeden vstup a jeden výstup (uvažuje se s nimi v tzv. klasické teorii řízení);

vícerozměrné systémy s několika vstupy a/nebo výstupy (hlavní předmět studia moderní teorie řízení).

Budeme studovat pouze jednorozměrné systémy, kde objekt i regulátor mají jeden vstupní a jeden výstupní signál. Například, když řídíme loď podél kurzu, můžeme předpokládat, že existuje jedna řídicí akce (otočení kormidla) a jedna řízená proměnná (kurz).

Ve skutečnosti to však není tak úplně pravda. Faktem je, že když se změní kurz, změní se i náklon a trim lodi. V jednorozměrném modelu tyto změny zanedbáváme, i když mohou být velmi významné. Například při ostré zatáčce může náklon dosáhnout nepřijatelné hodnoty. Na druhou stranu k ovládání můžete využít nejen volant, ale i různé trysky, stabilizátory sklonu atd., to znamená, že objekt má několik vstupů. Skutečný systém řízení kurzu je tedy vícerozměrný.

Studium vícerozměrných systémů je poměrně složitý úkol a přesahuje rámec této příručky. Proto se v inženýrských výpočtech někdy snaží zjednodušit vícerozměrný systém jako několik jednorozměrných a tato metoda často vede k úspěchu.

1.3.3. Spojité a diskrétní systémy

Podle povahy systémových signálů mohou být

spojitý, ve kterém všechny signály jsou funkcemi spojitého času, definovaného v určitém intervalu;

diskrétní, ve kterém se používají diskrétní signály (posloupnosti čísel), definované pouze v určitých okamžicích;

© K.Yu. Polyakov, 2008

spojitý-diskrétní, které obsahují spojité i diskrétní signály. Spojité (neboli analogové) systémy jsou obvykle popsány diferenciálními rovnicemi. To vše jsou systémy řízení pohybu, které neobsahují počítače ani jiné prvky.

diskrétní akční zařízení (mikroprocesory, logické integrované obvody). Mikroprocesory a počítače jsou diskrétní systémy, protože obsahují všechny informace

je uchovávána a zpracovávána v diskrétní formě. Počítač nemůže zpracovávat spojité signály, protože pracuje pouze s sekvencečísla. Příklady diskrétních systémů lze nalézt v ekonomii (referenční období - čtvrtletí nebo rok) a v biologii (model dravec-kořist). K jejich popisu se používají diferenční rovnice.

Existují také hybridní spojitý-diskrétní systémy, například počítačové systémy pro řízení pohybujících se objektů (lodí, letadel, automobilů atd.). V nich jsou některé prvky popsány diferenciálními rovnicemi a některé diferenčními rovnicemi. Z matematického hlediska to vytváří velké potíže pro jejich studium, proto jsou spojitě-diskrétní systémy v mnoha případech redukovány na zjednodušené čistě spojité nebo čistě diskrétní modely.

1.3.4. Stacionární a nestacionární systémy

Pro management je velmi důležitá otázka, zda se vlastnosti objektu v čase mění. Systémy, ve kterých všechny parametry zůstávají konstantní, se nazývají stacionární, což znamená „nemění se v čase“. Tento tutoriál pokrývá pouze stacionární systémy.

V praktických problémech to často není tak růžové. Například létající raketa spotřebovává palivo a díky tomu se mění její hmotnost. Raketa je tedy nestacionární objekt. Nazývají se systémy, ve kterých se parametry objektu nebo regulátoru v čase mění nestacionární. Přestože teorie nestacionárních systémů existuje (vzorce byly napsány), její uplatnění v praxi není tak snadné.

1.3.5. Jistota a náhoda

Nejjednodušší možností je předpokládat, že všechny parametry objektu jsou určeny (nastaveny) přesně, stejně jako vnější vlivy. V tomto případě mluvíme o deterministický systémy, které byly uvažovány v klasické teorii řízení.

Ve skutečných problémech však nemáme přesná data. V první řadě to platí pro vnější vlivy. Například pro studium houpání lodi v první fázi můžeme předpokládat, že vlna má tvar sinusu známé amplitudy a frekvence. Toto je deterministický model. Je to pravda v praxi? Přirozeně ne. Pomocí tohoto přístupu lze získat pouze přibližné, hrubé výsledky.

Podle moderních koncepcí je průběh přibližně popsán jako součet sinusoid, které mají náhodné, tedy předem neznámé frekvence, amplitudy a fáze. Rušení a šum měření jsou také náhodné signály.

Nazývají se systémy, ve kterých působí náhodné poruchy nebo se mohou náhodně měnit parametry objektu stochastický(pravděpodobnostní). Teorie stochastických systémů umožňuje získat pouze pravděpodobnostní výsledky. Nemůžete například zaručit, že odchylka lodi od kurzu nebude vždy větší než 2°, ale můžete se pokusit takovou odchylku s určitou pravděpodobností zajistit (pravděpodobnost 99 % znamená, že požadavek bude splněn v 99 případech ze 100). ).

1.3.6. Optimální systémy

Systémové požadavky lze často formulovat jako optimalizační problémy. V optimálních systémech je regulátor navržen tak, aby poskytoval minimum nebo maximum nějakého kvalitativního kritéria. Je třeba mít na paměti, že výraz „optimální systém“ neznamená, že je skutečně ideální. Vše je určeno přijatým kritériem - pokud je úspěšně vybráno, systém dopadne dobře, pokud ne, pak naopak.

