Tečna ke kruhu. Kompletní lekce - Znalostní hypermarket. Tečná přímka Co je tečný úhel

1. Vzdálenost od středu kruhu k přímce je větší než poloměr. V tomto případě leží všechny body přímky mimo kružnici.


2. Vzdálenost od středu kruhu k přímce je menší než poloměr. V tomto případě má přímka body ležící uvnitř kružnice a protože přímka je v obou směrech nekonečná, protíná ji kružnice ve 2 bodech.


3. Vzdálenost od středu kruhu k přímce se rovná poloměru. Přímka je tečnou.

Říká se přímka, která má s kružnicí společný pouze jeden bod tečna do kruhu.

Společný bod se v tomto případě nazývá kontaktní místo.

Možnost existence tečny, a navíc protažené kterýmkoli bodem kružnice jako bod tečnosti, dokazuje následující věta.

Teorém. Pokud je přímka na svém konci ležícím na kružnici kolmá k poloměru, pak je tato přímka tečnou.

Nechť O (obr.) je střed nějaké kružnice a OA nějaký její poloměr. Přes jeho konec A vedeme MN ^ OA.

Je požadováno prokázat, že přímka MN je tečnou, tzn. že tato přímka má pouze jeden společný bod A s kružnicí.

Předpokládejme opak: nechť má MN další společný bod s kružnicí, například B.

Pak by přímka OB byla poloměrem a tedy rovna OA.

Ale to nemůže být, protože pokud je OA kolmá, pak OB musí být nakloněna k MN a nakloněná je větší než kolmice.

Konverzní teorém. Pokud je přímka tečnou ke kružnici, pak poloměr nakreslený k bodu tečnosti je na ni kolmý.

Nechť MN je tečnou ke kružnici, A bod tečnosti a O střed kružnice.

Vyžaduje se prokázat, že OA^MN.

Předpokládejme opak, tj. Předpokládejme, že kolmice pokleslá z O na MN nebude OA, ale nějaká jiná úsečka, například OB.

Vezměme BC = AB a provedeme OS.

Pak budou OA a OS nakloněny, stejně vzdálené od kolmého OB, a tedy OS = OA.

Z toho plyne, že kružnice s přihlédnutím k našemu předpokladu bude mít s přímkou ​​MN dva společné body: A a C, tzn. MN nebude tečna, ale sečna, což je v rozporu s podmínkou.

Následek. Prostřednictvím kteréhokoli daného bodu na kružnici lze nakreslit tečnu k této kružnici, a to pouze jednu, protože tímto bodem lze nakreslit kolmici, a to pouze jednu, k poloměru, který je do ní nakreslen.

Teorém. Tečna rovnoběžná s tětivou rozděluje oblouk podepsaný tětivou na polovinu v bodě dotyku.

Nechť se přímka AB (obr.) dotýká kružnice v bodě M a je rovnoběžná s tětivou CD.

Musíme dokázat, že ÈCM = ÈMD.

Zakreslením průměru ME bodem tečnosti získáme: EM ^ AB, a tedy EM ^ CB.

Proto CM=MD.

Úkol. Prostřednictvím daného bodu nakreslete tečnu k dané kružnici.

Pokud je daný bod na kružnici, nakreslete jím poloměr a koncem poloměru nakreslete kolmou přímku. Tato přímka bude požadovanou tečnou.

Uvažujme případ, kdy je bod dán mimo kružnici.

Nechť je požadováno (obr.) nakreslit tečnu ke kružnici se středem O přes bod A.

Za tímto účelem opíšeme z bodu A jako středu oblouk s poloměrem AO a z bodu O jako středu tento oblouk protneme v bodech B a C s otvorem kompasu, který se rovná průměru dané kružnice. .

Po nakreslení tětiv OB a OS spojíme bod A s body D a E, ve kterých se tyto tětivy protínají s danou kružnicí.

Přímky AD a AE jsou tečné ke kružnici O.

Z konstrukce je totiž zřejmé, že trubky AOB a AOC jsou rovnoramenné (AO = AB = AC) se základnami OB a OS rovnými průměru kružnice O.

Protože OD a OE jsou poloměry, pak D je střed OB a E je střed OS, což znamená, že AD a AE jsou mediány tažené k základnám rovnoramenných trubek, a tedy kolmé k těmto základnám. Pokud jsou přímky DA a EA kolmé k poloměrům OD a OE, pak jsou tečné.

