Serije s kompleksnimi izrazi. Vrste v kompleksni domeni Številske vrste s kompleksnimi števili

463. Kakšen je geometrijski pomen neenakosti: 1) Re z > 0; 2) sem z< 0 ?

2. Serije s kompleksnimi členi. Razmislite o zaporedju kompleksnih števil z 1, z 2 , z 3 , ..., kje z p = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Stalna številka c = a + bi klical omejitev zaporedja z 1, z 2 , z 3 , ..., če je za poljubno majhno število δ>0 obstaja taka številka N, kaj je pomen z str s številkami n > N zadovoljiti neenakost \z str-z\< δ . V tem primeru pišejo .

Nujen in zadosten pogoj za obstoj limite zaporedja kompleksnih števil je naslednji: število c=a+bi je limita zaporedja kompleksnih števil x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, …če in samo če,.

(1)

katerega člani so kompleksna števila se imenuje konvergenten,če nth delna vsota serije S n at p → ∞ teži k določeni končni meji. V nasprotnem primeru se imenuje serija (1). divergenten.

Vrsta (1) konvergira, če in samo če konvergira vrsta z realnimi členi

(2) Raziščite konvergenco vrste. Ta vrsta, katere členi tvorijo neskončno padajočo geometrijsko progresijo, konvergira. zato podana serija s kompleksnimi členi absolutno konvergira. ^

474. Poiščite območje konvergence serije

Prepis

1 Zvezna agencija za izobraževanje Državna univerza za arhitekturo in gradbeništvo Tomsk VRSTICE S KOMPLEKSNIMI ČLANI Navodila za samostojno delo Sestavili LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 vrstici s kompleksnimi členi: metodološka navodila / Sestavili LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomsk: Tomsk State Architectural and Construction University Publishing House, z recenzentom profesorjem NN Belov Urednik EY Glotova Metodična navodila so namenjena samostojnemu učenju študentov 1. letnika vseh specialne teme "Serije s kompleksnimi člani" discipline JNF "Matematika" Objavljeno v skladu s sklepom metodološkega seminarja oddelka za višjo matematiko, protokol 4. marca Odobril in uveljavil prorektor za študijske zadeve VV Dzyubo od 5 do 55 Originalno postavitev je pripravil avtor Podpisan za tisk Format 6 84/6 Ofsetni papir Tipografija Časi Izobraževalna publikacija l, 6 Naklada 4 Naročilo Založba TGASU, 64, Tomsk, Solyanaya sq., Tiskano iz originalne postavitve v OOP TGASU 64, Tomsk, Partizanskaya st., 5

3 NIZE S KOMPLEKSNIMI ČLENI TEMA Številske vrste s kompleksnimi členi Spomnimo se, da so kompleksna števila števila oblike z = x y, kjer sta x in y realni števili, imaginarna enota pa je določena z enakostjo = - Števili x in y imenujemo realni in imaginarni del števila z in označujeta x = Rez, y = Imz Očitno je med točkama M(x, y) ravnine XOU s pravokotnim kartezičnim koordinatnim sistemom in kompleksnimi števili oblike z = x y, ravnina XOU se imenuje kompleksna ravnina, z pa se imenuje točka te ravnine. Realna števila ustrezajo osi abscise, imenovani realna os, in številke oblike z = y ustrezajo. na ordinatno os, ki jo imenujemo imaginarna os. Če polarne koordinate točke M(x,y) označimo z r in j, potem bo x = r cosj, y = r s j in število z zapisano v. obliki: z = r (cosj sj), kjer je r = x y Ta oblika zapisa kompleksnega števila se imenuje trigonometrična, zapis z v obliki z = x y pa algebraična oblika zapisa. Število r imenujemo modul števila. z, število j je argument (v točki z = pojem argumenta ni razširjen) Modul števila z je enolično določen s formulo z = x y Argument j je enolično določen le pod dodatnim pogojem - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 številke z (sl.) Pomen tega si je treba zapomniti, da je y arq z - π izražen z< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, če je x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, če je x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (sl.) М y r = j = p x Sl. V trigonometrični obliki bo število z = - zapisano v obliki: - = сos π s π и Priporočljivo je, da operacije nad kompleksnimi števili ponovite sami spomnite se formule za dvig števila z na potenco: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Ključna vprašanja teorije Kratki odgovori Definicija niza s kompleksnimi členi Koncept konvergence niza Nujni pogoj za konvergenco Definicija Naj bo podano zaporedje z ) = ( x y ) = z, z, z, kompleksnih števil A simbol oblike ( å = z imenujemo vrsta, z je splošen člen vrste. Koncepti delnih vsot serije S, njene konvergence in divergence popolnoma ustrezajo podobnim konceptom za vrste z realnimi členi. Zaporedje delnih členov vsota niza ima obliko: S = z z ; če je $lm S končna in je enaka številu S, se imenuje število S niza, sicer se niz imenuje divergenten. Spomnimo se, da se definicija limita zaporedja kompleksnih števil, ki smo jo uporabili, formalno ne razlikuje od definicije limita zaporedja realnih števil: def (lm S. = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 nič splošnega člena z vrste pri To pomeni, da če je ta pogoj kršen, to je, če lm z ¹, vrsta divergira, če pa je lm z =, ostaja vprašanje konvergence vrste Is je mogoče preučevati vrsto å (x = za konvergenco z raziskovanjem x in å = za konvergenco vrste å = z realnimi členi? y y) Da, velja naslednji izrek: Za vrsto å = y (x) za konvergacijo je potrebno in dovolj, da obe vrsti å = å = konvergirata y, in če je å x = S = kjer je å S = (x y) = å = x u in y = S, potem je S =. S S, konvergira – Primer Prepričajte se, da je niz å = è () xia in ugotovite, da je njegova vsota 7