© K.Yu. Polyakov, 2008

1.3.7. Speciální třídy systémů

Pokud parametry objektu nebo poruch nejsou přesně známy nebo se mohou v čase měnit (v nestacionárních systémech), používají se adaptivní nebo samonastavovací regulátory, u kterých se mění zákon řízení při změně podmínek. V nejjednodušším případě (když existuje několik dříve známých provozních režimů) dochází k jednoduchému přepínání mezi několika zákony řízení. Často v adaptivních systémech regulátor vyhodnocuje parametry objektu v reálném čase a podle toho mění zákon řízení podle daného pravidla.

Samoladící systém, který se snaží nastavit regulátor tak, aby „našel“ maximum nebo minimum nějakého kvalitativního kritéria, se nazývá extrém (od slova extremum, což znamená maximum nebo minimum).

Používá se mnoho moderních domácích zařízení (například pračky). fuzzy regulátory, postavený na principech fuzzy logiky. Tento přístup nám umožňuje formalizovat lidský způsob rozhodování: „Pokud loď zašla příliš doprava, je třeba posunout kormidlo hodně doleva.“

Jedním z populárních směrů moderní teorie je využití výdobytků umělé inteligence k ovládání technických systémů. Regulátor je postaven (nebo jen konfigurován) na základě neuronové sítě, která je předem vyškolena lidským expertem.

© K.Yu. Polyakov, 2008

2. Matematické modely

2.1. Co k řízení potřebujete vědět?

Cílem jakékoli kontroly je změnit stav objektu požadovaným způsobem (v souladu s úlohou). Teorie automatického řízení musí odpovědět na otázku: „jak postavit regulátor, který dokáže řídit daný objekt tak, aby dosáhl cíle? K tomu potřebuje vývojář vědět, jak bude řídicí systém reagovat na různé vlivy, to znamená, že je potřeba model systému: objekt, pohon, senzory, komunikační kanály, poruchy, hluk.

Model je objekt, který používáme ke studiu jiného objektu (originálu). Model a originál si musí být nějakým způsobem podobné, aby závěry ze studia modelu mohly být (s určitou pravděpodobností) přeneseny do originálu. Nás bude zajímat především matematické modely, vyjádřené jako vzorce. Kromě toho se ve vědě používají i modely popisné (verbální), grafické, tabulkové a další.

2.2. Vstupní a výstupní připojení

Jakýkoli objekt interaguje s vnějším prostředím pomocí vstupů a výstupů. Vstupy jsou možné dopady na objekt, výstupy jsou signály, které lze měřit. Například u elektromotoru mohou být vstupy napájecí napětí a zátěž a výstupy

– rychlost otáčení hřídele, teplota.

Vstupy jsou nezávislé, „pocházejí“ z vnějšího prostředí. Když se změní informace na vstupu, vnitřní stav objektu(tak se nazývají jeho měnící se vlastnosti) a v důsledku toho výstupy:

To znamená, že existuje nějaké pravidlo, podle kterého prvek transformuje vstup x na výstup y. Toto pravidlo se nazývá operátor. Zápis y = U znamená, že výstup y je přijat

výsledek aplikace operátoru U na vstup x.

Sestavit model znamená najít operátora propojujícího vstupy a výstupy. S jeho pomocí můžete předvídat reakci objektu na jakýkoli vstupní signál.

Zvažte stejnosměrný elektromotor. Vstupem tohoto objektu je napájecí napětí (ve voltech), výstupem je rychlost otáčení (v otáčkách za sekundu). Budeme předpokládat, že při napětí 1 V je frekvence otáčení 1 otáčky za minutu a při napětí 2 V – 2 otáčky za minutu, to znamená, že frekvence otáčení se co do velikosti rovná napětí1. Je snadné vidět, že akci takového operátora lze zapsat do formuláře

U[ x] = x.

Nyní předpokládejme, že stejný motor otáčí kolem a jako výstup objektu jsme zvolili počet otáček kola vzhledem k výchozí poloze (v okamžiku t = 0). V tomto případě při rovnoměrné rotaci nám součin x ∆ t udává počet otáček za čas ∆ t, tedy y (t) = x ∆ t (zde označení y (t) jasně označuje závislost výkonu včas

ani t). Můžeme uvažovat, že jsme tímto vzorcem definovali operátor U? Zjevně ne, protože výsledná závislost platí pouze pro konstantní vstupní signál. Pokud se napětí na vstupu x(t) změní (je jedno jak!), úhel natočení bude zapsán jako integrál

1 Samozřejmě to bude platit pouze v určitém rozsahu napětí.

TEORIE AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

Poznámky k výuce

ÚVOD

Naučíte se:

· Co je teorie automatického řízení (TAC).

· Co je předmětem, předmětem a účelem studia TAU.

· Jaká je hlavní výzkumná metoda na TAU.

· Jaké místo má TAU mezi ostatními vědami.

· Jaká je historie TAU.

· Proč je studium TAU důležité?

· Jaké jsou současné trendy v automatizaci výroby.

Jaká je teorie automatického řízení?