Následek. Dvě tečny nakreslené z jednoho bodu do kruhu jsou stejné a svírají stejné úhly s přímkou ​​spojující tento bod se středem.

Takže AD=AE a ÐOAD = ÐOAE (obr.), protože obdélníkové tr-ki AOD a AOE, které mají společnou přeponu AO a stejné nohy OD a OE (jako poloměry), jsou stejné.

Všimněte si, že zde slovo „tečna“ znamená skutečný „tečný segment“ z daného bodu do bodu dotyku.

Úkol. Nakreslete tečnu k dané kružnici O rovnoběžné s danou přímkou ​​AB (obr.).

Spustíme kolmici OS k AB ze středu O a přes bod D, ve kterém tato kolmice protíná kružnici, nakreslíme EF || AB.

Tangenta, kterou hledáme, bude EF.

Skutečně, protože OS ^ AB a EF || AB, pak EF ^ OD a přímka kolmá k poloměru na jejím konci ležícím na kružnici je tečnou.

Úkol. Nakreslete společnou tečnu ke dvěma kružnicím O a O 1 (obr.).

Analýza. Předpokládejme, že problém je vyřešen.

Nechť AB je společná tečna, A a B tečné body.

Je zřejmé, že pokud najdeme jeden z těchto bodů, například A, pak snadno najdeme i druhý.

Nakreslete poloměry OA a O 1 B. Tyto poloměry, které jsou kolmé na společnou tečnu, jsou navzájem rovnoběžné.

Pokud tedy z O 1 čerpáme O 1 C || BA, pak bude potrubí OCO 1 ve vrcholu C obdélníkové.

V důsledku toho, když popíšeme kružnici z O jako střed s poloměrem OS, pak se bude dotýkat přímky O 1 C v bodě C.

Poloměr této pomocné kružnice je znám: je roven OA – CA = OA - O 1 B, tzn. rovná se rozdílu poloměrů těchto kružnic.

Konstrukce. Ze středu O opíšeme kružnici s poloměrem rovným rozdílu těchto poloměrů.

Z O 1 vedeme k této kružnici tečnu O 1 C (způsobem naznačeným v předchozí úloze).

Přes tečný bod C narýsujeme poloměr OS a pokračujeme v něm, dokud nenarazí na danou kružnici v bodě A. Nakonec z A vedeme AB rovnoběžně s CO 1.

Úplně stejným způsobem můžeme sestrojit další společnou tečnu A 1 B 1 (obr.). Volají se přímé linky AB a A 1 B 1 externí společné tečny.

Můžete utratit ještě dva vnitřní tečny takto:

Analýza. Předpokládejme, že je problém vyřešen (obr.). Nechť AB je požadovaná tečna.

Nakreslete poloměry OA a O 1 B k tečným bodům A a B. Protože jsou oba tyto poloměry kolmé na společnou tečnu, jsou vzájemně rovnoběžné.

Pokud tedy z O 1 čerpáme O 1 C || BA a pokračujte OA do bodu C, poté bude OS kolmý k O 1 C.

V důsledku toho se kružnice popsaná poloměrem OS z bodu O jako středu dotkne přímky O 1 C v bodě C.

Poloměr této pomocné kružnice je znám: je roven OA+AC = OA+O 1 B, tzn. rovná se součtu poloměrů daných kružnic.

Konstrukce. Z O jako středu opíšeme kružnici s poloměrem rovným součtu těchto poloměrů.

Z O 1 vedeme k této kružnici tečnu O 1 C.

Kontaktní bod C spojíme s O.

Nakonec bodem A, ve kterém OS protíná danou kružnici, vedeme AB = O 1 C.

Podobným způsobem můžeme sestrojit další vnitřní tečnu A 1 B 1.

Obecná definice tečny

Nechť tečnu AT a nějakou sečnu AM vedeme bodem A ke kružnici se středem (obr.).

Otočme tuto sečnu kolem bodu A tak, aby se druhý průsečík B pohyboval stále blíže k A.

Potom se kolmice OD, snížená ze středu na sečnu, bude stále více přibližovat k poloměru OA a úhel AOD se může zmenšit než jakýkoli malý úhel.

Úhel MAT, který svírá sečna a tečna, je roven úhlu AOD (kvůli kolmosti jejich stran).

Proto, jak se bod B blíží A neomezeně, úhel MAT může být také libovolně malý.

