Jak řešit nerovnosti se 2 proměnnými. Shrnutí lekce "řešení systémů nerovnic se dvěma proměnnými." se dvěma proměnnými

Předmět: Rovnice a nerovnice. Soustavy rovnic a nerovnic

Lekce:Rovnice a nerovnice se dvěma proměnnými

Uvažujme obecně rovnici a nerovnici se dvěma proměnnými.

Rovnice se dvěma proměnnými;

Nerovnost se dvěma proměnnými, znak nerovnosti může být cokoliv;

Zde x a y jsou proměnné, p je výraz, který na nich závisí

Dvojici čísel () říkáme částečné řešení takové rovnice nebo nerovnice, pokud při dosazení této dvojice do výrazu získáme správnou rovnici, resp.

Úkolem je najít nebo znázornit na rovině množinu všech řešení. Tento úkol můžete parafrázovat – najít lokus bodů (GLP), sestrojit graf rovnice nebo nerovnice.

Příklad 1 - řešení rovnice a nerovnice:

Jinými slovy, úkol zahrnuje nalezení GMT.

Uvažujme o řešení rovnice. V tomto případě může být hodnota proměnné x libovolná, takže máme:

Je zřejmé, že řešením rovnice je množina bodů tvořících přímku

Rýže. 1. Graf rovnice Příklad 1

Řešením dané rovnice jsou zejména body (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Řešením dané nerovnosti je polorovina umístěná nad přímkou ​​včetně přímky samotné (viz obrázek 1). Ve skutečnosti, pokud vezmeme jakýkoli bod x 0 na přímce, pak máme rovnost . Pokud vezmeme bod v polorovině nad přímkou, máme . Vezmeme-li bod v polorovině pod přímkou, pak nesplní naši nerovnost: .

Nyní zvažte problém s kruhem a kruhem.

Příklad 2 - řešení rovnice a nerovnice:

Víme, že daná rovnice je rovnicí kružnice se středem v počátku a poloměrem 1.

Rýže. 2. Ilustrace například 2

V libovolném bodě x 0 má rovnice dvě řešení: (x 0; y 0) a (x 0; -y 0).

Řešením dané nerovnosti je množina bodů umístěných uvnitř kružnice, přičemž se nebere v úvahu samotná kružnice (viz obrázek 2).

Uvažujme rovnici s moduly.

Příklad 3 - vyřešte rovnici:

V tomto případě by bylo možné moduly rozšířit, ale budeme uvažovat o specifikách rovnice. Je snadné vidět, že graf této rovnice je symetrický podle obou os. Pokud je pak bod (x 0 ; y 0) řešením, pak bod (x 0 ; -y 0) je také řešením, body (-x 0 ; y 0) a (-x 0 ; -y 0 ) jsou také řešením .

Stačí tedy najít řešení, kde jsou obě proměnné nezáporné a mají symetrii kolem os:

Rýže. 3. Ilustrace například 3

Takže, jak vidíme, řešením rovnice je čtverec.

Podívejme se na tzv. plošnou metodu na konkrétním příkladu.

Příklad 4 - znázorněte množinu řešení nerovnice:

Podle metody definic nejprve uvažujeme funkci na levé straně, pokud je na pravé straně nula. Toto je funkce dvou proměnných:

Podobně jako u metody intervalů se dočasně vzdálíme od nerovnosti a studujeme rysy a vlastnosti složené funkce.

ODZ: to znamená, že osa x je proražena.

Nyní ukážeme, že funkce je rovna nule, když je čitatel zlomku roven nule, máme:

Sestavíme graf funkce.

Rýže. 4. Graf funkce s přihlédnutím k ODZ

Nyní uvažujme oblasti konstantního znaménka funkce, jsou tvořeny přímkou ​​a lomenou čárou. uvnitř přerušované čáry je plocha D 1. Mezi úsekem čárkované čáry a přímkou ​​- plocha D 2, pod čárou - plocha D 3, mezi úsekem čárkované čáry a přímkou ​​- plocha D 4

V každé z vybraných oblastí si funkce zachovává své znaménko, což znamená, že v každé oblasti stačí zkontrolovat libovolný testovací bod.

V oblasti bereme bod (0;1). My máme:

V oblasti vezmeme bod (10;1). My máme:

Celý region je tedy negativní a nevyhovuje dané nerovnosti.

V oblasti vezměte bod (0;-5). My máme:

Celý region je tedy pozitivní a vyhovuje dané nerovnosti.

1. Nerovnice se dvěma proměnnými. Metody řešení soustavy dvou nerovnic se dvěma proměnnými: analytická metoda a grafická metoda.