Koncept TAU ​​shromažďuje pojmy obsažené v jeho názvu:

· teorie – soubor znalostí, který za určitých podmínek umožňuje získat spolehlivé výsledky

· řízení – dopad na předmět za účelem dosažení určitého cíle;

· automatické ovládání – ovládání bez zásahu člověka pomocí technických prostředků.

Proto

TAU– soubor znalostí, který umožňuje vytvářet a implementovat systémy automatického řízení procesů se specifikovanými vlastnostmi.

Co je předmětem, předmětem a účelem studia TAU?

Předmět studia TAU– automatický řídicí systém (ACS).

Předmět studia TAU– procesy probíhající v automatizovaném řídicím systému.

Účel studia TAU– zohlednění získaných znalostí v praktických činnostech při návrhu, výrobě, instalaci, uvádění do provozu a provozu automatizovaných řídicích systémů.

Hlavní výzkumná metoda na TAU.

Při studiu řídicích procesů v TAU abstrahují od fyzických a konstrukčních vlastností automatizovaného řídicího systému a namísto skutečných automatických řídicích systémů zvažují jejich adekvátní matematické modely. Proto hlavní výzkumná metoda na TAU je matematické modelování.

Místo TAU mezi ostatními vědami.

TAU tvoří spolu s teorií fungování prvků řídicího systému (snímače, regulátory, akční členy) širší vědní obor - automatizace. Automatizace je zase jednou ze sekcí technická kybernetika. Technická kybernetika studuje komplexní automatizované řídicí systémy pro technologické procesy (APCS) a podniky (APCS), budované pomocí řídicích elektronických počítačů.

Historie TAU.

První teoretické práce v oblasti automatického řízení se objevily na konci 19. století, kdy se v průmyslu rozšířily regulátory parních strojů a praktičtí inženýři se začali setkávat s obtížemi při navrhování a nastavování těchto regulátorů. V tomto období byla provedena řada studií, ve kterých byl parní stroj a jeho regulátor poprvé analyzovány matematickými metodami jako jeden dynamický systém.

Přibližně do poloviny 20. století se teorie regulátorů parních strojů a kotlů rozvíjela jako odvětví aplikované mechaniky. Současně byly vyvinuty metody pro analýzu a výpočty automatických zařízení v elektrotechnice. V letech 1940 až 1950 došlo k formování TAU v samostatnou vědeckou a pedagogickou disciplínu. V této době vycházejí první monografie a učebnice, ve kterých se jednotnými metodami uvažuje o automatických zařízeních různé fyzikální povahy.

V současné době hraje TAU spolu s nejnovějšími sekcemi tzv. obecné teorie řízení (operační výzkum, systémové inženýrství, teorie her, teorie front) důležitou roli při zlepšování a automatizaci řízení výroby.

Proč je studium TAU důležité?

Automatizace je jedním z hlavních směrů vědeckotechnického pokroku a důležitým prostředkem zvyšování efektivity výroby. Moderní průmyslová výroba je charakterizována nárůstem rozsahu a složitosti technologických procesů, zvýšením jednotkové kapacity jednotlivých jednotek a instalací, používáním intenzivních, vysokorychlostních režimů blízkých kritickým, zvyšujícími se požadavky na kvalitu výrobků, bezpečností personálu, zařízení a prostředí.

Ekonomický, spolehlivý a bezpečný provoz složitých technických objektů lze zajistit pouze těmi nejmodernějšími technickými prostředky, jejichž vývoj, výroba, instalace, uvedení do provozu a provoz je bez znalosti TAU nemyslitelný.

Moderní trendy v automatizaci výroby.

Moderní trendy v automatizaci výroby jsou:

- Široké používání počítačů pro ovládání;

- tvorba strojů a zařízení s vestavěnými mikroprocesorovými prostředky měření, řízení a regulace;

- přechod na decentralizované (distribuované) řídicí struktury s mikropočítači;

- implementace systémů člověk-stroj;

- použití vysoce spolehlivých technických prostředků;

- automatizovaný návrh řídicích systémů.

1. OBECNÉ ZÁSADY STAVBY ACS

Potkáš:

· Se základními pojmy a definicemi.

· Se strukturou ACS.

· S klasifikací ACS.

1.1. Základní pojmy a definice

Algoritmus pro fungování zařízení (systému)– soubor pokynů vedoucích ke správné implementaci technického procesu v zařízení nebo souboru zařízení (systému).

Například, elektrický systém– soubor zařízení, které zajišťují jednotu procesů výroby, přeměny, přenosu, distribuce a spotřeby elektrické energie při zajištění řady požadavků na provozní parametry (frekvence, napětí, výkon atd.). Elektrická soustava je navržena tak, aby za běžných provozních podmínek byly tyto požadavky splněny, tzn. Že jo byl proveden technický proces. V tomto případě fungující algoritmus elektrického systému je implementován v návrhu jeho základních zařízení (generátory, transformátory, elektrické vedení atd.) a ve specifickém obvodu pro jejich připojení.

