İkinci dereceden denklemler. Tam ve eksik ikinci dereceden denklem. Eksik ikinci dereceden denklemlerin tanımı ve örnekleri İkinci dereceden bir denklemi kökler cinsinden ifade edin

Modern toplumda, karesi alınmış bir değişken içeren denklemler üzerinde işlem yapma yeteneği, birçok faaliyet alanında faydalı olabilir ve pratikte bilimsel ve teknik gelişmelerde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu, deniz ve nehir gemilerinin, uçakların ve füzelerin tasarımıyla kanıtlanabilir. Bu tür hesaplamaların yardımıyla, uzay nesneleri de dahil olmak üzere çeşitli cisimlerin hareket yörüngeleri belirlenir. İkinci dereceden denklemlerin çözümüne sahip örnekler, yalnızca ekonomik tahminde, binaların tasarımında ve yapımında değil, aynı zamanda en sıradan günlük koşullarda da kullanılır. Kamp gezilerinde, spor etkinliklerinde, mağazalarda alışveriş yaparken ve diğer çok yaygın durumlarda ihtiyaç duyulabilir.

İfadeyi bileşen çarpanlarına ayıralım

Bir denklemin derecesi, verilen ifadenin içerdiği değişkenin derecesinin maksimum değeri ile belirlenir. 2'ye eşitse, böyle bir denkleme ikinci dereceden denklem denir.

Formüller dilinde konuşursak, bu ifadeler, nasıl görünürlerse görünsünler, ifadenin sol tarafı üç terimden oluştuğunda her zaman forma getirilebilir. Bunların arasında: ax 2 (yani, katsayısının karesi alınmış bir değişken), bx (katsayısıyla karesi olmayan bir bilinmeyen) ve c (serbest bileşen, yani sıradan bir sayı). Bütün bunlar sağ tarafta 0'a eşittir.Böyle bir polinomun, ax 2 dışında kurucu terimlerinden birine sahip olmaması durumunda, buna tamamlanmamış ikinci dereceden denklem denir. Değişkenlerin değerini bulmanın zor olmadığı bu tür problemlerin çözümü ile birlikte örnekler öncelikle ele alınmalıdır.

İfadenin sağ tarafında iki terim, daha doğrusu ax 2 ve bx varmış gibi görünüyorsa, değişkeni parantez içine alarak x'i bulmak en kolay yoldur. Şimdi denklemimiz şöyle görünecek: x(ax+b). Ayrıca, ya x=0 olduğu ya da sorunun aşağıdaki ifadeden bir değişken bulmaya indirgendiği aşikar hale gelir: ax+b=0. Bu, çarpmanın özelliklerinden biri tarafından belirlenir. Kural, iki faktörün çarpımının, yalnızca birinin sıfır olması durumunda 0 ile sonuçlandığını söylüyor.

Örnek

x=0 veya 8x - 3 = 0

Sonuç olarak, denklemin iki kökünü elde ederiz: 0 ve 0.375.

Bu tür denklemler, orijin olarak alınan belirli bir noktadan hareket etmeye başlayan yerçekimi etkisi altındaki cisimlerin hareketini tanımlayabilir. Burada matematiksel gösterim aşağıdaki formu alır: y = v 0 t + gt 2 /2. Gerekli değerleri yerine koyarak, sağ tarafı 0'a eşitleyerek ve olası bilinmeyenleri bularak, vücudun yükseldiği andan düştüğü ana kadar geçen süreyi ve daha birçok niceliği öğrenebilirsiniz. Ama bunun hakkında daha sonra konuşacağız.

Bir İfadeyi Çarpanlara Ayırmak

Yukarıda açıklanan kural, bu sorunları daha karmaşık durumlarda çözmeyi mümkün kılar. Bu türden ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekleri ele alalım.

X2 - 33x + 200 = 0

Bu kare üçlü terim tamamlandı. İlk olarak, ifadeyi dönüştürür ve çarpanlara ayrıştırırız. İki tane var: (x-8) ve (x-25) = 0. Sonuç olarak, 8 ve 25 olmak üzere iki kökümüz var.

9. sınıftaki ikinci dereceden denklemlerin çözümüne ilişkin örnekler, bu yöntemin yalnızca ikinci değil, hatta üçüncü ve dördüncü dereceden ifadelerde bir değişken bulmasını sağlar.

Örneğin: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Sağ tarafı değişkenli çarpanlara ayırırken üç tane vardır, yani (x + 1), (x-3) ve (x + 3).

Sonuç olarak, bu denklemin üç kökü olduğu ortaya çıkıyor: -3; -1; 3.