2. Soustavy dvou nerovnic se dvěma proměnnými: záznam výsledku řešení.

3. Množiny nerovnic se dvěma proměnnými.

NEROVNOSTI A SYSTÉMY NEROVNOSTÍ SE DVOU PROMĚNNÝMI. Predikát tvaru f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - jsou volány výrazy s proměnnými x a y definovanými na množině XxY nerovnost se dvěma proměnnými (se dvěma neznámými) x a y. Je jasné, že do formuláře lze zapsat libovolnou nerovnost tvaru se dvěma proměnnými f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. Řešení nerovnosti se dvěma proměnnými je dvojice proměnných hodnot, která převádí nerovnost na skutečnou číselnou nerovnost. Je známo, že dvojice reálných čísel (x, y) jednoznačně určuje bod v rovině souřadnic. To umožňuje znázornit řešení nerovnic nebo soustav nerovnic se dvěma proměnnými geometricky, ve formě určité množiny bodů na souřadnicové rovině. Pokud Eq.

f(x, y)= 0 definuje určitou přímku na souřadnicové rovině, pak množina bodů roviny, které na této přímce neleží, se skládá z konečného počtu oblastí C₁, C 2,..., S p(obr. 17.8). V každé z oblastí C je funkce f(x, y) se liší od nuly, protože body, ve kterých f(x, y)= 0 patří k hranicím těchto oblastí.

Řešení. Převedeme nerovnost do tvaru x > y 2 + 2 y - 3. Sestrojme parabolu na souřadnicové rovině X= y 2 + 2 roky - 3. Rozdělí rovinu na dvě oblasti G₁ a G 2 (obr. 17.9). Od úsečky libovolného bodu ležícího vpravo od paraboly X= y 2 + 2 roky- 3, větší než úsečka bodu, který má stejnou pořadnici, ale leží na parabole atd. nerovnost x>y g + 2y -3 není striktní, pak geometrickým zobrazením řešení této nerovnosti bude množina bodů roviny ležících na parabole X= ve 2+ 2u - 3 a vpravo od něj (obr. 17.9).

Rýže. 17.10

Příklad 17.15. Nakreslete na souřadnicovou rovinu množinu řešení soustavy nerovnic

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Řešení. Geometrické znázornění řešení soustavy nerovnic x > 0, y > 0 je množina bodů prvního úhlu souřadnic. Geometrické znázornění řešení nerovnic x + y< 6 nebo na< 6 - X je množina bodů ležících pod přímkou ​​a na přímce samotné, sloužící jako graf funkce y = 6 - X. Geometrické znázornění řešení nerovnic xy > 5 nebo, protože X> 0 nerovností y > 5/x je množina bodů ležících nad větví hyperboly, která slouží jako graf funkce y = 5/x. Výsledkem je množina bodů souřadnicové roviny ležících v prvním souřadnicovém úhlu pod přímkou, která slouží jako graf funkce y = 6 - x, a nad větví hyperboly, která slouží jako graf funkce y = 5x(obr. 17.10).

Kapitola III. PŘIROZENÁ ČÍSLA A NULA

a ještě více soustavy nerovnic se dvěma proměnnými, vypadá to docela těžký úkol. Existuje však jednoduchý algoritmus, který pomáhá řešit zdánlivě velmi složité problémy tohoto druhu snadno a bez velkého úsilí. Zkusme na to přijít.

Mějme nerovnost se dvěma proměnnými jednoho z následujících typů:

y > f(x); y > f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Chcete-li zobrazit množinu řešení takové nerovnosti na souřadnicové rovině, postupujte následovně:

1. Sestavíme graf funkce y = f(x), která rozděluje rovinu na dvě oblasti.
2. Vybereme kteroukoli z výsledných oblastí a uvažujeme v ní libovolný bod. Pro tento bod zkontrolujeme proveditelnost původní nerovnosti. Pokud je výsledkem testu správná numerická nerovnost, pak docházíme k závěru, že původní nerovnost je splněna v celé oblasti, do které vybraný bod patří. Množinou řešení nerovnice je tedy oblast, do které vybraný bod patří. Pokud je výsledkem kontroly nesprávná číselná nerovnost, pak množina řešení nerovnosti bude druhou oblastí, do které vybraný bod nepatří.
3. Je-li nerovnost striktní, pak hranice oblasti, tedy body grafu funkce y = f(x), nejsou zahrnuty do množiny řešení a hranice je znázorněna tečkovanou čarou. Pokud nerovnost není přísná, pak jsou hranice oblasti, tedy body grafu funkce y = f(x), zahrnuty do množiny řešení této nerovnosti a hranice je v tomto případě znázorněna. jako plná čára. Nyní se podívejme na několik problémů na toto téma.

Úkol 1.

Jaká množina bodů je dána nerovností x · y ≤ 4?

