কিভাবে 2 ভেরিয়েবল দিয়ে অসমতা সমাধান করা যায়। পাঠের সারাংশ "দুটি ভেরিয়েবলের সাথে অসমতার সমাধানের সিস্টেম।" দুটি ভেরিয়েবল সহ

বিষয়: সমীকরণ এবং অসমতা। সমীকরণ এবং অসমতার সিস্টেম

পাঠ:দুটি ভেরিয়েবল সহ সমীকরণ এবং অসমতা

আসুন আমরা সাধারণ পরিভাষায় একটি সমীকরণ এবং দুটি ভেরিয়েবল সহ একটি অসমতা বিবেচনা করি।

দুটি ভেরিয়েবল সহ সমীকরণ;

দুটি ভেরিয়েবলের সাথে অসমতা, অসমতার চিহ্ন যেকোনো কিছু হতে পারে;

এখানে x এবং y ভেরিয়েবল, p একটি অভিব্যক্তি যা তাদের উপর নির্ভর করে

সংখ্যার একটি জোড়া () কে এই ধরনের সমীকরণ বা অসমতার একটি আংশিক সমাধান বলা হয় যদি, এই জোড়াটিকে অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করার সময়, আমরা যথাক্রমে সঠিক সমীকরণ বা অসমতা পাই।

কাজটি হল একটি সমতলে সমস্ত সমাধানের সেট খুঁজে বের করা বা চিত্রিত করা। আপনি এই কাজটি ব্যাখ্যা করতে পারেন - পয়েন্টের অবস্থান (GLP) খুঁজুন, একটি সমীকরণ বা অসমতার একটি গ্রাফ তৈরি করুন।

উদাহরণ 1 - সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করুন:

অন্য কথায়, টাস্কের সাথে GMT খোঁজা জড়িত।

সমীকরণের সমাধান বিবেচনা করা যাক। এই ক্ষেত্রে, ভেরিয়েবল x এর মান যেকোনো হতে পারে, তাই আমাদের আছে:

স্পষ্টতই, সমীকরণের সমাধান হল একটি সরলরেখা গঠনকারী বিন্দুগুলির সেট

ভাত। 1. সমীকরণ গ্রাফ উদাহরণ 1

একটি প্রদত্ত সমীকরণের সমাধানগুলি হল, বিশেষ করে, বিন্দুগুলি (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

প্রদত্ত অসমতার সমাধান হল লাইনের উপরে অবস্থিত একটি অর্ধ-বিমান, যার মধ্যে লাইনটিও রয়েছে (চিত্র 1 দেখুন)। প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা লাইনে x 0 কোনো বিন্দু নিই, তাহলে আমাদের সমতা আছে। যদি আমরা একটি লাইনের উপরে একটি অর্ধ-তলায় একটি বিন্দু নিই, আমাদের আছে। যদি আমরা লাইনের নীচে অর্ধ-তলায় একটি বিন্দু নিই, তবে এটি আমাদের অসমতাকে সন্তুষ্ট করবে না: .

এখন একটি বৃত্ত এবং একটি বৃত্তের সমস্যা বিবেচনা করুন।

উদাহরণ 2 - সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করুন:

আমরা জানি যে প্রদত্ত সমীকরণটি উৎপত্তি এবং ব্যাসার্ধ 1-এ কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের সমীকরণ।

ভাত। উদাহরণ 2. উদাহরণ 2

একটি নির্বিচারে x 0 বিন্দুতে, সমীকরণটির দুটি সমাধান রয়েছে: (x 0; y 0) এবং (x 0; -y 0)।

একটি প্রদত্ত অসমতার সমাধান হল বৃত্তের অভ্যন্তরে অবস্থিত বিন্দুগুলির একটি সেট, বৃত্তটিকেই বিবেচনায় না নিয়ে (চিত্র 2 দেখুন)।

মডিউল সহ একটি সমীকরণ বিবেচনা করা যাক।

উদাহরণ 3 - সমীকরণটি সমাধান করুন:

এই ক্ষেত্রে, মডিউলগুলি প্রসারিত করা সম্ভব হবে, তবে আমরা সমীকরণের সুনির্দিষ্ট বিষয়গুলি বিবেচনা করব। এটি সহজেই দেখা যায় যে এই সমীকরণের গ্রাফটি উভয় অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম। তারপর যদি বিন্দু (x 0 ; y 0) একটি সমাধান হয়, তাহলে বিন্দু (x 0 ; -y 0)ও একটি সমাধান, বিন্দুগুলি (-x 0 ; y 0) এবং (-x 0 ; -y 0) ) এছাড়াও একটি সমাধান.

সুতরাং, এটি একটি সমাধান খুঁজে বের করার জন্য যথেষ্ট যেখানে উভয় ভেরিয়েবল অ-নেতিবাচক এবং অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসাম্য গ্রহণ করে:

ভাত। 3. উদাহরণ 3

সুতরাং, আমরা দেখতে পাই, সমীকরণের সমাধান হল একটি বর্গক্ষেত্র।

আসুন একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে তথাকথিত এলাকা পদ্ধতিটি দেখি।

উদাহরণ 4 - অসমতার সমাধানের সেট চিত্রিত করুন:

ডোমেনের পদ্ধতি অনুসারে, প্রথমে আমরা বাম পাশের ফাংশনটি বিবেচনা করি যদি ডানদিকে শূন্য থাকে। এটি দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন:

ব্যবধানের পদ্ধতির মতো, আমরা সাময়িকভাবে অসমতা থেকে দূরে সরে যাই এবং রচিত ফাংশনের বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করি।

ODZ: তার মানে x অক্ষটি পাংচার করা হচ্ছে।

এখন আমরা নির্দেশ করি যে ফাংশনটি শূন্যের সমান যখন ভগ্নাংশের লব শূন্যের সমান, আমাদের আছে:

আমরা ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করি।

ভাত। 4. ODZ বিবেচনা করে ফাংশনের গ্রাফ

এখন ফাংশনের ধ্রুবক চিহ্নের ক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করুন তারা একটি সরল রেখা এবং একটি ভাঙা রেখা দ্বারা গঠিত হয়। ভাঙা লাইনের ভিতরে ডি 1 এলাকা রয়েছে। একটি ভাঙা রেখা এবং একটি সরল রেখার একটি অংশের মধ্যে - এলাকা D 2, লাইনের নীচে - এলাকা D 3, একটি ভাঙা রেখার একটি অংশ এবং একটি সরল রেখার মধ্যে - এলাকা D 4

প্রতিটি নির্বাচিত এলাকায়, ফাংশনটি তার চিহ্ন ধরে রাখে, যার মানে প্রতিটি এলাকায় একটি নির্বিচারে পরীক্ষা পয়েন্ট পরীক্ষা করার জন্য এটি যথেষ্ট।

এলাকায় আমরা বিন্দু নিই (0;1)। আমাদের আছে:

এলাকায় আমরা বিন্দু নিই (10;1)। আমাদের আছে:

এইভাবে, সমগ্র অঞ্চলটি নেতিবাচক এবং প্রদত্ত বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে না।

এলাকায়, বিন্দু নিন (0;-5)। আমাদের আছে:

এইভাবে, সমগ্র অঞ্চলটি ইতিবাচক এবং প্রদত্ত বৈষম্যকে সন্তুষ্ট করে।

1. দুটি ভেরিয়েবলের সাথে অসমতা। দুটি ভেরিয়েবল সহ দুটি অসমতার একটি সিস্টেম সমাধানের পদ্ধতি: বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি এবং গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি।