To je vyjádřeno jinými slovy takto:

tečna je omezující poloha, ke které směřuje sečna vedená bodem tečnosti, když se druhý průsečík blíží k bodu tečnosti neomezeně.

Tato vlastnost je brána jako definice tečny, když mluvíme o jakékoli křivce.

Tečna ke křivce AB (obr.) je tedy mezní polohou MT, ke které směřuje sečna MN, když se průsečík P blíží M bez omezení.

Všimněte si, že takto definovaná tečna může mít více než jeden společný bod s křivkou (jak je vidět na obr.).

Přímo ( MN), který má pouze jeden společný bod s kružnicí ( A), volal tečna do kruhu.

Společný bod se v tomto případě nazývá kontaktní místo.

Možnost existence tečna a navíc protažený jakýmkoliv bodem kruh, jako tečný bod, se prokazuje následovně teorém.

Nechť je požadováno provést kruh se středem Ó tečna přes bod A. Chcete-li to udělat od bodu A, jako od středu, popisujeme oblouk poloměr A.O. a od věci Ó, jako střed tento oblouk v bodech protneme B A Sřešení kompasu rovnající se průměru daného kruhu.

Po utracení pak akordy O.B. A OS, spojte tečku A s tečkami D A E, při kterém se tyto tětivy protínají s danou kružnicí. Přímo INZERÁT A A.E. - tečny ke kružnici Ó. Ostatně z konstrukce je to jasné trojúhelníky AOB A AOC rovnoramenný(AO = AB = AC) se základnami O.B. A OS, rovný průměru kruhu Ó.

Protože O.D. A O.E.- tedy poloměry D - střední O.B., A E- střední OS, znamená INZERÁT A A.E. - mediány, tažené k základnám rovnoramenných trojúhelníků, a tedy k těmto základnám kolmé. Pokud rovnou D.A. A E.A. kolmo na poloměry O.D. A O.E., potom oni - tečny.

Následek.

Dvě tečny nakreslené z jednoho bodu do kruhu jsou stejné a svírají stejné úhly s přímkou ​​spojující tento bod se středem.

Tak AD=AE a ∠ OAD = ∠OAE protože pravoúhlé trojúhelníky AOD A AOE, mající společný přepona A.O. a rovná se nohy O.D. A O.E.(jako poloměry) jsou stejné. Všimněte si, že zde slovo „tangens“ ve skutečnosti znamená „ tečný segment“ z daného bodu do bodu kontaktu.

Přímka, která má pouze jeden společný bod s kružnicí, se nazývá tečna ke kružnici a jejich společný bod se nazývá tečný bod přímky a kružnice.

Věta (vlastnost tečny ke kružnici)

Tečna ke kružnici je kolmá k poloměru nakreslenému k bodu tečnosti.

Dáno

A – kontaktní místo

Dokázat:p OA

Důkaz.

Dokažme to kontradikcí.

Předpokládejme, že p je OA, pak OA je nakloněna k přímce p.

Vedeme-li z bodu O kolmici OH k přímce p, pak její délka bude menší než poloměr: OH< ОА=r

Zjistíme, že vzdálenost od středu kružnice k přímce p (OH) je menší než poloměr (r), což znamená, že přímka p je sečná (to znamená, že má s kružnicí dva společné body), což odporuje podmínkám věty (p je tečna).

To znamená, že předpoklad je nesprávný, proto je přímka p kolmá na OA.

Věta (Vlastnost tečných segmentů nakreslených z jednoho bodu)

Úseky tečen ke kružnici nakreslené z jednoho bodu jsou stejné a svírají stejné úhly s přímkou ​​procházející tímto bodem a středem kružnice.

Dáno: Cca. (Nebo)

AB a AC jsou tečny k okolí. (Nebo)

Dokázat: AB=AC

Důkaz

1) OB AB, OS AC, jako poloměry nakreslené k bodu tečnosti (vlastnost tečny)

2) Uvažujme tr. AOB atd. AOS – p/u

JSC – generál

OB=OS (jako poloměry)

To znamená ABO = AOC (podle přepony a nohy). Proto,

AB = AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Věta (tangenciální test)

Prochází-li přímka koncem poloměru ležícího na kružnici a je k tomuto poloměru kolmá, pak je tečnou.

Dáno: OA – poloměr kružnice

Dokázat: p- tečna ke kružnici

Důkaz

OA – poloměr kruhu (podle podmínky) (OA=r)

OA – kolmá z O na přímku p (OA = d)

To znamená r=OA=d, což znamená, že přímka p a kružnice mají jeden společný bod.