Karekökün çıkarılması

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin başka bir durumu, sağ tarafı ax 2 ve c bileşenlerinden oluşturulacak şekilde harf dilinde yazılmış bir ifadedir. Burada değişkenin değerini elde etmek için serbest terim sağ tarafa aktarılır ve bundan sonra eşitliğin her iki tarafından da karekök alınır. Bu durumda denklemin genellikle iki kökü olduğuna dikkat edilmelidir. Tek istisna, c terimini hiç içermeyen, değişkenin sıfıra eşit olduğu eşitlikler ve sağ taraf negatif olduğu ortaya çıkan ifade çeşitleridir. İkinci durumda, yukarıdaki işlemler köklerle gerçekleştirilemediğinden hiçbir çözüm yoktur. Bu türden ikinci dereceden denklemlerin çözüm örnekleri dikkate alınmalıdır.

Bu durumda denklemin kökleri -4 ve 4 olacaktır.

Arazi alanının hesaplanması

Bu tür hesaplamalara duyulan ihtiyaç eski zamanlarda ortaya çıktı, çünkü o uzak zamanlarda matematiğin gelişimi büyük ölçüde arsaların alanlarını ve çevrelerini en yüksek doğrulukla belirleme ihtiyacından kaynaklanıyordu.

Bu tür problemler temelinde derlenen ikinci dereceden denklemlerin çözümü ile örnekleri de dikkate almalıyız.

Buna göre, uzunluğu genişliğinden 16 metre fazla olan dikdörtgen bir kara parçası olduğunu varsayalım. Alanının 612 m 2 olduğu biliniyorsa, sitenin uzunluğunu, genişliğini ve çevresini bulmalısınız.

İşe başlarken, önce gerekli denklemi yapacağız. Kesidin genişliğini x olarak gösterelim, o zaman uzunluğu (x + 16) olacaktır. Yazılanlardan, alanın, problemimizin durumuna göre 612 olan x (x + 16) ifadesiyle belirlendiği sonucu çıkar. Bu, x (x + 16) \u003d 612 anlamına gelir.

Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü ve bu ifade tam da budur, aynı şekilde yapılamaz. Neden? Sol tarafı hala iki çarpan içermesine rağmen bunların çarpımı 0'a eşit olmadığı için burada başka yöntemler kullanılmaktadır.

ayrımcı

Öncelikle gerekli dönüşümleri yapacağız, ardından bu ifadenin görünümü şu şekilde olacak: x 2 + 16x - 612 = 0. Bu, daha önce belirtilen standarda karşılık gelen biçimde bir ifade aldığımız anlamına gelir; burada a=1, b=16, c= -612.

Bu, diskriminant yoluyla ikinci dereceden denklemleri çözmenin bir örneği olabilir. Burada şemaya göre gerekli hesaplamalar yapılır: D = b 2 - 4ac. Bu yardımcı değer, ikinci dereceden denklemde istenen değerleri bulmayı mümkün kılmakla kalmaz, olası seçenek sayısını da belirler. D>0 durumunda iki tane vardır; D=0 için bir kök vardır. D durumunda<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Kökler ve formülleri hakkında

Bizim durumumuzda diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. Bu, problemimizin bir cevabı olduğunu gösterir. Biliyorsanız, ikinci dereceden denklemlerin çözümüne aşağıdaki formül kullanılarak devam edilmelidir. Kökleri hesaplamanıza izin verir.

Bu, sunulan durumda: x 1 = 18, x 2 = -34 anlamına gelir. Bu ikilemde ikinci seçenek çözüm olamaz çünkü arsanın büyüklüğü negatif değerlerle ölçülemez yani x (yani arsanın genişliği) 18 m dir.Buradan uzunluğu hesaplıyoruz: 18+16=34 ve çevre 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Örnekler ve görevler

İkinci dereceden denklemleri incelemeye devam ediyoruz. Örnekler ve birkaçının ayrıntılı çözümü aşağıda verilecektir.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Her şeyi eşitliğin sol tarafına aktaralım, bir dönüşüm yapalım, yani genellikle standart olarak adlandırılan denklemin şeklini alıp sıfıra eşitleyelim.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Benzer olanları ekleyerek ayrımcıyı belirliyoruz: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Yani denklemimizin iki kökü olacak. Bunları yukarıdaki formüle göre hesaplıyoruz, yani birincisi 4/3, ikincisi 1 olacak.

2) Şimdi farklı türden bilmeceler ortaya çıkaracağız.

Burada x 2 - 4x + 5 = 1 kökleri olup olmadığını bulalım mı? Kapsamlı bir cevap elde etmek için, polinomu karşılık gelen tanıdık forma getiriyoruz ve ayırıcıyı hesaplıyoruz. Bu örnekte, ikinci dereceden denklemi çözmek gerekli değildir çünkü sorunun özü hiç de bu değildir. Bu durumda D \u003d 16 - 20 \u003d -4, yani gerçekten kök yok.