Řešení.

1) Sestavíme graf rovnice x · y = 4. K tomu jej nejprve transformujeme. Je zřejmé, že x se v tomto případě nezmění na 0, protože jinak bychom měli 0 · y = 4, což je nesprávné. To znamená, že můžeme naši rovnici vydělit x. Dostaneme: y = 4/x. Grafem této funkce je hyperbola. Rozděluje celou rovinu na dvě oblasti: jednu mezi dvěma větvemi hyperboly a tu mimo ně.

2) Vyberme libovolný bod z první oblasti, nechť je to bod (4; 2). Zkontrolujme nerovnost: 4 · 2 ≤ 4 – nepravda.

To znamená, že body této oblasti nesplňují původní nerovnost. Pak můžeme dojít k závěru, že množina řešení nerovnice bude druhou oblastí, do které vybraný bod nepatří.

3) Protože nerovnost není striktní, kreslíme hraniční body, tedy body grafu funkce y=4/x, plnou čarou.

Vybarvíme žlutě množinu bodů, která definuje původní nerovnost (obr. 1).

Úkol 2.

Nakreslete oblast definovanou v souřadnicové rovině systémem

Řešení.

Nejprve sestavíme grafy následujících funkcí (obr. 2):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – přímka

x 2 + y 2 = 9 – kruh.

Nyní se podívejme na každou nerovnost zvlášť.

1) y > x 2 + 2.

Vezmeme bod (0; 5), který leží nad grafem funkce. Zkontrolujme nerovnici: 5 > 0 2 + 2 – pravda.

Všechny body ležící nad danou parabolou y = x 2 + 2 tedy splňují první nerovnost soustavy. Natřeme je žlutě.

2) y + x > 1.

Vezmeme bod (0; 3), který leží nad grafem funkce. Zkontrolujeme nerovnost: 3 + 0 > 1 – pravda.

V důsledku toho všechny body ležící nad přímkou ​​y + x = 1 splňují druhou nerovnost systému. Natřeme je zeleným stínováním.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Vezmeme bod (0; -4), který leží mimo kružnici x 2 + y 2 = 9. Zkontrolujeme nerovnost: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – nesprávně.

V důsledku toho všechny body ležící mimo kružnici x 2 + y 2 = 9 nevyhovují třetí nerovnosti soustavy. Pak můžeme dojít k závěru, že všechny body ležící uvnitř kruhu x 2 + y 2 = 9 splňují třetí nerovnost soustavy. Natřeme je fialovým stínováním.

Nezapomeňte, že pokud je nerovnost přísná, měla by být odpovídající hraniční čára nakreslena tečkovanou čarou. Dostaneme následující obrázek (obr. 3).

Požadovaná oblast je oblast, kde se všechny tři barevné oblasti vzájemně protínají (obr. 4).

Otázky pro poznámky

Napište nerovnici, jejímž řešením je kruh a body uvnitř kruhu:

Najděte body, které řeší nerovnost:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

Nechat f(x,y) A g(x, y)- dva výrazy s proměnnými X A na a rozsah X. Pak nerovnosti tvaru f(x, y) > g(x, y) nebo f(x, y) < g(x, y) volal nerovnost se dvěma proměnnými .

Význam proměnných x, y z mnoha X, při které se nerovnost změní ve skutečnou číselnou nerovnost, se nazývá rozhodnutí a je určeno (x, y). Vyřešte nerovnost - to znamená najít mnoho takových párů.

Pokud každá dvojice čísel (x, y) od množiny řešení k nerovnosti srovnej bod M(x, y), získáme množinu bodů na rovině určené touto nerovností. Je nazýván graf této nerovnosti . Graf nerovnice je obvykle plocha na rovině.

Znázornit množinu řešení nerovnice f(x, y) > g(x, y), postupujte následovně. Nejprve nahraďte znaménko nerovnosti rovnítkem a najděte řádek, který má rovnici f(x,y) = g(x,y). Tato čára rozděluje rovinu na několik částí. Poté stačí vzít v každé části jeden bod a zkontrolovat, zda je v tomto bodě nerovnost splněna f(x, y) > g(x, y). Pokud se provede v tomto bodě, provede se v celé části, kde tento bod leží. Kombinací těchto dílů získáme mnoho řešení.

Úkol. y > X.

Řešení. Nejprve nahradíme znaménko nerovnosti rovnítkem a sestrojíme přímku v pravoúhlém souřadnicovém systému, který má rovnici y = X.

Tato čára rozděluje rovinu na dvě části. Poté vezměte v každé části jeden bod a zkontrolujte, zda je v tomto bodě nerovnost splněna y > X.

Úkol. Nerovnici vyřešte graficky
X 2 + na 2 25 liber.

Nechť jsou dány dvě nerovnosti F 1(x, y) > G 1(x, y) A F 2(x, y) > G 2(x, y).

Soustavy množin nerovnic se dvěma proměnnými

Systém nerovností je vy sám spojení těchto nerovností. Systémové řešení je každý význam (x, y), který změní každou z nerovností na skutečnou číselnou nerovnost. Mnoho řešení systémy nerovnice je průsečíkem množin řešení nerovnic, které tvoří daný systém.

Sada nerovností je vy sám disjunkce těchto nerovnosti Nastavit řešení je každý význam (x, y), který převádí alespoň jednu z množiny nerovností na skutečnou numerickou nerovnost. Mnoho řešení celek je spojení množin řešení nerovnic, které tvoří množinu.

Úkol. Vyřešte graficky soustavu nerovnic

Řešení. y = x A X 2 + na 2 = 25. Vyřešíme každou nerovnost soustavy.

Grafem soustavy bude množina bodů v rovině, které jsou průsečíkem (dvojitým šrafováním) množin řešení první a druhé nerovnice.

Úkol. Vyřešte graficky sadu nerovností

Cvičení pro samostatnou práci

1. Vyřešte graficky nerovnice: a) na> 2X; b) na< 2X + 3;

PROTI) X 2+ y 2 > 9; G) X 2+ y 2 £ 4.

2. Vyřešte graficky soustavy nerovnic:

a) b)

Videolekce „Systémy nerovnic se dvěma proměnnými“ obsahuje vizuální vzdělávací materiál na toto téma. Součástí lekce je úvaha o konceptu řešení soustavy nerovnic se dvěma proměnnými, příklady řešení takových soustav graficky. Účelem této videolekce je rozvíjet schopnost studentů graficky řešit systémy nerovnic se dvěma proměnnými, usnadnit pochopení procesu hledání řešení takových systémů a zapamatování si metody řešení.

Každý popis řešení je doplněn výkresy, které zobrazují řešení problému v souřadnicové rovině. Takové obrázky jasně ukazují rysy konstrukce grafů a umístění bodů odpovídajících řešení. Všechny důležité detaily a koncepty jsou zvýrazněny pomocí barev. Videolekce je tak vhodným nástrojem pro řešení problémů učitele ve třídě a osvobozuje učitele od prezentace standardního bloku materiálu pro samostatnou práci se studenty.

Videolekce začíná představením tématu a zvážením příkladu hledání řešení soustavy skládající se z nerovností x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Pochopení závěrů vyvozených o řešení systému nerovností je posíleno zvažováním příkladů. Nejprve je uvažováno řešení soustavy nerovnic x 2 + y 2<=9 и x+y>=2. Je zřejmé, že řešení první nerovnosti na souřadnicové rovině zahrnují kružnici x 2 + y 2 = 9 a oblast uvnitř ní. Tato oblast na obrázku je vyplněna horizontálním stínováním. Množina řešení nerovnosti x+y>=2 obsahuje přímku x+y=2 a výše umístěnou polorovinu. Tato oblast je v rovině také naznačena tahy v jiném směru. Nyní můžeme určit průnik dvou množin řešení na obrázku. Je obsažen v kruhovém segmentu x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Dále analyzujeme řešení soustavy lineárních nerovnic y>=x-3 a y>=-2x+4. Na obrázku je vedle podmínky úlohy sestrojena souřadnicová rovina. Je na něm sestrojena přímka odpovídající řešením rovnice y=x-3. Oblast řešení pro nerovnost y>=x-3 bude oblast nacházející se nad touto přímkou. Je zastíněná. Množina řešení druhé nerovnice se nachází nad přímkou ​​y=-2x+4. Tato přímka je také konstruována na stejné souřadnicové rovině a oblast řešení je šrafována. Průsečík dvou množin je úhel sestrojený dvěma přímkami spolu s jeho vnitřní oblastí. Oblast řešení systému nerovností je vyplněna dvojitým stínováním.

Při zvažování třetího příkladu je popsán případ, kdy grafy rovnic odpovídajících nerovnicím soustavy jsou rovnoběžné čáry. Je nutné vyřešit soustavu nerovností y<=3x+1 и y>= 3x-2. Na souřadnicové rovině se sestrojí přímka odpovídající rovnici y=3x+1. Rozsah hodnot odpovídající řešení nerovnosti y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

Videolekci „Systémy nerovnic se dvěma proměnnými“ lze použít jako názornou pomůcku při hodině ve škole nebo nahradit výklad učitele při samostatném studiu látky. Detailní, srozumitelný výklad řešení systémů nerovnic na souřadnicové rovině může pomoci prezentovat látku během distančního studia.