8 Rešitev Vrsta å konvergira, t k ~ = () (), ko je vsota S te vrste enaka (poglavje, tema, n) Vrsta å konvergira kot neskončno padajoča geometrijska = progresija, pri čemer je å = () и S b = - q = konvergira in njegova vsota Tako serija S = Primer Niz å divergira, t k divergira = è! harmonična vrsta å V tem primeru preglejte vrsto å = za konvergenco! nima smisla Primer Vrsta å π tg divergira, ker je za = è vrsta å π tg kršen nujen pogoj za konvergenco = π lm tg = p ¹ и 8

9 Kakšne lastnosti imajo konvergentne vrste s kompleksnimi členi? Lastnosti so enake kot pri konvergentnih vrstah z realnimi členi. Priporočljivo je ponoviti lastnosti. 4 Ali obstaja koncept absolutne konvergence za vrsto s kompleksnimi členi? Izrek (zadostni pogoj za konvergenco vrste) Če vrsta å = z konvergira, potem bo konvergirala tudi vrsta å = z Koncept absolutne konvergence vrste å = z formalno izgleda popolnoma enako kot za vrsto z realnimi. Definicija Vrsta å = z se imenuje absolutno konvergentna, če vrsta konvergira å = z Primer Dokaži absolutno konvergenco vrste () () () 4 8 Rešitev Uporabimo trigonometrično obliko zapisa števila: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 Potem je π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и Ostaja še pregled serije å z za konvergenco = = To je neskončno padajoča geometrijska progresija z imenovalcem; taka progresija konvergira in zato vrsta absolutno konvergira. Pri dokazovanju absolutne konvergence se pogosto uporablja izrek. Za absolutno konvergenco vrste å = y (x) je potrebno in zadostuje, da sta obe vrsti å = absolutno Primer serije å = (-) è cosπ ! x in å = y konvergira absolutno, t k konvergira absolutno å (-), absolutno konvergenco = vrste å cosπ pa zlahka dokažemo: =!

11 cosπ, vrstica pa je å!! =! konvergira po d'Alembertovem kriteriju. Po primerjalnem kriteriju vrsta å cosπ konvergira Þ vrsta å =! konvergira absolutno cosπ =! Reševanje nalog. Preverite konvergenco serije 4: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и и ;! Rešitev å = è l l Vrsta se razhaja, ker vrsta å razhaja, kar zlahka ugotovimo s primerjalnim testom: >, harmonična = l l vrsta å pa, kot je znano, razhaja z = v tem primeru vrsta å na podlagi integralnega Cauchyjevega testa = l konvergira å (-) = è! l

12 Vrsta konvergira, tako da je å =! konvergira na podlagi d'Alembertovega mejnega testa, niz å (-) pa konvergira po izreku = l Leibniz å α π - π cos tg = и и Očitno bo obnašanje niza odvisno od eksponenta α Pustimo niz zapišemo s formulo β - cosβ = s: å α π π s tg = и At α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = Serija α å и и 4 = bo konvergirala pod pogojem, da je α >, tj. za α > in bo divergirala za α ali za bo konvergirala, saj za π π tg ~ α Serija å = α α π tg α

