الرسم البياني على الانترنت. كيفية رسم دالة بيانية بالنقاط على المستوى الإحداثي
وظيفة البناء
نحن نقدم انتباهكم إلى خدمة إنشاء الرسوم البيانية للوظائف عبر الإنترنت، وجميع الحقوق مملوكة للشركة ديسموس. استخدم العمود الأيسر لإدخال الوظائف. يمكنك الدخول يدويًا أو باستخدام لوحة المفاتيح الافتراضية الموجودة أسفل النافذة. لتكبير نافذة الرسم البياني، يمكنك إخفاء كل من العمود الأيسر ولوحة المفاتيح الافتراضية.
فوائد الرسم البياني على الانترنت
- عرض مرئي للوظائف المدخلة
- بناء رسوم بيانية معقدة للغاية
- إنشاء الرسوم البيانية المحددة ضمنيًا (على سبيل المثال، القطع الناقص x^2/9+y^2/16=1)
- إمكانية حفظ المخططات واستقبال رابط لها، مما يصبح متاحًا للجميع على الإنترنت
- التحكم في المقياس ولون الخط
- إمكانية رسم الرسوم البيانية بالنقاط باستخدام الثوابت
- رسم العديد من الرسوم البيانية الوظيفية في وقت واحد
- التآمر في الإحداثيات القطبية (استخدم r و θ(\theta))
معنا، من السهل إنشاء مخططات متفاوتة التعقيد عبر الإنترنت. يتم البناء على الفور. الخدمة مطلوبة للعثور على نقاط تقاطع الوظائف، ولتصوير الرسوم البيانية لنقلها بشكل أكبر إلى مستند Word كرسوم توضيحية عند حل المشكلات، ولتحليل السمات السلوكية للرسوم البيانية الوظيفية. المتصفح الأمثل للعمل مع الرسوم البيانية على صفحة الموقع هذه هو Google Chrome. لا يتم ضمان التشغيل الصحيح عند استخدام متصفحات أخرى.
سبق أن درسنا دوالاً أخرى، مثلاً الخطية، لنتذكر شكلها القياسي:
ومن هنا جاء الاختلاف الأساسي الواضح - في الوظيفة الخطية Xتقف في الدرجة الأولى، وفي الوظيفة الجديدة بدأنا دراستها، Xيقف أمام القوة الثانية.
تذكر أن التمثيل البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم، والتمثيل البياني للدالة، كما سنرى، هو منحنى يسمى القطع المكافئ.
لنبدأ بمعرفة من أين جاءت الصيغة. التفسير هو كما يلي: إذا أعطينا مربعًا له ضلع أ، ثم يمكننا حساب مساحتها مثل هذا:
إذا غيرنا طول ضلع المربع، فإن مساحته ستتغير.
لذلك، هذا هو أحد أسباب دراسة الوظيفة
أذكر أن المتغير X- هذا متغير مستقل، أو حجة في التفسير المادي، يمكن أن يكون، على سبيل المثال، الوقت. وعلى العكس من ذلك فإن المسافة هي متغير تابع يعتمد على الزمن. المتغير التابع أو الدالة متغيرة في.
هذا هو قانون المراسلات الذي بموجبه يتم تحديد قيمة كل شيء Xيتم تعيين قيمة واحدة في.
يجب أن يفي أي قانون مراسلات بشرط التفرد من الحجة إلى الوظيفة. في التفسير المادي، يبدو هذا واضحًا تمامًا باستخدام مثال اعتماد المسافة على الزمن: في كل لحظة من الزمن نكون على مسافة معينة من نقطة البداية، ومن المستحيل أن نكون على بعد 10 و20 كيلومترًا من البداية. من الرحلة في نفس الوقت في الوقت ر.
وفي الوقت نفسه، يمكن تحقيق كل قيمة دالة باستخدام عدة قيم وسيطات.
