Тонкая и сверхтонкая структура оптических спектров. Сверхтонкая структура. Отрывок, характеризующий Сверхтонкая структура

, молекул и ионов и, соответственно, спектральных линий , обусловленная взаимодействием магнитного момента ядра с магнитным полем электронов . Энергия этого взаимодействия зависит от возможных взаимных ориентаций спина ядра и спинов электронов .

Соответственно, сверхтонкое расщепление - расщепление уровней энергии (и спектральных линий) на несколько подуровней, вызываемое таким взаимодействием.

Согласно классическим представлениям, электрон, обращающийся вокруг ядра, как и любая движущаяся по круговой орбите заряженная частица, имеет магнитный дипольный момент . Аналогично и в квантовой механике , орбитальный угловой момент электрона создаёт определённый магнитный момент . Взаимодействие этого магнитного момента с магнитным моментом ядра (обусловленным ядерным спином) приводит к сверхтонкому расщеплению (то есть создаёт сверхтонкую структуру). Однако электрон также обладает спином , дающим вклад в его магнитный момент . Поэтому сверхтонкое расщепление имеется даже для термов с нулевым орбитальным моментом .

Расстояние между подуровнями сверхтонкой структуры по порядку величины в 1000 раз меньше, чем между уровнями тонкой структуры (такой порядок величины по существу обусловлен отношением массы электрона к массе ядра).

Аномальная сверхтонкая структура обусловлена взаимодействием электронов с квадрупольным электрическим моментом ядра .

История

Сверхтонкое расщепление наблюдалось ещё А. А. Майкельсоном в 1881 году , но было объяснено только после того как В. Паули в 1924 году предположил наличие магнитного момента у атомных ядер .

Напишите отзыв о статье "Сверхтонкая структура"

Литература

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика . Том 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория) .
• Шпольский Э.В. Атомная физика. - М.: Наука, 1974.

Отрывок, характеризующий Сверхтонкая структура

Хотя с задачей отыскания уровней энергии основного состояния водорода мы и справились, мы все же продолжим изучение этой интересной системы. Чтобы сказать о ней еще что-то, например чтобы подсчитать скорость, с какой атом водорода поглощает или испускает радиоволны длиной 21 см, надо знать, что с ним происходит, когда он возмущен. Нужно проделать то, что мы сделали с молекулой аммиака,— после того как мы нашли уровни энергии, мы отправились дальше и выяснили, что происходит, когда молекула находится в электрическом ноле. И после этого нетрудно оказалось представить себе влияние электрического поля радиоволны. В случае атома водорода электрическое поле ничего с уровнями не делает, разве что сдвигает их все на некоторую постоянную величину, пропорциональную квадрату поля, а нам это неинтересно, потому что это не меняет разностей энергий. На сей раз важно уже магнит ное поле. Значит, следующим шагом будет написать гамильтониан для более сложного случая, когда атом сидит во внешнем магнитном поле.

Каков же этот гамильтониан? Мы просто сообщим вам ответ, потому что никакого «доказательства» дать не можем, разве что сказать, что именно так устроен атом.

Гамильтониан имеет вид

Теперь он состоит из трех частей. Первый член А (σ е ·σ р) представляет магнитное взаимодействие между электроном и протоном; оно такое же, как если бы магнитного поля не было. Влияние внешнего магнитного поля проявляется в остальных двух членах. Второй член (—μ е σ е ·В)— это та энергия, которой электрон обладал бы в магнитном поле, если бы он там был один. Точно так же последний член (— μ р σ р ·В) был бы энергией протона-одиночки. Согласно классической физике, энергия их обоих вместе была бы суммой их энергий; по квантовой механике это тоже правильно. Возникающая из-за наличия магнитного поля энергия взаимодействия равна просто сумме энергий взаимодействия электрона с магнитным полем и протона с тем же полем, выраженных через операторы сигма. В квантовой механике эти члены в действительности не являются энергиями, но обращение к классическим формулам для энергии помогает запоминать правила написания гамильтониана. Как бы то ни было, (10.27) — это правильный гамильтониан.

Теперь нужно вернуться к началу и решать всю задачу сызнова. Но большая часть работы уже сделана, надо только добавить эффекты, вызываемые новыми членами. Примем, что магнитное поле В постоянно и направлено по z . Тогда к нашему старому гамильтонову оператору Н надо добавить два новых куска; обозначим их Н′:

Смотрите, как удобно! Оператор H′, действуя на каждое состояние, дает просто число, умноженное на это же состояние. В матрице <¡|H′| j> есть поэтому только диагональные элементы, и можно просто добавить коэффициенты из (10.28) к соответствующим диагональным членам в (10.13), так что гамильтоновы уравнения (10.14) обращаются в

Форма уравнений не изменилась, изменились только коэффициенты. И пока В не меняется со временем, можно все делать так же, как и раньше.
Подставляя С ¡ = a l e -(¡/h) Et , мы получаем

К счастью, первое и четвертое уравнения по-прежнему не зависят от остальных, так что снова пойдет в ход та же техника. Одно решение — это состояние |/>, для которого

Для остальных двух уравнений потребуется больше работы, потому что коэффициенты при а 2 и а 3 уже не равны друг другу. Но зато они очень похожи на ту пару уравнений, которую мы писали для молекулы аммиака. Оглядываясь на уравнения (7.20) и (7.21), можно провести следующую аналогию (помните, что тамошние индексы 1 и 2 соответствуют здесь индексам 2 и 3):

Раньше энергии давались формулой (7.25), которая имела вид

В гл.7 мы привыкли называть эти энергии Е I и E II , теперь мы их обозначим Е III и E IV

Итак, мы нашли энергии четырех стационарных состояний атома водорода в постоянном магнитном поле. Проверим наши выкладки, для чего устремим В к нулю и посмотрим, получатся ли те же энергии, что и в предыдущем параграфе. Вы видите, что все в порядке. При В=0 энергии Е I , Е II и Е III обращаются в +А, a E IV — в -3А. Даже наша нумерация состояний согласуется с прежней. Но когда мы включим магнитное поле, то каждая энергия начнет меняться по-своему. Посмотрим, как это происходит.

Во-первых, напомним, что у электрона μ e отрицательно и почти в 1000 раз больше μ p , которое положительно. Значит, и μ e +μ р, и μ e -μ р оба отрицательны и почти равны друг другу. Обозначим их -μ и -μ′:

(И μ , и μ′ положительны и по величине почти совпадают с μ e , которое примерно равно одному магнетону Бора.) Наша четверка энергий тогда обратится в

Энергия E I вначале равна А и линейно растет с ростом В со скоростью μ. Энергия Е II тоже вначале равна А, но с ростом В линейно убывает, наклон ее кривой равен —μ . Изменение этих уровней с В показано на фиг.10.3. На рисунке показаны также графики энергий Е III и E IV . Их зависимость от В иная. При малых В они зависят от В квадратично; вначале наклон их равен нулю, а затем они начинают искривляться и при больших В приближаются к прямым с наклоном ±μ ′, близким к наклону E I и Е II .

Сдвиг уровней энергии атома, вызываемый действием магнитного поля, называется эффектом Зеемана. Мы говорим, что кривые на фиг. 10.3 показывают зеемановское расщепление основного состояния водорода. Когда магнитного поля нет, то просто получается одна спектральная линия от сверхтонкой структуры водорода. Переходы между состоянием | IV > и любым из остальных трех происходят с поглощением или испусканием фотона, частота которого равна 1420 Мгц: 1/h , умноженной на разность энергий 4A. Но когда атом находится в магнитном поле В, то линий получается гораздо больше. Могут происходить переходы между любыми двумя из четырех состояний. Значит, если мы имеем атомы во всех четырех состояниях, то энергия может поглощаться (или излучаться) в любом из шести переходов, показанных на фиг. 10.4 вертикальными стрелками. Многие из этих переходов можно наблюдать с помощью техники молекулярных пучков Раби, которую мы описывали в гл. 35, § 3 (вып.7).

Что же является причиной переходов? Они возникают, если наряду с сильным постоянным полем В приложить малое возмущающее магнитное поле, которое меняется во времени. То же самое мы наблюдали и при действии переменного электрического поля на молекулу аммиака. Только здесь виновник переходов — это магнитное поле, действующее на магнитные моменты. Но теоретические выкладки те же самые, что и в случае аммиака. Проще всего они получаются, если взять возмущающее магнитное поле, вращающееся в плоскости ху, хотя то же будет от любого осциллирующего горизонтального поля. Если вы вставите это возмущающее поле в качестве добавочного члена в гамильтониан, то получите решения, в которых амплитуды меняются во времени, как это было и с молекулой аммиака. Значит, вы сможете легко и аккуратно рассчитать вероятность перехода из одного состояния в другое. И обнаружите, что все это согласуется с опытом.

