Online mapování. Jak znázornit graf funkce Vynesení bodů do souřadnicové roviny

Funkce sestavení

Nabízíme vám službu pro vytváření grafů funkcí online, ke které patří veškerá práva společnosti Desmos. Pro zadání funkcí použijte levý sloupec. Můžete zadat ručně nebo pomocí virtuální klávesnice v dolní části okna. Pro zvětšení okna s grafem můžete skrýt jak levý sloupec, tak virtuální klávesnici.

Výhody online mapování

• Vizuální zobrazení zadaných funkcí
• Vytváření velmi složitých grafů
• Konstrukce grafů zadaných implicitně (například elipsa x^2/9+y^2/16=1)
• Možnost ukládat grafy a dostávat na ně odkaz, který bude dostupný všem na internetu
• Ovládání měřítka, barvy čáry
• Možnost vykreslování grafů po bodech, pomocí konstant
• Vykreslování několika funkčních grafů současně
• Vykreslování v polárních souřadnicích (použijte r a θ(\theta))

S námi je snadné vytvářet online grafy různé složitosti. Stavba je provedena okamžitě. Služba je žádaná pro hledání průsečíků funkcí, pro zobrazení grafů pro jejich další přesun do dokumentu Wordu jako ilustrace při řešení problémů a pro analýzu behaviorálních rysů funkčních grafů. Optimálním prohlížečem pro práci s grafy na této webové stránce je Google Chrome. Při použití jiných prohlížečů není zaručena správná funkce.

Dříve jsme studovali další funkce, například lineární, připomeňme si její standardní formu:

odtud zřejmý zásadní rozdíl – v lineární funkci X stojí na prvním stupni a v nové funkci začínáme studovat, X stojí na druhé mocnosti.

Připomeňme, že grafem lineární funkce je přímka a grafem funkce, jak uvidíme, je křivka zvaná parabola.

Začněme tím, že zjistíme, odkud vzorec pochází. Vysvětlení je toto: pokud dostaneme čtverec se stranou A, pak můžeme vypočítat jeho plochu takto:

Pokud změníme délku strany čtverce, změní se jeho plocha.

To je tedy jeden z důvodů, proč je funkce studována

Připomeňme, že proměnná X- jde o nezávislou proměnnou, nebo argument ve fyzikální interpretaci, může to být např. čas; Vzdálenost je naopak závislá proměnná, závisí na čase. Závislá proměnná nebo funkce je proměnná na.

To je zákon korespondence, podle kterého každá hodnota X je přiřazena jedna hodnota na.

Jakýkoli korespondenční zákon musí splňovat požadavek jedinečnosti od argumentu k funkci. Ve fyzikální interpretaci to vypadá zcela jasně na příkladu závislosti vzdálenosti na čase: v každém časovém okamžiku jsme v určité vzdálenosti od výchozího bodu a je nemožné být 10 i 20 kilometrů od začátku. cesty ve stejnou dobu v čase t.

Současně lze každé funkční hodnoty dosáhnout několika hodnotami argumentů.

Musíme tedy sestavit graf funkce, k tomu musíme vytvořit tabulku. Poté prostudujte funkci a její vlastnosti pomocí grafu. Ale ještě před sestrojením grafu na základě typu funkce si můžeme říci něco o jeho vlastnostech: to je zřejmé na nemůže nabývat záporných hodnot, protože

Udělejme tedy tabulku:

Rýže. 1

Z grafu je snadné poznamenat následující vlastnosti:

Osa na- toto je osa symetrie grafu;

Vrchol paraboly je bod (0; 0);

Vidíme, že funkce přijímá pouze nezáporné hodnoty;

V intervalu kde funkce klesá a na intervalu, kde se funkce zvyšuje;

Funkce nabývá nejmenší hodnoty ve vrcholu, ;

Neexistuje žádná největší hodnota funkce;

Příklad 1

Stav:

Řešení:

Protože X změnami podmínek na určitém intervalu můžeme o funkci říci, že se zvětšuje a mění na intervalu . Funkce má minimální hodnotu a maximální hodnotu na tomto intervalu

Rýže. 2. Graf funkce y = x 2 , x ∈

Příklad 2

Stav: Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce:

Řešení:

X se mění v průběhu intervalu, což znamená na klesá na intervalu while a zvyšuje se na intervalu while .

Takže hranice změny X a hranice změny na, a proto na daném intervalu existuje minimální i maximální hodnota funkce

Rýže. 3. Graf funkce y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Ukažme si skutečnost, že stejné funkční hodnoty lze dosáhnout několika hodnotami argumentů.

Funkční graf je vizuální reprezentace chování funkce na souřadnicové rovině. Grafy vám pomohou pochopit různé aspekty funkce, které nelze určit z funkce samotné. Můžete sestavit grafy mnoha funkcí a každá z nich bude mít specifický vzorec. Graf jakékoli funkce je sestaven pomocí specifického algoritmu (pokud jste zapomněli přesný proces grafu konkrétní funkce).