Vnější okolnosti (dopady) však mohou narušit správnou funkci zařízení (systému). Například pro elektrický systém mohou být takové dopady: změny zatížení spotřebitelů elektrické energie, změny konfigurace elektrické sítě v důsledku spínání, zkraty, přerušení vodičů atd. Proto musí být na zařízení (systém) vyvíjeny speciální vlivy s cílem kompenzovat nežádoucí důsledky vnějších vlivů a provést operační algoritmus. V tomto ohledu se zavádějí následující pojmy:

Řídicí objekt (OU)– zařízení (systém), které provádí technický proces a vyžaduje speciálně organizované vnější vlivy k implementaci svého funkčního algoritmu.

Řídicími objekty jsou např. jak jednotlivá zařízení elektrizační soustavy (turbogenerátory, výkonové měniče elektrické energie, zátěže), tak elektrizační soustava jako celek.

Řídicí algoritmus– soubor instrukcí, které určují povahu vnějších vlivů na řídicí objekt, zajišťující jeho funkční algoritmus.

Příkladem regulačních algoritmů jsou algoritmy pro změnu buzení synchronního generátoru a proudění páry v jejich turbínách za účelem kompenzace nežádoucího vlivu změn zatížení spotřebiče na napěťové hladiny v uzlech elektrizační soustavy a frekvenci tohoto napětí. .

Řídicí zařízení (CU)– zařízení, které v souladu s řídicím algoritmem ovlivňuje řízený objekt.

Příklady řídicích zařízení jsou automatický regulátor buzení (AEC) a automatický regulátor otáček (ARCV) synchronního generátoru.

Automatický řídicí systém (ACS)– soubor vzájemně se ovlivňujících řídicích objektů a řídicích zařízení.

Takovým je například automatický budicí systém pro synchronní generátor, obsahující interagující ARV a samotný synchronní generátor.

Rýže. 1.1. Zobecněné blokové schéma automatizovaného řídicího systému

X( t) – kontrolované množství – fyzikální veličina charakterizující stav předmětu.

Řídicí objekt má často několik řízených veličin x 1 (t), x 2 (t)... x n (t), pak o tom mluví n-rozměrný vektor stavu objektu x(t) s výše uvedenými součástmi. Řídicí objekt se v tomto případě nazývá multidimenzionální.

Příklady řízených veličin v elektrickém systému jsou: proud, napětí, výkon, rychlost atd.

z o (t), z d (t) – respektive hlavní(působící na ovládací objekt ) a další ( působící na ovládací zařízení ) rušivé vlivy.

Příklady hlavního rušivého vlivu z o (t) jsou změny zatížení synchronního generátoru, teploty jeho chladícího média atd. a další rušivý vliv z d (t) – změna podmínek chlazení U U, napěťová nestabilita napájecích zdrojů U U a tak dále.

Rýže. 1.2. Struktura automatického řídicího systému

Rýže. 1.3. Funkční schéma automatizovaného řídicího systému

Algoritmická struktura (schéma) – struktura (schéma), která je souborem vzájemně propojených algoritmických vazeb a charakterizuje algoritmy pro převod informací do automatizovaných řídicích systémů.

přičemž

algoritmický odkaz- část algoritmické struktury automatizovaného řídicího systému, odpovídající konkrétnímu matematickému nebo logickému algoritmu převodu signálu.

Pokud algoritmické propojení provádí jednu jednoduchou matematickou nebo logickou operaci, pak je voláno základní algoritmický odkaz. V diagramech jsou algoritmické vazby reprezentovány obdélníky, uvnitř kterých jsou zapsány odpovídající operátory převodu signálu. Někdy jsou místo operátorů ve vzorcové formě uvedeny grafy závislosti výstupní hodnoty na vstupu nebo grafy přechodových funkcí.

Rozlišují se následující typy algoritmických odkazů:

· statický;

· dynamický;

· aritmetický;

· logický.

Statický odkaz -spoj, který okamžitě (bez setrvačnosti) převádí vstupní signál na výstupní signál.

Spojení mezi vstupními a výstupními signály statické linky je obvykle popsáno algebraickou funkcí. Mezi statické spoje patří různé převodníky bez setrvačnosti, například odporový dělič napětí. Obrázek 1.4a ukazuje konvenční obrázek statického spoje v algoritmickém diagramu.

Dynamický odkaz– spoj, který převádí vstupní signál na výstupní signál v souladu s operacemi integrace a diferenciace v čase.

Spojení mezi vstupními a výstupními signály dynamického spoje je popsáno obyčejnými diferenciálními rovnicemi.

Třída dynamických spojů zahrnuje prvky automatizovaného řídicího systému, které mají schopnost akumulovat jakýkoli typ energie nebo látky, například integrátor založený na elektrickém kondenzátoru.

Aritmetický odkaz– spoj, který provádí jednu z aritmetických operací: sčítání, odčítání, násobení, dělení.

Nejběžnější aritmetický spoj v automatizaci, spoj, který provádí algebraické sčítání signálů, se nazývá zmije.

Logický odkaz– odkaz, který provádí jakoukoli logickou operaci: logické násobení („AND“), logické sčítání („NEBO“), logickou negaci („NE“) atd.

Vstupní a výstupní signály logického spoje jsou obvykle diskrétní a jsou považovány za logické proměnné.

Obrázek 1.4 ukazuje konvenční obrázky elementárních algoritmických vazeb.