لذلك، نحن بحاجة إلى إنشاء رسم بياني للوظيفة، ولهذا نحتاج إلى إنشاء جدول. ثم ادرس الدالة وخصائصها باستخدام الرسم البياني. لكن حتى قبل إنشاء رسم بياني بناءً على نوع الدالة، يمكننا أن نقول شيئًا عن خصائصها: من الواضح ذلك فيلا يمكن أن تأخذ القيم السلبية، منذ ذلك الحين
لذلك، دعونا نجعل الجدول:
أرز. 1
من السهل ملاحظة الخصائص التالية من الرسم البياني:
محور في- هذا هو محور التماثل في الرسم البياني؛
قمة القطع المكافئ هي النقطة (0؛ 0)؛
نرى أن الدالة تقبل فقط القيم غير السالبة؛
في الفاصل حيث 
وتتناقص الدالة، وعلى الفترة التي تزيد فيها الدالة؛
تكتسب الدالة أصغر قيمة لها عند الرأس، 
;
لا توجد قيمة أعظم للدالة؛
مثال 1
حالة:
حل:
بسبب ال Xمن خلال تغيرات الحالة خلال فترة محددة، يمكننا أن نقول عن الدالة أنها تزيد وتتغير على الفترة. الدالة لها قيمة صغرى وقيمة عظمى في هذه الفترة
أرز. 2. رسم بياني للدالة y = x 2 , x ∈
مثال 2
حالة:أوجد أكبر وأصغر قيمة للدالة:
حل:
Xالتغييرات على مدى الفترة الفاصلة، وهو ما يعني فييتناقص على الفاصل الزمني بينما ويزيد على الفاصل الزمني بينما .
إذن حدود التغيير X، وحدود التغيير فيوبالتالي، يوجد في فترة زمنية معينة قيمة صغرى للدالة وقيمة عظمى
أرز. 3. الرسم البياني للدالة y = x 2 , x ∈ [-3; 2]
دعونا نوضح حقيقة أنه يمكن تحقيق نفس قيمة الوظيفة باستخدام عدة قيم وسيطة.
الرسم البياني للدالة هو تمثيل مرئي لسلوك الوظيفة على المستوى الإحداثي. تساعدك الرسوم البيانية على فهم الجوانب المختلفة للوظيفة التي لا يمكن تحديدها من الوظيفة نفسها. يمكنك بناء رسوم بيانية للعديد من الوظائف، وسيتم إعطاء كل منها صيغة محددة. يتم إنشاء الرسم البياني لأي دالة باستخدام خوارزمية محددة (إذا كنت قد نسيت العملية الدقيقة لرسم دالة معينة).
خطوات
رسم بياني للدالة الخطية
- إذا كان الميل سالبًا، فإن الدالة تتناقص.
-
من النقطة التي يتقاطع فيها الخط المستقيم مع المحور Y، ارسم نقطة ثانية باستخدام المسافات الرأسية والأفقية. يمكن رسم دالة خطية باستخدام نقطتين. في مثالنا، نقطة التقاطع مع المحور Y لها إحداثيات (0.5)؛ من هذه النقطة، حرك مسافتين للأعلى ثم مسافة واحدة إلى اليمين. ضع علامة على نقطة؛ سيكون لها إحداثيات (1،7). الآن يمكنك رسم خط مستقيم.
باستخدام المسطرة، ارسم خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطتين.لتجنب الأخطاء، ابحث عن النقطة الثالثة، ولكن في معظم الحالات يمكن رسم الرسم البياني باستخدام نقطتين. وهكذا، قمت برسم دالة خطية.
رسم النقاط على المستوى الإحداثي
-
تحديد وظيفة.تتم الإشارة إلى الوظيفة كـ f(x). تسمى جميع القيم الممكنة للمتغير "y" بمجال الدالة، وتسمى جميع القيم الممكنة للمتغير "x" بمجال الدالة. على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار الدالة y = x+2، وهي f(x) = x+2.
ارسم خطين متعامدين متقاطعين.الخط الأفقي هو المحور X والخط العمودي هو المحور Y.