Proto je přímka p tečnou ke kružnici. atd.

3.Vlastnosti akordů a sečen.

Vlastnosti tečny a sečny

DEFINICE

Obvod je těžiště bodů stejně vzdálených od jednoho bodu, který se nazývá střed kružnice.

Úsečka spojující dva body na kružnici se nazývá akord(na obrázku se jedná o segment). Tětiva procházející středem kruhu se nazývá průměr kruhy.

1. Tečna je kolmá na poloměr nakreslený k bodu dotyku.

2. Tečné segmenty nakreslené z jednoho bodu jsou stejné.

3. Vedeme-li tečnu a sečnu z bodu ležícího mimo kružnici, pak se druhá mocnina délky tečny rovná součinu sečny a její vnější části.

Nejčastěji jsou to geometrické úlohy, které způsobují uchazečům, absolventům a účastníkům matematických olympiád potíže. Když se podíváte na statistiky Jednotné státní zkoušky 2010, můžete vidět, že asi 12 % účastníků začalo s geometrickým problémem C4 a pouze 0,2 % účastníků získalo plné skóre a obecně se problém ukázal jako nejobtížnější ze všech navrhovaných.

Je zřejmé, že čím dříve školákům nabídneme krásné nebo nečekané způsoby řešení problémů, tím větší je pravděpodobnost, že je zaujmeme a zaujmeme vážně a na dlouhou dobu. Ale jak těžké je najít zajímavé a složité problémy na úrovni 7. třídy, když systematické studium geometrie teprve začíná. Co lze nabídnout studentovi se zájmem o matematiku, který zná pouze znaménka, že trojúhelníky se rovnají, a vlastnosti sousedních a svislých úhlů? Nicméně, jeden může představit pojetí tečny ke kružnici, jako přímka, která má jeden společný bod s kružnicí; předpokládejme, že poloměr nakreslený k bodu dotyku je kolmý na tečnu. Samozřejmě stojí za zvážení všechny možné případy uspořádání dvou kružnic a společných tečen k nim, které lze kreslit od nuly do čtyř. Prokázáním níže navržených teorémů můžete výrazně rozšířit soubor problémů pro sedmáky. Zároveň dokažte důležitá nebo jednoduše zajímavá a zábavná fakta. Vzhledem k tomu, že řada výroků není obsažena ve školní učebnici, lze je navíc probrat v kruhové výuce a s maturanty při opakování planimetrie. Tyto skutečnosti se ukázaly být relevantní v minulém akademickém roce. Protože mnohé diagnostické práce i samotná práce Jednotné státní zkoušky obsahovaly problém, k jehož řešení bylo nutné využít níže prokázané vlastnosti tečného segmentu.

T 1 Segmenty tečen ke kružnici nakreslené z
rovná jednomu bodu (obr. 1)

Toto je teorém, který můžete nejprve představit žákům sedmé třídy.
V procesu dokazování jsme použili znaménko rovnosti pravoúhlých trojúhelníků a dospěli jsme k závěru, že střed kruhu leží na sečině úhlu BSA.
Cestou jsme si vzpomněli, že osou úhlu je těžiště bodů ve vnitřní oblasti úhlu, stejně vzdálených od jeho stran. Řešení zdaleka ne triviálního problému je založeno na těchto faktech, přístupných i těm, kteří teprve začínají studovat geometrii.

1. Osy úhlu A, V A S konvexní čtyřúhelník abeceda protínají v jednom bodě. Paprsky AB A DC protínají v bodě E a paprsky
slunce A INZERÁT na místě F. Dokažte, že nekonvexní čtyřúhelník AECF součty délek protilehlých stran jsou stejné.

Řešení (obr. 2). Nechat O– průsečík těchto os. Pak O ve stejné vzdálenosti od všech stran čtyřúhelníku abeceda, to je
je střed kružnice vepsané do čtyřúhelníku. Podle teorému 1 platí následující rovnosti: AR = A.K., ER = E.P., F.T. = FK. Sečteme levou a pravou stranu člen po termínu a získáme správnou rovnost:

(AR + ER) + F.T. = (A.K. +FK) + E.P.; A.E. + (F.C. + C.T.) = A.F. + (EU + PC). Protože SVATÝ = RS, Že AE + F.C. = A.F. + EU, což bylo potřeba dokázat.