13 Tako bo prvotni niz konvergiral in divergiral pri α 4 å = и и! α > Zaporedje å se preuči glede konvergence z uporabo = è Cauchyjevega mejnega testa: lm = lm = > Þ è zaporedje odstopa Þ e è Þ se bo razhajalo in izvirno zaporedje 5 zaporedje Zaporedje 5 6 se pregleda za absolutno konvergenco π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = rešitev 5 å = π cos()! å = - π cos konvergira absolutno, torej k (-)! konvergira po primerjalnem kriteriju: π cos, vrsta å (-)! (-)! = (-)! konvergira po d'Alembertovem testu

14 4 6 å =!) 8 (V vrsto!) 8 (å = uporabi d'Alembertov znak:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Preverite absolutno konvergenco serije 7 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Odgovora: 7, 8 absolutno konvergirata , 9 se razhaja, ne konvergira absolutno

16 TEMA Potenčne vrste s kompleksnimi členi Pri preučevanju poglavja “Funkcionalne vrste” so bile podrobno obravnavane vrste, katerih člani so bili člani določenega zaporedja funkcij realne spremenljivke potenčne vrste, to je vrste oblike å = a (x-x) Dokazano je (Abelov izrek), da ima vsaka potenčna vrsta interval konvergence (x - R, x R), znotraj katerega je vsota S (x) vrste je zvezna in da se potenčne vrste znotraj konvergenčnega intervala lahko razlikujejo po členih in integriranih po členih. To so izjemne lastnosti potenčnih vrst, ki so odprle najširše možnosti za njihove številne aplikacije ne z realnimi, temveč s kompleksnimi členi 6 Ključna vprašanja teorije Kratki odgovori Definicija potenčne vrste Potenčna vrsta je funkcijska vrsta oblike å = a (z - z), () kjer sta a in z podani kompleksni števili, in z je kompleksna spremenljivka. V posebnem primeru, ko je z =, ima potenčna vrsta obliko å = a z ().

17 Očitno se vrsta () reducira na vrsto () z uvedbo nove spremenljivke W = z - z, zato se bomo ukvarjali predvsem z vrstami oblike () Abelov izrek Če potenčna vrsta () konvergira pri z = z ¹, potem konvergira in poleg tega absolutno za vsak z, za katerega z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Abelov izrek ima posledico, ki pravi, da če serija å = a z divergira za * z = z, potem bo divergirala tudi za vsak z, za katerega * z > z Ali obstaja koncept polmera za potenčne vrste () in ( ) konvergenca? Da, obstaja polmer konvergence R, število, ki ima to lastnost, da za vse z, za katere z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, niz () se razhaja 4 Kakšno je območje konvergence niza ()? Če je R polmer konvergence serije (), potem je množica točk z, za katere z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Ali je mogoče z formulama R = lm in R = lm najti polmer konvergence a, ki se je zgodil za potenčne vrste z realnimi členi? Možno je, če te meje obstajajo. Če se izkaže, da je R =, bo to pomenilo, da vrsta () konvergira samo v točki z = ali z = z za vrsto () Ko je R =, bo serija konvergirala na celotnem Kompleksna ravnina Primer Poišči polmer konvergence niza å z = a Rešitev R = lm = lm = a Primer konvergira znotraj kroga s polmerom, ker je na meji kroga x y< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Spomnimo se, da potenčne vrste å = a x znotraj svojega konvergenčnega intervala konvergirajo ne le absolutno, ampak tudi enakomerno. Podobna izjava velja za vrsto å = a z: če potenčna