До сих пор речь шла об особенностях структуры спектров, объясняющихся свойствами электронного облака атома.

Однако уже давно отмечались детали в структуре спектров, не объяснимые с этой точки зрения. Сюда относится сложная структура отдельных линий ртути и обнаруженная в 1928 г. Л. Н. Добрецовым и А. Н. Терениным двойная структура каждой из двух желтых линий натрия. В последнем случае расстояние между компонентами составляло всего 0,02 А, что в 25 раз меньше радиуса атома водорода. Указаные детали строения спектра получили название сверхтонкой структуры (рис. 266).

Рис. 266. Сверхтонкая структура натриевой линии.

Для ее исследования обычно применяются эталон Фабри - Перо и другие приборы с большой разрешающей способностью. Малейшее расширение спектральных линий, вызванное взаимодействием атомов между собой или их тепловым движением, приводит к слиянию компонент сверхтонкой структуры. Поэтому в настоящее время широко применяется метод молекулярных пучков, впервые предложенный Л. Н. Добрецовым и А. Н. Терениным. При этом методе наблюдается свечение или поглощение пучка атомов, летящих в вакууме.

В 1924 г. японский физик Нагаока сделал первую попытку связать сверхтонкую структуру с ролью атомного ядра в спектрах. Эта попытка была сделана в очень неубедительной форме и вызвала совершенно издевательскую критику со стороны известного

спектроскописта И. Рунге. Он приписал каждой букве фамилии Нагаока ее порядковое число в алфавите и показал, что произвольная комбинация этих чисел между собой дает такое же хорошее согласие с опытными данными, как и теория Нагаоки.

Однако Паули вскоре установил, что в идеях Нагаоки было зерно истины и что сверхтонкая структура действительно непосредственно связана со свойствами атомного ядра.

Следует различать два типа сверхтонкой структуры. Первому типу соответствует сверхтонкая структура, одинаковая по числу компонент для всех линий спектра данного элемента. Возникновение этой сверхтонкой структуры связано с наличием изотопов. При исследовании спектра одного выделенного изотопа остается только одна компонента сверхтонкой структуры данного типа. Для легких элементов возникновение такой сверхтонкой структуры объясняется простыми механическими соображениями. В § 58, рассматривая атом водорода, мы считали ядро неподвижным. На самом деле ядро и электрон вращаются вокруг общего центра массы (рис. 267). Расстояние от ядра до центра масс очень невелико, оно равно примерно где расстояние до электрона, масса электрона, масса ядра.

Рис. 267. Вращение ядра и электрона вокруг общего центра масс.

В результате энергия атома приобретает несколько иное значение, что приводит к изменению постоянной Ридберга

где значение постоянной Ридберга, соответствующее неподвижному ядру

Таким образом, зависит от а следовательно, и частоты линий должны зависеть от Последнее обстоятельство и послужило основой для спектроскопического открытия тяжелого водорода В 1932 г. Юри, Мэффи и Бриквид обнаружили в спектре водорода слабые спутники линии серии Бальмера.

Предположив, что эти спутники соответствуют линиям тяжелого изотопа водорода с атомным весом, равным двум, они вычислили, пользуясь (1), длины волн и сравнили их с экспериментальными данными.

Согласно формуле (1) у элементов со средними и большими атомными весами изотопический эффект должен быть исчезающе мал.

Этот вывод подтверждается экспериментально для элементов со средними весами, но, как это ни странно, находится в резком противоречии с данными для тяжелых элементов. У тяжелых элементов явно наблюдается изотопическая сверхтонкая структура. Согласно имеющейся теории в данном случае играет роль уже не масса, а конечные размеры ядра.

Определение метра в системе СИ (ГОСТ 9867-61) учитывает роль сверхтонкой структуры указанием изотопа криптона: «Метр - длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями атома криптона 86».

Второй тип сверхтонкой структуры не связан с наличием смеси изотопов; в частности, сверхтонкая структура данного типа наблюдается у висмута, имеющего только один изотоп.

Второй тип сверхтонкой структуры имеет различный вид у различных спектральных линий одного и того же элемента. Второй тип сверхтонкой структуры объяснен Паули, приписавшим ядру собственный механический вращательный момент (спин), кратный

Рис. 268. Происхождение сверхтонкой структуры желтых линий натрия.

Полный вращательный момент атома равен векторной сумме ядерного момента и момента электронной оболочки. Полный вращательный момент должен быть квантован, как все атомные моменты. Поэтому опять возникает пространственное квантование - дозволены только определенные ориентации вращательного момента ядра по отношению к вращательному моменту электронной оболочки. Каждой ориентации соответствует определенный подуровень энергии атома Как и в мультиплетах, здесь различным подуровням соответствует различный запас магнитной энергии атома. Но масса ядра в тысячи раз больше массы электрона, и поэтому магнитный момент ядра примерно в такое же число раз меньше магнитного момента электрона. Таким образом, изменения ориентации ядерного момента должны вызывать лишь очень небольшие изменения энергии, проявляющиеся в сверхтонкой структуре линий. На рис. 268 изображены схемы сверхтонкой структуры натрия. Справа от каждого уровняэнергиистоитчислоя, характеризующее полный вращательный момент. Спин атомного ядра натрия оказался равным

Как видно из рисунка, каждая из желтых линий натрия состоит из большого числа компонент, которые при недостаточном разрешении выглядят, как два узких дублета. Определенные из анализа сверхтонкой структуры вращательные моменты ядер (в частности, для азота оказались в противоречии с гипотезой о существовании электронов в составе ядра, что и было использовано Д. Д. Иваненко для утверждения, что ядра состоят из протонов и нейтронов (§ 86).

В дальнейшем (с 1939 г.) для определения ядерных моментов стали применять гораздо более точный радиоспектрографический метод Раби.

Радиоспектроскопическая схема Раби для определения ядерных магнитных моментов представляет собой как бы две последовательно расположенные установки Штерна - Герлаха (стр. 317) с взаимно противоположными направлениями неоднородных магнитных полей. Молекулярный пучок пронизывает последовательно обе установки. Если в первой установке молекулярный пучок отклоняется, например, направо, то во второй установке он отклоняется налево. Действие одной установки компенсирует действие другой. Между этими двумя установками расположено устройство, нарушающее компенсацию. Оно состоит из электромагнита, создающего однородное магнитное поле, и электродов, соединенных с генератором высокочастотных колебаний. Однородное магнитное поле направлено параллельно магнитному полю в первой установке Штерна - Герлаха.

Частица с магнитным моментом направленным под углом к направлению поля обладает потенциальной энергией (т. II, § 58). Этим же углом определяется величина отклонения пучка в первой установке Штерна - Герлаха. Под действием высокочастотного поля ориентация магнитного момента может измениться и магнитная энергия станет равной Это изменение магнитной энергии должно быть равно энергии фотона, вызвавшего переход (абсорбция или вынужденный переход, § 73):

Возможные значения определяются законом пространственного квантования. Отклонение пучка во второй установке зависит от величины угла Поскольку угол не равен углу это отклонение не будет равно отклонению в первой установке и компенсация нарушится. Нарушение компенсации отклонений наблюдается только при частотах, удовлетворяющих указанному соотношению; иначе говоря, наблюдаемый эффект является резонансным эффектом, что чрезвычайно повышает точность метода. По измеренным частотам с большой точностью вычисляются магнитные моменты ядер

Однако обычная оптическая спектроскопия сохраняет свое значение в полной мере для исследования изотопических эффектов, где радиоспектроскопия принципиально неприменима. Изотопические эффекты представляют особый интерес для теории ядерных сил и внутриядерных процессов.

За последние годы спектроскописты опять вернулись к тщательному изучению спектра водорода. Спектр водорода оказался буквально неисчерпаемым источником новых открытий.

В § 59 уже говорилось, что при исследовании аппаратурой с большой разрешающей способностью каждая линия спектра водорода оказывается двой ной. Долгое время считали, что теория этих тонких деталей спектра водорода находится в прекрасном согласии с опытными данными. Но, начиная с 1934 г., спектроскописты стали осторожно указывать на наличие небольших расхождений между теорией и опытом. Расхождения лежали в пределах точности измерений. О малости эффектов можно судить по следующим цифрам: линия согласно теории, должна в основном состоять из двух линий со следующими волновыми числами: 15233,423 и Теоретическая разность волновых чисел составляет всего т. е. тысячную долю процента от каждого вол нового числа. Эксперимент дал для этой разности величину, примерно на 2% меньшую Майкельсон в свое время говорил, что «мы должны искать наши будущие открытия в шестом десятичном знаке». Здесь речь идет о расхождении в восьмом десятичном знаке. В 1947 г. Лэмб и Ризерфорд вернулись к этой же задаче, но уже с использованием последних достижений техники физического эксперимента. Старая теория приводила к схеме нижних энергетических уровней для линии изображенной на рис. 269.

Глава 10

СВЕРХТОНКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ В ВОДОРОДЕ

§ 1. Базисные состо­яния для системы двух частиц со спином 1/2

§2. Гамильтониан основного со­стояния водорода

§ 3. Уровни энергии

§ 6.Проекционная матрица для спина 1

§ 1. Базисные состояния для системы двух частиц со спином 1 / 2

В этой главе мы займемся «сверхтонким расщеплением» водорода - интересным при­мером того, что мы уже в состоянии делать с помощью квантовой механики. Здесь у нас уже будут не два состояния, а больше. Поучи­тельность этого примера в том, что он познако­мит нас с методами квантовой механики, приме­няемыми в более сложных задачах. Сам по себе этот пример достаточно сложен, и как только вы поймете, как с ним справляться, вам сразу же станет ясно, как обобщить его на другие воз­можные задачи.

Как известно, атом водорода состоит из электрона и протона; электрон сидит неподалеку от протона и может существовать в одном из многих дискретных энергетических состояний, в каждом из которых его картина движения дру­гая. Так, первое возбужденное состояние лежит на 3 / 4 ридберга, или на 10 эв, выше основного состояния. Но даже так называемое основное состояние водорода на самом деле не является отдельным состоянием с определенной энергией, ибо у электрона и у протона есть спины. Эти спины и ответственны за «сверхтонкую струк­туру» в уровнях энергии, которая расщепляет все уровни энергии на несколько почти одина­ковых уровней.

Спин электрона может быть направлен либо вверх, либо вниз; у протона тоже его собствен­ный спин может смотреть вверх или вниз. Поэтому на всякое динамическое состояние атома приходятся четыре возможных спиновых состояния. Иначе говоря, когда физик говорит об «основном состоянии» водорода, он на самом деле имеет в виду «четыре основных состояния», а не просто самое низкое из них. У четырех спиновых состояний энергия не совсем одинакова; имеются небольшие сдвиги по от­ношению к тому, что наблюдалось бы в отсутствие спинов. Эти сдвиги, однако, во много-много раз меньше, чем те 10 эв, которые лежат между основным состоянием и следующим более высоким состоянием.

В итоге энергия каждого динамического состояния расщеп­лена на ряд очень тесных уровней - это так называемое сверх­тонкое расщепление.

Разности энергий четырех спиновых состояний - это и есть то, что мы хотим рассчитать в этой главе. Сверхтонкое расщеп­ление вызывается взаимодействием магнитных моментов элек­трона и протона; оно приводит для каждого спинового состояния к слегка отличающимся магнитным энергиям. Эти сдвиги энер­гии составляют только около десятимиллионной части электрон-вольта, что действительно много меньше 10 эв !

Именно из-за столь большого промежутка основное состоя­ние водорода мы вправе считать «четырехуровневой системой», не заботясь о том, что на самом-то деле при более высоких энер­гиях состояний куда больше. Мы намерены ограничиться здесь изучением сверхтонкой структуры только основного состояния атома водорода.

Для наших целей нам неважны различные детали расположе­ния электрона и протона, потому что все они, так сказать, уже выработаны атомом, все они получились сами собой, когда атом попал в основное состояние. Достаточно знать только, что элек­трон и протон находятся невдалеке друг от друга, в каком-то определенном пространственном соотношении. Кроме того, у них могут быть всевозможные взаимные ориентации спинов. И мы хотим рассмотреть только спиновые эффекты.

Первый вопрос, на который нужно ответить: каковы базис­ные состояния для этой системы? Но вопрос этот поставлен не­правильно. Такой вещи, как единственный базис, не существует, а всякая система базисных состояний, которую вы выберете, не будет единственной. Всегда можно составить новые систе­мы из линейных комбинаций старой. Для базисных состоя­ний всегда есть множество выборов и все они одинаково законны.

Значит, надо спрашивать: не «каков базис?», а «каким его можно выбрать?». И выбрать вы вправе какой угодно, лишь бы вам было удобно.

Обычно лучше всего начинать с базиса, который физи­чески наиболее очевиден. Он не обязательно должен решать какую-то задачу или быть непосредственно важным в каком-то отношении, нет, он в общем должен только облегчать пони­мание того, что происходит.

Мы выбираем следующие базисные состояния:

Состояние 1. И у электрона, и у протона спины смотрят вверх.

Состояние 2. У электрона спин смотрит вверх, а у протона- вниз.

Состояние 3. У электрона спин смотрит вниз, а у протона -

Состояние 4. И у электрона, и у протона спины смотрят

Для краткой записи этих четырех состояний введем следую­щие обозначения:

Состояние 1: |+ +>; у электрона спин вверх, у протона спин вверх.

Состояние 2: | + ->; у электрона спин вверх,

у протона спин вниз.

Состояние 3: |- + >; у электрона спин вниз, у протона спин вверх.

Состояние 4: |- - >; у электрона спин вниз, у протона спин вниз . (10.1)

Помните, что первый знак плюс или минус относится к элек­трону, второй - к протону. Чтобы эти обозначения были у вас под рукой, они сведены на фиг. 10.1.

Фиг. 10.1. Совокупность базисных состояний

для основного состояния атома водорода.

Эти состояния мы обозначаем | + +>, | + ->> |- +>.

Временами будет удобнее обозначать эти состояния |1>, |2>, |3> и |4>.

Вы можете сказать: «Но частицы взаимодействуют, и, может быть, эти состояния вовсе не являются правильными базисными состояниями. Получается, будто вы рассматриваете обе частицы независимо». Да, действительно! Взаимодействие ставит перед нами вопрос: каков гамильтониан системы? Но вопрос о том, как описать систему, не касается взаимодействия. Что бы мы ни выбрали в качестве базиса, это никак не связано с тем, что слу­чится после. Может оказаться, что атом не способен оставаться в одном из этих базисных состояний, даже если с него все и на­чалось. Но это другой вопрос. Это вопрос о том, как со временем меняются амплитуды в выбранном (фиксированном) базисе. Вы­бирая базисные состояния, мы просто выбираем «единичные векторы» для нашего описания.

Раз уже мы коснулись этого, бросим взгляд на общую проб­лему отыскания совокупности базисных состояний, когда имеет­ся не одна частица, а больше. Вы знаете базисные состояния для одной частицы. Электрон, например, полностью описывается в реальной жизни (не в наших упрощенных случаях, а в реаль­ной жизни) заданием амплитуд пребывания в одном из следующих состояний:

| Электрон спином вверх с импульсом р> или

| Электрон спином вниз с импульсом р>.

В действительности существуют две бесконечные совокупности состояний, по одному на каждое значение р. Значит, сказать, что электронное состояние |y> описано полностью, можно лишь тогда, когда вы знаете все амплитуды

где + и - представляют компоненты момента количества движения вдоль ка­кой-то оси, обычно оси z, a p - вектор импульса. Стало быть, для каждого мыс­лимого импульса должны быть две ампли­туды (дважды бесконечная совокупность базисных состояний). Вот и все, что нужно для описания отдельной частицы.

Таким же образом могут быть написаны базисные состояния, когда частиц не одна, а больше. Например, если надо было бы рассмотреть электрон и протон в более сложном, чем у нас, слу­чае, то базисные состояния могли бы быть следующими: Электрон с импульсом p 1 движется спином вверх, а протон с импульсом р 2 движется спином вниз. И так далее для других спиновых комбинаций. Если частиц больше двух, идея остается та же. Так что вы видите, что распи­сать возможные базисные состояния на самом деле очень легко. Вопрос только в том, каков гамильтониан.

Нам для изучения основного состояния водорода нет нужды применять полные совокупности базисных состояний для раз­личных импульсов. Мы оговариваем и фиксируем определенные импульсные состояния протона и электрона, когда произносим слова «основное состояние». Детали конфигурации - амплиту­ды для всех импульсных базисных состояний - можно рассчи­тать, но это уже другая задача. А мы сейчас касаемся только влияния спина, так что ограничимся только четырьмя базис­ными состояниями (10.1). Очередной вопрос таков: каков га­мильтониан для этой совокупности состояний?

§ 2. Гамильтониан основного состояния водорода

Через минуту вы это узнаете. Но прежде хочу вам напомнить одну вещь: всякое состояние всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний. Для любого состоя­ния |y|> можно написать

Напомним, что полные скобки - это просто комплексные числа, так что их можно обозначить обычным образом через С i , где i =l, 2, 3 или 4, и записать (10.2) в виде

Задание четверки амплитуд С i полностью описывает спиновое состояние |y>. Если эта четверка меняется во времени (как это и будет на самом деле), то скорость изменения во времени дается оператором Н^. Задача в том, чтобы найти этот оператор H^ .

Не существует общего правила, как писать гамильтониан атомной системы, и отыскание правильной формулы требует большего искусства, чем отыскание системы базисных состоя­ний. Мы вам смогли дать общее правило, как записывать систему базисных состояний для любой задачи, в которой есть протон и электрон, но описать общий гамильтониан такой комбинации на этом уровне слишком трудно. Вместо этого мы подведем вас к гамильтониану некоторыми эвристическими рассуждениями, и вам придется признать его.правильным, потому что резуль­таты будут согласовываться с экспериментальными наблюде­ниями.

Вспомните, что в предыдущей главе мы смогли описать га­мильтониан отдельной частицы со спином 1 / 2 , применив сигма-матрицы или в точности эквивалентные им сигма-операторы. Свойства операторов сведены в табл. 10.1. Эти операторы, являю­щиеся просто удобным, кратким способом запоминания матрич­ных элементов типа были полезны для описания поведения отдельной частицы со спином 1 / 2 . Возникает вопрос, можно ли отыскать аналогичное средство для описания системы с двумя спинами. Да, и очень просто. Вот смотрите. Мы изобре­тем вещь, которую назовем «электрон-сигма» и которую будем представлять векторным оператором s e с тремя компонентами s e x , s e y и s e z . Дальше условимся, что когда одна из них действует

Таблица 10.1 · СВОЙСТВА СИГМА-ОПЕРАТОРОВ

на какое-то из наших четырех базисных состояний атома водо­рода, то она действует на один только спин электрона, причем гак, как если бы электрон был один, сам по себе. Пример: чему равно s y е |-+>? Поскольку s y , действующее на электрон со спином вниз, дает -i , умноженное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то

s e y |-+>=-i |++>.

(Когда s y е действует на комбинированное состояние, оно пе­реворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат на -i .) Действуя на другие состояния, s е у даст

Напомним еще раз, что оператор s е действует только на первый спиновый символ, т. е. на спин электрона.

Теперь определим соответствующий оператор «протон-сиг­ма» для спина протона. Три его компоненты s p x , s p y, s p z , действуют так же, как и s е, но только на протонный спин. Например, если s p x будет действовать на каждое из четырех базисных со­стояний, то получится (опять с помощью табл. 10.1)

Как видите, ничего трудного. В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов s e y s p z . Когда имеется такое произведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом - чего требует левый. Например,

Заметьте, что эти операторы с числами ничего не делают; мы использовали это, когда писали s e x (-1)=(-1) s e x . Мы говорим, что операторы «коммутируют» с числами или что числа «можно протащить» через оператор. Попрактикуйтесь и покажите, что произведение s е х s p z дает для четырех состояний следующий результат:

Если перебрать все допустимые операторы, каждый по разу, то всего может быть 16 возможностей. Да, шестнадцать, если включить еще «единичный оператор» 1. Во-первых, есть тройка s е х , s е y , s е z , затем тройка s p x , s p y , s p z , итого шесть. Кроме того, имеет­ся девять произведений вида s е х s p y , итого 15. И еще единичный оператор, оставляющий все состояния нетронутыми. Вот и все шестнадцать!

Заметьте теперь, что для системы с четырьмя состояниями матрица Гамильтона должна представлять собой матрицу коэф­фициентов 4x4, в ней будет 16 чисел. Легко показать, что всякая матрица 4X4, и в частности матрица Гамильтона, может быть записана в виде линейной комбинации шестнадцати двой­ных спиновых матриц, соответствующих системе операторов, которые мы только что составили. Поэтому для взаимодействия между протоном и электроном, в которое входят только их спины, мы можем ожидать, что оператор Гамильтона может быть записан в виде линейной комбинации тех же 16 операторов. Вопрос только в том, как.

Но, во-первых, мы знаем, что взаимодействие не зависит от нашего выбора осей для системы координат. Если нет внеш­него возмущения - чего-то вроде магнитного поля, выделяю­щего какое-то направление в пространстве,- то гамильтониан не может зависеть от нашего выбора направлений осей х, у и z. Это означает, что в гамильтониане не может быть таких членов, как s e x сам по себе. Это выглядело бы нелепо, потому что кто-нибудь в другой системе координат пришел бы к другим резуль­татам.

Единственно возможны только член с единичной матрицей, скажем постоянная а (умноженная на 1^), и некоторая комбина­ция сигм, которая не зависит от координат, некоторая «инва­риантная» комбинация. Единственная скалярная инвариантная комбинация из двух векторов - это их скалярное произведе­ние, имеющее для наших сигм вид

Этот оператор инвариантен по отношению к любому повороту системы координат. Итак, единственная возможность для га­мильтониана с подходящей симметрией в пространстве - это постоянная, умноженная на единичную матрицу, плюс постоян­ная, умноженная на это скалярное произведение, т. е.

Это и есть наш гамильтониан. Это единственное, чему, исходя из симметрии в пространстве, он может равняться, пока нет внешнего поля. Постоянный член нам многого не сообщит; он просто зависит от уровня, который мы выбрали для отсчета энергий. С равным успехом можно было принять Е 0 =0.А второй член поведает нам обо всем, что нужно для того, чтобы найти расщепление уровней в водороде.

Если угодно, можно размышлять о гамильтониане иначе. Если поблизости друг от друга находятся два магнита с магнит­ными моментами m е и m р, то их взаимная энергия зависит, кроме всего прочего, и от m е ·m р. А мы, как вы помните, выяснили, что та вещь, которую мы в классической физике называли m е , в квантовой механике выступает под именем m e s e . Подобным же образом, то, что в классической физике выглядит как m p , в кван­товой механике обычно оказывается равным m р s р (где m р - маг­нитный момент протона, который почти в 1000 раз меньше m е и имеет обратный знак). Значит, (10.5) утверждает, что энергия взаимодействия подобна взаимодействию двух магнитов, но не до конца, потому что взаимодействие двух магнитов зависит от расстояния между ними. Но (10.5) может считаться (и на самом деле является) своего рода средним взаимодействием. Электрон как-то движется внутри атома, и.наш гамильтониан дает лишь среднюю энергию взаимодействия. В общем все это говорит о том, что для предписанного расположения электрона и протона в пространстве существует энергия, пропорциональ­ная косинусу угла между двумя магнитными моментами (выра­жаясь классически). Такая классическая качественная картина может помочь вам понять, откуда все получается, но единственное что важно при этом то, что (10.5) - это правильная квантовомеханическая формула.

Порядок величины классического взаимодействия между двумя магнитами должен был бы даваться произведением двух магнитных моментов, деленным на куб расстояния между ними. Расстояние между электроном и протоном в атоме водорода, грубо говоря, равно половине атомного радиуса, т. е. 0,5 А. Поэтому можно примерно прикинуть, что постоянная А должна быть равна произведению магнитных моментов m е и m p , делен­ному на куб половины ангстрема. Такая пристрелка приводит к числам, попадающим как раз в нужный район. Но оказывается, что А можно подсчитать и аккуратней, стоит только разобраться в полной теории атома водорода, что нам пока не по силам. На самом деле А было подсчитано с точностью до 30 миллион­ных. Как видите, в отличие от постоянной переброса А молекулы аммиака, которую по теории невозможно хорошо подсчитать, наша постоянная А для водорода может быть рассчитана из более детальной теории. Но ничего не поделаешь, нам для наших теперешних целей придется считать А числом, которое может быть определено из опыта, и анализировать физику дела.

Взяв гамильтониан (10.5), можно подставить его в уравнение

и посмотреть, что делает спиновое взаимодействие с уровнями энергии. Для этого надо подсчитать шестнадцать матричных элементов H ij = i|H|j >, отвечающих любой двойке из четырех базисных состояний (10.1).

Начнем с того, что подсчитаем, чему равно Н^ |j > для каж­дого из четырех базисных состояний. К примеру,

Пользуясь способом, описанным немного раньше (вспомните табл. 10.1, она очень облегчит дело), мы найдем, что каждая пара а делает с |+ +>· Ответ таков:

Значит, (10.7) превращается в

Таблица 10.2 · спиновые операторы ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА

А раз все наши четыре базисных состояния ортогональны, то это немедленно приводит к

Вспоминая, что Н|i >=<.i>|H |j >*, мы сразу сможем на­писать дифференциальное уравнение для амплитуды С 1:

Вот и все! Только один член.

Чтобы теперь получить оставшиеся уравнения Гамильтона, мы должны терпеливо пройти через те же процедуры с H^, дей­ствующим на другие состояния. Во-первых, попрактикуйтесь в проверке того, что все произведения сигм в табл. 10.2 написаны правильно. Затем с их помощью получите

И тогда, умножая их все по порядку слева на все прочие векторы состояний, мы получаем следующую гамильтонову матрицу H ij :

Это, конечно, означает, что дифференциальные уравнения для четырех амплитуд С i имеют вид

Но прежде чем перейти к их решению, трудно удержать­ся от того, чтобы не рассказать вам об одном умном правиле, которое вывел Дирак. Оно поможет вам ощутить, как много вы уже знаете, хотя нам в нашей работе оно и не понадобит­ся. Из уравнений (10.9) и (10.12) мы имеем

«Взгляните, - сказал Дирак, - первое и последнее уравнения я могу записать также в виде

и тогда все они станут похожими. Теперь я придумаю новый оператор, который обозначу Р спин. обмен и который, по опре­делению, будет обладать следующими свойствами:

Оператор этот, как видите, только обменивает направления спина у двух частиц. Тогда всю систему уравнений (10.15) я могу написать как одно простое операторное уравнение:

Это и есть формула Дирака. Оператор обмена спинами дает удобное правило для запоминания s е ·s p . (Как видите, вы теперь уже все умеете делать. Для вас все двери открыты.)

§ 3. Уровни энергии

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычислить уровни энергии основного состояния водорода, решая гамильтоновы уравнения (10.14). Мы хотим найти энергии стационарных состояний. Это значит, что мы должны отыскать те особые состояния |y>, для которых каждая из принадлежащих |y> амплитуд C i =i|y> обладает одной и той же зависимостью от времени, а именно е - w t . Тогда состояние будет обладать энергией E=hw . Зна­чит, мы ищем совокупность амплитуд, для которых

где четверка коэффициентов а i не зависит от времени. Чтобы увидеть, можем ли мы получить эти амплитуды, подставим (10.17) в (10.14) и посмотрим, что из этого выйдет. Каждое ihdC i /dt в (10.14) перейдет в EC i . И после сокращения на общий экспоненциальный множитель каждое С i превратится в а i ; получим

Это и нужно решить для отыскания a 1 , а 2 , а 3 и а 4 . Право, очень мило со стороны первого уравнения, что оно не зависит от остальных,- а это значит, что одно решение сразу видно. Если выбрать Е=А, то

a 1=1, a 2 =a 3 =a 4 =0

даст решение. (Конечно, если принять все а равными нулю, то это тоже будет решение, но состояния оно не даст!) Будем счи­тать наше первое решение состоянием | I >:

Его энергия

Е I =А.

Все это немедленно дает ключ ко второму решению, по­лучаемому из последнего уравнения в (10.18):

а 1 =а 2 =а 3 =0, а 4 =1, Е=А.

Это решение мы назовем состоянием |II >:

|//> = |4> = |-->,(10.20)

Е(а 2 + а 3 ) = А(а 2 + а 3 ). (10.21)

Вычитая, будем иметь

Окидывая это взглядом и припоминая знакомый нам уже аммиак, мы видим, что здесь есть два решения:

Это смеси состояний |2 > и |3 >. Обозначая их |III > и |IV > и вставляя для правильной нормировки множитель 1/Ц2, имеем

Е III =А (10.24)

Мы нашли четверку стационарных состояний и их энергии. Заметьте, кстати, что наши четыре состояния ортогональны друг другу, так что их тоже можно при желании считать базис­ными состояниями. Задача наша полностью решена.

У трех состояний энергия равна А , а у последнего -ЗА. Среднее равно нулю, а это означает, что когда в (10.5) мы вы­брали Е 0 = 0, то тем самым мы решили отсчитывать все энергии от их среднего значения. Диаграмма уровней энергии основ­ного состояния водорода будет выглядеть так, как на фиг. 10.2.

Фиг. 10.2. Диаграмма уровней энергии основного состояния атомарного водорода.

Различие в энергиях между состоянием |IV > и любым из остальных равно 4A . Атом, который случайно окажется в состоя­ний |I >, может оттуда упасть в состояние |IV >и испустить свет: не оптический свет, потому что энергия очень мала, а микроволновой квант. Или, если осветить водородный газ микроволнами, мы заметим поглощение энергии, оттого что атомы в состоянии |IV >будут ее перехватывать и переходить в одно из высших состояний, но все это только на частоте w=4A /h. Эта частота была измерена экспериментально; наилуч­ший результат, полученный сравнительно недавно, таков:

Ошибка составляет только три стомиллиардных! Вероятно, ни одна из фундаментальных физических величин не измерена лучше, чем эта; таково одно из наиболее выдающихся по точности измерений в физике. Теоретики были очень счастливы, когда им удалось вычислить энергию с точностью до 3·10 -5 ; но к этому времени она была измерена с точностью до 2·10 -11 ,т.е. в миллион раз точнее, чем в теории. Так что экспериментаторы идут далеко впереди теоретиков. В теории основного состояния атома водо­рода и вы, и мы находимся в одинаковом положении. Вы ведь тоже можете взять значение А из опыта - и всякому, в конце концов, приходится делать то же самое.

Вы, вероятно, уже слышали раньше о «21-с.м линии» водо­рода. Это и есть длина волны спектральной линии в 1420 Мгц между сверхтонкими состояниями. Излучение с такой длиной волны испускается или поглощается атомарным водородным газом в галактиках. Значит, с помощью радиотелескопов, настроенных на волны 21 см (или примерно на 1420 Мгц), можно наблюдать скорости и расположение сгущений атомарного водорода. Измеряя интенсивность, можно оценить его количе­ство. Измеряя сдвиг в частоте, вызываемый эффектом Допплера, можно выяснить движение газа в галактике. Это одна из вели­ких программ радиоастрономии. Так что мы с вами сейчас ведем речь о чем-то очень реальном, это вовсе не какая-то искусствен­ная задача.

§ 4. Зеемановское расщепление

Хотя с задачей отыскания уровней энергии основного состоя­ния водорода мы и справились, мы все же продолжим изучение этой интересной системы. Чтобы сказать о ней еще что-то, на­пример чтобы подсчитать скорость, с какой атом водорода поглощает или испускает радиоволны длиной 21 см, надо знать, что с ним происходит, когда он возмущен. Нужно проделать то, что мы сделали с молекулой аммиака,- после того как мы нашли уровни энергии, мы отправились дальше и выяснили, что происходит, когда молекула находится в электрическом поле. И после этого нетрудно оказалось представить себе влия­ние электрического поля радиоволны. В случае атома водо­рода электрическое поле ничего с уровнями не делает, разве что сдвигает их все на некоторую постоянную величину, пропор­циональную квадрату поля, а нам это неинтересно, потому что это не меняет разностей энергий. На сей раз важно уже магнит­ное поле. Значит, следующим шагом будет написать гамильто­ниан для более сложного случая, когда атом сидит во внешнем магнитном поле.

Каков же этот гамильтониан? Мы просто сообщим вам ответ, потому что никакого «доказательства» дать не можем, разве что сказать, что именно так устроен атом.

Гамильтониан имеет вид

Теперь он состоит из трех частей. Первый член А (s е ·s р) пред­ставляет магнитное взаимодействие между электроном и прото­ном; оно такое же, как если бы магнитного поля не было. Влия­ние внешнего магнитного поля проявляется в остальных двух членах. Второй член (-m е s е ·В ) - это та энергия, которой электрон обладал бы в магнитном поле, если бы он там был один. Точно так же последний член (-m р s р ·В ) был бы энер­гией протона-одиночки. Согласно классической физике, энергия их обоих вместе была бы суммой их энергий; по квантовой меха­нике это тоже правильно. Возникающая из-за наличия магнит­ного поля энергия взаимодействия равна просто сумме энергий взаимодействия электрона с магнитным полем и протона с тем же полем, выраженных через операторы сигма. В квантовой меха­нике эти члены в действительности не являются энергиями, но обращение к классическим формулам для энергии помогает запоминать правила написания гамильтониана. Как бы. то ни было, (10.27) - это правильный гамильтониан.

Теперь нужно вернуться к началу и решать всю задачу сызнова. Но большая часть работы уже сделана, надо только добавить эффекты, вызываемые новыми членами. Примем, что магнитное поле В постоянно и направлено по z. Тогда к нашему старому гамильтонову оператору Н^ надо добавить два новых куска; обозначим их Н^":

Пользуясь табл. 10.1, мы сразу получаем

Смотрите, как удобно! Оператор Н", действуя на каждое состояние, дает просто число, умноженное на это же состоя­ние. В матрице i|H"|j> есть поэтому только диагональные элементы, и можно просто добавить коэффициенты из (10.28) к соответствующим диагональным членам в (10.13), так что гамильтоновы уравнения (10.14) обращаются в

Форма уравнений не изменилась, изменились только коэф­фициенты. И пока В не меняется со временем, можно все делать так же, как и раньше.

Подставляя

, мы получаем

К счастью, первое и четвертое уравнения по-прежнему не зависят от остальных, так что снова пойдет в ход та же техника. Одно решение - это состояние |I >, для которого

Другое решение

Для остальных двух уравнений потребуется больше работы, потому что коэффициенты при а 2 и a 3 уже не равны друг другу. Но зато они очень похожи на ту пару уравнений, которую мы писали для молекулы аммиака. Оглядываясь на уравнения (7.20) и (7.21), можно провести следующую аналогию (помните, что тамошние индексы 1 и 2 соответствуют здесь индексам 2 и 3):

Раньше энергии давались формулой (7.25), которая имела вид

Подставляя сюда (10.33), получаем для энергии

В гл. 7 мы привыкли называть эти энергии Е I и Е II , теперь мы их обозначим Е III и E IV :

Итак, мы нашли энергии четырех стационарных состояний атома водорода в постоянном магнитном поле. Проверим наши выкладки, для чего устремим В к нулю и посмотрим, полу­чатся ли те же энергии, что и в предыдущем параграфе. Вы ви­дите, что вес в порядке. При В= 0энергии Е I , Е II и Е III обра­щаются в +А, a E IV - в -ЗА. Даже наша нумерация состоя­ний согласуется с прежней. Но когда мы включим магнитное поле, то каждая энергия начнет меняться по-своему. Посмотрим, как это происходит.

Во-первых, напомним, что у электрона m е отрицательно и почти в 1000 раз больше m р, которое положительно. Значит, и m e +m p и m e -m p оба отрицательны и почти равны друг другу. Обозначим их -m и -m":

(И mи m" положительны и по величине почти совпадают с m е, которое примерно равно одному магнетону Бора.) Наша четверка энергий тогда обратится в

Энергия Е I вначале равна А и линейно растет с ростом В со скоростью m. Энергия Е II тоже вначале равна A , но с ростом В линейно убывает, наклон ее кривой равен -m. Изменение этих уровней с В показано на фиг. 10.3. На рисунке показаны также графики энергий Е III и E IV . Их зависимость от В иная. При малых В они зависят от В квадратично; вначале наклон их равен нулю, а затем они начинают искривляться и при боль­ших В приближаются к прямым с наклоном ±m", близким к наклону e i и Е II

Сдвиг уровней энергии атома, вызываемый действием маг­нитного поля, называется эффектом Зеемана. Мы говорим, что кривые на фиг. 10.3 показывают зеемановское расщепление основ­ного состояния водорода.

Фиг. 10.3. Уровни энергии основного состояния

водорода в магнитном поле В .

Кривые E III и Е IV приближаются к пунктирным прямым

А±m"В.

Когда магнитного поля нет, то просто получается одна спектральная линия от сверхтонкой структуры водорода. Переходы между состоянием |IV > и любым из осталь­ных трех происходят с поглощением или испусканием фотона, частота которого равна 1420 Мгц :1/h, умноженной на разность энергий 44. Но когда атом находится в магнитном поле В, то линий получается гораздо больше. Могут происходить переходы между любыми двумя из четырех состояний. Значит, если мы имеем атомы во всех четырех состояниях, то энергия может поглощаться (или излучаться) в любом из шести переходов, показанных на фиг. 10.4 вертикальными стрелками.

Фиг. 10.4. Переходы между уровнями энергии основного состояния водорода в некотором маг­нитном поле В .

Многие из этих переходов можно наблюдать с помощью техники молеку­лярных пучков Раби, которую мы описывали в гл. 35, § 3 (вып.7).

Что же является причиной переходов? Они возникают, если наряду с сильным постоянным полем B приложить малое возмущающее магнитное поле, которое меняется во времени. То же самое мы наблюдали и при действии переменного электрического поля на молекулу аммиака. Только здесь виновник переходов - это магнитное поле, действующее на магнитные моменты. Но теоретические выкладки те же самые, что и в случае аммиака. Проще всего они получаются, если взять возмущающее магнит­ное поле, вращающееся в плоскости ху, хотя то же будет от любого осциллирующего горизонтального поля. Если вы вста­вите это возмущающее поле в качестве добавочного члена в га­мильтониан, то получите решения, в которых амплитуды ме­няются во времени, как это было и с молекулой аммиака. Зна­чит, вы сможете легко и аккуратно рассчитать вероятность перехода из одного состояния в другое. И обнаружите, что все это согласуется с опытом.

§ 5. Состояния в магнитном поле

Теперь займемся формой кривых на фиг. 10.3. Во-первых, если говорить о больших полях, то зависимость энергии от поля довольно интересна и легко объяснима. При достаточно боль­ших В (а именно при mB/A >>1) в формулах (10.37) можно пре­небречь единицей. Четверка энергий принимает вид

Это уравнения четырех прямых на фиг. 10.3. Эти формулы можно физически понять следующим образом. Природа стацио­нарных состояний в нулевом поле полностью определяется вза­имодействием двух магнитных моментов. Перемешивание ба­зисных состояний | + -> и | - +> в стационарных состояниях |III>и |IV >вызвано этим взаимодействием. Однако вряд ли можно ожидать, что каждая из наших частиц (и протон, и элек­трон) в сильных внешних полях будет испытывать влияние поля другой частицы; каждая будет действовать так, как если бы во внешнем поле находилась она одна. Тогда (как мы уже много раз видели) спин электрона окажется направленным вдоль внешнего магнитного поля (по нему или против него).

Пусть спин электрона направлен вверх, т. е. вдоль поля; энергия его будет -m e B . Протон при - этом может стоять по-разному. Если у него спин тоже направлен вверх, то его энергия -m p B. Их сумма равна -(m е +m р)B=mB. А это как раз и есть E I , и это очень приятно, потому что мы описываем состояние |+ +>=|I >. Есть еще небольшой дополнительный член А (теперь (mB >>A ), представляющий энергию взаимодействия протона и электрона, когда их спины параллельны. (Мы с са­мого начала считали А положительным, потому что так должно было быть по теории, о которой шла речь; то же получается и на опыте.) Но спин протона может быть направлен и вниз. Тогда его энергия во внешнем ноле обратится в +m Р B , а вместе с элек­троном их анергия будет -(m e -m р) В= mВ. А энергия взаимо­действия обращается в -А. Их сумма даст энергию Е III , в (10.38). Так что состояние |III >в сильных полях становится состоянием |+ ->.

Пусть теперь спин электрона направлен вниз. Его энергия во внешнем ноле равна m e В. Если и протон смотрит вниз, то их общая энергия равна {m e +m p)В = - mВ плюс энергия взаимо­действия А (спины-то теперь параллельны). Это приводит как раз к энергии Е II в (10.38) и соответствует состоянию |- ->=|II >, что очень мило. И наконец, если у электрона спин направлен вниз, а у протона - вверх, то мы получим энер­гию (m e -m p )В-А (минус А потому, что спины противопо­ложны), т. е. E IV . А состояние отвечает |- +>.

«Погодите минутку,- вероятно, скажете вы.- «Состояния | Ill >и |IV > - это не состояния | + - > и | - + >; они яв­ляются их смесями». Верно, но перемешивание здесь едва замет­но. Действительно, при 5=0 они являются смесями, но мы пока не выясняли, что бывает при больших В. Когда мы для полу­чения энергии стационарных состояний пользовались анало­гией между (10.33) и формулами гл. 7, то заодно можно было оттуда взять и амплитуды. Они получатся из (7.23):

Отношение a 2 /a 3 - это, конечно, на сей раз C 2 /C 3 Вставляя аналогичные величины из (10.33), получаем

где вместо Е надо взять подходящую энергию (либо Е III , либо E IV ). Например, для состояния |III >имеем

Значит, при больших В у состояния | ///> С 2 >>С 3 ;состояние почти полностью становится состоянием | 2>= |+ ->. Точно так же если в (10.39) подставить e iv , то получится, что (С 2 /С 3) IV >обращается попросту в состояние |3>= |- +>. Вы видите, что коэффи­циенты в линейных комбинациях наших базисных состояний, составляющих стационарные состояния, сами зависят от В.

Состояние, которое мы име­нуем |III >, в очень слабых полях представляет собой смесь |+ -> и |- +> в про­порции 1:1, но в сильных полях целиком смещается к |+ ->. Точно так же и со­стояние |IV >, которое в сла­бых полях также является смесью |+ -> и |- +> в пропорции 1:1 (с обратным зна­ком), переходит в состояние | - +), когда спины из-за силь­ного внешнего поля больше друг с другом не связаны.

Хотелось бы обратить ваше внимание, в частности, на то, что происходит в очень слабых магнитных полях. Имеется одна энергия (-3А ), которая не изменяется при включении слабого магнитного поля. И имеется другая энергия (+А ), которая при включении слабого магнитного поля расщепляется на три различных уровня энергии. В слабых полях энергии с ростом В меняются так, как показано на фиг. 10.5. Допустим, что у нас есть каким-то образом отобранное множество атомов водорода, у которых у всех энергия равна -3А. Если пропу­стить их через прибор Штерна - Герлаха (с не очень сильными полями), то мы найдем, что они просто проходят целиком на­сквозь. (Поскольку их энергия не зависит от В, то, согласно принципу виртуальной работы, градиент магнитного поля не создает никакой силы, которая бы ощущалась ими.) Пусть, с другой стороны, мы бы отобрали группку атомов с энергией +А и пропустили их через прибор Штерна - Герлаха, скажем через прибор S. (Опять поля в приборе не должны быть столь сильными, чтобы разрушить внутренность атома; подразуме­вается, что поля малы настолько, что энергии можно считать линейно зависящими от В.) Мы бы получили три пучка. На состояния |I > и |II > действуют противоположные силы, их энергии меняются по В линейно с наклоном ±m, так что силы сходны с силами, действующими на диполь, у которого m z = ±m, а состояние |III > проходит насквозь. Мы опять возвращаемся к гл. 3. Атом водорода с энергией +А - это частица со спином 1. Это энергетическое состояние является «частицей», для которой j =1, и может быть описано (по отношению к некоторой системе осей в пространстве) в терминах базисных состояний |+S >, | 0S > и |-S >, которыми мы пользовались в гл. 3. С другой стороны, когда атом водорода имеет энергию -3А, он является частицей со спином нуль. (Напоминаем, что все сказанное, строго говоря, справедливо лишь для бесконечно малых магнит­ных полей.) Итак, состояния водорода в нулевом магнитном поле можно сгруппировать следующим образом:

В гл. 35 (вып. 7) мы говорили, что у всякой частицы компо­ненты момента количества движения вдоль любой оси могут принимать только определенные значения, всегда отличаю­щиеся на h. Так, z-компонента момента количества движения J z может быть равна jh, (j-1)h, (j- 2)h ,..., (-j )h , где j - спин частицы (который может быть целым или полу­целым). Обыкновенно пишут

J z =mh, (10.43)

где т стоит вместо любого из чисел j , j -1, j- 2, . . .,-j (в свое время мы не сказали об этом). Вы поэтому часто встре­тите в книжках нумерацию четырех основных состояний при помощи так называемых квантовых чисел j и m [часто именуе­мых «квантовым числом полного момента количества движения» (j ) и «магнитным квантовым числом» (m)]. Вместо наших сим­волов состояний |I >, |II > и т. д. многие часто пишут состоя­ния в виде |j , m >. Нашу табличку состояний для нулевого поля в (10.41) и (10.42) они бы изобразили в виде табл. 10.3. Здесь нет какой-либо новой физики, это просто вопрос обозначении.

Таблица 10.3 · СОСТОЯНИЯ АТОМА ВОДОРОДА В НУЛЕВОМ ПОЛЕ

§ 6. Проекционная матрица для спина 1

Теперь мы хотели бы применить наши знания об атоме водо­рода к одной специальной задаче. В гл. 3 мы говорили о том, что частица со спином 1, находящаяся в одном из базисных со­стояний (+, 0, -) по отношению к прибору Штерна - Герлаха с какой-то частной ориентацией (скажем, по отношению к при­бору S), будет иметь определенную амплитуду пребывания в одном из трех состояний по отношению к прибору Т, ориенти­рованному в пространстве по-другому. Имеются девять таких амплитуд jT|iS>, которые вместе образуют проекционную матрицу. В гл. 3, § 7, мы без доказательства выписали элементы этой матрицы для различных ориентации Т по отношению к S. Теперь мы хотим показать вам один из способов их вывода.

В атоме водорода мы с вами отыскали систему со спином 1, составленную из двух частиц со спином 1 / 2 . В гл. 4 мы уже научились преобразовывать амплитуды для спина 1 / 2 . Эти зна­ния можно применить к тому, чтобы получить преобразование для спина 1. Вот как это делается: имеется система (атом водо­рода с энергией +А) со спином 1. Пусть мы пропустили ее сквозь фильтр S Штерна - Герлаха так, что знаем теперь, что она находится в одном из базисных состояний по отношению к S, скажем в |+S ). Какова амплитуда того, что она окажется в одном из базисных состояний, скажем |+T ), по отношению к прибору Т? Если вы назовете систему координат прибора S системой х, у, z, то состояние |+S > - это то, что недавно назы­валось состоянием |+ +>. Но представьте, что какой-то ваш приятель провел свою ось z вдоль оси Т. Он свои состояния будет относить к некоторой системе х", у", z". Его состояния «вверх» и «вниз» для электрона и протона отличались бы от ваших. Его состояние «плюс - плюс», которое можно записать | +"+">, отмечая «штрихованность» системы, есть состояние |+Т > частицы со спином 1. А вас интересует T|+S >, что есть просто иной способ записи амплитуды.

Амплитуду можно найти следующим обра­зом. В вашей системе спин электрона из состояния | + +> направлен вверх. Это означает, что у него есть некоторая ампли­туда e оказаться в системе вашего приятеля спином вверх и некоторая амплитуда е оказаться в этой системе спином вниз. Равным образом, протон в состоянии + + У имеет спин вверх в вашей системе и амплитуды р и p оказаться спином вверх или вниз в «штрихованной» системе. Поскольку мы говорим о двух раз­ных частицах, то амплитуда того, что обе частицы вместе в его системе окажутся спинами вверх, равна произведению амплитуд

Мы поставили значки е и р под амплитудами, чтоб было ясно, что мы делаем. Но обе они - это просто ампли­туды преобразований для частицы со спином 1 / 2 , так что на самом деле - это одни и те же числа. Фактически - это те же амплитуды, которые мы в гл. 4 называли Т|+S > > и которые мы привели в табл. 4.1 и 4.2.

Но теперь, однако, нам угрожает путаница в обозначениях. Надо уметь различать амплитуду T|+S ) для частицы со спином 1 / 2 от того, что мы также назвали T|+S >, но для спина 1-между ними нет ничего общего! Надеюсь, вас не очень собьет с толку, если мы на время введем иные обозначения амплитуд для спина 1 / 2 , Они приведены в табл. 10.4. Для состоя­ний частиц спина 1 мы по-прежнему будем прибегать к обозна­чениям | +S , | 0S > и |-S >.

Таблица 10.4 · АМПЛИТУДЫ для СПИНА 1 / 2

В наших новых обозначениях (10.44) просто превращается в

Это как раз амплитуда T|+S > для спина 1. Теперь давайте, например, предположим, что у вашего приятеля система коор­динат, т. е. «штрихованный» прибор Т, повернута вокруг вашей оси z на угол j; тогда из табл. 4.2 получается

Значит, из (10.44) амплитуда для спина 1 окажется равной

Теперь вам понятно, как мы будем действовать дальше.

