سلسلة ذات مصطلحات معقدة. سلسلة في المجال المركب سلسلة الأرقام ذات الأعداد المركبة

463. ما هو المعنى الهندسي للمتباينات: 1) إعادة ض> 0; 2) ايم ض< 0 ?

2. سلسلة ذات مصطلحات معقدة. خذ بعين الاعتبار تسلسل الأعداد المركبة ض 1، ض 2 , ض 3،...، حيث ض ع = س ع + iу ص (ع = 1، 2، 3، ...).رقم ثابت ج = أ + ثنائيةمُسَمًّى حدتسلسلات ض 1، ض 2 , ض 3،...، إذا كان لأي عدد صغير بشكل تعسفي δ>0 هناك مثل هذا العدد ن،ما هو المعنى ض صمع الأرقام ن > نتلبية عدم المساواة \ض ص-مع\< δ . في هذه الحالة يكتبون .

الشرط الضروري والكافي لوجود حد لتسلسل الأعداد المركبة هو كما يلي: العدد ج=أ+ثنائيةهي نهاية سلسلة من الأعداد المركبة × 1 +iу 1، x 2 +iу 2، x 3 +iу 3، …إذا وفقط إذا ، .

(1)

الذي أعضاؤه أرقام معقدة يسمى متقاربة,لو نالمجموع الجزئي للمتسلسلة S n at ص → ∞يميل إلى حد نهائي معين. وبخلاف ذلك، يتم استدعاء السلسلة (1). متشعب.

تتقارب المتسلسلة (1) فقط إذا كانت المتسلسلة ذات الحدود الحقيقية متقاربة

(2) تحقق من تقارب المتسلسلة، هذه المتسلسلة التي تشكل حدودها متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي؛ وبالتالي، فإن المتسلسلة المعطاة ذات الحدود المعقدة تتقارب تقاربًا مطلقًا. ^

474. أوجد مساحة التقارب للمتسلسلة

نص

1 الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة ولاية تومسك للهندسة المعمارية والهندسة المدنية صفوف مع أعضاء معقدين إرشادات للعمل المستقل تم إعدادها بواسطة LI Lesnyak، VA Starenchenko Tomsk

صفين مع أعضاء معقدين: تعليمات منهجية / تم تجميعها بواسطة LI Lesnyak، VA Starenchenko - تومسك: دار نشر جامعة تومسك للهندسة المعمارية والبناء، مع الأستاذ المراجع NN Belov Editor EY Glotova التعليمات المنهجية مخصصة للدراسة الذاتية من قبل طلاب السنة الأولى للجميع موضوعات التخصصات "سلسلة ذات أعضاء معقدة" في تخصص JNF "الرياضيات" تم نشرها وفقًا لقرار الندوة المنهجية لقسم الرياضيات العليا، بروتوكول 4 مارس تمت الموافقة عليه ودخل حيز التنفيذ من قبل نائب رئيس الجامعة للشؤون الأكاديمية VV Dzyubo من 5 إلى 55 تم إعداد التصميم الأصلي من قبل المؤلف موقع للطباعة تنسيق 6 84/6 ورق أوفست أوقات الكتابة منشور تعليمي l، 6 تداول 4 طلب دار نشر TGASU، 64، تومسك، ميدان سوليانايا، مطبوع من التصميم الأصلي في OOP TGASU 64، تومسك، شارع بارتيزانسكايا، 5