vrsta konvergira in je polmer njene konvergence enak R, potem. to vrsto v poljubnem zaprtem krogu z r pod pogojem, da je r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 v krogu s polmerom R > konvergence vrste, potem je ta vrsta Taylorjeva vrsta funkcije f (z), tj. f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Koeficienti vrste å = () f (z) a =! f () a (z - z) se izračunajo po formuli Spomnimo se, da je definicija odvoda f (z) formalno podana na popolnoma enak način kot za funkcijo f (x) realne spremenljivke, tj. f (z ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Pravila za razlikovanje funkcije f (z) so enaka pravilom za razlikovanje funkcije realne spremenljivke 7 V katerem primeru je funkcija f (z) imenujemo analitična v točki z? Koncept funkcije, analitične v točki z, je podan po analogiji s konceptom funkcije f (x), ki je realna analitična v točki x. Definicija Funkcija f (z) se imenuje analitična v točki z, če obstaja R > tako, da je v krogu z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Še enkrat poudarimo, da je predstavitev funkcije f (z), analitične v točki z, v obliki potenčne vrste edinstvena in je ta vrsta njena Taylorjeva vrsta, to pomeni, da so koeficienti vrste izračunani z formula () f (z) a =! 8 Osnovne elementarne funkcije kompleksne spremenljivke V teoriji potenčnih vrst funkcij realne spremenljivke smo dobili vrstno razširitev funkcije e x: = å x x e, xî(-,) =! Pri reševanju primera točke 5 smo se prepričali, da niz å z konvergira na celotni kompleksni ravnini. V posebnem primeru za z = x je njegova vsota enaka e x To dejstvo je podlaga za - =! naslednja ideja: za kompleksne vrednosti z se funkcija е z po definiciji šteje za vsoto niza å z Torej =! z e () def å z = =! Definicija funkcij ch z in sh z x - x Ker je ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 in je funkcija e z zdaj definirana za vse kompleksne z, potem je naravno vzeti ch z = na celotni kompleksni ravnini, def z - z e e def z - z e - e sh z = Tako: z -z k e - e z sh z = = hiperbolični sinus ; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hiperbolični kosinus; k = (k)! shz th z = hiperbolični tangens; chz chz cth z = hiperbolični kotangens shz Definicija funkcij s z in cos z Uporabimo prej pridobljene razširitve: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! vrste konvergirajo na celotni številski premici. Ko x v teh vrstah zamenjamo z z, dobimo potenčne vrste s kompleksnimi členi, ki, kot je enostavno pokazati, konvergirajo na celotni kompleksni ravnini. To nam omogoča, da za poljubne kompleksne z določimo funkcije s z in cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Povezava med eksponentno funkcijo in trigonometričnimi funkcijami v kompleksni ravnini Zamenjava v vrsti å z z e = =! z z z in nato z z, dobimo: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Ker je e ()) e k k = (-, bomo imeli: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) Tako: z -z e e - e сos z = ; te formule veljajo tudi za realni z. V posebnem primeru za z = j, kjer je j realno število, bo formula (7) imela obliko: j cos j sj = e (8) Potem je kompleksno število z = r. (cos j s j) bo zapisan v obliki : j z = re (9) Formulo (9) imenujemo eksponentna oblika zapisa kompleksnega števila z 4