Obrázek 1.4. Konvenční obrázky elementárních algoritmických vazeb:

A– statické; b– dynamický; PROTI– aritmetika; G– logické

Konstrukční struktura (schéma) – struktura (diagram), odrážející konkrétní obvod, návrh a další návrh automatizovaného řídicího systému.

Strukturální schémata zahrnují: kinematická schémata zařízení, schémata zapojení a schémata elektrického zapojení atd. Protože se TAU zabývá matematickými modely automatizovaných řídicích systémů, jsou konstruktivní schémata mnohem méně zajímavá než schémata funkční a algoritmická.

1.3. Klasifikace ACS

Klasifikace automatizovaných řídicích systémů může být provedena podle různých principů a charakteristik, které charakterizují účel a konstrukci systémů, druh použité energie, použité řídicí a provozní algoritmy atd.

Podívejme se nejprve na klasifikaci automatizovaných řídicích systémů podle nejdůležitějších znaků pro teorii řízení, které charakterizují funkční algoritmus a řídicí algoritmus automatického řídicího systému.

V závislosti na povaze změny referenčního vlivu v čase ACS se dělí do tří tříd:

· stabilizace;

· software;

· sledování.

Stabilizační automatizovaný řídicí systém– systém, jehož provozní algoritmus obsahuje příkaz k udržení konstantní hodnoty regulované veličiny:

x(t) » x з = konst.(1.3)

Podepsat » znamená, že regulovaná veličina je udržována na dané úrovni s určitou chybou.

Stabilizační automatizované řídicí systémy jsou v průmyslové automatizaci nejrozšířenější. Používají se ke stabilizaci různých fyzikálních veličin, které charakterizují stav technologických objektů. Příkladem stabilizačního automatizovaného systému řízení je systém řízení buzení pro synchronní generátor (viz obr. 1.2).

Softwarový automatizovaný řídicí systém– systém, jehož provozní algoritmus obsahuje pokyn ke změně regulované veličiny v souladu s předem určenou časovou funkcí:

x(t) » x s (t) = f p (t).(1.4)

Příkladem softwarového automatizovaného řídicího systému je systém pro řízení činného výkonu zátěže synchronního generátoru v elektrárně během dne. Řízenou veličinou v systému je činný výkon zátěže R R z(vliv nastavení) je definován jako funkce času t během dne (viz obr. 1.5).

Rýže. 1.5. Zákon změny reference činného výkonu

Sledovací automatizovaný řídicí systém– systém, jehož provozní algoritmus obsahuje pokyn ke změně regulované veličiny v souladu s dříve neznámou funkcí času:

x(t) » x s (t) = f s (t).(1.5)

Příkladem sledovacího automatizovaného řídicího systému je systém pro řízení činného výkonu zátěže synchronního generátoru v elektrárně během dne. Řízenou veličinou v systému je činný výkon zátěže R generátor Zákon změny reference činného výkonu R z(vliv nastavení) určuje např. dispečer energetické soustavy a je nejistého charakteru v průběhu dne.

Při stabilizaci, programování a sledování automatizovaných řídicích systémů je cílem kontroly zajistit rovnost nebo blízkost regulované veličiny. x(t) na jeho nastavenou hodnotu x z (t). Takové řízení, prováděné s cílem udržet

x(t) » x з (t),(1.6)

volal nařízení.

Řídicí zařízení, které regulaci provádí, je tzv regulátor a samotný systém – regulační systém.

V závislosti na konfiguraci vlivového řetězce Existují tři typy automatizovaných řídicích systémů:

· s otevřeným okruhem vlivů (otevřený systém);

· s uzavřeným řetězcem vlivů (uzavřený systém);

· s kombinovaným řetězcem vlivů (kombinovaný systém).

Automatizovaný řídicí systém s otevřenou smyčkou– systém, ve kterém se neprovádí řízení regulované veličiny, tzn. vstupní vlivy jeho ovládacího zařízení jsou pouze vnější (hlavní a rušivé) vlivy.

Automatizované řídicí systémy s otevřenou smyčkou lze zase rozdělit do dvou typů:

· provádění kontroly v souladu se změnami pouze vlivu nastavení (obr. 1.6, a);

· provádění kontroly v souladu se změnami jak vlivů nastavení, tak rušivých vlivů (obr. 1.6, b).

Rýže. 2.1. Typy signálů

Při studiu automatizovaných řídicích systémů a jejich prvků řada standardní signály, volal typické dopady . Tyto dopady jsou popsány jednoduchými matematickými funkcemi a lze je snadno reprodukovat při studiu automatizovaných řídicích systémů. Využití standardních vlivů umožňuje sjednotit analýzu různých systémů a usnadňuje porovnávání jejich přenosových vlastností.

V TAU se nejčastěji používají následující typické efekty:

· stupňovitý;

· pulzní;

· harmonický;

· lineární.

Stupňovitý dopad– náraz, který se okamžitě zvýší z nuly na určitou hodnotu a poté zůstane konstantní (obr. 2.2, a).

Rýže. 2.2. Typy typických dopadů

Podle povahy změny výstupní hodnoty v čase Rozlišují se následující režimy prvku ACS:

· statický;

· dynamický.

Statický režim– stav prvku ACS, ve kterém se výstupní hodnota v čase nemění, tj. y(t) = konst.