Kroky

Grafy lineární funkce

Určete, zda je funkce lineární. Lineární funkce je dána vzorcem tvaru F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) nebo y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(například ) a jeho graf je přímka. Vzorec tedy obsahuje jednu proměnnou a jednu konstantu (konstantu) bez jakýchkoli exponentů, kořenových znamének a podobně. Vzhledem k funkci podobného typu je celkem jednoduché sestavit graf takové funkce. Zde jsou další příklady lineárních funkcí:

Pomocí konstanty označte bod na ose Y. Konstanta (b) je souřadnice „y“ bodu, kde graf protíná osu Y, tj. je to bod, jehož souřadnice „x“ je rovna 0. Pokud tedy do vzorce dosadíme x = 0. , pak y = b (konstanta). V našem příkladu y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je rovna 5, to znamená, že průsečík s osou Y má souřadnice (0,5). Zakreslete tento bod do souřadnicové roviny.

Najděte sklon čáry. Je rovna násobiteli proměnné. V našem příkladu y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) s proměnnou „x“ je faktor 2; koeficient sklonu je tedy roven 2. Koeficient sklonu určuje úhel sklonu přímky k ose X, to znamená, že čím větší je koeficient sklonu, tím rychleji funkce roste nebo klesá.

Zapište sklon jako zlomek.Úhlový koeficient se rovná tečně úhlu sklonu, to znamená poměru svislé vzdálenosti (mezi dvěma body na přímce) k vodorovné vzdálenosti (mezi stejnými body). V našem příkladu je sklon 2, takže můžeme říci, že vertikální vzdálenost je 2 a horizontální vzdálenost je 1. Zapište to jako zlomek: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Pokud je sklon záporný, funkce se snižuje.

1. Z bodu, kde přímka protíná osu Y, nakreslete druhý bod pomocí vertikálních a horizontálních vzdáleností. Lineární funkci lze zobrazit pomocí dvou bodů. V našem příkladu má průsečík s osou Y souřadnice (0,5); Od tohoto bodu se posuňte o 2 pole nahoru a poté o 1 pole doprava. Označte bod; bude mít souřadnice (1,7). Nyní můžete nakreslit rovnou čáru.

   Pomocí pravítka nakreslete přímku přes dva body. Abyste předešli chybám, najděte třetí bod, ale ve většině případů lze graf vykreslit pomocí dvou bodů. Tím jste nakreslili lineární funkci.

   Vykreslování bodů na souřadnicové rovině

   1. Definujte funkci. Funkce je označena jako f(x). Všechny možné hodnoty proměnné "y" se nazývají definiční obor funkce a všechny možné hodnoty proměnné "x" se nazývají definiční obor funkce. Uvažujme například funkci y = x+2, konkrétně f(x) = x+2.

      Nakreslete dvě protínající se kolmé čáry. Vodorovná čára je osa X. Svislá čára je osa Y.

      Označte souřadnicové osy. Rozdělte každou osu na stejné segmenty a očíslujte je. Průsečík os je 0. Pro osu X: kladná čísla se vykreslují doprava (od 0) a záporná čísla doleva. Pro osu Y: kladná čísla jsou vynesena nahoře (od 0) a záporná čísla dole.

      Najděte hodnoty "y" z hodnot "x". V našem příkladu f(x) = x+2. Nahraďte konkrétní hodnoty x do tohoto vzorce a vypočítejte odpovídající hodnoty y. Pokud je zadána komplexní funkce, zjednodušte ji izolováním „y“ na jedné straně rovnice.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Zakreslete body do souřadnicové roviny. Pro každou dvojici souřadnic proveďte následující: najděte odpovídající hodnotu na ose X a nakreslete svislou čáru (tečkovanou); vyhledejte odpovídající hodnotu na ose Y a nakreslete vodorovnou čáru (přerušovanou čáru). Označte průsečík dvou tečkovaných čar; tím jste vynesli bod do grafu.

      Vymažte tečkované čáry. Udělejte to po vynesení všech bodů do grafu v souřadnicové rovině. Poznámka: graf funkce f(x) = x je přímka procházející středem souřadnic [bod se souřadnicemi (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je přímka rovnoběžná s přímkou ​​f(x) = x, ale posunutá nahoru o dvě jednotky a tedy procházející bodem se souřadnicemi (0,2) (protože konstanta je 2) .

   Vytvoření grafu komplexní funkce

   Najděte nuly funkce. Nuly funkce jsou hodnoty proměnné x, kde y = 0, to znamená, že toto jsou body, kde graf protíná osu X. Mějte na paměti, že ne všechny funkce mají nuly, ale jsou první krok v procesu grafu jakékoli funkce. Chcete-li najít nuly funkce, srovnejte ji s nulou. Například:

   Najděte a označte vodorovné asymptoty. Asymptota je přímka, ke které se graf funkce přibližuje, ale nikdy ji neprotíná (tj. v této oblasti není funkce definována např. při dělení 0). Označte asymptotu tečkovanou čarou. Pokud je proměnná "x" ve jmenovateli zlomku (např. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nastavte jmenovatele na nulu a najděte „x“. V získaných hodnotách proměnné „x“ není funkce definována (v našem příkladu nakreslete tečkované čáry přes x = 2 a x = -2), protože nelze dělit 0. Ale asymptoty existují nejen v případech, kdy funkce obsahuje zlomkový výraz. Proto se doporučuje používat zdravý rozum:

Sestrojování grafů funkcí obsahujících moduly působí školákům zpravidla značné potíže. Všechno však není tak špatné. Stačí si zapamatovat pár algoritmů pro řešení takových problémů a snadno sestavíte graf i té nejsložitější funkce. Pojďme zjistit, jaké druhy algoritmů to jsou.