Uvažujme problém s neobvyklou formulací, k jehož řešení stačí znát větu 1 .

2. Je tam? n- trojúhelník, jehož strany jsou postupně 1, 2, 3, ..., n, do kterého lze vepsat kruh?

Řešení. Řekněme toto n-gon existuje. A 1 A 2 =1, …, A n-1 A n= n– 1,A n A 1 = n. B 1 , …, B n – odpovídající styčné body. Pak podle věty 1 A 1 B 1 = A 1 B n< 1, n – 1 < A n B n< n. Vlastností tečných segmentů A n B n= A n B n-1. Ale, A n B n-1< A n-1 A n= n – 1. Rozpor. Proto ne n- splňuje podmínky problému.

T 2 Součty protilehlých stran čtyřúhelníku popsaného o
kruhy jsou stejné (obr. 3)

Školáci zpravidla snadno dokážou tuto vlastnost popsaného čtyřúhelníku. Po prokázání věty 1 , jedná se o tréninkové cvičení. Tuto skutečnost můžeme zobecnit - součty stran opsaného sudého trojúhelníku, brané přes jednu stranu, se rovnají. Například pro šestiúhelník A B C D E Fže jo: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

Řešení (obr. 1). Protože čtyřúhelníky ABEF a ECDF jsou cyklické, pak podle věty 2 P ABEF = 2(AB + EF) a P ECDF = 2(CD + EF), podle podmínky

P ABEF – P ECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2p. AB – CD = p. AB = a + p.

Řešení (obr. 5). Podle věty 1 MV = MX a RS = RX. Proto obvod trojúhelníku AMR rovný součtu segmentů AB A AC. Nebo dvojitá tečna nakreslená k kružnici pro trojúhelník AMR . Hodnota úhlu MOP se měří polovinou úhlu VOS, která nezávisí na volbě bodu X.

Řešení (obr. 6). Metoda jedna (algebraická). Nechat AK = AN = x, Pak BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. AC = AN + NC, pak můžeme vytvořit rovnici pro x: b = x + (a – c + x). Kde .

Metoda dvě (geometrická). Podívejme se na schéma. Segmenty stejných tečen, brané jeden po druhém, se sčítají k půlobvodu
trojúhelník. Červená a zelená tvoří jednu stranu A. Pak segment, který nás zajímá x = p – a. Získané výsledky se samozřejmě shodují.

. Z

4. Najděte poloměr kružnice vepsané do pravoúhlého trojúhelníku s nohami a, b a přepona S. Řešení (obr. 8). T dobře, jak OMCN –čtverec, pak je poloměr vepsané kružnice roven tečnému segmentu CN. .

5. Dokažte, že tečné body vepsané a kružnice se stranou trojúhelníku jsou symetrické ke středu této strany.

Řešení (obr. 9). Všimněte si, že AK je tečný segment excircle pro trojúhelník ABC. Podle vzorce (2) . VM- úsečka tečna k kružnici pro trojúhelník ABC. Podle vzorce (1) . AK = VM, a to znamená, že body K a M ve stejné vzdálenosti od středu strany AB, Q.E.D.

6. Dvě společné vnější tečny a jedna vnitřní tečna jsou nakresleny ke dvěma kružnicím. Vnitřní tečna protíná vnější tečny v bodech A, B a dotýká se kružnic v bodech A 1 A V 1 . Dokázat to AA 1 = BB 1.

Řešení (obr. 10). Přestaň... Co se má rozhodnout? To je jen jiná formulace předchozího problému. Je zřejmé, že jeden z kruhů je vepsaný a druhý je kruhový pro určitý trojúhelník ABC. A segmenty AA 1 a BB 1 odpovídají segmentům AK A VMúkoly 5. Je pozoruhodné, že problém navržený na All-ruské olympiádě pro školáky v matematice je vyřešen takovým zjevným způsobem.

7. Strany pětiúhelníku v pořadí procházení jsou 5, 6, 10, 7, 8. Dokažte, že do tohoto pětiúhelníku nelze vepsat kružnici.

Řešení (obr. 11). Předpokládejme, že v pětiúhelníku ABCDE můžete napsat kruh. Navíc strany AB, PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM., CD, DE A EA jsou rovny 5, 6, 10, 7 a 8, označme postupně tečné body -. F, G, H, M A N. Nechte délku segmentu A.F. rovná X.