Je zřejmé, že statický režim (neboli rovnovážný stav) může nastat pouze tehdy, když jsou vstupní vlivy v čase konstantní. Vztah mezi vstupními a výstupními veličinami ve statickém režimu popisují algebraické rovnice.

Dynamický režim– stav prvku ACS, ve kterém se vstupní veličina plynule mění v čase, tj. y(t) = var.

Dynamický režim nastává, když v prvku po uplatnění vstupního vlivu nastanou procesy nastolení daného stavu nebo dané změny výstupní hodnoty. Tyto procesy jsou obecně popsány diferenciálními rovnicemi.

Dynamické režimy se zase dělí na:

· nestálý (přechodný);

· stálý (kvazi-stálý).

Nestacionární (přechodný) režim– režim, který existuje od okamžiku, kdy se vstupní vliv začne měnit, až do okamžiku, kdy se výstupní hodnota začne měnit podle zákona tohoto vlivu.

Ustálený stav– režim, který nastane poté, co se výstupní hodnota začne měnit podle stejného zákona jako vstupní efekt, tj. nastane po skončení přechodného procesu.

V ustáleném stavu se prvek podrobí nucenému pohybu. Je zřejmé, že statický režim je speciálním případem ustáleného (vynuceného) režimu at x(t) = konst.

Koncepty" přechodný režim" A " ustálený stav» znázorněno grafy změn výstupní hodnoty y(t) se dvěma typickými vstupními vlivy x(t)(obr. 2.3). Hranice mezi přechodný A založeno režimů je znázorněn svislou tečkovanou čarou.

Rýže. 2.3. Přechodné a ustálené režimy při typických nárazech

2.3. Statické charakteristiky prvků

Přenosové vlastnosti prvků a systémů automatického řízení ve statickém režimu jsou popsány pomocí statických charakteristik.

Statická charakteristika prvku– závislost výstupní veličiny y prvek ze vstupu X

y = f(x) = y(x)(2.10)

v ustáleném statickém režimu.

Statická charakteristika konkrétního prvku může být specifikována v analytické formě (např. y = kx 2) nebo ve formě grafu (obr. 2.4).

Rýže. 2.4. Statická charakteristika prvku

Vztah mezi vstupními a výstupními veličinami je zpravidla jednoznačný. Prvek s takovým spojením se nazývá statický (polohový) (obr. 2.5, A). Nejednoznačný prvek – astatický (obr. 2.5, b).

Rýže. 2.5. Typy statických charakteristik

Podle typu statických charakteristik se prvky dělí na:

· lineární;

· nelineární.

Čárový prvek– prvek, který má statickou charakteristiku v podobě lineární funkce (obr. 2.6):

y = b + ax.(2.11)

Rýže. 2.6. Typy lineárních funkcí

Nelineární prvek– prvek s nelineární statickou charakteristikou.

Nelineární statická charakteristika se obvykle vyjadřuje analyticky ve formě mocninných funkcí, mocninných polynomů, zlomkových racionálních funkcí a složitějších funkcí (obr. 2.7).

Rýže. 2.7. Typy nelineárních funkcí

Nelineární prvky se zase dělí na:

· prvky s výrazně nelineární statickou charakteristikou;

· prvky s nevýznamně nelineární statickou charakteristikou;

Irelevantní nelineární statická charakteristika– charakteristika popsaná spojitou diferencovatelnou funkcí.

V praxi tato matematická podmínka znamená, že graf funkce y = f(x) by měl mít hladký tvar (obr. 2.5, A).V omezeném rozsahu změn vstupní hodnoty X taková charakteristika může být přibližně nahrazena (aproximována) lineární funkcí. Zavolá se přibližné nahrazení nelineární funkce lineární linearizace. Linearizace nelineární charakteristiky je legitimní, pokud se během činnosti prvku mění jeho vstupní hodnota v malém rozsahu kolem určité hodnoty. x = x 0.

V podstatě nelineární statická odezva– charakteristika popsaná funkcí, která má zlomy nebo nespojitosti.

Příkladem výrazně nelineární statické charakteristiky je charakteristika relé (obr. 2.5, Obr. PROTI), které když vstupní signál dosáhne X(proud ve vinutí relé) nějaké hodnoty x 1 změní výstupní signál y(napětí ve spínaném obvodu) z úrovně y 1 vyrovnat y 2. Nahrazení takové charakteristiky přímkou ​​s konstantním úhlem sklonu by vedlo k významný nesoulad mezi matematickým popisem prvku a skutečným fyzikálním procesem probíhajícím v prvku. V podstatě nelineární statickou charakteristiku proto nelze linearizovat.

Linearizaci hladkých (irelevantně nelineárních) statických charakteristik lze provést buď pomocí tečnou metodou nebo podle sekantová metoda .

Takže například linearizace pomocí tečné metody spočívá v rozšíření funkce y(x) v intervalu kolem určitého bodu x 0 do Taylorovy řady a následně s přihlédnutím k prvním dvěma podmínkám této řady:

y(x) » y(x 0) + y¢(x 0)(x – x 0),(2.12) kde y¢(x 0) – hodnota derivace funkce y(x) v daném bodě A se souřadnicemi x 0 A y 0.