1. Vynesení grafu funkce y = |f(x)|

Všimněte si, že množina funkčních hodnot ​​y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takových funkcí jsou tedy vždy umístěny zcela v horní polorovině.

Vynesení grafu funkce y = |f(x)| se skládá z následujících jednoduchých čtyř kroků.

1) Pečlivě a pečlivě sestrojte graf funkce y = f(x).

2) Ponechte beze změny všechny body na grafu, které jsou nad nebo na ose 0x.

3) Zobrazte část grafu, která leží pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.

Příklad 1. Nakreslete graf funkce y = |x 2 – 4x + 3|

1) Sestavíme graf funkce y = x 2 – 4x + 3. Je zřejmé, že grafem této funkce je parabola. Najděte souřadnice všech průsečíků paraboly se souřadnicovými osami a souřadnicemi vrcholu paraboly.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Proto parabola protíná osu 0x v bodech (3, 0) a (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Proto parabola protíná osu 0y v bodě (0, 3).

Souřadnice vrcholu paraboly:

x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Bod (2, -1) je tedy vrcholem této paraboly.

Nakreslete parabolu pomocí získaných dat (Obr. 1)

2) Část grafu ležící pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k ose 0x.

3) Získáme graf původní funkce ( rýže. 2, zobrazeno jako tečkovaná čára).

2. Vytvoření grafu funkce y = f(|x|)

Všimněte si, že funkce ve tvaru y = f(|x|) jsou sudé:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takových funkcí jsou symetrické kolem osy 0y.

Vykreslení grafu funkce y = f(|x|) se skládá z následujícího jednoduchého řetězce akcí.

1) Nakreslete graf funkce y = f(x).

2) Ponechte tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.

3) Zobrazte část grafu specifikovanou v bodě (2) symetricky k ose 0y.

4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).

Příklad 2. Nakreslete graf funkce y = x 2 – 4 · |x| + 3

Protože x 2 = |x| 2, pak lze původní funkci přepsat do následujícího tvaru: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Nyní můžeme použít výše navržený algoritmus.

1) Pečlivě a pečlivě sestavíme graf funkce y = x 2 – 4 x + 3 (viz též rýže. 1).

2) Ponecháme tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.

3) Zobrazte pravou stranu grafu symetricky k ose 0y.

(obr. 3).

Příklad 3. Nakreslete graf funkce y = log 2 |x|

Aplikujeme výše uvedené schéma.

1) Sestavte graf funkce y = log 2 x (obr. 4).

3. Vynesení funkce y = |f(|x|)|

Všimněte si, že funkce tvaru y = |f(|x|)| jsou také vyrovnané. Ve skutečnosti y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a proto jsou jejich grafy symetrické kolem osy 0y. Sada hodnot těchto funkcí: y ≥ 0. To znamená, že grafy takových funkcí jsou umístěny zcela v horní polorovině.

Chcete-li vykreslit funkci y = |f(|x|)|, musíte:

1) Pečlivě sestrojte graf funkce y = f(|x|).

2) Ponechte beze změny tu část grafu, která je nad nebo na ose 0x.

3) Zobrazte část grafu umístěnou pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.

4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).

Příklad 4. Nakreslete graf funkce y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Všimněte si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že místo původní funkce y = -x 2 + 2|x| - 1

můžete použít funkci y = -|x| 2 + 2|x| – 1, protože jejich grafy se shodují.

Sestavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. K tomu použijeme algoritmus 2.

a) Nakreslete graf funkce y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).

b) Necháme tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.

c) Výslednou část grafu zobrazíme symetricky k ose 0y.

d) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 7).

2) Nad osou 0x nejsou žádné body, body na ose 0x ponecháme beze změny.

3) Část grafu umístěná pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k 0x.

4) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 8).

Příklad 5. Nakreslete graf funkce y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Nejprve musíte vykreslit funkci y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Abychom to udělali, vrátíme se k Algoritmu 2.

a) Pečlivě zakreslete funkci y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).

Všimněte si, že tato funkce je zlomková lineární a její graf je hyperbola. Chcete-li vykreslit křivku, musíte nejprve najít asymptoty grafu. Horizontální – y = 2/1 (poměr koeficientů x v čitateli a jmenovateli zlomku), vertikální – x = -3.

2) Část grafu, která je nad osou 0x nebo na ní, ponecháme beze změny.

3) Část grafu umístěná pod osou 0x bude zobrazena symetricky vzhledem k 0x.

4) Výsledný graf je na obrázku (obr. 11).

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.