Pak B.F. = FD – A.F. = 5 – X = B.G.. G.C. = PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. – B.G. = = 6 – (5 – X) = 1 + X = CH. A tak dále: HD = DM = 9 – X; MĚ. = EN = X – 2, AN = 10 – X.

Ale, A.F. = AN. To je 10- X = X; X= 5. Avšak tečný segment A.F. nemůže mít stejnou stranu AB. Výsledný rozpor dokazuje, že do daného pětiúhelníku nelze vepsat kruh.

8. Kružnice je vepsána do šestiúhelníku, její strany v pořadí obcházení jsou 1, 2, 3, 4, 5. Najděte délku šesté strany.

Řešení. Samozřejmě můžeme označit tečný segment jako X, stejně jako v předchozí úloze, vytvořte rovnici a získejte odpověď. Ale mnohem efektivnější a efektivnější je použít poznámku k větě 2 : součty stran opsaného šestiúhelníku, brané střídavě, se rovnají.

Pak 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, Kde X– neznámá šestá strana, X = 3.

Řešení (obr. 12). Protože délky všech stran jsou celá čísla, jsou zlomkové části délek segmentů stejné BT, B.P., DM, DN, A.K. A NA. My máme NA + televize= 1 a zlomkové části délek segmentů NA A TBC jsou rovny. To je možné pouze tehdy, když NA + televize= 0,5. Podle teorému 1 VT + VR.
Prostředek, VR= 0,5. Všimněte si, že podmínka CD= 3 se ukázalo jako nevyzvednuté. Je zřejmé, že autoři problému předpokládali nějaké jiné řešení. Odpověď: 0,5.

10. Ve čtyřúhelníku ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5. Kruhy vepsané do trojúhelníků ABD A CBD dotkněte se segmentu BD v bodech M A N respektive. Najděte délku segmentu MN.

Řešení (obr. 13). MN = DN – DM. Podle vzorce (1) pro trojúhelníky DBA A DBC podle toho máme:

11. Do čtyřúhelníku abeceda můžete napsat kruh. Kruhy vepsané do trojúhelníků ABD A CBD mají rádiusy R A r respektive. Najděte vzdálenost mezi středy těchto kružnic.

Řešení (obr. 13). Protože podle podmínky čtyřúhelník abeceda vepsáno, teorémem 2 my máme: AB + DC = AD + BC. Využijme myšlenku řešení předchozího problému. . To znamená, že body dotyku kružnic se segmentem DM sladit se. Vzdálenost mezi středy kružnic je rovna součtu poloměrů. Odpovědět: R+r.

Ve skutečnosti bylo prokázáno, že stav je ve čtyřúhelníku abeceda můžete vepsat kruh, ekvivalentní podmínce - do konvexního čtyřúhelníku abeceda kruhy vepsané do trojúhelníků ABC A ADC dotýkat se navzájem. Opak je pravdou.

Navrhujeme dokázat tato dvě vzájemně inverzní tvrzení v následujícím problému, který lze považovat za zobecnění tohoto.

12. V konvexním čtyřúhelníku abeceda (rýže. 14) kružnice vepsané do trojúhelníků ABC A ADC dotýkat se navzájem. Dokažte, že kruhy vepsané do trojúhelníků ABD A BDC se také navzájem dotýkat.

13. V trojúhelníku ABC se stranami a, b A C na straně slunce označený bod D takže kruhy vepsané do trojúhelníků ABD A ACD dotkněte se segmentu INZERÁT v jednu chvíli. Najděte délku segmentu BD.

Řešení (obr. 15). Aplikujme vzorec (1) pro trojúhelníky ADC A A.D.B., počítání DM dva

Ukázalo se, D– bod dotyku se stranou slunce kruh vepsaný do trojúhelníku ABC. Opak je pravdou: pokud je vrchol trojúhelníku spojen s tečným bodem kružnice vepsané na opačné straně, pak se kružnice vepsané do výsledných trojúhelníků navzájem dotýkají.

14. Střediska O 1 , O 2 a O 3 tři neprotínající se kružnice o stejném poloměru jsou umístěny ve vrcholech trojúhelníku. Z bodů O 1 , O 2 , O 3 jsou tečny k těmto kružnicím nakresleny tak, jak je znázorněno na obrázku.

Je známo, že tyto tečny, které se protínají, tvořily konvexní šestiúhelník, jehož strany jsou natřeny červenou a modrou barvou. Dokažte, že součet délek červených segmentů se rovná součtu délek modrých.