Vieta teoremi

Karekök ikincisinin değerinden çıkarıldığında, ikinci dereceden denklemleri yukarıdaki formüller ve diskriminant aracılığıyla çözmek uygundur. Ancak bu her zaman olmaz. Ancak bu durumda değişkenlerin değerlerini almanın birçok yolu vardır. Örnek: Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme. Adını, 16. yüzyıl Fransa'sında yaşayan ve matematik yeteneği ve saraydaki bağlantıları sayesinde parlak bir kariyere sahip olan bir adamdan almıştır. Portresi makalede görülebilir.

Ünlü Fransız'ın fark ettiği model şu şekildeydi. Denklemin köklerinin toplamının -p=b/a'ya ve çarpımının q=c/a'ya karşılık geldiğini kanıtladı.

Şimdi belirli görevlere bakalım.

3x2 + 21x - 54 = 0

Basit olması için, ifadeyi dönüştürelim:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoremini kullanarak, bu bize şunu verecektir: köklerin toplamı -7 ve çarpımı -18'dir. Buradan denklemin köklerinin -9 ve 2 sayıları olduğunu anlıyoruz. Bir kontrol yaptıktan sonra değişkenlerin bu değerlerinin gerçekten ifadeye uyduğundan emin olacağız.

Bir Parabolün Grafiği ve Denklemi

İkinci dereceden bir fonksiyon ve ikinci dereceden denklem kavramları yakından ilişkilidir. Bunun örnekleri daha önce verilmişti. Şimdi bazı matematiksel bulmacalara biraz daha detaylı bakalım. Açıklanan türden herhangi bir denklem görsel olarak temsil edilebilir. Grafik şeklinde çizilen böyle bir bağımlılığa parabol denir. Çeşitli türleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Herhangi bir parabolün bir tepe noktası, yani dallarının çıktığı bir noktası vardır. a>0 ise, sonsuza kadar yükselirler ve<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

İşlevlerin görsel temsilleri, ikinci dereceden olanlar da dahil olmak üzere herhangi bir denklemi çözmeye yardımcı olur. Bu yönteme grafik denir. x değişkeninin değeri ise grafik doğrusunun 0x ile kesiştiği noktalardaki apsis koordinatıdır. Tepe noktasının koordinatları az önce verilen x 0 = -b / 2a formülüyle bulunabilir. Ve elde edilen değeri fonksiyonun orijinal denkleminde değiştirerek, y 0'ı, yani parabol tepe noktasının y eksenine ait ikinci koordinatını bulabilirsiniz.

Parabolün dallarının apsis ekseni ile kesişimi

İkinci dereceden denklemlerin çözümüyle ilgili pek çok örnek var, ancak genel modeller de var. Onları düşünelim. a>0 için grafiğin 0x ekseni ile kesişmesinin ancak y 0 negatif değerler alması durumunda mümkün olduğu açıktır. Ve bir<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Aksi takdirde D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Bir parabolün grafiğinden kökleri de belirleyebilirsiniz. Tersi de doğrudur. Yani, ikinci dereceden bir fonksiyonun görsel temsilini elde etmek kolay değilse, ifadenin sağ tarafını 0'a eşitleyebilir ve ortaya çıkan denklemi çözebilirsiniz. Ve 0x ekseni ile kesişme noktalarını bilmek, çizmek daha kolaydır.

Tarihten

Kare değişken içeren denklemlerin yardımıyla eski günlerde sadece matematiksel hesaplamalar yapmakla kalmıyor, geometrik şekillerin alanını da belirliyordu. Eskiler, fizik ve astronomi alanındaki görkemli keşifler ve astrolojik tahminler yapmak için bu tür hesaplamalara ihtiyaç duyuyordu.

Modern bilim adamlarının öne sürdüğü gibi, Babil sakinleri ikinci dereceden denklemleri ilk çözenler arasındaydı. Çağımızın gelişinden dört yüzyıl önce oldu. Tabii ki, hesaplamaları şu anda kabul edilenlerden temelde farklıydı ve çok daha ilkel olduğu ortaya çıktı. Örneğin Mezopotamyalı matematikçilerin negatif sayıların varlığı hakkında hiçbir fikirleri yoktu. Ayrıca, zamanımızın herhangi bir öğrencisinin bildiği diğer inceliklere de yabancıydılar.

Belki de Hintli bilge Baudhayama Babil bilim adamlarından daha önce ikinci dereceden denklemlerin çözümünü ele aldı. Bu, Mesih çağının gelişinden yaklaşık sekiz yüzyıl önce oldu. Doğru, verdiği ikinci dereceden denklemler, çözme yöntemleri en basitleriydi. Onun yanı sıra Çinli matematikçiler de eski günlerde benzer sorularla ilgileniyorlardı. Avrupa'da ikinci dereceden denklemler ancak 13. yüzyılın başında çözülmeye başlandı, ancak daha sonra Newton, Descartes ve diğerleri gibi büyük bilim adamları tarafından çalışmalarında kullanıldı.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formüller. Gerçek, çoklu ve karmaşık kök durumları ele alınır. Bir kare üç terimlinin çarpanlara ayrılması. Geometrik yorum. Kök belirleme ve çarpanlarına ayırma örnekleri.

Ayrıca bakınız: İkinci dereceden denklemleri çevrimiçi çözme

Temel Formüller

İkinci dereceden denklemi düşünün:
(1) .
İkinci dereceden bir denklemin kökleri(1) aşağıdaki formüllerle belirlenir:
; .
Bu formüller şu şekilde birleştirilebilir:
.
İkinci dereceden denklemin kökleri bilindiğinde, ikinci dereceden polinom, faktörlerin bir ürünü (faktörlere ayrılmış) olarak temsil edilebilir:
.

Ayrıca, bunların gerçek sayılar olduğunu varsayıyoruz.
Dikkate almak ikinci dereceden bir denklemin ayırt edicisi:
.
Ayırıcı pozitifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki farklı gerçek kökü vardır:
; .
O zaman kare üçlü terimlinin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.
Ayırıcı sıfır ise, ikinci dereceden denklemin (1) iki çoklu (eşit) gerçek kökü vardır:
.
çarpanlara ayırma:
.
Ayırıcı negatifse, ikinci dereceden denklemin (1) iki karmaşık eşlenik kökü vardır:
;
.
İşte sanal birim, ;
ve köklerin gerçek ve hayali kısımlarıdır:
; .
Daha sonra

.

Grafik yorumlama

fonksiyonun grafiğini çizersek
,
ki bu bir parabol, o zaman grafiğin eksenle kesişme noktaları denklemin kökleri olacaktır.
.
olduğunda, grafik apsis eksenini (eksen) iki noktada () keser.
olduğunda, grafik bir noktada () x eksenine dokunur.
olduğunda, grafik x eksenini () geçmez.

İkinci Dereceden Denklemle İlgili Yararlı Formüller

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

Dönüşümler gerçekleştiriyoruz ve (f.1) ve (f.3) formüllerini uyguluyoruz:




,
Nerede
; .

Böylece, ikinci derecenin polinomunun formülünü şu şekilde elde ettik:
.
Buradan, denklemin olduğu görülebilir.

gerçekleştirilen
Ve .
Yani, ve ikinci dereceden denklemin kökleridir
.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirleme örnekleri

örnek 1

(1.1) .

.
Denklemimiz (1.1) ile karşılaştırarak, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Ayrımcıyı bulmak:
.
Diskriminant pozitif olduğundan, denklemin iki gerçek kökü vardır:
;
;
.

Buradan kare üçlü terimlinin faktörlere ayrışmasını elde ederiz:

.

y = fonksiyonunun grafiği 2x2+7x+3 x eksenini iki noktada keser.

Fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. x eksenini (eksen) iki noktada keser:
Ve .
Bu noktalar orijinal denklemin (1.1) kökleridir.

;
;
.

Örnek 2

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(2.1) .

İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazıyoruz:
.
Orijinal denklem (2.1) ile karşılaştırıldığında, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Ayrımcıyı bulmak:
.
Diskriminant sıfır olduğundan, denklemin iki çoklu (eşit) kökü vardır:
;
.

O zaman üç terimlinin çarpanlara ayrılması şu şekildedir:
.

y = x fonksiyonunun grafiği 2 - 4 x + 4 x eksenine bir noktada dokunur.

Fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Bir noktada x eksenine (eksen) dokunur:
.
Bu nokta orijinal denklemin (2.1) köküdür. Bu kök iki kez çarpanlara ayrıldığından:
,
o zaman böyle bir köke kat denir. Yani, iki eşit kök olduğunu düşünürler:
.

;
.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(3.1) .

İkinci dereceden denklemi genel biçimde yazıyoruz:
(1) .
Orijinal denklemi (3.1) yeniden yazalım:
.
(1) ile karşılaştırarak, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Ayrımcıyı bulmak:
.
Ayrımcı negatif, . Bu nedenle, gerçek kökler yoktur.

Karmaşık kökleri bulabilirsiniz:
;
;
.

Daha sonra


.

Fonksiyonun grafiği x eksenini kesmiyor. Gerçek kökleri yoktur.

Fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsisi (ekseni) geçmez. Bu nedenle, gerçek kökler yoktur.

Gerçek kökleri yoktur. Karmaşık kökler:
;
;
.

Bu konu, pek çok basit olmayan formül nedeniyle ilk başta karmaşık görünebilir. Sadece ikinci dereceden denklemlerin kendileri uzun girişlere sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda diskriminant aracılığıyla kökler de bulunur. Toplamda üç yeni formül var. Hatırlamak çok kolay değil. Bu, ancak bu tür denklemlerin sık sık çözümünden sonra mümkündür. Daha sonra tüm formüller kendi başlarına hatırlanacak.

İkinci dereceden denklemin genel görünümü

Burada, en büyük derece önce ve sonra - azalan sırayla yazıldığında, açık gösterimleri önerilmektedir. Çoğu zaman terimlerin ayrı durduğu durumlar vardır. O zaman denklemi değişkenin derecesinin azalan düzeninde yeniden yazmak daha iyidir.

Notasyonu tanıtalım. Aşağıdaki tabloda sunulmuştur.

Bu gösterimleri kabul edersek, tüm ikinci dereceden denklemler aşağıdaki gösterime indirgenir.

Ayrıca katsayı a ≠ 0. Bu formül bir numara ile gösterilsin.

Denklem verildiğinde, cevapta kaç kök olacağı belli değil. Çünkü üç seçenekten biri her zaman mümkündür:

• çözümün iki kökü olacaktır;
• cevap bir numara olacak;
• Denklemin hiç kökü yoktur.

Ve karar sona ermemiş olsa da, belirli bir durumda hangi seçeneklerin ortaya çıkacağını anlamak zordur.

İkinci dereceden denklemlerin kayıt türleri

Görevlerin farklı girişleri olabilir. Her zaman ikinci dereceden bir denklemin genel formülü gibi görünmeyeceklerdir. Bazen bazı terimler eksik olacaktır. Yukarıda yazılanlar tam denklemdir. İçindeki ikinci veya üçüncü terimi çıkarırsanız, başka bir şey elde edersiniz. Bu kayıtlara ikinci dereceden denklemler de denir, sadece eksiktir.

Ayrıca, yalnızca "b" ve "c" katsayılarının kaybolabileceği terimler. "a" sayısı hiçbir koşulda sıfıra eşit olamaz. Çünkü bu durumda formül doğrusal bir denkleme dönüşür. Denklemlerin eksik formu için formüller aşağıdaki gibi olacaktır:

Yani, sadece iki tür vardır, tamamlanmış olanlara ek olarak, tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler de vardır. Birinci formül iki, ikinci formül üç olsun.

Diskriminant ve kök sayısının değerine bağımlılığı

Denklemin köklerini hesaplamak için bu sayının bilinmesi gerekir. İkinci dereceden denklemin formülü ne olursa olsun, her zaman hesaplanabilir. Diskriminantı hesaplamak için aşağıda yazılan ve dört rakamına sahip olacak eşitliği kullanmanız gerekir.

Katsayıların değerlerini bu formülde yerine koyduktan sonra farklı işaretli sayılar elde edebilirsiniz. Cevap evet ise, o zaman denklemin cevabı iki farklı kök olacaktır. Negatif bir sayı ile ikinci dereceden denklemin kökleri bulunmayacaktır. Sıfıra eşitse, cevap bir olacaktır.

Tam bir ikinci dereceden denklem nasıl çözülür?

Aslında, bu konunun değerlendirilmesi çoktan başladı. Çünkü önce ayrımcıyı bulmanız gerekiyor. İkinci dereceden denklemin kökleri olduğu açıklığa kavuşturulduktan ve sayıları bilindikten sonra, değişkenler için formülleri kullanmanız gerekir. İki kök varsa, böyle bir formül uygulamanız gerekir.

“±” işaretini içerdiğinden iki değer olacaktır. Karekök işaretinin altındaki ifade ayırt edicidir. Bu nedenle, formül farklı bir şekilde yeniden yazılabilir.

Formül beş. Aynı kayıttan, diskriminant sıfır ise, her iki kökün de aynı değerleri alacağı görülebilir.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü henüz çözülmediyse, ayrımcı ve değişken formülleri uygulamadan önce tüm katsayıların değerlerini yazmak daha iyidir. Daha sonra bu an zorluklara neden olmaz. Ama en başında bir kafa karışıklığı var.

Eksik bir ikinci dereceden denklem nasıl çözülür?

Burada her şey çok daha basit. Hatta ek formüllere gerek yoktur. Ayrımcı ve bilinmeyen için zaten yazılmış olanlara da ihtiyacınız olmayacak.

İlk olarak, iki numaralı tamamlanmamış denklemi ele alalım. Bu eşitlikte parantez içindeki bilinmeyen değeri alıp parantez içinde kalacak lineer denklemi çözmesi istenmektedir. Cevabın iki kökü olacak. Birincisi mutlaka sıfıra eşittir, çünkü değişkenin kendisinden oluşan bir çarpan vardır. İkincisi, doğrusal bir denklem çözülerek elde edilir.

Üç numaralı eksik denklem, denklemin sol tarafındaki sayıyı sağa aktararak çözülür. O zaman bilinmeyenin önündeki katsayıya bölmeniz gerekir. Sadece karekökü çıkarmak için kalır ve zıt işaretlerle iki kez yazmayı unutmayın.

Aşağıda, ikinci dereceden denklemlere dönüşen her türlü eşitliğin nasıl çözüleceğini öğrenmenize yardımcı olacak bazı eylemler bulunmaktadır. Öğrencinin dikkatsizlikten kaynaklanan hatalardan kaçınmasına yardımcı olurlar. Bu eksiklikler, kapsamlı "Kuadrik Denklemler (Sınıf 8)" konusunu çalışırken düşük notların nedenidir. Daha sonra, bu eylemlerin sürekli olarak gerçekleştirilmesi gerekmeyecektir. Çünkü sabit bir alışkanlık olacak.

• Öncelikle denklemi standart formda yazmanız gerekir. Yani, önce değişkenin en büyük derecesine sahip terim ve sonra - derecesi ve sonuncusu olmadan - sadece bir sayı.

• "a" katsayısından önce bir eksi belirirse, ikinci dereceden denklemleri incelemek için yeni başlayanlar için işi zorlaştırabilir. Ondan kurtulmak daha iyi. Bunun için tüm eşitliklerin "-1" ile çarpılması gerekir. Bu, tüm terimlerin işaret değiştireceği anlamına gelir.

• Aynı şekilde kesirlerden de kurtulmanız tavsiye edilir. Paydaların birbirini götürmesi için denklemi uygun faktörle çarpmanız yeterlidir.

örnekler

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek gerekir:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

İlk denklem: x 2 - 7x \u003d 0. Eksiktir, bu nedenle iki numaralı formülde açıklandığı gibi çözülür.

Parantez içine aldıktan sonra şu çıkıyor: x (x - 7) \u003d 0.

İlk kök şu değeri alır: x 1 \u003d 0. İkincisi, doğrusal denklemden bulunacaktır: x - 7 \u003d 0. x 2 \u003d 7 olduğunu görmek kolaydır.

İkinci denklem: 5x2 + 30 = 0. Yine eksik. Sadece üçüncü formül için açıklandığı gibi çözülür.

30'u denklemin sağ tarafına aktardıktan sonra: 5x2=30. Şimdi 5'e bölmeniz gerekiyor. 6.

Üçüncü denklem: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Burada ve aşağıda, ikinci dereceden denklemlerin çözümü, onları standart bir forma yeniden yazarak başlayacaktır: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Şimdi ikinciyi kullanma zamanı yararlı ipucu ve her şeyi eksi bir ile çarpın. X 2 + 2x - 15 \u003d 0 çıkıyor. Dördüncü formüle göre ayrımcıyı hesaplamanız gerekiyor: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. pozitif sayı Yukarıda söylenenlerden, denklemin iki kökü olduğu ortaya çıkıyor. Beşinci formüle göre hesaplanmaları gerekir. Buna göre x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2 olduğu ortaya çıkıyor. Sonra x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Dördüncü denklem x 2 + 8 + 3x \u003d 0 şuna dönüştürülür: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Diskriminantı şu değere eşittir: -23. Bu sayı negatif olduğu için, bu görevin cevabı şu giriş olacaktır: "Kök yok."

Beşinci denklem 12x + x 2 + 36 = 0 şu şekilde yeniden yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant için formül uygulandıktan sonra sıfır sayısı elde edilir. Bu, bir kökü olacağı anlamına gelir, yani: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Altıncı denklem (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2), parantezleri açmadan önce benzer terimleri getirmeniz gerektiği gerçeğinden oluşan dönüşümler gerektirir. İlkinin yerine şöyle bir ifade olacak: x 2 + 2x + 1. Eşitlikten sonra şu giriş görünecektir: x 2 + 3x + 2. Benzer terimler sayıldıktan sonra, denklem şu şekli alacaktır: x 2 - x \u003d 0. Eksik hale geldi . Buna benzer zaten biraz daha yüksek olarak kabul edildi. Bunun kökleri 0 ve 1 sayıları olacaktır.

”, yani birinci dereceden denklemler. Bu derste keşfedeceğiz ikinci dereceden denklem nedir ve nasıl çözebilirim.

ikinci dereceden denklem nedir

Önemli!

Bir denklemin derecesi, bilinmeyenin bulunduğu en yüksek derece ile belirlenir.

Bilinmeyenlerin durduğu maksimum derece “2” ise, ikinci dereceden bir denkleminiz var demektir.

İkinci dereceden denklem örnekleri

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Önemli! İkinci dereceden denklemin genel biçimi şöyle görünür:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - birinci veya kıdemli katsayı;
• "b" - ikinci katsayı;
• "c" ücretsiz üyedir.

"a", "b" ve "c" yi bulmak için Denkleminizi "ax 2 + bx + c \u003d 0" ikinci dereceden denklemin genel formuyla karşılaştırmanız gerekir.

İkinci dereceden denklemlerde "a", "b" ve "c" katsayılarını belirleme alıştırması yapalım.

• bir = -1
• b = 1
• ç =

  1

  3

• bir = 1
• b = 0.25
• c = 0

• bir = 1
• b = 0
• c = -8

İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür?

Doğrusal denklemlerin aksine, ikinci dereceden denklemleri çözmek için özel bir denklem kullanılır. kök bulma formülü.

Hatırlamak!

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ihtiyacınız olan:

• ikinci dereceden denklemi "ax 2 + bx + c \u003d 0" genel biçimine getirin. Yani sağ tarafta sadece "0" kalmalıdır;
• kökler için formülü kullanın:

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formülün nasıl uygulanacağını anlamak için bir örnek kullanalım. İkinci dereceden denklemi çözelim.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" denklemi halihazırda "ax 2 + bx + c = 0" genel biçimine indirgenmiştir ve ek basitleştirmeler gerektirmez. Çözmek için sadece başvurmamız gerekiyor ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formül.

Bu denklem için "a", "b" ve "c" katsayılarını tanımlayalım.

Yardımı ile herhangi bir ikinci dereceden denklem çözülür.

"x 1; 2 \u003d" formülünde kök ifade genellikle değiştirilir
"b 2 − 4ac" harfine "D" ve diskriminant denir. Ayrımcı kavramı, "Ayrımcı nedir" dersinde daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

İkinci dereceden bir denklemin başka bir örneğini ele alalım.

x 2 + 9 + x = 7x

Bu formda "a", "b" ve "c" katsayılarını belirlemek oldukça zordur. Önce denklemi "ax 2 + bx + c \u003d 0" genel formuna getirelim.

x 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Şimdi kökler için formülü kullanabilirsiniz.

1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

İkinci dereceden denklemlerde köklerin olmadığı zamanlar vardır. Bu durum, kök altındaki formülde negatif bir sayı göründüğünde ortaya çıkar.

İkinci dereceden denklemler 8. sınıfta incelenir, bu nedenle burada karmaşık bir şey yoktur. Onları çözme yeteneği çok önemlidir.

İkinci dereceden bir denklem, ax 2 + bx + c = 0 biçiminde bir denklemdir; burada a , b ve c katsayıları keyfi sayılardır ve a ≠ 0'dır.

Belirli çözüm yöntemlerini incelemeden önce, tüm ikinci dereceden denklemlerin üç sınıfa ayrılabileceğini not ediyoruz:

1. Kökleri yok;
2. Tam olarak bir kökleri vardır;
3. İki farklı kökleri vardır.

Bu, kökün her zaman var olduğu ve benzersiz olduğu ikinci dereceden ve doğrusal denklemler arasındaki önemli bir farktır. Bir denklemin kaç kökü olduğunu nasıl belirleyebilirim? Bunun için harika bir şey var - ayrımcı.

ayrımcı

İkinci dereceden denklem ax 2 + bx + c = 0 verilsin, o zaman ayırıcı basitçe D = b 2 − 4ac sayısıdır.

Bu formül ezbere bilinmelidir. Nereden geldiği artık önemli değil. Başka bir şey önemlidir: ayrımcının işaretine göre, ikinci dereceden bir denklemin kaç kökü olduğunu belirleyebilirsiniz. Yani:

1. eğer D< 0, корней нет;
2. D = 0 ise, tam olarak bir kök vardır;
3. D > 0 ise iki kök olacaktır.

Lütfen dikkat: Ayırıcı, birçok insanın düşündüğü gibi, köklerin sayısını gösterir ve hiçbir şekilde işaretlerini göstermez. Örneklere bir göz atın ve her şeyi kendiniz anlayacaksınız:

Görev. İkinci dereceden denklemlerin kaç kökü vardır:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

İlk denklem için katsayıları yazıp diskriminantı buluyoruz:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki farklı kökü vardır. İkinci denklemi de aynı şekilde analiz ediyoruz:
bir = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant negatiftir, kök yoktur. Son denklem kalır:
bir = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ayrımcı sıfıra eşittir - kök bir olacaktır.

Her denklem için katsayıların yazıldığına dikkat edin. Evet, uzun, evet, sıkıcı - ama ihtimalleri karıştırmayacaksın ve aptalca hatalar yapmayacaksın. Kendiniz seçin: hız veya kalite.

Bu arada, "elinizi doldurursanız", bir süre sonra artık tüm katsayıları yazmanıza gerek kalmayacak. Bu tür işlemleri kafanızda gerçekleştireceksiniz. Çoğu insan bunu 50-70 çözülmüş denklemden sonra yapmaya başlar - genel olarak, çok fazla değil.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri

Şimdi çözüme geçelim. Ayırıcı D > 0 ise, kökler aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için temel formül

D = 0 olduğunda, bu formüllerden herhangi birini kullanabilirsiniz - cevap olacak aynı sayıyı alırsınız. Son olarak, eğer D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

İlk denklem:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ denklemin iki kökü vardır. Onları bulalım:

İkinci denklem:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ denklemin yine iki kökü vardır. hadi onları bulalım

\[\begin(hizala) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(hizala)\]

Son olarak, üçüncü denklem:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ denklemin bir kökü vardır. Herhangi bir formül kullanılabilir. Örneğin, ilki:

Örneklerden de görebileceğiniz gibi, her şey çok basit. Formülleri biliyorsanız ve sayabiliyorsanız, hiçbir sorun olmayacaktır. Çoğu zaman hatalar, formülde negatif katsayılar değiştirildiğinde ortaya çıkar. Burada yine yukarıda açıklanan teknik yardımcı olacaktır: formüle tam anlamıyla bakın, her adımı boyayın - ve çok yakında hatalardan kurtulun.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden denklemin tanımda verilenden biraz farklı olduğu görülür. Örneğin:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

Bu denklemlerde terimlerden birinin eksik olduğunu görmek kolaydır. Bu tür ikinci dereceden denklemleri çözmek standart olanlardan bile daha kolaydır: ayrımcıyı hesaplamalarına bile gerek yoktur. Öyleyse yeni bir konsept tanıtalım:

ax 2 + bx + c = 0 denklemi, b = 0 veya c = 0 ise tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem olarak adlandırılır, yani x değişkeninin veya serbest elemanın katsayısı sıfıra eşittir.

Elbette, bu katsayıların her ikisi de sıfıra eşit olduğunda çok zor bir durum mümkündür: b \u003d c \u003d 0. Bu durumda denklem, ax 2 \u003d 0 şeklini alır. Açıkçası, böyle bir denklemin tek bir denklemi vardır. kök: x \u003d 0.

Diğer durumları ele alalım. B \u003d 0 olsun, o zaman ax 2 + c \u003d 0 biçiminde eksik bir ikinci dereceden denklem elde edelim.

Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan var olduğundan, son eşitlik yalnızca (−c / a ) ≥ 0 olduğunda anlamlıdır. Sonuç:

1. ax 2 + c = 0 biçimindeki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem (−c / a ) ≥ 0 eşitsizliğini sağlıyorsa, iki kök olacaktır. Formül yukarıda verilmiştir;
2. Eğer (-c / a )< 0, корней нет.

Gördüğünüz gibi, diskriminant gerekli değildi - eksik ikinci dereceden denklemlerde hiç karmaşık hesaplamalar yok. Aslında (−c / a ) ≥ 0 eşitsizliğini hatırlamaya bile gerek yok. x 2 değerini ifade etmek ve eşittir işaretinin diğer tarafında ne olduğunu görmek için yeterli. Pozitif bir sayı varsa, iki kök olacaktır. Negatif ise, hiç kök olmayacaktır.

Şimdi serbest elemanın sıfıra eşit olduğu ax 2 + bx = 0 şeklindeki denklemlerle ilgilenelim. Burada her şey basit: her zaman iki kök olacaktır. Polinomu çarpanlara ayırmak yeterlidir:

Çarpanlardan en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpım sıfıra eşittir. Köklerin geldiği yer burasıdır. Sonuç olarak, bu denklemlerden birkaçını analiz edeceğiz:

Görev. İkinci dereceden denklemleri çözün:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. kökleri yoktur çünkü kare negatif bir sayıya eşit olamaz.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.