قم بتسمية محاور الإحداثيات.قسم كل محور إلى أجزاء متساوية وقم بترقيمها. نقطة تقاطع المحاور هي 0. بالنسبة للمحور X: يتم رسم الأرقام الموجبة إلى اليمين (من 0)، والأرقام السالبة إلى اليسار. بالنسبة للمحور Y: يتم رسم الأرقام الموجبة في الأعلى (من 0)، والأرقام السالبة في الأسفل.
ابحث عن قيم "y" من قيم "x".في مثالنا، f(x) = x+2. استبدل قيم x محددة في هذه الصيغة لحساب قيم y المقابلة. إذا أعطيت دالة معقدة، قم بتبسيطها عن طريق عزل "y" في أحد طرفي المعادلة.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
رسم النقاط على المستوى الإحداثي.لكل زوج من الإحداثيات، قم بما يلي: ابحث عن القيمة المقابلة على المحور X وارسم خطًا رأسيًا (منقطًا)؛ ابحث عن القيمة المقابلة على المحور Y وارسم خطًا أفقيًا (خط متقطع). حدد نقطة تقاطع الخطين المنقطين؛ وهكذا، قمت برسم نقطة على الرسم البياني.
محو الخطوط المنقطة.افعل ذلك بعد رسم جميع النقاط على الرسم البياني على المستوى الإحداثي. ملحوظة: الرسم البياني للدالة f(x) = x هو خط مستقيم يمر عبر مركز الإحداثيات [نقطة بإحداثيات (0,0)]؛ الرسم البياني f(x) = x + 2 هو خط موازي للخط f(x) = x، ولكنه مُزاح لأعلى بمقدار وحدتين وبالتالي يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (0,2) (لأن الثابت هو 2) .
رسم بياني لوظيفة معقدة
أوجد أصفار الدالة.أصفار الدالة هي قيم المتغير x حيث y = 0، أي أن هذه هي النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور X. ضع في اعتبارك أنه ليست كل الدوال بها أصفار، ولكنها الأولى خطوة في عملية الرسم البياني لأي وظيفة. للعثور على أصفار دالة، قم بمساواتها بالصفر. على سبيل المثال:
ابحث عن الخطوط المقاربة الأفقية وحددها.الخط المقارب هو خط يقترب منه الرسم البياني للدالة ولكنه لا يتقاطع معه أبدًا (أي أنه في هذه المنطقة لا يتم تعريف الدالة، على سبيل المثال، عند القسمة على 0). ضع علامة على الخط المقارب بخط منقط. إذا كان المتغير "x" موجودًا في مقام الكسر (على سبيل المثال، y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))) ، اضبط المقام على الصفر وابحث عن "x". في القيم التي تم الحصول عليها للمتغير "x" لم يتم تعريف الدالة (في مثالنا، ارسم خطوطًا منقطة عبر x = 2 و x = -2)، لأنه لا يمكنك القسمة على 0. لكن الخطوط المقاربة لا توجد فقط في الحالات التي تحتوي فيها الدالة على تعبير كسري. لذلك يوصى باستخدام المنطق السليم:
-
تحديد ما إذا كانت الدالة خطية.يتم إعطاء الدالة الخطية بواسطة صيغة النموذج F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)أو ص = ك س + ب (\displaystyle y=kx+b)(على سبيل المثال، )، ورسمه البياني عبارة عن خط مستقيم. وبالتالي، تتضمن الصيغة متغيرًا واحدًا وثابتًا واحدًا (ثابتًا) دون أي أسس أو علامات جذر أو ما شابه. إذا تم إعطاء دالة من نوع مماثل، فمن السهل جدًا رسم رسم بياني لهذه الوظيفة. فيما يلي أمثلة أخرى للوظائف الخطية:
استخدم ثابتًا لتحديد نقطة على المحور Y.الثابت (b) هو الإحداثي "y" للنقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور Y، أي أنها نقطة يساوي إحداثيها "x" 0. وبالتالي، إذا تم استبدال x = 0 في الصيغة. ، ثم ص = ب (ثابت). في مثالنا ص = 2 س + 5 (\displaystyle y=2x+5)الثابت يساوي 5، أي أن نقطة التقاطع مع المحور Y لها إحداثيات (0.5). ارسم هذه النقطة على المستوى الإحداثي.