Řešení (obr. 16). Je důležité pochopit, jak využít skutečnost, že dané kružnice mají stejné poloměry. Všimněte si, že segmenty BR A DM jsou si rovny, což vyplývá z rovnosti pravoúhlých trojúhelníků O 1 BR A Ó 2 B.M.. Rovněž D.L. = D.P., FN = FK. Přičteme rovnosti člen po členu a poté od výsledných součtů odečteme stejné segmenty tečen nakreslených z vrcholů A, S, A Ešestiúhelník A B C D E F: AR A A.K., C.L. A CM., EN A E.P.. Dostáváme, co potřebujeme.

Zde je příklad problému ve stereometrii, navržený na XII. mezinárodním matematickém turnaji pro středoškoláky „Pohár na památku A. N. Kolmogorova“.

16. Je dána pětiboká pyramida SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Existuje koule w, který se dotýká všech okrajů pyramidy a další koule w 1, který se dotýká všech stran základny A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 a pokračování postranních žeber SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5 za vrcholy základny. Dokažte, že vrchol pyramidy je ve stejné vzdálenosti od vrcholů základny. (Berlov S. L., Karpov D. V.)

17. Jednotná státní zkouška. Diagnostické práce 8.12.2009, P–4. Daný lichoběžník abeceda, jehož základem př. n. l. = 44,INZERÁT = 100, AB = CD= 35. Kružnice tečná k přímkám INZERÁT A A.C., dotýká se strany CD na místě K. Najděte délku segmentu CK.BDC a BDA, dotkněte se stran ВD v bodech E A F. Najděte délku segmentu E.F..

Řešení. Jsou možné dva případy (obr. 20 a obr. 21). Pomocí vzorce (1) zjistíme délky segmentů DE A DF.

V prvním případě INZERÁT = 0,1AC, CD = 0,9A.C.. Ve druhém - INZERÁT = 0,125AC, CD = 1,125A.C.. Dosadíme data a dostaneme odpověď: 4.6 nebo 5.5.

Problémy k samostatnému řešení/

1. Obvod rovnoramenného lichoběžníku opsaného kolem kruhu je roven 2 rub. Najděte průmět úhlopříčky lichoběžníku na větší základnu. (1/2r)

2. Otevřená banka úloh jednotné státní zkoušky z matematiky. AT 4. Do kruhu vepsaného do trojúhelníku ABC (obr. 22), jsou nakresleny tři tečny. Obvody řezaných trojúhelníků jsou 6, 8, 10. Najděte obvod tohoto trojúhelníku. (24)

3. Do trojúhelníku ABC kruh je napsán. MN – tečnou ke kruhu, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Najděte obvod trojúhelníku MNC. (12)

4. Tečna je nakreslena ke kružnici vepsané do čtverce o straně a, která protíná jeho dvě strany. Najděte obvod vyříznutého trojúhelníku. (A)

5. Kruh je vepsán do pětiúhelníku se stranami A, d, C, d A E. Najděte segmenty, na které tečný bod rozděluje stejnou stranu A.

6. Do trojúhelníku o stranách 6, 10 a 12 je vepsána kružnice. Ke kružnici je nakreslena tečna tak, že protíná dvě dlouhé strany. Najděte obvod vyříznutého trojúhelníku. (16)

7. CD– medián trojúhelníku ABC. Kruhy vepsané do trojúhelníků ACD A BCD, dotkněte se segmentu CD v bodech M A N. Nalézt MN, Pokud AC – slunce = 2. (1)

8. V trojúhelníku ABC se stranami a, b A C na straně slunce označený bod D. Na kruhy vepsané do trojúhelníků ABD A ACD, je nakreslena společná tečna protínající se INZERÁT na místě M. Najděte délku segmentu DOPOLEDNE. (Délka DOPOLEDNE nezávisí na poloze bodu D A
rovná ½ ( c + b – a))

9. Kruh o poloměru je vepsán do pravoúhlého trojúhelníku A. Poloměr kružnice tečné k přeponě a prodloužení nohou je roven R. Najděte délku přepony. ( R–a)

10. V trojúhelníku ABC délky stran jsou známé: AB = S, AC = b, slunce = A. Kruh vepsaný do trojúhelníku se dotýká strany AB na místě C 1. Kružnice je tečnou k prodloužení strany AB za bod A na místě C 2. Určete délku segmentu C 1 C 2. (b)

11. Najděte délky stran trojúhelníku dělené tečným bodem kružnice vepsané o poloměru 3 cm na úsečky 4 cm a 3 cm (7, 24 a 25 cm v pravoúhlém trojúhelníku)

12. Sorosova olympiáda 1996, 2. kolo, 11. tř. Daný trojúhelník ABC, na jejichž stranách jsou vyznačeny body A1, B1, C1. Poloměry kružnic vepsaných do trojúhelníků AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1 rovný v r. Poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku A 1 B 1 C 1 rovná se R. Najděte poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku ABC. (R +r).