3 سلاسل ذات مصطلحات مركبة الموضوع سلاسل الأرقام ذات المصطلحات المعقدة تذكر أن الأعداد المركبة هي أرقام على الشكل z = x y، حيث x وy أرقام حقيقية، والوحدة التخيلية المحددة بالمساواة = - يُطلق على الأرقام x وy اسم الأجزاء الحقيقية والتخيلية من الرقم z، على التوالي وتدل على x = Rez، y = Imz من الواضح، بين النقاط M(x، y) من مستوى XOU مع نظام إحداثيات ديكارتية متعامدة وأرقام معقدة من النموذج z = x y، هناك تطابق واحد لواحد، ويسمى مستوى XOU بالمستوى المركب، وتسمى z نقطة من هذا المستوى، وتتوافق الأعداد الحقيقية مع محور الإحداثي السيني، ويسمى المحور الحقيقي، والأعداد التي على الشكل z = y تتوافق إلى المحور الإحداثي الذي يسمى المحور التخيلي، إذا كانت الإحداثيات القطبية للنقطة M(x,y) يشار إليها بـ r وj، فإن x = r cosj, y = r s j والرقم z سيكتب في النموذج: z = r (cosj sj)، حيث r = x y هذا الشكل من كتابة العدد المركب يسمى المثلثية، كتابة z في الشكل z = x y تسمى شكل جبري من أشكال الكتابة الرقم r يسمى معامل الرقم z، الرقم j هو الوسيطة (عند النقطة z = مفهوم الوسيطة غير ممتد) يتم تحديد معامل الرقم z بشكل فريد بواسطة الصيغة z = x y يتم تحديد الوسيطة j بشكل فريد فقط بموجب الشرط الإضافي - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 أرقام ض (الشكل) يجب أن نتذكر معنى ذلك أن y arq z - π يتم التعبير عنها من خلال< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >،ذ؛ x y arg z = -arctg، إذا x >، y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -، إذا x =، y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (شكل) М y r = j = p x Fig في الشكل المثلثي، سيتم كتابة الرقم z = - بالشكل: - = сos π s π и يوصى بتكرار العمليات على الأعداد المركبة بنفسك، دعنا فقط تذكر صيغة رفع الرقم z إلى قوة: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 الأسئلة الأساسية للنظرية إجابات مختصرة تعريف المتسلسلة ذات المصطلحات المركبة مفهوم تقارب المتسلسلة شرط ضروري للتقارب التعريف فليعطى تسلسل z ) = ( x y ) = z، z، z، من الأعداد المركبة A رمز النموذج ( å = z يسمى سلسلة، z هو مصطلح عام للسلسلة مفاهيم المجاميع الجزئية لسلسلة S وتقاربها وتباعدها تتوافق تمامًا مع المفاهيم المماثلة للسلسلة ذات المصطلحات الحقيقية. تسلسل جزئي مجموع المتسلسلة له الشكل: S = z؛ S = z z؛ S = z z z؛ إذا كان $lm S وهذا الحد محدودًا ويساوي الرقم S، فإن المتسلسلة تسمى متقاربة، والرقم S يسمى المجموع من السلسلة، وإلا فإن السلسلة تسمى متباعدة.تذكر أن تعريف نهاية سلسلة من الأعداد المركبة، الذي استخدمناه، لا يختلف رسميًا عن تعريف نهاية سلسلة من الأعداد الحقيقية: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 صفر من الحد العام z للمتسلسلة عند وهذا يعني أنه إذا تم خرق هذا الشرط، أي إذا lm z ¹، فإن المتسلسلة تتباعد، أما إذا lm z =، فإن مسألة تقارب المتسلسلة تبقى مفتوحة. من الممكن دراسة المتسلسلة å (x = للتقارب من خلال دراسة x و å = لتقارب المتسلسلة å = بحدود حقيقية؟ y، وإذا å x = S = حيث å S = (x y) = å = x u , و y = S، ثم S = S S، يتقارب - مثال تأكد من أن المتسلسلة å = è () xia، وستجد مجموعها 7

8 الحل المتسلسلة å تتقارب، t k ~ = () () عندما يكون مجموع S لهذه السلسلة يساوي (الفصل، الموضوع، n) المتسلسلة å تتقارب كتقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي، مع å = () и S b = - q = يتقارب، ومجموعه وبالتالي فإن المتسلسلة S = مثال على المتسلسلة å تتباعد، t k تتباعد = è! المتسلسلة التوافقية å في هذه الحالة، افحص المتسلسلة å = للتقارب! لا معنى له مثال المتسلسلة å π tg تتباعد، لأن = è المتسلسلة å π tg تم انتهاك الشرط الضروري للتقارب = π lm tg = p ¹ и 8

9 ما هي خصائص المتسلسلات المتقاربة ذات الحدود المعقدة؟ خصائصها هي نفس خصائص المتسلسلة المتقاربة ذات الحدود الحقيقية ويوصى بتكرار الخصائص 4 هل يوجد مفهوم التقارب المطلق للمتسلسلة ذات الحدود المركبة؟ النظرية (شرط كافي لتقارب المتسلسلة) إذا تقاربت المتسلسلة å = z فإن المتسلسلة å = z ستتقارب أيضًا، يبدو مفهوم التقارب المطلق للمتسلسلة å = z رسميًا تمامًا كما هو الحال في المتسلسلة ذات الحقيقية المصطلحات التعريف تسمى المتسلسلة å = z متقاربة تمامًا، إذا تقاربت المتسلسلة å = z مثال أثبت التقارب المطلق للمتسلسلة () () () 4 8 الحل لنستخدم الصورة المثلثية لكتابة العدد: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 ثم π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и يبقى فحص المتسلسلة å z للتقارب = = هذا متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي مع مقام؛ "مثل هذا التقدم يتقارب، وبالتالي فإن المتسلسلة تتقارب بشكل مطلق. عند إثبات التقارب المطلق، غالبًا ما يتم استخدام النظرية. لكي تتقارب المتسلسلة å = y (x) بشكل مطلق، فمن الضروري والكافي أن تكون كلتا المتسلسلتين å = على الاطلاق سلسلة الأمثلة å = (-) è cosπ ! x و å = y يتقاربان بشكل مطلق، t k يتقاربان تمامًا å (-)، ويمكن إثبات التقارب المطلق = للمتسلسلة å cosπ بسهولة: =!

11 cosπ، والصف هو å!! =! يتقارب بمعيار دالمبيرت بمعيار المقارنة المتسلسلة å cosπ تتقارب Þ سلسلة å =! يتقارب تمامًا cosπ =! حل المشكلات فحص السلسلة 4 للتقارب: å ; å (-) = è l l = è! ل å = π - كوس и α تان π ; 4 å = и ;! الحل å = è l l المتسلسلة تتباعد، لأن المتسلسلة å تتباعد، وهو ما يمكن تحديده بسهولة عن طريق اختبار المقارنة: >، والتوافقي = l سلسلة å كما هو معروف، يتباعد، لاحظ أنه مع = في هذه الحالة تكون المتسلسلة å بناءً على اختبار كوشي التكاملي = l يتقارب å (-) = è! ل

12 المتسلسلة متقاربة، لذا فإن å =! تتقارب على أساس اختبار نهاية دالمبيرت، وتتقارب المتسلسلة å (-) وفقًا للنظرية = l Leibniz å α π - π cos tg = и и من الواضح أن سلوك السلسلة سيعتمد على الأس α Let نكتب المتسلسلة باستخدام الصيغة β - cosβ = s: å α π π s tg = и في α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = المتسلسلة α å и и 4 = سوف تتقارب بشرط أن α >، أي من أجل α > وسوف تتباعد من أجل α أو من أجل سوف تتقارب، حيث أن π π tg ~ α Series å = α α π tg α

13 وبالتالي فإن المتسلسلة الأصلية سوف تتقارب وتتباعد عند α 4 å = и и! α > يتم فحص المتسلسلة å من أجل التقارب باستخدام = è اختبار نهاية كوشي: lm = lm = > Þ è المتسلسلة المتباعدة Þ e è Þ سوف تتباعد ويتم فحص السلسلة 5 الأصلية السلسلة 5 6 من أجل التقارب المطلق π cos ; 6 أ (8) (-)! =! å = الحل 5 å = π cos()! å = - π cos يتقارب بشكل مطلق، لذا إلى (-)! يتقارب وفقًا لمعيار المقارنة: π cos، والمتسلسلة å (-)! (-)! = (-)! يتقارب حسب اختبار دالمبيرت

14 4 6 å =!) 8 (إلى الصف!) 8 (å = تطبيق علامة دالمبيرت:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 افحص المتسلسلة 7 لمعرفة التقارب المطلق 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (الإجابات: 7، 8 متقاربان تمامًا ، 9 يتباعد، لا يتقارب تماما

16 الموضوع متسلسلات القوى ذات المصطلحات المعقدة عند دراسة قسم "المتسلسلات الوظيفية" تم النظر بالتفصيل في المتسلسلات التي كانت مصطلحاتها أعضاء في تسلسل معين من وظائف متغير حقيقي وكانت الأكثر جاذبية (خاصة من حيث التطبيقات) متسلسلة القوى، أي متسلسلة من الشكل å = a (x-x) ثبت (نظرية هابيل) أن كل متسلسلة قوى لها فترة تقارب (x - R، x R)، ضمنها مجموع S (x) من المتسلسلة مستمرة وأن متسلسلات القوى ضمن فترة التقارب يمكن اشتقاقها حدًا بعد حد وتكامل حدًا بعد حد، هذه هي الخصائص الرائعة لمتسلسلة القوى التي فتحت أوسع الاحتمالات لتطبيقاتها العديدة، في هذا الموضوع سننظر في متسلسلة القوى ليس بمصطلحات حقيقية، بل بمصطلحات معقدة 6 أسئلة أساسية في النظرية إجابات قصيرة تعريف متسلسلة القوى متسلسلة القوى هي متسلسلة وظيفية من الشكل å = a (z - z)، () حيث يتم إعطاء a وz أرقامًا مركبة، و z هو متغير معقد، في حالة خاصة عندما يكون z =، تكون متسلسلة القوى على الشكل å = a z ()

17 من الواضح أن المتسلسلة () اختزلت إلى المتسلسلة () عن طريق إدخال متغير جديد W = z - z، لذلك سنتعامل بشكل أساسي مع متسلسلة من الشكل () نظرية هابيل إذا تقاربت متسلسلة القوى () عند z = z ¹، ثم يتقارب، علاوة على ذلك، على الإطلاق لأي Z الذي Z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 نظرية هابيل لها نتيجة طبيعية، والتي تنص على أنه إذا كانت المتسلسلة å = a z تتباعد عن * z = z، فإنها سوف تتباعد أيضًا لأي z حيث * z > z هل هناك مفهوم نصف القطر لسلسلة القوى () و ( ) التقارب؟ نعم، هناك نصف قطر التقارب R، وهو رقم له خاصية أن جميع z، والتي z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, المتسلسلة () تتباعد 4 ما هي منطقة تقارب المتسلسلة ()؟ إذا كان R هو نصف قطر تقارب المتسلسلة ()، فإن مجموعة النقاط z التي لها z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 هل من الممكن إيجاد نصف قطر التقارب a باستخدام الصيغتين R = lm و R = lm، a a التي حدثت لمتسلسلات القوى ذات الحدود الحقيقية؟ من الممكن، إذا كانت هذه الحدود موجودة إذا تبين أن R =، فهذا يعني أن المتسلسلة () تتقارب فقط عند النقطة z = أو z = z بالنسبة للمتسلسلة () عندما R = ستتقارب المتسلسلة على كاملها المستوى المركب مثال أوجد نصف قطر تقارب المتسلسلة å z = a الحل R = lm = lm = a وبالتالي تتقارب المتسلسلة داخل دائرة نصف القطر المثال مثير للاهتمام لأنه على حدود الدائرة x y< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 تذكر أن متسلسلة القوى å = a x ضمن فترة تقاربها لا تتقارب بشكل مطلق فحسب، بل تتقارب بشكل منتظم أيضًا، وهناك عبارة مماثلة تنطبق على المتسلسلة å = a z: إذا تقاربت متسلسلة القوى وكان نصف قطر تقاربها يساوي R، إذن هذه السلسلة في أي دائرة مغلقة z r بشرط أن r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 في دائرة نصف قطرها R > تقارب المتسلسلة، فإن هذه المتسلسلة هي متسلسلة تايلور للدالة f (z)، أي f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! معاملات المتسلسلة å = () f (z) a =! يتم حساب f () a (z - z) بالصيغة تذكر أن تعريف المشتق f (z) يُعطى رسميًا بنفس الطريقة تمامًا كما هو الحال بالنسبة للدالة f (x) لمتغير حقيقي، أي f (z) ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz قواعد تمييز الدالة f (z) هي نفس قواعد تمييز دالة المتغير الحقيقي 7 في أي حالة تكون الدالة f (ض) تسمى تحليلية عند النقطة ض؟ يتم إعطاء مفهوم الدالة التحليلية عند نقطة z عن طريق القياس مع مفهوم الدالة f (x) التي تكون تحليلية حقيقية عند نقطة x. التعريف تسمى الدالة f (z) تحليلية عند نقطة z إذا كانت موجودة R > بحيث يكون في الدائرة z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 نؤكد مرة أخرى أن تمثيل الدالة f(z) التحليلية عند نقطة z على شكل متسلسلة قوى فريد من نوعه، وهذه المتسلسلة هي متسلسلة تايلور الخاصة بها، أي أن معاملات المتسلسلة تحسب بواسطة الصيغة () و (ض) أ =! 8 وظائف أولية أساسية لمتغير معقد في نظرية سلسلة القوة لوظائف المتغير الحقيقي، تم الحصول على توسيع سلسلة الدالة e x: = å x x e, xî(-,) =! عند حل مثال النقطة 5، اقتنعنا أن المتسلسلة å z تتقارب على المستوى المركب بأكمله، وفي الحالة الخاصة لـ z = x، مجموعها يساوي e x وهذه الحقيقة تكمن وراء ما يلي - =! الفكرة التالية: بالنسبة للقيم المعقدة لـ z، تعتبر الدالة е z حسب التعريف مجموع السلسلة å z وهكذا، =! ض ه () ديف å ض = =! تعريف الوظائف ch z و sh z x - x بما أن ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! س يا (-،)،

23 والدالة e z محددة الآن لجميع المركبات z، فمن الطبيعي أن تؤخذ ch z = على المستوى المركب بأكمله، def z - z e e def z - z e - e sh z = هكذا: z -z k e - e z sh z = = الجيب الزائدي ; (ك)! å k = z - z å k e z cosh z = = جيب التمام الزائدي؛ ك = (ك)! shz th z = الظل الزائدي؛ chz chz cth z = ظل التمام الزائدي shz تعريف الدوال s z وcos z دعونا نستخدم التوسعات التي تم الحصول عليها سابقًا: å k k (-) s x x = k = (k)!، å k k (-) x cos x =، k = ( ك)! تتقارب المتسلسلة على خط الأعداد بأكمله، عند استبدال x في هذه المتسلسلة بـ z، نحصل على متسلسلة قوى ذات حدود مركبة، والتي، كما يسهل إظهارها، تتقارب على المستوى المعقد بأكمله، وهذا يسمح لنا بتحديد الدوال لأية z معقدة s z و cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å ك ك (-) ض كوس ض = (5) ك = (ك)!

24 9 العلاقة بين الدالة الأسية والدوال المثلثية في المستوى المركب الاستبدال في المتسلسلة å z z e = =! z بواسطة z، ثم بواسطة z، نحصل على: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! بما أن e ()) e k k = (-، سيكون لدينا: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) وبالتالي: z -z z -z e e - e сos z = ; s z = (6) من الصيغ التي تم الحصول عليها تتبع صيغة رائعة أخرى: z сos z s z = e (7) تسمى الصيغ (6) و (7) صيغ أويلر لاحظ أن هذه الصيغ صالحة أيضًا لـ z الحقيقي.في الحالة الخاصة لـ z = j، حيث j عدد حقيقي، فإن الصيغة (7) ستأخذ الشكل: j cos j sj = e (8) ثم الرقم المركب z = r (cos j s j) ستكتب بالصيغة : j z = re (9) الصيغة (9) تسمى الصيغة الأسية لكتابة العدد المركب z 4