العثور على منحدر من الخط.وهو يساوي مضاعف المتغير. في مثالنا ص = 2 س + 5 (\displaystyle y=2x+5)مع المتغير "x" هناك عامل 2؛ وبالتالي فإن معامل الميل يساوي 2. ويحدد معامل الميل زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور X، أي أنه كلما زاد معامل الميل، زادت سرعة الدالة أو نقصانها.
اكتب الميل في صورة كسر.المعامل الزاوي يساوي ظل زاوية الميل، أي نسبة المسافة العمودية (بين نقطتين على خط مستقيم) إلى المسافة الأفقية (بين نفس النقاط). في مثالنا، الميل هو 2، لذلك يمكننا أن نذكر أن المسافة الرأسية هي 2 والمسافة الأفقية هي 1. اكتب هذا في صورة كسر: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
عادةً ما يسبب إنشاء الرسوم البيانية للوظائف التي تحتوي على وحدات صعوبات كبيرة لأطفال المدارس. ومع ذلك، كل شيء ليس سيئا للغاية. يكفي أن تتذكر بعض الخوارزميات لحل مثل هذه المشكلات، ويمكنك بسهولة إنشاء رسم بياني حتى للوظيفة الأكثر تعقيدًا. دعونا نتعرف على نوع هذه الخوارزميات.
1. رسم رسم بياني للدالة y = |f(x)|
لاحظ أن مجموعة قيم الدالة y = |f(x)| : y ≥ 0. وبالتالي، فإن الرسوم البيانية لهذه الوظائف تقع دائمًا بالكامل في النصف العلوي من المستوى.
رسم رسم بياني للدالة y = |f(x)| يتكون من الخطوات الأربع البسيطة التالية.
1) أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) بعناية ودقة.
2) اترك جميع النقاط على الرسم البياني الموجودة أعلى أو على المحور 0x دون تغيير.
3) اعرض جزء الرسم البياني الذي يقع أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة للمحور 0x.
مثال 1. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = |x 2 – 4x + 3|
1) قمنا ببناء رسم بياني للدالة y = x 2 – 4x + 3. من الواضح أن الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ. لنجد إحداثيات جميع نقاط تقاطع القطع المكافئ مع محاور الإحداثيات وإحداثيات رأس القطع المكافئ.
س 2 - 4س + 3 = 0.
× 1 = 3، × 2 = 1.
ولذلك، فإن القطع المكافئ يتقاطع مع المحور 0x عند النقطتين (3، 0) و (1، 0).
ص = 0 2 - 4 0 + 3 = 3.
ولذلك فإن القطع المكافئ يتقاطع مع المحور 0y عند النقطة (0، 3).
إحداثيات قمة القطع المكافئ:
س في = -(-4/2) = 2، ص في = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
وبالتالي فإن النقطة (2، -1) هي رأس هذا القطع المكافئ.
ارسم قطعًا مكافئًا باستخدام البيانات التي تم الحصول عليها (رسم بياني 1)
2) يتم عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة للمحور 0x.
3) نحصل على رسم بياني للوظيفة الأصلية ( أرز. 2، موضحة بالخط المنقط).
2. رسم الدالة y = f(|x|)
لاحظ أن دوال النموذج y = f(|x|) زوجية:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). وهذا يعني أن الرسوم البيانية لهذه الوظائف متناظرة حول المحور 0y.
رسم رسم بياني للدالة y = f(|x|) يتكون من سلسلة الإجراءات البسيطة التالية.
1) ارسم بيانيًا الدالة y = f(x).
2) اترك ذلك الجزء من الرسم البياني الذي تكون فيه x ≥ 0، أي جزء الرسم البياني الموجود في نصف المستوى الأيمن.