Úlohy 4–8 jsou převzaty z knihy problémů Gordina R.K. Planimetrie." Moskva. Vydavatelství MCNMO. 2004.

Pojem tečna ke kružnici

Kruh má tři možné relativní polohy vzhledem k přímce:

Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce menší než poloměr, pak má přímka dva průsečíky s kružnicí.

Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce rovna poloměru, pak přímka má dva průsečíky s kružnicí.

Pokud je vzdálenost od středu kruhu k přímce větší než poloměr, pak má přímka dva průsečíky s kružnicí.

Představme si nyní pojem tečna ke kružnici.

Definice 1

Tečna ke kružnici je přímka, která má s ní jeden průsečík.

Společný bod kružnice a tečny se nazývá bod tečnosti (obrázek 1).

Obrázek 1. Tečna ke kružnici

Věty týkající se pojmu tečna ke kružnici

Věta 1

Věta o vlastnosti tečny: tečna ke kružnici je kolmá k poloměru nakreslenému k bodu tečnosti.

Důkaz.

Uvažujme kruh se středem $O$. Nakreslete tečnu $a$ v bodě $A$. $OA=r$ (obr. 2).

Dokažme, že $a\bot r$

Větu dokážeme kontradikcí. Předpokládejme, že tečna $a$ není kolmá na poloměr kružnice.

Obrázek 2. Ilustrace věty 1

To znamená, že $OA$ je nakloněno k tečně. Protože kolmice k přímce $a$ je vždy menší než kolmice ke stejné přímce, je vzdálenost od středu kružnice k přímce menší než poloměr. Jak víme, v tomto případě má přímka dva průsečíky s kružnicí. Což odporuje definici tečny.

Proto je tečna kolmá na poloměr kružnice.

Věta byla prokázána.

Věta 2

Konverze věty o vlastnosti tečny: Pokud je přímka procházející koncem poloměru kružnice kolmá k poloměru, pak je tato přímka tečnou k této kružnici.

Důkaz.

Podle podmínek úlohy máme, že poloměr je kolmice vedená ze středu kružnice k dané přímce. Vzdálenost od středu kruhu k přímce je tedy rovna délce poloměru. Jak víme, v tomto případě má kružnice pouze jeden průsečík s touto přímkou. Podle definice 1 zjistíme, že tato přímka je tečnou ke kružnici.

Věta byla prokázána.

Věta 3

Úseky tečen ke kružnici nakreslené z jednoho bodu jsou stejné a svírají stejné úhly s přímkou ​​procházející tímto bodem a středem kružnice.

Důkaz.

Nechť je dána kružnice se středem v bodě $O$. Z bodu $A$ (který leží na celé kružnici) jsou nakresleny dvě různé tečny. Z bodu dotyku $B$ a $C$ (obr. 3).

Dokažme, že $\úhel BAO=\úhel CAO$ a že $AB=AC$.

Obrázek 3. Ilustrace věty 3

Podle věty 1 máme:

Proto jsou trojúhelníky $ABO$ a $ACO$ pravoúhlé. Protože $OB=OC=r$ a přepona $OA$ je společná, pak jsou tyto trojúhelníky stejné v přeponě a větvi.

Dostaneme tedy $\úhel BAO=\úhel CAO$ a $AB=AC$.

Věta byla prokázána.

Příklad úlohy o pojmu tečna ke kružnici

Příklad 1

Je dána kružnice se středem v bodě $O$ a poloměrem $r=3\cm$. Tečna $AC$ má bod tečnosti $C$. $AO=4\ cm$. Najděte $AC$.

Řešení.

Nejprve si vše znázorněme na obrázku (obr. 4).

Obrázek 4.

Protože $AC$ je tečna a $OC$ je poloměr, pak podle věty 1 získáme $\úhel ACO=(90)^(()^\circ )$. Zjistili jsme, že trojúhelník $ACO$ je obdélníkový, což znamená, že podle Pythagorovy věty máme:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \