জটিল পদ সহ সিরিজ। জটিল ডোমেইন নম্বর সিরিজে জটিল সংখ্যা সহ সিরিজ

463. অসমতার জ্যামিতিক অর্থ কী: 1) Re z > 0; 2) আমি z< 0 ?

2. জটিল পদ সহ সিরিজ. জটিল সংখ্যার ক্রম বিবেচনা করুন z 1, z 2 , z 3, ..., কোথায় z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...)।ধ্রুবক সংখ্যা c = a + biডাকা সীমাক্রম z 1, z 2 , z 3, ..., যদি কোন ইচ্ছাকৃতভাবে ছোট সংখ্যার জন্য δ>0 এরকম একটি সংখ্যা আছে এন,অর্থ কি z পিসংখ্যা সহ n > Nঅসমতা সন্তুষ্ট \z পি-সঙ্গে\< δ . এক্ষেত্রে তারা লেখেন .

জটিল সংখ্যার একটি ক্রম সীমার অস্তিত্বের জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত নিম্নরূপ: সংখ্যা c=a+biজটিল সংখ্যার একটি অনুক্রমের সীমা x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, …যদি এবং কেবল যদি , .

(1)

যার সদস্যদের জটিল সংখ্যা বলা হয় অভিসারী,যদি nম S n এ সিরিজের আংশিক যোগফল p → ∞একটি নির্দিষ্ট চূড়ান্ত সীমা ঝোঁক। অন্যথায়, সিরিজ (1) বলা হয় divergent

সিরিজ (1) একত্রিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি বাস্তব পদ সহ সিরিজ একত্রিত হয়

(2) এই সিরিজের অভিসর্গ অনুসন্ধান করুন, যার পদগুলি একটি অসীম হ্রাসকারী জ্যামিতিক অগ্রগতি গঠন করে, একত্রিত হয়; অতএব, জটিল পদ সহ একটি প্রদত্ত সিরিজ একেবারে একত্রিত হয়। ^

474. সিরিজের কনভারজেন্স এর ক্ষেত্র নির্ণয় কর

প্রতিলিপি

1 ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন টমস্ক স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ আর্কিটেকচার অ্যান্ড সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং সারি জটিল সদস্যদের সাথে স্বাধীন কাজের জন্য নির্দেশিকা LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk দ্বারা সংকলিত

জটিল সদস্যদের সাথে 2 সারি: পদ্ধতিগত নির্দেশাবলী / LI Lesnyak, VA Starenchenko দ্বারা সংকলিত - টমস্ক: টমস্ক স্টেট আর্কিটেকচারাল অ্যান্ড কনস্ট্রাকশন ইউনিভার্সিটি পাবলিশিং হাউস, রিভিউয়ার প্রফেসর এনএন বেলভ এডিটর ইওয়াই গ্লোটোভা এর সাথে পদ্ধতিগত নির্দেশাবলী সকলের 1ম বর্ষের শিক্ষার্থীদের স্ব-অধ্যয়নের উদ্দেশ্যে। JNF ডিসিপ্লিনের "জটিল সদস্যদের সাথে সিরিজ" "গণিত" উচ্চতর গণিত বিভাগের পদ্ধতিগত সেমিনারের সিদ্ধান্ত অনুসারে প্রকাশিত, মার্চের প্রোটোকল 4 অ্যাকাডেমিক অ্যাফেয়ার্সের ভাইস-রেক্টর ভিভি ডিজিউবো দ্বারা অনুমোদিত এবং কার্যকর করা হয়েছে 5 থেকে 55 পর্যন্ত মূল লেআউটটি লেখক দ্বারা প্রস্তুত করা হয়েছিল প্রিন্ট করার জন্য স্বাক্ষরিত ফরম্যাট 6 84/6 অফসেট পেপার টাইপফেস টাইমস এডুকেশনাল পাবলিকেশন l, 6 সার্কুলেশন 4 অর্ডার পাবলিশিং হাউস TGASU, 64, Tomsk, Solyanaya sq., মূল লেআউট থেকে মুদ্রিত OOP TGASU 64, Tomsk, Partizanskaya st., 5

3 টি সিরিজের সাথে জটিল শর্তাবলীর বিষয় সংখ্যা সিরিজ জটিল পদগুলির সাথে মনে রাখবেন যে জটিল সংখ্যাগুলি হল z = x y ফর্মের সংখ্যা, যেখানে x এবং y হল বাস্তব সংখ্যা, এবং সমতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত কাল্পনিক একক = - সংখ্যাগুলি x এবং y বলা হয় যথাক্রমে z সংখ্যাটির বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলি এবং x = Rez, y = Imz বোঝায় স্পষ্টতই, কার্টেসিয়ান অরথোগোনাল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সাথে XOU সমতলের বিন্দু M(x, y) এবং z = x y ফর্মের জটিল সংখ্যাগুলির মধ্যে, এক থেকে এক চিঠিপত্র আছে XOU সমতলকে জটিল সমতল বলা হয়, এবং z কে এই সমতলের একটি বিন্দু বলা হয় বাস্তব সংখ্যাগুলিকে অ্যাবসিসা অক্ষ বলা হয়, এবং z = y ফর্মের সংখ্যাগুলি সঙ্গতিপূর্ণ। অর্ডিনেট অক্ষের দিকে, যাকে কাল্পনিক অক্ষ বলা হয় যদি M(x,y) বিন্দুর মেরু স্থানাঙ্ক r এবং j দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, তাহলে x = r cosj, y = r s j এবং সংখ্যা z লেখা হবে। ফর্ম: z = r (cosj sj), যেখানে r = x y জটিল সংখ্যা লেখার এই ফর্মটিকে ত্রিকোণমিতিক বলা হয়, z = x y আকারে z লিখলে লেখার বীজগাণিতিক রূপ বলা হয় r সংখ্যাটিকে সংখ্যার মডুলাস বলা হয় z, সংখ্যা j হল আর্গুমেন্ট (z বিন্দুতে = একটি আর্গুমেন্টের ধারণা প্রসারিত হয় না) z সংখ্যার মডুলাসটি z = x y সূত্র দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয় শুধুমাত্র অতিরিক্ত শর্তের অধীনে আর্গুমেন্ট j স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয় - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 সংখ্যা z (ডুমুর) এর অর্থ মনে রাখা উচিত যে y arq z - π দ্বারা প্রকাশ করা হয়< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, যদি x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, যদি x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (fig) М y r = j = p x Fig ত্রিকোণমিতিক আকারে, সংখ্যাটি z = - আকারে লেখা হবে: - = сos π s π и শুধুমাত্র জটিল সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপ পুনরাবৃত্তি করার পরামর্শ দেওয়া হয় z সংখ্যাটিকে একটি শক্তিতে বাড়ানোর সূত্রটি স্মরণ করুন: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 তত্ত্বের মূল প্রশ্ন সংক্ষিপ্ত উত্তর জটিল পদগুলির সাথে একটি সিরিজের সংজ্ঞা একটি সিরিজের অভিসারের ধারণা অভিসারী সংজ্ঞার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত একটি ক্রম z ) = ( x y ) = z, z, z, জটিল সংখ্যাগুলির A দেওয়া যাক ফর্মের প্রতীক ( å = z একটি সিরিজ বলা হয়, z হল সিরিজের একটি সাধারণ শব্দ একটি সিরিজ S এর আংশিক যোগফলের ধারণা, এর অভিসরণ এবং অপসারণ সম্পূর্ণরূপে বাস্তব পদের সাথে সিরিজের অনুরূপ ধারণার সাথে মিলে যায়। আংশিক ক্রম একটি সিরিজের সমষ্টির আকার রয়েছে: S = z ; S = z z ; যদি $lm S এবং এই সীমাটি S সংখ্যার সমান হয়, তাহলে সিরিজটিকে বলা হয় সমষ্টি। সিরিজের, অন্যথায় সিরিজটিকে বলা হয় অপসারণ = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

সিরিজের সাধারণ পদ z এর 7 শূন্য এর অর্থ হল এই শর্তটি লঙ্ঘন করা হলে, অর্থাৎ, lm z ¹ হলে, সিরিজটি ভিন্ন হয়ে যায়, কিন্তু যদি lm z =, তাহলে সিরিজের কনভারজেন্সের প্রশ্নটি খোলা থাকে সিরিজ å অধ্যয়ন করা সম্ভব (x = অভিসারণের জন্য x এবং å = ধারার অভিসারণের জন্য å = বাস্তব পদের সাথে? y y) হ্যাঁ, নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি ধারণ করা সম্ভব: সিরিজ å = এর জন্য উপপাদ্য y (x) একত্রিত করার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট যে উভয় সিরিজ å = å = y, এবং যদি å x = S = যেখানে å S = (x y) = å = x u, এবং y = S, তাহলে S =। S S, converges - উদাহরণ নিশ্চিত করুন যে সিরিজ å = è () xia, এবং খুঁজে বের করুন এর যোগফল 7

8 সমাধান সিরিজ å একত্রিত হয়, t k ~ = () () যখন এই সিরিজের যোগফল S সমান হয় (অধ্যায়, বিষয়, n) সিরিজ å একটি অসীম হ্রাসকারী জ্যামিতিক = অগ্রগতি হিসাবে একত্রিত হয়, å = () и S সহ b = - q = একত্রিত হয়, এবং এর যোগফল এইভাবে, সিরিজ S = উদাহরণ সিরিজ å বিচ্যুত হয়, t k diverges = è! সুরেলা সিরিজ å এই ক্ষেত্রে, সিরিজ å = অভিসারণের জন্য পরীক্ষা করুন! মানে হয় না উদাহরণ সিরিজ å π tg ভিন্ন হয়ে যায়, কারণ = è সিরিজ å π tg কনভারজেন্সের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত লঙ্ঘন করা হয়েছে = π lm tg = p ¹ и 8

9 জটিল পদ সহ অভিসারী সিরিজের কি বৈশিষ্ট্য আছে? বৈশিষ্ট্যগুলি বাস্তব পদগুলির সাথে অভিসারী সিরিজের মতোই 4 জটিল পদগুলির সাথে একটি পরম অভিসারের ধারণা আছে? থিওরেম (একটি সিরিজের কনভারজেন্সের জন্য যথেষ্ট শর্ত) যদি সিরিজ å = z একত্রিত হয়, তাহলে সিরিজ å = z এর পরম কনভারজেন্সের ধারণাটি বাস্তবের সাথে সিরিজের মতোই দেখায়। পদের সংজ্ঞা å = z কে একেবারে অভিসারী বলা হয়, যদি সিরিজটি å = z একত্রিত হয় উদাহরণ ধারাটির পরম অভিসার প্রমাণ করুন () () () 4 8 সমাধান সংখ্যাটি লেখার ত্রিকোণমিতিক রূপটি ব্যবহার করা যাক।

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 তারপর π π () = () cos Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и এটি সিরিজটি পরীক্ষা করা বাকি আছে å z for convergence = = এটি একটি হর সহ অসীমভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত জ্যামিতিক অগ্রগতি; এই ধরনের একটি অগ্রগতি একত্রিত হয়, এবং তাই, পরম অভিসারন প্রমাণ করার সময়, থিওরেমটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় å = y (x) সিরিজের জন্য, উভয় সিরিজ å = হবে। একেবারে উদাহরণ সিরিজ å = (-) è cosπ ! x এবং å = y একেবারে একত্রিত হয়, t k একেবারে å (-) একত্রিত হয়, এবং å cosπ সিরিজের পরম অভিসারণ সহজে প্রমাণিত হয়: =!

11 cosπ, এবং সারিটি হল å!! =! ডি'আলেমবার্টের মাপকাঠি দ্বারা একত্রিত হয় তুলনামূলক মানদণ্ড অনুসারে সিরিজ å cosπ একত্রিত হয় Þ সিরিজ å =! একেবারে converges cosπ =! সমস্যার সমাধান কনভারজেন্সের জন্য সিরিজ 4 পরীক্ষা করুন: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и и;! সমাধান å = è l l সিরিজটি ভিন্ন হয়ে যায়, কারণ সিরিজ å ভিন্ন হয়ে যায়, যা তুলনা পরীক্ষা দ্বারা সহজে প্রতিষ্ঠিত হয়: >, এবং হারমোনিক = l l সিরিজ å, যেমনটি জানা যায়, মনে রাখবেন যে = এই ক্ষেত্রে সিরিজ å অখণ্ড কচি পরীক্ষার উপর ভিত্তি করে = l কনভারজেস å (-) = è! l

12 সিরিজটি একত্রিত হয়, তাই å =! ডি'আলেমবার্টের সীমা পরীক্ষার ভিত্তিতে একত্রিত হয়, এবং সিরিজ å (-) উপপাদ্য অনুসারে একত্রিত হয় = l Leibniz å α π - π cos tg = и и স্পষ্টতই, সিরিজের আচরণ সূচকের উপর নির্ভর করবে α যাক আমরা β - cosβ = s সূত্র ব্যবহার করে সিরিজটি লিখি: å α π π s tg = и At α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = সিরিজ α å и и 4 = একত্রিত হবে যদি α >, অর্থাত্ α > এর জন্য এবং α এর জন্য বিবর্তিত হবে বা এর জন্য মিলিত হবে, যেহেতু π π tg ~ α সিরিজ å = α π tg α এর জন্য

13 এইভাবে, মূল সিরিজটি α 4 å = и и এ একত্রিত হবে এবং বিবর্তিত হবে! α > সিরিজ åটি = è কচির সীমা পরীক্ষা ব্যবহার করে অভিসারণের জন্য পরীক্ষা করা হয়: lm = lm = > Þ è সিরিজটি Þ e è Þ বিচ্যুত হবে এবং মূল সিরিজ 5 সিরিজের সিরিজ 5 6 পরম অভিসারের জন্য পরীক্ষা করা হয়েছে π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = সমাধান 5 å = π cos()! å = - π cos একেবারে একত্রিত হয়, তাই (-)! তুলনার মানদণ্ড অনুসারে একত্রিত হয়: π cos, এবং সিরিজ å (-)! (-)! =(-)! ডি'আলেমবার্টের পরীক্ষা অনুসারে একত্রিত হয়

14 4 6 å =!) 8 (সারিতে!) 8 (å = ডি'আলেমবার্টের চিহ্ন প্রয়োগ করুন:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 পরম কনভারজেন্সের জন্য সিরিজ 7 পরীক্ষা করুন 7 å = è - π s) (; 8! å = è; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (উত্তর: 7, 8 একেবারে একত্রিত করুন , 9 বিবর্তিত হয়, একেবারে একত্রিত হয় না

16 জটিল পদগুলির সাথে টপিক পাওয়ার সিরিজ "কার্যকরী সিরিজ" বিভাগটি অধ্যয়ন করার সময়, সিরিজগুলিকে বিশদভাবে বিবেচনা করা হয়েছিল, যেগুলির শর্তগুলি একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের ফাংশনগুলির একটি নির্দিষ্ট অনুক্রমের সদস্য ছিল (বিশেষত অ্যাপ্লিকেশনগুলির ক্ষেত্রে) পাওয়ার সিরিজ, অর্থাৎ å = a (x-x) ফর্মের সিরিজ এটি প্রমাণিত হয়েছে (অ্যাবেলের উপপাদ্য) যে প্রতিটি পাওয়ার সিরিজের একটি কনভারজেন্সের ব্যবধান (x - R, x R), যার মধ্যে সিরিজের যোগফল S (x) অবিচ্ছিন্ন এবং অভিসারী ব্যবধানের মধ্যে পাওয়ার সিরিজকে টার্ম দ্বারা আলাদা করা যেতে পারে এবং এইগুলি পাওয়ার সিরিজের উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্যগুলি এই বিষয়ে আমরা পাওয়ার সিরিজ বিবেচনা করব বাস্তবের সাথে নয়, জটিল পদ দিয়ে 6টি তত্ত্বের মূল প্রশ্ন সংক্ষিপ্ত উত্তর একটি পাওয়ার সিরিজের সংজ্ঞা একটি পাওয়ার সিরিজ হল å = a (z - z), () ফর্মের একটি কার্যকরী সিরিজ যেখানে a এবং z জটিল সংখ্যা দেওয়া হয়, এবং z হল একটি জটিল পরিবর্তনশীল বিশেষ ক্ষেত্রে যখন z =, পাওয়ার সিরিজের ফর্ম å = a z () থাকে।

17 স্পষ্টতই, সিরিজ () একটি নতুন পরিবর্তনশীল W = z - z প্রবর্তন করে সিরিজ () এ ছোট করা হয়েছে, তাই আমরা প্রধানত ফর্মের সিরিজ () অ্যাবেলের উপপাদ্য নিয়ে কাজ করব যদি পাওয়ার সিরিজ () z = z এ একত্রিত হয় ¹, তারপর এটি একত্রিত হয় এবং তদ্ব্যতীত, একেবারে যেকোনো z এর জন্য যার জন্য z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 অ্যাবেলের উপপাদ্যের একটি উপপাদ্য রয়েছে, যা বলে যে যদি সিরিজ å = a z * z = z এর জন্য বিচ্যুত হয়, তবে এটি যেকোন z এর জন্যও বিচ্যুত হবে যার জন্য * z > z পাওয়ার সিরিজের ব্যাসার্ধের ধারণা আছে () এবং ( ) অভিসারী? হ্যাঁ, কনভারজেন্স R-এর একটি ব্যাসার্ধ আছে, এমন একটি সংখ্যা যার সম্পত্তি আছে যা সকল z এর জন্য, যার জন্য z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, series() diverges 4 সিরিজ () এর অভিসারী অঞ্চল কি? যদি R সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ হয় (), তাহলে z বিন্দুর সেট যার জন্য z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 R = lm এবং R = lm সূত্রগুলি ব্যবহার করে অভিসারী a এর ব্যাসার্ধ খুঁজে পাওয়া কি সম্ভব, a যা বাস্তব পদের সাথে পাওয়ার সিরিজের জন্য হয়েছিল? এটা সম্ভব, যদি এই সীমাগুলি বিদ্যমান থাকে যদি দেখা যায় যে R =, এর মানে হবে যে সিরিজ () সিরিজের জন্য শুধুমাত্র z = বা z = z বিন্দুতে একত্রিত হয় () যখন R = সিরিজটি সম্পূর্ণভাবে একত্রিত হবে জটিল সমতল উদাহরণ å z = a সমাধান R = lm = lm = a সিরিজের অভিসারের ব্যাসার্ধ খুঁজুন এইভাবে, বৃত্তটি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের ভিতরে একত্রিত হয় কারণ x y বৃত্তের সীমানায়< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 মনে করুন যে পাওয়ার সিরিজ å = a x তাদের অভিসারন ব্যবধানের মধ্যে শুধুমাত্র একেবারেই নয়, একই রকমের একটি বিবৃতি å = a z সিরিজের জন্যও ধারণ করে: যদি একটি পাওয়ার সিরিজ একত্রিত হয় এবং এর অভিসারণের ব্যাসার্ধ R এর সমান হয়। যেকোনো বন্ধ বৃত্তে এই সিরিজটি z r প্রদান করেছে যে r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে R > সিরিজের কনভারজেন্স, তারপর এই সিরিজটি f (z) ফাংশনের টেলর সিরিজ, অর্থাৎ f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! সিরিজের সহগ å = () f (z) a =! f () a (z - z) সূত্র দ্বারা গণনা করা হয় স্মরণ করুন যে ডেরিভেটিভ f (z) এর সংজ্ঞা আনুষ্ঠানিকভাবে একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের f (x) ফাংশনের জন্য ঠিক একইভাবে দেওয়া হয়েছে, যেমন f (z) ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz ফাংশনের পার্থক্য করার নিয়মগুলি f (z) একটি বাস্তব চলকের ফাংশন পার্থক্য করার নিয়মগুলির মতোই 7 কোন ক্ষেত্রে ফাংশনটি f (z) বিন্দু z এ বিশ্লেষণাত্মক বলা হয়? একটি বিন্দু z এ একটি ফাংশন বিশ্লেষণের ধারণাটি একটি ফাংশন f (x) এর ধারণার সাথে সাদৃশ্য দ্বারা দেওয়া হয় যেটি x বিন্দুতে একটি ফাংশন f (z) বিদ্যমান থাকলে তাকে বিশ্লেষণাত্মক বলে R > এমন যে বৃত্তে z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 আমরা আবারও জোর দিচ্ছি যে একটি পাওয়ার সিরিজ আকারে z বিন্দুতে একটি ফাংশন f(z) বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনা অনন্য, এবং এই সিরিজটি তার টেলর সিরিজ, অর্থাৎ, সিরিজের সহগগুলি গণনা করা হয় সূত্র () f(z) a =! 8 একটি জটিল ভেরিয়েবলের মৌলিক প্রাথমিক ফাংশন একটি বাস্তব ভেরিয়েবলের ফাংশনের পাওয়ার সিরিজের তত্ত্বে, e x ফাংশনের ক্রমিক প্রসারণ পাওয়া গেছে: = å x x e, xî(-,) =! বিন্দু 5 এর উদাহরণটি সমাধান করার সময়, আমরা নিশ্চিত হয়েছিলাম যে সিরিজ å z সম্পূর্ণ জটিল সমতলে একত্রিত হয় z = x এর জন্য, এর যোগফল e x এর সমান এই সত্যটি নিম্নলিখিত - =! নিম্নলিখিত ধারণা: z এর জটিল মানের জন্য, সংজ্ঞা অনুসারে ফাংশন е z সিরিজের যোগফল হিসাবে বিবেচিত হয় å z সুতরাং, =! z e () def å z = =! ফাংশনের সংজ্ঞা ch z এবং sh z x - x যেহেতু ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 এবং ফাংশন e z এখন সমস্ত জটিল z-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, তাহলে ch z = সমগ্র জটিল সমতলে, def z - z e e def z - z e - e sh z = এভাবে: z -z k e - e z sh z নেওয়া স্বাভাবিক == অধিবৃত্ত সাইন; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hyperbolic cosine; k = (k)! shz th z = অধিবৃত্তীয় স্পর্শক; chz chz cth z = হাইপারবোলিক কোট্যাঞ্জেন্ট shz ফাংশনের সংজ্ঞা s z এবং cos z এর আগে প্রাপ্ত সম্প্রসারণগুলি ব্যবহার করা যাক: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! সমগ্র সংখ্যারেখার উপর সিরিজ একত্রিত হয় যখন এই সিরিজে x কে z দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়, তখন আমরা জটিল পদগুলির সাথে পাওয়ার সিরিজ পাই, যা দেখাতে সহজ, এটি আমাদের যেকোন জটিল z ফাংশন নির্ধারণ করতে দেয় s z এবং cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 জটিল সমতলে সূচকীয় ফাংশন এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মধ্যে সম্পর্ক å z z e = = সিরিজে প্রতিস্থাপন করা হচ্ছে! z দ্বারা z, এবং তারপর z দ্বারা, আমরা পাই: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! যেহেতু e ()) e k k = (-, আমাদের থাকবে: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k = (k) এইভাবে: z -z -z e e - e сos z = ; s z = (6) প্রাপ্ত সূত্রগুলি থেকে আরেকটি উল্লেখযোগ্য সূত্র অনুসরণ করে: z с s z = e (7) সূত্রগুলিকে অয়লারের সূত্র বলা হয় এই সূত্রগুলি বাস্তব z এর জন্যও বৈধ, z = j এর জন্য বিশেষ ক্ষেত্রে, যেখানে j একটি বাস্তব সংখ্যা, সূত্র (7) রূপ নেবে: j cos j sj = e (8) তারপর জটিল সংখ্যা z = r। (cos j s j) আকারে লেখা হবে : j z = re (9) সূত্র (9) কে জটিল সংখ্যা z 4 লেখার সূচকীয় রূপ বলা হয়

ত্রিকোণমিতিক এবং হাইপারবোলিক ফাংশনগুলিকে সংযুক্তকারী 25 সূত্রগুলি নিম্নলিখিত সূত্রগুলি সহজেই প্রমাণিত: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z প্রথম এবং চতুর্থ সূত্রটি প্রমাণ করা যাক ( দ্বিতীয়টি প্রমাণ করার জন্য এটি সুপারিশ করা হয় এবং তৃতীয় নিজে) আসুন সূত্রগুলি ব্যবহার করি ( 6) অয়লার: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z sh z = s z এবং ch z = cos z সূত্র ব্যবহার করে, প্রথম নজরে, ফাংশন y = s x এর বিপরীতে ফাংশনগুলির একটি আশ্চর্যজনক বৈশিষ্ট্য প্রমাণ করা সহজ এবং y = cos x, ফাংশন s z এবং cos z পরম মানের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয় আসলে, যদি নির্দেশিত সূত্রে, বিশেষ করে, z = y, তাহলে s y = sh y, cos y = ch y এর মানে হল কাল্পনিক অক্ষ s z এবং cos z পরম মানের মধ্যে সীমাবদ্ধ নয় এটা আকর্ষণীয় যে s z এবং cos z-এর জন্য সমস্ত সূত্র বৈধ, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন s x এবং cos x-এর সূত্রের অনুরূপ অধ্যয়ন করার সময় প্রদত্ত সূত্রগুলি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় অভিসারের জন্য সিরিজ উদাহরণ ক্রম å s = সমাধানের পরম অভিসার প্রমাণ করুন আমরা অভিসারণের জন্য সিরিজ å পরীক্ষা করি s = যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, কাল্পনিক অক্ষের উপর আবদ্ধ ফাংশন s z 5 নয়

26, তাই, আমরা s = sh সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি না তারপর å = å s sh = = আমরা D'Alembert-এর মানদণ্ড ব্যবহার করে অধ্যয়ন করি: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () যেহেতু lm =, মডিউলগুলি থেকে 8 - = 8 শর্তে একত্রিত হয় = এইভাবে, সিরিজ z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >বৃত্তের বিন্দু z = -, একত্রিত হবে, এবং এই বৃত্তের বাইরে, অর্থাৎ, সিরিজের আচরণ আমরা z = এ অধ্যয়ন করি, যার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেমে x (y) ফর্ম রয়েছে। = z = 9 এ, পরম মানের সিরিজের ফর্ম থাকবে: å 8 - = å = = যে একটি বদ্ধ বৃত্তে এই সিরিজটি ফলে সিরিজটি একত্রিত হয়, এর অর্থ z একেবারে একত্রিত হয় প্রমাণ করুন যে ফাংশন å z z e = পর্যায়ক্রমিক π সহ পর্যায়ক্রমিক (e z ফাংশনের এই বৈশিষ্ট্যটি এটিকে উল্লেখযোগ্যভাবে আলাদা করে =! ফাংশন e x থেকে) প্রমাণ আমরা একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন এবং সূত্রের সংজ্ঞা ব্যবহার করি (6) আমাদের নিশ্চিত করতে হবে যে z z e π = e, যেখানে z = x y আসুন দেখাই যে এটি তাই: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e সুতরাং, e z হল একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 একটি সূত্র পান যা সংখ্যাগুলিকে e এবং πকে সংযুক্ত করে সমাধান j জটিল সংখ্যা লেখার সূচকীয় রূপটি ব্যবহার করা যাক: z = re এর জন্য z = - আমাদের r =, j = π এবং এইভাবে, π e = - () আশ্চর্যজনক সূত্র এবং এই সত্ত্বেও যে গণিতের প্রতিটি সংখ্যার উপস্থিতি π, e এবং অন্য দুটির উপস্থিতির সাথে কিছুই করার নেই! সূত্র () এছাড়াও আকর্ষণীয় কারণ এটি দেখা যাচ্ছে যে সূচকীয় ফাংশন e z, ফাংশন e x এর বিপরীতে, নেতিবাচক মান নিতে পারে e x 5 সিরিজের যোগফল å cos x =! সমাধান আসুন x x сos x s x e (e) å = å = å! সিরিজটিকে রূপান্তর করি! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) সমাধান করার সময়, আমরা সূত্র = cos x s x দুবার ব্যবহার করেছি এবং ফাংশনের সিরিজ সম্প্রসারণ (e x) e 6 ফাংশন f (x) = e x cos x একটি পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত করেছি, সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে ফাংশনের x() x x x x e = e e = e cos x e s x সমাধান x() x() x e = å = å!! = = π cos и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 ফলস্বরূপ সিরিজটি সমগ্র সংখ্যাসূচক অক্ষে একত্রিত হয়, তাই x π (x) () cos, এবং সিরিজ å (x)! 4! =! এক্স< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 সিরিজের ব্যাসার্ধ R এবং অভিসারী বৃত্ত খুঁজুন 4 অভিসারী বৃত্তের সীমানা বিন্দুতে (বৃত্তের উপর থাকা বিন্দুতে) সিরিজের আচরণ অনুসন্ধান করুন å!(z -) ; å(z); = = å () z = (); 4 å z = 9 উত্তর:) R =, সিরিজ z = - - ;) R =, সিরিজ z = - বা x (y) এর সাপেক্ষে একটি বদ্ধ বৃত্ত z এ বিন্দুতে একত্রিত হয়;) R =, সিরিজ একটি বন্ধ বৃত্ত z বা x y সাপেক্ষে একেবারে একত্রিত হয়; 4) R =, সিরিজটি সম্পূর্ণরূপে একটি বদ্ধ বৃত্ত z এ বা x y 9 শর্তে একত্রিত হয় 7 ফাংশন f (x) = e x s x, () x একটি পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত করুন যেকোন জটিল z এর জন্য সূত্র হবে: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (অয়লারের সূত্র ব্যবহার করুন)

31 পাঠের সুপারিশকৃত মৌলিক সাহিত্যের তালিকা পিসকুনভ, এনএস ডিফারেনশিয়াল এবং কলেজের জন্য অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস / এনএস পিসকুনভ T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM ফান্ডামেন্টালস অফ ম্যাথমেটিক্যাল অ্যানালাইসিস / GM Fichtengolts, St. NN তত্ত্ব সারি / NN ভোরোবিভ - সেন্ট পিটার্সবার্গ: ল্যান, 8 48 s 4 লিখিত, DT উচ্চতর গণিতের উপর লেকচার নোট Ch / DT লিখিত M: Iris-press, 8 5 ব্যায়াম এবং সমস্যাগুলিতে উচ্চতর গণিত Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ইত্যাদি] M: ONICS, 8 C অতিরিক্ত সাহিত্য কুদ্র্যাভতসেভ, LD কোর্স অফ গাণিতিক বিশ্লেষণ / LD কুদ্র্যভতসেভ TM: উচ্চ বিদ্যালয়, 98 C খবিবুলিন, MV কমপ্লেক্স নম্বর: নির্দেশিকা / MV খাবিবুলিন টমস্ক, TGASU, 96 Moldovan , EA সারি এবং জটিল বিশ্লেষণ: পাঠ্যপুস্তক / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন টমস্ক স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ আর্কিটেকচার অ্যান্ড সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং ফুরিয়ার সিরিজ ফুরিয়ার ইন্টিগ্রাল স্বাধীন কাজের জন্য ফুরিয়ার সিরিজ নির্দেশিকাগুলির একটি সীমাবদ্ধ কেস হিসাবে

র‍্যাঙ্কস খবরোভস্ক 4 4 নম্বর সিরিজ একটি সংখ্যা সিরিজ হল একটি রাশি যেখানে, যে সংখ্যাগুলি একটি অসীম সংখ্যা ক্রম তৈরি করে, সেই সিরিজের সাধারণ শব্দ, যেখানে N (N হল প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট) উদাহরণ

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন আরখানগেলস্ক স্টেট টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি ফ্যাকাল্টি অফ সিভিল ইঞ্জিনিয়ারিং RANKS স্বাধীন কাজের জন্য অ্যাসাইনমেন্ট সম্পূর্ণ করার জন্য নির্দেশিকা আরখানগেলস্ক

মস্কো স্টেট টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি অফ সিভিল এভিয়েশন V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. উখোভা, ইউ.এ. শৃঙ্খলা এবং পরীক্ষার অ্যাসাইনমেন্ট অধ্যয়নের জন্য শুরিনভ গণিত ম্যানুয়াল

5 পাওয়ার সিরিজ 5 পাওয়ার সিরিজ: সংজ্ঞা, অভিসারের অঞ্চল (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) যেখানে, a, a, K, a ,k কিছু সংখ্যাকে পাওয়ার সিরিজ সংখ্যা বলা হয়

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন মস্কো স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ জিওডিসি অ্যান্ড কার্টোগ্রাফি (MIIGAiK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev টিউটোরিয়াল ফর স্টুডেন্টস অন ডিপেন্ডেন্ট স্টাডিজ

বিষয় জটিল সংখ্যা সিরিজ বিবেচনা করুন একটি সংখ্যা সিরিজ k ak ফর্মের জটিল সংখ্যাগুলির সাথে A সিরিজকে অভিসারী বলা হয় যদি এর আংশিক যোগফলের S a k k একত্রিত হয়। তাছাড়া, ক্রমটির সীমা S

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা মন্ত্রণালয় একটি জটিল পরিবর্তনশীল পদ্ধতিগত ম্যানুয়ালের কার্যাবলীর তত্ত্ব দ্বারা সংকলিত: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova তত্ত্বের পদ্ধতিগত কার্যকারিতার পর্যালোচনা

8 জটিল সংখ্যা সিরিজ k a ফর্মের জটিল সংখ্যাগুলির সাথে একটি সংখ্যা সিরিজ বিবেচনা করুন, (46) যেখানে (a k) একটি প্রদত্ত সংখ্যা ক্রম যার জটিল পদ k সিরিজ (46) কে অভিসারী বলা হয়

অ্যাসোসিয়েট প্রফেসর মুসিনা এমভি দ্বারা প্রস্তুতকৃত বক্তৃতা সংখ্যাসূচক এবং কার্যকরী সিরিজ সংখ্যা সিরিজের সংজ্ঞা প্রকাশ: মৌলিক ধারণা (), যেখানে একটি সংখ্যা সিরিজ (বা কেবল একটি সিরিজ) সংখ্যা, সিরিজের সদস্য (নির্ভর করে)

উচ্চতর গণিতের ধাতুবিদ্যা অনুষদ বিভাগ RANKS পদ্ধতিগত নির্দেশাবলী Novokuznetsk 5 শিক্ষার জন্য ফেডারেল এজেন্সি উচ্চতর পেশাদার শিক্ষার রাজ্য শিক্ষা প্রতিষ্ঠান

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রণালয় ফেডারেল স্টেট বাজেটারি এডুকেশনাল ইনস্টিটিউশন অফ হায়ার প্রফেশনাল এডুকেশন নভগোরড স্টেট ইউনিভার্সিটির নামে নামকরণ করা হয়েছে

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন ফেডারেল স্টেট এডুকেশনাল ইনস্টিটিউশন অফ হায়ার প্রফেশনাল এডুকেশন সাউথ ফেডারেল ইউনিভার্সিটি R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodological

সংখ্যা সিরিজ সংখ্যা ক্রম Def একটি সংখ্যা ক্রম হল একটি সাংখ্যিক ফাংশন যা প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির সেটে সংজ্ঞায়িত করা হয় x - অনুক্রমের একটি সাধারণ সদস্য x =, x =, x =, x =,

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন মস্কো স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ জিওডেসি অ্যান্ড কার্টোগ্রাফি (MIIGAiK) কোর্সে স্বাধীন কাজের জন্য পদ্ধতিগত নির্দেশাবলী এবং কাজগুলি উচ্চতর গণিত সংখ্যাসূচক

উচ্চতর গণিতের কোর্সে গণনার কাজগুলির জন্য পদ্ধতিগত নির্দেশাবলী "সাধারণ ভিন্ন সমীকরণ সিরিজ দ্বৈত সমন্বিত" অংশের বিষয় সিরিজ বিষয়বস্তু সিরিজ সংখ্যা এবং সিরিজের ভিন্নতা

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন স্টেট এডুকেশনাল ইনস্টিটিউট অফ এডুকেশনাল ইনস্টিটিউট অফ ইলেক্ট্রনিক ওয়াইজ ইনস্টিটিউট ইয়ারোস্লাভের নামানুসারে নভগোরড স্টেট ইউনিভার্সিটি।

বেলারুশ প্রজাতন্ত্রের শিক্ষা মন্ত্রণালয় EE "Vitebsk রাজ্য প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয়" বিষয়। "সারি" তাত্ত্বিক এবং ফলিত গণিত বিভাগ। Assoc দ্বারা উন্নত. ই.বি. দুনিনা। মৌলিক

রাশিয়ান ফেডারেশনের পরিবহন মন্ত্রনালয় ফেডারেল স্টেট এডুকেশনাল ইনস্টিটিউশন অফ হায়ার প্রফেশনাল এডুকেশন উলিয়ানভস্ক হাইয়ার এভিয়েশন স্কুল অফ সিভিল এভিয়েশন ইনস্টিটিউট

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রনালয় ফেডারেল স্টেট বাজেটারি এডুকেশনাল ইনস্টিটিউশন অফ হায়ার প্রফেশনাল এডুকেশন "টমস্ক স্টেট আর্কিটেকচারাল অ্যান্ড কনস্ট্রাকশন

Sgups ডিপার্টমেন্ট অফ হায়ার ম্যাথমেটিক্স প্রমিত গণনা সম্পাদনের জন্য পদ্ধতিগত নির্দেশাবলী "সিরিজ" নভোসিবিরস্ক 006 কিছু তাত্ত্বিক তথ্য সংখ্যা সিরিজ চলুন ; u; u; ; u; একটি অসীম সংখ্যা আছে

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রণালয় কাজান স্টেট আর্কিটেকচারাল অ্যান্ড কনস্ট্রাকশন ইউনিভার্সিটি ডিপার্টমেন্ট অফ হায়ার ম্যাথমেটিক্সের সংখ্যাসূচক এবং কার্যকরী সিরিজের নির্দেশিকা

লেকচার N 7. পাওয়ার সিরিজ এবং টেলর সিরিজ.. পাওয়ার সিরিজ..... টেলর সিরিজ... 4. টেলর এবং ম্যাকলরিন সিরিজে কিছু প্রাথমিক ফাংশন সম্প্রসারণ... 5 4. পাওয়ার সিরিজের প্রয়োগ... 7. ক্ষমতা

মডিউল বিষয় ফাংশনাল সিকোয়েন্স এবং সিরিজের প্রোপার্টি অফ ইউনিফর্ম কনভারজেন্স সিকোয়েন্স এবং সিরিজ পাওয়ার সিরিজ লেকচার ফাংশনাল সিকোয়েন্স এবং সিরিজের ইউনিফর্মলি সংজ্ঞা

বেলারুশিয়ান স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ ইকোনমিক্স ফ্যাকাল্টি ডিপার্টমেন্ট অফ ইকোনমিক ইনফরমেশন এবং গাণিতিক ইকোনমিক্স সারি অর্থনীতির ছাত্রদের জন্য বক্তৃতা নোট এবং ওয়ার্কশপ

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা মন্ত্রণালয় উলিয়ানভস্ক স্টেট টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি সংখ্যাগত এবং কার্যকরী সিরিজ ফুরিয়ার সিরিজ উলিয়ানভস্ক ইউডিসি 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 পদার্থবিদ্যা এবং গণিতের পর্যালোচক প্রার্থী

3724 মাল্টিপল সিরিজ এবং কার্ভিলাইনার ইন্টিগ্রেল 1 সেকশনের ওয়ার্ক প্রোগ্রাম "একাধিক সিরিজ এবং বক্ররেখা অখণ্ড" 11 সংখ্যা সিরিজের ধারণা সংখ্যা সিরিজের বৈশিষ্ট্য সংখ্যা সিরিজের প্রয়োজনীয় চিহ্ন কনভারজেন্স

অধ্যায় সিরিজ কিছু সংখ্যা অনুক্রমের পদের যোগফলের আনুষ্ঠানিক স্বরলিপি সংখ্যা সিরিজকে বলা হয় সংখ্যা সিরিজের যোগফল S কে বলা হয় সিরিজের আংশিক যোগফল যদি একটি সীমা লিম S, S থাকে তাহলে সিরিজ

বক্তৃতা. কার্যকরী সিরিজ। একটি কার্যকরী সিরিজের সংজ্ঞা একটি সিরিজ যার সদস্যরা x এর ফাংশন তাকে ফাংশনাল বলে: u = u (x) + u + K + u + K = x একটি নির্দিষ্ট মান x দিয়ে, আমরা

ভি.ভি. ঝুক, এ.এম. কামাচকিন 1 পাওয়ার সিরিজ। কনভারজেন্স ব্যাসার্ধ এবং অভিসারী ব্যবধান। অভিসারের প্রকৃতি। একীকরণ এবং পার্থক্য। 1.1 অভিসার ব্যাসার্ধ এবং অভিসারের ব্যবধান। কার্যকরী পরিসীমা

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রণালয় ফেডারেল স্টেট বাজেটারি শিক্ষামূলক উচ্চতর পেশাগত শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "সাইবেরিয়ান স্টেট ইন্ডাস্ট্রিয়াল ইউনিভার্সিটি"

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রণালয় ফেডারেল স্টেট বাজেটারি শিক্ষামূলক উচ্চতর পেশাগত শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "সাইবেরিয়ান স্টেট ইন্ডাস্ট্রিয়াল ইউনিভার্সিটি"

গাণিতিক বিশ্লেষণ বিভাগ: সংখ্যাসূচক এবং কার্যকরী সিরিজ বিষয়: পাওয়ার সিরিজ। একটি পাওয়ার সিরিজে একটি ফাংশন সম্প্রসারণ প্রভাষক Rozhkova S.V. 3 34. পাওয়ার সিরিজ একটি পাওয়ার সিরিজ শক্তির একটি সিরিজ।

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রণালয় ফেডারেল স্টেট বাজেট উচ্চ পেশাগত শিক্ষার শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "সামারা স্টেট এরোস্পেস ইউনিভার্সিটি"

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রনালয় জাতীয় গবেষণা নিঝনি নভগোরড স্টেট ইউনিভার্সিটি এনআই লোবাচেভস্কি এনপি সেমেরিকোভা এএ দুবকভ এএ খারচেভা বিশ্লেষণাত্মক কার্যাবলীর নামানুসারে নামকরণ করেছে

স্ব-পরীক্ষার জন্য "সিরিজ" টেস্টগুলি একটি সিরিজের অভিসারের একটি প্রয়োজনীয় চিহ্ন উপপাদ্য অভিসারণের একটি প্রয়োজনীয় চিহ্ন যদি সিরিজটি একত্রিত হয় তবে লিম + কোরোলারি সিরিজের বিচ্যুতির জন্য একটি যথেষ্ট শর্ত যদি লিম হয় তবে সিরিজটি ভিন্ন হয়

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রণালয় ফেডারেল স্টেট অটোনোমাস এডুকেশনাল ইনস্টিটিউশন অফ হায়ার প্রফেশনাল এডুকেশন "সাইবেরিয়ান ফেডারেল ইউনিভার্সিটি" ম্যাথমেটিক্স এর আচিনস্ক শাখা

(ফাংশনাল সিরিজ পাওয়ার সিরিজ ডোমেন অফ কনভারজেন্সের ব্যবধান খুঁজে বের করার ক্রম - কনভারজেন্সের ব্যবধানের উদাহরণ ব্যাসার্ধ) ফাংশনগুলির একটি অসীম ক্রম দেওয়া যাক, কার্যকরী

সিরিজ সংখ্যা সিরিজ সাধারণ ধারণা সংজ্ঞা যদি প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যা একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সাথে যুক্ত হয়, তবে সংখ্যাযুক্ত সংখ্যার সেটটিকে একটি সংখ্যা ক্রম বলা হয়,

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা মন্ত্রণালয় MATI - রাশিয়ান স্টেট টেকনোলজিকাল ইউনিভার্সিটির নামকরণ করা হয়েছে K E TSIOLKOVSKY ডিপার্টমেন্ট অফ হায়ার ম্যাথমেটিক্স র‌্যাঙ্কস নির্দেশিকা কোর্স কাজের জন্য সংকলিত:

লেকচার 3 টেলর এবং ম্যাকলরিন সিরিজ পাওয়ার সিরিজের প্রয়োগ পাওয়ার সিরিজ টেলর এবং ম্যাক্লোরিন সিরিজে ফাংশন সম্প্রসারণ অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য, একটি প্রদত্ত ফাংশনকে পাওয়ার সিরিজে প্রসারিত করতে সক্ষম হওয়া গুরুত্বপূর্ণ, সেই ফাংশনগুলি

উচ্চ পেশাগত শিক্ষার স্টেট ইনস্টিটিউশন "বেলারুশিয়ান-রাশিয়ান ইউনিভার্সিটি" বিভাগ "উচ্চতর গণিত" উচ্চতর গণিত গণিত গণিত বিশ্লেষণ র‌্যাঙ্ক পদ্ধতিগত সুপারিশ

সংখ্যাসূচক এবং শক্তি সিরিজ পাঠ। সংখ্যা সিরিজ। সিরিজের যোগফল। অভিসারের চিহ্ন.. সিরিজের যোগফল গণনা করুন। 6 সমাধান। একটি অসীম জ্যামিতিক অগ্রগতির পদগুলির যোগফল q এর সমান, যেখানে q হল অগ্রগতির হর।

বেলারুশ প্রজাতন্ত্রের শিক্ষা মন্ত্রণালয় শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "মোগিলেভ স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ ফুড" উচ্চতর গণিত বিভাগ উচ্চতর গণিত ব্যবহারিক জন্য নির্দেশিকা

লেকচার 6 একটি ফাংশনকে পাওয়ার সিরিজে সম্প্রসারণ করা টেলর এবং ম্যাক্লোরিন সিরিজের সম্প্রসারণের স্বতন্ত্রতা কিছু প্রাথমিক ফাংশনের পাওয়ার সিরিজে সম্প্রসারণ পূর্ববর্তী লেকচারে পাওয়ার সিরিজের প্রয়োগ

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রনালয় ফেডারেল স্টেট বাজেটারি এডুকেশনাল ইনস্টিটিউশন অফ হায়ার প্রফেশনাল এডুকেশন "টমস্ক স্টেট আর্কিটেকচারাল অ্যান্ড কনস্ট্রাকশন

4 ফাংশন সিরিজ 4 মৌলিক সংজ্ঞা X u, u (), K, u (), K (DEFINITION এক্সপ্রেশন u) + u () + K + u () + সংজ্ঞার একটি সাধারণ ডোমেন সহ ফাংশনের একটি অসীম ক্রম।

একটি জটিল পরিবর্তনশীল অপারেশনাল ক্যালকুলাসের কার্যকারিতার তত্ত্বের উপাদানগুলি এই বিষয়টি অধ্যয়নের ফলে, শিক্ষার্থীকে অবশ্যই শিখতে হবে: একটি জটিল সংখ্যার ত্রিকোণমিতিক এবং সূচকীয় রূপগুলি সন্ধান করুন

ফেডারেল এজেন্সি ফর এজেন্সি উচ্চতর পেশাগত শিক্ষার রাষ্ট্রীয় শিক্ষা প্রতিষ্ঠান "উরাল স্টেট পেডাগোজিকাল ইউনিভার্সিটি" গণিত বিভাগের অনুষদ

কাজান স্টেট ইউনিভার্সিটি ডিপার্টমেন্ট অফ গাণিতিক পরিসংখ্যান সংখ্যাসূচক সিরিজ শিক্ষাগত এবং পদ্ধতিগত ম্যানুয়াল কাজান 008 কাজান বিশ্ববিদ্যালয়ের বৈজ্ঞানিক ও পদ্ধতিগত কাউন্সিলের বিভাগের সিদ্ধান্ত দ্বারা প্রকাশিত

ক্রিয়ামূলক সিরিজ ফাংশনাল সিরিজ, এর যোগফল এবং ফাংশনালের ডোমেন

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন মস্কো স্টেট ইউনিভার্সিটি অফ জিওডিসি অ্যান্ড কার্টোগ্রাফি (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova টিউটোরিয়াল ফর স্টুডেন্টস ফর ইন্ডিপেন্ডেন্ট স্টাডি অফ দ্য সেকশন

অধ্যায় পাওয়ার সিরিজ a a a a a A ধারাকে একটি a a a a () একটি পাওয়ার সিরিজ বলা হয়, যেখানে a, ধ্রুবকগুলিকে সিরিজের সহগ বলা হয়: একটি a(a) a(a)। a(a) (), যেখানে

লেকচার N34। জটিল পদ সহ সংখ্যা সিরিজ। জটিল ডোমেনে পাওয়ার সিরিজ। বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন। ইনভার্স ফাংশন..জটিল পদের সাথে সাংখ্যিক সিরিজ.....জটিল ডোমেনে পাওয়ার সিরিজ...

অপশন টাস্ক ফাংশনের মান গণনা করুন, বীজগাণিতিক আকারে উত্তর দিন: a sh ; b l সমাধান a আসুন ত্রিকোণমিতিক সাইন এবং হাইপারবোলিক সাইনের মধ্যে সংযোগের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করি: ; sh -s পান

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন স্টেট এডুকেশনাল ইনস্টিটিউট অফ এডুকেশন ইনস্টিটিউট অফ এডুকেশন উখতা স্টেট টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি কমপ্লেক্স নম্বর নির্দেশিকা

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রণালয় ফেডারেল স্টেট বাজেট শিক্ষা প্রতিষ্ঠান উচ্চ পেশাগত শিক্ষা "সামারা স্টেট টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি" ফলিত গণিত বিভাগ

ফাংশনাল সিরিজ লেকচার 7-8 1 কনভারজেন্সের ক্ষেত্রফল 1 ফর্মের একটি সিরিজ u () u () u () u (), 1 2 u () যেখানে ফাংশনগুলি একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত করা হয় তাকে একটি কার্যকরী সিরিজ বলা হয় . সমস্ত পয়েন্টের সেট

ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন স্টেট এডুকেশনাল ইনস্টিটিউট অফ এডুকেশন ইনস্টিটিউশন অফ এডুকেশন উখতা স্টেট টেকনিক্যাল ইউনিভার্সিটি (ইউএসটিইউ) লিমিট ফাংশন পদ্ধতিগত

লেকচার সমতুল্য অসীম প্রথম এবং দ্বিতীয় উল্লেখযোগ্য সীমা অসীম বড় এবং অসীম ফাংশনের তুলনা

রাশিয়ান ফেডারেশনের শিক্ষা ও বিজ্ঞান মন্ত্রনালয় ফেডারেল স্টেট বাজেটারি এডুকেশনাল ইনস্টিটিউশন অফ হায়ার প্রফেশনাল এডুকেশন "টমস্ক স্টেট আর্কিটেকচারাল অ্যান্ড কনস্ট্রাকশন

লেকচার নম্বর সিরিজ কনভারজেন্সের চিহ্ন সংখ্যা সিরিজ কনভারজেন্সের চিহ্ন একটি সংখ্যা ক্রম + + + + একটি অসীম অভিব্যক্তি, একটি অসীম একের পদ দ্বারা গঠিত, একটি সংখ্যা সিরিজ সংখ্যা বলা হয়,

EV Nebogina, OS Afanasyeva সিরিজের অনুশীলন উচ্চতর গণিত সামারা 9 ফেডারেল এজেন্সি ফর এডুকেশন স্টেট এডুকেশনাল ইনস্টিটিউশন অফ হায়ার প্রফেশনাল এডুকেশন "সামারস্কি"

অধ্যায় III বিভিন্ন ভেরিয়েবলের ফাংশনের অখণ্ড ক্যালকুলাস, একটি জটিল পরিবর্তনশীলের ফাংশন, সিরিজ ডবল ইন্টিগ্রেল সাহিত্য: , ch. ,glii; , XII অধ্যায়, 6 এই বিষয়ে সমস্যা সমাধানের জন্য এটি প্রয়োজনীয়,