3) عرض جزء الرسم البياني المحدد في النقطة (2) بشكل متماثل مع المحور 0y.
4) في الرسم البياني النهائي، حدد اتحاد المنحنيات التي تم الحصول عليها في النقطتين (2) و (3).
مثال 2. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = x 2 – 4 · |x| + 3
بما أن x 2 = |x| 2، فيمكن إعادة كتابة الدالة الأصلية بالشكل التالي: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. الآن يمكننا تطبيق الخوارزمية المقترحة أعلاه.
1) قمنا ببناء رسم بياني للدالة y = x 2 – 4 x + 3 بعناية ودقة (انظر أيضًا أرز. 1).
2) نترك ذلك الجزء من الرسم البياني الذي تكون فيه x ≥ 0، أي جزء الرسم البياني الموجود في نصف المستوى الأيمن.
3) اعرض الجانب الأيمن من الرسم البياني بشكل متناظر مع المحور 0y.
(تين. 3).
مثال 3. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = log 2 |x|
نحن نطبق المخطط المذكور أعلاه.
1) أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = log 2 x (الشكل 4).
3. رسم الدالة y = |f(|x|)|
لاحظ أن دوال النموذج y = |f(|x|)| هي أيضا حتى. في الواقع، y(-x) = y = |f(|-x|)| = ص = |f(|x|)| = y(x)، وبالتالي فإن رسومهم البيانية متناظرة حول المحور 0y. مجموعة قيم هذه الوظائف: y ≥ 0. وهذا يعني أن الرسوم البيانية لهذه الوظائف تقع بالكامل في النصف العلوي من المستوى.
لرسم الدالة y = |f(|x|)|، عليك أن:
1) أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة y = f(|x|) بعناية.
2) اترك جزء الرسم البياني الموجود أعلى أو على المحور 0x دون تغيير.
3) اعرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة للمحور 0x.
4) في الرسم البياني النهائي، حدد اتحاد المنحنيات التي تم الحصول عليها في النقطتين (2) و (3).
مثال 4. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) لاحظ أن x 2 = |x| 2. وهذا يعني أنه بدلاً من الدالة الأصلية y = -x 2 + 2|x| - 1
يمكنك استخدام الدالة y = -|x| 2 + 2|س| - 1 لأن رسومهما البيانية متطابقة.
نقوم ببناء رسم بياني y = -|x| 2 + 2|س| – 1. لهذا نستخدم الخوارزمية 2.
أ) ارسم بيانيًا الدالة y = -x 2 + 2x - 1 (الشكل 6).
ب) نترك ذلك الجزء من الرسم البياني الموجود في نصف المستوى الأيمن.
ج) نعرض الجزء الناتج من الرسم البياني بشكل متناظر مع المحور 0y.
د) يظهر الرسم البياني الناتج في الخط المنقط في الشكل (الشكل 7).
2) لا توجد نقاط فوق المحور 0x، ونترك النقاط على المحور 0x دون تغيير.
3) يتم عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة إلى 0x.
4) يظهر الرسم البياني الناتج في الشكل بخط منقط (الشكل 8).
مثال 5. ارسم بيانيًا الدالة y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) تحتاج أولاً إلى رسم الدالة y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). للقيام بذلك، نعود إلى الخوارزمية 2.
أ) ارسم الدالة بعناية y = (2x - 4) / (x + 3) (الشكل 9).
لاحظ أن هذه الدالة خطية كسرية ورسمها البياني عبارة عن قطع زائد. لرسم منحنى، عليك أولاً العثور على الخطوط المقاربة للرسم البياني. أفقي - y = 2/1 (نسبة معاملات x في بسط ومقام الكسر)، عمودي - x = -3.
2) سنترك هذا الجزء من الرسم البياني الموجود أعلى المحور 0x أو عليه دون تغيير.
3) سيتم عرض جزء الرسم البياني الموجود أسفل المحور 0x بشكل متماثل بالنسبة إلى 0x.
4) يظهر الرسم البياني النهائي في الشكل (الشكل 11).
blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.