Rýže. 2.8. Linearizace statické charakteristiky metodou tangens

Při analýze automatizovaných řídicích systémů je vhodné uvažovat lineární statické charakteristiky v odchylkách proměnných X A y z hodnot x 0 A y 0:

Dy = y - y 0 ; (2.13)

Dx = x - x 0 . (2.14)

Rýže. 2.9. Čtyřpólový obvod s lineárními prvky

Nelineární diferenciální rovnice– rovnice, ve které funkce Ф obsahuje součiny, podíly, mocniny atd. proměnných y(t), x(t) a jejich derivací.

Například jsou popsány přenosové vlastnosti čtyřsvorkové sítě s nelineárním rezistorem (obr. 2.10). nelineární diferenciální rovnice tvaru

0. (2.18)

Rýže. 2.10. Čtyřsvorkový obvod s nelineárním rezistorem

Fungovat F (diferenciální rovnice) zahrnuje také množství tzv parametry . Spojují argumenty dohromady ( y(t), y¢(t),… y (n) (t); x(t),...x (m) (t), t) a charakterizujte vlastnosti prvku z kvantitativní stránky. Například, parametry jsou tělesná hmotnost, činný odpor, indukčnost a kapacita vodiče atd.

Většina reálných prvků je popsána nelineárními diferenciálními rovnicemi, což výrazně komplikuje následnou analýzu automatizovaného řídicího systému. Proto se snaží přejít od nelineárních k lineárním rovnicím tvaru

Pro všechny reálné prvky je splněna podmínka m £ n.

Kurzy a 0, a 1 …a n A b 0, b 1 … b m v rovnici (2.19) se nazývají parametry. Někdy se parametry mění v průběhu času, pak je prvek volán nestacionární nebo s proměnlivými parametry . Taková je například čtyřterminová síť, jejíž schéma je na Obr. 2.10.

V dalších diskuzích však budeme uvažovat pouze prvky s trvalý parametry.

Pokud byla při sestavování lineární diferenciální rovnice linearizována statická charakteristika prvku, pak platí pouze pro okolí bodu linearizace a lze ji zapsat v odchylkách proměnných (2.13...2.16). Pro zjednodušení zápisu však budou odchylky proměnných v linearizované rovnici značeny stejnými symboly jako v původní nelineární rovnici, avšak bez symbolu D .

Nejdůležitější praktická výhoda lineární rovnice (2.19) je možnost použití princip superpozice, podle kterého změna výstupní hodnoty y(t), ke kterému dochází, když je prvek vystaven několika vstupním signálům xi(t), se rovná součtu změn výstupních veličin yi(t) způsobené každým signálem xi(t) samostatně (obr. 2.11).

Rýže. 2.11. Ilustrace principu superpozice

2.4.2. Časové charakteristiky

Diferenciální rovnice neposkytuje vizuální znázornění dynamických vlastností prvku, ale takovou reprezentaci poskytuje funkce y(t), tedy řešení této rovnice.

Stejná diferenciální rovnice však může mít mnoho řešení v závislosti na počátečních podmínkách a povaze vstupní akce x(t), což je nepohodlné při porovnávání dynamických vlastností různých prvků. Proto bylo rozhodnuto charakterizovat pouze tyto vlastnosti prvku jedenřešení diferenciální rovnice získané s nula počáteční podmínky a jedna z typický vlivy: jednokrokové, delta funkce, harmonické, lineární. Nejvizuálnější znázornění dynamických vlastností prvku je dáno jeho přechodová funkce h(t).

Přechodová funkce h(t) prvku– změna v čase výstupní hodnoty y(t) prvku při jednokrokové akci a nulových počátečních podmínkách.

Přechodovou funkci lze zadat:

· ve formě grafu;

· v analytické formě.

Přechodová funkce, jako každé řešení nehomogenní (s pravou stranou) diferenciální rovnice (2.19), má dvě složky:

· vynucené h v (t) (rovná se ustálené hodnotě výstupní veličiny);

· volné h s (t) (řešení homogenní rovnice).

Vynucenou složku lze získat řešením rovnice (2.19) s nula deriváty a x(t) = 1

(2.20)

Volnou složku získáme řešením rovnice (2.19) at nula pravá strana

h s (t) =(2.21)

Kde p k – k-tá odmocnina charakteristické rovnice(obecně komplexní číslo); S k - k-tou konstantou integrace(závisí na počátečních podmínkách).

Charakteristická rovnice– algebraická rovnice, jejíž stupeň a koeficienty se shodují s řádem a koeficienty levé strany lineární diferenciální rovnice tvaru (2.19)

a 0 p n + a 1 p n –1 +…+ a n = 0.(2.22)

2.4.3. Přenosová funkce

Nejběžnější metodou pro popis a analýzu systémů automatického řízení je operační metoda (metoda operačního počtu), která je založena na přímé integrální Laplaceově transformaci pro spojité funkce.

F(p) = Z{ f(t)} = f(t) e -pt dt . (2.23)

Tato transformace zakládá korespondenci mezi funkcí reálné proměnné t a funkce komplexní proměnné p = a + jb. Funkce f(t), obsažený v Laplaceově integrálu (2.23) se nazývá originál, a výsledkem integrace je funkce F(p) – obraz funkcí f(t) podle Laplacea.