25 Formule, ki povezujejo trigonometrične in hiperbolične funkcije Naslednje formule zlahka dokažemo: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z Dokažimo prvo in četrto formulo (priporočljivo je dokazati drugo in tretjič sami) Uporabimo formule ( 6) Euler: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e ch z = = cos z Z uporabo formul sh z = s z in ch z = cos z je enostavno dokazati na prvi pogled presenetljivo lastnost funkcij s z in cos z za razliko od funkcij y = s x in y = cos x, funkciji s z in cos z nista omejeni v absolutni vrednosti. Dejansko, če je v navedenih formulah zlasti z = y, potem je s y = sh y, cos y = ch y. imaginarni osi s z in cos z nista omejeni na absolutno vrednost. Zanimivo je, da za s z in cos z veljajo vse formule, podobno kot za trigonometrične funkcije s x in cos x. Navedene formule se pogosto uporabljajo pri študiju niz za konvergenco Primer Dokaži absolutno konvergenco niza å s = Rešitev. Pregledamo niz å za konvergenco s = Kot je bilo omenjeno, funkcija s z, omejena na imaginarni osi, ni 5

26 torej ne moremo uporabiti primerjalnega kriterija. Uporabili bomo formulo s = sh = = Preučujemo vrsto å sh = z uporabo D'Alembertovega kriterija: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm =lm=< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 (), ker lm =, iz modulov konvergira pod pogojem 8 - = 8 = Torej je niz z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >točke kroga z = -, bodo konvergirale, zunaj tega kroga, to je vrsta, ki se razhaja. Proučujemo obnašanje vrste pri z =, katere enačba v kartezičnem koordinatnem sistemu ima obliko x (y). = Pri z = 9 bo niz absolutnih vrednosti imel obliko : å 8 - = å = = da ta niz v zaprtem krogu Nastali niz konvergira, to pomeni, da z konvergira absolutno. Dokažite, da funkcija å z z e = je periodična s periodo π (ta lastnost funkcije e z jo bistveno razlikuje =! od funkcije e x) Dokaz Uporabimo definicijo periodične funkcije in formulo (6) Prepričati se moramo, da je z z e π = e, kjer je z = x y Pokažimo, da je temu tako: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Torej je e z a periodična funkcija!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Poiščite formulo, ki povezuje števili e in π Rešitev Uporabimo eksponentno obliko zapisa kompleksnega števila j: z = re Za z = - bomo imeli r =, j = π in s tem π ​​e = - () Neverjetna formula in to kljub dejstvu, da pojav v matematiki vsakega od števil π, e in nima nobene zveze s pojavom drugih dveh! Formula () je zanimiva tudi zato, ker se izkaže, da lahko eksponentna funkcija e z, za razliko od funkcije e x, sprejme negativne vrednosti e x 5 Poiščite vsoto niza å cos x =! Rešitev Transformirajmo vrsto x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Pri reševanju smo dvakrat uporabili formulo = cos x s x in raztezanje funkcije v vrsto (e x) e 6 Funkcijo f (x) = e x cos x razširimo v potenčni niz, s pomočjo raztezanja v vrsto funkcije x() x x x x e = e e = e cos x e s x Rešitev x() x() x e = å = å!! = = π cos s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 Dobljena vrsta konvergira na celotni številski osi, torej x π (x) () cos, vrsta pa å (x)! 4! =! x< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Poiščite polmer R in konvergenčni krog niza 4 Raziščite obnašanje niza na mejnih točkah konvergenčnega kroga (v točkah, ki ležijo na krogu) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Odgovorov:) R =, niz konvergira v točki z = - ;) R =, niz konvergira absolutno v zaprtem krogu z s središčem v točki z = - ali glede na x (y) ;) R =, niz konvergira absolutno v zaprtem krogu z ali podvržen x y ; 4) R =, vrsta absolutno konvergira v zaprtem krogu z ali pod pogojem x y 9 7 Funkcijo f (x) = e x s x, () x razširimo v potenčno vrsto z uporabo nizske ekspanzije funkcije e 8 Prepričajmo se, da za vsak kompleks z bodo veljale formule: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (uporabite Eulerjeve formule)

31 SEZNAM PRIPOROČENEGA BRANJA Osnovna literatura Piskunov, NS Diferencialni in integralni račun za visoke šole / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Osnove matematične analize / GM Fichtengolts T - St. Petersburg: Lan, 9 48 s Vorobyov, NN Theory rows / NN Vorobyov - St. Petersburg: Lan, 8 48 s 4 Pisno, DT Predavanja o višji matematiki Ch / DT Pisno M: Iris-press, 8 5 Višja matematika v vajah in problemih Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ itd.] M: ONICS, 8 C Dodatna literatura Kudryavtsev, LD Tečaj matematične analize / LD Kudryavtsev TM: Višja šola, 98 C Khabibullin, MV Kompleksna števila: smernice / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6 s Moldovanova , EA Vrstice in kompleksna analiza: učbenik / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Zvezna agencija za izobraževanje Državna univerza za arhitekturo in gradbeništvo Tomsk FOURIERJEVA VRSTA FOURIERJEV INTEGRAL KOT OMEJNI PRIMER FOURIERJEVE VRSTE Smernice za samostojno delo

RANKS Khabarovsk 4 4 ŠTEVILSKE NIZE Številski niz je izraz, kjer so števila, ki tvorijo neskončno številsko zaporedje, splošni člen niza, kjer je N (N je niz naravnih števil) Primer

Zvezna agencija za izobraževanje Državna tehnična univerza Arhangelsk Fakulteta za gradbeništvo RANKS Navodila za izpolnjevanje nalog za samostojno delo Arhangelsk

MOSKVSKA DRŽAVNA TEHNIČNA UNIVERZA CIVILNEGA LETALSTVA V.M. Lyubimov, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov MATEMATIČNI PRIROČNIK za študij discipline in testne naloge

5 Potenčne vrste 5 Potenčne vrste: definicija, območje konvergence Funkcionalne vrste oblike (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) kjer je, a, a, K, a ,k nekatera števila imenujemo potenčne vrste števil

Zvezna agencija za izobraževanje MOSKVSKA DRŽAVNA UNIVERZA ZA GEODEZIJO IN KARTOGRAFIJO (MIIGAiK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev VADNICA ZA ŠTUDENTE NA SAMOSTOJNEM ŠTUDIJU