2. দুটি ভেরিয়েবল সহ দুটি অসমতার সিস্টেম: সমাধানের ফলাফল রেকর্ড করা।

3. দুটি ভেরিয়েবল সহ অসমতার সেট।

দুটি ভেরিয়েবলের সাথে অসাম্যের অসমতা এবং সিস্টেম। f₁(x, y)> ফর্মের পূর্বাভাস< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - XxY সেটে সংজ্ঞায়িত x এবং y ভেরিয়েবল সহ অভিব্যক্তিগুলিকে বলা হয় দুটি ভেরিয়েবলের সাথে অসমতা (দুটি অজানা সহ) x এবং y।এটা স্পষ্ট যে দুটি ভেরিয়েবল সহ ফর্মের যেকোনো অসমতা ফর্মে লেখা যেতে পারে f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. বৈষম্যের সমাধানদুটি ভেরিয়েবলের সাথে পরিবর্তনশীল মানগুলির একটি জোড়া যা একটি অসমতাকে একটি সত্যিকারের সংখ্যাগত অসমতায় রূপান্তরিত করে।জানা যায় এক জোড়া বাস্তব সংখ্যা (x, y)স্থানাঙ্ক সমতলে একটি বিন্দু স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারণ করে। এটি জ্যামিতিকভাবে দুটি ভেরিয়েবল সহ অসমতা বা অসমতার সিস্টেমগুলির সমাধানগুলি স্থানাঙ্ক সমতলে বিন্দুগুলির একটি নির্দিষ্ট সেটের আকারে চিত্রিত করা সম্ভব করে তোলে। যদি Eq.

f(x, y)= 0 স্থানাঙ্ক সমতলে একটি নির্দিষ্ট রেখাকে সংজ্ঞায়িত করে, তারপর সমতলের বিন্দুগুলির সেট যা এই লাইনের উপর থাকে না সেগুলি একটি সীমিত সংখ্যক অঞ্চল C₁ নিয়ে গঠিত, গ 2,..., এস পি(চিত্র 17.8)। প্রতিটি এলাকায় সি, ফাংশন f(x, y)শূন্য থেকে ভিন্ন, কারণ পয়েন্ট যা f(x, y)= 0 এই এলাকার সীমানার অন্তর্গত।

সমাধান।আসুন অসমতাকে রূপান্তরিত করি x > y 2 + 2y - 3. চলুন স্থানাঙ্ক সমতলে একটি প্যারাবোলা তৈরি করি এক্স= y 2 + 2y - 3. এটি প্লেনটিকে G₁ এবং G দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করবে 2 (চিত্র 17.9)। যেহেতু কোন বিন্দুর অবসিসা ডানদিকে পড়ে থাকে প্যারাবোলা এক্স= y 2 + 2y- 3, একই অর্ডিনেট আছে এমন একটি বিন্দুর অ্যাবসিসা থেকে বড়, কিন্তু প্যারাবোলার উপর অবস্থিত, ইত্যাদি। অসমতা x>y g + 2y -3কঠোর নয়, তাহলে এই অসমতার সমাধানের জ্যামিতিক উপস্থাপনাটি প্যারাবোলার উপর থাকা সমতলের বিন্দুগুলির সেট হবে এক্স= 2 এ+ 2у - 3 এবং এটির ডানদিকে (চিত্র 17.9)।

ভাত। 17.10

উদাহরণ 17.15। সমন্বয় সমতলে অসমতার সিস্টেমের সমাধানের সেট আঁকুন

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

সমাধান।অসমতার সিস্টেমের সমাধানের জ্যামিতিক উপস্থাপনা x > 0, y > 0 হল প্রথম স্থানাঙ্ক কোণের বিন্দুর সেট। অসমতার সমাধানের জ্যামিতিক উপস্থাপনা x + y< 6 বা এ< 6 - এক্সলাইনের নীচে এবং লাইনের উপরে থাকা বিন্দুগুলির সেট, যা ফাংশনের গ্রাফ হিসাবে কাজ করে y = 6 - এক্স.অসমতার সমাধানের জ্যামিতিক উপস্থাপনা xy > 5বা, কারণ এক্স> 0 অসমতা y > 5/xহাইপারবোলার শাখার উপরে থাকা বিন্দুগুলির সেট যা ফাংশনের গ্রাফ হিসাবে কাজ করে y = 5/x।ফলস্বরূপ, আমরা সরলরেখার নীচে প্রথম স্থানাঙ্ক কোণে অবস্থিত স্থানাঙ্ক সমতলের বিন্দুগুলির একটি সেট পাই, যা y = 6 - x ফাংশনের গ্রাফ হিসাবে কাজ করে এবং হাইপারবোলার শাখার উপরে, যা কাজ করে ফাংশনের গ্রাফ y = 5x(চিত্র 17.10)।

তৃতীয় অধ্যায়। প্রাকৃতিক সংখ্যা এবং শূন্য

, এবং এমনকি আরো তাই দুটি ভেরিয়েবল সহ অসমতার সিস্টেম, এটা দেখতেবেশ কঠিন কাজ। যাইহোক, একটি সাধারণ অ্যালগরিদম রয়েছে যা এই ধরণের আপাতদৃষ্টিতে খুব জটিল সমস্যাগুলি সহজেই এবং অনেক প্রচেষ্টা ছাড়াই সমাধান করতে সহায়তা করে। এর এটা বের করার চেষ্টা করা যাক.

নিম্নলিখিত ধরনের একটির দুটি ভেরিয়েবলের সাথে আমাদের একটি অসমতা আছে:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

স্থানাঙ্ক সমতলে এই জাতীয় অসমতার সমাধানের সেট চিত্রিত করতে, নিম্নরূপ এগিয়ে যান:

1. আমরা y = f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করি, যা সমতলকে দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করে।
2. আমরা ফলাফলের যেকোন ক্ষেত্র নির্বাচন করি এবং এতে একটি নির্বিচারে বিন্দু বিবেচনা করি। আমরা এই পয়েন্টের জন্য আসল অসমতার সম্ভাব্যতা পরীক্ষা করি। যদি পরীক্ষার ফলাফল একটি সঠিক সংখ্যাগত বৈষম্য দেখায়, তাহলে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে মূল অসমতাটি নির্বাচিত বিন্দুর অন্তর্গত সমগ্র অঞ্চলে সন্তুষ্ট। এইভাবে, অসমতার সমাধানের সেট হল সেই অঞ্চল যেখানে নির্বাচিত বিন্দুটি অন্তর্গত। যদি চেকের ফলাফলটি একটি ভুল সংখ্যাগত অসমতা হয়, তাহলে অসমতার সমাধানের সেটটি হবে দ্বিতীয় অঞ্চল যেখানে নির্বাচিত বিন্দুটি অন্তর্গত নয়।
3. যদি অসমতা কঠোর হয়, তাহলে অঞ্চলের সীমানা, অর্থাৎ, ফাংশন y = f(x) এর গ্রাফের বিন্দুগুলি সমাধানের সেটে অন্তর্ভুক্ত হয় না এবং সীমানাটি একটি বিন্দুযুক্ত রেখা দিয়ে চিত্রিত হয়। যদি অসমতা কঠোর না হয়, তবে অঞ্চলের সীমানা, অর্থাৎ, ফাংশন y = f(x) এর গ্রাফের বিন্দুগুলি এই অসমতার সমাধানের সেটে অন্তর্ভুক্ত করা হয় এবং এই ক্ষেত্রে সীমানাটি চিত্রিত করা হয়। একটি কঠিন লাইন হিসাবে। এখন এই বিষয়ে বেশ কয়েকটি সমস্যা দেখা যাক।

কার্যক্রম 1.

অসমতা x · y ≤ 4 দ্বারা কোন বিন্দুর সেট দেওয়া হয়?

সমাধান।

1) আমরা x · y = 4 সমীকরণের একটি গ্রাফ তৈরি করি। এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে এটি রূপান্তর করি। স্পষ্টতই, এই ক্ষেত্রে x 0 এ পরিণত হয় না, কারণ অন্যথায় আমাদের 0 · y = 4 হবে, যা ভুল। এর মানে আমরা আমাদের সমীকরণকে x দিয়ে ভাগ করতে পারি। আমরা পাই: y = 4/x। এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি হাইপারবোলা। এটি পুরো সমতলকে দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করে: একটি হাইপারবোলার দুটি শাখার মধ্যে এবং একটি তাদের বাইরের।

2) আসুন প্রথম অঞ্চল থেকে একটি নির্বিচারী বিন্দু নির্বাচন করি, এটি বিন্দু হতে দিন (4; 2)। আসুন অসমতা পরীক্ষা করি: 4 · 2 ≤ 4 – মিথ্যা।

এর অর্থ হল এই অঞ্চলের পয়েন্টগুলি মূল অসমতাকে সন্তুষ্ট করে না। তারপরে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে অসমতার সমাধানের সেটটি হবে দ্বিতীয় অঞ্চল যেখানে নির্বাচিত বিন্দুটি অন্তর্গত নয়।

3) যেহেতু অসমতা কঠোর নয়, তাই আমরা সীমানা বিন্দুগুলি আঁকি, অর্থাৎ, y=4/x ফাংশনের গ্রাফের বিন্দুগুলি একটি কঠিন রেখা সহ।

আসুন আমরা বিন্দুগুলির সেটটি আঁকি যা মূল অসমতাকে হলুদ রঙে সংজ্ঞায়িত করে (চিত্র 1)।

টাস্ক 2।

সিস্টেম দ্বারা স্থানাঙ্ক সমতলে সংজ্ঞায়িত এলাকা আঁকুন

সমাধান।

শুরুতে, আমরা নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করি (চিত্র 2):

y = x 2 + 2 – প্যারাবোলা,

y + x = 1 – সরলরেখা

x 2 + y 2 = 9 – বৃত্ত।

এখন আসুন প্রতিটি বৈষম্যকে আলাদাভাবে দেখি।

1) y > x 2 + 2।

আমরা বিন্দু (0; 5) নিই, যা ফাংশনের গ্রাফের উপরে অবস্থিত। অসমতা পরীক্ষা করা যাক: 5 > 0 2 + 2 – সত্য।

ফলস্বরূপ, প্রদত্ত প্যারাবোলা y = x 2 + 2 এর উপরে থাকা সমস্ত বিন্দু সিস্টেমের প্রথম অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। আসুন তাদের হলুদ রঙ করি।

2) y + x > 1।

আমরা বিন্দু (0; 3) নিই, যা ফাংশনের গ্রাফের উপরে অবস্থিত। আসুন অসমতা পরীক্ষা করি: 3 + 0 > 1 – সত্য।

ফলস্বরূপ, y + x = 1 সরলরেখার উপরে থাকা সমস্ত বিন্দু সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। আসুন সবুজ ছায়া দিয়ে তাদের আঁকা যাক।

3) x 2 + y 2 ≤ 9।

আমরা বিন্দুটি (0; -4) নিই, যা x 2 + y 2 = 9 বৃত্তের বাইরে অবস্থিত। আমরা অসমতা পরীক্ষা করি: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – ভুল।

ফলস্বরূপ, x 2 + y 2 = 9 বৃত্তের বাইরে থাকা সমস্ত বিন্দু সিস্টেমের তৃতীয় অসমতাকে সন্তুষ্ট করে না। তারপরে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে বৃত্তের ভিতরে থাকা সমস্ত বিন্দু x 2 + y 2 = 9 সিস্টেমের তৃতীয় অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। বেগুনি ছায়া দিয়ে তাদের আঁকা যাক।

ভুলে যাবেন না যে যদি অসমতা কঠোর হয়, তাহলে সংশ্লিষ্ট সীমারেখাটি একটি বিন্দুযুক্ত রেখা দিয়ে আঁকা উচিত। আমরা নিম্নলিখিত ছবি পেতে (চিত্র 3)।

অনুসন্ধান এলাকা হল সেই এলাকা যেখানে তিনটি রঙিন এলাকা একে অপরের সাথে ছেদ করে (চিত্র 4)।

নোট জন্য প্রশ্ন

একটি অসমতা লিখুন যার সমাধান একটি বৃত্ত এবং বৃত্তের ভিতরে বিন্দু:

বৈষম্য সমাধান করে এমন পয়েন্টগুলি খুঁজুন:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

দিন f(x,y)এবং g(x, y)- ভেরিয়েবল সহ দুটি অভিব্যক্তি এক্সএবং এএবং সুযোগ এক্স. তারপর ফর্মের অসমতা f(x, y) > g(x, y)বা f(x, y) < g(x, y)ডাকা দুটি ভেরিয়েবলের সাথে অসমতা .

ভেরিয়েবলের অর্থ x, yঅনেকের কাছ থেকে এক্স, যেখানে অসমতা সত্যিকারের সংখ্যাগত অসমতায় পরিণত হয়, তাকে বলা হয় সিদ্ধান্ত এবং মনোনীত করা হয় (x, y). বৈষম্য সমাধান করুন - এর মানে এই ধরনের অনেক জোড়া খুঁজে পাওয়া।

সংখ্যা প্রতিটি জোড়া হলে (x, y)অসমতা সমাধানের সেট থেকে, বিন্দু মেলে M(x, y), আমরা এই অসমতা দ্বারা নির্দিষ্ট সমতলে পয়েন্টের সেট পাই। তাকে বলা হয় এই অসমতার গ্রাফ . একটি অসমতার গ্রাফ সাধারণত একটি সমতলের একটি এলাকা।

অসমতার সমাধানের সেট চিত্রিত করতে f(x, y) > g(x, y), নিম্নরূপ এগিয়ে যান। প্রথমে, অসমতার চিহ্নটিকে একটি সমান চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন এবং সমীকরণ আছে এমন একটি লাইন খুঁজুন f(x,y) = g(x,y). এই লাইনটি সমতলকে কয়েকটি অংশে বিভক্ত করে। এর পরে, প্রতিটি অংশে একটি পয়েন্ট নেওয়া এবং এই বিন্দুতে অসমতা সন্তুষ্ট কিনা তা পরীক্ষা করা যথেষ্ট। f(x, y) > g(x, y). যদি এটি এই বিন্দুতে কার্যকর করা হয়, তাহলে এটি সম্পূর্ণ অংশে কার্যকর করা হবে যেখানে এই পয়েন্টটি রয়েছে। এই ধরনের অংশ একত্রিত, আমরা অনেক সমাধান প্রাপ্ত.

টাস্ক। y > এক্স.

সমাধান।প্রথমত, আমরা অসমতার চিহ্নটিকে একটি সমান চিহ্ন দিয়ে প্রতিস্থাপন করি এবং একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি লাইন তৈরি করি যাতে সমীকরণ রয়েছে y = এক্স.

এই লাইনটি সমতলকে দুই ভাগে ভাগ করে। এর পরে, প্রতিটি অংশে একটি পয়েন্ট নিন এবং এই বিন্দুতে অসমতা সন্তুষ্ট কিনা তা পরীক্ষা করুন y > এক্স.

টাস্ক।গ্রাফিকভাবে অসমতা সমাধান করুন
এক্স 2 + এ 2 £25।

দুই অসমতা দেওয়া যাক চ 1(x, y) > g 1(x, y)এবং চ 2(x, y) > g 2(x, y).

দুটি ভেরিয়েবল সহ অসমতার সেটের সিস্টেম

বৈষম্যের ব্যবস্থা হয় নিজেকে এই অসমতার সংমিশ্রণ। সিস্টেম সমাধান প্রতিটি অর্থ (x, y), যা প্রতিটি অসমতাকে সত্যিকারের সংখ্যাগত অসমতায় পরিণত করে। অনেক সমাধান সিস্টেম অসমতা হল অসমতার সমাধানের সেটগুলির ছেদ যা একটি প্রদত্ত সিস্টেম গঠন করে।

অসমতার সেট হয় নিজেকে এগুলোর বিচ্ছিন্নতা অসমতা সমাধান সেট করুন প্রতিটি অর্থ (x, y), যা অসমতার সেটের অন্তত একটিকে সত্যিকারের সংখ্যাগত অসমতায় রূপান্তরিত করে। অনেক সমাধান সম্পূর্ণতা অসমতার সমাধানের সেটগুলির একটি মিলন যা একটি সেট তৈরি করে।

টাস্ক।বৈষম্যের সিস্টেমটি গ্রাফিকভাবে সমাধান করুন

সমাধান। y = xএবং এক্স 2 + এ 2 = 25. আমরা সিস্টেমের প্রতিটি অসমতা সমাধান করি।

সিস্টেমের গ্রাফটি সমতলের বিন্দুগুলির সেট হবে যা প্রথম এবং দ্বিতীয় অসমতার সমাধানগুলির সেটগুলির ছেদ (ডাবল হ্যাচিং)।

টাস্ক।গ্রাফিকভাবে অসমতার একটি সেট সমাধান করুন

স্বাধীন কাজের জন্য ব্যায়াম

1. গ্রাফিকভাবে অসমতা সমাধান করুন: ক) এ> 2এক্স; খ) এ< 2এক্স + 3;

ভি) এক্স 2+ y 2 > 9; ছ) এক্স 2+ y 2 £4।

2. বৈষম্যের সিস্টেমগুলি গ্রাফিকভাবে সমাধান করুন:

ক) খ)

"দুটি ভেরিয়েবল সহ অসমতার সিস্টেম" ভিডিও পাঠটিতে এই বিষয়ে ভিজ্যুয়াল শিক্ষামূলক উপাদান রয়েছে। পাঠটিতে দুটি ভেরিয়েবলের সাথে অসমতার একটি সিস্টেম সমাধানের ধারণার বিবেচনা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, এই ধরনের সিস্টেমগুলিকে গ্রাফিকভাবে সমাধান করার উদাহরণ। এই ভিডিও পাঠের উদ্দেশ্য হল দুটি ভেরিয়েবলের সাথে গ্রাফিকভাবে অসমতার সিস্টেমগুলি সমাধান করার জন্য শিক্ষার্থীদের দক্ষতার বিকাশ করা, এই ধরনের সিস্টেমগুলির সমাধান খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটি বোঝার সুবিধার্থে এবং সমাধান পদ্ধতিটি মুখস্থ করা।

সমাধানের প্রতিটি বর্ণনার সাথে অঙ্কন রয়েছে যা স্থানাঙ্ক সমতলে সমস্যার সমাধান প্রদর্শন করে। এই ধরনের পরিসংখ্যান স্পষ্টভাবে গ্রাফ নির্মাণের বৈশিষ্ট্য এবং সমাধানের সাথে সম্পর্কিত পয়েন্টগুলির অবস্থান দেখায়। সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ বিবরণ এবং ধারণা রঙ ব্যবহার করে হাইলাইট করা হয়. এইভাবে, একটি ভিডিও পাঠ হল শ্রেণীকক্ষে শিক্ষকের সমস্যা সমাধানের জন্য একটি সুবিধাজনক হাতিয়ার এবং ছাত্রদের সাথে স্বতন্ত্র কাজের জন্য উপাদানের একটি মানক ব্লক উপস্থাপন করা থেকে শিক্ষককে মুক্ত করে।

ভিডিও পাঠ শুরু হয় বিষয়ের সাথে পরিচয় করিয়ে দিয়ে এবং অসমতা x সমন্বিত একটি সিস্টেমের সমাধান খোঁজার উদাহরণ বিবেচনা করে<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

উদাহরণ বিবেচনা করে অসমতার একটি ব্যবস্থা সমাধানের বিষয়ে টানা সিদ্ধান্তের বোঝা জোরদার করা হয়। অসমতার সিস্টেমের সমাধান x 2 + y 2 প্রথমে বিবেচনা করা হয়<=9 и x+y>=2। স্পষ্টতই, স্থানাঙ্ক সমতলের প্রথম অসমতার সমাধানের মধ্যে রয়েছে বৃত্ত x 2 + y 2 = 9 এবং এর ভিতরের অঞ্চল। চিত্রের এই অঞ্চলটি অনুভূমিক ছায়ায় পূর্ণ। অসমতার সমাধানের সেট x+y>=2 এর মধ্যে রয়েছে রেখা x+y=2 এবং উপরে অবস্থিত অর্ধ-বিমান। এই এলাকাটি একটি ভিন্ন দিকে স্ট্রোক দ্বারা সমতলে নির্দেশিত হয়। এখন আমরা চিত্রে দুটি সমাধান সেটের ছেদ নির্ধারণ করতে পারি। এটি x 2 + y 2 বৃত্তের অংশে রয়েছে<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

এর পরে, আমরা y>=x-3 এবং y>=-2x+4 রৈখিক অসমতার সিস্টেমের সমাধান বিশ্লেষণ করি। চিত্রে, টাস্ক কন্ডিশনের পাশে, একটি সমন্বয় সমতল নির্মিত হয়েছে। y=x-3 সমীকরণের সমাধানগুলির সাথে সামঞ্জস্য রেখে এটিতে একটি সরল রেখা তৈরি করা হয়েছে। অসমতার সমাধান ক্ষেত্রফল y>=x-3 হবে এই লাইনের উপরে অবস্থিত এলাকা। সে ছায়াময়। দ্বিতীয় অসমতার সমাধানের সেটটি y=-2x+4 লাইনের উপরে অবস্থিত। এই সরলরেখাটিও একই স্থানাঙ্ক সমতলে নির্মিত হয় এবং সমাধান এলাকাটি হ্যাচ করা হয়। দুটি সেটের ছেদ হল দুটি সরলরেখা দ্বারা নির্মিত কোণ, এর অভ্যন্তরীণ অঞ্চলের সাথে। বৈষম্যের সিস্টেমের সমাধানের ক্ষেত্রটি ডাবল শেডিং দিয়ে পূর্ণ।

তৃতীয় উদাহরণটি বিবেচনা করার সময়, কেসটি বর্ণনা করা হয় যখন সিস্টেমের অসমতার সাথে সম্পর্কিত সমীকরণগুলির গ্রাফগুলি সমান্তরাল রেখা হয়। বৈষম্যের ব্যবস্থা y সমাধান করা প্রয়োজন<=3x+1 и y>=3x-2। y=3x+1 সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সমতলে একটি সরলরেখা তৈরি করা হয়। অসমতা y এর সমাধানের সাথে সম্পর্কিত মানগুলির পরিসর<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

ভিডিও পাঠ "দুটি ভেরিয়েবলের সাথে অসাম্যের সিস্টেম" স্কুলে একটি পাঠে একটি ভিজ্যুয়াল সহায়তা হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে বা নিজে থেকে উপাদান অধ্যয়ন করার সময় শিক্ষকের ব্যাখ্যা প্রতিস্থাপন করতে পারেন। স্থানাঙ্ক সমতলে অসমতা সমাধানের ব্যবস্থার একটি বিশদ, বোধগম্য ব্যাখ্যা দূরত্ব শিক্ষার সময় উপস্থিত উপাদানকে সাহায্য করতে পারে।