Transformace je možná pouze pro funkce, které jsou stejné nula na t< 0. Formálně je tato podmínka v TAU zajištěna násobením funkce f(t) funkce na jednotku kroku 1 (t) nebo výběrem začátku počítání času od okamžiku, do kterého f(t) = 0.

Nejdůležitější vlastnosti Laplaceovy transformace pro nula počáteční podmínky jsou:

Z{ f¢(t)} = pF(p);(2.24)

Z{ f(t)dt} = F(p)/p.(2.25)

Operační metoda v TAU se rozšířila, protože se používá k určení tzv přenosová funkce, což je nejkompaktnější forma popisu dynamických vlastností prvků a systémů.

Aplikací přímé Laplaceovy transformace na diferenciální rovnici (2.19) pomocí vlastnosti (2.24) získáme algebraickou rovnici

D(p)Y(p) = K(p)X(p),(2.26)

D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 +…+ a n - vlastní provozovatel; (2.27)

K(p) = b 0 p m + b 1 p m-1 +…+ b m - vstupní operátor. (2.28)

Představme si pojem přenosová funkce.

Přenosová funkce– poměr obrazu výstupní veličiny k obrazu vstupní veličiny při nulových počátečních podmínkách:

(2.29)

Potom, vezmeme-li v úvahu rovnici (2.26) a zápis (2.27, 2.28), výraz pro přenosovou funkci má tvar:

(2.30)

Proměnná hodnota p, W(p) jde do nekonečna, tzv pól přenosové funkce . Je zřejmé, že póly jsou kořeny správného operátora D(p).

Proměnná hodnota p, při které přenosová funkce W(p) jde na nulu, zavolal nulová přenosová funkce . Je zřejmé, že nuly jsou kořeny vstupního operátoru K(p).

Pokud koeficient a 0¹ 0, pak přenosová funkce nemá nulový pól ( p = 0), prvek jím charakterizovaný se nazývá astatický a přenosová funkce tohoto prvku at p = 0 (t = ¥) rovná koeficient přenosu

(2.31)

2.4.4. Kmitočtové charakteristiky

Kmitočtové charakteristiky popisují přenosové vlastnosti prvků a systémů automatického řízení v režimu ustálených harmonických kmitů způsobených vnějším harmonickým vlivem. Uplatnění nacházejí v TAU, protože skutečné poruchy, a tedy reakce prvku nebo automatického řídicího systému na ně, mohou být reprezentovány jako součet harmonických signálů.

Uvažujme podstata A odrůd frekvenční charakteristiky. Nechte zadání lineárního prvku (obr. 2.12, A) v daném okamžiku t = 0 aplikovaný harmonický vliv s frekvencí w

x(t) = x m sinw t. (2.32)

Rýže. 2.12. Diagram a křivky vysvětlující podstatu frekvenčních charakteristik

Po dokončení procesu přechodu bude nastaven režim nucené oscilace a výstupní hodnota y(t) se změní podle stejného zákona jako vstup x(t), ale v obecném případě s jinou amplitudou y m a s fázovým posunem j podél časové osy vzhledem ke vstupnímu signálu (obr. 2.12, b):

y(t) = y m sin(w t + j) . (2.33)

Po provedení podobného experimentu, ale s jinou frekvencí w, je vidět, že amplituda y m a fázový posun j se změnily, tj. závisí na frekvenci. Můžete se také ujistit, že pro jiný prvek jsou parametry závislé y m A j z frekvence w ostatní. Proto mohou takové závislosti sloužit jako charakteristiky dynamických vlastností prvků.

V TAU se nejčastěji používají následující frekvenční charakteristiky:

· amplitudově frekvenční odezva (AFC);

· fázová frekvenční odezva (PFC);

· amplitudově-fázová frekvenční odezva (APFC).

Amplitudová frekvenční odezva (AFC)– závislost poměru amplitud výstupního a vstupního signálu na frekvenci

Frekvenční odezva ukazuje, jak prvek přenáší signály různých frekvencí. Příklad frekvenční odezvy je na Obr. 2.13, A.

Rýže. 2.13. Frekvenční charakteristiky:

A - amplituda; b– fáze; PROTI– amplituda-fáze; g – logaritmické

Fázová frekvenční odezva– závislost fázového posunu mezi vstupními a výstupními signály na frekvenci.

Charakteristika fázové odezvy ukazuje, jak velké zpoždění nebo předstih výstupního signálu ve fázi prvek vytváří při různých frekvencích. Příklad fázové odezvy je na Obr. 2.13, b.

Amplitudové a fázové charakteristiky lze kombinovat do jedné společné - amplitudově-fázová frekvenční odezva (APFC). AFC je funkcí komplexní proměnné jw :

W(jw) = A(w) e j j (w) (exponenciální forma), (2,35)

Kde A(w)– funkční modul; j(w)– argument funkce.

Každá hodnota pevné frekvence w i odpovídá komplexnímu číslu W(jw i), který na komplexní rovině může být reprezentován vektorem o délce A(w i) a úhel natočení j(wi)(obr. 2.13, PROTI). Záporné hodnoty j(w), odpovídající zpoždění výstupního signálu od vstupního signálu, se obvykle počítá ve směru hodinových ručiček od kladného směru reálné osy.

Při změně frekvence z nuly na nekonečno