Tema Kompleksni številski niz Oglejmo si številski niz k ak s kompleksnimi števili oblike. Niz imenujemo konvergenten, če zaporedje S njegovih delnih vsot S a k k konvergira. Še več, meja S zaporedja

MINISTRSTVO ZA ŠOLSTVO RUSKE FEDERACIJE TEORIJA FUNKCIJ KOMPLEKSNE SPREMENLJIVKE Metodološki priročnik Sestavil: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Pregled metodološkega priročnika o teoriji funkcij

8 Kompleksna številska vrsta Upoštevajte številsko vrsto s kompleksnimi števili oblike k a, (46) kjer je (a k) dano številsko zaporedje s kompleksnimi členi k Niz (46) imenujemo konvergenten, če

Predavanja pripravila izredna profesorica Musina MV Definicija Izraz oblike Numerične in funkcionalne serije Številčne serije: osnovni pojmi (), kjer se imenuje številska serija (ali preprosto serija) Številke, člani serije (odvisno od

Metalurška fakulteta Oddelek za višjo matematiko RANKS Metodološka navodila Novokuznetsk 5 Zvezna agencija za izobraževanje Državna izobraževalna ustanova višjega strokovnega izobraževanja

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna proračunska izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje Novgorodska državna univerza poimenovana

Zvezna agencija za izobraževanje Zvezna državna izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje JUŽNA ZVEZNA UNIVERZA R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodološka

Številske serije Številsko zaporedje Def Številsko zaporedje je numerična funkcija, definirana na množici naravnih števil x - splošnem členu zaporedja x =, x =, x =, x =,

Zvezna agencija za izobraževanje Moskovska državna univerza za geodezijo in kartografijo (MIIGAiK) METODIČNA NAVODILA IN NALOGE ZA SAMOSTOJNO DELO pri predmetu VIŠJA MATEMATIKA Numerično

METODOLOŠKA NAVODILA ZA RAČUNSKE NALOGE PRI TEČAJU VIŠJE MATEMATIKE “NAVADNE DIFERENCIALNE ENAČBE NIZ DVOJNI INTEGRALI” DEL TEMA NIZ Vsebina Serija Številčna serija Konvergenca in divergenca

Zvezna agencija za izobraževanje Državna izobraževalna ustanova visokega strokovnega izobraževanja Novgorodska državna univerza poimenovana po Yaroslavu Wise Institute of Electronic

Ministrstvo za izobraževanje Republike Belorusije Državna tehnološka univerza Vitebsk Tema. “Rows” Oddelek za teoretično in uporabno matematiko. razvil izr. E.B. Dunina. Osnovno

MINISTRSTVO ZA PROMET RUSKE FEDERACIJE ZVEZNA DRŽAVNA IZOBRAŽEVALNA INSTITUCIJA VIŠJEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA ULJANOVSKA VIŠJA LETALSKA ŠOLA INŠTITUT CIVILNEGA LETALSTVA

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna proračunska izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Tomsk State Architecture and Construction"

Sgups Oddelek za višjo matematiko Metodološka navodila za izvajanje standardnih izračunov “Serija” Novosibirsk 006 Nekaj ​​teoretičnih informacij Številčna serija Let u ; u ; u ; ; u ; obstaja neskončno število

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE DRŽAVNA ARHITEKTURNA IN GRADBENA UNIVERZA KAZAN Oddelek za višjo matematiko NUMERIČNE IN FUNKCIONALNE SERIJE Smernice za

PREDAVANJE N 7. Potenčne vrste in Taylorjeve vrste.. Potenčne vrste..... Taylorjeve vrste.... 4. Razširitev nekaterih elementarnih funkcij v Taylorjeve in Maclaurinove vrste.... 5 4. Uporaba potenčnih vrst... 7 .Moč

Tema modula Funkcionalna zaporedja in nizi Lastnosti enakomerne konvergence zaporedij in nizov Potenčne vrste Predavanje Definicije funkcijskih zaporedij in nizov Enakomerno

BELORUSKA DRŽAVNA UNIVERZA ZA EKONOMIJO FAKULTETA ODDELEK ZA EKONOMSKE INFORMACIJE IN MATEMATIČNO EKONOMIJO Vrstice Zapiski predavanj in delavnica za študente ekonomije

Ministrstvo za šolstvo Ruske federacije Uljanovska državna tehnična univerza NUMERIČNE IN FUNKCIONALNE VRSTE FOURIERJEVE VRSTE Uljanovsk UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Recenzent kandidat za fiziko in matematiko