25 صيغة تربط بين الدوال المثلثية والزائدة يمكن إثبات الصيغ التالية بسهولة: s z = sh z، sh z = s z، cos z = ch z، cos z = cos z لنثبت الصيغتين الأولى والرابعة (ينصح بإثبات الثانية وثالثًا بنفسك) دعنا نستخدم الصيغ ( 6) أويلر: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z باستخدام الصيغ sh z = s z وch z = cos z، من السهل إثبات خاصية مثيرة للدهشة للدوال s z وcos z، على عكس الدوال y = s x و y = cos x، فإن الدوال s z و cos z ليست محدودة بالقيمة المطلقة. في الواقع، إذا كانت في الصيغ المشار إليها، على وجه الخصوص، z = y، فإن s y = sh y، cos y = ch y هذا يعني أنه في المحور التخيلي s z وcos z ليسا محدودين بالقيمة المطلقة ومن المثير للاهتمام أن جميع الصيغ صالحة بالنسبة لـ s z وcos z، على غرار صيغ الدوال المثلثية s x وcos x. غالبًا ما تستخدم الصيغ المحددة عند الدراسة متسلسلة للتقارب مثال أثبت التقارب المطلق للمتسلسلة å s = الحل نفحص المتسلسلة å للتقارب s = كما لوحظ فإن الدالة s z المحصورة على المحور التخيلي ليست 5

26 لذلك لا يمكننا استخدام معيار المقارنة، سنستخدم الصيغة s = sh، ثم å = å s sh = = ندرس المتسلسلة å sh = باستخدام معيار دالمبرت: - () - - sh () ه - ه ه (ه - ه) ه lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () بما أن lm =، من الوحدات تتقارب تحت الشرط 8 - = 8 = وهكذا تكون المتسلسلة z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >نقاط الدائرة z = -، سوف تتقارب، وخارج هذه الدائرة أي تتباعد المتسلسلة، ندرس سلوك المتسلسلة عند z =، والتي تكون معادلتها في نظام الإحداثيات الديكارتية على شكل x (y) = عند z = 9، ستكون سلسلة القيم المطلقة على الشكل: å 8 - = å = = أن هذه المتسلسلة في دائرة مغلقة وتتقارب المتسلسلة الناتجة، هذا يعني أن z تتقارب مطلقًا أثبت أن الدالة å z z e = دورية مع الفترة π (هذه الخاصية للدالة e z تميزها بشكل كبير =! عن الدالة e x) إثبات نستخدم تعريف الدالة الدورية والصيغة (6) نحن بحاجة للتأكد من أن z z e π = e، حيث z = x y دعونا نبين أن الأمر كذلك: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e إذًا، e z هو a دالة دورية!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 احصل على صيغة تربط بين الرقمين e و π الحل دعونا نستخدم الصيغة الأسية لكتابة الرقم المركب j: z = re بالنسبة لـ z = - سيكون لدينا r =، j = π وبالتالي π e = - () صيغة مذهلة وهذا على الرغم من أن ظهور كل رقم من الأعداد π, e في الرياضيات لا علاقة له بظهور الرقمين الآخرين! الصيغة () مثيرة للاهتمام أيضًا لأنه اتضح أن الدالة الأسية e z، على عكس الدالة e x، يمكن أن تأخذ قيمًا سالبة e x 5 أوجد مجموع المتسلسلة å cos x =! الحل لنحول المتسلسلة x x сos x s x e (e) å = å = å!! س (ه) كوس س = = ث س ه = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) عند الحل، استخدمنا الصيغة = cos x s x مرتين ومد سلسلة الدالة (e x) e 6 قم بتوسيع الدالة f (x) = e x cos x في متسلسلة قوى، باستخدام مفك المتسلسلة للدالة x() x x x x e = e e = e cos x e s x الحل x() x() x e = å = å!! = = π cos s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! و 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 تتقارب السلسلة الناتجة على محور العدد بأكمله، وبالتالي إلى x π (x) () cos، والمتسلسلة å (x)! 4! =! س< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 أوجد نصف القطر R ودائرة التقارب للمتسلسلة 4 تحقق من سلوك المتسلسلة عند النقاط الحدودية لدائرة التقارب (عند النقاط الواقعة على الدائرة) å!(z -) ; å(ض); = = å () ض = () ; 4 å z = 9 الإجابات :) R =، تتقارب المتسلسلة عند النقطة z = - ;) R =، تتقارب المتسلسلة تمامًا في دائرة مغلقة z مع مركزها عند النقطة z = - أو تخضع لـ x (y) ;) R =, تتقارب السلسلة بشكل مطلق في دائرة مغلقة z أو تخضع ل x y ; 4) R =، تتقارب المتسلسلة بشكل مطلق في دائرة مغلقة z أو تحت الشرط x y 9 7 قم بتوسيع الدالة f (x) = e x s x, () x في متسلسلة قوى باستخدام توسيع السلسلة للدالة e 8 تأكد من ذلك لأي مركب z ستحدث الصيغ: s z = s z cos z، s z cos z =، s (z π) = s z (استخدم صيغ أويلر)

31 قائمة القراءة الموصى بها الأدب الأساسي Piskunov، NS حساب التفاضل والتكامل للكليات / NS Piskunov T M: Nauka، 8 S 86 9 Fichtengolts، GM أساسيات التحليل الرياضي / GM Fichtengolts T - St. صفوف نظرية NN / NN Vorobyov - سانت بطرسبرغ: Lan، 8 48 s 4 مكتوب، DT ملاحظات محاضرة حول الرياضيات العليا Ch / DT مكتوب M: Iris-press، 8 5 الرياضيات العليا في التمارين والمشاكل Ch / PE Danko، AG Popov ، TY Kozhevnikova [إلخ.] M: ONICS، 8 C الأدب الإضافي Kudryavtsev، LD دورة التحليل الرياضي / LD Kudryavtsev TM: المدرسة الثانوية، 98 C Khabibullin، MV الأرقام المركبة: المبادئ التوجيهية / MV Khabibullin Tomsk، TGASU، 9 6 s مولدوفانوف ، EA الصفوف والتحليل المعقد: كتاب مدرسي / EA مولدوفانوفا، AN خارلاموفا، VA كيلين تومسك: TPU، 9

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة ولاية تومسك للهندسة المعمارية والهندسة المدنية FOURIER SERIES FOURIER INTEGRAL AS A LIMITING CASE OF FOURIER SERIES إرشادات للعمل المستقل

RANKS Khabarovsk 4 4 NUMBER SERIES سلسلة الأرقام هي تعبير حيث، الأرقام التي تشكل تسلسل عددي لا نهائي، الحد العام للسلسلة، حيث N (N هي مجموعة الأعداد الطبيعية) مثال

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة أرخانجيلسك الحكومية التقنية كلية الهندسة المدنية RANKS إرشادات لاستكمال مهام العمل المستقل أرخانجيلسك

جامعة موسكو التقنية الحكومية للطيران المدني V.M. ليوبيموف، أ. جوكوفا، ف. أوخوفا، يو.أ. دليل الرياضيات Shurinov لدراسة الانضباط ومهام الاختبار

5 متسلسلة القوى 5 متسلسلة القوى: التعريف، منطقة التقارب المتسلسلة الوظيفية من الشكل (a + a) + a () + K + a () + K a) (، (5) حيث، a، a، K، a ،k هي بعض الأرقام تسمى أرقام سلسلة الطاقة

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة موسكو الحكومية للجيوديسيا ورسم الخرائط (MIIGAiK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev تعليمي للطلاب في دراسة مستقلة

الموضوع سلسلة أرقام معقدة ضع في اعتبارك سلسلة أرقام k ak مع أرقام مركبة من النموذج تسمى السلسلة متقاربة إذا تقارب التسلسل S من مجاميعها الجزئية S a k k. علاوة على ذلك، فإن الحد S للتسلسل

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي نظرية وظائف المتغير المعقد الدليل المنهجي من تأليف: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova مراجعة الدليل المنهجي حول نظرية الوظائف

8 سلسلة أرقام مركبة خذ بعين الاعتبار سلسلة أرقام ذات أرقام مركبة من الشكل k a، (46) حيث (a k) عبارة عن تسلسل رقمي محدد بشروط معقدة k تسمى السلسلة (46) متقاربة إذا

محاضرات من إعداد الأستاذ المشارك موسينا MV تعريف التعبير عن شكل السلسلة العددية والوظيفية سلسلة الأرقام: المفاهيم الأساسية ()، حيث تسمى سلسلة أرقام (أو ببساطة سلسلة) أرقام، أعضاء السلسلة (تعتمد

كلية المعادن قسم الرياضيات العليا الرتب التعليمات المنهجية نوفوكوزنتسك 5 الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي جامعة ولاية نوفغورود التي سميت باسمها

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية الفيدرالية للتعليم المهني العالي الجامعة الفيدرالية الجنوبية R. M. Gavrilova، G. S. Kostetskaya المنهجية

سلسلة الأرقام التسلسل الرقمي Def التسلسل الرقمي هو دالة عددية محددة على مجموعة الأعداد الطبيعية x - عضو عام في التسلسل x =، x =، x =، x =،

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة موسكو الحكومية للجيوديسيا ورسم الخرائط (MIIGAiK) تعليمات منهجية ومهام للعمل المستقل في دورة الرياضيات العليا العددية

إرشادات منهجية لمهام الحساب في مقرر الرياضيات العليا "سلسلة المعادلات التفاضلية العادية التكاملات المزدوجة" الجزء سلسلة الموضوع المحتويات السلسلة سلسلة الأرقام التقارب والتباعد

الوكالة الفيدرالية للتعليم مؤسسة تعليمية حكومية للتعليم المهني العالي جامعة ولاية نوفغورود سميت باسم معهد ياروسلاف الحكيم للإلكترونيات

وزارة التعليم في جمهورية بيلاروسيا جامعة فيتيبسك الحكومية التكنولوجية الموضوع. "الصفوف" قسم الرياضيات النظرية والتطبيقية. تم تطويره بواسطة مساعد. إي بي. دنينا. أساسي

وزارة النقل في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية الحكومية الفيدرالية للتعليم المهني العالي مدرسة أوليانوفسك العليا للطيران معهد الطيران المدني