Но хорошо бы провести выкладки в общем случае для всех состояний. Если протон и электрон в нашей системе (системе S) оба смотрят вверх, то амплитуды того, что в другой системе (системе Т )они будут в одном из четырех возможных состояний,

Затем мы можем записать состояние |+ +> в виде следующей линейной комбинации:

Но теперь мы замечаем, что |+ "+"> - это состояние |+Т >, что {| + "-">+|-"+">} - это как раз Ц2, умноженный на состояние |0T > [см. (10.41)], и что | - "-"> = |-Т >. Иными словами, (10.47) переписывается в виде

Точно так же легко показать, что

С |0S > дело обстоит чуть посложнее, потому что

Но каждое из состояний | + - > и | - +> можно выразить через «штрихованные» состояния и подставить в сумму:

Умножая сумму (10.50) и (10.51) на 1/Ц2, получаем

Отсюда следует

Теперь у нас есть все необходимые амплитуды. Коэффи­циенты в (10.48), (10.49) и (10.52) -это матричные элементы

jТ|iS >. Сведем их в одну матрицу:

Мы выразили преобразование спина 1 через амплитуды а, b, с и d преобразования спина 1 / 2 .

Если, например, система Т повернута по отношению к S на угол а вокруг оси у (см. фиг. 3.6, стр. 64), то амплитуды в табл. 10.4-это просто матричные элементы R y (a) в табл. 4.2:

Подставив их в (10.53), получим формулы (3.38), которые приведены на стр. 80 без доказательства.

Но что же случилось с состоянием |IV )?! Это система со спи­ном нуль; значит, у нее есть только одно состояние - оно во всех системах координат одно и то же. Можно проверить, что все так и выходит, если взять разность (10.50) и (10.51); получим

Но (ad-bc) - это определитель матрицы для спина 1 / 2 , он просто равен единице. Получается

|IV ">=|IV > при любой относительной ориентации двух систем координат.

* Тем, кто перескочил через гл. 4, придется пропустить и этот па­раграф.

* Вспомните, что классически U= -m·B, так что энергия наименьшая, когда момент направлен по полю. Для положительно за­ряженных частиц магнитный момент параллелен спину, для отрицатель­ных - наоборот. Значит, в (10.27) m р - число положительное, а (m е - отрицательное.

*Crampton, Kleppner, Ramsey, Physical Review Letters, 11, 338 (1963).

*В действительности состоянием является

но, как обычно, мы отождествим состояния с постоянными векторами, которые при t=0 совпадают с настоящими векторами.

* Этот оператор сейчас называют оператор обмена спинами.

* Для этих операторов, правда, оказывается, что от их порядка ни­чего не зависит.

При исследовании с помощью спектральных приборов высокой разрешающей силы линии большинства элементов обнаруживают сложную структуру, значительно более узкую, чем мультиплетная (тонкая) структура линий. Ее возникновение связано с взаимодействием магнитных моментов ядер с электронной оболочкой, приводящим к сверхтонкой структуре уровней и с изотопическим сдвигом уровней .

Магнитные моменты ядер связаны с наличием у них механических моментов импульса (спинов). Спин ядра – квантуется по общим правилам квантования механических моментов. Если массовое число ядра А является четным, квантовое число спина I - целое, при нечетном А число I - полуцелое. Большая группа так называемых четно-четных ядер, имеющих четное число как протонов, так и нейтронов, обладает нулевым спином и нулевым магнитным моментом. Спектральные линии четно-четных изотопов не имеют сверхтонкой структуры. Остальные изотопы обладают отличными от нуля механическими и магнитными моментами.

По аналогии с магнитными моментами, создаваемыми в атомах электронами и , магнитный момент ядра может быть представлен в виде

где – масса протона, – так называемый – фактор ядра, учитывающий структуру ядерных оболочек (по порядку величины он равен единице). Единицей измерения ядерных моментов служит ядерный магнетон:

Ядерный магнетон в =1836 раз меньше магнетона Бора . Малая величина магнитных моментов ядер по сравнению с магнитными моментами электронов в атоме объясняет узость сверхтонкой структуры спектральных линий, составляющей по порядку величины от мультиплетного расщепления.

Энергия взаимодействия магнитного момента ядра с электронами атома равна

где – напряженность магнитного поля, создаваемого электронами в точке, где находится ядро.

Расчеты приводят к формуле

Здесь А – некоторая постоянная для данного уровня величина, F – квантовое число суммарного момента импульса ядра и электронной оболочки

которое принимает значения

F=J+I, J+I-1,…, |J-I|. (7.6)

Сверхтонкое расщепление увеличивается с ростом заряда ядра Z, а также с увеличением степени ионизации атома приблизительно пропорционально , где заряд атомного остатка. Если у легких элементов сверхтонкая структура крайне узка (порядка сотых долей ), то для тяжелых элементов, таких, как Hg, T1, Pb, Bi, она достигает величины в случае нейтральных атомов и нескольких в случае ионов.

В качестве примера на рис. 7.1 изображена схема сверхтонкого расщепления уровней и линий резонансного дублета натрия (переход ). Натрий (Z=11) имеет единственный стабильный изотоп с массовым числом А=23. Ядро относится к группе нечетно-четных ядер и обладает спином I=3/2. Магнитный момент ядра равен 2.217 . Общий нижний уровень обеих компонент дублета расщепляется на два сверхтонких уровня с F=1 и 2. Уровень на четыре подуровня (F=0, 1, 2, 3). Величина расщепления уровня равняется 0,095 . Расщепление верхних уровней намного меньше: для уровня оно равно 0,006 , полное расщепление - уровня составляет 0,0035 .

Исследования сверхтонкой структуры спектральных линий позволяют определять такие важные величины, как механические и магнитные моменты ядер.

Примером определения значения спина ядра непосредственно по числу компонент служит вычисление ядерного момента таллия и по структуре линии с =535,046 нм. Полная картина расщепления уровней представлена на рис.7.2. Таллий имеет два изотопа: и , процентное содержание которых в естественной смеси составляет: –29,50% и – 70,50%. Линии обоих изотопов таллия испытывают изотопическое смещение, соответственно равное и нм. Для обоих изотопов спин ядра I=1/2. По схеме расщепления нужно ожидать, что линия таллия с нм, возникающая при переходе с уровня на уровень , состоит из трех компонент сверхтонкого расщепления с отношением интенсивностей 2:5:1, так как уровень состоит из двух подуровней с расстоянием между подуровнями , а уровень также расщепляется на два подуровня. Расстояние между подуровнями ничтожно мало, поэтому спектроскопические наблюдения обнаруживают лишь две компоненты сверхтонкого расщепления для каждого изотопа в отдельности, расположенные на расстоянии нм (). По числу компонент видно, что спин ядра таллия I =1/2, так как при J = 1/2 число компонент 2I+1 =2. Квадрупольный момент Q = 0. Это свидетельствует, что расщепление терма очень мало и спектроскопическим способом не разрешается. Аномально-узкое расщепление терма объясняется тем, что он испытывает возмущение со стороны конфигурации . Общее число компонент этой линии равно четырем. Компоненты А и В принадлежат более распространенному изотопу , а компоненты и b более редкому . Обе группы компонент сдвинуты относительно друг друга на , причем более тяжелому изотопу соответствует сдвиг в фиолетовую сторону спектра. Измерение отношения интенсивностей компонент А: или В: b позволяет определить содержание изотопов в естественной смеси.

7.4. Описание установки .

СТС спектральных линий можно наблюдать только при использовании приборов высокой разрешающей силы, например, интерферометра Фабри-Перо (ИФП). ИФП является прибором с узким спектральным интервалом, (например, свободный спектральный интервал для λ=500 нм в ИФП с расстоянием между зеркалами t=5 мм составляет Δλ=0,025 нм, в пределах этого интервала Δλ можно исследовать тонкую и сверхтонкую структуру) . Как правило, ИФП используют в сочетании со спектральным прибором, для предварительной монохроматизации. Эта монохроматизация может быть осуществляться или до входа светового потока в интерферометр, или после прохождения через интерферометр.

Оптическая схема для исследования СТС спектральных линий приведена на рис. 7.3.

Источник света 1 (высокочастотная безэлектродная лампа ВСБ с парами металлов) проектируется линзой 2 (F =75мм) на ИФП (3). Интерференционная картина, локализованная в бесконечности, в виде колец проектируется ахроматическим конденсором 4 (F=150мм) в плоскость входной щели 5 спектрографа (6,7,8-коллиматор, призма Корню, камерный объектив спектрографа). Центральная часть концентрических колец вырезается щелью (5) спектрографа и изображение картины переносится в фокальную плоскость 9, где регистрируется на фотопластинку. В случае линейчатого спектра картина будет представлять собой спектральные линии, пересеченные по высоте интерференционными максимумами и минимумами. Такую картину можно наблюдать визуально со стороны кассетной части в лупу. При правильной юстировке ИТ картина имеет симметричный вид (рис.7.4.).