3724 VEČ NIZ IN KRIVOČRTNI INTEGRALI 1 DELOVNI PROGRAM PODROČJA “VEČ NIZA IN KRIVOČRTNI INTEGRALI” 11 Številski niz Pojem številskega niza Lastnosti številskega niza Potreben znak konvergence

Niz poglavij Formalni zapis vsote členov nekega številskega zaporedja Številske nize imenujemo številske nize Vsote S imenujemo delne vsote niza. Če obstaja meja lim S, S, potem niz

Predavanje. Funkcionalna serija. Opredelitev funkcionalnega niza Niz, katerega člani so funkcije od x, se imenuje funkcionalni: u = u (x) + u + K+ u + K = Če damo x določeno vrednost x, dobimo

V.V. Žuk, A.M. Kamachkin 1 Potenčne vrste. Konvergenčni radij in konvergenčni interval. Narava konvergence. Integracija in diferenciacija. 1.1 Polmer konvergence in interval konvergence. Funkcionalno območje

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna proračunska izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Sibirska državna industrijska univerza"

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna proračunska izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Sibirska državna industrijska univerza"

Matematična analiza Poglavje: Numerične in funkcijske vrste Tema: Potenčne vrste. Razširitev funkcije v potenčno vrsto Predavatelj Rozhkova S.V. 3 34. Potenčne vrste Potencialne vrste so potenčne vrste.

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE ZVEZNA DRŽAVNA PRORAČUNSKA IZOBRAŽEVALNA INSTITUCIJA VISOKEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA »SAMARA STATE AEROSPACE UNIVERZA«

MINISTRSTVO ZA IZOBRAŽEVANJE IN ZNANOST RUSKE FEDERACIJE Državna raziskovalna državna univerza v Nižnem Novgorodu poimenovana po NI Lobačevskega NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva RANGE ANALITIČNIH FUNKCIJ

“Serije” Testi za samotestiranje Nujen znak konvergence niza Izrek nujni znak konvergence Če niz konvergira, potem je lim + Posledica zadosten pogoj za divergenco niza Če je lim potem niz divergira

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Achinska podružnica zvezne državne avtonomne izobraževalne ustanove za visoko strokovno izobraževanje "Sibirska zvezna univerza" MATEMATIKA

(funkcionalna vrsta potenčne vrste domena konvergence vrstni red iskanja intervala konvergence - primer polmera intervala konvergence primeri) Naj je podano neskončno zaporedje funkcij, funkcional

Niz Številčni niz Splošni pojmi Definicija Če je vsako naravno število povezano z določenim številom po določenem zakonu, potem se množica oštevilčenih števil imenuje številsko zaporedje,

Ministrstvo za šolstvo Ruske federacije MATI - RUSKA DRŽAVNA TEHNOLOŠKA UNIVERZA poimenovana po K E TSIOLKOVSKEM Oddelek za višjo matematiko ČINI Smernice za delo pri tečaju Sestavil:

Predavanje 3 Taylorjeve in Maclaurinove vrste Uporaba potenčnih vrst Razširitev funkcij v potenčne vrste Taylorjeve in Maclaurinove vrste Za aplikacije je pomembno, da lahko dano funkcijo razširimo v potenčne vrste, te funkcije

DRŽAVNA INSTITUCIJA ZA VISOKO STROKOVNO IZOBRAŽEVANJE "BELORUSKO-RUSKA UNIVERZA" Oddelek za "Višjo matematiko" VIŠJA MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATIČNA ANALIZA UČESTVANJA Metodološka priporočila

Numerične in potenčne vrste Lekcija. Serije številk. Seštevek serije. Znaki konvergence.. Izračunajte vsoto vrste. 6 Rešitev. Vsota členov neskončne geometrijske progresije q je enaka, kjer je q imenovalec progresije.