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "ولاية تومسك للهندسة المعمارية والبناء

قسم الرياضيات العليا Sgups تعليمات منهجية لإجراء العمليات الحسابية القياسية "سلسلة" نوفوسيبيرسك 006 بعض المعلومات النظرية سلسلة الأرقام Let u ; ش ; ش ; ; ش ; هناك عدد لا نهائي

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي جامعة ولاية قازان للهندسة المعمارية والإنشاءات قسم الرياضيات العليا السلاسل العددية والوظيفية المبادئ التوجيهية لـ

المحاضرة ن 7. متسلسلة القوى ومتسلسلة تايلور.. متسلسلة القوى..... متسلسلة تايلور.... 4. توسيع بعض الدوال الأولية إلى متسلسلة تايلور وماكلورين.... 5 4. تطبيق متسلسلة القوى... 7. القوة

موضوع الوحدة المتتابعات والمتسلسلات الوظيفية خصائص التقارب المنتظم للمتتابعات والمتسلسلات محاضرة متسلسلات القوى تعريفات المتتابعات والمتسلسلات الوظيفية بشكل موحد

جامعة بيلاروسيا الحكومية للاقتصاد كلية قسم المعلومات الاقتصادية والاقتصاد الرياضي صفوف مذكرات محاضرات وورشة عمل لطلبة الاقتصاد

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي جامعة أوليانوفسك التقنية الحكومية سلسلة عددية ووظيفية سلسلة فوريير أوليانوفسك UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 مرشح مراجع للفيزياء والرياضيات

3724 المتسلسلات المتعددة والتكاملات المنحنية 1 برنامج عمل الأقسام "المتسلسلات المتعددة والتكاملات المنحنية" 11 سلسلة الأرقام مفهوم سلسلة الأرقام خصائص سلسلة الأرقام علامة التقارب الضرورية

الفصل سلسلة التدوين الرسمي لمجموع حدود بعض التسلسلات الرقمية تسمى سلاسل الأرقام سلاسل رقمية مجموع S تسمى مجاميع جزئية للسلسلة إذا كان هناك حد lim S، S ثم السلسلة

محاضرة. سلسلة وظيفية. تعريف المتسلسلة الوظيفية تسمى السلسلة التي يكون أعضاؤها دوال لـ x وظيفية: u = u (x) + u + K+ u + K = بإعطاء x قيمة معينة x، نحن

في. جوك، أ.م. سلسلة كاماتشكين 1 للطاقة. نصف قطر التقارب وفاصل التقارب. طبيعة التقارب. التكامل والتمايز. 1.1 نصف قطر التقارب وفاصل التقارب. النطاق الوظيفي

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة سيبيريا الصناعية الحكومية"

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة سيبيريا الصناعية الحكومية"

التحليل الرياضي القسم : المتسلسلة العددية والدالة الموضوع : متسلسلة القوى . توسيع الوظيفة إلى سلسلة الطاقة المحاضر Rozhkova S.V. 3 34. متسلسلة القوى متسلسلة القوى هي سلسلة من القوى

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي ميزانية الدولة الفيدرالية المؤسسة التعليمية للتعليم المهني العالي "جامعة سمارة الحكومية للطيران والفضاء"

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي البحوث الوطنية جامعة ولاية نيجني نوفغورود التي تحمل اسم NI Lobachevsky NP Semerikova AA Dubkov AA Kharceva صفوف الوظائف التحليلية

اختبارات "المتسلسلات" للاختبار الذاتي علامة ضرورية لتقارب المتسلسلة النظرية علامة تقارب ضرورية إذا تقاربت المتسلسلة فإن lim + نتيجة طبيعية شرط كافي لتباعد المتسلسلة إذا تباعدت المتسلسلة

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي فرع أتشينسك للمؤسسة التعليمية المستقلة للدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "الجامعة الفيدرالية السيبيرية" الرياضيات

(مجال متسلسلة القوى الوظيفية لترتيب التقارب لإيجاد فترة التقارب - مثال نصف قطر فترة التقارب من الأمثلة) دع إعطاء تسلسل لا نهائي من الوظائف، وظيفية

سلسلة الأرقام مفاهيم عامة التعريف إذا كان كل رقم طبيعي مرتبطًا بعدد معين وفقًا لقانون معين، فإن مجموعة الأرقام المرقمة تسمى تسلسلًا رقميًا،

وزارة التعليم في الاتحاد الروسي MATI - الجامعة التكنولوجية الحكومية الروسية التي تحمل اسم KE TSIOLKOVSKY قسم الرياضيات العليا الرتب المبادئ التوجيهية للدورة الدراسية التي تم تجميعها بواسطة:

المحاضرة 3 متسلسلة تايلور وماكلورين تطبيق متسلسلة القوى توسيع الدوال إلى متسلسلة قوى سلسلة تايلور وماكلورين بالنسبة للتطبيقات، من المهم أن تكون قادرًا على توسيع دالة معينة إلى متسلسلة قوى، تلك الدوال

المعهد الحكومي للتعليم المهني العالي "الجامعة البيلاروسية الروسية" قسم "الرياضيات العليا" الرياضيات العليا تحليل الرياضيات الرتب التوصيات المنهجية

درس المتسلسلة العددية والقوى. سلسلة أرقام. مجموع السلسلة. علامات التقارب.. احسب مجموع المتسلسلة. 6 الحل. مجموع شروط التقدم الهندسي اللانهائي q يساوي، حيث q هو مقام التقدم.

وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا المؤسسة التعليمية "جامعة موغيليف الحكومية للأغذية" قسم الرياضيات العليا مبادئ توجيهية للرياضيات العليا للتطبيق العملي

المحاضرة السادسة تفكيك الدالة إلى متسلسلة قوى تفرد التوسع في متسلسلة تايلور وماكلورين تفكيك الدالة إلى متسلسلة قوى لبعض الدوال الأساسية تطبيق متسلسلة القوى في المحاضرات السابقة

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "ولاية تومسك للهندسة المعمارية والبناء

4 سلسلة الوظائف 4 تعريفات أساسية دع تسلسلًا لا نهائيًا من الوظائف ذات مجال تعريف مشترك X u)، u ()، K، u ()،K (تعريف التعبير u) + u () + K + u () +

عناصر نظرية دوال حساب التفاضل والتكامل المتغير المركب نتيجة لدراسة هذا الموضوع يجب على الطالب أن يتعلم: العثور على الأشكال المثلثية والأسية للعدد المركب وفقا ل

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي "جامعة أورال الحكومية التربوية" كلية قسم الرياضيات

جامعة ولاية كازان قسم الإحصاء الرياضي السلاسل العددية الدليل التعليمي والمنهجي KAZAN 008 تم النشر بقرار من قسم المجلس العلمي والمنهجي لجامعة كازان

السلسلة الوظيفية السلسلة الوظيفية ومجموعها ومجالها الوظيفي o دع سلسلة من الوظائف k تعطى في المجال Δ للأعداد الحقيقية أو المركبة (k 1 تسمى السلسلة الوظيفية

الوكالة الفيدرالية للتعليم جامعة موسكو الحكومية للجيوديسيا ورسم الخرائط (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova برنامج تعليمي للطلاب للدراسة المستقلة للقسم

الفصل سلسلة القوى a a a A المتسلسلة ذات الشكل a a a a a () تسمى متسلسلة القوى، حيث a هي ثوابت تسمى معاملات السلسلة. في بعض الأحيان يتم اعتبار متسلسلة القوى بشكل أكثر عمومية: a a(a) a(a) أ(أ) ()، حيث

المحاضرة رقم 34. سلسلة أرقام ذات مصطلحات معقدة. متسلسلة القوى في المجال المعقد. وظائف تحليلية. الدوال العكسية.. المتسلسلة الرقمية ذات الحدود المركبة.. متسلسلة القوى في المجال المركب....

مهمة الخيار احسب قيمة الوظيفة، ثم أعط الإجابة في صورة جبرية: a sh ; ب ل الحل أ دعونا نستخدم صيغة العلاقة بين الجيب المثلثي والجيب الزائدي: ; ش -س احصل على

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي جامعة أوختا التقنية الحكومية المبادئ التوجيهية للأرقام المجمعة

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية بميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "جامعة ولاية سمارة التقنية" قسم الرياضيات التطبيقية

السلسلة الوظيفية المحاضرات 7-8 1 منطقة التقارب 1 سلسلة من الشكل u () u () u () u ()، 1 2 u () حيث يتم تعريف الوظائف على فترة معينة تسمى السلسلة الوظيفية . مجموعة جميع النقاط

الوكالة الفيدرالية للتعليم المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي جامعة أوختا التقنية الحكومية (USTU) وظائف محدودة المنهجية

محاضرة متناهية الصغر المكافئة الحدود الملحوظة الأولى والثانية مقارنة بين الدوال الكبيرة المتناهية الصغر والدوال المتناهية الصغر تسمى الوظيفة f () متناهية الصغر عند نقطة a (في a) إذا (

وزارة التعليم والعلوم في الاتحاد الروسي المؤسسة التعليمية لميزانية الدولة الفيدرالية للتعليم المهني العالي "ولاية تومسك للهندسة المعمارية والبناء

محاضرة المتسلسلة العددية علامات التقارب المتسلسلة العددية علامات التقارب تعبير لا نهائي من تسلسل رقمي + + + + مكون من حدود لا نهائية ويسمى متسلسلة أعدادية Numbers،

EV Nebogina، OS Afanasyeva سلسلة التدريب العملي في الرياضيات العليا سمارة 9 الوكالة الفيدرالية للتعليم المعهد التعليمي الحكومي للتعليم المهني العالي "SAMRSKY"

الفصل الثالث حساب التكامل لدوال عدة متغيرات، دوال المتغير المركب، المتسلسلة التكاملات المزدوجة الأدب: ، الفصل. ,جلي; ، الفصل الثاني عشر، 6 لحل المشاكل المتعلقة بهذا الموضوع من الضروري،