Ministrstvo za izobraževanje Republike Belorusije Izobraževalna ustanova "Mogilev State University of Food" Oddelek za višjo matematiko VIŠJA MATEMATIKA Smernice za praktične

Predavanje 6 Razširitev funkcije v potenčni niz Edinstvenost razteza Taylorjeve in Maclaurinove vrste Razširitev v potenčni niz nekaterih elementarnih funkcij Uporaba potenčnih vrst V prejšnjih predavanjih

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna proračunska izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Tomsk State Architecture and Construction"

4 Funkcijske serije 4 Osnovne definicije Naj bo neskončno zaporedje funkcij s skupno domeno definicije X u), u (), K, u (),K (DEFINICIJA Izraz u) + u () + K + u () +

ELEMENTI TEORIJE FUNKCIJ OPERACIJSKEGA RAČUNA KOMPLEKSNE SPREMENLJIVKE Kot rezultat študija te teme se mora študent naučiti: poiskati trigonometrične in eksponentne oblike kompleksnega števila glede na

Zvezna agencija za izobraževanje Državna izobraževalna ustanova višjega strokovnega izobraževanja "Uralska državna pedagoška univerza" Oddelek za matematiko

DRŽAVNA UNIVERZA KAZAN Oddelek za matematično statistiko NUMERIČNA SERIJA Izobraževalni in metodološki priročnik KAZAN 008 Objavljeno s sklepom oddelka Znanstvenega in metodološkega sveta Univerze v Kazanu

Funkcionalna vrsta Funkcijska vrsta, njena vsota in domena funkcionalnega o Naj bo zaporedje funkcij k podano v domeni Δ realnih ali kompleksnih števil (k 1 Funkcionalna vrsta se imenuje

Zvezna agencija za izobraževanje MOSKVSKA DRŽAVNA UNIVERZA ZA GEODEZIJO IN KARTOGRAFIJO (MIIGAiK) O. V. Isakova L. A. Saykova VADNICA ZA ŠTUDENTE ZA SAMOSTOJNI ŠTUDIJ ODDELKA

Poglavje Potenčne vrste a a a Potenčne vrste a a a a () se imenujejo potenčne vrste, kjer so a konstante, imenovane koeficienti vrste. Včasih se upošteva potenčna vrsta bolj splošne oblike: a a(a) a(a). a(a) (), kjer

PREDAVANJE N34. Številske serije s kompleksnimi členi. Potenčne vrste v kompleksni domeni. Analitične funkcije. Inverzne funkcije..številske vrste s kompleksnimi členi.....potenčne vrste v kompleksni domeni....

Opcijska naloga Izračunajte vrednost funkcije, odgovor podajte v algebraični obliki: a sh ; b l Rešitev a Uporabimo formulo za povezavo med trigonometričnim sinusom in hiperboličnim sinusom: ; sh -s Get

Zvezna agencija za izobraževanje Državna izobraževalna ustanova visokega strokovnega izobraževanja Ukhta State Technical University Smernice KOMPLEKSNIH ŠTEVIL

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije ZVEZNA DRŽAVNA PRORAČUNSKA IZOBRAŽEVALNA INSTITUCIJA VISOKEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA »SAMARSKA DRŽAVNA TEHNIČNA UNIVERZA« Oddelek za uporabno matematiko

Funkcionalne serije Predavanja 7-8 1 Območje konvergence 1 Niz oblike u () u () u () u (), 1 2 u (), kjer so funkcije definirane na določenem intervalu, se imenuje funkcionalni niz . Množica vseh točk

Zvezna agencija za izobraževanje Državna izobraževalna ustanova visokega strokovnega izobraževanja Državna tehnična univerza Ukhta (USTU) MEJNE FUNKCIJE Metodološke

PREDAVANJE Ekvivalentne infinitezimale Prva in druga izjemna meja Primerjava neskončno velike in infinitezimalne funkcije Funkcijo f () imenujemo infinitezimalna v točki a (v a), če (

Ministrstvo za izobraževanje in znanost Ruske federacije Zvezna državna proračunska izobraževalna ustanova za visoko strokovno izobraževanje "Tomsk State Architecture and Construction"

Predavanje Številske vrste Znaki konvergence Številske vrste Znaki konvergence Neskončen izraz številskega zaporedja + + + +, sestavljen iz členov neskončnega, imenujemo številski niz Števila,

EV Nebogina, OS Afanasyeva SERIJA PRAKTIKUM IZ VIŠJE MATEMATIKE Samara 9 ZVEZNA AGENCIJA ZA IZOBRAŽEVANJE DRŽAVNA IZOBRAŽEVALNA INSTITUCIJA VISOKEGA STROKOVNEGA IZOBRAŽEVANJA “SAMARSKY”

III. poglavje INTEGRALNI RAČUN FUNKCIJ VEČ SPREMENLJIVK, FUNKCIJ KOMPLEKSNE SPREMENLJIVKE, NIZ Dvojni integrali LITERATURA: , pogl. ,glii; , poglavje XII, 6 Za reševanje problemov na to temo je potrebno,